2026届高考数学解答题限时集训（一）

限时集训：2026高考数学解答题（一) 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)记三角形ABC的内角4B,C的对边分别为a,b.c.已知4是锐角，cos2A=- 8 0若a=1.求的维： (2)若a=2N5,b=2c,CD∥AB,AD平分∠BAC,求△ACD的面积. 【答案】()+1 e)5v15 4 2 【分析】(1)先根据二倍角公式求出cos4,再由同角三角函数关系得siA,接着利用正弦 定理求出，最后根据正弦定理化简”)并计算： (2)先利用余弦定理求出C的值，进而得到b的值，再根据平行线性质得到等腰三角形ACD 及∠ACD与A的关系，最后利用三角形面积公式求出△ACD的面积 1 【详解】(1)因为cos2A=2cos2A-1=二8，所以cosA= 16 因为4是锐角，所以cD4>0,所以co1-子 1)2 所以sinA=V1-cos2A -4) 因为a=bsim4,所以由正弦定理a=b 得sinB=1, sinA sinB 又因为Be0,,所以B=子 因为A+B+C=元，所以A+C=及 所以由正弦完理得+C-s4+snC=4+sm2A=sin4件cos4 V151 b sinB 4: (2)由余弦定理ad=b2+c2-2 bccosA得20=5c2-c2,解得c=√5， 所以b=2c=25, 因为CD∥AB,所以∠CDA=∠BAD=∠CAD, 所以CA=CD=b=2√5， 因为CD∥AB,所以∠ACD=π-A, 所以sin∠ACD=sim(u-A)=sinA= 4 所议△4ACD的面积&CA-CD-sm4CDx25255-5V5 2 42 16.(15分)如图，在正四棱锥P-ABCD中，M,N分别为棱PA,PC的中点，点Q满足 Po=PB,∈(0,1). B (1)证明：MN⊥DQ. (2)已知D,M,Q,N四点共面. (i)求的值： (ii)若AB=√2，PA与底面所成角的正切值为2，求平面BMN与平面QMN夹角的余弦值， 【答案】(1)证明见解析 1 2D=3:(i)0 【分析】(1)在△PAC中，MWAC,再证明AC⊥平面PBD,根据传递性可得MW⊥平面PBD, 进而证明N⊥DO. (2)(i)由D,M,Q,N四点共面，利用空间向量共面定理，设出DO=mDM+nDN,结 合P=PB,建立关于1的方程求解即可 (i)先通过条件求出PO=2,建系，写坐标，求法向量，借助空间向量求平面BMN与平 面QMN夹角的余弦值即可. 【详解】(I)证明：设AC∩BD=O,则在正四棱锥P-ABCD中，PO⊥平面ABCD 因为M,N分别为棱PA,PC的中点，则MNIIAC, AC⊥BD,AC⊥PO,BD∩PO=O,BD,POC平面PBD, 所以AC⊥平面PBD,MN⊥平面PBD, 又DOc平面PBD,所以MN⊥DO. (2)(1)由题可知，D0=2DB+(1-1)Dp,∈(0,1). 因为M,V分别为棱PA,PC的中点，所以DM=(DA+DP,DN=Dc+DP), DO=DA+DC)+(1-DP. 又因为D,M,Q,N四点共面，则有DO=mDM+nDN, 于是可得2DA+DC)+1-)DP=DA+”DC+m+DP, 2 2 2 可得 A= 3 1-=m+ 2 1 解得元= 3 (i)因为AB=√2，PA与底面所成角的正切值为2， 所以an∠PAO= POPOPO AO 1 2 AC 「1x2,所以P0=2. 如图，以O为坐标原点，OA,OB,OP所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， A 则8(0.Lo0y.P(Qa2).M30叫：5 mi-3川，m=(10),w-30- PB=(01,-2) 而-m-M=012y0--（1-2( 设平面BMN的法向量为i=(x,y,=), B.i=1x-y+2=0, 21 ,令y=1,则z=1,x=0, N.i=-x=0, 所以平面BMN的一个法向量为i=(0,1,1). 设平面OMN的法向量为下=(m,n,t), oi=-1m+1,1 2 +3+=0, m=0,不妨令t=1,则n=-1, MN.市=-=0， 所以平面QN的一个法向量为下=(0，-1,1). 设平面BMN与平面QMN的夹角为O,则cos8= i列=0， 团可 所以平面BMN与平面OMN夹角的余弦值为0： 17.(15分)某社区为了了解市民对生活环境的满意度，随机选择100人进行问卷调查，每 人给出一个评分，分数都不低于60，满分100分.统计出这100人的评分成绩，绘制出频 率分布直方图如图.已知这100人中，男、女市民人数之比为9：11，且评分不低于80分 的男、女市民人数相等. 个频率/组距 0.04-..-...- 0.035 0.01 060708090100成绩分 (1)求满意度评分低于80分的市民中，男、女人数的比例： (2)若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，求满意度的平均分： (3)在满意度评分低于80分的被调查的人员中，按男、女人数比例用分层随机抽样方法选出 5人进行座谈，再在这5人中选出3人作为座谈会主讲人，求3位主讲人中至少有1位男性 市民的概率. 【答案】(1)23 (2)79.5 、9 00 【分析】(1)先计算出不低于80分的男生、女生人数，再求满意度评分低于80分的市民中， 男、女人数的比例： (2)由概率和为1列方程求α，再求平均值： (3)先分层抽样，再求概率. 【详解】(1)评分不低于80分的人数为100×10×(0.04+0.01)=50， 因为评分不低于80分的男、女市民人数相等，所以评分不低于80分的男、女市民人数都是 25, 因为这100人中，男、女市民人数之比为9：11，所以100人中，男市民45人，女市民55 人， 所以满意度评分低于80分的市民中，男、女人数分别为20,30，男、女人数的比例为2：3. (2)由10(a+0.035+0.04+0.01)=1得a=0.015, 因为65×10×0.015+75×10×0.035+85×10×0.04+95×10×0.01=79.5，所以满意度的平均分 为79.5. (3)因为评分低于80分的被调查的人员中，男、女人数的比例为2：3，所以用分层随机 抽样方法选出5人，男性为2人，女性为3人， 再在这5人中选出3人，3人至少有1位男性的事件为A, 则P(4=Cc+CC-9 10 1817分)已知楷圈E:器+若-1a>b>0经过店 3 a 且E的长轴长与短轴长之比为 2:3. (1)求E的方程 (2)已知点P1,1),过点P且斜率为k的直线与E交于A,B两点，过点P且斜率为k,(k2≠k) 的直线，与E交于C,D两点，M,N分别为AB,CD的中点，且k+k,=1. (I)若P与M重合，求kk2, (II)判断直线MN是否过定点若是，求出该定点；若不是，请说明理由 【容案】@片+苦-1 回①k：m直线w注定点Q》 【分析】(1)根据a=√以及经过的点 12 即可求解， (2)根据点差法，即可求解(I),联立直线与椭圆方程，得韦达定理，根据中点坐标公式 可得M,N的坐标，进而求解直线方程，即可求解(I). 【详解】1)设a=2>0),则b=V3,则z的方程为三+二 423=1. 9 因为E经过点 1. 2 所京产r 故E的方程为 ,y2 =1. 3 生+=1 2)①设4(5y),B(),由43 足+=1， 43 得至+足=26)2)0， 4 3 4 3 之冬营子则子散4治 (IⅡ)直线l:y=k(x-1)+1=kx-k+1由k+k2=1,得l:y=kx+k2. +X2= -8kk2 y=kx+k 3+4k2 由 +二”得(3+4x+8kkx+4兮-12=0，则 4-12 3+4 M D 6k2 因为为+为=所（任+）+2,34校，所以M的坐标为 -4kk,3k, 3+4R3+4K 4k,3k 同理可得N的坐标为 3+4’3+4 3k, 3k, 3+43+4 9(k2-k)+12E-R) 又kaw= Ak k2 16队k(K-) 3+42 3+43 9k,-k)+126,-k)+k-]- 9+121-kk2)12kk2-21 16kk2(k-k2)k+k2) 16kk2 16kk2 所以直线N的方程为 12kk2-21 4kk, 3k2 x+ 12kk-21x+12kk,-21+12k 16kk2 3+4k2 3+4k216kk2 4(3+4K) 因为12-21+12k-12%1-k)-21+121-2_-33+4)-3 4(3+42) 43+4) 43+4 所以直线MN过定 0, 3 19.(17分)已知函数(x)=e+a,g(x)=ar+(x+a). (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)当a=1时，求函数h(x)=f(x)-8(x)的最小值： (3)当a=0时，若不等式(x)老(x)+x+1恒成立，求实数m的取值范围 【答案】(1)当a≥0时，函数∫(x)在R上单调递增；当a<0时，函数f(x)在(-o,ln(-a)上 单调递减，在(n(-a),+o)上单调递增 (2)1 (3)(-0,1] 【分析】(1)求导后分a≥0和a<0两种情况讨论即可： (2)利用导数求得(x)的单调性，进而得出最小值 (3)参数分离得m≤e_L对任意x>0恒成立，令F(冈)=e_血x】,xe(0,+四)， 利用导数讨论F(x)的单调性，求出F(x)的最小值即可解决 【详解】(1)由题可知f'(x)=e+a, 当a≥0时，f'(x)>0,函数f(x)在R上单调递增： 当a<0时，若x<h(-a),f'(x)<0,若x>ln(-a,f'(x)>0, 所以函数f(x)在（o,ln(-a)上单调递减，在(h(-a),+o)上单调递增 (2)当a=1时，h(x)=e-h(x+1),x>-1, )=。因为当x>-1时，y=心和y=品单调适猫，所以面数（四单调适抛， x+1 又h(0)=0,所以当x∈(-1,0)时，(x)<0,函数h(x)在(-1,0)上单调递减， 当x∈(0，+o)时，(x)>0,函数h(x)在(0，+o)上单调递增， 所以函数h(x)=f(x)-g(x)的最小值为h(0)=1. (3)当a=0时，不等式(x)≥g(x)+x+1恒成立， 即xe≥hx十x+1对任意x>0恒成立，即m≤e_血xL对任意x>0恒成立， r+子-e+.e+m 设F(y=e-,x∈(0，+w）,r(y)=c1-+ x2 令G(x)=x2e+lnx,xe(0,+∞)，G(x)=2xe+x2e+二>0， 所以G(x)在(0，+∞)上单调递增 由于G(1)=e>0, 由零点存在定理，存在x。∈ 使得G(x)=0,即xe+hnx。=0, 所以当x∈(0，x)时，G(x)<0,F'(x)<0,当x∈(x,+o)时，G(x)>0,F'(x)>0, 即F(x)在(0，x)上单调递减，在(x,+o)上单调递增， 所以F(e)an=F(k,)=e-n-1 x。x。 因为c=-,所以c心：n-1h上-ne号， XoXoXo Xo 令s(x)=xe,x∈(0，+o),s(x)=(x+1)e>0,即s(x)在(0，+o)上单调递增， 所以x=血元，即x=-h, 所以e以e成1包 XoXoxoxoXo 所以m≤1，即实数m的取值范围为(-o,]: 限时集训：2026高考数学解答题（一） 命题人：李文元 （考试时间：60分钟 试卷满分：77分） 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）记三角形ABC的内角的对边分别为.已知是锐角，. (1)若，求的值： (2)若平分，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二倍角公式求出，再由同角三角函数关系得，接着利用正弦定理求出，最后根据正弦定理化简并计算； （2）先利用余弦定理求出的值，进而得到的值，再根据平行线性质得到等腰三角形及与的关系，最后利用三角形面积公式求出的面积. 【详解】（1）因为，所以， 因为是锐角，所以，所以， 所以； 因为，所以由正弦定理得， 又因为，所以， 因为，所以， 所以由正弦定理得； （2）由余弦定理得，解得， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 所以， 所以的面积. 16．（15分）如图，在正四棱锥中，M，N分别为棱，的中点，点Q满足，． (1)证明：． (2)已知D，M，Q，N四点共面． （ⅰ）求的值； （ⅱ）若，与底面所成角的正切值为2，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2)（ⅰ）；（ⅱ）0 【分析】（1）在中，，再证明平面，根据传递性可得平面，进而证明． （2）（ⅰ）由D，M，Q，N四点共面，利用空间向量共面定理，设出，结合，建立关于的方程求解即可. （ⅱ）先通过条件求出，建系，写坐标，求法向量，借助空间向量求平面与平面夹角的余弦值即可． 【详解】（1）证明：设，则在正四棱锥中，平面． 因为M，N分别为棱，的中点，则， ，，平面， 所以平面，平面， 又平面，所以． （2）（ⅰ）由题可知，，． 因为M，N分别为棱，的中点，所以，， ． 又因为D，M，Q，N四点共面，则有， 于是可得， 可得 解得． （ⅱ）因为，与底面所成角的正切值为2， 所以，所以． 如图，以O为坐标原点，，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 则，，，， ，，，， ． 设平面的法向量为， 则，令，则，， 所以平面的一个法向量为． 设平面的法向量为， 则，不妨令，则， 所以平面的一个法向量为． 设平面与平面的夹角为，则 ， 所以平面与平面夹角的余弦值为0． 17．（15分）某社区为了了解市民对生活环境的满意度，随机选择100人进行问卷调查，每人给出一个评分，分数都不低于60，满分100分．统计出这100人的评分成绩，绘制出频率分布直方图如图．已知这100人中，男、女市民人数之比为9：11，且评分不低于80分的男、女市民人数相等． (1)求满意度评分低于80分的市民中，男、女人数的比例； (2)若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，求满意度的平均分； (3)在满意度评分低于80分的被调查的人员中，按男、女人数比例用分层随机抽样方法选出5人进行座谈，再在这5人中选出3人作为座谈会主讲人，求3位主讲人中至少有1位男性市民的概率． 【答案】(1) (2)79.5 (3) 【分析】（1）先计算出不低于80分的男生、女生人数，再求满意度评分低于80分的市民中，男、女人数的比例； （2）由概率和为1列方程求a,再求平均值； （3）先分层抽样，再求概率. 【详解】（1）评分不低于80分的人数为， 因为评分不低于80分的男、女市民人数相等，所以评分不低于80分的男、女市民人数都是25， 因为这100人中，男、女市民人数之比为9：11，所以100人中，男市民45人，女市民55人， 所以满意度评分低于80分的市民中，男、女人数分别为20，30，男、女人数的比例为2：3． （2）由得， 因为，所以满意度的平均分为79.5． （3）因为评分低于80分的被调查的人员中，男、女人数的比例为2：3，所以用分层随机抽样方法选出5人，男性为2人，女性为3人， 再在这5人中选出3人，3人至少有1位男性的事件为A， 则． 18．（17分）已知椭圆经过点，且的长轴长与短轴长之比为． (1)求的方程. (2)已知点，过点且斜率为的直线与交于两点，过点且斜率为的直线与交于两点，分别为的中点，且. （I）若与重合，求． （II）判断直线MN是否过定点.若是，求出该定点；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)（I）；（II）直线MN过定点. 【分析】（1）根据以及经过的点，即可求解， （2）根据点差法，即可求解（I），联立直线与椭圆方程，得韦达定理，根据中点坐标公式可得的坐标，进而求解直线方程，即可求解（II）. 【详解】（1）设，则，则的方程为. 因为经过点，所以，得. 故的方程为. （2）（I）设，由 得， 得，则，故. （II）直线.由，得. 由，得，则， 因为，所以的坐标为. 同理可得的坐标为. 又 ， 所以直线MN的方程为. 因为， 所以直线MN过定点. 19．（17分）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，求函数的最小值； (3)当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增 (2)1 (3) 【分析】（1）求导后分和两种情况讨论即可； （2）利用导数求得的单调性，进而得出最小值； （3）参数分离得对任意恒成立，令，，利用导数讨论的单调性，求出的最小值即可解决. 【详解】（1）由题可知， 当时，，函数在上单调递增； 当时，若，，若，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，， ，因为当时，和单调递增，所以函数单调递增， 又，所以当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以函数的最小值为. （3）当时，不等式恒成立， 即对任意恒成立，即对任意恒成立， 设，，， 令，，， 所以在上单调递增. 由于，， 由零点存在定理，存在，使得，即， 所以当时，，，当时，，， 即在上单调递减，在上单调递增， 所以. 因为，所以， 令，，，即在上单调递增， 所以，即， 所以，所以， 所以，即实数的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $限时集训：2026高考数学解答题（一) 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)记三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为ab,c.已知A是锐角，cos24=- 8 0若a=in1,求的值： (2)若a=2N5,b=2c,CD∥AB,AD平分∠BAC,求△ACD的面积. 16.(15分)如图，在正四棱锥P-ABCD中，M,N分别为棱PA,PC的中点，点Q满足 P9=PB,1∈(0,1). M A B (1)证明：MN⊥DQ. (2)已知D,M,Q,N四点共面. (i)求1的值： (i)若AB=√2，PA与底面所成角的正切值为2，求平面BMN与平面OMN夹角的余弦值. 17.(15分)某社区为了了解市民对生活环境的满意度，随机选择100人进行问卷调查，每 人给出一个评分，分数都不低于60，满分100分.统计出这100人的评分成绩，绘制出频 率分布直方图如图.已知这100人中，男、女市民人数之比为9：11，且评分不低于80分 的男、女市民人数相等. ◆频率组距 0.04 0.035 0.01 060708090100成绩/分 (1)求满意度评分低于80分的市民中，男、女人数的比例： (2)若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，求满意度的平均分： (3)在满意度评分低于80分的被调查的人员中，按男、女人数比例用分层随机抽样方法选出 5人进行座谈，再在这5人中选出3人作为座谈会主讲人，求3位主讲人中至少有1位男性 市民的概率. 1817分卫知插国号若-a00经过 3 ,且E的长轴长与短轴长之比为2：√3. (1)求E的方程. (2)已知点P1,1),过点P且斜率为k的直线与E交于A,B两点，过点P且斜率为k,(k2≠k) 的直线l与E交于C,D两点，M,N分别为AB,CD的中点，且k+k2=1. (I)若P与M重合，求kk2, (II)判断直线MW是否过定点若是，求出该定点；若不是，请说明理由. 19.(17分)已知函数f(x)=e+ar,g(x)=r+h(x+a. (1)讨论函数∫(x)的单调性； (2)当a=1时，求函数h(x)=f(x)-8(x)的最小值： (3)当a=0时，若不等式(x)名(x)+x+1恒成立，求实数m的取值范围限时集训：2026高考数学解答题（一） 命题人：李文元 (考试时间：60分钟试卷满分：77分) 班级： 姓名： 成绩： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)记三角形ABC的内角4，B,C的对边分别为a,Ac已知A是锐角，cos2A=- 8 （0若a=bsin4,求若的值： (2)若a=2V5,b=2c,CD∥AB,AD平分∠BAC,求△ACD的面积. 16.(15分)如图，在正四棱锥P-ABCD中，M,N分别为棱PA,PC的中点，点Q满足 Pg=PB,元∈(0，l. M A B (1)证明：MN⊥DQ (2)己知D,M,Q,N四点共面. (i)求2的值； (i)若AB=√2，PA与底面所成角的正切值为2，求平面BMN与平面QMN夹角的余弦 值 17.(15分)某社区为了了解市民对生活环境的满意度，随机选择100人进行问卷调查，每 人给出一个评分，分数都不低于60，满分100分.统计出这100人的评分成绩，绘制出频 率分布直方图如图.己知这100人中，男、女市民人数之比为9：11，且评分不低于80分 的男、女市民人数相等. 频率组距 0.04 0.035 0.01 O 60708090100成绩/分 (1)求满意度评分低于80分的市民中，男、女人数的比例： (②)若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，求满意度的平均分； (3)在满意度评分低于80分的被调查的人员中，按男、女人数比例用分层随机抽样方法选出 5人进行座谈，再在这5人中选出3人作为座谈会主讲人，求3位主讲人中至少有1位男性 市民的概率. 1817分》已知料区号号-a6>0经过点》， 且E的长轴长与短轴长之比为 2:V5. ()求E的方程 (②)己知点P(1,),过点P且斜率为k的直线乙与E交于A,B两点，过点P且斜率为 k,k2≠k,)的直线马与E交于C,D两点，M,N分别为AB,CD的中点，且k+k=1. (I)若P与M重合，求kk2· (Ⅱ)判断直线MN是否过定点若是，求出该定点；若不是，请说明理由， 19.(17分)已知函数fx)=e+axgx=ax+lnx+a. (1)讨论函数∫(x)的单调性： (②)当a=1时，求函数h(x)=f(x-g(x的最小值： (3)当a=0时，若不等式xf(x)gx+mx+1恒成立，求实数m的取值范围.