精品解析：黑龙江哈尔滨市第三十二中学校2025-2026学年度下学期高一数学期中考试试卷

2025-2026学年度下学期高一数学期中考试 试 卷 （考试范围：必修一前三章及第四章一部分；考试时间：60分钟，试卷满分：100分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知的内角所对的边分别为，，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理和特殊角的三角函数值解出答案； 【详解】因为，余弦定理可得 ， 解得. 故选：C. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算即可. 【详解】， 故选：D. 3. 已知，则（ ） A. 5 B. C. 25 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的除法法则求出复数，再利用复数的模的公式即可求解. 【详解】，， . 故选：A. 4. 已知，则z的共轭复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的运算以及共轭复数和虚部的概念易得结果. 【详解】，其共轭复数，虚部为1. 故选：A. 5. 如图，在中，为的中点，与交于点，若，则下面对于的描述正确的是（ ） ①， ②， ③， ④， A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量基本定理及平面向量的线性运算即可得出. 【详解】 ， 因为，所以，即， 由三点共线，所以， 即，故①正确； 又为的中点，所以，即， 由三点共线，所以，即，故③正确； 故选： 6. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示求出的值，可求出向量的坐标，利用平面向量的模长公式可求得的值. 【详解】因为向量，，由可得，解得， 故，故． 故选：B． 7. 如图，是边的中点，在上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量加减法则，即可得到答案. 【详解】由题意有， 所以． 故选：A 8. 已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量的数量积运算，结合其夹角公式代入计算，即可得到结果. 【详解】∵，向量在向量上的投影向量是， ∴， 则，即，且， 则， 故选：C. 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则（ ） A. B. C. 可以作为平面向量的一个基底 D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据向量的模公式计算可判断A；由向量坐标运算可判断B；由向量共线的坐标表示可判断C；先求坐标，再由向量共线的坐标表示可判断D. 【详解】选项A，，即，A错误； 选项B，，B正确； 选项C，，即不共线，即可以作为平面向量的一个基底，C正确； 选项D，，由，即与不共线，D错误． 故选：BC 10. 已知互不相同的两条直线，和两个平面，，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，且，则 D. 若，，且，则 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系逐项判断即可得答案. 【详解】对于A，若，，则或与异面，故A不正确； 对于B，根据面面垂直的性质定理可知，B正确； 对于C，若，，且，则或与相交，故C不正确； 对于D，若，，则，过作平面，使得，因为，所以，所以，因为，所以.故D正确. 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每空5分，共15分． 把答案填在题中的横线上． 11. 已知复数满足，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘方与除法运算可求得，进而可求得. 【详解】由，可得，所以， 所以，. 故答案为：. 12. 已知分别为△三个内角的对边，且，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用正弦定理求解即可. 【详解】由正弦定理可得，所以， 因为，又因为，所以，所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知三棱锥中，为等边三角形，，，，，则三棱锥的外接球的半径为______． 【答案】3 【解析】 【分析】首先证明，，两两垂直且长度均为，再将该三棱锥放置于正方体当中即可. 【详解】取线段的中点，分别连接，因为为等边三角形， 则，所以，因为，且，平面， 所以平面，因为平面， 所以，又因为的中点为，则垂直平分，因为， 所以，所以为等腰直角三角形， 所以，因为，则， 所以，又因为，平面，，所以平面， 则易知，，两两垂直且长度均为， 所以可将三棱锥补成正方体，如图所示三棱锥的外接球就是正方体的外接球， 设外接球的半径为，则. 故答案为：3. 四、解答题：本题共3小题，每题11分，共33分． 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 计算： （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）（2）（3）由复数四则运算法则进行计算即可求解. 【小问1详解】 原式． 【小问2详解】 =. 【小问3详解】 ． 15. 如图，已知正方体的棱长为1. （1） 正方体中哪些棱所在的直线与直线是异面直线？ （2）若分别是，的中点，求异面直线与所成角的大小. 【答案】（1）棱； （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据异面直线的定义得到答案. （2）连结，，确定异面直线与所成角为（或其补角），计算得到答案. 【小问1详解】 由异面直线的定义可知，棱所在的直线与直线是异面直线 【小问2详解】 连结，，，分别是，的中点，所以， 因为，所以异面直线与所成角为（或其补角）， 由于，于是， 所以异面直线与所成角大小为. 16. 如图，在三棱柱中，平面平面，． （1）证明：； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1） 取AC的中点，则，且， 因为平面平面ABC，且平面平面平面ABC， 所以平面 因为平面， 所以， 因为， 又因为平面平面， 又平面； （2） 【解析】 【分析】（1）利用直线与平面垂直证明两直线垂直； （2）利用空间向量法求解二面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图所示，以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 可得， 因为， 设平面的法向量为， 则由得 令，则， 设平面的法向量为， 则由得 令，则， 记二面角的平面角为， 因为， 显然，所以， 所以二面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度下学期高一数学期中考试 试 卷 （考试范围：必修一前三章及第四章一部分；考试时间：60分钟，试卷满分：100分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知的内角所对的边分别为，，，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. 5 B. C. 25 D. 4 4. 已知，则z的共轭复数的虚部为（ ） A. 1 B. C. 0 D. 5. 如图，在中，为的中点，与交于点，若，则下面对于的描述正确的是（ ） ①， ②， ③， ④， A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 6. 已知向量，，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是边的中点，在上，且，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知非零向量，满足，且向量在向量上的投影向量是，则向量与的夹角是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分． 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知向量，则（ ） A. B. C. 可以作为平面向量的一个基底 D. 10. 已知互不相同的两条直线，和两个平面，，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，且，则 D. 若，，且，则 三、填空题：本题共3小题，每空5分，共15分． 把答案填在题中的横线上． 11. 已知复数满足，则_____. 12. 已知分别为△三个内角的对边，且，则_________． 13. 已知三棱锥中，为等边三角形，，，，，则三棱锥的外接球的半径为______． 四、解答题：本题共3小题，每题11分，共33分． 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 14. 计算： （1）； （2）； （3）． 15. 如图，已知正方体的棱长为1. （1） 正方体中哪些棱所在的直线与直线是异面直线？ （2）若分别是，的中点，求异面直线与所成角的大小. 16. 如图，在三棱柱中，平面平面，． （1）证明：； （2）求二面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $