专题16：平面图形的认识 测量（期末专项训练）六年级数学下学期（苏教版）

**基本信息** 以“概念-性质-应用”为主线，系统整合平面图形认知与测量，提炼割补/倍拼等转化方法，强化几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线段/直线/射线|2例+3练|两点距离最短原理|从端点特征到性质应用| |平行垂直|2例+3练|垂线作图法|位置关系→性质→实际应用| |角|2例+7练|量角器操作规范|定义→分类→度量/作图| |图形作图|2例+5练|推平行线法|工具使用→基本图形绘制| |三角形内角和|2例+5练|内角和公式推导|分类→内角和定理→应用计算| |周长|2例+4练|平移转化法|定义→公式→组合图形计算| |面积|2例+8练|割补/倍拼法|公式推导→对应关系→阴影面积| |综合应用|2例+7练|容斥原理|实际问题→模型构建→运算推理|

专题16：平面图形的认识 测量（期末专项训练） 考点梳理 1 考点一、线段、直线、射线的认识及特征 1 考点二、平行与垂直的特征、性质 2 考点三、角 3 考点四、平面图形作图 3 考点五、三角形的内角和 4 考点六、平面图形的周长 5 考点七、平面图形的面积 6 考点八、平面图形的应用 7 例题讲解 8 题型一、线段、直线、射线的认识及特征 8 题型二、平行与垂直的特征、性质 8 题型三、角 9 题型四、平面图形作图 9 题型五、三角形的内角和 10 题型六、平面图形的周长 10 题型七、平面图形的面积 10 题型八、平面图形的应用 11 专项训练 12 练习一、线段、直线、射线的认识及特征 12 练习二、平行与垂直的特征、性质 12 练习三、角 13 练习四、平面图形作图 14 练习五、三角形的内角和 15 练习六、平面图形的周长 16 练习七、平面图形的面积 17 练习八、平面图形的应用 19 考点梳理 考点一、线段、直线、射线的认识及特征 1. 三者的区别与联系 名称 端点个数 延伸情况 能否度量长度 线段 2个 不延伸，有限长 能 射线 1个 向一端无限延伸 不能 直线 0个 向两端无限延伸 不能 2. 重要性质 (1)两点确定一条直线：经过两点只能画一条直线。 (2)两点之间线段最短：连接两点的所有线中，线段的长度最短。这个长度叫做这两点间的距离。 (3)点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到直线的距离。垂直线段最短。 3. 易错提醒 (1)直线和射线都是无限长的，无法比较长短。 (2)线段是直线或射线的一部分。 考点二、平行与垂直的特征、性质 1. 同一平面内的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行。 2. 平行 (1)定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 (2)表示：直线 平行于直线 ，记作 。 (3)性质： ①　平行线之间的距离处处相等。 ②　过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 3. 垂直 (1)定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 (2)表示：直线 垂直于直线 ，记作 。 (3)性质： ①　过直线上（或外）一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 ②　垂线段最短：从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂直线段最短。 4. 易错提醒 (1)必须强调“在同一平面内”，否则空间中不相交的直线不一定平行（可能是异面直线，虽小学不深究，但概念需严谨）。 (2)垂直是相交的一种特殊情况。 考点三、角 1. 角的定义 从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 2. 角的分类 名称 度数范围 备注 锐角 比直角小 直角 三角尺上最大的角 钝角 比直角大，比平角小 平角 两边在一条直线上，有顶点 周角 两边重合，有顶点 关系：1周角 = 2平角 = 4直角。 3. 角的度量 (1)工具：量角器。 (2)步骤： ①　中心对顶点：量角器的中心点与角的顶点重合。 ②　零线对一边：量角器的0刻度线与角的一条边重合。 ③　读取度数：看角的另一条边所对的刻度。注意区分内圈和外圈刻度（看0刻度线在内圈还是外圈）。 4. 画角 (1)先画一条射线。 (2)量角器中心对顶点，0刻度线对射线。 (3)在指定度数处点一个点。 (4)连接顶点和该点，画出另一条边。 (5)标出度数和符号。 考点四、平面图形作图 1. 基本作图工具 (1)直尺（画直线、线段）、三角尺（画直角、平行线、垂线）、圆规（画圆、截取长度）、量角器（画角）。 2. 常见作图任务 （1）画已知直线的垂线 方法：利用三角尺的直角边。 ①　将三角尺的一条直角边与已知直线重合。 ②　沿直线平移三角尺，直到另一条直角边经过已知点。 ③　沿这条直角边画线。 ④　标出直角符号。 （2）画已知直线的平行线 方法：利用“推平行线法”。 ①　将三角尺的一条直角边与已知直线重合。 ②　用直尺紧靠三角尺的另一条直角边（固定直尺）。 ③　沿直尺平移三角尺，直到刚才重合的那条边经过已知点。 ④　沿这条边画线。 （3）画长方形/正方形 ①　长方形：先画长，再在两端画垂线（宽），最后连接两端点。 ②　正方形：先画边长，再画垂线，确保四条边相等，四个角是直角。 （4）画圆 ①　定圆心：确定圆心的位置。 ②　定半径：圆规两脚张开固定的距离（半径 ）。 ③　旋转一周：针尖固定，铅笔脚旋转一周。 ④　要素：圆心 决定位置，半径 决定大小。 考点五、三角形的内角和 1. 三角形的分类 (1)按角分： ①　锐角三角形：三个角都是锐角。 ②　直角三角形：有一个角是直角。 ③　钝角三角形：有一个角是钝角。 (2)按边分： ①　不等边三角形：三条边都不相等。 ②　等腰三角形：有两条边相等。 特征：两腰相等，两底角相等；是轴对称图形。 ③　等边三角形：三条边都相等。 特征：三个角都相等，都是 ；是轴对称图形（3条对称轴）。 2. 三角形内角和 (1)结论：任意三角形的内角和都是 。 (2)验证方法： ①　量一量：用量角器量出三个角，相加。 ②　拼一拼：剪下三个角，拼在一起形成一个平角。 ③　折一折：折叠三个角，顶点重合在底边上，形成平角。 3. 应用计算 (1)已知两个角，求第三个角： 。 (2)直角三角形：两个锐角的和是 。 (3)等腰三角形： ①　已知顶角求底角： 。 ②　已知底角求顶角： 。 (4)多边形内角和拓展： ①　四边形内角和： （可分成2个三角形）。 ②　 边形内角和： 。 4. 三角形的三边关系 (1)任意两边之和大于第三边。 (2)任意两边之差小于第三边。 (3)判断方法：只要较短的两条边之和大于最长的那条边，就能围成三角形。 考点六、平面图形的周长 1. 周长的定义 封闭图形一周的长度，叫做它的周长。 2. 常见图形周长公式 图形 公式 说明 长方形 =长, =宽 正方形 =边长 圆 或 , =直径, =半径 3. 注意事项 (1)单位统一：计算前检查长、宽、半径的单位是否一致。 (2)半圆的周长： ①　不是圆周长的一半！ ②　公式： 或 。 ③　组成：圆周长的一半 + 一条直径。 (3)组合图形周长： ①　通过平移法，将不规则边平移转化为规则图形（如长方形）的周长。 ②　注意内部凹陷或重叠部分是否需要额外加上或减去。 考点七、平面图形的面积 1. 面积的定义 物体的表面或封闭图形的大小，叫做它们的面积。 2. 面积公式及推导思路 图形 公式 字母表示 推导思路（转化法） 长方形 长 宽 基础图形，数方格得出 正方形 边长 边长 特殊的长方形 平行四边形 底 高 割补法：沿高剪开，平移拼成长方形。长方形的长=平行四边形的底，宽=高。 三角形 底 高 倍拼法：两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。平行四边形面积的一半。 梯形 (上底+下底) 高 倍拼法：两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形。底=(上底+下底)，高=高。 圆 半径 极限分割法：将圆分成若干等份，拼成近似的长方形。长= ，宽= 。 3. 关键易错点 (1)对应关系：计算三角形、梯形、平行四边形面积时，底和高必须对应（即高必须是这条底边上的垂直距离）。 (2)除以2：三角形和梯形的面积公式容易忘记“ ”。 (3)半径平方：圆面积中 ，不是 。 (4)单位：面积单位是平方单位（ ）。 ①　进率： 考点八、平面图形的应用 1. 阴影部分面积计算 (1)直接公式法：如果阴影部分是规则图形，直接套用公式。 (2)相减法： 。 例：正方形内剪去一个最大的圆，求剩余面积。 (3)割补/平移法：将分散的阴影部分通过平移、旋转拼成一个规则图形。 例：弓形面积的转移，使阴影部分组合成三角形或半圆。 (4)容斥原理：两个图形重叠， 。 2. 铺地砖/粉刷墙壁问题 (1)步骤： ①　计算总面积（房间地面或墙面）。 ②　计算单块砖面积或扣除门窗面积。 ③　数量 = 总面积 单块面积。 ④　注意：算出的结果如果是小数，通常需要进一法取整数（因为砖不能买半块，油漆要买整桶）。 3. 围栏/篱笆问题 (1)靠墙围图形： ①　如果一面靠墙，周长计算时要减去靠墙的那一边。 ②　例：靠墙围长方形菜地，篱笆长 = 长 + 宽 （假设长靠墙）或 长 + 宽（假设宽靠墙）。 ③　最值问题：周长一定时，越接近正方形（或圆形），面积越大。 4. 环形面积 (1)定义：两个同心圆之间的部分。 (2)公式： 。：外圆半径， ：内圆半径。 (3)应用：跑道面积、光盘数据区面积、钢管横截面等。 5. 解题策略总结 (1)审题：看清是求周长还是面积，单位是否统一。 (2)画图：复杂应用题务必画出示意图，标注已知数据。 (3)拆解：将组合图形拆分为基本图形（长方、正方、三角、圆）。 (4)列式：选择合适的方法（公式、相减、割补）。 (5)检查：结果是否符合实际（如面积不能为负，人数/块数通常为整数）。 例题讲解 题型一、线段、直线、射线的认识及特征 【例题1】下图中AB是一条( )，把它从A点起向左无限延长得一条( )，把两端都无限延长得到一条( )。 【练习1】小狗会从②号路线直扑美味的骨头，里面其实藏着数学原理，这个原理是（    ）。 A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．点到直线的垂线段最短 D．过一点可以画无数条直线 题型二、平行与垂直的特征、性质 【例题2】过E点，先画出直线a的平行线，再画出直线b的垂线。 【练习2】郭村需要开通天然气，要把燃气管道从郭村连接到主管道上，怎样铺设管道最节约材料，在图中把最短的连接路线画出来。 题型三、角 【例题3】从平角顶点画一条射线，将平角分成了∠1和∠2。如果∠1是锐角，则∠2一定是( )角；如果∠1是直角，则∠2一定是( )角。 【练习3】跨越式跳高从摆动腿一侧直线助跑，助跑角度一般与横杆成30°～60°。 （1）小明从左侧助跑，路线如下图所示，请你量一量他的助跑角度是（    ）度。 （2）小东的助跑角度与小明一致，他从右侧助跑，请画出他的助跑路线。 题型四、平面图形作图 【例题4】画出下面图形底边上的高。 【练习4】学校打算在正方形空地中建一个最大的圆形花圃，请你在图中画出圆形花圃，并标出圆心和半径。（保留作图痕迹） 题型五、三角形的内角和 【例题5】如果等腰三角形的其中两个角的和是130度，则顶角是( )度或( )度。 【练习5】一个三角形三个内角的度数比是5∶1∶3，其中一个最小的角是( )°，按角的大小分类，这是一个( )三角形。 题型六、平面图形的周长 【例题6】计算下面图形的周长。 【练习6】求阴影部分的周长。（得数保留两位小数） 题型七、平面图形的面积 【例题7】求组合图形的面积。 【练习7】算一算阴影部分的面积。（单位：厘米） 题型八、平面图形的应用 【例题8】如图是一个梯形菜园的示意图。李爷爷把它分成一个平行四边形和一个三角形。三角形地的面积是多少平方米？ 【练习8】一个花坛由一个正方形和一个半圆形组成（如图）。现计划在半圆形内种植郁金香，在正方形内种植风信子。 （1）种植郁金香的面积比风信子少多少平方米？ （2）在这个花坛的外围装饰一圈彩灯条，需要准备多长的彩灯条？ 专项训练 练习一、线段、直线、射线的认识及特征 1．中国四大名著之一《西游记》中，孙悟空一念咒语，金箍棒的两端就会不断伸长，这根不断伸长的金箍棒可以看成数学中的一条（    ）。 A．直线 B．线段 C．射线 D．曲线 2．下面说法正确的是（    ）。 A．两点之间，线段最短 B．角的两条边越长，角的度数越大 C．过两点可以画两条直线 D．线段、射线和直线的长度都不可以测量 3．如图中一共有( )条线段； 在同一平面内，经过两点能画( )条直线。 练习二、平行与垂直的特征、性质 1．下图中，线段AB和线段CD互相( )，线段AB和线段AD互相( )。（填“平行”或“垂直”） 2．过点P分别画已知射线AB的平行线和已知射线AC的垂线。量一量，点P到射线AC的距离是（    ）厘米。 3．王伯伯有一块长方形的菜园，内有一个水龙头（如下图）。    （1）菜园中有一条小路经过水龙头处且平行于菜园的短边，请你画出这条小路。 （2）王伯伯计划从水龙头的位置再修一条到达菜园短边的小路，怎么修最短呢？请在图中画出来。 练习三、角 1．画一个的角，下面四种画法中，画法不正确的是（    ）。 A． B． C． D． 2．小红中午11：30到家吃午饭，此时，钟面上时针和分针所成的夹角是( )°。 3．如图，已知∠1＝40°，∠5是直角，∠2＝( )°，∠3＝( )°。 4．下面是两个完全一样的长方形部分重叠后形成的图形。已知∠1＋∠2＋∠3＝125°，则∠1＝( )°，∠2＝( )°。 5．量出下面这个角的度数。 6．以下面的射线为角的一条边，用量角器分别画出50°和125°的角。 7．如图是某市某街区的平面示意图。 （1）用量角器量出∠1＝（    ）°。 （2）解放路在胜利小学西面，与和平路平行，且经过图书馆，在图中画一条直线表示解放路。 （3）胜利小区需铺设天然气管道，主管道在华山路上，怎样铺最节省材料？请在图中画出来。 练习四、平面图形作图 1．按要求画图。 画一个长2厘米、宽1厘米的长方形。 2．画出并量出下面每个图形指定底的高。 3．在下图中分别画出和长方形面积相等的平行四边形、三角形、梯形各一个。 4．请你画出一个与长为5厘米，宽为4厘米的长方形周长相等的圆（并标出这个圆的半径的长度，π取3）。 5．下图是一个边长4厘米的正方形，按要求完成下列各题。 （1）如果要在正方形内画一个最大的圆，请先用画一画的方法找到圆心的位置，并用字母表示。 （2）请画出这个圆，并用字母标注出其中一条半径和直径。 练习五、三角形的内角和 1．直角三角形的一个锐角是56°，另一个锐角是( )°。 2．一个三角形中最小的角是52°，按角分，它是( )三角形；如果它是一个等腰三角形，那么另外两个角可能是( )°和( )°或者( )°和( )°。 3．直角三角形中，∠3是直角，∠1和∠2是锐角，∠1是∠2的2倍，∠2＝( )°。 4．根据三角形内角和是180°，求出下面两个图形的内角和。梯形的内角和( )°，五边形的内角和( )°。 5．一个三角形的三个内角度数的比是2∶3∶4，其中最大的一个内角是( )度，按角分这是一个( )三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）。 练习六、平面图形的周长 1．计算下面图形的周长。 2．计算下面图形的周长。 3．求涂色图形的周长。（单位：dm） 4．求下面环形的周长。（单位：cm；π取3.14）                  练习七、平面图形的面积 1．计算下面各圆的面积。 2．如图，正方形的边长为10厘米，求出这个图形阴影部分的面积。 3．计算下面图形的面积。（单位：厘米） 4．计算下面图形的面积。 5．计算下面图形中阴影部分的面积。 6．求下列阴影部分或图形的面积。 7．求出下图中涂色部分的面积。（值取3.14） 8．求下图阴影部分面积。 练习八、平面图形的应用 1．一个三角形的果园底是400米，高是底的一半，这个三角形的面积是多少平方米？如果每公顷收2500千克的果子，这个果园一共收果子多少千克？合多少吨？ 2．一间厨房要用墙砖铺墙面。如果用面积0.06平方米的墙砖铺，一共需要160块；如果改成用边长0.4米的正方形墙砖，一共至少需要多少块？ 3．沙漏是古代的一种计量时间的工具。你能算出如图所示的沙漏截面的面积吗？ 4．刘伯伯家有两块地（如下图），其中一块平行四边形地用来种月季，另一块三角形地用来种牡丹。已知种月季的面积是90平方米，那么种牡丹的面积是多少平方分米？ 5．如图所示，公园露营区是一块梯形的草坪。 （1）如果每平方米草坪造价是30元，那么铺这块草坪一共用了多少元？ （2）现在计划只延长梯形草坪的上底，而下底和高都不变，把草坪扩建成平行四边形。先在原图基础上画出扩建后的图，再算一算扩建后的面积比原来增加多少平方米？ 6．莫愁湖公园有一个圆形观赏鱼池，直径是24米，鱼池中间修建了一座圆形假山，假山底座直径4米。观赏鱼池的水面面积是多少平方米？ 7．张阿姨买了一张可折叠的餐桌，中间的是长160厘米、宽20厘米的长方形，两侧是半圆形（如图1）。这张餐桌完全展开后（如图2），桌面的面积有多大？（π取3.14） 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题16：平面图形的认识 测量（期末专项训练） 考点梳理 1 考点一、线段、直线、射线的认识及特征 1 考点二、平行与垂直的特征、性质 2 考点三、角 3 考点四、平面图形作图 3 考点五、三角形的内角和 4 考点六、平面图形的周长 5 考点七、平面图形的面积 6 考点八、平面图形的应用 7 例题讲解 8 题型一、线段、直线、射线的认识及特征 8 题型二、平行与垂直的特征、性质 9 题型三、角 10 题型四、平面图形作图 11 题型五、三角形的内角和 12 题型六、平面图形的周长 13 题型七、平面图形的面积 14 题型八、平面图形的应用 16 专项训练 17 练习一、线段、直线、射线的认识及特征 17 练习二、平行与垂直的特征、性质 18 练习三、角 20 练习四、平面图形作图 24 练习五、三角形的内角和 27 练习六、平面图形的周长 30 练习七、平面图形的面积 32 练习八、平面图形的应用 37 考点梳理 考点一、线段、直线、射线的认识及特征 1. 三者的区别与联系 名称 端点个数 延伸情况 能否度量长度 线段 2个 不延伸，有限长 能 射线 1个 向一端无限延伸 不能 直线 0个 向两端无限延伸 不能 2. 重要性质 (1)两点确定一条直线：经过两点只能画一条直线。 (2)两点之间线段最短：连接两点的所有线中，线段的长度最短。这个长度叫做这两点间的距离。 (3)点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到直线的距离。垂直线段最短。 3. 易错提醒 (1)直线和射线都是无限长的，无法比较长短。 (2)线段是直线或射线的一部分。 考点二、平行与垂直的特征、性质 1. 同一平面内的位置关系 在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行。 2. 平行 (1)定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 (2)表示：直线 平行于直线 ，记作 。 (3)性质： ①　平行线之间的距离处处相等。 ②　过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 3. 垂直 (1)定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 (2)表示：直线 垂直于直线 ，记作 。 (3)性质： ①　过直线上（或外）一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 ②　垂线段最短：从直线外一点到这条直线所画的线段中，垂直线段最短。 4. 易错提醒 (1)必须强调“在同一平面内”，否则空间中不相交的直线不一定平行（可能是异面直线，虽小学不深究，但概念需严谨）。 (2)垂直是相交的一种特殊情况。 考点三、角 1. 角的定义 从一点引出两条射线所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 2. 角的分类 名称 度数范围 备注 锐角 比直角小 直角 三角尺上最大的角 钝角 比直角大，比平角小 平角 两边在一条直线上，有顶点 周角 两边重合，有顶点 关系：1周角 = 2平角 = 4直角。 3. 角的度量 (1)工具：量角器。 (2)步骤： ①　中心对顶点：量角器的中心点与角的顶点重合。 ②　零线对一边：量角器的0刻度线与角的一条边重合。 ③　读取度数：看角的另一条边所对的刻度。注意区分内圈和外圈刻度（看0刻度线在内圈还是外圈）。 4. 画角 (1)先画一条射线。 (2)量角器中心对顶点，0刻度线对射线。 (3)在指定度数处点一个点。 (4)连接顶点和该点，画出另一条边。 (5)标出度数和符号。 考点四、平面图形作图 1. 基本作图工具 (1)直尺（画直线、线段）、三角尺（画直角、平行线、垂线）、圆规（画圆、截取长度）、量角器（画角）。 2. 常见作图任务 （1）画已知直线的垂线 方法：利用三角尺的直角边。 ①　将三角尺的一条直角边与已知直线重合。 ②　沿直线平移三角尺，直到另一条直角边经过已知点。 ③　沿这条直角边画线。 ④　标出直角符号。 （2）画已知直线的平行线 方法：利用“推平行线法”。 ①　将三角尺的一条直角边与已知直线重合。 ②　用直尺紧靠三角尺的另一条直角边（固定直尺）。 ③　沿直尺平移三角尺，直到刚才重合的那条边经过已知点。 ④　沿这条边画线。 （3）画长方形/正方形 ①　长方形：先画长，再在两端画垂线（宽），最后连接两端点。 ②　正方形：先画边长，再画垂线，确保四条边相等，四个角是直角。 （4）画圆 ①　定圆心：确定圆心的位置。 ②　定半径：圆规两脚张开固定的距离（半径 ）。 ③　旋转一周：针尖固定，铅笔脚旋转一周。 ④　要素：圆心 决定位置，半径 决定大小。 考点五、三角形的内角和 1. 三角形的分类 (1)按角分： ①　锐角三角形：三个角都是锐角。 ②　直角三角形：有一个角是直角。 ③　钝角三角形：有一个角是钝角。 (2)按边分： ①　不等边三角形：三条边都不相等。 ②　等腰三角形：有两条边相等。 特征：两腰相等，两底角相等；是轴对称图形。 ③　等边三角形：三条边都相等。 特征：三个角都相等，都是 ；是轴对称图形（3条对称轴）。 2. 三角形内角和 (1)结论：任意三角形的内角和都是 。 (2)验证方法： ①　量一量：用量角器量出三个角，相加。 ②　拼一拼：剪下三个角，拼在一起形成一个平角。 ③　折一折：折叠三个角，顶点重合在底边上，形成平角。 3. 应用计算 (1)已知两个角，求第三个角： 。 (2)直角三角形：两个锐角的和是 。 (3)等腰三角形： ①　已知顶角求底角： 。 ②　已知底角求顶角： 。 (4)多边形内角和拓展： ①　四边形内角和： （可分成2个三角形）。 ②　 边形内角和： 。 4. 三角形的三边关系 (1)任意两边之和大于第三边。 (2)任意两边之差小于第三边。 (3)判断方法：只要较短的两条边之和大于最长的那条边，就能围成三角形。 考点六、平面图形的周长 1. 周长的定义 封闭图形一周的长度，叫做它的周长。 2. 常见图形周长公式 图形 公式 说明 长方形 =长, =宽 正方形 =边长 圆 或 , =直径, =半径 3. 注意事项 (1)单位统一：计算前检查长、宽、半径的单位是否一致。 (2)半圆的周长： ①　不是圆周长的一半！ ②　公式： 或 。 ③　组成：圆周长的一半 + 一条直径。 (3)组合图形周长： ①　通过平移法，将不规则边平移转化为规则图形（如长方形）的周长。 ②　注意内部凹陷或重叠部分是否需要额外加上或减去。 考点七、平面图形的面积 1. 面积的定义 物体的表面或封闭图形的大小，叫做它们的面积。 2. 面积公式及推导思路 图形 公式 字母表示 推导思路（转化法） 长方形 长 宽 基础图形，数方格得出 正方形 边长 边长 特殊的长方形 平行四边形 底 高 割补法：沿高剪开，平移拼成长方形。长方形的长=平行四边形的底，宽=高。 三角形 底 高 倍拼法：两个完全一样的三角形拼成一个平行四边形。平行四边形面积的一半。 梯形 (上底+下底) 高 倍拼法：两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形。底=(上底+下底)，高=高。 圆 半径 极限分割法：将圆分成若干等份，拼成近似的长方形。长= ，宽= 。 3. 关键易错点 (1)对应关系：计算三角形、梯形、平行四边形面积时，底和高必须对应（即高必须是这条底边上的垂直距离）。 (2)除以2：三角形和梯形的面积公式容易忘记“ ”。 (3)半径平方：圆面积中 ，不是 。 (4)单位：面积单位是平方单位（ ）。 ①　进率： 考点八、平面图形的应用 1. 阴影部分面积计算 (1)直接公式法：如果阴影部分是规则图形，直接套用公式。 (2)相减法： 。 例：正方形内剪去一个最大的圆，求剩余面积。 (3)割补/平移法：将分散的阴影部分通过平移、旋转拼成一个规则图形。 例：弓形面积的转移，使阴影部分组合成三角形或半圆。 (4)容斥原理：两个图形重叠， 。 2. 铺地砖/粉刷墙壁问题 (1)步骤： ①　计算总面积（房间地面或墙面）。 ②　计算单块砖面积或扣除门窗面积。 ③　数量 = 总面积 单块面积。 ④　注意：算出的结果如果是小数，通常需要进一法取整数（因为砖不能买半块，油漆要买整桶）。 3. 围栏/篱笆问题 (1)靠墙围图形： ①　如果一面靠墙，周长计算时要减去靠墙的那一边。 ②　例：靠墙围长方形菜地，篱笆长 = 长 + 宽 （假设长靠墙）或 长 + 宽（假设宽靠墙）。 ③　最值问题：周长一定时，越接近正方形（或圆形），面积越大。 4. 环形面积 (1)定义：两个同心圆之间的部分。 (2)公式： 。：外圆半径， ：内圆半径。 (3)应用：跑道面积、光盘数据区面积、钢管横截面等。 5. 解题策略总结 (1)审题：看清是求周长还是面积，单位是否统一。 (2)画图：复杂应用题务必画出示意图，标注已知数据。 (3)拆解：将组合图形拆分为基本图形（长方、正方、三角、圆）。 (4)列式：选择合适的方法（公式、相减、割补）。 (5)检查：结果是否符合实际（如面积不能为负，人数/块数通常为整数）。 例题讲解 题型一、线段、直线、射线的认识及特征 【例题1】下图中AB是一条( )，把它从A点起向左无限延长得一条( )，把两端都无限延长得到一条( )。 【答案】 线段 射线 直线 【分析】线段有两个端点，是直的，可以测量长度。射线有一个端点，是直的，可以向一端无限延长。直线没有端点，可以向两端无限延长。据此解答。 【详解】根据线段、射线、直线的特点，AB是一条线段，把它从A点起向左无限延长得一条射线，把两端都无限延长得到一条直线。 【练习1】小狗会从②号路线直扑美味的骨头，里面其实藏着数学原理，这个原理是（    ）。 A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．点到直线的垂线段最短 D．过一点可以画无数条直线 【答案】A 【分析】小狗的位置和骨头的位置是两个固定点，三条路线中，②是直接连接两个点的线段，长度比①、③更短，小狗走这条路线能最快到达骨头，判断对应原理即可。 【详解】由分析得出，狗会从②号路线直扑美味的骨头，里面其实藏着数学原理，这个原理是两点之间线段最短。 题型二、平行与垂直的特征、性质 【例题2】过E点，先画出直线a的平行线，再画出直线b的垂线。 【答案】见详解 【分析】过直线外一点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的点在三角尺上。沿直角边画出另一条直线即可；过直线外一点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线外的点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 【详解】 如图： 【练习2】郭村需要开通天然气，要把燃气管道从郭村连接到主管道上，怎样铺设管道最节约材料，在图中把最短的连接路线画出来。 【答案】见详解 【分析】直线外一点到这条直线上所有点的连线中，垂线段最短，要使铺设的管道最节省材料，作郭村到天然气主管道a的垂线段即可。 【详解】 题型三、角 【例题3】从平角顶点画一条射线，将平角分成了∠1和∠2。如果∠1是锐角，则∠2一定是( )角；如果∠1是直角，则∠2一定是( )角。 【答案】 钝 直 【分析】平角是180°的角，锐角是大于0°且小于90°的角，直角是90°的角，钝角是大于90°且小于180°的角，将平角分成两个角，如果其中一个是锐角，另一个角的度数＝平角－锐角，如果其中一个是直角，另一个角的度数＝平角－直角。 【详解】平角＝180°，锐角的度数是大于0°且小于90°，那么180°减去一个大于0°且小于90°的角，得到的角一定大于90°且小于180°，这个范围的角就是钝角； 平角＝180°，直角的度数是90°，那么180°减去一个90°的角，得到的角等于90°，这个角就是直角。 如果∠1是锐角，则∠2一定是钝角；如果∠1是直角，则∠2一定是直角。 【练习3】跨越式跳高从摆动腿一侧直线助跑，助跑角度一般与横杆成30°～60°。 （1）小明从左侧助跑，路线如下图所示，请你量一量他的助跑角度是（    ）度。 （2）小东的助跑角度与小明一致，他从右侧助跑，请画出他的助跑路线。 【答案】（1）45 （2）见详解 【分析】（1）利用量角器测量小明的助跑角度即可； （2）利用量角器在右侧画出小东的助跑角度。 【详解】（1）小明从左侧助跑，他的助跑角度是45度。 （2）如图： 题型四、平面图形作图 【例题4】画出下面图形底边上的高。 【答案】见详解 【分析】三角形的高：把三角板的一直角边靠紧三角形的底边，沿三角形的底边滑动三角板，当另一直角边经过三角形底边相对的顶点时，沿这条直角边画的顶点到底边的垂直线段就是该三角形的高，高用虚线表示，依此画图并标上垂直符号即可。 平行四边形的高：在平行四边形底边的对边上任意找一点，过这个点向底边作垂线，这个点到垂足之间的线段就是对应底边上的高，高用虚线表示，并画上垂直符号； 梯形的高：在梯形的上底上任意找一点，过这个点向下底作垂线，这个点到垂足之间的线段就是梯形的高，高用虚线表示，并画上垂直符号；依此画图即可。 【详解】如图： （平行四边形和梯形高的画法不唯一） 【练习4】学校打算在正方形空地中建一个最大的圆形花圃，请你在图中画出圆形花圃，并标出圆心和半径。（保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】正方形中画一个最大的圆，圆的半径＝正方形的边长÷2，正方形对角线的交点是圆心位置，据此确定圆心和半径，根据画圆的步骤画出这个圆。画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 【详解】 题型五、三角形的内角和 【例题5】如果等腰三角形的其中两个角的和是130度，则顶角是( )度或( )度。 【答案】 50 80 【分析】因为等腰三角形的两个底角相等，且三角形内角和为180°，所以分两种情况分析：一是这两个角为两个底角，二是这两个角为一个底角和顶角，再结合内角和与等腰三角形的性质分别求顶角。 【详解】等腰三角形内角和为180°，分两种情况： 若两个底角的和是130°，则顶角：180°－130°＝50° 若一个底角与顶角的和是130°，则底角：180°－130°＝50° 顶角：180°－50°×2 ＝180°－100° ＝80° 顶角是50度或80度。 【练习5】一个三角形三个内角的度数比是5∶1∶3，其中一个最小的角是( )°，按角的大小分类，这是一个( )三角形。 【答案】 20 钝角 【分析】已知三角形的内角和是180°，三角形内角度数比是5∶1∶3，则这个三角形中最小和最大的内角分别占三角形内角和的、，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出最小和最大内角的度数；再根据三角形按角的分类，确定这个三角形的类型。 【详解】最小的角是： 180°× ＝180°× ＝20° 最大的角是： 180°× ＝180°× ＝100° 90°＜100°＜180° 这是一个钝角三角形。 题型六、平面图形的周长 【例题6】计算下面图形的周长。 【答案】138米；100厘米 【分析】图（1）平行四边形的周长为相邻的两边之和乘2，据此解答； 图（2）将右上角的两条边分别进行向上和向右移动，如图：正好是一个长方形，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2可求出图形周长，据此解答。 【详解】（26＋43）×2 ＝69×2 ＝138（米） （35＋15）×2 ＝50×2 ＝100（厘米） 【练习6】求阴影部分的周长。（得数保留两位小数） 【答案】21.42厘米 【分析】阴影部分的周长等于以6厘米为半径的圆周长的加上正方形的两个边长，根据圆的周长＝2×半径解答。 【详解】2×3.14×6×＋6×2 ＝3.14×12×＋6×2 ＝3.14×3＋12 ＝9.42＋12 ＝21.42（厘米） 题型七、平面图形的面积 【例题7】求组合图形的面积。 【答案】1428平方米 【分析】分析题目，组合图形的面积等于一个长是40米、宽是20米的长方形，加上一个直径是40米的半圆的面积，长方形的面积＝长×宽，半圆的面积＝π×（d÷2）2÷2，据此列式计算即可。 【详解】40×20＋3.14×（40÷2）2÷2 ＝800＋3.14×202÷2 ＝800＋3.14×400÷2 ＝800＋1256÷2 ＝800＋628 ＝1428（平方米） 该组合图形的面积是1428平方米。 【练习7】算一算阴影部分的面积。（单位：厘米） 【答案】30平方厘米 【分析】三角形的面积＝底×高÷2，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，利用公式求出三角形和梯形的面积后，用梯形面积减去三角形面积解答。 【详解】 （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 阴影部分的面积是30平方厘米。 题型八、平面图形的应用 【例题8】如图是一个梯形菜园的示意图。李爷爷把它分成一个平行四边形和一个三角形。三角形地的面积是多少平方米？ 【答案】12平方米 【分析】根据图可知，三角形的底＝梯形下底－梯形上底，求出三角形的底，根据三角形面积＝底×高÷2，据此解答。 【详解】（14－8）×4÷2 ＝6×4÷2 ＝24÷2 ＝12（平方米） 答：三角形地的面积是12平方米。 【练习8】一个花坛由一个正方形和一个半圆形组成（如图）。现计划在半圆形内种植郁金香，在正方形内种植风信子。 （1）种植郁金香的面积比风信子少多少平方米？ （2）在这个花坛的外围装饰一圈彩灯条，需要准备多长的彩灯条？ 【答案】（1）155.52平方米； （2）73.12米 【分析】（1）由图可知，正方形的边长为16米，根据“”求出种植风信子的面积，半圆形的直径为16米，根据“”求出种植郁金香的面积，最后求出它们的差即可； （2）求需要彩灯条的长度就是求图形的周长，整个图形的周长由直线和曲线两部分组成，直线部分的长度等于正方形边长的3倍，曲线部分的长度等于圆周长的一半，，最后求出它们的和，据此解答。 【详解】（1）16×16－3.14×（16÷2）2÷2 ＝16×16－3.14×82÷2 ＝256－3.14×64÷2 ＝256－200.96÷2 ＝256－100.48 ＝155.52（平方米） 答：种植郁金香的面积比风信子少155.52平方米。 （2）16×3＋3.14×16÷2 ＝48＋50.24÷2 ＝48＋25.12 ＝73.12（米） 答：需要准备73.12米的彩灯条。 专项训练 练习一、线段、直线、射线的认识及特征 1．中国四大名著之一《西游记》中，孙悟空一念咒语，金箍棒的两端就会不断伸长，这根不断伸长的金箍棒可以看成数学中的一条（    ）。 A．直线 B．线段 C．射线 D．曲线 【答案】A 【分析】根据线段有2个端点，长度是固定有限的；射线，只有一个端点，能向另一端无限延伸；直线没有端点，两端可以无限延伸；曲线是弯曲的；结合金箍棒的特点判断即可。 【详解】直线的特征是没有端点，两端可以无限延伸，和“两端不断伸长的金箍棒”特点一致，则可以看成数学中的一条直线。 2．下面说法正确的是（    ）。 A．两点之间，线段最短 B．角的两条边越长，角的度数越大 C．过两点可以画两条直线 D．线段、射线和直线的长度都不可以测量 【答案】A 【分析】根据线段，角，直线的基本性质，逐一分析各个选项是否正确。 【详解】A．根据线段的性质，两点之间，线段最短。这是一个基本的几何事实，正确。 B．角的大小与角的两条边张开的程度有关，与边的长短无关。无论边画得多长或多短，只要两边张开的程度不变，角的度数就不变。 C．根据直线的性质，经过两点有且只有一条直线，即两点确定一条直线。所以过两点只能画一条直线， D．线段有两个端点，长度是有限的，可以测量；射线有一个端点，向一方无限延伸，直线没有端点，向两方无限延伸，它们的长度都是无限的，不可以测量。 3．如图中一共有( )条线段； 在同一平面内，经过两点能画( )条直线。 【答案】 6 1/一 【分析】在图上四个点从左到右分别标记A、B、C、D，先从A点开始数线段，即AB、AC、AD共3条；再从B点开始数线段，即BC、BD共2条；最后从C点开始数线段，即CD共1条，把线段数相加即可求解。 直线是无限长的，可以向两端无限延伸，过一点可以画无数条直线，过两点只能画1条直线，据此解答。 【详解】根据分析可知： 总数：3＋2＋1＝6（条） 图中一共有6条线段，在同一平面内，经过两点能画1条直线。 练习二、平行与垂直的特征、性质 1．下图中，线段AB和线段CD互相( )，线段AB和线段AD互相( )。（填“平行”或“垂直”） 【答案】 平行 垂直 【分析】（1）在同一平面内不相交的两条直线互相平行。 （2）两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。 【详解】（1）线段AB与线段CD在同一平面内延长后不相交，所以线段AB与线段CD互相平行。 （2）线段AB与线段AD相交成直角，所以线段AB与线段AD互相垂直。 2．过点P分别画已知射线AB的平行线和已知射线AC的垂线。量一量，点P到射线AC的距离是（    ）厘米。 【答案】作图见详解；1.2 【分析】（1）过已知直线外一点作已知直线的平行线，可利用三角尺与直尺作图； （2）过已知射线外一点作垂线，可以借助三角尺上的直角，要注意一条直角边要与这条射线重合且另一条直角边要过这个点； （3）点到射线的距离就是这个点到这条射线的垂线段的长度，用直尺量出即可； 【详解】将三角尺的一条直角边与已知射线AB完全重合，用直尺紧靠三角尺的另一条直角边，保持直尺不动，沿其边缘平移三角尺，直到三角尺的直角边经过点P，沿三角尺的直角边画出新直线，这条直线即为射线AB的平行线； 把三角板的一条直角边与射线AC重合，沿射线移动三角板，使三角板的另一条直角边经过点P，过点P沿这条直角边画直线，这条直线即为AC的垂线； 点P到射线AC的距离，就是垂线段PD的长度，用直尺量得约1.2厘米。 3．王伯伯有一块长方形的菜园，内有一个水龙头（如下图）。    （1）菜园中有一条小路经过水龙头处且平行于菜园的短边，请你画出这条小路。 （2）王伯伯计划从水龙头的位置再修一条到达菜园短边的小路，怎么修最短呢？请在图中画出来。 【答案】见详解 【分析】（1）经过水龙头且平行于菜园的短边，也就是平行于长方形的宽，经过水龙头画一条平行于长方形的宽即可。 （2）从水龙头到菜园的短边最短的路线就是从水龙头垂直于长方形宽的一条线段。 【详解】由分析可得： （1） （2）从水龙头向长方形的宽画一条垂直线段，即为到达菜园短边最短的小路。 练习三、角 1．画一个的角，下面四种画法中，画法不正确的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】量角器画角的步骤是：先画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合，然后在量角器120°刻度线的地方点一个点，最后以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线；用三角尺画角，一副三角板有两个三角尺，一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、45°、45°，另一个三角尺的三个角的度数分别为：90°、30°、60°。依此判断。 【详解】A．角的顶点在量角器底边偏右，一条边沿底边向左对齐量角器左端的120° ，另一条边对应刻度，画法正确。 B．利用平角减三角尺的角，，可以得到，画法正确。 C．角的顶点在量角器左端，一条边沿底边向右对齐，另一条边对应刻度是，画出的是的角，画法不正确。 D．用三角尺的角加角，，画法正确。 2．小红中午11：30到家吃午饭，此时，钟面上时针和分针所成的夹角是( )°。 【答案】165 【分析】钟面一周为360°，钟表上有12个数字，分12大格，每相邻两个数字之间的夹角为30°，每个大格30°，时针指向11和12中间，分针指向6，时针和分针相差5个半大格，5个大格为5×30°＝150°，半个大格为15°，即钟面上时针和分针所成的夹角是150°＋15°＝165°，据此解答即可。 【详解】小红中午11：30到家吃午饭，此时，钟面上时针和分针所成的夹角是165°。 3．如图，已知∠1＝40°，∠5是直角，∠2＝( )°，∠3＝( )°。 【答案】 50 130 【分析】由图可知，∠1＋∠2＋∠5＝180°，已知∠1和∠5，通过减法可以求得∠2； ∠3和∠2相加是180°，∠3＝180°－∠2； 【详解】根据分析，∠2＝180°－40°－90°＝50°； ∠3＝180°－50°＝130° 4．下面是两个完全一样的长方形部分重叠后形成的图形。已知∠1＋∠2＋∠3＝125°，则∠1＝( )°，∠2＝( )°。 【答案】 35 55 【分析】根据长方形和正方形的特征，得到∠1＋∠2＝∠2＋∠3＝90°；然后根据∠1＋∠2＋∠3＝125°，求出∠1的度数，进而求出∠2的度数，据此解答。 【详解】∠1＝125°－（∠2＋∠3）＝125°－90°＝35° ∠2＝90°－∠1＝90°－35°＝55° 5．量出下面这个角的度数。 【答案】40° 【分析】量角时，把量角器的中心点与角的顶点重合，角的一条边和量角器的0°刻度线重合，再看角的另一条边指着的刻度就是这个角的度数；注意要从第一条边所指的0°刻度数起，如果0°刻度数在内圈，角的度数就以内圈的刻度数为准，如果0°刻度数在外圈，角的度数就以外圈的刻度数为准。 【详解】根据解析可量出角的度数是40°，如图： 6．以下面的射线为角的一条边，用量角器分别画出50°和125°的角。 【答案】画图见详解 【分析】根据用量角器画角的方法，把量角器的中心点与射线的端点重合，把0°刻度线与射线重合，再从这条0°刻度线数到要画的刻度，打上一点，连接射线的端点和这一点画另一条射线，再标上角的符号和度数，即画出指定的角。据此作图。 【详解】根据分析作图如下： 7．如图是某市某街区的平面示意图。 （1）用量角器量出∠1＝（    ）°。 （2）解放路在胜利小学西面，与和平路平行，且经过图书馆，在图中画一条直线表示解放路。 （3）胜利小区需铺设天然气管道，主管道在华山路上，怎样铺最节省材料？请在图中画出来。 【答案】（1）50 （2）（3）见详解 【分析】（1）角的度量方法：用量角器量角时，先把量角器的中心与角的顶点重合，0°刻度线与角的一条边重合，角的另一条边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数； （2）平面上方向为上北下南、左西右东，那么解放路在胜利小学西面也就是在胜利小学的左面，注意过图书馆；平行的概念：同一平面内不相交的两条直线互相平行，其中一条直线是另一条直线的平行线；过直线外一点画平行线：固定三角尺，将一条直角边与和平路重合；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺；平移至与图书馆的点重合时，沿直角边画出另一条直线； （3）从直线外一点到这条直线的线段中，垂直线段最短，这条垂直线段的长度叫做点到直线的距离；那么过胜利小区的点，作一条垂线到华山路即可；过直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线（华山路）重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号；这条直线就是已知直线的垂线；据此解答。 【详解】根据分析： （1）用量角器量出∠1＝50°。 （2）（3）如图： 练习四、平面图形作图 1．按要求画图。 画一个长2厘米、宽1厘米的长方形。 【答案】见详解 【分析】画两条有公共端点且相互垂直的线段，一条线段长2厘米，另一条线段长1厘米，再过一条线段的另一端点作另一条线段的平行线段，长度与另一条线段的长度相等，然后把两条平行线段另外两个端点用线段连接起来即可得到一个长方形。 【详解】画一个长2厘米、宽1厘米的长方形，如下图： 2．画出并量出下面每个图形指定底的高。 【答案】见详解 【分析】从三角形任一顶点向它的对边或者对边的延长线作垂线，从顶点到垂足间的线段叫做三角形的高。这个顶点所对的边叫做三角形的底。从平行四边形的一条边上的任意一点都可以向对边作垂直线段，即是平行四边形的高。从梯形一条底边上的一点到它对边的垂直线段叫做梯形的高。然后利用直尺或者三角板测量出高的长度。 【详解】 3．在下图中分别画出和长方形面积相等的平行四边形、三角形、梯形各一个。 【答案】见详解 【分析】长方形的面积＝长×宽，据此算出长方形的面积，平行四边形的面积＝底×高，三角形的面积＝底×高÷2，梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，据此根据“长方形的面积和平行四边形、三角形、梯形的面积相等”反推出其他图形的底和高，再画出对应的图形即可。 【详解】3×2＝6 6＝3×2 6＝3×4÷2 6＝（2＋4）×2÷2 作图如下： （画法不唯一） 4．请你画出一个与长为5厘米，宽为4厘米的长方形周长相等的圆（并标出这个圆的半径的长度，π取3）。 【答案】见详解 【分析】根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，求出长方形的周长，然后根据圆的周长公式C＝2πr求出圆的半径，结合圆的画法解答即可。 【详解】（5＋4）×2 ＝9×2 ＝18（厘米） 18÷2÷3 ＝9÷3 ＝3（厘米） 画图如下： 5．下图是一个边长4厘米的正方形，按要求完成下列各题。 （1）如果要在正方形内画一个最大的圆，请先用画一画的方法找到圆心的位置，并用字母表示。 （2）请画出这个圆，并用字母标注出其中一条半径和直径。 【答案】见详解 【分析】（1）正方形内画一个最大的圆，正方形对角线的交点位置是圆心，据此找到圆心。 （2）正方形的边长＝圆的直径，直径÷2＝半径，画圆的步骤：把圆规的两脚分开，定好两脚的距离，即半径；把有针尖的一只脚固定在一点上，即圆心；把装有铅笔尖的一只脚旋转一周，就画出一个圆。 【详解】 （1） （2）4÷2＝2（厘米） 练习五、三角形的内角和 1．直角三角形的一个锐角是56°，另一个锐角是( )°。 【答案】34 【分析】三角形的内角和是180°，直角三角形其中的一个内角是90°，则用180°减去90°和56°，即可求出它的另一个锐角。 【详解】180°－90°－56°＝34° 另一个锐角是34°。 2．一个三角形中最小的角是52°，按角分，它是( )三角形；如果它是一个等腰三角形，那么另外两个角可能是( )°和( )°或者( )°和( )°。 【答案】 锐角 52 76 64 64 【分析】根据有一个角是钝角的三角形是钝角三角形；有一个角是直角的三角形是直角三角形；三个角都是锐角的三角形是锐角三角形；再根据三角形的内角和是180°，已知一个最小的角是52°，其他两个角一定大于52°，假设其他两个角最小也为52°，求出第三个角最大为180°－52°－52°，据此解答即可。 等腰三角形的两个底角相等。根据三角形的内角和为180°，假如这个角是底角，则另一个角也是52°，顶角为180°－52°－52°。假如这个角是顶角，则两个底角为（180°－52°）÷2。 【详解】第三个角最大＝180°－52°－52° ＝128°－52° ＝76° 所以这三个角都小于90°，这个三角形是锐角三角形。 180°－52°－52° ＝128°－52° ＝76° （180°－52°）÷2 ＝128°÷2 ＝64° 一个三角形中最小的角是52°，按角分，它是锐角三角形；如果它是一个等腰三角形，那么另外两个角可能是52°和76°或者64°和64°。 3．直角三角形中，∠3是直角，∠1和∠2是锐角，∠1是∠2的2倍，∠2＝( )°。 【答案】30 【分析】直角三角形中，∠3是直角，因为三角形内角和是180°，另外两个角的和是90°，所以∠1和∠2和是90°，∠1是∠2的2倍，∠2看作一份量，∠1是这样的2份，所以∠1和∠2的和对应3份，用90°÷3算出∠2即可。 【详解】90°÷（1＋2） ＝90°÷3 ＝30° 即直角三角形中，∠3是直角，∠1和∠2是锐角，∠1是∠2的2倍，∠2＝30°。 4．根据三角形内角和是180°，求出下面两个图形的内角和。梯形的内角和( )°，五边形的内角和( )°。 【答案】 360 540 【分析】观察上图，梯形被分成了2个三角形，则梯形的内角和为（180°×2）；五边形被分成了3个三角形，则五边形的内角和为（180°×3）。 【详解】180°×2＝360°，梯形的内角和360°； 180°×3＝540°，五边形的内角和540°。 5．一个三角形的三个内角度数的比是2∶3∶4，其中最大的一个内角是( )度，按角分这是一个( )三角形（填“锐角”“直角”或“钝角”）。 【答案】 80 锐角 【分析】三角形内角和为180°，三个内角度数的比是2∶3∶4，把内角和180°看作单位“1”，最大的内角占内角和的，用180°乘，求出最大的内角的度数，根据最大角判断是什么三角形。 【详解】180°× ＝180°× ＝80° 其中最大的一个内角是80°，三角形中最大的角是一个锐角，按角分这是一个锐角三角形。 练习六、平面图形的周长 1．计算下面图形的周长。 【答案】36cm；120cm；40cm 【分析】图一为长方形，根据长方形的周长＝（长＋宽）×2，据此计算； 图二为三角形，根据三角形的周长＝围成三角形的三个边的和，据此计算； 图三为正方形，根据正方形的周长＝边长×4，依此列式并计算。 【详解】图一的周长为： （10＋8）×2 ＝18×2 ＝36（cm） 图二的周长为： 50＋30＋40＝120（cm） 图三的周长为： 10×4＝40（cm） 2．计算下面图形的周长。 【答案】20厘米；90厘米 【分析】（1）根据长方形的周长＝（长＋宽）×2进行计算； （2）通过平移的方法，可将该图形周长转化为长30厘米，宽15厘米的长方形的周长，再利用长方形周长公式进行计算。 【详解】（1）（6＋4）×2 ＝10×2 ＝20（厘米） （2）平移后得到： ，所以该图形周长转化为长30厘米，宽15厘米的长方形周长： 10＋5＝15（厘米） （30＋15）×2 ＝45×2 ＝90（厘米） 3．求涂色图形的周长。（单位：dm） 【答案】72dm；31.4dm 【分析】图一涂色部分的周长可以看作一个宽16dm，长20dm长方形的周长，根据长方形的周长＝（a＋b）×2，代入数据解答即可； 图二涂色部分的周长可以看作一个直径为10dm圆的周长，根据圆的周长公式C＝πd，代入数据计算求解。 【详解】（16＋20）×2 ＝36×2 ＝72（dm） 3.14×10＝31.4（dm） 图一涂色部分的周长是72dm，图二涂色部分的周长是31.4dm。 4．求下面环形的周长。（单位：cm；π取3.14）                  【答案】30.26cm 【分析】观察图形可知，环形的周长＝大半圆的弧长＋小半圆的弧长＋2条1cm线段，根据圆的周长公式C＝2πr，代入数据计算求解。 【详解】5－1＝4（cm） 2×3.14×5÷2＋2×3.14×4÷2＋1×2 ＝15.7＋12.56＋2 ＝30.26（cm） 环形的周长是30.26cm。 练习七、平面图形的面积 1．计算下面各圆的面积。 【答案】28.26平方厘米；0.1256平方米；113.04平方分米 【分析】根据圆的面积＝，把数据代入公式即可求解。 【详解】（1）3.14×32 ＝3.14×9 ＝28.26（平方厘米） 所以，这个圆的面积是28.26平方厘米。 （2）3.14×（0.4÷2）2 ＝3.14×0.22 ＝3.14×0.04 ＝0.1256（平方米） 所以，这个圆的面积是0.1256平方米。 （3）3.14×62 ＝3.14×36 ＝113.04（平方分米） 所以，这个圆的面积是113.04平方分米。 2．如图，正方形的边长为10厘米，求出这个图形阴影部分的面积。 【答案】21.5平方厘米 【分析】正方形的面积计算公式是边长乘边长，圆的面积＝（取3.14，r表示半径），正方形的边长相当于圆的直径，阴影部分的面积可以通过正方形的面积减去圆的面积。 【详解】10×10＝100（平方厘米） 半径：10÷2＝5（厘米） 3.14× ＝3.14×25 ＝78.5（平方厘米） 100－78.5＝21.5（平方厘米） 阴影部分的面积是21.5平方厘米。 3．计算下面图形的面积。（单位：厘米） 【答案】188平方厘米 【分析】 如图：，组合图形面积＝梯形面积＋长方形面积，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，长方形面积＝长×宽，代入数值，分别求出梯形和长方形的面积，再求和即可解答。 【详解】（8＋15）×（20－12）÷2＋12×8 ＝23×8÷2＋96 ＝184÷2＋96 ＝92＋96 ＝188（平方厘米） 4．计算下面图形的面积。 【答案】1050cm2；42cm2 【分析】（1）观察图形标注，有两组相关数据：一组是30cm的边和35cm的高（两者互相垂直，是对应关系），另一组是25cm的高（其对应的底未标注，无法使用），因此选择30cm作为底，35cm作为对应高。根据平行四边形面积＝底×高，将底和对应高代入公式，求出平行四边形的面积。 （2）观察图形结构，可沿梯形下底将其拆分为上方的梯形和下方的长方形两部分，总面积等于两部分面积之和。由图可知：梯形上底4cm，下底8cm，高3cm，根据梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2，代入数值，求出梯形的面积。长方形长8cm，宽3cm，根据长方形面积＝长×宽，代入数值，求出长方形的面积。再把梯形面积和长方形面积相加，求出组合图形的总面积。 【详解】（1）30×35＝1050（cm2） 所以第一个图形的面积是1050cm2。 （2）（4＋8）×3÷2＋8×3 ＝12×3÷2＋24 ＝36÷2＋24 ＝18＋24 ＝42（cm2） 所以第二个图形的面积是42cm2。 5．计算下面图形中阴影部分的面积。 【答案】10cm2 【分析】阴影部分是梯形，上底为（6－4）cm，梯形面积＝（上底＋下底）×高÷2。 【详解】（6－4＋6）×2.5÷2 ＝8×2.5÷2 ＝20÷2 ＝10（cm2） 6．求下列阴影部分或图形的面积。 【答案】104；5950 【分析】（1），。观察图形可知，从底为16cm，高为13cm的平行四边形面积内减去一个底为16cm，高为13cm的三角形面积即为阴影部分的面积； （2）做一条辅助线如下图，左边为一个上底40m，下底90m，高（80－30）m的梯形，右边为一个长90m，宽30m的长方形，分别根据梯形的面积公式和长方形的面积公式：，，代入数据计算出各自的面积，再相加即可。 【详解】（1） （） 阴影部分的面积是104cm2。 （2） （） 90×30＝2700（） 3250＋2700＝5950（） 图形的面积是5950m2。 7．求出下图中涂色部分的面积。（值取3.14） 【答案】50.24cm2 【分析】将右下角的涂色三角形补到正方形的右上角可以拼成完整的的圆形，半径＝正方形边长，据此计算的圆形面积即可。 【详解】涂色部分面积＝πr2 ＝×3.14×82 ＝0.785×64 ＝50.24（cm2） 涂色部分的面积为50.24cm2。 8．求下图阴影部分面积。 【答案】24cm2 【分析】如下图，把上部的两处阴影部分移补到箭头所示的空白位置上，这样阴影部分的面积＝梯形的面积－三角形的面积；根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，三角形的面积＝底×高÷2，代入数据计算求解。 【详解】4×2＝8（cm） （8＋12）×4÷2－8×4÷2 ＝20×4÷2－8×4÷2 ＝40－16 ＝24（cm2） 阴影部分的面积是24cm2。 练习八、平面图形的应用 1．一个三角形的果园底是400米，高是底的一半，这个三角形的面积是多少平方米？如果每公顷收2500千克的果子，这个果园一共收果子多少千克？合多少吨？ 【答案】40000平方米；10000千克；10吨 【分析】已知三角形的果园底是400米，高是底的一半，用底除以2，求出三角形的高； 再根据三角形的面积＝底×高÷2，求出果园的面积；然后根据进率“1公顷＝10000平方米”把单位换算成以“公顷”为单位的数； 已知每公顷收2500千克的果子，用果园的面积除以每公顷收果子的质量，再根据进率“1吨＝1000千克”换算单位。 【详解】三角形的高：400÷2＝200（米） 三角形的面积：400×200÷2＝40000（平方米） 40000平方米＝4公顷 2500×4＝10000（千克） 10000千克＝10吨 答：这个三角形的面积是40000平方米，这个果园一共收果子10000千克，合10吨。 2．一间厨房要用墙砖铺墙面。如果用面积0.06平方米的墙砖铺，一共需要160块；如果改成用边长0.4米的正方形墙砖，一共至少需要多少块？ 【答案】60块 【分析】这道题的思考核心是“墙面的总面积固定不变”：    1. 首先，墙面面积不会因为墙砖的更换而改变，所以需要先利用原来的墙砖参数（单块面积、使用数量）求出墙面的总面积。 2. 接着，新墙砖是正方形，需要根据其边长计算出单块新墙砖的面积（正方形面积＝边长×边长）。 3. 最后，用墙面总面积除以单块新墙砖的面积，就能得到需要的新墙砖数量。 【详解】墙面总面积：0.06×160＝ 9.6（平方米） 正方形墙砖的面积：0.4×0.4 ＝ 0.16（平方米） 所需新墙砖数量：9.6÷0.16＝60（块） 答：一共至少需要60块。 3．沙漏是古代的一种计量时间的工具。你能算出如图所示的沙漏截面的面积吗？ 【答案】28.62平方厘米 【分析】观察图形可知，沙漏的面积＝中间长方形的面积＋两个等底等高的梯形的面积，已知长方形的长是0.7厘米，宽是0.6厘米，根据长方形的面积＝长×宽，即可求出长方形的面积；已知梯形的上底是0.7厘米，下底是5.3厘米，高＝（10－0.6）÷2，根据梯形的面积＝（上底＋下底）×高÷2，即可解答。 【详解】（10－0.6）÷2 ＝9.4÷2 ＝4.7（厘米） 0.7×0.6＋（5.3＋0.7）×4.7÷2×2 ＝0.42＋6×4.7÷2×2 ＝0.42＋28.2 ＝28.62（平方厘米） 答：沙漏截面的面积是28.62平方厘米。 4．刘伯伯家有两块地（如下图），其中一块平行四边形地用来种月季，另一块三角形地用来种牡丹。已知种月季的面积是90平方米，那么种牡丹的面积是多少平方分米？ 【答案】2700平方分米 【分析】看图可知，三角形的底＝梯形的下底－上底，平行四边形和三角形的高相等，根据平行四边形的高＝面积÷底，三角形的面积＝底×高÷2，列式解答即可。注意统一单位。 【详解】90÷10＝9（米）   （16－10）×9÷2 ＝6×9÷2 ＝27（平方米） 27平方米＝2700平方分米 答：种牡丹的面积是2700平方分米。 5．如图所示，公园露营区是一块梯形的草坪。 （1）如果每平方米草坪造价是30元，那么铺这块草坪一共用了多少元？ （2）现在计划只延长梯形草坪的上底，而下底和高都不变，把草坪扩建成平行四边形。先在原图基础上画出扩建后的图，再算一算扩建后的面积比原来增加多少平方米？ 【答案】（1）66000元； （2）1000平方米 【分析】（1）利用梯形的面积公式＝（上底＋下底）×高÷2，计算草坪的面积；每平方米草坪造价30元，用草坪的面积乘30，求出的就是铺这块草坪的费用。 （2）扩建后平行四边形的面积比梯形的面积增加一个三角形的面积。 利用平行四边形的特点，扩建后平行四边形的底是80米，原来梯形的上底是30米，增加底是（80－30）米、高是40米的三角形的面积，利用三角形的面积＝底×高÷2解答本题。 【详解】（1）（30＋80）×40÷2×30 ＝110×40÷2×30 ＝4400÷2×30 ＝2200×30 ＝66000（元） 答：铺这块草坪一共用了66000元。 （2）如图： （80－30）×40÷2 ＝50×40÷2 ＝2000÷2 ＝1000（平方米） 答：扩建后的面积比原来增加1000平方米。 6．莫愁湖公园有一个圆形观赏鱼池，直径是24米，鱼池中间修建了一座圆形假山，假山底座直径4米。观赏鱼池的水面面积是多少平方米？ 【答案】439.6平方米 【分析】可以把观赏鱼池看作是一个圆环，已知观赏鱼池的直径是24米，根据半径等于直径的一半，可得大圆半径为24÷2＝12米。假山底座直径是4米，同理可得小圆半径为4÷2＝2米。根据圆环面积公式：S＝π（R2－r2）（π取3.14，R为外圆半径，r为小圆半径），把外圆半径12米，小圆半径2米代入公式计算即可。 【详解】24÷2＝12（米） 4÷2＝2（米） 3.14×（122－22） ＝3.14×（144－4） ＝3.14×140 ＝439.6（平方米） 答：观赏鱼池的水面面积是439.6平方米。 7．张阿姨买了一张可折叠的餐桌，中间的是长160厘米、宽20厘米的长方形，两侧是半圆形（如图1）。这张餐桌完全展开后（如图2），桌面的面积有多大？（π取3.14） 【答案】23296平方厘米 【分析】展开后，桌面由中间一个长160厘米、宽20厘米的长方形，以及两侧两个半圆（这两个半圆可以组成一个完整的圆，圆的直径等于长方形的长160厘米）组成。根据长方形面积公式S＝a×b（a为长，b为宽），可得长方形面积为160×20＝3200平方厘米。圆的直径为160厘米，所以半径为160÷2＝80厘米。根据圆的面积公式S＝πr2（π取3.14，r为半径），可计算出圆的面积。将长方形面积和圆的面积相加即可得桌面总面积。 【详解】160×20＝3200（平方厘米） 160÷2＝80（厘米） 3.14×802 ＝3.14×6400 ＝20096（平方厘米） 3200＋20096＝23296（平方厘米） 答：这张餐桌完全展开后，桌面的面积是23296平方厘米。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $