精品解析：河南开封高级中学2026届高三数学模拟试题(一)

高三诊断（一） 数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 正项等比数列中，，，则其公比（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 若双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 已知，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. -1 6. 若，则的最小值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 7. 已知是定义在上的偶函数，且，当时，，若，则实数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，设为的内切圆圆心，若的面积为，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某公益组织为更好地安排志愿者工作，随机抽取了1000名志愿者，并统计了他们的年龄数据，绘制了如图所示的频率分布直方图（每组为左闭右开的区间），则（ ） A. 估计这1000名志愿者年龄的众数为22.5 B. 这1000名志愿者中年龄在的有175人 C. 估计该公益组织所有志愿者年龄的中位数为 D. 以频率估计概率，从该公益组织所有志愿者中任选2人，其年龄均在的概率为0.2 10. 已知函数与函数的图象关于直线对称，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在上单调递增 C. 的图象与的图象重合 D. 若的图象关于y轴对称，则的最小值为 11. 已知是定义在上的非常数函数，，，则（ ） A. B. 是偶函数 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一个行李箱密码由四个正自然数组成，且四个数字之和为7，则该密码共有______种可能. 13. 已知正四棱柱的体积为，，且底面内（包含边界）一动点P满足，则点P的轨迹长度为________. 14. 在中，，，，点D，E，F分别是，，上的动点，且为等边三角形，则周长的最小值为_______ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线交C于A，B两点，当直线与x轴垂直时，. （1）求C的方程； （2）若，求的值. 16. 如图，在四棱台中，四边形是正方形，，平面，点满足，，且平面. （1）求实数； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 17. 某光伏板工厂将质检测得的转换效率不低于某数值的光伏板分类为高效板，其余为普通板，该工厂有两条生产线： A线：日产能为400块光伏板，其中高效板占比为15%； B线：日产能为600块光伏板，其中高效板占比为45%. 两条生产线当天生产的产品会先混合存放在同一仓库，销售时随机混合装成标准箱配送，一个标准箱中装有4块光伏板. （1）从仓库某天的产品中随机抽取一块光伏板，求抽到高效板的概率； （2）若普通板利润为25元/块，则要使一个标准箱利润的期望值不低于133元，高效板的利润至少为多少元? 18. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围； （3）证明：当时，. 19. 已知递增数列的各项均为正整数，，第项满足. （1）分别求，，的值； （2）求的表达式，其中；（用含k的式子表示） （3）若数列满足，记的前n项和为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三诊断（一） 数学 注意事项： 1.答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式求出集合，根据交集的定义计算即可. 【详解】由题，， 故，故D正确. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以的虚部为. 3. 正项等比数列中，，，则其公比（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】可根据等比数列的通项公式，结合已知条件列出关于的方程，进而求解公比. 【详解】，，， ，，相除可得：， 展开式子得，解得或，因为数列是正项等比数列，所以，故舍去， 得到. 4. 若双曲线的两条渐近线的夹角为60°，则（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【详解】双曲线方程满足，则， 渐近线方程为，即， 由题意得或，解得或. 经检验,均满足题意. 5. 已知，若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式以及正切的和差角公式可得，即可由正切的二倍角公式求解. 【详解】由，可得， 故，因此， 故，化简得， 故. 6. 若，则的最小值为（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】先代数变形得，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意得：， ， 当，即时，等号成立. 7. 已知是定义在上的偶函数，且，当时，，若，则实数（ ） A. B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知函数的奇偶性、周期性求出对应函数值，再结合已知关系式列方程求参数值. 【详解】由题设， 又，且，， 所以，即， 所以，可得（负值舍去）. 8. 已知椭圆C：的左、右焦点分别为，，点P在C上，设为的内切圆圆心，若的面积为，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合余弦定理和三角形面积公式得到椭圆焦点三角形的面积公式，根据已知条件即可得，再利用得到内切圆半径，最后利用三角形面积也等于半周长乘以内切圆半径得到关于的等式，求解即可得离心率. 【详解】设， 根据椭圆定义有，在中，由余弦定理可得 ， 即，整理得， 又的面积，由 可得，结合已知条件有，所以， 点为内切圆圆心，所以是的角平分线，设内切圆半径为， 作，垂足为，则， 同时由等面积法可知， 整理得，进而得到， 故的离心率为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某公益组织为更好地安排志愿者工作，随机抽取了1000名志愿者，并统计了他们的年龄数据，绘制了如图所示的频率分布直方图（每组为左闭右开的区间），则（ ） A. 估计这1000名志愿者年龄的众数为22.5 B. 这1000名志愿者中年龄在的有175人 C. 估计该公益组织所有志愿者年龄的中位数为 D. 以频率估计概率，从该公益组织所有志愿者中任选2人，其年龄均在的概率为0.2 【答案】ABC 【解析】 【详解】对于A，估计这1000名志愿者年龄的众数为，故A正确； 对于B，由频率分布直方图可知，年龄在的频率为， 所以这1000名志愿者中年龄在的有人，故B正确； 对于C，前2组的频率为， 前3组的频率为， 所以估计中位数在第3组，设中位数为， 则，解得， 因此，估计该公益组织所有志愿者年龄的中位数为，故C正确； 对于D，由频率分布直方图可知，年龄在的频率为， 以频率估计概率，从该公益组织所有志愿者中任选1人，其年龄均在的概率为0.2， 因此，从该公益组织所有志愿者中任选2人， 其年龄均在的概率为，故D错误. 10. 已知函数与函数的图象关于直线对称，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，将的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ） A. B. 在上单调递增 C. 的图象与的图象重合 D. 若的图象关于y轴对称，则的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由关于直线对称得计算即可；对于B，根据余弦函数单调性判断即可；对于C，根据平移变换得出解析式与解析式比较即可；对于D，由图象关于y轴对称得计算即可. 【详解】对于A，函数与函数的图象关于直线对称， 则，所以， 所以，又因为，所以，A正确； 对于B，由A可知，当时，， 故在上单调递减，B错误； 对于C ，， 与的图象不重合，C错误； 对于D，， 若的图象关于y轴对称，则满足, 所以，由可知，的最小值为，故D正确. 11. 已知是定义在上的非常数函数，，，则（ ） A. B. 是偶函数 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于AB，利用赋值法即可判断；对于C，令，可得，进而判断即可；对于D，利用赋值法可得，，，，，进而结合等比数列的求和公式求解判断即可. 【详解】对于A，由，， 令，得，故A正确； 对于B，令，得，则， 即不是偶函数，故B错误； 对于C，令，得， 则恒成立，故， 即，故C正确； 对于D，由， 令，得， 令，得，即， 令，得，即， 同理可得，， 则 ，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一个行李箱密码由四个正自然数组成，且四个数字之和为7，则该密码共有______种可能. 【答案】20 【解析】 【分析】根据隔板法求解即可. 【详解】已知密码由个正自然数组成，设四个数字分别为， 满足，且. 根据隔板法，解的个数为，共有种可能. 13. 已知正四棱柱的体积为，，且底面内（包含边界）一动点P满足，则点P的轨迹长度为________. 【答案】 【解析】 【详解】由于正四棱柱的体积为，， 故，则， 由于在平面上运动，且， 平面，平面，因此， 故， 由于，， 以为圆心，以的长度为半径作圆，此时圆与棱相交于点， 且 ，由于， 故，故， 故的轨迹为，故. 14. 在中，，，，点D，E，F分别是，，上的动点，且为等边三角形，则周长的最小值为_______ 【答案】 【解析】 【分析】由题意可求得，进而得，设，由正弦定理可得，，利用，可得，周长，利用辅助角公式即可求解. 【详解】在中，，，，则， 又因为，所以， 又因为为等边三角形，所以， 所以， 设，则由正弦定理可得，所以， 在中，，所以， 又因为，所以， 所以， 所以周长 （其中）. 当时，可得周长的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知抛物线C：的焦点为F，过点的直线交C于A，B两点，当直线与x轴垂直时，. （1）求C的方程； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由过定点且垂直于x轴的直线，可用表示出A，B两点的坐标，再根据，求出的值，即可得出抛物线的方程. （2）设直线方程，联立方程组，先根据，可得出A，B两点的纵坐标的数量关系，再结合韦达定理和抛物线的定义，最终求出的值. 【小问1详解】 由题意知，直线的方程为， 将代入，得，所以，此时弦长， 又，所以，因此抛物线C的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，，， 联立方程得，即， 则，，. 由，且，在点的两侧，则，所以， 代入上式韦达定理得，，解得，， 由，则，所以. 又因为， 由抛物线方程为，则准线为， 根据抛物线的定义可得，，， 所以， 代入，因此. 16. 如图，在四棱台中，四边形是正方形，，平面，点满足，，且平面. （1）求实数； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，根据直线的方向向量和平面的法向量垂直可求的坐标，从而确定实数的值； （2）利用向量法可求线面角的正弦值. 【小问1详解】 设， 因为四边形为正方形，故，而平面， 故可建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ， 设，则，， 设平面的法向量为， 则即，取， 因为平面，故，故即， 故为的中点，故，故. 【小问2详解】 由（1）可得， 设平面的法向量为， 则即，取， 设直线与平面所成的角为， 则. 17. 某光伏板工厂将质检测得的转换效率不低于某数值的光伏板分类为高效板，其余为普通板，该工厂有两条生产线： A线：日产能为400块光伏板，其中高效板占比为15%； B线：日产能为600块光伏板，其中高效板占比为45%. 两条生产线当天生产的产品会先混合存放在同一仓库，销售时随机混合装成标准箱配送，一个标准箱中装有4块光伏板. （1）从仓库某天的产品中随机抽取一块光伏板，求抽到高效板的概率； （2）若普通板利润为25元/块，则要使一个标准箱利润的期望值不低于133元，高效板的利润至少为多少元? 【答案】（1）0.33 （2）50 【解析】 【分析】（1）结合两条生产线的日产能和高效板占比，分别求出各生产线的高效板数量，从而求出抽到高效板的概率； （2）易判断一个标准箱有4块光伏板，其中高效板的数量服从二项分布，设高效板的利润， 再根据期望公式列出不等式，进而求出高效板的最低利润. 【小问1详解】 由题意知，A线日产能400块，其中高效板占比为15%，则A线高效板数量为块； B线日产能600块，其中高效板占比为45%，则B线高效板数量为块， 所以高效板总数为块，因此抽到高效板的概率. 【小问2详解】 设高效板的利润为元/块， 由（1）知，抽到高效板的概率为，则抽到普通板的概率为， 一个标准箱有4块光伏板，设其中高效板的数量为随机变量，则， 根据数学期望公式，可得一个标准箱中高效板的期望数量为块， 普通板的期望数量为块. 已知普通板利润为25元/块，要使一个标准箱利润的期望值不低于133元， 则，解得， 因此，要使一个标准箱利润的期望值不低于133元，高效板的利润至少为50元. 18. 已知函数，. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围； （3）证明：当时，. 【答案】（1）． （2）． （3） 先证明. 由第（2）问中的证明可知，当时，. 所以. 再证明. 令. 则. 且. 当时，，所以． 因此. 由于，上面两个不等式右边都为正数，所以两式相乘，得. 即. 故原不等式成立． 【解析】 【分析】（1）当时，先求和，再利用切线方程求解． （2）先由和得到右侧差商的极限不小于，从而得到；再证明当时，利用可得，从而确定的取值范围． （3）分别证明两个不等式和，再将两式相乘得到结论． 【小问1详解】 当时，，所以. 又，所以. 故曲线在点处的切线方程为. 即. 【小问2详解】 因为. 若对任意非负实数恒成立，则对任意，有. 当从正数一侧趋近于时，得. 又，所以. 从而. 下面证明当时，原不等式恒成立． 令. 则. 令. 则. 当时，，又，所以，即． 又，所以当时，，即. 因此当时，. 若，则，所以． 又，故对任意非负实数恒成立． 综上，的取值范围为. 【小问3详解】 略 19. 已知递增数列的各项均为正整数，，第项满足. （1）分别求，，的值； （2）求的表达式，其中；（用含k的式子表示） （3）若数列满足，记的前n项和为，证明：. 【答案】（1） （2） （3） 因为，故，故， 下证：，. 设，则， 当时，，当时，， 故在上为增函数，在为减函数， 故即，恒成立. 由所证不等式可得，其中， 故， 故 . 综上，. 【解析】 【分析】（1）根据递推关系结合单调性及整数的性质可求，，的值； （2）根据题设条件结合（1）的结果可得，从而可求的表达式； （3）先证明不等式，再结合（2）中结果可证题设中的不等式. 【小问1详解】 因为，故即，故即， 所以即，而为递增数列， 故，而为正整数，故. 综上，. 【小问2详解】 因为，故，故， 故. 综上. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $