专题09：长方形和正方形（期末专项训练）三年级数学下学期（苏教版·新教材）

**基本信息** 以“概念-性质-操作-应用”为逻辑主线，系统整合平行垂直、距离测量、图形特征等核心考点，通过口诀化方法提炼与分层训练，培养几何直观与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行与垂直的特征及性质|4题型+8题训练|定义+关键要素+生活实例+性质（必背）|从平面内直线关系切入，建立平行与垂直的概念体系| |点到直线的距离|2题型+3题训练|垂线段最短规律+四步测量法|延伸垂直性质，解决实际距离问题| |画垂线和平行线|2题型+5题训练|三角尺/直尺操作口诀（一贴二靠三移四画）|将性质转化为操作技能，强化空间操作能力| |长方形和正方形|2题型+10题训练|边/角/对称性特征辨析+特殊关系（正方形是特殊长方形）|综合平行垂直知识，构建平面图形认知框架|

专题09：长方形和正方形（期末专项训练） 考点梳理 1 考点一、平行与垂直的特征及性质 1 考点二、点到直线的距离 2 考点三、画垂线和平行线 3 考点四、长方形和正方形 3 例题讲解 4 题型一、平行与垂直的特征及性质 4 题型二、点到直线的距离 4 题型三、画垂线和平行线 5 题型四、长方形和正方形 7 专项训练 8 练习一、平行与垂直的特征及性质 8 练习二、点到直线的距离 11 练习三、画垂线和平行线 12 练习四、长方形和正方形 16 考点梳理 考点一、平行与垂直的特征及性质 1. 认识平行 (1)定义：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。其中一条直线是另一条直线的平行线。 (2)关键要素： ①　同一平面：必须是在同一个平面上（比如都在桌面上，或者都在黑板面上）。 ②　不相交：无论怎么延长，两条线永远碰不到一起。 (3)生活中的例子： ①　铁轨的两条轨道。 ②　黑板的上下两条边。 ③　双杠的两根横杆。 (4)表示方法：如果直线 与直线 平行，记作 ，读作“ 平行于 ”。 2. 认识垂直 (1)定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。其中一条直线是另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 (2)关键要素： ①　相交：两条线必须交叉。 ②　直角：相交的角度必须是90度（可以用三角尺的直角去比对）。 (3)生活中的例子： ①　墙角线与地面线。 ②　书本相邻的两条边。 ③　十字路口两条笔直的道路。 (4)表示方法：如果直线 与直线 垂直，记作 ，读作“ 垂直于 ”。 3. 重要性质（必背） (1)平行的性质： ①　过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 ②　如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 (2)垂直的性质：过直线上（或直线外）一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 考点二、点到直线的距离 1. 什么是“点到直线的距离”？ (1)定义：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到直线的距离。 (2)注意：距离是一个数值（长度），单位通常是厘米或毫米，而不是那条线段本身。 2. 重要规律 (1)垂线段最短：从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂直线段最短。 (2)应用举例： ①　小明要从路边（直线）走到学校门口（点），走垂直于路边的路线最近。 ②　测量跳远成绩时，尺子要与起跳线垂直，因为这样量出的才是最短距离（真实成绩）。 3. 如何测量？ (1)将三角尺的一条直角边与已知直线重合。 (2)沿直线移动三角尺，使另一条直角边经过直线外的点。 (3)从点向直线画垂直线段。 (4)用直尺量出这条垂直线段的长度，即为距离。 考点三、画垂线和平行线 1. 画垂线的方法（使用三角尺） (1)情况一：过直线上一点画垂线 ①　重合：将三角尺的一条直角边与已知直线重合。 ②　平移：沿直线移动三角尺，直到直角顶点与直线上的已知点重合。 ③　画线：沿三角尺的另一条直角边画一条直线。 ④　标记：画上直角符号，标出垂足。 (2)情况二：过直线外一点画垂线 ①　重合：将三角尺的一条直角边与已知直线重合。 ②　平移：沿直线移动三角尺，直到另一条直角边经过直线外的已知点。 ③　画线：从已知点开始，沿另一条直角边向直线画线段。 ④　标记：画上直角符号。 2. 画平行线的方法（使用三角尺和直尺） (1)口诀：一贴、二靠、三移、四画 ①　一贴：将三角尺的一条直角边贴在已知直线上。 ②　二靠：将直尺靠在三角尺的另一条直角边上（固定直尺不动）。 ③　三移：按住直尺，推动三角尺，直到三角尺的原来那条边经过已知点（或到达指定位置）。 ④　四画：沿三角尺的这条边画直线。 (2)检验：画完后，可以用三角尺的直角检查两条线之间的距离是否处处相等，或者看它们是否永不相交。 考点四、长方形和正方形 1. 长方形的特征 (1)边： ①　有4条边，对边平行且相等。 ②　通常把较长的一组对边叫“长”，较短的一组对边叫“宽”。 (2)角：有4个角，都是直角（90度）。 (3)对称性：是轴对称图形，有2条对称轴（分别通过对边中点的连线）。 2. 正方形的特征 (1)边： ①　有4条边，4条边都相等。 ②　每条边都叫“边长”。 (2)角：有4个角，都是直角（90度）。 (3)对称性：是轴对称图形，有4条对称轴（2条对边中点连线，2条对角线）。 (4)特殊关系：正方形是特殊的长方形（当长方形的长和宽相等时，就变成了正方形）。 例题讲解 题型一、平行与垂直的特征及性质 【例题1】如图，直线a和直线c互相( )，直线a和直线b互相( )，直线c和直线d( )。 【答案】 垂直 平行 相交 【分析】直线a与直线c相交所成的角是直角，所以它们互相垂直；直线a和直线b延长后永远不会相交，所以它们互相平行；直线c和直线d延长后会相交。据此解答即可。 【详解】直线a和直线c互相垂直，直线a和直线b互相平行，直线c和直线d相交。 【练习1】过直线外一点画已知直线的平行线，可以画( )条，两条平行线间可以画( )条垂直线段，这些线段的长度都( )。 【答案】 一 无数 相等 【分析】过直线外任意一点都可以画一条直线与已知直线平行，过直线上任意一点，只有一条直线与已知直线垂直，直线上有无数的点，则能画无数条直线与已知直线垂直，也就是两条平行线间可以画无数条垂直线段，这些线段的长度都相等；据此解答即可。 【详解】过直线外一点画已知直线的平行线，可以画一条，两条平行线间可以画无数条垂直线段，这些线段的长度都相等。 题型二、点到直线的距离 【例题2】小鸭子要尽快游到小河对岸，它应该选择路线（    ）。 A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】根据从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短，所以小鸭子要从起点游到河对岸，想要游的路线最短，需要过起点向河对岸所在的直线作垂线段。据此解答。 【详解】观察题目所给图形，路线②是小鸭子到小河对岸的垂线段，依据“点到直线的垂线段最短”，这条路线长度最短。 所以，小鸭子要尽快游到小河对岸，它选择路线②。 故答案为：B 【练习2】若点A表示一个货运中转站，直线m为一条公路，现在准备修一条柏油路连接公路，该怎么修建呢？在图中画出来。 【答案】见详解 【分析】因为直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂线段最短，所以，只要作出从A点到公路m的垂线段即可。把三角板的一直角边靠紧直线m，沿直线滑动三角板，当另一直角边经过A点时，沿这条直角边画出A到直线m的垂直线段就是现在准备修的一条柏油路。 【详解】如图： 题型三、画垂线和平行线 【例题3】过C点作直线M的垂线，过D点作直线M的平行线。 【答案】见详解 【分析】（1）过直线上或直线外一点作垂线的步骤：把三角尺的一条直角边与已知直线重合；沿着直线移动三角尺，使直线上或直线外的点在三角尺的另一条直角边上；沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 （2）画已知直线的平行线可以借助直尺和三角尺来完成：固定三角尺，沿一条直角边先画一条直线或先让三角尺的直角边与已知直线重合；用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边，固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺直至三角尺的直角边经过已知的点；最后，沿直角边画出另一条直线。 【详解】 【练习3】下面是一张街区的示意图。 （1）文昌路经过街心花园，与园林路互相平行，在图中画出文昌路。 （2）如果从学校出发，修一条路连接到发达路，怎样修路距离最短？请在图上画一画。 【答案】见详解 【分析】（1）过直线外一点作直线的平行线：把三角板的一边靠紧直线，另一边靠紧一直尺，沿直尺滑动三角板，当与直线重合的一边经过已知点时，沿这边画直线就是过该点作的直线的平行线。过街心花园作园林路的平行线即可。 （2）过一点作直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过该点时，沿这条直角边画的直线就是过该点作的直线的垂线；根据两点之间线段最短，所以过学校作到发达路的垂线即距离最短，据此作图即可。 【详解】作图如下： 题型四、长方形和正方形 【例题4】有3组小棒，如果要搭一个长方形，我可以选( )号，搭一个正方形可以选( )号。 【答案】 ③ ① 【分析】根据长方形的特征，长方形对边相等，由此可知，可以选5厘米、5厘米、7厘米、7厘米的小棒围成一个长方形；根据正方形的特征，正方形四条边都相等，所以要选四条一样长的小棒。 【详解】根据分析，如果要搭一个长方形，我可以选③号；搭一个正方形可以选①号。 【练习4】在下面的方格纸上画一个边长是5厘米的正方形和一个长6厘米、宽4厘米的长方形。（每个格子的边长为1厘米） 【答案】见详解 【分析】正方形是正正方方的，由4条边围成，且4条边都一样长；据此画一个边长是5厘米的正方形。 长方形是长长方方的，由4条边围成，且对边一样长；据此一个长6厘米、宽4厘米的长方形。 【详解】由题意分析得： 专项训练 练习一、平行与垂直的特征及性质 1．下面关系图正确的是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】同一平面内，如果这两条直线永不相交，就说明这两条直线互相平行；两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。依此选择即可。 【详解】 A．垂直属于相交，此图中相交包含垂直，正确； B．互相平行的直线不可能相交，此图中相交包含平行，错误； C．此图中平行和垂直属于包含关系，错误。 2．下面各图中，两条直线互相垂直的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，明确在同一平面内，如果两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。以此逐项分析即可。 【详解】根据分析可知： A．这两条直线相交不成直角，这两条直线不是互相垂直。 B．这两条直线相交不成直角，这两条直线不是互相垂直。 C．这两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直。 D．这两条直线相交不成直角，这两条直线不是互相垂直。 两条直线互相垂直的是。 故答案为：C 3．“空中造楼机”可建千米级高楼。在建筑过程中，有时用铅垂线来检查墙壁是否竖直。如果墙壁竖直，铅垂线会与墙壁（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．相交 【答案】A 【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫做互相平行。如果两条直线相交成直角（90°），就说这两条直线互相垂直。 【详解】铅垂线受重力作用，永远是竖直向下的直线，墙壁竖直，墙壁的边线也是竖直方向，两条竖直方向、永不相交的直线，位置关系是互相平行。 4．把一张正方形卡纸对折再对折，打开后两条折痕不可能（    ）。 A．互相平行 B．既不平行，也不垂直 C．互相垂直 【答案】B 【分析】同一平面内，永不相交的两条直线叫做平行线，组成平行线的两条直线互相平行；在同一平面内，两条直线相交成直角，这两条直线互相垂直；据此画图并选择。 【详解】如图所示： 由此可知，把一张正方形纸对折再对折，打开后，两条折痕可能互相平行，也可能互相垂直，所以两条折痕不可能既不平行，也不垂直。 故答案为：B 5．在同一平面内，不相交的两条直线叫做( )，或者说这两条直线( )平行。 【答案】 平行线 互相 【分析】这道题考查平行线的定义，明确前提条件“在同一平面内”，再根据“两条直线不相交”这一关键特征，结合定义得出这样的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。 【详解】在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，或者说这两条直线互相平行。 6．教室黑板的上下两条边相互( )，相邻两条边相互( )。 【答案】 平行 垂直 【分析】教室黑板的上下两条边是水平且方向相同的直线，它们在同一平面内且不相交，因此相互平行；相邻两条边（如一条水平边和一条垂直边）相交且形成的角为直角，因此相互垂直。 【详解】黑板的上下两条边是平行的，因为它们是两条永不相交的直线；相邻两条边是垂直的，因为它们相交成直角。 7．小梦去参加环保实践活动，图中是活动附近的街道平面图，图中互相平行的两条路是( )和( )，互相垂直的两条路是( )和( )。 【答案】 工农路 文昌路 文昌路 红星路 【分析】判断两条路是否互相平行，看两条路在图中是否永远不相交，并且之间的距离处处相等；判断两条路是否互相垂直，看两条路相交形成的角是不是直角；在图里找出符合条件的道路名称。 【详解】从图中可以看出，图中互相平行的两条路是工农路和文昌路，互相垂直的两条路有很多，如文昌路和红星路、工农路和红星路、山河路和星汇路，任选一组填写。 8．按要求将序号填在括号里。 在上面的图形中，有互相平行的线段的图形是( )，有互相垂直的线段的图形是( )，既有互相平行又有互相垂直的线段的图形是( )。 【答案】 ①②③④ ②④⑥ ②④ 【分析】在同一个平面内，不相交的两条直线叫作平行线。两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直；据此解答即可。 【详解】在上面的图形中，有互相平行的线段的图形是①②③④，有互相垂直的线段的图形是②④⑥，既有互相平行又有互相垂直的线段的图形是②④。 练习二、点到直线的距离 1．某景区为迎接春节，要在景区的一个湖边晚上设置灯光秀，小梦从景区大门到湖边观看灯光秀，有4条路线可供选择（如图），（    ）路线最近。 A．AB B．AC C．AD D．AE 【答案】B 【分析】从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂线段最短。观察图形可知：景区大门（点A）是直线（湖边灯光秀所在直线）外的一点，路线AC是从A到该直线的垂线段。 【详解】AC与直线垂直，有直角符号标识，所以AC最短。 小梦从景区大门到湖边观看灯光秀，AC路线最近。 故答案为：B 2．在笔直的公路上有三条小路通往小明家，它们的长度分别是125米，207米，112米，其中有一条小路与公路是垂直的，那么这条小路的长度是( )米，你判断的理由是( )。 【答案】 112 从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短 【分析】从直线外一点到这条直线的所有线段中，垂直线段最短。因此，与公路垂直的小路长度应该是最短的。比较三条小路的长度即可得解。 【详解】112米＜125米＜207米 那么这条小路的长度是（112）米，你判断的理由是（从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短）。 3．乐乐家要修一条通向公路的小路，怎样修最近？请在图上画出小路的示意图。 【答案】图见详解 【分析】从直线外一点与这条直线所有点的连线中，垂直线段最短，这条垂线段的长度叫做点到直线的距离。据此可知，要使修路最近，则从乐乐家向公路作垂线，这条垂线即为所求。 【详解】如图： 练习三、画垂线和平行线 1．以下是得到一组“平行线”的三种方法，下面说法中正确的是（    ）。 A．只有方法①和方法②正确 B．只有方法①和方法③正确 C．只有方法②和方法③正确 D．三种方法都正确 【答案】D 【分析】平行线是两条永不相交的直线组成。 分析得到一组“平行线”的三种方法： 方法①：利用三角板的平移画平行线，是正确的平行线画法。 方法②：借助直尺和三角板平移，这是画平行线的标准方法，是正确的。 方法③：利用网格的平行特性，画出的直线会保持平行，也是正确的。 【详解】根据分析可知，三种方法都正确。 故答案为：D 2．按要求画图。 过点A先画已知直线的垂线，再画已知直线的平行线。量一量，画出的两条直线互相垂直吗？ 【答案】垂直；画图见详解 【分析】过直线外一点作已知直线的垂线：把三角板的一直角边靠紧直线，沿这条直线滑动三角板，当另一直角边经过A点时，沿这条直角边画的直线就是过A点作的直线的垂线。 画平行线：用三角板的一条直角边和已知直线重合，移动三角板使另一条直角边和A点重合，用直尺靠紧和A点重合的直角边，按住直尺不动，沿直尺移动三角板，过A点画直线即可。 观察图可知，画出的两条直线相交于点A，组成4个角，根据量角器的使用方法，中心点需与角的顶点对齐，零刻度线需与角的一条边对齐，看另一条边对应的刻度，就是该角的度数。据此分别测量出这4个角的度数，看看是不是90°，如果4个都是90°，画出的两条直线相交于点A，组成4个角都是直角，即画出的两条直线互相垂直；据此解题即可 【详解】过点A先画已知直线的垂线，再画已知直线的平行线，画图如下： 通过测量，画出的两条直线相交于点A，组成4个角都是直角，所以，画出的两条直线互相垂直。 3．过A点作直线a的平行线，过A点作直线b的垂线。 【答案】见详解 【分析】（1）过A点作已知直线的平行线的方法：先把三角尺的一条直角边与直线a重合；再用直尺紧靠着三角尺的另一条直角边。固定直尺，然后沿着直尺平移三角尺，使直线外的A点在三角尺上。沿直角边画出另一条直线即可。 （2）过A点作垂线的方法：先把三角尺的一条直角边与直线b重合；沿着直线移动三角尺，使直线外的A点在三角尺的另一条直角边上。再沿三角尺的另一条直角边画一条直线，并画上垂直符号。这条直线就是已知直线的垂线。 【详解】作图如下： 4．经过点A向线段BC画一条垂直线段，并分别量出它们的长度。 【答案】作图见详解；11 作图见详解；13 【分析】过直线外一点画已知线段的垂线，用三角尺的直角边配合平移完成，再用直尺测量长度。 【详解】把三角尺的一条直角边与线段BC重合，平移三角尺，让另一条直角边经过点A，沿这条直角边画线段，与BC交于一点，标上垂足符号；根据线段的起点和终点用直尺量出垂直线段的长度，作图如下： 测得三角形中的垂直线段长度为11mm；（以实际测量为准） 测得梯形中的垂直线段长度为13mm。（以实际测量为准） 5．下图是某国道旁的几个村的位置示意图。 （1）请在示意图中找到互相垂直的线，并用直角符号表示出来。 （2）请找到互相平行的线，在图中圈一圈。 （3）计划从B村往国道修一条路，怎样修可使修出的路最短？在图中画出来。 【答案】 【分析】（1） 根据垂直的定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。通过对示意图中线段关系的观察，寻找相交成直角的线。 （2） 根据平行的定义：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。观察示意图中是否存在不相交的直线。 （3） 根据“从直线外一点到这条直线所画的垂直线段最短”，要从B村往国道修最短的路，就是过B村作国道的垂线段。 【详解】（1）A村通过一条垂直线段连接到C村，所以A村与C村的连线和CD所在的水平方向线段互相垂直，在其相交处标上直角符号；D村通过一条垂直线段连接到上方的国道，所以D村与国道的连线和D村所在的水平方向线段互相垂直，在其相交处标上直角符号。 （2） 观察图中，AC、D所在的线段互相平行，将其圈出。 （3） 过B村向国道作垂线段，此垂线段即为最短的路，在图中画出该垂线段。 练习四、长方形和正方形 1．下面三组小棒中，能围成长方形的是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【分析】根据题意，明确长方形相对的两条边相等，也就是四条边中两两相等，以此选择即可。 【详解】根据分析可知：四条小棒代表图形的四条边。 A．四条边，两组相对的边相等，能围成长方形，符合题意。 B．四条边中三条较长的边，一条较短的边，不能围成长方形。 C．四条边三种长度，不能围成长方形。 故答案为：A 2．用哪根小棒能拼成一个长方形。（    ） A．4厘米 B．6厘米 C．7厘米 【答案】C 【分析】由长方形的对边相等，四个角都是直角，即可做出选择。 【详解】 用“7厘米”能拼成一个长方形。 故答案为：C 3．下列图形中，长方形有( )，正方形有( )。（填序号） 【答案】 ④⑥⑦ ②⑤/⑤② 【分析】长方形的特征：四边形，4个角都是直角，对边相等；正方形的特征：四边形，四个角都是直角，且4条边长度都相等，判断即可。 【详解】由分析得出：②⑤符合正方形的特征，是正方形； ④⑥⑦符合长方形的特征，属于长方形。 4．一个正方形有( )条边，( )个直角；一个长方形有( )组对边相等。 【答案】 4 4 2 【分析】长方形的特征：两组对边分别相等，四个角都是直角的四边形是长方形； 正方形的特征：四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形。 【详解】由分析知，一个正方形有（4）条边，（4）个直角；一个长方形有（2）组对边相等。 5．如图是宣传海报，由多个长方形组成，请问一共有( )个长方形。 【答案】15 【分析】我们可以先数由1个长方形组成的长方形有几个，再数由2个长方形组成的长方形有几个，以此类推，最后数到由5个长方形组成的长方形为止。 【详解】根据分析，由1个长方形组成的长方形有5个，由2个长方形组成的长方形有4个，由3个长方形组成的长方形有3个，由4个长方形组成的长方形有2个，由5个长方形组成的长方形有1个，列式计算为： 5＋4＋3＋2＋1＝15（个） 一共有15个长方形。 6．画一个长3厘米、宽2厘米的长方形。 【答案】见详解 【分析】长方形由邻边和对边组成，邻边相互垂直，对边相互平行，根据长方形的特点，用三角尺先画两条垂线，以垂足为起点，分别截取3厘米和2厘米的线段作为长和宽，过另外两个端点再画出已知长和宽的垂线，将这两条垂线连接起来就形成了长方形。 【详解】作图如下： 7．在方格纸中画一个长5厘米宽3厘米的长方形，然后在其中画一个最大的正方形，涂上阴影。注意：每格代表1厘米。 【答案】见详解 【分析】（1）长方形的定义：对边相等，四个角都是直角的四边形叫做长方形，通常情况下，长的那一边为长，短的那一边为宽；根据长方形的特征画一个长5厘米宽3厘米的长方形。 （2）在一个长方形中画一个最大的正方形，正方形的边长为长方形的宽，正方形的四条边都相等、四个角都是直角；据此在其中画一个最大的正方形，涂上阴影即可。 【详解】根据分析画图如下： （正方形画法不唯一） 8．先过A点画已知直线的垂直线段，再以这条垂直线段为边长，画一个正方形。 【答案】图见详解 【分析】用三角板过点A作已知直线的一条垂线段，量出长度，这条垂线段的两个端点为正方形的两个顶点，再过直线外一点A画已知直线的平行线：先把三角板的一条直角边与已知直线重合，并把直尺靠在三角板另一条直角边上，保持直尺固定不动，再移动三角板，使其直角边与点A重合，最后沿着三角板直角边过点A画直线，即为已知直线的平行线；在两条平行线上分别截取和垂线段相等的两条线段，连接截取的另两个端点即可得出以这条垂直线段为边长的正方形。据此作图即可。 【详解】根据以上分析作图： （答案不唯一） 9．下图是一组平行线，在这组平行线之间画一个最大的正方形。 我发现：画出的正方形的边长（    ）这组平行线间的距离。（填“大于”“小于”或“等于”） 【答案】图见详解；等于 【分析】四条边都相等、四个角都是直角的四边形是正方形。先在两条平行线中画出一条垂线段，量出长度，然后以这条垂线段的两个端点为正方形的两个顶点，在两条平行线上分别截取和垂线段相等的两条线段，连接截取的另两个端点即可得出平行线里最大的正方形。 【详解】如图： 我发现：画出的正方形的边长等于这组平行线间的距离。 10．下图为两个相同的正方形组成的图形，如果∠1＝46°，请计算∠3的度数。（写出必要的过程） 【答案】∠3＝46° 【分析】正方形每个角都是直角，∠1＋∠2＝90°，∠2＋∠3＝90°，已知∠1＝46°，∠2＝90°－46°＝44°，据此即可求出∠3的度数。 【详解】∠1＋∠2＝90° ∠2＋∠3＝90° 已知∠1＝46°，∠2＝90°－46°＝44° ∠3＝90°－44°＝46° 第 2 页 共 17 页 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09：长方形和正方形（期末专项训练） 考点梳理 1 考点一、平行与垂直的特征及性质 1 考点二、点到直线的距离 2 考点三、画垂线和平行线 2 考点四、长方形和正方形 3 例题讲解 4 题型一、平行与垂直的特征及性质 4 题型二、点到直线的距离 4 题型三、画垂线和平行线 4 题型四、长方形和正方形 5 专项训练 5 练习一、平行与垂直的特征及性质 5 练习二、点到直线的距离 7 练习三、画垂线和平行线 7 练习四、长方形和正方形 8 考点梳理 考点一、平行与垂直的特征及性质 1. 认识平行 (1)定义：在同一平面内，不相交的两条直线互相平行。其中一条直线是另一条直线的平行线。 (2)关键要素： ①　同一平面：必须是在同一个平面上（比如都在桌面上，或者都在黑板面上）。 ②　不相交：无论怎么延长，两条线永远碰不到一起。 (3)生活中的例子： ①　铁轨的两条轨道。 ②　黑板的上下两条边。 ③　双杠的两根横杆。 (4)表示方法：如果直线 与直线 平行，记作 ，读作“ 平行于 ”。 2. 认识垂直 (1)定义：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直。其中一条直线是另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。 (2)关键要素： ①　相交：两条线必须交叉。 ②　直角：相交的角度必须是90度（可以用三角尺的直角去比对）。 (3)生活中的例子： ①　墙角线与地面线。 ②　书本相邻的两条边。 ③　十字路口两条笔直的道路。 (4)表示方法：如果直线 与直线 垂直，记作 ，读作“ 垂直于 ”。 3. 重要性质（必背） (1)平行的性质： ①　过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。 ②　如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 (2)垂直的性质：过直线上（或直线外）一点，有且只有一条直线与已知直线垂直。 考点二、点到直线的距离 1. 什么是“点到直线的距离”？ (1)定义：从直线外一点到这条直线所画的垂直线段的长度，叫做这点到直线的距离。 (2)注意：距离是一个数值（长度），单位通常是厘米或毫米，而不是那条线段本身。 2. 重要规律 (1)垂线段最短：从直线外一点到这条直线所画的所有线段中，垂直线段最短。 (2)应用举例： ①　小明要从路边（直线）走到学校门口（点），走垂直于路边的路线最近。 ②　测量跳远成绩时，尺子要与起跳线垂直，因为这样量出的才是最短距离（真实成绩）。 3. 如何测量？ (1)将三角尺的一条直角边与已知直线重合。 (2)沿直线移动三角尺，使另一条直角边经过直线外的点。 (3)从点向直线画垂直线段。 (4)用直尺量出这条垂直线段的长度，即为距离。 考点三、画垂线和平行线 1. 画垂线的方法（使用三角尺） (1)情况一：过直线上一点画垂线 ①　重合：将三角尺的一条直角边与已知直线重合。 ②　平移：沿直线移动三角尺，直到直角顶点与直线上的已知点重合。 ③　画线：沿三角尺的另一条直角边画一条直线。 ④　标记：画上直角符号，标出垂足。 (2)情况二：过直线外一点画垂线 ①　重合：将三角尺的一条直角边与已知直线重合。 ②　平移：沿直线移动三角尺，直到另一条直角边经过直线外的已知点。 ③　画线：从已知点开始，沿另一条直角边向直线画线段。 ④　标记：画上直角符号。 2. 画平行线的方法（使用三角尺和直尺） (1)口诀：一贴、二靠、三移、四画 ①　一贴：将三角尺的一条直角边贴在已知直线上。 ②　二靠：将直尺靠在三角尺的另一条直角边上（固定直尺不动）。 ③　三移：按住直尺，推动三角尺，直到三角尺的原来那条边经过已知点（或到达指定位置）。 ④　四画：沿三角尺的这条边画直线。 (2)检验：画完后，可以用三角尺的直角检查两条线之间的距离是否处处相等，或者看它们是否永不相交。 考点四、长方形和正方形 1. 长方形的特征 (1)边： ①　有4条边，对边平行且相等。 ②　通常把较长的一组对边叫“长”，较短的一组对边叫“宽”。 (2)角：有4个角，都是直角（90度）。 (3)对称性：是轴对称图形，有2条对称轴（分别通过对边中点的连线）。 2. 正方形的特征 (1)边： ①　有4条边，4条边都相等。 ②　每条边都叫“边长”。 (2)角：有4个角，都是直角（90度）。 (3)对称性：是轴对称图形，有4条对称轴（2条对边中点连线，2条对角线）。 (4)特殊关系：正方形是特殊的长方形（当长方形的长和宽相等时，就变成了正方形）。 例题讲解 题型一、平行与垂直的特征及性质 【例题1】如图，直线a和直线c互相( )，直线a和直线b互相( )，直线c和直线d( )。 【练习1】过直线外一点画已知直线的平行线，可以画( )条，两条平行线间可以画( )条垂直线段，这些线段的长度都( )。 题型二、点到直线的距离 【例题2】小鸭子要尽快游到小河对岸，它应该选择路线（    ）。 A．① B．② C．③ D．④ 【练习2】若点A表示一个货运中转站，直线m为一条公路，现在准备修一条柏油路连接公路，该怎么修建呢？在图中画出来。 题型三、画垂线和平行线 【例题3】过C点作直线M的垂线，过D点作直线M的平行线。 【练习3】下面是一张街区的示意图。 （1）文昌路经过街心花园，与园林路互相平行，在图中画出文昌路。 （2）如果从学校出发，修一条路连接到发达路，怎样修路距离最短？请在图上画一画。 题型四、长方形和正方形 【例题4】有3组小棒，如果要搭一个长方形，我可以选( )号，搭一个正方形可以选( )号。 【练习4】在下面的方格纸上画一个边长是5厘米的正方形和一个长6厘米、宽4厘米的长方形。（每个格子的边长为1厘米） 专项训练 练习一、平行与垂直的特征及性质 1．下面关系图正确的是（    ）。 A． B． C． 2．下面各图中，两条直线互相垂直的是（    ）。 A． B． C． D． 3．“空中造楼机”可建千米级高楼。在建筑过程中，有时用铅垂线来检查墙壁是否竖直。如果墙壁竖直，铅垂线会与墙壁（    ）。 A．互相平行 B．互相垂直 C．相交 4．把一张正方形卡纸对折再对折，打开后两条折痕不可能（    ）。 A．互相平行 B．既不平行，也不垂直 C．互相垂直 5．在同一平面内，不相交的两条直线叫做( )，或者说这两条直线( )平行。 6．教室黑板的上下两条边相互( )，相邻两条边相互( )。 7．小梦去参加环保实践活动，图中是活动附近的街道平面图，图中互相平行的两条路是( )和( )，互相垂直的两条路是( )和( )。 8．按要求将序号填在括号里。 在上面的图形中，有互相平行的线段的图形是( )，有互相垂直的线段的图形是( )，既有互相平行又有互相垂直的线段的图形是( )。 练习二、点到直线的距离 1．某景区为迎接春节，要在景区的一个湖边晚上设置灯光秀，小梦从景区大门到湖边观看灯光秀，有4条路线可供选择（如图），（    ）路线最近。 A．AB B．AC C．AD D．AE 2．在笔直的公路上有三条小路通往小明家，它们的长度分别是125米，207米，112米，其中有一条小路与公路是垂直的，那么这条小路的长度是( )米，你判断的理由是( )。 3．乐乐家要修一条通向公路的小路，怎样修最近？请在图上画出小路的示意图。 练习三、画垂线和平行线 1．以下是得到一组“平行线”的三种方法，下面说法中正确的是（    ）。 A．只有方法①和方法②正确 B．只有方法①和方法③正确 C．只有方法②和方法③正确 D．三种方法都正确 2．按要求画图。 过点A先画已知直线的垂线，再画已知直线的平行线。量一量，画出的两条直线互相垂直吗？ 3．过A点作直线a的平行线，过A点作直线b的垂线。 4．经过点A向线段BC画一条垂直线段，并分别量出它们的长度。 5．下图是某国道旁的几个村的位置示意图。 （1）请在示意图中找到互相垂直的线，并用直角符号表示出来。 （2）请找到互相平行的线，在图中圈一圈。 （3）计划从B村往国道修一条路，怎样修可使修出的路最短？在图中画出来。 练习四、长方形和正方形 1．下面三组小棒中，能围成长方形的是（    ）。 A． B． C． 2．用哪根小棒能拼成一个长方形。（    ） A．4厘米 B．6厘米 C．7厘米 3．下列图形中，长方形有( )，正方形有( )。（填序号） 4．一个正方形有( )条边，( )个直角；一个长方形有( )组对边相等。 5．如图是宣传海报，由多个长方形组成，请问一共有( )个长方形。 6．画一个长3厘米、宽2厘米的长方形。 7．在方格纸中画一个长5厘米宽3厘米的长方形，然后在其中画一个最大的正方形，涂上阴影。注意：每格代表1厘米。 8．先过A点画已知直线的垂直线段，再以这条垂直线段为边长，画一个正方形。 9．下图是一组平行线，在这组平行线之间画一个最大的正方形。 我发现：画出的正方形的边长（    ）这组平行线间的距离。（填“大于”“小于”或“等于”） 10．下图为两个相同的正方形组成的图形，如果∠1＝46°，请计算∠3的度数。（写出必要的过程） 第 2 页 共 17 页 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $