精品解析：2026年山东省普通高等学校招生考试（春季）模拟（十）数学知识试题

山东省普通高校招生（春季）考试 数学仿真模拟试题十 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟.考生请在答题卡上答题.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题共60分） 一、选择题：本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若集合，，下列关系式中正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么（ ） A. B. C. D. 3. 已知偶函数在区间上是减函数，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. {或} 4. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，且，则 B. 在复数范围内，若，则 C. 若，则是纯虚数 D. 5. 在四边形中，为任意一点，若，则四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 6. 用长为的材料，围成一个矩形场地，最大面积是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正数，，成等比数列，则二次函数的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 8. 若，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 9. 已知向量，共线，且，，则的最大值（ ） A. 17 B. 19 C. 21 D. 23 10. 设是第二象限角，为其终边上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 11. 若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数，与函数，即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是（ ） A. B. C. D. 12. 在三角形中，，，所对边为，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 13. 在的展开式中，若第2，3，4项的二项式系数成等差数列，则的值是（ ） A. 2 B. 7 C. 9 D. 2或7 14. 直线关于点对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 15. 甲、乙、丙三人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则所有不同站法的种数是（ ） A. 210 B. 180 C. 120 D. 60 16. 是等差数列的前项和，已知，则（ ） A. 14 B. 25 C. 49 D. 98 17. 已知函数是上的增函数，，是其图象上的两点，那么的解集是（ ） A. B. C. D. 18. 在三角形中，，，，则三角形的面积为（ ） A. 12 B. 16 C. D. 32 19. 清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共10人进入决赛，其中职高一年级2人，职高二年级3人，职高三年级5人，现采取抽签方式决定演讲顺序，则在职高二年级3人相邻的前提下，职高一年级2人不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 20. 将正方形沿对角线折叠成直二面角，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与平面所成角为 D. 是等边三角形 卷二（非选择题 共60分） 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分. 21. _____. 22. 已知是椭圆上的动点，，，且，则_____. 23. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_____. 24. 朱载堉（1536-1611）是中国明代一位杰出的律学家、数学家和历法学家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则_____. 25. 已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则_____. 三、解答题：本大题共5个小题，共40分. 26. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解关于的不等式：. 27. 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.记最大的正方体为第1层，依次向上为第2层、第3层…记该塔形几何体第层正方体的棱长为，且.求： （1）第4层正方体的棱长； （2）10层该塔形几何体的表面积（不包括最底层正方体的下底面）. 28. 已知函数. （1）若，求的值； （2）在中，角，，的对边分别为，，，且满足，求的取值范围. 29. 如图所示，在三棱锥中，平面平面，且D，E，F分别是SC，AC，BC的中点，的边长都是2，． （1）求证：平面平面； （2）求直线SC与平面所成角的正弦值． 30. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且. （1）求抛物线方程； （2）若点在椭圆上，且直线与椭圆相切，求椭圆的标准方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省普通高校招生（春季）考试 数学仿真模拟试题十 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟.考生请在答题卡上答题.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题共60分） 一、选择题：本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 1. 若集合，，下列关系式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由元素与集合的关系，以及集合之间的关系即可得解. 【详解】因为集合是空集，不含任何元素，所以，即选项B错误，选项D正确， 又集合，所以，即选项A错误， 非空集合不能包含于空集，故，选项C错误. 故选：D. 2. 如果，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式的性质及特值法判断. 【详解】∵，∴，得， ∵，∴， 取，此时，故A错误； ∵，，∴，故B错误； ∵，，∴，，故C正确，D错误. 故选：C. 3. 已知偶函数在区间上是减函数，且，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. {或} 【答案】D 【解析】 【分析】利用偶函数的对称性，结合已知区间的单调性，确定函数在定义域上的单调性，进而求解不等式. 【详解】偶函数在上是减函数，且， 所以在上是增函数，且， 所以，当时，；当时，； 当时，；当时，， 所以的解集为{或}. 故选：D. 4. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，且，则 B. 在复数范围内，若，则 C. 若，则是纯虚数 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合复数的性质即可得解. 【详解】两个虚数不能比较大小，故A错误； 当，时，成立，故B错误； 若，则不是纯虚数，故C错误； 因为，所以，故D正确， 故选：D. 5. 在四边形中，为任意一点，若，则四边形一定是（ ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】由向量的减法法则及相等向量即可得解. 【详解】因为，则，即， 可知，两边平行且相等，所以四边形是平行四边形， 但没有足够条件判断是否为矩形、菱形或正方形，故A，B，C错误，D正确. 故选：D. 6. 用长为的材料，围成一个矩形场地，最大面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件建立矩形面积的函数表达式，再利用二次函数的性质求出面积的最大值. 【详解】设矩形的长为 ，宽为， 则，即，所以， 由且，得， 矩形的面积， 当时，， 所以当矩形的长、宽都为6时，面积最大，最大面积是. 故选：C. 7. 已知正数，，成等比数列，则二次函数的最小值为（ ） A. B. C. 0 D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项以及二次函数的最值求解即可. 【详解】因为正数，，成等比数列，所以， 二次函数， 因为，所以函数的最小值为. 故选：C. 8. 若，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】将所求式的分母看作，再弦化切，最后代入计算即可. 【详解】因为，显然， 所以. 故选：A 9. 已知向量，共线，且，，则的最大值（ ） A. 17 B. 19 C. 21 D. 23 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线，以及向量的模求解即可. 【详解】因为向量，共线，且，， 当与方向相反时，有最大值为. 故选：A. 10. 设是第二象限角，为其终边上一点，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由任意角的三角函数定义求解即可. 【详解】因为，又是第二象限角， 所以，，所以， 所以. 故选：A. 11. 若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数，与函数，即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合指数函数，反比例函数，对数函数的性质即可得解. 【详解】对于A，，底数，所以在定义域上为减函数，所以无法构造不同定义域的同值函数，故错误； 对于B，，在上分别为减函数， 且当时，对应的值域为；当时，对应的值域为， 所以无法构造不同定义域的同值函数，故错误； 对于C，，底数，所以在定义域上为增函数，无法构造不同定义域的同值函数，故错误； 对于D，的图像如图所示， 由图像可知，可以构造出不同定义域的同值函数，故正确； 故选：. 12. 在三角形中，，，所对边为，，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】依据正弦定理以及充要条件的定义求解. 【详解】设为外接圆半径， 所以“”“”“”． 则“”是“”的充要条件. 故选：C. 13. 在的展开式中，若第2，3，4项的二项式系数成等差数列，则的值是（ ） A. 2 B. 7 C. 9 D. 2或7 【答案】B 【解析】 【分析】利用通项公式可得展开式第2项、第3项、第4项的二项式系数，再运用等差数列的相关性质列方程求解即可. 【详解】在的展开式中，第2，3，4项的二项式系数分别为：， 由题可得：，所以， 即， 解得或或. 又展开式中存在第4项，故, 所以. 故选：B 14. 直线关于点对称的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据关于点对称的两直线平行，可设直线方程为，再根据点到两直线的距离相等列式求解即可. 【详解】由题意知，所求直线与已知直线平行，设直线方程为， 点到直线即的距离为 ， 点到直线即的距离为 ， 根据题意得，解得（舍去）或， 即所求直线方程为. 故选：C. 15. 甲、乙、丙三人站到共有6级的台阶上，且每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则所有不同站法的种数是（ ） A. 210 B. 180 C. 120 D. 60 【答案】A 【解析】 【分析】分情况讨论三人的站法，结合排列数及组合数公式求解. 【详解】三人站3个台阶，不同站法的种数有； 三人站2个台阶，不同站法的种数有， 所以一共有种不同的站法. 故选：A. 16. 是等差数列的前项和，已知，则（ ） A. 14 B. 25 C. 49 D. 98 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的前项和公式和等差数列的性质求解即可. 【详解】由等差数列的前项和公式知：. 故选：C. 17. 已知函数是上的增函数，，是其图象上的两点，那么的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的单调性列式求解即可. 【详解】因为， 所以， 由知，， 所以， 又因为函数是上的增函数， 所以，所以. 故选：B. 18. 在三角形中，，，，则三角形的面积为（ ） A. 12 B. 16 C. D. 32 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理和三角形的面积公式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 即，又，所以， 所以. 故选：B. 19. 清明节前夕，某校团委决定举办“缅怀革命先烈，致敬时代英雄”主题演讲比赛，经过初赛，共10人进入决赛，其中职高一年级2人，职高二年级3人，职高三年级5人，现采取抽签方式决定演讲顺序，则在职高二年级3人相邻的前提下，职高一年级2人不相邻的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用捆绑法、插空法，结合古典概型的概率公式求解. 【详解】职高二年级3人相邻，基本事件总数， 在职高二年级3人相邻的前提下，职高一年级2人不相邻包含的基本事件个数， 所以在职高二年级3人相邻的前提下，职高一年级2人不相邻的概率为：. 故选：D. 20. 将正方形沿对角线折叠成直二面角，下列结论正确的是（ ） A. B. C. 与平面所成角为 D. 是等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据二面角、异面直线以及其所成角的概念求解即可. 【详解】直二面角如图所示， 设正方形的边长为1，则， 折叠后的，所以A选项错误； 与是异面直线，所以B选项错误； 因为二面角为直二面角， 平面平面，， 所以平面.则与平面所成的角为. 在三角形中，，所以，所以C选项错误. ，则，所以为等边三角形. 故选：D. 卷二（非选择题 共60分） 二、填空题：本大题共5个小题，每小题4分，共20分. 21. _____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合指数幂的运算法则即可得解. 【详解】， 故答案为：. 22. 已知是椭圆上的动点，，，且，则_____. 【答案】5 【解析】 【分析】根据椭圆的定义确定椭圆的焦点位置，进而求出的值. 【详解】因为， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆. 易知，，即，， 所以. 故答案为：5. 23. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据三视图得到原几何体的形状，然后计算表面积即可. 【详解】由几何体的三视图可知：该几何体是长方体和一个半球的组合体， 其中长方体的长、宽、高分别为2、2、3；球的半径为2， 所以该几何体的表面积为 故答案为：. 24. 朱载堉（1536-1611）是中国明代一位杰出的律学家、数学家和历法学家，他的著作《律学新说》中制作了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音（八度）分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”，即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一个音是最初那个音的频率的2倍.设第三个音的频率为，第七个音的频率为，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知每个音的频率看作等比数列，由等比数列的性质即可得解. 【详解】由题意知，可以将每个音的频率看作等比数列中的项，一共13项，且. 因为最后一个音是最初那个音的频率的2倍， 所以，即，可得， 所以，所以. 故答案为：. 25. 已知函数，如图，是直线与曲线的两个交点，若，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】利用直线与正弦曲线交点的水平距离，先求出，再代入，即可解得. 【详解】设，，由可得， 由可知，或，， 结合正弦函数的图象可知，， 即，所以， 所以，所以. 故答案为： 三、解答题：本大题共5个小题，共40分. 26. 已知函数是定义在上的奇函数，且. （1）求函数的解析式； （2）判断函数在上的单调性，并用定义证明； （3）解关于的不等式：. 【答案】（1） （2）函数在上是增函数，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据奇函数的定义，可得，再由具体函数值求出即可； （2）根据单调性的定义可得结果； （3）利用奇函数的定义，将不等式转化为，再根据单调性及定义域列不等式组可求解. 【小问1详解】 因为函数是定义在上的奇函数，则， 即， 解得，则， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 函数在上是增函数. 证明如下： 任取且，则 ， 因为，则，， 即，故，即， 所以函数在上是增函数. 【小问3详解】 因为函数是上的奇函数且为增函数， 由得， 由已知可得，解得，即， 所以不等式的解集为. 27. 有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点.记最大的正方体为第1层，依次向上为第2层、第3层…记该塔形几何体第层正方体的棱长为，且.求： （1）第4层正方体的棱长； （2）10层该塔形几何体的表面积（不包括最底层正方体的下底面）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由几何关系推导棱长数列的递推关系，从而得到第4层正方体的棱长； （2）利用等比数列求和公式计算10层的总表面积. 【小问1详解】 ，， ， . 所以第4层正方体的棱长为. 【小问2详解】 由题意知：每层正方体的棱长构成一个等比数列， 其中，公比， 所以，所以10层该塔形几何体的表面积 . 28. 已知函数. （1）若，求的值； （2）在中，角，，的对边分别为，，，且满足，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角函数的倍角公式及辅助角公式对函数进行化简，再结合已知条件与诱导公式求解； （2）利用余弦定理求出，进而得的范围，然后利用三角函数的性质求解. 【小问1详解】 由题意得，. 因为，所以，所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以，所以， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，即，所以， 即 所以的取值范围为. 29. 如图所示，在三棱锥中，平面平面，且D，E，F分别是SC，AC，BC的中点，的边长都是2，． （1）求证：平面平面； （2）求直线SC与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理依次证得平面，平面，再利用面面平行的判定定理即可得证； （2）取AB的中点G，连接SG，CG，由平面平面，可得平面，则有是直线SC与平面所成的角，在中可求解. 【小问1详解】 如图所示，在中，因为D，F分别是SC，BC的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面， 同理平面， 因为平面， 所以平面平面. 【小问2详解】 如图所示，取AB的中点G，连接SG，CG. 因为的边长都是2，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因此CG是SC在平面内的射影，则是直线SC与平面所成的角. 因为平面，所以， 在中，因为，所以， 在中，因为，所以， 所以直线SC与平面所成角的正弦值是. 30. 已知抛物线的焦点为，为抛物线上一点，且. （1）求抛物线方程； （2）若点在椭圆上，且直线与椭圆相切，求椭圆的标准方程. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合焦半径公式即可得解. （）根据题意求出点坐标，进而求出直线的方程，根据相切的性质联立方程组得到，再将点代入椭圆方程中求出即可得解. 【小问1详解】 由抛物线定义知，则， 所以抛物线方程为. 【小问2详解】 由（1）知抛物线方程为， 因为点在抛物线上，所以，因为，所以，所以， 所以直线的方程为，即， 把直线方程和椭圆方程联立可得， 所以，整理得①， 又因为点在椭圆上， 所以， 由①可知，，则， 解得，则， 所以椭圆的标准方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $