精品解析：山东省普通高等学校招生考试(春季) 数学专业知识模拟试题（七）

山东省普通高等学校招生考试（春季） 数学专业知识模拟试题 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分.满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题，共60分） 注意事项： 1.答卷一前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上. 3.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01. 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上） 1. 设全集，集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 若成等比数列，则实数的值是（ ） A. 6.5 B. 18 C. D. 或6 5. 如图所示，在平行四边形中，已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知直线过点，，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四棱锥如图所示，则该四棱锥的三视图中的俯视图是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 9 9. 已知二次函数是偶函数，则满足的的取值集合是（ ） A. B. C. D. 10. 圆截直线所得的弦长为8，则的值是（ ） A. 10 B. 或 C. 5或 D. 11. 已知，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 12. 设，复数，若为纯虚数，则（    ） A. 3或 B. 3 C. 或 D. 13. 已知函数是奇函数，当时，，则等于（ ） A. 3 B. C. 21 D. 14. 已知，，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 15. 已知向量，则下列向量中，与向量反向的单位向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 16. 在的二项展开式中，所有项的系数之和等于（ ） A. B. C. D. 1 17. 某校从4名男生和3名女生中选出4人参加校运动会志愿者服务，4人中既有男生又有女生的概率是（ ） A. B. C. D. 18. 已知直线过抛物线的焦点，则实数的值是（ ） A. 8 B. C. 2 D. 19. 已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 若，则（ ） A. B. C. D. 20. 现有3位教师和4位学生站成一排照相，任选一位教师站在正中位置，3位教师中最多允许2位可以相邻，那么所有不同排法的种数是（ ） A. 864 B. 1296 C. 1728 D. 2040 卷二（非选择题，共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 已知，且，函数，若的最大值与最小值之和是5，则实数__________. 22. 已知圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的侧面积等于__________. 23. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为__________. 24. 在中，已知，，，则的长为__________ 25. 若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则椭圆的离心率为___________． 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. 已知奇函数定义域为，函数图像过点，，且当时，.求： （1）与的值； （2）的解集. 27. 已知数列的前n项的和为． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 28. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）用“五点法”作出该函数一个周期内闭区间上的简图. 29. 如图所示，已知正方形所在平面，为与的交点.求证： （1）平面； （2）平面平面. 30. 如图所示，已知双曲线的中心是原点，右焦点是抛物线的焦点，且过点，直线与双曲线交于，两点. （1）求双曲线的标准方程； （2）若，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省普通高等学校招生考试（春季） 数学专业知识模拟试题 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分.满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题，共60分） 注意事项： 1.答卷一前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上. 3.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01. 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上） 1. 设全集，集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合交集及补集的定义即可求解. 【详解】全集，集合，， 则，， 故选：A. 2. 若，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合指数函数的单调性，及不等式的性质，即可判断求解. 【详解】因为指数函数是在R上增函数，又，所以，故选项A正确； 因为，当同号时，；当异号时，即，此时，故选项B错误； 因为，故不一定成立，如时，，故选项C错误； 因为，当为非负数时，成立；当为负数时，，故选项D错误. 故选：A. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据真数大于零，结合二次根式的性质列出不等式组，利用对数函数的单调性解不等式即可得解. 【详解】函数， 对于函数，底数，即在上为增函数， 则，解得， 所以函数定义域为， 故选：. 4. 若成等比数列，则实数的值是（ ） A. 6.5 B. 18 C. D. 或6 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合等比中项公式即可得解. 【详解】成等比数列， 则，解得或， 故选：D. 5. 如图所示，在平行四边形中，已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合平面向量的运算法则即可得解. 【详解】在平行四边形中，，， ， 故选：A. 6. 已知直线过点，，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点间斜率公式求出直线斜率，得到直线的点斜式方程再化为一般式方程即可得解. 【详解】直线过点，，则斜率， 由点斜式得为，化为一般式方程为. 故选：A. 7. 已知正四棱锥如图所示，则该四棱锥的三视图中的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正四棱锥的结构特点及俯视图的定义可判断结果. 【详解】在俯视图中，正四棱锥的底面正方形直接呈现为视图的轮廓，侧棱在底面正方形的投影为正方形的对角线， 所以只有B选项符合. 故选：B 8. 已知函数，则的值是（ ） A. B. C. D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】根据分段函数解析式求出函数值即可得解. 【详解】函数， 因为，则， 因此. 故选：A. 9. 已知二次函数是偶函数，则满足的的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数是偶函数，则一次项系数为0列方程求出的值，再由一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】因为二次函数是偶函数， 所以，且，所以， 所以， 因为，所以，即， 解得或， 所以满足的的取值集合是， 故选：D. 10. 圆截直线所得的弦长为8，则的值是（ ） A. 10 B. 或 C. 5或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先将圆的方程化为标准方程确定圆心和半径，再由弦长公式列方程求解即可. 【详解】圆化为标准方程为， 则圆心是，半径是5， 圆心到直线的距离是， 因为截得的弦长为8，所以， 即，得， 解得或. 故选：B. 11. 已知，则关于的不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数的单调性解不等式即可. 【详解】因为， 则，且， 解得， 因为时，若，则或， 当时，单调递增， 此时若，则， 当时，单调递减， 此时若，则， 因为时，单调递增， 此时不符合题意， 综上所述，的取值范围为， 所以关于的不等式的解集是， 故选：B. 12. 设，复数，若为纯虚数，则（    ） A. 3或 B. 3 C. 或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接由实部为0且虚部不为0求得实数m的值． 【详解】因为复数为纯虚数， 所以，解得. 故选：B. 13. 已知函数是奇函数，当时，，则等于（ ） A. 3 B. C. 21 D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，由得，再根据奇函数的性质得到. 【详解】由题意可知， 因为该函数是奇函数，所以． 故选：D. 14. 已知，，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】C 【解析】 【分析】根据诱导公式和三角函数在各象限的符号易得答案. 【详解】因为， 则，说明角的终边可能在第三象限或第四象限（或 轴负半轴）， 又，说明角的终边可能在第二象限或第三象限（或 轴负半轴）， 所以为第三象限角. 故选：C. 15. 已知向量，则下列向量中，与向量反向的单位向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意设出与向量反向的单位向量的坐标，根据单位向量的模长为列出方程即可得解. 【详解】由题意可设与向量反向的单位向量的坐标为， 则，解得， 所以与向量反向的单位向量的坐标为， 故选：B. 16. 在的二项展开式中，所有项的系数之和等于（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】将代入中求值即可. 【详解】令，则二项展开式中所有项的系数之和为. 故选：C. 17. 某校从4名男生和3名女生中选出4人参加校运动会志愿者服务，4人中既有男生又有女生的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合古典概型公式及组合数的计算求出都是男生的概率，利用对立事件的性质即可得解. 【详解】从4名男生和3名女生中选出4人参加校运动会志愿者服务， 都是男生的概率是，所以既有男生又有女生的概率是， 故选：D. 18. 已知直线过抛物线的焦点，则实数的值是（ ） A. 8 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】将代入直线方程中求出直线与轴的交点坐标，根据抛物线方程求出焦点坐标，根据题意列出方程即可得解. 【详解】直线，令，则，解得， 所以直线与轴的交点是， 抛物线的焦点是，所以，解得， 故选：A. 19. 已知离散型随机变量的分布列如下： 0 1 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合离散型随机变量的分布列，及期望和方差的计算公式，即可求解. 【详解】由题可得， 又，即， 解得，， 所以. 故选：D. 20. 现有3位教师和4位学生站成一排照相，任选一位教师站在正中位置，3位教师中最多允许2位可以相邻，那么所有不同排法的种数是（ ） A. 864 B. 1296 C. 1728 D. 2040 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合、排列数的计算分析求解即可. 【详解】3位教师和4位学生站成一排照相，任选一位教师站在正中位置， 不同的排法共有种； 任选一位教师站在正中位置且3位教师都相邻的排法共有 种； 所以任选一位教师站在正中位置，3位教师中最多允许2位可以相邻 的排法共有种. 故选：C. 卷二（非选择题，共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 已知，且，函数，若的最大值与最小值之和是5，则实数__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据题意得出函数是单调函数，即可得解. 【详解】，且，函数，函数为单调函数， 因为，且在上的最大值与最小值之和是， 所以，所以，解得（舍去）或， 故答案为：. 22. 已知圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形，则该圆锥的侧面积等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】由轴截面得到圆锥的底面半径和母线，利用侧面积公式求出答案. 【详解】因为圆锥的轴截面是边长为6的等边三角形， 所以该圆锥底面圆的半径为，母线长为， 所以该圆锥的侧面积为. 故答案为：. 23. 某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本，若样本中的青年职工为7人，则样本容量为__________. 【答案】15 【解析】 【分析】根据分层抽样的定义求出抽样比例，设出样本容量列出方程即可得解. 【详解】根据题意，抽取的比例为， 设样本容量等于，则有，解得， 故答案为：15. 24. 在中，已知，，，则的长为__________ 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理求解即可. 【详解】在中，已知，，， 由正弦定理可知，即，解得. 故答案为：. 25. 若一个椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则椭圆的离心率为___________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】由等差中项以及椭圆的离心率公式计算即可. 【详解】设椭圆的长轴为，短轴为，焦距为， 又椭圆的长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列， 所以，即，则有， 又因为在椭圆中，， 所以，即， 整理可得， 又，所以， 即，解得或（舍）. 所以椭圆的离心率为. 故答案为：. 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. 已知奇函数定义域为，函数图像过点，，且当时，.求： （1）与的值； （2）的解集. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）首先由奇函数的定义可知函数图像过点，，再将两点代入求解方程即可. （2）分和两种情况，结合奇函数的性质求解不等式即可. 【小问1详解】 因为是奇函数，图像过点， 所以点在图像上， 因为当时，，且图像过点， 所以，且， 解得，. 【小问2详解】 因为，， 所以当时，， ①当时，由且是奇函数， 可得，且， 所以 解得， ②当时，若，即， 解得（舍去），或， 综上所述，的解集是. 27. 已知数列的前n项的和为． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据数列前项和公式求出，结合数列与的关系即可得解. （）先求出，再利用对数的运算求出当时数列的通项公式，结合等差数列的定义及求和公式即可得解. 【小问1详解】 数列的前n项的和为，则， 当时，， 当时，不满足上式， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 因为， 当时，, 当时，，此时，， 所以数列从第二项开始是首项为，公差为的等差数列， 所以数列的前项和， 所以数列的前项和为. 28. 已知函数. （1）求函数的单调递增区间； （2）用“五点法”作出该函数一个周期内闭区间上的简图. 【答案】（1）. （2）作图见解析. 【解析】 【分析】（）利用二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，结合正弦型函数的单调性即可得解. （）利用五点法作图即可得解. 【小问1详解】 因为. 令， 解得， 所以增区间是. 【小问2详解】 0 0 2 0 0 描点、作图，如图所示，得到函数在一个周期上的图像. 29. 如图所示，已知正方形所在平面，为与的交点.求证： （1）平面； （2）平面平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由直线与平面垂直的判定定理和性质定理即可得证； （2）由平面与平面垂直的判定定理和直线与平面垂直的性质定理即可得证. 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 因为是正方形，所以， 又因为，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为平面，平面，所以， 又因为是正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. 30. 如图所示，已知双曲线的中心是原点，右焦点是抛物线的焦点，且过点，直线与双曲线交于，两点. （1）求双曲线的标准方程； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设双曲线的标准方程是，将点代入方程与联立方程组求解即可. （2）设，，将直线方程与双曲线方程联立，并由韦达定理得出，，再由向量垂直的坐标表示列方程求解即可. 【小问1详解】 设双曲线的标准方程是， 过点，则，① 抛物线的焦点为， 则，即，② 由①②得， 整理得， 解得或（舍去）， 所以，， 则双曲线的标准方程是. 【小问2详解】 设，， 联立方程组， 整理得， 所以，， 则， ，，因为，所以， 即，整理得， 解得， 当，即， 解得且. 所以实数的值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $