精品解析：2026年安徽省合肥市庐江县中考二模 数学试题

数学 注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．请在答题卡上答题，否则无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 如图，在 中，，，边的中点为，于点，于点，若，则的长是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】根据等边三角形的判定和性质得出 为等边三角形，，，再由题意确定，利用含30度角的直角三角形的性质得出，再由余弦函数求解即可 【详解】解：∵，， ∴ 为等边三角形， ∴， ∵边的中点为， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 2. 若是一次函数图象上不同的两点，且，则a 的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握“当时，随 的增大而减小”是解题的关键． 根据可得出与异号，进而得出，解之即可得出结论． 【详解】解：， 与异号， ∴当时，，当时，， ∴y随 增大而减小， ∵， ∴，解得：． 故选：D． 3. 如图，锐角三角形 中，，点D，E分别在边，上，连接， ．下列命题中，假命题是（ ）． A. 若 ，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【分析】由，可得 ，再由，由无法证明与全等，从而无法得到；证明 可得 ；证明 ，可得，即可证明；证明，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴ ， ∵若， 又， ∴与满足“”的关系，无法证明全等， 因此无法得出，故A是假命题， ∵若， ∴， 在 和 中， ， ∴， ∴ ，故B是真命题； 若，则， 在 和 中， ， ∴， ∴， ∵ ， ∴，故C是真命题； 若，则在和 中， ， ∴， ∴，故D是真命题； 故选：A． 【点睛】本题考查等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题，判断命题的真假关键是掌握相关性质定理． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 4. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 5. 如图，一次函数 的图象与反比例函数的图象交于，两点，与 轴交于点 ． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 【答案】（1） ， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式． （1）根据待定系数法求出两个函数解析式即可； （2）求出点 坐标得到线段长，根据代入数据计算即可； （3）根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集． 【小问1详解】 解： 一次函数 的图象与反比例函数的图象交于，两点， ， ， ， 反比例函数解析式为：， ，在一次函数 的图象上， ，解得， 一次函数解析式为： ． 【小问2详解】 解：在一次函数 中，令，则， ， ； 【小问3详解】 解：根据两个函数图象的位置及交点坐标，可直接写出不等式的解集为：或． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 六、（本题满分12分） 七、（本题满分12分） 八、（本题满分14分） 6. 【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，它们都可以看作把抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片对称轴下部的轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线经过原点，顶点D坐标为且与x轴的另一交点为C．求C点坐标及抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线 与坐标轴交于A，B两点，点C，是叶片上的一对对称点，线段交直线AB于点G．证明是等腰直角三角形并求出线段的长度； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖P的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求 的最大值． 【答案】（1）C点坐标为，；（2）；（3）2 【解析】 【分析】（1）根据顶点坐标公式列方程组求解，得到函数解析式，再令解方程得到 点坐标； （2）先求出，得到，得，求得，根据对称性得； （3）运用待定系数求出右侧幼苗上方轮廓线表达式为，设M点坐标为，则，得，运用二次函数的性质可求解． 【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为， ∴ 解得：，， ∴抛物线的解析式为． 当时，． 解得 ，， ∴C点坐标为； （2）∵直线 与坐标轴交于 ，两点， ∴令，得，令，则，， ∴，， ∴， ∴ 是等腰直角三角形， ∴； ∵直线 是心形叶片的对称轴，且点 ，是叶片上的一对对称点， ∴，， ∴, ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵C点坐标为， ∴， ∴， ∴； （3）∵右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反， 设右侧幼苗上方轮廓线表达式为，代入、得 ， 解得， ∴， 设M点坐标为，则， ， ∵，， ∴当时，的最大值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项：1．你拿到的试卷满分为150分，考试时间为120分钟． 2．请在答题卡上答题，否则无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是正确的． 1. 如图，在 中，，，边的中点为，于点，于点，若，则的长是（ ） A. B. 3 C. 4 D. 5 2. 若是一次函数图象上不同的两点，且，则a 的取值范围为 （ ） A. B. C. D. 3. 如图，锐角三角形 中，，点D，E分别在边，上，连接， ．下列命题中，假命题是（ ）． A. 若 ，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 4. 先化简，再求值：，其中． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 5. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与轴交于点． （1）求一次函数与反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）直接写出不等式的解集． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 六、（本题满分12分） 七、（本题满分12分） 八、（本题满分14分） 6. 【综合探究】运用二次函数来研究植物幼苗叶片的生长状况．在大自然里，有很多数学的奥秘．图1是一片美丽的心形叶片，图2是一棵生长的幼苗，它们都可以看作把抛物线的一部分沿直线折叠而形成． 【探究一】确定心形叶片的形状 （1）如图3建立平面直角坐标系，心形叶片对称轴下部的轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，已知该抛物线经过原点，顶点D坐标为且与x轴的另一交点为C．求C点坐标及抛物线的解析式； 【探究二】研究心形叶片的尺寸 （2）如图3，在（1）的条件下，心形叶片的对称轴，即直线 与坐标轴交于A，B两点，点C，是叶片上的一对对称点，线段交直线AB于点G．证明是等腰直角三角形并求出线段的长度； 【探究三】探究幼苗叶片的特征 （3）小李同学在观察某种幼苗生长的过程中，发现幼苗叶片下方轮廓线可以看作是二次函数图象的一部分，如图4所示，右侧幼苗上方轮廓线与下方轮廓线形状相同，开口相反，已知叶尖P的坐标为．在右侧上方轮廓线上任取一点M，过M作x轴垂线交下方轮廓线于点N，求 的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $