专题17：立体图形的认识 测量（期末专项训练）六年级数学下学期（苏教版）

**基本信息** 以空间观念为核心，构建“概念-规律-公式-应用”四层方法体系，通过分层计数、排除法等12种解题技巧实现立体图形认知与测量的系统性突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |观察物体|1例+5题|分层数/标数法/三视图定位|从视图概念到小正方体计数，培养几何直观| |展开图|1例+6题|相间原则/11种类型口诀/排除法|从立体特征到平面展开，强化空间想象| |体积单位换算|1例+4题|进率乘除/复名数拆分|从概念辨析到单位换算，发展量感| |表面积与体积|1例+8题|公式对比/实际面数判断/柱锥关系|从公式推导到变式计算，提升推理意识| |立体图形应用|1例+8题|排水法/切割拼接规律/等积变形|从原理应用到问题解决，培养应用意识|

专题17：立体图形的认识 测量（期末专项训练） 考点梳理 1 考点一、观察物体 1 考点二、长方体和正方体的展开图 2 考点三、常见的体积单位及换算 3 考点四、立体图形的表面积和体积 4 考点五、立体图形的应用 5 例题讲解 7 题型一、观察物体 7 题型二、长方体和正方体的展开图 8 题型三、常见的体积单位及换算 8 题型四、立体图形的表面积和体积 10 题型五、立体图形的应用 11 专项训练 12 练习一、观察物体 12 练习二、长方体和正方体的展开图 15 练习三、常见的体积单位及换算 20 练习四、立体图形的表面积和体积 22 练习五、立体图形的应用 27 考点梳理 考点一、观察物体 1. 视图的概念 (1)定义：从不同方向观察同一个立体图形，看到的平面形状可能不同。 (2)三个基本视角： ①　正面（从前向后看） ②　上面（从上向下看） ③　侧面（通常指左面或右面，从左/右向右/左看） 2. 观察规律 (1)单一视角的局限性：仅凭一个方向看到的形状，无法确定立体图形的具体形状和大小。 (2)确定立体图形：通常需要结合正面、上面、侧面三个方向的视图，才能唯一确定由小正方体搭成的立体图形的形状。 (3)小正方体计数技巧： ①　分层数：先数最底层，再数第二层……注意被遮挡的部分。 ②　标数法：在俯视图（从上面看）的每个方格中标注该位置叠放的小正方体数量，最后求和。 3. 常见立体图形的视图特征 (1)长方体/正方体：从正面、侧面、上面看，通常都是长方形（正方体是正方形）。 (2)圆柱： ①　从正面/侧面看：长方形（当底面直径=高时，可能是正方形）。 ②　从上面看：圆。 (3)圆锥： ①　从正面/侧面看：三角形（等腰三角形）。 ②　从上面看：圆（中间有一个点，表示顶点）。 (4)球：无论从哪个方向看，都是圆。 考点二、长方体和正方体的展开图 1. 长方体的特征 (1)面：6个面，相对的面完全相同（面积相等，形状相同）。特殊情况有2个相对的面是正方形，其余4个面是完全相同的长方形。 (2)棱：12条棱，相对的棱长度相等。可分为3组（长、宽、高），每组4条。 (3)顶点：8个顶点。 (4)长、宽、高：相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 2. 正方体的特征 (1)面：6个面，都是完全相同的正方形。 (2)棱：12条棱，长度都相等。 (3)顶点：8个顶点。 (4)关系：正方体是特殊的长方体（长=宽=高）。 3. 展开图的规律 (1)长方体展开图： ①　由6个长方形组成（特殊情况含2个正方形）。 ②　相对的面在展开图中通常不相邻，且中间隔着一个面（“相间”原则）。 ③　折叠时，需想象哪些边会重合。 (2)正方体展开图（11种基本型）： ①　“1-4-1”型（6种）：中间4个连成一行，上下各1个，位置可移动。 ②　“2-3-1”型（3种）：中间3个连成一行，上面2个，下面1个（或反之）。 ③　“2-2-2”型（1种）：像楼梯一样，每层2个。 ④　“3-3”型（1种）：两行各3个，错开排列。 ⑤　口诀记忆：中间四个一连串，两边各一随便放（1-4-1）；二三紧连错一个，三一相连一随便（2-3-1）；两两相连各错一（2-2-2）；三个两排一对齐（3-3）。 ⑥　排除法：出现“田”字形、“凹”字形、“7”字形（长柄超过4个）的都不是正方体展开图。 考点三、常见的体积单位及换算 1. 体积与容积的概念 (1)体积：物体所占空间的大小。 (2)容积：容器所能容纳物体的体积。 ①　区别：计算体积从外面量长宽高；计算容积从里面量长宽高。对于有厚度的容器，体积 > 容积。 2. 常用单位 (1)体积单位： ①　立方厘米 ( )：大约相当于手指尖的大小。 ②　立方分米 ( )：大约相当于粉笔盒的大小。 ③　立方米 ( )：大约相当于洗衣机或大纸箱的大小。 (2)容积单位： ①　毫升 ( )：常用于药水、饮料小包装。 ②　升 ( )：常用于桶装水、油桶。 3. 单位间的进率 (1)相邻体积单位进率是 1000： ①　 ②　 (2)容积与体积的关系： ①　 ②　 ③　 4. 换算方法 (1)高级单位 低级单位：乘进率（小数点向右移3位）。 例： (2)低级单位 高级单位：除以进率（小数点向左移3位）。 例： (3)复名数换算： 例： （注意：50 不是 0.5 ，而是 ） 考点四、立体图形的表面积和体积 1. 长方体和正方体 项目 长方体 正方体 表面积公式 ( =长, =宽, =高) ( =棱长) 体积公式 或 ( 为底面积) 或 棱长总和 (1)注意：解决实际问题时，不一定计算6个面。 ①　无盖鱼缸/盒子：少算一个上面 ( )。 ②　通风管/烟囱：只算4个侧面 ( 或 底面周长 高)。 ③　粉刷教室：通常算5个面（四面墙+天花板），并扣除门窗黑板面积。 2. 圆柱 (1)特征：上下两个底面是完全相同的圆；侧面是一个曲面，沿高展开是长方形（或正方形）。 (2)侧面积： ①　公式： ②　字母： (3)表面积： ①　公式： ②　字母： (4)体积： ①　推导：将圆柱切拼成近似长方体，体积不变，底面积和高不变。 ②　公式： 3. 圆锥 (1)特征：底面是一个圆；侧面是一个曲面，展开是扇形；只有1个顶点，1条高（从顶点到底面圆心的距离）。 (2)体积： ①　关系：等底等高的圆柱体积是圆锥体积的 3倍；圆锥体积是圆柱体积的 。 ②　公式： ③　易错点：计算圆锥体积时，千万不要忘记乘 。 4. 公式对比总结 图形 体积通用公式 备注 长方体/正方体/圆柱 统称为“柱体”，体积=底面积×高 圆锥 锥体体积需乘 考点五、立体图形的应用 1. 排水法求体积 (1)原理：物体浸没在水中，水面上升部分的体积等于物体的体积。 (2)公式： ①　 ②　或者： (3)注意：物体必须完全浸没，且水不能溢出。 2. 切割与拼接问题 (1)切割（增加表面积）： ①　把一个立体图形切开，表面积会增加 2个切面 的面积。 ②　例：把圆柱平行于底面切成两段，增加 2个底面积 ( )。 ③　例：把圆柱沿直径垂直切开，增加 2个长方形截面 ( )。 (2)拼接（减少表面积）： ①　把两个立体图形拼在一起，表面积会减少 2个接触面 的面积。 ②　要使拼成后的长方体表面积最小，应把最大的面重合；要使表面积最大，应把最小的面重合。 3. 等积变形问题 (1)核心思想：形状改变，体积不变。 (2)常见题型： ①　把橡皮泥从正方体捏成长方体。 ②　把圆柱形钢材熔铸成圆锥形零件。 ③　解题关键：抓住 列方程或算式。 ④　例：圆柱熔铸成等底的圆锥，圆锥的高是圆柱高的 3倍。 ⑤　例：圆柱熔铸成等高的圆锥，圆锥的底面积是圆柱底面积的 3倍。 4. 滚动与旋转 (1)压路机问题： ①　压路机滚筒滚动一周压路的面积 = 滚筒的 侧面积。 ②　滚动 周压路面积 = 侧面积 。 (2)旋转成体： ①　长方形以一条边为轴旋转一周 圆柱。 ②　直角三角形以一条直角边为轴旋转一周 圆锥。 ③　半圆以直径为轴旋转一周 球。 5. 解决实际问题步骤建议 (1)审题：判断求的是表面积还是体积/容积？单位是否统一？ (2)选公式：根据图形特征选择正确的公式。 (3)找条件：从题目中提取半径( )、直径( )、周长( )、高( )等数据。若给的是直径或周长，先求半径 。 (4)计算：注意 取 3.14，运算仔细。 (5)取舍： ①　求材料用量（如铁皮、油漆）：通常用 “进一法” 保留整数（因为材料不够不行）。 ②　求容纳量（如装油、装粮）：通常用 “去尾法” 保留整数（因为装不下多余部分）。 例题讲解 题型一、观察物体 【例题1】用一些大小相同的小正方体搭一个立体图形，如图是从不同方向观察后画出的图形。搭这个立体图形用了（    ）个小正方体。 A．6 B．7 C．8 D．13 【答案】A 【分析】据图可知，从上面看有2层，上层是1个正方形，左对齐，下层是4个正方形；从正面看有2层，最上层有1个正方形，左对齐，下层有4个正方形；从右面看有2层，最上层是1个正方形，左对齐，下层有2个正方形；据此可知这个立体图形有2层，上层有1个正方体；下层有5个正方体，据此画图并解答即可。 【详解】1＋5＝6（个） 根据分析可知：搭这个立体图形用了6个小正方体，如图所示：。 故答案为：A 【练习1】分别画出立体图形从正面、上面和左面看到的形状。 【答案】图见详解 【分析】从正面看，分为两层，底层有三个小正方形，上层有一个小正方形，靠左对齐； 从上面看，分为两排，第一排有三个小正方形，第二排有一个小正方形，居中； 从左面看有两列，第一列有一个小正方形，第二列有两个小正方形，下对齐，据此画图即可。 【详解】作图如下： 题型二、长方体和正方体的展开图 【例题2】妙妙把下面的展开图折成了一个长方体（字母在长方体的内侧），如果A面在底部，则( )面在上面，与C面相对的是( )面。 【答案】 F E 【分析】属于长方体展开图的“3－2－1”结果，相对的面完全相同，折叠成长方体，A面与F面相对；B面与D面相对；C面与E面相对，据此解答。 【详解】根据分析可知，A面与F面相对；B面与D面相对；C面与E面相对； A面在底部，F面在上面，与C面相对的是E面。 【练习2】将下图的纸片折起来可以做成一个正方体，这个正方体中“明”字所在面的对面是（    ）字。 A．成 B．都 C．之 D．城 【答案】A 【分析】正方体展开图中相对面的判断方法：在同一行或列中，相隔一个面的两个面是相对面；不在同一行或列时，通过找Z字形，Z字两端的面是相对面。由此判断明字所在面的对面是哪一个字。 【详解】成与明在Z字两端，这个正方体中明字所在面的对面是成字。 故答案为：A 题型三、常见的体积单位及换算 【例题3】填上合适的面积或容积单位。 (1)教室的面积是56( )。 (2)一瓶洗发液约有500( )。 (3)一台冰箱的容积约250( )。 【答案】(1)平方米/ (2)毫升/mL (3)升/L 【分析】（1）1平方米大约是边长1米的正方形地砖的面积，可站下4名小学生。根据实际数据可知，计量教室的面积用平方米作单位。 （2）常见瓶装矿泉水为500毫升，一瓶洗发液的容量和它相近；根据实际数据可知，计量一瓶洗发液的多少用毫升作单位。 （3）1升大约是2瓶500毫升矿泉水的总量，根据实际数据可知，计量一台冰箱的容积用升作单位。 【详解】（1）教室的面积是56平方米。 （2）一瓶洗发液约有500毫升。 （3）一台冰箱的容积约250升。 【练习3】1.6L＝( )cm3   0.6dm3＝( )mL    4400mL＝( )L     2.8m3＝( )dm3 【答案】 1600 600 4.4 2800 【分析】1L＝1＝1000＝1000mL，1＝1000；高级单位换算成低级单位，乘进率；低级单位换算成高级单位，除以进率；据此解答。 【详解】1.6×1000＝1600 1.6L＝1600 0.6×1000＝600 0.6＝600mL 4400÷1000＝4.4 4400mL＝4.4L 2.8×1000＝2800 2.8＝2800 题型四、立体图形的表面积和体积 【例题4】计算下面长方体的表面积和正方体的体积。 【答案】长方体表面积：190m2；正方体体积：42.875cm3 【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；正方体的体积＝棱长×棱长×棱长。据此计算得出答案。 【详解】第一个图形为长方体，表面积为： （10×3＋10×5＋3×5）×2 ＝（30＋50＋15）×2 ＝95×2 ＝190（m2） 第二个图形为正方体，体积为： 3.5×3.5×3.5 ＝12.25×3.5 ＝42.875（cm3） 【练习4】计算下面图形的表面积和体积。（单位：m） 【答案】表面积245.6m2；体积：197.6m3 【分析】图形的表面积＝圆柱侧面积＋长方体表面积。圆柱的侧面积＝πdh，长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2。图形的体积＝圆柱的体积＋长方体的体积，圆柱的体积＝πr2h，长方体的体积＝长×宽×高。 【详解】表面积：3.14×4×10＋（6×6＋6×2＋6×2）×2 ＝3.14×4×10＋（36＋12＋12）×2 ＝3.14×4×10＋60×2 ＝125.6＋120 ＝245.6（m2） 体积：3.14×（4÷2）2×10＋6×6×2 ＝3.14×22×10＋6×6×2 ＝3.14×4×10＋6×6×2 ＝125.6＋72 ＝197.6（m3） 题型五、立体图形的应用 【例题5】数学活动实践课上，小辰所在的小组同学用铁皮制作了一个无盖的长方体容器，如图所示。（容器厚度、接头处均不计） （1）制作这个无盖的长方体容器，至少需要多少平方厘米的铁皮？ （2）小辰给空的容器中加入水，水深12厘米，然后将一个萝卜放入水中，完全浸没，水面上升到14厘米，这个萝卜的体积是多少立方分米？ 【答案】（1）6250平方厘米 （2）1.5立方分米 【分析】（1）求这个无盖长方体容器需要铁皮的面积，就是求长方体的下面、前后面、左右面共5个面的面积之和，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算求解。 （2）根据题意，把萝卜完全浸入水中，水面上升了（14－12）厘米，那么水上升部分的体积等于萝卜的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，求出这个萝卜的体积。注意单位的换算：1立方分米＝1000立方厘米。 【详解】（1）30×25＋30×50×2＋25×50×2 ＝750＋3000＋2500 ＝6250（平方厘米） 答：至少需要6250平方厘米的铁皮。 （2）30×25×（14－12） ＝30×25×2 ＝1500（立方厘米） 1500立方厘米＝1.5立方分米 答：这个萝卜的体积是1.5立方分米。 【练习5】有一个近似于圆锥形状的碎石堆，底面周长是12.56米，高是0.6米。如果每立方米碎石重2吨，这堆碎石大约重多少吨？ 【答案】5.024吨 【分析】要求这堆碎石大约重多少吨，先求得这堆碎石的体积，这堆碎石的形状是圆锥形的，利用圆锥的体积计算公式VShπr2h求出体积，进一步再求这堆碎石的重量，问题得解。 【详解】这堆碎石的体积： 3.14×（12.56÷3.14÷2）2×0.6 3.14×22×0.6 3.14×4×0.6 ＝3.14×4×0.2 ＝2.512（立方米） 这堆碎石的重量： 2×2.512＝5.024（吨） 答：这堆碎石大约重5.024吨。 【点睛】此题考查了学生对圆锥体体积公式的掌握情况，以及利用它来解决实际问题的能力。 专项训练 练习一、观察物体 1．观察下边的物体，从左面看到的图形是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 从左面看，可以看到两层，下面一层2个小正方形，上面一层1个小正方形靠左对齐，看到的是，据此解答。 【详解】 根据分析可知从左面看到的是。 2．用5个同样大小的正方体摆成一个几何体，正面看是，上面看是，这个几何体是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别画出选项中各立体图形从正面和上面看到的平面图形，再找出符合题意的几何体，据此解答。 【详解】 A．从正面看到的图形是，从上面看到的图形是； B．从正面看到的图形是，从上面看到的图形是； C．从正面看到的图形是，从上面看到的图形是； D．从正面看到的图形是，从上面看到的图形是。 综上所述，用5个同样大小的正方体摆成一个几何体，正面看是，上面看是，这个几何体是。 故答案为：C 3．用相同的小正方体搭一个立体图形，从上面看到的形状是，从右面看到的形状是，搭这样的立体图形，最少需要（    ）个小正方体。 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据从上面看到的形状可知，最少有4个小正方体，从右面看到的形状可知，这个立体图形有上下两层，且上层最少有2个小正方体，据此作答。 【详解】根据分析，如图所示： 4＋2＝6（个），最少需要6个小正方体。 故答案为：B 4．观察下面的物体，回答问题。 从前面看形状相同的有( )；从左边看形状相同的有( )；在同一个图形中从前面看和从左边看形状一样的是( )。 【答案】 ①④ ②③ ③④ 【分析】从不同方向观察各立体图形，根据看到的图形进行解答。 从前面看，各图形的形状是： 从左边看，各图形的形状是： 【详解】根据分析可知： 从前面看形状相同的有①④； 从左边看形状相同的有②③； 在同一个图形中从前面看和从左边看形状一样的是③④。 5．画出从三个方向看到的图形。 【答案】见详解 【分析】从上面可以看到三层，底层3个小正方形，第二层1个小正方形，右对齐，第3层1个小正方形，右对齐； 从前面可以看到两层小正方形，上层1个，下层3个，右对齐； 从左面看，可以看到两层小正方形，上层1个，下层3个，中间对齐。 【详解】如图： 练习二、长方体和正方体的展开图 1．运用空间想象力判定下列四个图形中不能折成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】判断正方体展开图，依据正方体展开图的11种基本形式：“1-4-1型”、“2-3-1型”、“2-2-2型”、“3-3型”，据此解答。 【详解】 A．属于正方体展开图的“1-4-1型”型，能折成正方体； B．属于正方体展开图的“1-4-1型”型，能折成正方体； C．不属于正方体展开图，折叠时下面两个正方形面会重叠，无法形成封闭正方体，所以不能折成正方体； D．属于正方体展开图的“1-4-1型”型，能折成正方体。 故答案为：C 2．如图是一个正方体盒子，图（    ）可能是这个正方体盒子的展开图。 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，这个正方体的展开图中的黑色的面要与带点的面相连，且只有一个黑色面，据此解答即可。 【详解】 A．，黑色的面与带点的面不相连，不符合题意； B．，黑色的面与带点的面不相连，不符合题意； C．，有4个黑色面，不符合题意； D．，黑色的面与带点的面相连，且只有一个黑色面，符合题意。 图可能是这个正方体盒子的展开图。 故答案为：D 3．如图是一个正方体的展开图，在原正方体上，两个相对面的两数之和最大是( )。 【答案】50 【分析】这个展开图符合正方体展开图的“2－3－1”型结构，看中间的一行，相对的面之间会隔着一个小正方形，由此即可知道18和23相对，以23为底面，把17往上折，那么20往上折，28会往后折，这个时候17和28相对，最后就是20与30相对，分别求出相对面的两个数的和，进而解答。 【详解】根据分析可知，17与28相对，23与18相对，20与30相对。 17＋28＝45 23＋18＝41 20＋30＝50 41＜45＜50，两个相对面的两数之和最大是50。 一个正方体的展开图，在原正方体上，两个相对面的两数之和最大是50。 4．如图是一个正方体的展开图，把它还原成这个正方体时，与点M重合的点有两个，分别是点( )和点( )。 【答案】 A D 【分析】 这个正方体展开图属于“2－3－1”型，将这个展开图围成正方体，相同的颜色相对，以红色面为底，绿色面分别在正方体的左右面，蓝色面分别在正方体的前后面，红色面分别在正方体的上下面；据此可知，如果将展开图还原成正方体，则A点、M点、D点重合。 【详解】如上图是一个正方体的展开图，把它还原成这个正方体时，与点M重合的点有两个，分别是点A和点D。 5．铭铭将一个正方体的展开图画在如图的方格图上。 (1)用数对表示下面各点的位置。 A( )、B( )。 (2)与③号面相对的是( )号面，将这个展开图折成正方体，它的棱长之和是48cm，则它的表面积是( )cm2。 【答案】(1) （1，6） （2，5） (2) ⑤ 96 【分析】（1）用数对表示位置的方法：数对的第一个数字表示列，第二个数字表示行；据此用数对表示点A、点B的位置。 （2）根据正方体的特征，想象把正方体展开图折成正方体：如果③是下面，则②是左面，⑥是右面，④是前面，①是后面，⑤是上面，据此得出与③号面相对的面是⑤。 已知正方体的棱长之和是48cm，根据正方体的棱长之和＝棱长×12，可知正方体的棱长＝棱长之和÷12；再根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，求出它的表面积。 【详解】（1）用数对表示位置：A（1，6）、B（2，5）。 （2）48÷12＝4（cm） 4×4×6 ＝16×6 ＝96（cm2） 与③号面相对的是（⑤）号面，将这个展开图折成正方体，它的棱长之和是48cm，则它的表面积是（96）cm2。 6．一个无盖纸盒的长、宽、高分别是4厘米、3厘米和2厘米。下图画出的是纸盒展开图的后面和右面，请在方格纸上画出另外3个面。这个纸盒的容积是多少立方厘米？（纸的厚度忽略不计） 【答案】见详解；24立方厘米 【分析】已知无盖纸盒的长4厘米、宽3厘米、高2厘米，且给出了后面和右面：后面：长4厘米、高2厘米的长方形 ；右面：宽3厘米、高2厘米的长方形，还需要画的3个面是：前面（和后面完全相同，长4厘米、高2厘米）、下面（长4厘米、宽3厘米）、左面（和右面完全相同，宽3厘米、高2厘米），按照展开图的相邻关系补全即可。求纸盒的容积，根据长方体的容积＝长×宽×高进行计算。 【详解】画图如下： （答案不唯一） 4×3×2 ＝12×2 ＝24（立方厘米） 答：这个纸盒的容积是24立方厘米。 练习三、常见的体积单位及换算 1．一袋牛奶的容积约是250（    ）。 A．立方分米 B．升 C．毫升 D．立方米 【答案】C 【分析】1升大概是两瓶500毫升矿泉水的容量，1立方分米和1升的容量大小相等，1毫升大约是20滴水滴的体积，1立方米是棱长1米的正方体的体积，据此解答。 【详解】一袋牛奶的容积约是250毫升。 2．在括号里填入合适的单位。 集装箱的体积约是40( )，一瓶纯净水约500( )， 操场的面积约是2000( )，游泳池水深2( )。 【答案】 立方米/m3 毫升/mL 平方米/m2 米/m 【分析】根据1个矿泉水瓶的容积大约是500毫升，电脑桌的体积大约是1立方米，1平方米地面上大约可站12名同学，小学生双手张开，手掌之间的距离大约是1米；据此解答。 【详解】集装箱的体积约是40立方米； 一瓶纯净水约500毫升； 操场的面积约是2000平方米； 游泳池水深2米。 3．在括号里填上适当的数。 7600立方厘米＝( )立方分米     0.43立方米＝( )立方分米 9.05升＝( )升( )毫升     ( )立方分米＝8400毫升 【答案】 7.6 430 9 50 8.4 【分析】各单位之间进率：1立方米＝1000立方分米，1立方分米＝1000立方厘米，1升＝1000毫升，1毫升＝1立方厘米； 大单位转化成小单位乘进率，小单位转化成大单位除以进率。 【详解】因为1立方分米＝1000立方厘米，所以7600÷1000＝7.6，得到：7600立方厘米＝7.6立方分米； 因为1立方米＝1000立方分米，所以0.43×1000＝430，得到，0.43立方米＝430立方分米； 因为9.05升＝9升＋0.05升，1升＝1000毫升，所以0.05×1000＝50，所以，9.05升＝9升＋0.05升＝9升＋50毫升＝9升50毫升； 因为1毫升＝1立方厘米，所以8400毫升＝8400立方厘米，8400÷1000＝8.4，得到，8.4立方分米＝8400毫升。 4．在括号里填上合适的单位或数字。 笔记本电脑的体积约是1( )    72＝( ) 冰箱的容积约是280( )    0.84L＝( )mL 饮用水瓶的容积约是500( )    640＝( )mL＝( )L 【答案】 dm3/立方分米 0.072 L/升 840 mL/毫升 640 0.64 【分析】体积单位有cm3、dm3、m3，容积单位有L、mL，1cm3大概是拇指指头的大小，1dm3大概是拳头大小，更大的物体一般用m3；一瓶矿泉水大概500mL，更大的物体容量一般用L；体积单位的进率：1m3＝1000dm3，1dm3＝1000cm3，1L＝1000mL，1cm3＝1mL，1dm3＝1L，高级单位转化为低级单位乘进率，低级单位转化为高级单位除以进率，据此解答。 【详解】笔记本电脑的体积约是1dm3。 72÷1000＝0.072，72＝0.072 冰箱的容积约是280L。 0.84×1000＝840，0.84L＝840mL 饮用水瓶的容积约是500mL。 640÷1000＝0.64，640＝640mL＝0.64L 练习四、立体图形的表面积和体积 1．求圆柱的表面积。 【答案】408.2cm2 【分析】已知圆柱的直径为10cm，高为8cm，先根据圆柱底面直径求出半径，再根据圆柱表面积公式S＝πd×h＋π×2计算出表面积。 【详解】3.14×10×8＋3.14×（10÷2）2×2 ＝251.2＋3.14×25×2 ＝251.2＋157 ＝408.2（cm2） 所以，这个圆柱的表面积为408.2cm2。 2．计算图形的体积。 【答案】75.36立方厘米 【分析】根据圆锥的体积公式，已知底面周长，先根据：r＝C÷π÷2求出圆锥的底面半径，然后根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【详解】18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（厘米） ×3.14×32×8 ＝×3.14×9×8 ＝3.14×3×8 ＝9.42×8 ＝75.36（立方厘米） 3．计算下面立体图形的表面积和体积。（单位：cm） 【答案】324cm2，360cm3；384cm2，512cm3 【分析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，长方体的体积＝长×宽×高，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，分别把数据代入公式计算即可。 【详解】长方体的表面积： （12×5＋12×6＋5×6）×2 ＝（60＋72＋30）×2 ＝（132＋30）×2 ＝162×2 ＝324（cm2） 长方体的体积： 12×5×6 ＝60×6 ＝360（cm3） 正方体的表面积： 8×8×6 ＝64×6 ＝384（cm2） 正方体的体积： 8×8×8 ＝64×8 ＝512（cm3） 4．求下图中组合图形的表面积。（单位：dm） 【答案】112.84dm2 【分析】组合图形的表面积是圆柱侧面积与长方体表面积的和；由图可知，圆柱的底面直径是2dm，高是3dm，长方体的长是5dm，宽是3dm，高是4dm，根据“圆柱的侧面积＝底面周长×高、长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”代入数据计算，分别求出圆柱的侧面积和长方体的表面积，再相加即可。 【详解】3.14×2×3＋（5×3＋5×4＋3×4）×2 ＝3.14×2×3＋（15＋20＋12）×2 ＝3.14×2×3＋47×2 ＝18.84＋94 ＝112.84（dm2） 5．计算下面立体图形的体积。（单位：厘米） 【答案】100.48立方厘米 【分析】立体图形由圆柱和圆锥组成，，，代入数据分别计算出体积，最后相加就是图中立体图形的体积。据此解答。 【详解】4÷2＝2（厘米） 3.14×22×6＋3.14×22×6× ＝3.14×4×6＋3.14×4×6× ＝12.56×6＋12.56×6× ＝75.36＋25.12 ＝100.48（立方厘米） 立体图形的体积是100.48立方厘米。 6．求这个图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【答案】600平方厘米；936立方厘米 【分析】观察图形可知，这个图形的表面积就等于棱长10厘米的正方体的表面积，利用正方体的表面积公式计算即可解答，正方体的表面积＝棱长×棱长×6；体积等于棱长10厘米的正方体与棱长4厘米的正方体的体积之差，正方体的体积＝棱长×棱长×棱长，据此即可解答。 【详解】10×10×6 ＝100×6 ＝600（平方厘米） 10×10×10－4×4×4 ＝100×10－16×4 ＝1000－64 ＝936（立方厘米） 所以这个图形的表面积是600平方厘米，体积是936立方厘米。 7．求出下面圆柱体空心钢管的体积。（单位：厘米） 【答案】2512立方厘米 【分析】由图可知，大圆柱的底面直径是12厘米，小圆柱的底面直径是8厘米，它们的高都是40厘米，，圆柱体空心钢管的体积＝大圆柱的体积－小圆柱的体积，据此解答。 【详解】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝800×3.14 ＝2512（立方厘米） 所以，圆柱体空心钢管的体积是2512立方厘米。 8．从一个正方体中挖去一个最大的圆锥，请计算剩余部分的体积（单位：分米，π取3.14） 【答案】159.48立方分米 【分析】正方体的体积公式为V＝a×a×a（a为正方体的棱长），已知正方体的棱长为6分米，所以正方体的体积为：6×6×6＝216（立方分米）。要在正方体中挖去一个最大的圆锥，这个圆锥的底面直径和高都等于正方体的棱长，即圆锥的底面直径为6分米，高为6分米。圆锥的底面半径为6÷2＝3分米。圆锥的体积公式为V＝πr2h（r为底面半径，h为高，π取3.14），所以圆锥的体积为：×3.14×32×6＝56.52（立方分米）。剩余部分的体积等于正方体的体积减去圆锥的体积，用216减56.52计算即可。 【详解】6×6×6＝216（立方分米） ×3.14×32×6 ＝×3.14×9×6 ＝3.14×3×6 ＝9.42×6 ＝56.52（立方分米） 216－56.52＝159.48（立方分米） 剩余部分的体积是159.48立方分米。 练习五、立体图形的应用 1．粉刷一间教室的四周和顶棚，教室长8米，宽60分米，高350厘米，门窗和黑板面积为32平方米，如果每平方米用涂料1.2千克，每千克涂料15元，粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要多少元？ 【答案】10260元 【分析】先根据1米＝10分米＝100厘米将长宽高统一成米为单位，教室是一个长方体，只粉刷四周和顶棚，粉刷的面积＝长×宽＋长×高×2＋宽×高×2，然后减门窗和黑板的面积可算出一间教室需要粉刷多少平方米，再乘5可算出5间一共多少平方米，再乘1.2可算出需要多少千克涂料，最后乘15可算出需要多少钱。 【详解】60分米＝6米，350厘米＝3.5米 （8×6＋8×3.5×2＋6×3.5×2）－32 ＝（48＋56＋42）－32 ＝（104＋42）－32 ＝146－32 ＝114（平方米） 114×5×1.2×15 ＝570×1.2×15 ＝684×15 ＝10260（元） 答：粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要10260元。 2．一个圆锥形的沙堆，底面积是36平方米，高0.8米。用这堆沙子去填一个长6米，宽4米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度约是多少米？ 【答案】0.4米 【分析】先根据圆锥体积公式求出沙堆体积，圆锥体积公式为V＝Sh（S是底面积，h是高）。再根据长方体体积公式求出沙坑中沙子厚度，长方体体积公式为V＝a×b×h（a为长，b为宽，h为高），这里沙子体积等于圆锥体积，已知长和宽，求高（即沙子厚度），用沙子体积除以长和宽的乘积。 【详解】×36×0.8 ＝12×0.8 ＝9.6（立方米） 9.6÷（6×4） ＝9.6÷24 ＝0.4（米） 答：沙坑里沙子的厚度约是0.4米。 3．小红家新买了一个长8分米、宽6分米、高6分米的长方形玻璃鱼缸，小红在这个鱼缸内放入了体积约4立方分米的养鱼装饰物。正常情况下，鱼缸水位至少要比鱼缸口低0.5分米，照此计算，最多还能再加入多少升的水？（鱼缸玻璃厚度忽略不计） 【答案】260升 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，据此计算鱼缸的有效装水容积，即水位最高时的体积，再减去装饰物的体积，即可得到最多能加入的水量。 【详解】6－0.5＝5.5（分米） 8×6×5.5－4 ＝264－4 ＝260（立方分米） 260立方分米＝260升 答：最多还能再加入260升的水。 4．一个圆锥体的底面周长是12.56分米，高6分米。 （1）这个圆锥体所占的空间是多少立方分米？ （2）如果给这个圆锥形物体做一个长方体的包装盒，至少要多少平方分米的硬纸板？ 【答案】（1）25.12立方分米 （2）128平方分米 【分析】（1）先根据底面周长公式C＝求出底面半径；再根据圆锥体积公式V＝求出圆锥体所占空间； （2）要使长方体包装盒最小，其长和宽应等于圆锥的底面直径，高应等于圆锥的高。根据底面周长公式C＝求出底面直径；再根据长方体的表面积公式S＝（长×宽＋宽×高＋长×高）×2计算所需要的硬纸板。 【详解】（1）×3.14×（12.56÷3.14÷2）2×6 ＝×3.14×4×6 ＝25.12（立方分米） 答：这个圆锥体所占的空间是25.12立方分米。 （2）12.56÷3.14＝4（分米） （4×4＋4×6＋4×6）×2 ＝（16＋24＋24）×2 ＝64×2 ＝128（平方分米） 答：至少要128平方分米的硬纸板。 5．青青在学习了圆柱和圆锥的体积知识后，她希望探究下面的问题：两个圆柱同底等高，将它们按照下图分别切割出与圆柱底面相等的圆锥，图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等吗？先判断再想办法说明理由。（可以在图上画一画来帮助说明哦！） 【答案】相等 【分析】分析题目，可以假设圆柱的底面直径是4，高是9，图①中上面的圆锥的高是6，则下面圆锥的高是（9－6），根据圆锥的体积＝π（d÷2）2h分别算出图①和图②中的圆锥的体积，再比较大小即可。 【详解】假设圆柱的底面直径是4，高是9，图①中上面的圆锥的高是6。 3.14×（4÷2）2×6×＋3.14×（4÷2）2×（9－6）× ＝3.14×22×6×＋3.14×22×3× ＝3.14×4×6×＋3.14×4×3× ＝12.56×6×＋12.56×3× ＝75.36×＋37.68× ＝25.12＋12.56 ＝37.68 3.14×（4÷2）2×9× ＝3.14×22×9× ＝3.14×4×9× ＝12.56×9× ＝113.04× ＝37.68 因为37.68＝37.68，所以图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等。 答：图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等。 6．陈爷爷家的老屋要翻建，从老屋上拆下一根圆柱形的木料（如图）。 （1）这根木料的侧面有一层斑驳的红漆，原来刷红漆的部分有多少平方厘米？ （2）现在要把这根木料加工成方木（横截面为正方形），这根方木的体积最大是多少立方厘米？合多少立方分米？ 【答案】（1）17584平方厘米；（2）78400立方厘米；78.4立方分米 【分析】（1）刷红漆部分的面积就是圆柱的侧面积，圆柱侧面积＝底面周长×高，据此计算即可解答； （2）根据题意，把圆柱形木材加工成最大的方木，方木底面正方形的对角线等于圆的直径，把这个正方形看作完全相同的两个三角形，每个三角形的底等于直径，高等于半径，根据三角形的面积公式：S＝ah÷2，求出方木的底面积，然后根据长方体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。 【详解】（1）3.14×28×200 ＝87.92×200 ＝17584（平方厘米） 答：原来刷红漆的部分有17584平方厘米。 （2）28×（28÷2）÷2×2×200 ＝28×14÷2×2×200 ＝392÷2×2×200 ＝196×2×200 ＝392×200 ＝78400（立方厘米） 78400立方厘米＝78.4立方分米 答：这根方木的体积最大是78400立方厘米，合78.4立方分米。 【点睛】此题主要考查长方体的体积公式的灵活运用，关键是明白：方木底面正方形的对角线等于圆的直径，把这个正方形看作完全相同的两个三角形。 7．健身房有一个圆柱形沙包，量得沙包的底面直径为2分米，高是8分米，在一次训练中，沙包底破了，沙子全部流到地上形成了一个高是4分米的圆锥形沙堆，这个沙堆的占地面积是多少平方分米？（忽略沙包皮厚度） 【答案】18.84平方分米 【分析】根据题意，一个圆柱形沙包的底面直径为2分米，高是8分米，根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出这些沙子的体积； 沙子全部流到地上形成了一个高是4分米的圆锥形沙堆，沙子的体积不变；根据圆锥的体积公式V＝Sh，可知圆锥的底面积S＝3V÷h，求出这个沙堆的占地面积。 【详解】3.14×（2÷2）2×8 ＝3.14×12×8 ＝3.14×1×8 ＝25.12（立方分米） 25.12×3÷4 ＝75.36÷4 ＝18.84（平方分米） 答：这个沙堆的占地面积是18.84平方分米。 8．一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长15米，横截面是一个半径2米的半圆形。 （1）搭建这个大棚大约要用多少平方米的塑料薄膜？ （2）大棚内的空间大约有多大？ 【答案】（1）106.76平方米 （2）94.2立方米 【分析】（1）由题意可知，已经圆柱的高是15米，底面半径是2米，要求圆柱侧面积的一半与一个底面积的和，根据圆的面积公式，圆的周长公式，，代入数据计算即可。 （2）大棚内的空间就是圆柱体积的一半，根据，代入数据求出圆柱体积再除以2即可得解。 【详解】（1） （平方米） 答：搭建这个大棚大约要用106.76平方米的塑料薄膜。 （2） （立方米） 答：大棚内的空间大约94.2立方米。 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题17：立体图形的认识 测量（期末专项训练） 考点梳理 1 考点一、观察物体 1 考点二、长方体和正方体的展开图 2 考点三、常见的体积单位及换算 3 考点四、立体图形的表面积和体积 4 考点五、立体图形的应用 5 例题讲解 6 题型一、观察物体 6 题型二、长方体和正方体的展开图 7 题型三、常见的体积单位及换算 7 题型四、立体图形的表面积和体积 8 题型五、立体图形的应用 8 专项训练 9 练习一、观察物体 9 练习二、长方体和正方体的展开图 10 练习三、常见的体积单位及换算 12 练习四、立体图形的表面积和体积 12 练习五、立体图形的应用 14 考点梳理 考点一、观察物体 1. 视图的概念 (1)定义：从不同方向观察同一个立体图形，看到的平面形状可能不同。 (2)三个基本视角： ①　正面（从前向后看） ②　上面（从上向下看） ③　侧面（通常指左面或右面，从左/右向右/左看） 2. 观察规律 (1)单一视角的局限性：仅凭一个方向看到的形状，无法确定立体图形的具体形状和大小。 (2)确定立体图形：通常需要结合正面、上面、侧面三个方向的视图，才能唯一确定由小正方体搭成的立体图形的形状。 (3)小正方体计数技巧： ①　分层数：先数最底层，再数第二层……注意被遮挡的部分。 ②　标数法：在俯视图（从上面看）的每个方格中标注该位置叠放的小正方体数量，最后求和。 3. 常见立体图形的视图特征 (1)长方体/正方体：从正面、侧面、上面看，通常都是长方形（正方体是正方形）。 (2)圆柱： ①　从正面/侧面看：长方形（当底面直径=高时，可能是正方形）。 ②　从上面看：圆。 (3)圆锥： ①　从正面/侧面看：三角形（等腰三角形）。 ②　从上面看：圆（中间有一个点，表示顶点）。 (4)球：无论从哪个方向看，都是圆。 考点二、长方体和正方体的展开图 1. 长方体的特征 (1)面：6个面，相对的面完全相同（面积相等，形状相同）。特殊情况有2个相对的面是正方形，其余4个面是完全相同的长方形。 (2)棱：12条棱，相对的棱长度相等。可分为3组（长、宽、高），每组4条。 (3)顶点：8个顶点。 (4)长、宽、高：相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 2. 正方体的特征 (1)面：6个面，都是完全相同的正方形。 (2)棱：12条棱，长度都相等。 (3)顶点：8个顶点。 (4)关系：正方体是特殊的长方体（长=宽=高）。 3. 展开图的规律 (1)长方体展开图： ①　由6个长方形组成（特殊情况含2个正方形）。 ②　相对的面在展开图中通常不相邻，且中间隔着一个面（“相间”原则）。 ③　折叠时，需想象哪些边会重合。 (2)正方体展开图（11种基本型）： ①　“1-4-1”型（6种）：中间4个连成一行，上下各1个，位置可移动。 ②　“2-3-1”型（3种）：中间3个连成一行，上面2个，下面1个（或反之）。 ③　“2-2-2”型（1种）：像楼梯一样，每层2个。 ④　“3-3”型（1种）：两行各3个，错开排列。 ⑤　口诀记忆：中间四个一连串，两边各一随便放（1-4-1）；二三紧连错一个，三一相连一随便（2-3-1）；两两相连各错一（2-2-2）；三个两排一对齐（3-3）。 ⑥　排除法：出现“田”字形、“凹”字形、“7”字形（长柄超过4个）的都不是正方体展开图。 考点三、常见的体积单位及换算 1. 体积与容积的概念 (1)体积：物体所占空间的大小。 (2)容积：容器所能容纳物体的体积。 ①　区别：计算体积从外面量长宽高；计算容积从里面量长宽高。对于有厚度的容器，体积 > 容积。 2. 常用单位 (1)体积单位： ①　立方厘米 ( )：大约相当于手指尖的大小。 ②　立方分米 ( )：大约相当于粉笔盒的大小。 ③　立方米 ( )：大约相当于洗衣机或大纸箱的大小。 (2)容积单位： ①　毫升 ( )：常用于药水、饮料小包装。 ②　升 ( )：常用于桶装水、油桶。 3. 单位间的进率 (1)相邻体积单位进率是 1000： ①　 ②　 (2)容积与体积的关系： ①　 ②　 ③　 4. 换算方法 (1)高级单位 低级单位：乘进率（小数点向右移3位）。 例： (2)低级单位 高级单位：除以进率（小数点向左移3位）。 例： (3)复名数换算： 例： （注意：50 不是 0.5 ，而是 ） 考点四、立体图形的表面积和体积 1. 长方体和正方体 项目 长方体 正方体 表面积公式 ( =长, =宽, =高) ( =棱长) 体积公式 或 ( 为底面积) 或 棱长总和 (1)注意：解决实际问题时，不一定计算6个面。 ①　无盖鱼缸/盒子：少算一个上面 ( )。 ②　通风管/烟囱：只算4个侧面 ( 或 底面周长 高)。 ③　粉刷教室：通常算5个面（四面墙+天花板），并扣除门窗黑板面积。 2. 圆柱 (1)特征：上下两个底面是完全相同的圆；侧面是一个曲面，沿高展开是长方形（或正方形）。 (2)侧面积： ①　公式： ②　字母： (3)表面积： ①　公式： ②　字母： (4)体积： ①　推导：将圆柱切拼成近似长方体，体积不变，底面积和高不变。 ②　公式： 3. 圆锥 (1)特征：底面是一个圆；侧面是一个曲面，展开是扇形；只有1个顶点，1条高（从顶点到底面圆心的距离）。 (2)体积： ①　关系：等底等高的圆柱体积是圆锥体积的 3倍；圆锥体积是圆柱体积的 。 ②　公式： ③　易错点：计算圆锥体积时，千万不要忘记乘 。 4. 公式对比总结 图形 体积通用公式 备注 长方体/正方体/圆柱 统称为“柱体”，体积=底面积×高 圆锥 锥体体积需乘 考点五、立体图形的应用 1. 排水法求体积 (1)原理：物体浸没在水中，水面上升部分的体积等于物体的体积。 (2)公式： ①　 ②　或者： (3)注意：物体必须完全浸没，且水不能溢出。 2. 切割与拼接问题 (1)切割（增加表面积）： ①　把一个立体图形切开，表面积会增加 2个切面 的面积。 ②　例：把圆柱平行于底面切成两段，增加 2个底面积 ( )。 ③　例：把圆柱沿直径垂直切开，增加 2个长方形截面 ( )。 (2)拼接（减少表面积）： ①　把两个立体图形拼在一起，表面积会减少 2个接触面 的面积。 ②　要使拼成后的长方体表面积最小，应把最大的面重合；要使表面积最大，应把最小的面重合。 3. 等积变形问题 (1)核心思想：形状改变，体积不变。 (2)常见题型： ①　把橡皮泥从正方体捏成长方体。 ②　把圆柱形钢材熔铸成圆锥形零件。 ③　解题关键：抓住 列方程或算式。 ④　例：圆柱熔铸成等底的圆锥，圆锥的高是圆柱高的 3倍。 ⑤　例：圆柱熔铸成等高的圆锥，圆锥的底面积是圆柱底面积的 3倍。 4. 滚动与旋转 (1)压路机问题： ①　压路机滚筒滚动一周压路的面积 = 滚筒的 侧面积。 ②　滚动 周压路面积 = 侧面积 。 (2)旋转成体： ①　长方形以一条边为轴旋转一周 圆柱。 ②　直角三角形以一条直角边为轴旋转一周 圆锥。 ③　半圆以直径为轴旋转一周 球。 5. 解决实际问题步骤建议 (1)审题：判断求的是表面积还是体积/容积？单位是否统一？ (2)选公式：根据图形特征选择正确的公式。 (3)找条件：从题目中提取半径( )、直径( )、周长( )、高( )等数据。若给的是直径或周长，先求半径 。 (4)计算：注意 取 3.14，运算仔细。 (5)取舍： ①　求材料用量（如铁皮、油漆）：通常用 “进一法” 保留整数（因为材料不够不行）。 ②　求容纳量（如装油、装粮）：通常用 “去尾法” 保留整数（因为装不下多余部分）。 例题讲解 题型一、观察物体 【例题1】用一些大小相同的小正方体搭一个立体图形，如图是从不同方向观察后画出的图形。搭这个立体图形用了（    ）个小正方体。 A．6 B．7 C．8 D．13 【练习1】分别画出立体图形从正面、上面和左面看到的形状。 题型二、长方体和正方体的展开图 【例题2】妙妙把下面的展开图折成了一个长方体（字母在长方体的内侧），如果A面在底部，则( )面在上面，与C面相对的是( )面。 【练习2】将下图的纸片折起来可以做成一个正方体，这个正方体中“明”字所在面的对面是（    ）字。 A．成 B．都 C．之 D．城 题型三、常见的体积单位及换算 【例题3】填上合适的面积或容积单位。 (1)教室的面积是56( )。 (2)一瓶洗发液约有500( )。 (3)一台冰箱的容积约250( )。 【练习3】1.6L＝( )cm3   0.6dm3＝( )mL    4400mL＝( )L     2.8m3＝( )dm3 题型四、立体图形的表面积和体积 【例题4】计算下面长方体的表面积和正方体的体积。 【练习4】计算下面图形的表面积和体积。（单位：m） 题型五、立体图形的应用 【例题5】数学活动实践课上，小辰所在的小组同学用铁皮制作了一个无盖的长方体容器，如图所示。（容器厚度、接头处均不计） （1）制作这个无盖的长方体容器，至少需要多少平方厘米的铁皮？ （2）小辰给空的容器中加入水，水深12厘米，然后将一个萝卜放入水中，完全浸没，水面上升到14厘米，这个萝卜的体积是多少立方分米？ 【练习5】有一个近似于圆锥形状的碎石堆，底面周长是12.56米，高是0.6米。如果每立方米碎石重2吨，这堆碎石大约重多少吨？ 专项训练 练习一、观察物体 1．观察下边的物体，从左面看到的图形是（    ）。 A． B． C． D． 2．用5个同样大小的正方体摆成一个几何体，正面看是，上面看是，这个几何体是（    ）。 A． B． C． D． 3．用相同的小正方体搭一个立体图形，从上面看到的形状是，从右面看到的形状是，搭这样的立体图形，最少需要（    ）个小正方体。 A．5 B．6 C．7 D．8 4．观察下面的物体，回答问题。 从前面看形状相同的有( )；从左边看形状相同的有( )；在同一个图形中从前面看和从左边看形状一样的是( )。 5．画出从三个方向看到的图形。 练习二、长方体和正方体的展开图 1．运用空间想象力判定下列四个图形中不能折成正方体的是（    ）。 A． B． C． D． 2．如图是一个正方体盒子，图（    ）可能是这个正方体盒子的展开图。 A． B． C． D． 3．如图是一个正方体的展开图，在原正方体上，两个相对面的两数之和最大是( )。 4．如图是一个正方体的展开图，把它还原成这个正方体时，与点M重合的点有两个，分别是点( )和点( )。 5．铭铭将一个正方体的展开图画在如图的方格图上。 (1)用数对表示下面各点的位置。 A( )、B( )。 (2)与③号面相对的是( )号面，将这个展开图折成正方体，它的棱长之和是48cm，则它的表面积是( )cm2。 6．一个无盖纸盒的长、宽、高分别是4厘米、3厘米和2厘米。下图画出的是纸盒展开图的后面和右面，请在方格纸上画出另外3个面。这个纸盒的容积是多少立方厘米？（纸的厚度忽略不计） 练习三、常见的体积单位及换算 1．一袋牛奶的容积约是250（    ）。 A．立方分米 B．升 C．毫升 D．立方米 2．在括号里填入合适的单位。 集装箱的体积约是40( )，一瓶纯净水约500( )， 操场的面积约是2000( )，游泳池水深2( )。 3．在括号里填上适当的数。 7600立方厘米＝( )立方分米     0.43立方米＝( )立方分米 9.05升＝( )升( )毫升     ( )立方分米＝8400毫升 4．在括号里填上合适的单位或数字。 笔记本电脑的体积约是1( )    72＝( ) 冰箱的容积约是280( )    0.84L＝( )mL 饮用水瓶的容积约是500( )    640＝( )mL＝( )L 练习四、立体图形的表面积和体积 1．求圆柱的表面积。 2．计算图形的体积。 3．计算下面立体图形的表面积和体积。（单位：cm） 4．求下图中组合图形的表面积。（单位：dm） 5．计算下面立体图形的体积。（单位：厘米） 6．求这个图形的表面积和体积。（单位：厘米） 7．求出下面圆柱体空心钢管的体积。（单位：厘米） 8．从一个正方体中挖去一个最大的圆锥，请计算剩余部分的体积（单位：分米，π取3.14） 练习五、立体图形的应用 1．粉刷一间教室的四周和顶棚，教室长8米，宽60分米，高350厘米，门窗和黑板面积为32平方米，如果每平方米用涂料1.2千克，每千克涂料15元，粉刷五间同样的教室（门窗和黑板不粉刷）一共需要多少元？ 2．一个圆锥形的沙堆，底面积是36平方米，高0.8米。用这堆沙子去填一个长6米，宽4米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度约是多少米？ 3．小红家新买了一个长8分米、宽6分米、高6分米的长方形玻璃鱼缸，小红在这个鱼缸内放入了体积约4立方分米的养鱼装饰物。正常情况下，鱼缸水位至少要比鱼缸口低0.5分米，照此计算，最多还能再加入多少升的水？（鱼缸玻璃厚度忽略不计） 4．一个圆锥体的底面周长是12.56分米，高6分米。 （1）这个圆锥体所占的空间是多少立方分米？ （2）如果给这个圆锥形物体做一个长方体的包装盒，至少要多少平方分米的硬纸板？ 5．青青在学习了圆柱和圆锥的体积知识后，她希望探究下面的问题：两个圆柱同底等高，将它们按照下图分别切割出与圆柱底面相等的圆锥，图①中两个圆锥的体积之和与图②中圆锥的体积相等吗？先判断再想办法说明理由。（可以在图上画一画来帮助说明哦！） 6．陈爷爷家的老屋要翻建，从老屋上拆下一根圆柱形的木料（如图）。 （1）这根木料的侧面有一层斑驳的红漆，原来刷红漆的部分有多少平方厘米？ （2）现在要把这根木料加工成方木（横截面为正方形），这根方木的体积最大是多少立方厘米？合多少立方分米？ 7．健身房有一个圆柱形沙包，量得沙包的底面直径为2分米，高是8分米，在一次训练中，沙包底破了，沙子全部流到地上形成了一个高是4分米的圆锥形沙堆，这个沙堆的占地面积是多少平方分米？（忽略沙包皮厚度） 8．一个用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长15米，横截面是一个半径2米的半圆形。 （1）搭建这个大棚大约要用多少平方米的塑料薄膜？ （2）大棚内的空间大约有多大？ 第 2 页 共 27 页 第 1 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $