压轴08 计数、概率与分布列10大核心题型（压轴题专练）（北京专用）2026年高考数学终极冲刺讲练测

压轴08 计数、概率与分布列10大核心题型 近三年北京高考数学试卷中，概率分布列、二项式定理、排列组合这三个模块的试题难易与试题分值稳定，在高考中整体属于高频考点，是必须掌握的基础内容以及重点内容，其中二项式定理以小题形式必考，概率分布列以解答题形式必考，排列组合则不单独出大题，而是融入概率计算的过程中，成为求解概率的核心工具。 从考查位置来看，二项式定理通常出现在选择题或填空题的靠前位置，难度较低，属于基础送分题，只要掌握核心公式就能轻松得分；概率解答题这几年则固定在第18题，属于中档难度题目，核心考查离散型随机变量的分布列、数学期望，偶尔会涉及条件概率、独立重复事件等知识点，是考生稳拿分的关键题型。注意避免概率计算错误、分布列漏项、期望公式混淆等常见易错点。同时，北京卷的概率题目偏好生活情境，比如农产品价格波动、保险索赔、答题正确率等，考生在复习过程中可以多关注这类情境的题目，熟悉情境背后的概率模型，提升应用能力。整体而言，近三年北京高考数学对这三个模块的考查呈现出“稳、基础、重应用”的特点，只要考生掌握核心公式、规范解题步骤、熟悉常见情境，就能高效拿满该模块的18至20分，为高考数学取得高分奠定基础。 压轴题精讲 题型01 二项式定理 技法指导 三项展开式的通项公式： 1．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】写出二项展开式，令，解出然后回代入二项展开式系数即可得解. 【详解】的二项展开式为， 令，解得，故所求即为.故选：A. 2．（25-26高三上北京·月考）在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（    ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】10个因式的乘积中，有8个选，有1个选，有1个选，可得的系数，9个因式的乘积中，有8个选，有1个选，可得的系数为，求解即可． 【详解】的展开式表示10个因式的乘积， 故在这10个因式中，有8个选，有1个选，有1个选， 即可得到含的项，故的系数为，即； 在的展开式表示9个因式的乘积， 故在这9个因式中，有8个选，有1个选，即可得到含的项， 故的系数为，即，所以.故选：B． 3．（24-25北京·模拟预测）已知的展开式中各项系数和为4，则的系数为（    ） A．16 B．8 C．0 D． 【答案】D 【分析】根据系数和为4，令x=1代回原式，可求得n值，利用二项式展开式的通项公式，分析计算，即可得答案. 【详解】因为各项系数和为4， 所以令x=1，代入可得，解得， 所以原式为， 又展开式的通项公式为， 令k=3，则，所以可得一个的系数为， 令k=0，则， 又展开式的通项公式为， 令，，所以可得一个的系数为， 令，，所以可得一个的系数为， 令k=1，，所以可得一个的系数为， 综上：的系数为. 故选：D 【点睛】解题的关键是分析题意，要求的系数，则展开式中，需要出现、和的项，求得这些项的系数，再与相乘，可求得的系数，考查分析理解，计算求值的能力，属难题. 题型02 二项式系数与赋值 技法指导 赋值法原理： 4．（2025·北京·高考真题）已知，则________；________． 【答案】 【分析】利用赋值法可求，利用换元法结合赋值法可求的值. 【详解】令，则，又， 故，令，则， 令，则，故 故答案为：. 5．（25-26高三上·北京东城·月考）若，则展开式中的系数为__________；__________. 【答案】 60 1 【分析】利用二项式定理求出通项，进而得到系数求解第一空，利用赋值法求解第二空即可. 【详解】因为的展开式的通项，令，则的系数为60； 令可得：. 故答案为： 6．（24-25高三北京·专题练习）设，为常数，，若对任意，都有，则__________；__________． 【答案】 【分析】根据条件，应用累加法及二项式定理求得，代入即可求，再由，即可求. 【详解】由题意，， 两边同乘以，得，， 所以有，， ，，， 将它们累加得，， 已知，所以，则，； 由，， 所以 ， 所以若，为常数，则. 故答案为：；. 【点睛】关键点点睛：将变成差的形式，应用累加及二项式定理求出为解题关键. 题型03 概率：古典概型 技法指导 求较复杂事件的概率的方法 1．列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示． 2．理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式． 3．根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算． 4．当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率． 7．（2024·北京西城·二模）一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】考虑前7个人，分别每相邻的3人取成一组与每相邻的5人取成一组，从而推出矛盾，再考虑人数为6的情况，由此得解. 【详解】如果人数大于6，考虑前7个人：， 每相邻的3人取成一组，则有5组， 因为任意相邻的3人中都至少有2名男生，所以这5个组里至少有10名男生， 即这15人中至少有10名男生； 每相邻的5人取成一组，则有3组， 因为任意相邻的5人中都至多有3名男生，所以这3个组里至多有9名男生， 即这15人中至多有9名男生； 显然矛盾，故人数不可能大于6， 当人数为6时，用表示男生，表示女生，则可以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是找到矛盾的分界人数，利用条件推出矛盾，从而得解. 8．（高三·北京·强基计划）设袋中装有编号从0到9的10个球，随机从中抽取5个球，然后排成一行，构成的数（0在首位时看成4位数）能被396整除的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设所求数的形式为，根据同余可判断出，再通过列举法可求满足条件的数的个数，从而可求概率. 【详解】所有可能的取法有种，因此问题即能被396整除的个数． 各选项中对应的个数为：． 由于，因此能被396整除的数的各位数字之和， 于是或，且有， 因此． 情形一  ．有 e 2 6 0 4 6 0 4 8 2 6 0 8 2 0 4 8 2 6 4 共64个． 情形  二．有 e 4 6 4 8 2 6 2 6 4 8 2 6 4 共32个． 综上所述，所求概率为． 故选：C. 9．（23-24·北京·模拟预测）某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出基本事件总数，再求出甲、乙都被选中且列队服务时不相邻包含的基本事件个数，由此能求出甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率. 【详解】从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择名参加志愿者服务工作 根据工作特点要求甲、乙两人中至少有人参加，且列队服务 基本事件总数 甲、乙都被选中且列队服务时不相邻包含的基本事件个数， 甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率 本题正确选项： 【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用. 题型04 正态分布型 技法指导 若是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为 ， （其中是参数，且，）。 其图像如图13-7所示，有以下性质： ①曲线在轴上方，并且关于直线对称； ②曲线在处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状； ③曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“高瘦”； ④图像与轴之间的面积为1. （2）= ，= ，记作 . 当时， 服从标准正态分布，记作 . ，则在， ，上取值的概率分别为68.3%，95.4%，99.7%，这叫做正态分布的原则。 10．（23-24高三·北京·专题练习）若随机变量服从正态分布，记为，则关于的密度函数及其图象，下列说法中错误的是（    ） A．当时，正态曲线关于轴对称 B．正态曲线一定是单峰的 C．曲线的峰值为 D．当无限增大时，曲线无限接近轴 【答案】C 【分析】根据正态分布曲线的性质逐个判断即可 【详解】对A，当时，正态曲线关于，即轴对称，故A正确； 对B，根据正态曲线函数的性质可得正态曲线一定是单峰的，故B正确； 对C，曲线在处取得峰值为，故C错误； 对D，当无限增大时，曲线无限接近轴，故D正确； 故选：C 11．（23-24高三·北京·专题练习）某年级共200人参加进行物理测试，满分100分，（参考数据：，，）学生的抽测结果服从正态分布，其中60分为及格线，80分为良好线，90分为优秀线，则抽测结果在及格线以上学生人数大约为（    ） A．137 B．168 C．191 D．195 【答案】B 【分析】根据正态分布的概率分布即可求解. 【详解】因为服从正态分布， 所以， 所以抽测结果在及格线以上学生人数所占比例为 ， 所以人数为.故选：B. 12．（25-26高三上·北京·月考）设随机变量～，若，则_______．（用含有的式子表示） 【答案】 【分析】根据正态分布的对称性计算． 【详解】，，. 故答案为：. 题型05 二项分布型 技法指导 若在一次实验中事件发生的概率为，则在次独立重复实验中恰好发生次概率 ，称服从参数为的二项分布，记作 ，=，. 13．（23-24高三·专题练习）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由二项分布的期望和方差公式，解出，由二项分布的概率公式求. 【详解】随机变量，则有， 由，解得， 所以. 故选：. 14．（2025高三·北京·专题练习）我们知道，在次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件发生的概率为，则事件发生的次数服从二项分布，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件首次发生时试验进行的次数，显然，，我们称服从“几何分布”，经计算得．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为，则，，…，那么（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意先表示，利用错位相减法求，最后利用极限即可求解. 【详解】已知，，，， ，，则， 那么，设， ， ， 时，．．故选：B． 15．（2025·北京·模拟预测）已知离散型随机变量X服从二项分布，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据期望和方差的线性运算得到，再利用基本不等式的运用可求的最小值. 【详解】，， ，，又，解得，即，，当且仅当，又，即当时取等， 故选：B. 题型06 期望与方差 技法指导 期望与方差 （1）表示的期望：，反应随机变量的平均水平，若随机变量满足，则. （2）表示的方差：，反映随机变量取值的波动性。越小表明随机变量越稳定，反之越不稳定。若随机变量满足，则。 16．（2025高三·北京·专题练习）某果园种植了一批苹果树，分为、两个品种，为调查苹果产量（单位：kg），采用分层随机抽样原则抽取了20个样本．现由于某种原因，这些原始样本数据不可查得，已知样本中品种12棵，平均产量为30，方差为14；品种8棵，平均产量为35，方差为10，则利用已知数据可估计出这20颗苹果树产量的总体方差为______． 【答案】18.4 【分析】根据平均数和方差的定义和性质，由两组数据的均值和方差，计算总的均值和方差即可. 【详解】设品种12棵产量为，品种8棵产量为， 则品种平均产量为30得，解得； 同理，则两组合并总均值； 由品种方差为14得，解得； 同理， 则两组合并总方差为； 故答案为：. 17．（24-25高三北京模拟预测）在大数据时代，由于整合不同来源的数据需要以及在数据量庞大的情况下为减少计算量，实际上在计算机中计算方差是使用递推方法进行计算的.先计算前面k个数据的平均数和方差， 再计算前面k+1个数据的平均数和方，计算可利用递推式：，则______. 【答案】 【分析】由方差公式得，由前个数据的平均数为：，得，进行代入替换求解． 【详解】前个数据的方差为：，前个数据的平均数为：， 得，则， 因为， 所以 结合题意得，， 故．故答案为： 【点睛】关键点点睛：由前个数据的平均数为：，得，进行数据转换是关键． 18．（2023·北京延庆·二模）已知的平均数为5，方差为1，则，，，，的平均数和方差分别为（    ） A．11，3 B．11，4 C．10，1 D．10，4 【答案】B 【分析】根据平均数和方差的性质运算求解. 【详解】因的平均数为5，方差为1， 则数据，，，，的平均数为，方差是. 故答案为：B 题型07 马尔科夫链应用 技法指导 一维随机游走模型： 设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻时，位于点，下一个时刻，它将以概率或者（）向左或者向右平移一个单位.若记状态表示：在时刻该点位于位置，那么由全概率公式可得： 另一方面，由于，代入上式可得： . 进一步，我们假设在与处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程. 进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为，原地不动，其概率为，向右平移一个单位，其概率为，那么根据全概率公式可得： 19．（2025高三·北京·专题练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，是状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则下列结论正确的是______. ①    ② ③数列是等比数列    ④的数学期望 【答案】①③④ 【分析】利用已知条件求出，，即可判断①，②；利用推出，可判断③；利用结合数学期望的公式可判断④． 【详解】由题意，，故①正确； ，，故②错误； 当时， ， 整理得，又， 则数列是以为首项，以为公比的等比数列，故③正确； 由， ， ， 因为， 所以， 则， 故④正确， 故答案为：①③④． 20．（22-23高二下·北京·月考）公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B．Pascal）提请了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）示讨论了这个问题，后来惠更斯（C．Huygens）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答.该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢局，谁便赢得全部赌注a元.每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立.在甲赢了局，乙赢了局时，赌博意外终止.赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢k局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注. （1）甲、乙赌博意外终止，若，，，，，则甲应分得的赌注是______元； （2）记事件A为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当，，时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率，当时，事件A发生的概率的最大值为______. 【答案】 216 0.0272/ 【分析】(1)设赌博再进行X局甲赢得全部赌注，甲必赢最后一局，最多再进行4局，甲、乙必有人赢得全部赌注，由此利用概率计算公式即可得解； (2)设赌博再进行Y局乙赢得全部赌注，同(1)的方法求出乙赢得全部赌注的概率，由对立事件可得，再利用导数求出的最小值作答. 【详解】（1）设赌博再继续进行局甲赢得全部赌注，则最后一局必然甲赢，由题意知，最多再进行4局，甲、乙必然有人赢得全部赌注， 当时，甲以赢，所以， 当时，甲以赢，所以， 当时，甲以赢，所以， 于是得甲赢得全部赌注的概率为， 所以，甲应分得的赌注为元. （2）设赌博继续进行Y局乙赢得全部赌注，则最后一局必然乙赢， 当时，乙以赢，， 当时，乙以赢，， 从而得乙赢得全部赌注的概率为， 于是甲赢得全部赌注的概率， 对求导得， 因，即，从而有在上单调递增， 于是得，乙赢的概率最大值为， 所以事件事件A发生的概率的最大值为0.0272. 故答案为：216；0.0272. 21．（24-25高三北京专题练习）投掷均匀的骰子，每次投得的点数为1或2时得1分，投得的点数为3，4，5，6时得2分，独立重复投掷一枚骰子若干次，将每次得分加起来的结果作为最终得分，则下列说法正确的是（    ） A．投掷2次骰子，最终得分的期望为 B．设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则 C．设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则 D．设最终得分为分的概率为，则 【答案】D 【分析】由离散型随机变量的分布列求解数学期望即可判断选项A；投掷次，得分为分，则只有一次投掷得2分，求出，然后利用错位相减法求和即可判断选项B；计算出，即可判断选项C；最终得分，前一次要么是分，要么是分，所以，即可判断选项D. 【详解】对于A，投掷2次可能的取值为2，3，4，，， ，，故A错误； 对于B，投掷次，得分为分，则只有一次投掷得2分，， 所以，设，则， 所以，所以， 则，故B错误； 对于C，， ，故C错误； 对于D，投掷骰子一次要么得1分，要么得2分， ∴最终得分，前一次要么是分，要么是分， 故，故D正确； 故选：D. 题型08 综合大题：期望方差最值型 技法指导 总体方差和标准差 （1）总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为，总体的平均数为，则称_为总体方差，_为总体标准差． （2）总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有个，不妨记为，其中出现的频数为，则总体方差为_． 22．（2026·北京昌平·一模）教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． (1)从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； (2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 【答案】(1) (2)的分布列为 数学期望 (3) 【分析】（1）根据频率估计概率，再由独立事件的乘法公式即可求解； （2）先算出男生和女生中各随机抽取一人“运动达标”的概率，确定随机变量的可能取值并计算概率，进而得出分布列及数学期望； （3）先确定服从的二项分布，由二项分布的性质确定概率最大时的值. 【详解】（1）由题意，可估计从该校的男生中任选一人，“运动不达标”的概率为， 设“从该校的男生中任选两人，这两人均为运动不达标”为事件， 则； （2）由表可知，从男生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 从女生中抽取一人“运动达标” 的概率为， 随机变量的可能取值为， ， ， ， 所以的分布列为 数学期望. （3）由题意知从该校随机抽取一名学生，“运动达标”的概率为， 服从二项分布， 则要使得使概率取得最大值需且， 则且， 解得， 为整数，所以， 使概率取得最大值时的值为. 23．（2026·北京房山·一模）消费者信心指数是反映消费者信心强弱的指标．某市为了解消费者对于当前经济生活的评价以及对未来一段时期经济前景的预期,在全市范围内抽取名城乡居民进行调查,并运用数学方法对调查数据进行量化处理,编制成消费者信心指数．该市年各季度消费者信心指数数据如下： 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 2023年消费者信心指数 115.1 114.6 109.0 108.4 2024年消费者信心指数 108.4 105.9 95.5 94.7 2025年消费者信心指数 99.1 95.3 95.8 103.3 消费者信心指数越大，表明消费者信心越强．信心指数时，消费者信心处于弱信心区间，信心指数时，消费者信心处于强信心区间．假设每个季度消费者信心指数相互独立．用频率估计概率． (1)从上述个季度中随机抽取个季度，估计该季度消费者信心处于强信心区间的概率； (2)从2024年和2025年各随机抽取1个季度，记这2个季度中消费者信心处于强信心区间的个数为，求的分布列和数学期望； (3)2025年3月国家发布《提振消费专项行动方案》．记2025年第季度消费者信心指数较上一季度的增长率为．据估计：2026年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约等于中的最大值，写出2026年第一季度消费者信心指数的估计值．（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)的分布列为： 0 1 2 (3)111.4 【详解】（1）由表可知，上述12个季度中消费者信心处于强信心区间()的数据有： 2023年的115.1，114.6，109.0，108.4；2024年的108.4，105.9；2025年的103.3；共7个. 上述12个季度中随机抽取1个季度，该季度消费者信心处于强信心区间的概率为. （2）由表可知，2024年4个季度中有2个处于强信心区间，2个处于弱信心区间；2025年有1个处于强信心区间，3个处于弱信心区间. 设从2024年抽取的季度处于强信心区间为事件，则；从2025年抽取的季度处于强信心区间为事件，则； 则的可能取值为0，1，2. ， 的分布列为： 0 1 2 数学期望 （3）2025年各季度的增长率分别为： ，， ，. ，即 2026年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约为0.0783； 2026年第一季度消费者信心指数的估计值为：. 24．（25-26高三上·北京·月考）某大学学院共有学生千余人，该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，按性别分层抽样，已知A学院男生与女生人数之比为，从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在月份的累计跑步里程进行统计，得到下表. 跑步里程 男生 女生 用样本频率估计总体概率. (1)求的值，并估计从学院所有学生中抽取一人，该学生月份累计跑步里程在中的概率； (2)从学院男生样本中随机抽取人，从学院女生样本中随机抽取人，将这人中在月份的累计跑步里程不低于的人数记为，求的分布列和数学期望； (3)该大学学院男生与女生人数之比为，学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，也按性别进行分层抽样，已知学院和学院的样本数据整理如下表. 月份累计跑步里程平均值（单位：） 学院性别 A B 男生 50 59 女生 40 45 设学院样本中学生月份累计跑步里程平均值为，学院样本中学生月份累计跑步里程平均值为，是否存在，使得？如果存在，求的最大值；如果不存在，说明理由. 【答案】(1)， (2)分布列见解析， (3)存在，最大值为 【分析】（1）先根据男女比即可求出a，再根据古典概型即可求出所求概率； （2）由题意的可能取值为，求得各自对应的概率得到分布列，再计算期望即可； （3）设学院女生人数为，则男生人数为，求，即可得到不等式，解得即可. 【详解】（1）依题意，解得， 所以在中的概率为； （2）学院所抽取的学生中男生有人， 其中月份的累计跑步里程低于有人，不低于有人， 学院所抽取的学生中女生有人， 其中月份的累计跑步里程低于有人，不低于有人， 由题意的可能取值为， ，， ，， 则的分布列为： ； （3）设学院女生有人，则男生有人， 则，， 依题意，即， 显然，解得，所以的最大值为 题型09 综合大题：两种方案比大小型 技法指导 综合大题两种方案的考察，通常分为三个小问，第一问考查基础概率计算，第二问考查分布列与期望，第三问为开放型结论题，侧重考查考生的规范步骤和数据分析能力。 25．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】（1）用频率估计概率即可求解； （2）利用独立事件乘法公式以及互斥事件的加法公式可求恰有1人做对的概率及的分布列，从而可求其期望； （3）根据题设可得关于的方程，求出其解后可得它们的大小关系. 【详解】（1）估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率. （2）设为“从甲校抽取1人做对”，则，， 设为“从乙校抽取1人做对”，则，， 设为“恰有1人做对”，故 依题可知，可取，，，， 故的分布列如下表： 故. （3）设为 “甲校掌握这个知识点的学生做该题”， 因为甲校掌握这个知识点则有的概率做对该题目， 未掌握该知识点的同学都是从四个选项里面随机选择一个， 故，即，故， 同理有，，故，故. 26．（2026·北京海淀·一模）为了调查“AI赋能教学活动”的实施效果是否达到预期，对甲、乙两个学区的教师进行简单随机抽样，获得评价数据如下表： 学区 甲 乙 性别 男 女 男 女 达到预期 260人 200人 240人 190人 未达到预期 190人 150人 60人 110人 假设所有教师的评价相互独立.用频率估计概率. (1)估计甲学区教师的评价为“达到预期”的概率； (2)若教师的评价为“达到预期”，则赋分为5；若教师的评价为“未达到预期”，则赋分为0. （i）从这两个学区的所有男教师中随机抽取2人，所有女教师中随机抽取1人，记随机变量X为这3人的赋分之和，估计X的数学期望； （ii）记甲学区样本赋分的方差为，乙学区样本赋分的方差为，两学区所有样本赋分的方差为.比较，，的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1)(2)（i）；（ii） 【分析】（1）根据题设表格中的数据，结合古典概型的概率计算公式，即可求解； 设甲学区的教师评价为“达到预期”为事件， （2）（i）由表格中的数据得，分别求得男、女教师达到预期的概率为和，得到变量的取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解； （ii）分别求得甲、乙学区赋分为5的概率为和，以及所有样本赋分为5的概率为，结合二点分布的方差公式，求得的值，即可求解. 【详解】（1）解：设甲学区的教师评价为“达到预期”为事件， 由表格中的数据，甲学区教师的总人数为人， 其中评价为“达到预期”的人数为人， 所以，即估计甲学区教师评价为“达到预期”的概率为. （2）解：（i）由表格中的数据得，男教师达到预期的概率为， 女教师达到预期的概率为， 根据题意，随机变量的可能取值为， 可得，， ，， 所以随机变量的分布列为： 0 5 10 15 所以期望为. （ii）甲学区赋分为5的概率为，乙学区赋分为5的概率为， 两个学区所有样本赋分为5的概率为，赋分数据为0或5时，其样本方差为， 由， ，， 因为，可得， 又由，所以. 27．（2026·北京朝阳·一模）某研究团队发现人工智能助手的问题解决“满意度评分”（满分100分）与其使用场景密切相关.该团队将用户分为学习场景用户和工作场景用户两类，为了调研用户对人工智能助手的满意度评分情况，现从这两类用户中各随机抽取100人，记录他们的满意度评分，将数据分成6组：，，，，，，并分别整理得到如下两个频率分布直方图： 现规定满意度评分在80分及以上的满意度评级为，在区间的满意度评级为，在60分以下的满意度评级为.用频率估计概率，假设每个用户的评分相互独立. (1)求的值； (2)从使用人工智能助手的所有学习场景用户中随机抽取2人，从使用人工智能助手的所有工作场景用户中随机抽取1人，设为抽出的3人中满意度评级为A的人数，估计的分布列和数学期望； (3)该研究团队又对另外两款人工智能助手，进行了同样的调研，估计出其学习场景用户的满意度评级为A的概率分别为0.3，0.35.现分别从使用，，这三款人工智能助手的学习场景用户中各随机抽取1人，用“”表示其中使用（）的学习场景用户的满意度评级为，用“”表示其中使用（）的学习场景用户的满意度评级为或.设，，判断，的大小.（结论不要求证明） 【答案】(1)；(2) 0 1 2 3 0.45 0.4125 0.125 0.0125 ；(3). 【分析】（1）利用频率分布直方图所有小矩形面积和为1求解. （2）分别求出学习、工作场景用户评级为的概率，再求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出期望. （3）求出分别取的概率，再利用分布的方差公式求出方差，进而比较大小. 【详解】（1）依题意，，所以. （2）依题意，学习场景用户评级为的概率为， 工作场景用户评级为的概率为， 的所有可能值为， ，， ，， 所以的分布列为： 0 1 2 3 0.45 0.4125 0.125 0.0125 数学期望. （3）由（2）及已知，得，， ，显然服从分布， 因此， ，所以. 题型10 综合大题：条件概率与全概型 技法指导 （2） 全概率公式： 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）＝_，我们称这个公式为全概率公式. 贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意事件， ，有_＝，． 28．（2024·北京海淀·三模）某社区计划组织一次公益讲座向居民普及垃圾分类知识，为掌握居民对垃圾分类知识的了解情况并评估讲座的效果，主办方从全体居民中随机抽取10位参加试讲讲座活动，让他们在试讲讲座前后分别回答一份垃圾分类知识问卷．试讲讲座前后，这10位居民答卷的正确率如下表： 编号正确率 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 试讲讲座前 65% 60% 0% 100% 65% 75% 90% 85% 80% 60% 试讲讲座后 90% 85% 80% 95% 85% 85% 95% 100% 85% 90% 根据居民答卷的正确率可以将他们垃圾分类的知识水平分为以下三个层级： 答卷正确率p 垃圾分类知识水平 一般 良好 优秀 假设每位居民回答问卷的结果之间互相独立，用频率估计概率． (1)正式讲座前．从该社区的全体居民中随机抽取1人，试估计该居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的概率； (2)正式讲座前，从该社区的全体居民中随机抽取3人，这3人垃圾分类知识水平分别是“一般”、“良好”、“良好”．设随机变量X为“这3人讲座后垃圾分类知识水平达到‘优秀’的人数”，试估计X的分布列和数学期望； (3)在未参加讲座的全部居民中再随机抽取若干人参加下一轮的公益讲座并让他们在讲座前后分别填写问卷．从讲座后的答卷中随机抽取一份，如果完成该答卷的居民的知识水平为“良好”，他在讲座前属于哪一知识水平的概率最大？（结论不要求证明） 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)他在讲座前属于“一般”知识水平的概率最大. 【分析】（1）先根据给出的数据，求出居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的频率，可估计相关的概率. （2）先明确正式讲座前，垃圾分类水平为“一般”和 “良好”的人在试讲讲座后达到“优秀”的概率，再求对应的概率，可得的分布列，并求其期望. （3）利用条件概率求解判断. 【详解】（1）正式讲座前，10位选取的居民中，垃圾分类知识水平为“一般”的人数为5人，所以垃圾分类知识水平位“一般”的频率为：， 所以估计居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的频率为：. （2）由表中提供的数据可得：正式讲座前，垃圾分类知识水平为“一般”的人在讲座后，达到“优秀”的概率估计为：； 正式讲座前，垃圾分类知识水平为“良好”的人在讲座后，达到“优秀”的概率估计为：. 由题意，的值可以为：0,1,2,3且：， . 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. （3）从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“一般”记为事件，则，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为； 从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“良好”记为事件，则，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为； 从未参加讲座的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“优秀”记为事件，则，讲座后，知识水平为“良好”的概率估计为； 从参加讲座后的居民中抽取1人，垃圾分类水平为“良好”记为事件，则. 因为，，. 所以他在讲座前属于“一般”知识水平的概率最大. 29．（2023·北京大兴·三模）某人下午5:00下班，他记录了自己连续20天乘坐地铁和连续20天乘坐公交到家的时间，如下表所示： 到家时间 5:35~5:39 5:40~5:44 5:45~5:49 5:50~5:54 迟于5:54 乘地铁（天） 2 5 9 3 1 乘公交（天） 1 2 4 6 7 以频率估计概率，每天乘坐地铁还是公交相互独立，到家时间也相互独立. (1)某天下班，他乘坐公交回家，试估计他不迟于5:49到家的概率； (2)他连续三天乘坐地铁回家，记这三天中他早于5:50回家的天数为，求的分布列及数学期望； (3)某天他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘公交，结果他是5:48到家的，试求他是乘地铁回家的概率.（直接写出答案） 【答案】(1)(2)分布列见解析，期望(3) 【分析】（1）由表中数据，求得不迟于5:49到家的天数，结合古典摡型的概率计算公式，即可求解； （2）根据题意，求得早于5：50回家的概率为，得到可取值，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解； （3）设事件：乘地铁回家，则：乘汽车回家，：到家时间在5：45·5：49之间，求得，结合条件概率的计算公式，即可求解. 又由他是抛硬币决定乘地铁还是乘汽车，所以， 【详解】（1）由表中数据可知，他乘坐公共汽车回家的20天内，不迟于5:49到家的天数有， 所以估计他乘坐公共汽车回家，不迟于5:49到家的概率为 （2）根据题意，他乘坐地铁回家，每天早于5：50回家的概率为 则随机变量可取值为0，1，2，3， 可得；； ；， 则随机变量的分布列如下： X 0 1 2 3 P 所以. （3）设事件：乘地铁回家，则：乘汽车回家，：到家时间在5：45·5：49之间， 则, 又由他是抛硬币决定乘地铁还是乘汽车，所以， 所以， 即他是乘地铁回家的概率为. 30．（2025·北京大兴·三模）为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数学试题从1到100编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 函数试题 30 24 20 18 几何试题 20 16 30 20 (1)估计软件能正确解答数学问题的概率； (2)小明决定采用这两款软件解答3道类似试题（假设其难度和测试的100道题基本相同），其中函数2道，几何1道；使用软件解答2道函数试题，使用软件解答1道几何试题；每道试题只用其中一款软件解答一次．假设用频率估计概率，且每次解答相互独立．用表示3道类似试题被正确解答的个数，求的分布列与数学期望； (3)小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是函数题的概率为，几何题的概率为．假设用频率估计概率，试说明小明用哪款软件正确解答这道试题的概率大？（结论不要求证明） 【答案】(1)(2)分布列见解析；期望为(3)答案见解析 【分析】（1）由古典概型概率计算公式即可求解； （2）法一：确定的每一个取值，求得对应概率即可求解；法二：用、分别表示这2道函数试题与1道几何试题被正确解答的个数，得到，，再由即可求解； （3）记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件， 由全概率计算公式求得比较大小即可. 【详解】（1）记软件能正确解答数学问题为事件， 结合题中数据以及古典概型的概率公式可得． （2）解法一：使用软件解答函数试题正确的概率为， 使用软件解答几何试题正确的概率为； 的可能取值为0、1、2、3，， ， ， ， 则其分布列为： 0 1 2 3 其期望为：； 解法二：函数试题用软件解答，几何试题用软件解答． 用、分别表示这2道函数试题与1道几何试题被正确解答的个数， 因为，， 0 1 2 0 1 的可能取值为0、1、2、3， ，， ，， 则其分布列为： 0 1 2 3 由二项分布的期望公式可得， 因为，相互独立，则 ． （3）小明应该使用软件来解决这道试题． 记“软件能正确解答这道题”为事件，“软件能正确解答这道题”为事件， “该题为几何题”为事件． 则，，， ，，， 由全概率公式可得 ． ． 因为，所以软件能够正确解决这道试题的概率更大， 故小明应该使用软件来解决这道试题． 压轴题强化训练 一、单选题 1．（2026·北京海淀·一模）已知，则（   ） A． B．10 C． D．80 【答案】D 【分析】先求得二项展开式的通项，根据题意，得到，即可求解. 【详解】由二项式展开式的通项为， 当时，可得， 因为， 所以，解得. 2．（25-26高三下·北京海淀·月考）已知，则（   ） A． B．1 C．32 D．243 【答案】C 【详解】由， 令，得，所以. 3．（2026·北京专题练习）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 【答案】A 【分析】依题意可确定，再结合通项公式即可求解. 【详解】因为二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大， 所以，所以的展开式的通项为， 令，得，故， 故展开式中的系数为. 4．（24-25高三北京模拟预测）某社区开展防疫值班工作，甲乙丙三人轮流参与，规则如下：①第1天安排甲值班；②第2天从乙丙两人中随机选1人值班；③第天，从前一天未值班的2人中随机选1人值班，则第天甲值班的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设事件：甲第天值班，，则，设，则，构造等比数列即可求解． 【详解】设事件：甲第天值班，，则， 设，则，，又， 是首项为，公比为的等比数列，， 故选：C． 5．（24-25高二下·北京大兴·期末）已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品．从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X为取出的次数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出事件的总数以及所对应的事件的个数，再利用古典概率公式求解即可. 【详解】任取三次灯泡所对应的事件总数为，而直到取出2个正品为止，要想取出的次数为次， 只需前面两次取出一正品一次品且第三次取出正品即可，对应的事件个数为， 所以. 故选：C 6．（24-25高三北京·专题练习）现有三枚质地均匀的骰子，分别为红色､绿色和蓝色.同时抛掷这三枚骰子，已知这三枚骰子朝上面的点数之和为15，设红色骰子掷出的点数为，绿色骰子掷出的点数为，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】列举出当时的所有结果，利用古典概率及条件概率公式求解判断BC；利用期望、方差的定义计算判断CD. 【详解】设蓝色骰子掷出的点数为，同时抛掷这三枚骰子，在的条件下，出现的 结果有：，共10个， 对于A，等价于，只有1个结果，， ，，A错误； 对于B，的结果有，， 的结果有，，B错误； 对于C，的可能取值为，， 因此，C正确； 对于D，，同理， ，D错误. 故选：C 二、填空题 7．（25-26高三·北京·一轮复习）若，则取得最大值时，_____． 【答案】5 【分析】由二项分布写出的表达式，结合组合数的性质求得正确答案. 【详解】因为，所以，， 由组合数的性质知，当时最大，此时取得最大值． 故答案为：5 8．（24-25高三·北京模拟预测）已知事件A与事件B相互独立，事件A的概率，事件B的概率，则________； ________． 【答案】 0.2/ 0.5/ 【分析】根据独立事件的公式即可计算，再根据条件概率的公式即可计算． 【详解】由事件A与事件B相互独立， 则， ． 故答案为：；． 9．（24-25高三·北京专题练习）现有甲、乙、丙三个人，需要执行某项试验任务，每个人至多执行一次．如果规定时间内某人完成任务，则试验成功，结束该任务；如果规定时间内某人不能完成任务，则撤回再由下一个人执行任务．若该项试验任务按照甲、乙、丙的顺序执行且甲、乙、丙三人在规定时间内完成任务的概率分别为，每个人能否完成任务相互独立，则试验成功的概率为_____． 【答案】 【分析】分析出试验成功有以下三种情况：①甲成功，②甲不成功乙成功，③甲乙都不成功丙成功，分别求出三种情况的概率，再求和即可得解. 【详解】试验成功有以下三种情况： ①甲成功，概率为； ②甲不成功乙成功，概率为； ③甲乙都不成功丙成功，概率为， 所以试验成功的概率.故答案为： 三、解答题 10．（2026·北京西城·一模）某市图书馆为了解馆内图书借阅情况，随机对馆内的部分读者进行了为期一年的跟踪调查，得到下表数据，其中部分数据意外缺失，分别用字母a，b，c，d（）表示． 读者类型 调查人数 年人均借阅量（册） 某类读者图书借阅量分类占比情况 文学类 科技类 教辅类 社科类 其他 在职人员 600 18.5 35% 25% 10% 20% 10% 大学生 800 24.3 30% 40% 13% a b 中学生 500 15.2 25% 20% 40% c d 假设每位读者的每次借阅情况互不影响．用频率估计概率． (1)在参与调查的读者中，比较这一年里“在职人员”借阅的文学类图书量与“中学生”借阅的教辅类图书量的大小，说明理由： (2)在该市图书馆的所有读者中随机选出2名大学生和1名中学生，已知这3人每人借阅了1册书，估计所借的3册书中至少有2册为科技类图书的概率； (3)为分析同一类读者的偏好，市图书馆将图书借阅量分类占比的平均差定义为该类读者的“偏好度”，其中为其图书借阅量分类占比值，为所有的均值，n为图书的类别个数．记“在职人员”、“大学生”和“中学生”的“偏好度”分别为，写出这三个“偏好度”的大小关系．（结论不要求证明） 【答案】(1)在职人员借阅的文学类图书量更大 (2) (3) 【分析】（1）先根据“总借阅量=调查人数×年人均借阅量×对应类别占比”的公式，分别列出在职人员文学类、中学生教辅类的借阅量计算式，再代入数据比较大小； （2）先根据大学生各类借阅占比和为，求出的值，得到大学生借阅科技类的概率；同理根据中学生各类借阅占比和为，求出的值，得到中学生借阅科技类的概率；然后将“3册书中至少有2册为科技类图书”分解为“2册科技类1册非科技类”和“3册都是科技类”两个子事件，利用独立事件概率公式和互斥事件概率加法公式计算总概率； （3）根据偏好度的定义，计算各类读者的“偏好度”，可得答案. 【详解】（1）在职人员借阅文学类图书总量： （册）， 中学生借阅教辅类图书总量： （册）， 因为，所以这一年里在职人员借阅的文学类图书量更大； （2）用频率估计概率：大学生借阅科技类的概率为，中学生借阅科技类的概率为， 三人借阅相互独立，“至少2册科技”包含三种情况： ① 2名大学生均借科技，中学生不借科技：， ② 仅1名大学生借科技，中学生借科技：， ③ 3人均借科技：， 总概率：. （3）在职人员的5个占比分别为：，即， ， ，故； 大学生的已知占比为：， 因此未知占比满足， 由题设得，因此，， 即都小于均值，因此，， ， ， 因此：； 中学生的已知占比为：， 因此未知占比满足， 同理，由得，， 因此，， ， ， 因此：. 综上： 11．（2026·北京门头沟·一模）某公司对其销售的A、B两种型号扫地机器人向消费者进行满意度调查，从购买这两种型号扫地机器人的消费者中各随机抽取12人进行评分调查（满分100分，该公司规定评分不低于80分为满意），评分结果如下： 数据Ⅰ（A型号）：75，81，85，74，83，77，86，85，92，70，86，90； 数据Ⅱ（B型号）：71，76，81，68，72，87，86，85，73，84，70，92． 假设所有消费者的评分结果相互独立，用频率估计概率． (1)从参与A型号扫地机器人评分调查的12名消费者中随机抽取2人，求至少1人满意的概率； (2)从购买A型号扫地机器人的所有消费者中随机抽取1人，购买B型号扫地机器人的所有消费者中随机抽取1人，设X为被抽到的2人中满意的人数，求X的分布列和数学期望； (3)假设购买A型号和B型号扫地机器人的消费者人数相同，公司从所有购买A、B两种型号扫地机器人的消费者中随机抽取1人，开展满意度跟进回访，若已知抽到的消费者对其购买的扫地机器人不满意，设其购买的是A型号的概率估计值为，其购买的是B型号的概率估计值为，试比较与的大小．（结论不要求证明） 【答案】(1)(2) 0 1 2 ， (3) 【分析】（1）根据组合数先计算抽取两人都不满意的概率，再利用对立事件求概率； （2）由题可知的可能取值为0，1，2，再分别求出对应概率，列出分布列并计算期望即可； （3）利用样本估计总体即可比较与的大小． 【详解】（1）在数据I（型号）中，评分不低于80分的有81，85，83，86，85，92，86，90，共8人； 评分低于80分的有75，74，77，70，共4人， 从12名消费者中随机抽取2人，两人都不满意的概率为， 因为“至少1人满意”与“两人都不满意”是对立事件， 所以至少1人满意的概率； （2）由（1）可知，购买型号扫地机器人的消费者满意的概率， 则不满意的概率为， 在数据II（型号）中，评分不低于80分的有81，87，86，85，84，92，共6人， 所以购买型号扫地机器人的消费者满意的概率，则不满意的概率为， 的可能取值为0，1，2， ， ， ， 的分布列为： 0 1 2 ； （3）由题可知抽取样本中，A型号不满意的有4人， B型号不满意的有6人， 则的估计值为，的估计值为， 故． 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴08 计数、概率与分布列10大核心题型 近三年北京高考数学试卷中，概率分布列、二项式定理、排列组合这三个模块的试题难易与试题分值稳定，在高考中整体属于高频考点，是必须掌握的基础内容以及重点内容，其中二项式定理以小题形式必考，概率分布列以解答题形式必考，排列组合则不单独出大题，而是融入概率计算的过程中，成为求解概率的核心工具。 从考查位置来看，二项式定理通常出现在选择题或填空题的靠前位置，难度较低，属于基础送分题，只要掌握核心公式就能轻松得分；概率解答题这几年则固定在第18题，属于中档难度题目，核心考查离散型随机变量的分布列、数学期望，偶尔会涉及条件概率、独立重复事件等知识点，是考生稳拿分的关键题型。注意避免概率计算错误、分布列漏项、期望公式混淆等常见易错点。同时，北京卷的概率题目偏好生活情境，比如农产品价格波动、保险索赔、答题正确率等，考生在复习过程中可以多关注这类情境的题目，熟悉情境背后的概率模型，提升应用能力。整体而言，近三年北京高考数学对这三个模块的考查呈现出“稳、基础、重应用”的特点，只要考生掌握核心公式、规范解题步骤、熟悉常见情境，就能高效拿满该模块的18至20分，为高考数学取得高分奠定基础。 压轴题精讲 题型01 二项式定理 技法指导 三项展开式的通项公式： 1．（2024·北京·高考真题）在的展开式中，的系数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上北京·月考）在的展开式中，的系数为；在的展开式中，的系数为.则（    ） A．10 B． C． D． 3．（24-25北京·模拟预测）已知的展开式中各项系数和为4，则的系数为（    ） A．16 B．8 C．0 D． 题型02 二项式系数与赋值 技法指导 赋值法原理： 4．（2025·北京·高考真题）已知，则________；________． 5．（25-26高三上·北京东城·月考）若，则展开式中的系数为__________；__________. 6．（24-25高三北京·专题练习）设，为常数，，若对任意，都有，则__________；__________． 题型03 概率：古典概型 技法指导 求较复杂事件的概率的方法 1．列出题中涉及的各个事件，并且用适当的符号表示． 2．理清事件之间的关系(两个事件是互斥还是对立，或者是相互独立的)，列出关系式． 3．根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算． 4．当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算其对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率． 7．（2024·北京西城·二模）一组学生站成一排.若任意相邻的3人中都至少有2名男生，且任意相邻的5人中都至多有3名男生，则这组学生人数的最大值是（    ） A． B． C． D． 8．（高三·北京·强基计划）设袋中装有编号从0到9的10个球，随机从中抽取5个球，然后排成一行，构成的数（0在首位时看成4位数）能被396整除的概率是（    ） A． B． C． D． e 2 6 0 4 6 0 4 8 2 6 0 8 2 0 4 8 2 6 4 e 4 6 4 8 2 6 2 6 4 8 2 6 4 9．（23-24·北京·模拟预测）某校校庆期间，大会秘书团计划从包括甲、乙两人在内的七名老师中随机选择4名参加志愿者服务工作，根据工作特点要求甲、乙两人中至少有1人参加，则甲、乙都被选中且列队服务时不相邻的概率为 A． B． C． D． 题型04 正态分布型 技法指导 若是正态随机变量，其概率密度曲线的函数表达式为 ， （其中是参数，且，）。 其图像如图13-7所示，有以下性质： ①曲线在轴上方，并且关于直线对称； ②曲线在处处于最高点，并且此处向左右两边延伸时，逐渐降低，呈现“中间高，两边低”的形状； ③曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，越小，曲线越“高瘦”； ④图像与轴之间的面积为1. （2）= ，= ，记作 . 当时， 服从标准正态分布，记作 . ，则在， ，上取值的概率分别为68.3%，95.4%，99.7%，这叫做正态分布的原则。 10．（23-24高三·北京·专题练习）若随机变量服从正态分布，记为，则关于的密度函数及其图象，下列说法中错误的是（    ） A．当时，正态曲线关于轴对称 B．正态曲线一定是单峰的 C．曲线的峰值为 D．当无限增大时，曲线无限接近轴 11．（23-24高三·北京·专题练习）某年级共200人参加进行物理测试，满分100分，（参考数据：，，）学生的抽测结果服从正态分布，其中60分为及格线，80分为良好线，90分为优秀线，则抽测结果在及格线以上学生人数大约为（    ） A．137 B．168 C．191 D．195 12．（25-26高三上·北京·月考）设随机变量～，若，则_______．（用含有的式子表示） 题型05 二项分布型 技法指导 若在一次实验中事件发生的概率为，则在次独立重复实验中恰好发生次概率 ，称服从参数为的二项分布，记作 ，=，. 13．（23-24高三·专题练习）已知随机变量，若，则（    ） A． B． C． D． 14．（2025高三·北京·专题练习）我们知道，在次独立重复试验（即伯努利试验）中，每次试验中事件发生的概率为，则事件发生的次数服从二项分布，事实上，在无限次伯努利试验中，另一个随机变量的实际应用也很广泛，即事件首次发生时试验进行的次数，显然，，我们称服从“几何分布”，经计算得．由此推广，在无限次伯努利试验中，试验进行到事件和都发生后停止，此时所进行的试验次数记为，则，，…，那么（    ） A． B． C． D． 15．（2025·北京·模拟预测）已知离散型随机变量X服从二项分布，且，，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 题型06 期望与方差 技法指导 期望与方差 （1）表示的期望：，反应随机变量的平均水平，若随机变量满足，则. （2）表示的方差：，反映随机变量取值的波动性。越小表明随机变量越稳定，反之越不稳定。若随机变量满足，则。 16．（2025高三·北京·专题练习）某果园种植了一批苹果树，分为、两个品种，为调查苹果产量（单位：kg），采用分层随机抽样原则抽取了20个样本．现由于某种原因，这些原始样本数据不可查得，已知样本中品种12棵，平均产量为30，方差为14；品种8棵，平均产量为35，方差为10，则利用已知数据可估计出这20颗苹果树产量的总体方差为______． 17．（24-25高三北京模拟预测）在大数据时代，由于整合不同来源的数据需要以及在数据量庞大的情况下为减少计算量，实际上在计算机中计算方差是使用递推方法进行计算的.先计算前面k个数据的平均数和方差， 再计算前面k+1个数据的平均数和方，计算可利用递推式：，则______. 18．（2023·北京延庆·二模）已知的平均数为5，方差为1，则，，，，的平均数和方差分别为（    ） A．11，3 B．11，4 C．10，1 D．10，4 题型07 马尔科夫链应用 技法指导 一维随机游走模型： 设数轴上一个点，它的位置只能位于整点处，在时刻时，位于点，下一个时刻，它将以概率或者（）向左或者向右平移一个单位.若记状态表示：在时刻该点位于位置，那么由全概率公式可得： 另一方面，由于，代入上式可得： . 进一步，我们假设在与处各有一个吸收壁，当点到达吸收壁时被吸收，不再游走.于是，.随机游走模型是一个典型的马尔科夫过程. 进一步，若点在某个位置后有三种情况：向左平移一个单位，其概率为，原地不动，其概率为，向右平移一个单位，其概率为，那么根据全概率公式可得： 19．（2025高三·北京·专题练习）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，是状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程．该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关．甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为，恰有1个黑球的概率为，则下列结论正确的是______. ①    ② ③数列是等比数列    ④的数学期望 20．（22-23高二下·北京·月考）公元1651年，法国一位著名的统计学家德梅赫（Demere）向另一位著名的数学家帕斯卡（B．Pascal）提请了一个问题，帕斯卡和费马（Fermat）示讨论了这个问题，后来惠更斯（C．Huygens）也加入了讨论，这三位当时全欧洲乃至全世界最优秀的科学家都给出了正确的解答.该问题如下：设两名赌徒约定谁先赢局，谁便赢得全部赌注a元.每局甲赢的概率为，乙赢的概率为，且每局赌博相互独立.在甲赢了局，乙赢了局时，赌博意外终止.赌注该怎么分才合理？这三位数学家给出的答案是：如果出现无人先赢k局则赌博意外终止的情况，甲、乙便按照赌博再继续进行下去各自赢得全部赌注的概率之比分配赌注. （1）甲、乙赌博意外终止，若，，，，，则甲应分得的赌注是______元； （2）记事件A为“赌博继续进行下去乙赢得全部赌注”，试求当，，时赌博继续进行下去甲赢得全部赌注的概率，当时，事件A发生的概率的最大值为______. 21．（24-25高三北京专题练习）投掷均匀的骰子，每次投得的点数为1或2时得1分，投得的点数为3，4，5，6时得2分，独立重复投掷一枚骰子若干次，将每次得分加起来的结果作为最终得分，则下列说法正确的是（    ） A．投掷2次骰子，最终得分的期望为 B．设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则 C．设投掷次骰子合计得分恰为分的概率为，则 D．设最终得分为分的概率为，则 题型08 综合大题：期望方差最值型 技法指导 总体方差和标准差 （1）总体方差和标准差：如果总体中所有个体的变量值分别为，总体的平均数为，则称_为总体方差，_为总体标准差． （2）总体方差的加权形式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有个，不妨记为，其中出现的频数为，则总体方差为_． 22．（2026·北京昌平·一模）教育部最新文件指出，要确保中小学生每天校内校外综合体育活动时间不少于2小时．为了提升学生体质，养成运动习惯，某中学对学生进行了周末两天运动时长的问卷调查，将运动时长不少于4小时的学生视为“运动达标”，运动时长不足4小时的学生视为“运动不达标”．现随机抽取200名学生的问卷，获得数据如下表： 男生（人） 女生（人） 合计（人） 运动达标 80 40 120 运动不达标 20 60 80 合计 100 100 200 用频率估计概率． (1)从该校的男生中任选两人，求这两人均为“运动不达标”的概率； (2)从该校男生和女生中各随机抽取一人，设为“运动达标”的人数，求的分布列和数学期望； (3)从该校随机抽取20名学生，记其中“运动达标”的人数为．求使概率取得最大值时的的值．（直接写出结论） 23．（2026·北京房山·一模）消费者信心指数是反映消费者信心强弱的指标．某市为了解消费者对于当前经济生活的评价以及对未来一段时期经济前景的预期,在全市范围内抽取名城乡居民进行调查,并运用数学方法对调查数据进行量化处理,编制成消费者信心指数．该市年各季度消费者信心指数数据如下： 第一季度 第二季度 第三季度 第四季度 2023年消费者信心指数 115.1 114.6 109.0 108.4 2024年消费者信心指数 108.4 105.9 95.5 94.7 2025年消费者信心指数 99.1 95.3 95.8 103.3 消费者信心指数越大，表明消费者信心越强．信心指数时，消费者信心处于弱信心区间，信心指数时，消费者信心处于强信心区间．假设每个季度消费者信心指数相互独立．用频率估计概率． (1)从上述个季度中随机抽取个季度，估计该季度消费者信心处于强信心区间的概率； (2)从2024年和2025年各随机抽取1个季度，记这2个季度中消费者信心处于强信心区间的个数为，求的分布列和数学期望； (3)2025年3月国家发布《提振消费专项行动方案》．记2025年第季度消费者信心指数较上一季度的增长率为．据估计：2026年第一季度消费者信心指数较上一季度的增长率约等于中的最大值，写出2026年第一季度消费者信心指数的估计值．（结论不要求证明） 0 1 2 0 1 2 24．（25-26高三上·北京·月考）某大学学院共有学生千余人，该学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，按性别分层抽样，已知A学院男生与女生人数之比为，从该学院所有学生中抽取若干人作为样本，对样本中的每位学生在月份的累计跑步里程进行统计，得到下表. 跑步里程 男生 女生 用样本频率估计总体概率. (1)求的值，并估计从学院所有学生中抽取一人，该学生月份累计跑步里程在中的概率； (2)从学院男生样本中随机抽取人，从学院女生样本中随机抽取人，将这人中在月份的累计跑步里程不低于的人数记为，求的分布列和数学期望； (3)该大学学院男生与女生人数之比为，学院体育社团为了解学生参与跑步运动的情况，也按性别进行分层抽样，已知学院和学院的样本数据整理如下表. 月份累计跑步里程平均值（单位：） 学院性别 A B 男生 50 59 女生 40 45 设学院样本中学生月份累计跑步里程平均值为，学院样本中学生月份累计跑步里程平均值为，是否存在，使得？如果存在，求的最大值；如果不存在，说明理由. 题型09 综合大题：两种方案比大小型 技法指导 综合大题两种方案的考察，通常分为三个小问，第一问考查基础概率计算，第二问考查分布列与期望，第三问为开放型结论题，侧重考查考生的规范步骤和数据分析能力。 25．（2025·北京·高考真题）某次考试中，只有一道单项选择题考查了某个知识点，甲、乙两校的高一年级学生都参加了这次考试.为了解学生对该知识点的掌握情况，随机抽查了甲、乙两校高一年级各100名学生该题的答题数据，其中甲校学生选择正确的人数为80，乙校学生选择正确的人数为75.假设学生之间答题相互独立，用频率估计概率. (1)估计甲校高一年级学生该题选择正确的概率 (2)从甲、乙两校高一年级学生中各随机抽取1名，设X为这2名学生中该题选择正确的人数，估计的概率及X的数学期望； (3)假设：如果没有掌握该知识点，学生就从题目给出的四个选项中随机选择一个作为答案；如果掌握该知识点，甲校学生选择正确的概率为，乙校学生选择正确的概率为.设甲、乙两校高一年级学生掌握该知识点的概率估计值分别为，，判断与的大小（结论不要求证明）. 26．（2026·北京海淀·一模）为了调查“AI赋能教学活动”的实施效果是否达到预期，对甲、乙两个学区的教师进行简单随机抽样，获得评价数据如下表： 学区 甲 乙 性别 男 女 男 女 达到预期 260人 200人 240人 190人 未达到预期 190人 150人 60人 110人 假设所有教师的评价相互独立.用频率估计概率. (1)估计甲学区教师的评价为“达到预期”的概率； (2)若教师的评价为“达到预期”，则赋分为5；若教师的评价为“未达到预期”，则赋分为0. （i）从这两个学区的所有男教师中随机抽取2人，所有女教师中随机抽取1人，记随机变量X为这3人的赋分之和，估计X的数学期望； （ii）记甲学区样本赋分的方差为，乙学区样本赋分的方差为，两学区所有样本赋分的方差为.比较，，的大小.（结论不要求证明） 0 5 10 15 27．（2026·北京朝阳·一模）某研究团队发现人工智能助手的问题解决“满意度评分”（满分100分）与其使用场景密切相关.该团队将用户分为学习场景用户和工作场景用户两类，为了调研用户对人工智能助手的满意度评分情况，现从这两类用户中各随机抽取100人，记录他们的满意度评分，将数据分成6组：，，，，，，并分别整理得到如下两个频率分布直方图： 现规定满意度评分在80分及以上的满意度评级为，在区间的满意度评级为，在60分以下的满意度评级为.用频率估计概率，假设每个用户的评分相互独立. (1)求的值； (2)从使用人工智能助手的所有学习场景用户中随机抽取2人，从使用人工智能助手的所有工作场景用户中随机抽取1人，设为抽出的3人中满意度评级为A的人数，估计的分布列和数学期望； (3)该研究团队又对另外两款人工智能助手，进行了同样的调研，估计出其学习场景用户的满意度评级为A的概率分别为0.3，0.35.现分别从使用，，这三款人工智能助手的学习场景用户中各随机抽取1人，用“”表示其中使用（）的学习场景用户的满意度评级为，用“”表示其中使用（）的学习场景用户的满意度评级为或.设，，判断，的大小.（结论不要求证明） 0 1 2 3 0.45 0.4125 0.125 0.0125 0 1 2 3 0.45 0.4125 0.125 0.0125 题型10 综合大题：条件概率与全概型 技法指导 （2） 全概率公式： 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P（Ai）>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P（B）＝_，我们称这个公式为全概率公式. 贝叶斯公式 设是一组两两互斥的事件，，且，则对任意事件， ，有_＝，． 28．（2024·北京海淀·三模）某社区计划组织一次公益讲座向居民普及垃圾分类知识，为掌握居民对垃圾分类知识的了解情况并评估讲座的效果，主办方从全体居民中随机抽取10位参加试讲讲座活动，让他们在试讲讲座前后分别回答一份垃圾分类知识问卷．试讲讲座前后，这10位居民答卷的正确率如下表： 编号正确率 1号 2号 3号 4号 5号 6号 7号 8号 9号 10号 试讲讲座前 65% 60% 0% 100% 65% 75% 90% 85% 80% 60% 试讲讲座后 90% 85% 80% 95% 85% 85% 95% 100% 85% 90% 根据居民答卷的正确率可以将他们垃圾分类的知识水平分为以下三个层级： 答卷正确率p 垃圾分类知识水平 一般 良好 优秀 假设每位居民回答问卷的结果之间互相独立，用频率估计概率． (1)正式讲座前．从该社区的全体居民中随机抽取1人，试估计该居民垃圾分类知识水平恰为“一般”的概率； (2)正式讲座前，从该社区的全体居民中随机抽取3人，这3人垃圾分类知识水平分别是“一般”、“良好”、“良好”．设随机变量X为“这3人讲座后垃圾分类知识水平达到‘优秀’的人数”，试估计X的分布列和数学期望； (3)在未参加讲座的全部居民中再随机抽取若干人参加下一轮的公益讲座并让他们在讲座前后分别填写问卷．从讲座后的答卷中随机抽取一份，如果完成该答卷的居民的知识水平为“良好”，他在讲座前属于哪一知识水平的概率最大？（结论不要求证明） 0 1 2 3 29．（2023·北京大兴·三模）某人下午5:00下班，他记录了自己连续20天乘坐地铁和连续20天乘坐公交到家的时间，如下表所示： 到家时间 5:35~5:39 5:40~5:44 5:45~5:49 5:50~5:54 迟于5:54 乘地铁（天） 2 5 9 3 1 乘公交（天） 1 2 4 6 7 以频率估计概率，每天乘坐地铁还是公交相互独立，到家时间也相互独立. (1)某天下班，他乘坐公交回家，试估计他不迟于5:49到家的概率； (2)他连续三天乘坐地铁回家，记这三天中他早于5:50回家的天数为，求的分布列及数学期望； (3)某天他抛一枚硬币决定乘地铁还是乘公交，结果他是5:48到家的，试求他是乘地铁回家的概率.（直接写出答案） X 0 1 2 3 P 30．（2025·北京大兴·三模）为测试、两款人工智能软件解答数学问题的能力，将100道难度相当的数学试题从1到100编号后随机分配给这两款软件测试．每道试题只被一款软件解答一次，记录结果如下： 试题类别 软件 软件 测试试题数量 正确解答的数量 测试试题数量 正确解答的数量 函数试题 30 24 20 18 几何试题 20 16 30 20 (1)估计软件能正确解答数学问题的概率； (2)小明决定采用这两款软件解答3道类似试题（假设其难度和测试的100道题基本相同），其中函数2道，几何1道；使用软件解答2道函数试题，使用软件解答1道几何试题；每道试题只用其中一款软件解答一次．假设用频率估计概率，且每次解答相互独立．用表示3道类似试题被正确解答的个数，求的分布列与数学期望； (3)小明准备用这两款软件来解决某次数学测试中的第12题（假设其难度和测试的100道题基本相同），但该题内容还未知，从已往情况来看，该题是函数题的概率为，几何题的概率为．假设用频率估计概率，试说明小明用哪款软件正确解答这道试题的概率大？（结论不要求证明） 0 1 2 3 0 1 2 0 1 0 1 2 3 压轴题强化训练 一、单选题 1．（2026·北京海淀·一模）已知，则（   ） A． B．10 C． D．80 2．（25-26高三下·北京海淀·月考）已知，则（   ） A． B．1 C．32 D．243 3．（2026·北京专题练习）已知二项式的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中项的系数为（    ） A． B． C．80 D．160 4．（24-25高三北京模拟预测）某社区开展防疫值班工作，甲乙丙三人轮流参与，规则如下：①第1天安排甲值班；②第2天从乙丙两人中随机选1人值班；③第天，从前一天未值班的2人中随机选1人值班，则第天甲值班的概率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二下·北京大兴·期末）已知盒中有6个灯泡，其中4个正品，2个次品．从中取出2个正品，每次取出1个，取出后不放回，直到取出2个正品为止．设X为取出的次数，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高三北京·专题练习）现有三枚质地均匀的骰子，分别为红色､绿色和蓝色.同时抛掷这三枚骰子，已知这三枚骰子朝上面的点数之和为15，设红色骰子掷出的点数为，绿色骰子掷出的点数为，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（25-26高三·北京·一轮复习）若，则取得最大值时，_____． 8．（24-25高三·北京模拟预测）已知事件A与事件B相互独立，事件A的概率，事件B的概率，则________； ________． 9．（24-25高三·北京专题练习）现有甲、乙、丙三个人，需要执行某项试验任务，每个人至多执行一次．如果规定时间内某人完成任务，则试验成功，结束该任务；如果规定时间内某人不能完成任务，则撤回再由下一个人执行任务．若该项试验任务按照甲、乙、丙的顺序执行且甲、乙、丙三人在规定时间内完成任务的概率分别为，每个人能否完成任务相互独立，则试验成功的概率为_____． 三、解答题 10．（2026·北京西城·一模）某市图书馆为了解馆内图书借阅情况，随机对馆内的部分读者进行了为期一年的跟踪调查，得到下表数据，其中部分数据意外缺失，分别用字母a，b，c，d（）表示． 读者类型 调查人数 年人均借阅量（册） 某类读者图书借阅量分类占比情况 文学类 科技类 教辅类 社科类 其他 在职人员 600 18.5 35% 25% 10% 20% 10% 大学生 800 24.3 30% 40% 13% a b 中学生 500 15.2 25% 20% 40% c d 假设每位读者的每次借阅情况互不影响．用频率估计概率． (1)在参与调查的读者中，比较这一年里“在职人员”借阅的文学类图书量与“中学生”借阅的教辅类图书量的大小，说明理由： (2)在该市图书馆的所有读者中随机选出2名大学生和1名中学生，已知这3人每人借阅了1册书，估计所借的3册书中至少有2册为科技类图书的概率； (3)为分析同一类读者的偏好，市图书馆将图书借阅量分类占比的平均差定义为该类读者的“偏好度”，其中为其图书借阅量分类占比值，为所有的均值，n为图书的类别个数．记“在职人员”、“大学生”和“中学生”的“偏好度”分别为，写出这三个“偏好度”的大小关系．（结论不要求证明） 11．（2026·北京门头沟·一模）某公司对其销售的A、B两种型号扫地机器人向消费者进行满意度调查，从购买这两种型号扫地机器人的消费者中各随机抽取12人进行评分调查（满分100分，该公司规定评分不低于80分为满意），评分结果如下： 数据Ⅰ（A型号）：75，81，85，74，83，77，86，85，92，70，86，90； 数据Ⅱ（B型号）：71，76，81，68，72，87，86，85，73，84，70，92． 假设所有消费者的评分结果相互独立，用频率估计概率． (1)从参与A型号扫地机器人评分调查的12名消费者中随机抽取2人，求至少1人满意的概率； (2)从购买A型号扫地机器人的所有消费者中随机抽取1人，购买B型号扫地机器人的所有消费者中随机抽取1人，设X为被抽到的2人中满意的人数，求X的分布列和数学期望； (3)假设购买A型号和B型号扫地机器人的消费者人数相同，公司从所有购买A、B两种型号扫地机器人的消费者中随机抽取1人，开展满意度跟进回访，若已知抽到的消费者对其购买的扫地机器人不满意，设其购买的是A型号的概率估计值为，其购买的是B型号的概率估计值为，试比较与的大小．（结论不要求证明） 0 1 2 0 1 2 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $