专题 11.4 一元一次不等式组的应用（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2025-2026学年人教版七年级数学下册基础知识专项突破讲练

本讲义聚焦一元一次不等式组的应用这一核心知识点，梳理了解题步骤（审、设、列、解、答）作为学习支架，衔接不等式解法，通过行程、经济、分配等6类常考题型实现从理论到实际应用的过渡。 资料特色在于题型贴近生活（如出租车计费、采购预算），培养数学眼光观察现实问题，例题与变式题设计强化推理能力（数学思维），同步检测分层练习助力学生用数学语言表达（模型意识），课中辅助教师教学，课后帮助学生查漏补缺。

专题 11.4 一元一次不等式组的应用（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】解题步骤 1 【知识点二】常考题型 1 【题型 1】不等式组的行程问题 2 【题型 2】不等式组的经济问题 3 【题型 3】不等式组的分配问题 4 【题型 4】不等式组的方案选择问题 4 【题型 5】不等式组的阶梯收费问题 5 【题型 6】一元一次不等式组的其他应用 7 二.同步检测 7 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 7 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 10 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】解题步骤 （1） 审：读懂题意，找出题目中两个及以上不等关系； （2） 设：合理设未知数； （3） 列：根据不等关系，列出一元一次不等式组； （4） 解：分别解不等式，找出公共解集，结合实际取整数解； （5） 答：写出完整答案。 【知识点二】常考题型 （1）分配问题：物品分配、人员分配、宿舍分配； （2）方案选择问题：购物方案、租车方案、进货方案； （3）最值问题：最多、最少、不低于、不超过类； （4）行程与工程问题：速度、时间、工作量限制； （5）利润费用问题：成本、利润、总价范围限制。 【题型 1】不等式组的行程问题 【例题1】（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． （1）当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； （2）若，利用不等式的基本性质比较与的大小； （3）如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【变式1】（24-25八年级下·全国·暑假作业）某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·山东青岛·月考）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． （1）若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h （2）已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【题型 2】不等式组的经济问题 【例题2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）为了提升学生的审美素养与艺术实践能力，学校计划采购画笔套装与音乐礼盒两种美育资源共40套，作为美育课堂的辅助材料．已知画笔套装单价为80元，音乐礼盒单价为30元．学校经费预算不超过2000元．在保证学生能同时接触绘画与音乐两类美育资源的前提下，学校最多能购买多少套画笔套装？ 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·月考）某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·北京·期中）某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 【变式3】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购、两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元． （1）求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？ （2）该小区计划用不多于1500元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且型号垃圾箱个数不多于型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买、两种型号的垃圾箱有哪些方案？并求出总支出最小值． 【题型 3】不等式组的分配问题 【例题3】（24-25七年级下·湖南永州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》上映15天总票房突破91亿，成为中国影史首部票房破90亿元电影，档期结束后热度依然不减．某商家抓住商机购进A、B两种类型的哪吒纪念娃娃进行销售，已知购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元． （1）每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，商家有哪几种进货方案？ 【变式1】（24-25七年级下·宁夏吴忠·期末）课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）把一些书分给几名同学，如果每人分5本，那么余6本；如果前面的每名同学分7本，那么最后一人可分到书但不足3本．这些书共有______________本． 【变式3】（2025七年级下·河南·专题练习）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元． （1）求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元； （2）已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于318元，求他平均每天的送件数． 【题型 4】不等式组的方案选择问题 【例题4】（25-26八年级下·重庆合川·期中）为弘扬陶行知先生“小先生制”的教育理念，合川某学校拟购买“知行合一”笔记本（A类）和纪念徽章（B类）对优秀“小先生”进行奖励．已知买1本A类和2枚B类共需82元；买2本A类和1枚B类共需74元． （1）求A，B两类物品的单价； （2）学校准备购买A、B两类物品共34个，且A类的数量不高于B类的数量．购买物品的总花费不得高于900元，则该学校有哪几种购买方案？哪种方案花费最少？ 【变式1】（24-25九年级下·湖北襄阳·自主招生）三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【变式2】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·期中）为助力乡村农产品外销，某物流企业调配运输车辆．调研发现，辆型货车与辆型货车一次可运货吨；辆型货车与辆型货车一次可运货吨． （1）求辆型货车和辆型货车分别能运货多少吨？ （2）该企业计划用这两种货车共辆运输这批农产品，每辆型货车运输一次费用为元，每辆型货车运输一次费用为元．若型货车数量不低于辆，总费用不超过元，请列出所有运输方案，并指出哪种方案费用最少，最少费用是多少？ 【题型 5】不等式组的阶梯收费问题 【例题5】（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 （1）若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； （2）若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） （3）若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25七年级下·山东临沂·期末）某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 【变式3】（2026七年级下·江苏·专题练习）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． （1）设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； （2）该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； （3）若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【题型 6】一元一次不等式组的其他应用 【例题6】（2026·江西九江·一模）某文具店购进甲、乙两种羽毛球拍．店主第一批购买甲种羽毛球拍10副、乙种球拍15副，一共花费1700元．每副甲球拍比乙球拍贵20元 （1）甲、乙两种球拍每副进价分别是多少元？ （2）若店家第二批购买甲、乙两种羽毛球拍一共30副，甲球拍数量大于乙，两种球拍的总进价低于2140元，求甲、乙球拍分别进了多少副？ 【变式1】（25-26七年级下·重庆·期中）按如图所示的程序进行计算，若输入整数后，程序运行了两次后输出结果，则输入的整数的值可以是（   ） A．1 B．4 C．7 D．10 【变式2】（25-26七年级下·北京·期中）取整符号表示不超过实数的最大整数，如．若，则的值为______． 【变式3】（2026·四川德阳·模拟预测）学校准备打造雅博书苑，计划购进甲，乙两种规格书柜放置书籍，甲书柜可放置四层书籍共100本，乙书柜可放置六层共200本书籍，书柜厂家报价：若购买甲书柜10个，乙书柜8个，共需资金5400元；若购买甲书柜5个，乙书柜10个共需资金5100元． （1）甲，乙两种书柜的单价分别是多少钱？ （2）若学校准备投入不超过6920元购买甲，乙两种书柜共20个，并且保证书苑的藏书量至少为3200本．请问一共有几种购买方案？ 二.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（24-25八年级下·四川达州·期末）2025年5月13日，万源市的最高气温为，最低气温为，则万源市这天的气温的范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）东明县某日最高气温是，最低气温是 ，则东明县当日气温：的变化范围是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·江西吉安·期中）一本书共108页，布克读了一周（7天）还没读完，而莉克不到一周就已读完．莉克平均每天比布克多读5页．若设布克平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·全国·暑假作业）某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）四月是工大附小的读书节活动月，四年级某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但是不到3本．则共有（    ）名同学． A．6 B．7 C．8 D．9 6．（25-26七年级下·河南新乡·期中）图中是李刚同学设计的一个计算程序，规定从“输入 x”到判断“结果是否”为一次运行过程．如果程序运行两次就输出，那么的取值范围是（　　　） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）北京奥运会期间，重庆啦啦队一行56人，从旅馆乘出租车到比赛场为中国队加油，现有甲、乙两个出租车队，甲队比乙队少3辆车，若全部安排乘甲队的车，每辆坐5人，车不够， 每辆坐6人，有车未满；若全部安排乘乙队的车，每辆坐4人，车不够，每辆坐5人，有车未满，请问甲队有出租车（    ）辆． A．9 B．10 C．11 D．12 8．（2025·河北保定·二模）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为的值输入程序再次计算，比如：当输入时，依次计算作为第一次“传输”，可得，，，不大于，所以，把输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得，，，当起始输入时，要使最终可以结束程序，则需经过“传输”的次数为（    ） A．次 B．次 C．次 D．次 （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2024七年级下·安徽·专题练习）的5倍在3与7之间（不包括3和7）用不等式（组）表示：____． 10．（24-25七年级下·湖南湘西·期末）科研人员发现：A、B两种花卉的最佳生长温度分别在和之间．若把这两种花卉放在一起种植，请用不等式表示最佳的生长温度t应控制的范围为___________． 11．（24-25八年级下·全国·暑假作业）某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ________． 12．（25-26八年级下·四川成都·期中）2025年9月3日上午，在北京天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会．此次阅兵活动后放飞气球是由北京警察学院的学生负责的．若两名学生为一组，负责个气球的吹制与结绳，平均到秒完成一个．每组完成这些花费的时间为分，则的取值范围为______________． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）登山前，登山者要将矿泉水分装在旅行包内带上山，若每人2瓶，则剩余3瓶；若每人带3瓶，则有一人所带矿泉水不足2瓶．则登山有______人． 14．（25-26八年级下·全国·单元测试） “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 15．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）在读书节活动中，老师把一些图书分给勤奋小组的同学们，如果每人分5本，那么剩余12本；如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本，勤奋小组一共有______人． 16．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大，当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是，若铁钉总长度为，则的取值范围是_______． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）王芳到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支0.8元，笔记本每本1.2元．王芳带了12元，当她买了5本笔记本后，如果计划余下的钱少于0.8元，那么她还能买几支中性笔？ 18．（24-25八年级上·湖北随州·期末）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下： 型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元） 型 27000 型 12000 已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%． （1）求，两种型号的机器人的进价各是多少？ （2）春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？ 19．（25-26八年级下·江西吉安·期中）为了响应《关于全面推进健康学校建设的指导意见》号召，某校决定在每天下午组织学生“校园跑”，并购买跑鞋给优秀完成任务的学生作为奖励，该校购买了A种品牌的跑鞋40双，B种品牌的跑鞋25双，共花费3100元，已知B种品牌跑鞋的单价比A种品牌跑鞋的单价高20元． （1）求A，B两种品牌跑鞋的单价各是多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进A，B两种品牌的跑鞋共20双，正逢鞋店的“优惠促销”活动，A种品牌的跑鞋单价优惠3元，B种品牌的跑鞋单价打8折．如果此次学校购买A，B两种品牌跑鞋的总费用不超过900元，且购买B种品牌的跑鞋不少于10双，为了节约资金，学校应制定怎样的购买方案？ 20．（25-26七年级下·安徽六安·期中）用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素的含量及购买这两种原料的价格如下表所示： 类别 甲种原料 乙种原料 维生素的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有不低于4000单位的维生素． （1）请列出应满足的不等式； （2）如果同时要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，请解答以下问题： ①求出满足题意的的取值范围； ②计算此时这种饮料中维生素含量的范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 11.4 一元一次不等式组的应用（知识梳理+题型精析+同步检测） 目录 一.知识梳理与题型精析 1 【知识点一】解题步骤 1 【知识点二】常考题型 1 【题型 1】不等式组的行程问题 2 【题型 2】不等式组的经济问题 6 【题型 3】不等式组的分配问题 9 【题型 4】不等式组的方案选择问题 12 【题型 5】不等式组的阶梯收费问题 16 【题型 6】一元一次不等式组的其他应用 20 二.同步检测 23 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 23 （二） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 27 （三） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 32 一.知识梳理与题型精析 【知识点一】解题步骤 （1） 审：读懂题意，找出题目中两个及以上不等关系； （2） 设：合理设未知数； （3） 列：根据不等关系，列出一元一次不等式组； （4） 解：分别解不等式，找出公共解集，结合实际取整数解； （5） 答：写出完整答案。 【知识点二】常考题型 （1）分配问题：物品分配、人员分配、宿舍分配； （2）方案选择问题：购物方案、租车方案、进货方案； （3）最值问题：最多、最少、不低于、不超过类； （4）行程与工程问题：速度、时间、工作量限制； （5）利润费用问题：成本、利润、总价范围限制。 【题型 1】不等式组的行程问题 【例题1】（24-25七年级下·湖南永州·期中）热爱锻炼的李子宸同学沿着香零山的环形跑道（周长大于）按逆时针方向跑步，并用跑步软件记录运动轨迹，他从起点出发，每跑，软件会在运动轨迹上标注出相应的里程数．前的记录数据如图所示． （1）当李子宸同学跑了2圈时，他的运动里程数______（填“”“”或“”）； （2）若，利用不等式的基本性质比较与的大小； （3）如果李子宸同学跑到时恰好回到起点，求此时李子宸同学总共跑的圈数． 【答案】（1）；（2）；（3）7 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，不等式的性质，正确理解题意，得出不等式是解题的关键． （1）由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和，据此可知小明跑了2圈时，他的运动里程数小于； （2）利用不等式的基本性质求解即可； （3）设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈，然后列不等式求出t的取值范围，再根据，代入求出x的取值范围即可． 解：（1）解：由图可得，小明跑第一圈时软件标记了，跑第二圈时标记了，跑第三圈时标记了和， ∴当小明跑了2圈时，他的运动里程数； （2）解：∵ ∴ ∴； （3）解：设公园的环形跑道周长为，小明总共跑了圈， 由题意得：， 解得：， ∴， ∴ 又∵李子宸同学跑到时恰好回到起点， ， ∴， ∴， ∵x是正整数， ∴，即此时小明总共跑的圈数为7． 【变式1】（24-25八年级下·全国·暑假作业）某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了列不等式，正确理解收费标准是关键．设他行驶的路程为千米，则付费，根据不足1千米按1千米计算，可得答案． 解：设他行驶的路程为千米， ∴， 故选A 【变式2】（25-26八年级下·山东青岛·月考）北斗高精导航能够实时显示当前路口的信号灯颜色以及时长，一辆小车行驶在限速的路段上，当距离下一路口时，发现导航显示下一路口的信号灯为绿灯，且剩余时间为，此时导航提示：按照当前时速行驶能通过下一路口，则小车当前行驶速度的取值范围是______． 【答案】 【分析】先统一单位，求出60秒内通过所需的最小速度，再结合路段限速即可得到的取值范围． 解：要在绿灯剩余的内通过路口，小车的速度至少满足， 将单位转换为，可得． 又∵该路段限速，且按照当前时速行驶能通过下一路口， ∴小车当前行驶速度的取值范围是． 【变式3】（24-25七年级下·江苏南京·期末）如图，A，B两地间的公路长，其中有一段长的施工道路，M距离A地甲、乙两辆轿车分别从A，B两地出发，沿该公路相向而行，乙车比甲车晚出发在非施工道路其限速情况如图所示，甲车始终以的速度行驶，乙车始终以的速度行驶；在施工道路，两车均以的速度行驶． （1）若 ①甲车出发时，甲车行至______处，乙车行至______处；填“M”“N”或“的中点” ②甲车行至的中点时，乙车行驶的时间为______h （2）已知两车在P处相遇． ①若P与N重合，求V的值； ②若P在非施工道路上不与M，N重合，直接写出V的取值范围． 【答案】（1）①M，N；②；（2）①，②或 【分析】①根据题意，分别得到，，，，根据甲乙两车的速度，即可得到两车行驶的距离，即可得到结果； ②根据甲车在段和段的速度不同，得到甲车的行驶时间，结合乙车比甲车晚出发，得到乙车所用时间； ①两车在P处相遇与N重合，分别求出甲乙所用的时间，从而得到乙车的速度； ②分类讨论相遇点在上，分别表示甲乙所行驶的路程，根据总路程为，得到等式，表示出速度，同时结合限速的要求，得到结果． 本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，以及路程、速度、时间之间的关系的应用，正确理解题意是解题的关键． 解：（1）解：①依题意，，，， ， 甲车从A地出发，始终以的速度行驶， 甲车2小时共行驶了， 甲车出发2小时，行至M处， 乙车从B地出发，比甲车晚出发小时，以的速度行驶， 乙车共行驶了， 乙车行至N处， 故答案为：M，N； ②甲车行至的中点时，所用时间为：， 此时乙车行驶所用时间：， 故答案为：； （2）①两车在P处相遇，P与N重合， 甲车所用时间为， 此时乙车所用时间为， 乙车的速度为； ②P在非施工道路上不与M，N重合， 若P在上，设甲的行驶时间为t，则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 若P在上，设甲的行驶时间为t，， 则， 此时甲行驶路程为，乙行驶的路程为， ， ， ， 解得， 限速为， ， 综上所述或． 【题型 2】不等式组的经济问题 【例题2】（25-26八年级上·陕西西安·期末）为了提升学生的审美素养与艺术实践能力，学校计划采购画笔套装与音乐礼盒两种美育资源共40套，作为美育课堂的辅助材料．已知画笔套装单价为80元，音乐礼盒单价为30元．学校经费预算不超过2000元．在保证学生能同时接触绘画与音乐两类美育资源的前提下，学校最多能购买多少套画笔套装？ 【答案】16 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确理解题意、找准相等关系和不等关系是解题的关键； 设画笔套装购买套，则音乐礼盒购买套，根据预算和同时接触两种资源的条件，列出不等式组并求解 解：设画笔套装购买套，则音乐礼盒购买套 根据题意： 解得：1 因此的最大值为16， 答：学校最多能购买16套画笔套装． 【变式1】（24-25七年级下·河南周口·月考）某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压．商店根据市场行情和消费者的心理状态，决定将两种商品分别按积压资金的八折和九折降价出售，结果滞销的这两种商品很快售完．商店立即将回收的全部资金以相当于零售价 的批发价买回一批畅销货．为了支付必要的开支，商店至少得赚回利润1100元，而为了保证这批新货迅速售完，不至于由畅销货变为滞销货，商店拟以低于零售价的价格，将这批新货卖出．设商店应该将这批新进货高出进价的卖出，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是不等式组的应用，某商店两种商品滞销，分别造成3000元和4000元的资金积压，“至少得赚回利润1100元”指的是最终销售额需要覆盖最初积压的全部资金（元），并在此基础上盈利1100元，因此对最终销售额的最低要求为元；设商店应该将这批新进货高出买进价的卖出，则实际出售商品的收入为；商店立即将回收的全部资金以相当于零售价的批发价买回一批畅销货，则以零售价出售的收入为；且满足：最少收入实际出售商品的收入以零售价出售的收入，代入求解即可． 解：设新进货应高出进价的， 由题意得，则， 解得：， 故选：D． 【变式2】（24-25七年级下·北京·期中）某电商平台店铺促销优惠，每单消费满299元减30元．小王在该店铺内已选购了a元的商品，为凑满减又加购了一件12元的商品，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】题目主要考查不等式组的应用，理解题意，列出不等式组是解题关键． 根据题意列出不等式组求解即可． 解：∵为凑满减又加购了一件12元的商品，每单消费满299元减30元． ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·浙江宁波·期中）为更高效推进生活垃圾分类工作、持续改善城市生态环境，某小区计划采购、两种型号的垃圾箱．经前期市场调研，相关采购成本信息如下：购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元． （1）求每个型垃圾箱和每个型垃圾箱分别多少元？ （2）该小区计划用不多于1500元的资金购买、两种型号的垃圾箱共20个，且型号垃圾箱个数不多于型号垃圾箱个数的3倍，则该小区购买、两种型号的垃圾箱有哪些方案？并求出总支出最小值． 【答案】（1）每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元；（2）有三种购买方案： 方案1：购买15个A型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱，支出1350元；方案2：购买14个A型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱，支出1420元；方案3：购买13个A型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱，支出1490元，总支出最小值为1350元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组是解题的关键： （1）设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元，根据购买4个型垃圾箱与3个型垃圾箱，总费用为560元；同时，购买2个型垃圾箱的支出，比购买1个型垃圾箱少20元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱，根据题意，列出不等式组，求出整数解即可． 解：（1）解：设每个型垃圾箱元，每个型垃圾箱元， 由题意得： 解得：； 答：每个A型垃圾箱50元，每个B型垃圾箱120元． （2）设购买个型垃圾箱，则购买个型垃圾箱 由题意得： 解得： 又为整数， 可取5，6，7， 有三种购买方案： 方案1：购买15个型垃圾箱，购买5个B型垃圾箱，支出（元）； 方案2：购买14个型垃圾箱，购买6个B型垃圾箱，支出（元）； 方案3：购买13个型垃圾箱，购买7个B型垃圾箱，支出（元）； ， 总支出最小值为1350元． 【题型 3】不等式组的分配问题 【例题3】（24-25七年级下·湖南永州·期中）电影《哪吒之魔童闹海》上映15天总票房突破91亿，成为中国影史首部票房破90亿元电影，档期结束后热度依然不减．某商家抓住商机购进A、B两种类型的哪吒纪念娃娃进行销售，已知购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元． （1）每个种娃娃和每个种娃娃的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，商家有哪几种进货方案？ 【答案】（1）每个种娃娃的进价为10元，每个种娃娃的进价为8元；（2）该商家有3种进货方案，方案一：购进A种娃娃50个，B种娃娃150个；方案二：购进A种娃娃51个，B种娃娃149个；方案三：购进A种娃娃：2个，B种娃娃148个 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，正确的列出方程组和不等式组，是解题的关键： （1）设每个种娃娃的进价为元，每个种娃娃的进价为元，根据购进4个A种娃娃和购进5个B种娃娃的费用相同；每个A种娃娃的进价比每个B种娃娃的进价多2元，列出方程组进行求解即可； （2）设购进a个种娃娃，则购进个种娃娃，根据该商家计划用不超过1704元的资金购进A、B两种娃娃共200个，其中种娃娃的数量不超过种娃娃数量的3倍，列出不等式组，求出整数解即可． 解：（1）解：设每个种娃娃的进价为元，每个种娃娃的进价为元， 依题意，得：， 解得：； 答：每个种娃娃的进价为10元，每个种娃娃的进价为8元． （2）设购进a个种娃娃，则购进个种娃娃， 依题意，得：解得： 是整数， ， 当时，； 当时，； 当时，； 答：该商家有3种进货方案， 方案一：购进A种娃娃50个，B种娃娃150个； 方案二：购进A种娃娃51个，B种娃娃149个； 方案三：购进A种娃娃：2个，B种娃娃148个． 【变式1】（24-25七年级下·宁夏吴忠·期末）课外阅读课上，老师将本书分给各个小组，每组本，还有剩余；每组本，却又不够．这个课外阅读小组共有（   ） A．组 B．组 C．组 D．组 【答案】B 【分析】设小组数量为，根据题意列出一元一次不等式组，求出的取值范围，取范围内的正整数即可得到结果． 解：设一共有个小组，为正整数， ∵每组本有剩余，每组本不够， ∴可得， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴，故一共有个小组． 【变式2】（24-25七年级下·全国·课后作业）把一些书分给几名同学，如果每人分5本，那么余6本；如果前面的每名同学分7本，那么最后一人可分到书但不足3本．这些书共有______________本． 【答案】36 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，求一元一次不等式组的整数解，根据各数量关系正确列出不等式组是解题的关键．设共有名同学，可得图书共有本，再由每名同学分7本，那么最后一人就分不到3本，可列出不等式组，解出后并结合为正整数即可得到答案． 解：设共有名同学，则图书共有本， 由题意得， 解得：， 又为正整数， ， 当时， 故答案为：36． 【变式3】（2025七年级下·河南·专题练习）快递员把货物送到客户手中称为送件，帮客户寄出货物称为揽件．快递员的提成取决于送件数和揽件数．某快递公司快递员小李若平均每天的送件数和揽件数分别为80件和20件，则他平均每天的提成是160元；若平均每天的送件数和揽件数分别为120件和25件，则他平均每天的提成是230元． （1）求快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是多少元； （2）已知快递员小李一周内平均每天的送件数和揽件数共计200件，且揽件数不大于送件数的．如果他平均每天的提成不低于318元，求他平均每天的送件数． 【答案】（1）快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元；（2）160件或161件或162件或163件或164件 【分析】本题考查二元一次方程组、一元一次不等式组解应用题，读懂题意，找准关系，准确列出方程组及不等式组求解是解决问题的关键． （1）设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元，由题意列二元一次方程组求解即可得到答案； （2）设他平均每天的送件数是件，则他平均每天的揽件数是件，由题意列一元一次不等式组求解即可得到答案． 解：（1）解：设快递员小李平均每送一件的提成是元，平均每揽一件的提成是元， 根据题意得， 解得， 答：快递员小李平均每送一件和平均每揽一件的提成各是1.5元和2元； （2）解：设他平均每天的送件数是件，则他平均每天的揽件数是件， 根据题意得， 解得， ∵是正整数， ∴的值为160，161，162，163，164． 答：他平均每天的送件数是160件或161件或162件或163件或164件． 【题型 4】不等式组的方案选择问题 【例题4】（25-26八年级下·重庆合川·期中）为弘扬陶行知先生“小先生制”的教育理念，合川某学校拟购买“知行合一”笔记本（A类）和纪念徽章（B类）对优秀“小先生”进行奖励．已知买1本A类和2枚B类共需82元；买2本A类和1枚B类共需74元． （1）求A，B两类物品的单价； （2）学校准备购买A、B两类物品共34个，且A类的数量不高于B类的数量．购买物品的总花费不得高于900元，则该学校有哪几种购买方案？哪种方案花费最少？ 【答案】（1）A类物品的单价为22元，B类物品的单价为30元；（2）共有3种购买方案：方案1、购买A类15本，B类19枚；方案2、购买A类16本，B类18枚；方案3、购买A类17本，B类17枚． 其中购买A类17本，B类17枚时花费最少． 【分析】（1）设A类物品的单价为x元，B类物品的单价为y元，根据题意建立方程组求解即可； （2）设购买A类物品m本，则购买B类物品枚，根据题意建立不等式组求解即可． 解：（1）解：设A类物品的单价为x元，B类物品的单价为y元， 由题意得，， 解得， 答：A类物品的单价为22元，B类物品的单价为30元； （2）解：设购买A类物品m本，则购买B类物品枚， 由题意得，， 解得， ∵m为非负整数， ∴m的值为15或16或17， 当时，， 当时，， 当时，， ∵1本A类物品的单价比一枚B类物品的单价低， ∴购买A类物品的数量越多，费用越低， 答：共有3种购买方案：方案1、购买A类15本，B类19枚；方案2、购买A类16本，B类18枚；方案3、购买A类17本，B类17枚． 其中购买A类17本，B类17枚时花费最少． 【变式1】（24-25九年级下·湖北襄阳·自主招生）三种图书的单价分别为元、元和元，某学校计划恰好用元购买上述图书本，那么不同的购书方案有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】B 【分析】本题主要考查了三元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程组，准确计算确定取值范围． 设购买元、元和元图书的数量分别为a、b、c本，根据总本数和总金额列出方程组，通过代入消元得到a与c的关系，再根据非负整数条件确定a的取值范围，从而得到方案数． 解：设购买三种图书的数量分别为a、b、c本， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b、c为非负整数， ∴， 解得：， ∴a的取值范围为0到的整数，共种可能的取值，（分别为0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，）， 对于每一个a值，对应地可求出唯一的b和c， ∴不同的购书方案共有种． 故选：B． 【变式2】（24-25七年级下·湖南怀化·期末）怀化国际陆港某货场现有甲种货物和乙种货物，拟用两种集装箱将其运走．已知甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱，甲种货物和乙种货物可装满一个型集装箱．若共使用了50个集装箱，则有___________种具体的运输方案． 【答案】3 【分析】本题考查了列一元一次不等式组解实际问题的运用， 一元一次不等式组的解法的运用， 解答中运用为整数的隐含条件求出结论是解答的关键 ． 设安排A中集装箱个， 则安排B中集装箱个， 根据题意建立不等式组， 然后求出其解集， 根据解集就可以确定装运方案 ． 解：设安排A种集装箱x个，则安排B种集装箱个． 根据题意，得， 解不等式①，得； 解不等式②，得， 所以不等式组的解集为， 因为x取正整数，所以x取28，29，30， 当时，；当时，；当时，． 故有三种运输方案：方案一：安排A种集装箱28个，B种集装箱22个； 方案二：安排A种集装箱29个，B种集装箱21个； 方案三：安排A种集装箱30个，B种集装箱20个． 故答案为：3． 【变式3】（25-26八年级下·重庆·期中）为助力乡村农产品外销，某物流企业调配运输车辆．调研发现，辆型货车与辆型货车一次可运货吨；辆型货车与辆型货车一次可运货吨． （1）求辆型货车和辆型货车分别能运货多少吨？ （2）该企业计划用这两种货车共辆运输这批农产品，每辆型货车运输一次费用为元，每辆型货车运输一次费用为元．若型货车数量不低于辆，总费用不超过元，请列出所有运输方案，并指出哪种方案费用最少，最少费用是多少？ 【答案】（1）辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨；（2）共有三种运输方案：方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；安排型货车辆，型货车辆时总费用最少，最少费用为元 【分析】（1）设未知数，根据题干给出的两种运货总量关系列出二元一次方程组，求解得到结果； （2）设型货车的数量，进而表示出型货车的数量，根据“型货车数量不低于辆”和“总费用不超过元”列出不等式组，求出整数解得到所有方案，再计算各方案的总费用，比较得到最少费用． 解：（1）解：设辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨， 根据题意得，，解得． 答：辆型货车能运货吨，辆型货车能运货吨； （2）解：设安排型货车辆，则安排型货车辆， 根据题意得，解得， 为正整数， 的取值为，，， 共有三种运输方案： 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）； 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）； 方案：型货车辆，型货车辆，总费用为（元）， ， 方案的总费用最少． 答：共有三种运输方案：方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；方案：型货车辆，型货车辆；安排型货车辆，型货车辆时总费用最少，最少费用为元． 【题型 5】不等式组的阶梯收费问题 【例题5】（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 （1）若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； （2）若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） （3）若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】（1）；（2），；（3）3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 解：（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【变式1】（25-26七年级下·全国·课后作业）某市出租车起步价是8元（及以内为起步价），以后每千米收费元，不足按收费．若小明乘出租车到达目的地时计价器显示为元，则此出租车行驶的路程可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出租车行驶的路程为s千米，根据“车费=起步价+超出3千米的路程×每千米的收费”结合小明乘出租车到达目的地时计价器显示为14.4元，即可得出关于s的一元一次不等式组，解不等式组即可得出s的取值范围，结合四个选项即可得出结论． 解：设出租车行驶的路程为s千米，由题意得 ， 解得． 在四个选项中，只有在此范围内，所以，选项B符合题意． 【变式2】（24-25七年级下·山东临沂·期末）某市地铁票收费标准如下：不超过63元；超过6到12（含）4元；超过12到22（含）5元；超过22到32（含）6元；超过32部分，每增加1元可再乘坐20．一位乘客单次乘坐地铁购票花费了9元，设他乘坐地铁的里程为，用不等式表示x的范围________． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的应用，根据收费标准，超过32部分，每增加1元可再乘坐20，从而得出8元和9元最多乘坐的里程，进而得到x的范围即可． 解：由题意，7元可以最多乘坐：； 8元可以最多乘坐：； 9元可以最多乘坐：； ∴； 故答案为：． 【变式3】（2026七年级下·江苏·专题练习）为鼓励节约用水，居民生活用水采用阶梯收费．水价分三个等级：第一级为月用水量17m3以下（包括17m3）；第二级为月用水量超过17m3但不超过30m3；第三级为月用水量超过30m3（不包括30m3）．下面是某居民收到的一张2025年7月份的生活用水消费明细（不完整）． 居民生活用水消费明细 计费日期2025﹣7﹣1至2025﹣7﹣31 自来水费 污水处理费 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 用水量/m3 单价/（元/m3） 金额/元 阶段一：17 2 34 阶段一：17 1 17 阶段二： 2.5 阶段二： 1 本期实付金额（大写） （注：居民生活用水水费=自来水费+污水处理费） 已知该居民6月份和7月份的用水量总和为42m3，且7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍． （1）设该居民7月份的用水量为xm3，求x的取值范围； （2）该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳多少元； （3）若该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，求该居民7月份的用水量． 【答案】（1）；（2）89.5元；（3） 【分析】（1 ）设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为，根据“7月份的用水量超过6月份，但不超过6月份的2倍”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围； （2 ）求出当7月份用水量是时的水费即可； （3 ）根据该居民7月份的生活用水水费比6月份多41元，可列出关于x的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 解：（1）解：设该居民7月份的用水量为，则该居民6月份的用水量为， 根据题意得：， 解得：． 答：x的取值范围为； （2）解：根据题意得： （元）． 答：该居民7月份的生活用水水费最多需要缴纳89.5元； （3）解：当时，水费差为， 令 解得：，不符合题意，舍去； 当时，， 解得：． 答：该居民7月份的用水量为． 【题型 6】一元一次不等式组的其他应用 【例题6】（2026·江西九江·一模）某文具店购进甲、乙两种羽毛球拍．店主第一批购买甲种羽毛球拍10副、乙种球拍15副，一共花费1700元．每副甲球拍比乙球拍贵20元 （1）甲、乙两种球拍每副进价分别是多少元？ （2）若店家第二批购买甲、乙两种羽毛球拍一共30副，甲球拍数量大于乙，两种球拍的总进价低于2140元，求甲、乙球拍分别进了多少副？ 【答案】（1）甲种球拍每副进价80元，乙种球拍每副进价60元；（2）甲种球拍进了16副，乙种球拍进了14副 【分析】（1）设甲种球拍每副进价元，乙种球拍每副进价元，利用两个等量关系，即总花费、甲乙单价差，列二元一次方程组求解进价即可； （2）设甲种球拍进了副，则乙种球拍进了副，根据数量关系和总进价的限制条件列一元一次不等式组，结合数量为正整数的实际要求，得到符合条件的购买数量． 解：（1）解：设甲种球拍每副进价元，乙种球拍每副进价元 根据题意可得 解得， 答：甲种球拍每副进价80元，乙种球拍每副进价60元； （2）解：设甲种球拍进了副，则乙种球拍进了副，根据题意可得： ， 解得， 因为是正整数，所以， 则， 答：甲种球拍进了16副，乙种球拍进了14副． 【变式1】（25-26七年级下·重庆·期中）按如图所示的程序进行计算，若输入整数后，程序运行了两次后输出结果，则输入的整数的值可以是（   ） A．1 B．4 C．7 D．10 【答案】B 【分析】列出每一次运算的算式：第一次：，第二次：，再由运算进行2次才停止，列出一元一次不等式组求解即可． 解：由题意可知，第一次输出：， 第二次输出：， ∵程序运行了两次后输出结果， ∴， 解得：， 观察4个选项，只有4符合题意． 【变式2】（25-26七年级下·北京·期中）取整符号表示不超过实数的最大整数，如．若，则的值为______． 【答案】2或3或4 【分析】先由有意义得，设，利用取整符号的定义联立不等式，解得；再分区间讨论的范围，得到的所有可能值． 解：由题意得，对于任意有理数，有， ∵有意义 ∴， 设（为非负整数）， ∴ ， 由题意得，， ∴， ∴， 又∵， ∴当时，x的范围为； 当时，x的范围为； 当时，，无解； 综上所述，的取值范围是， 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴； 当时，， ∴， ∴， 综上所述，的值为2或3或4． 【点拨】解题核心是利用取整符号定义的不等式性质，通过设元法将条件转化为不等式组，先确定的取值范围，再分段讨论的范围，避免漏解． 【变式3】（2026·四川德阳·模拟预测）学校准备打造雅博书苑，计划购进甲，乙两种规格书柜放置书籍，甲书柜可放置四层书籍共100本，乙书柜可放置六层共200本书籍，书柜厂家报价：若购买甲书柜10个，乙书柜8个，共需资金5400元；若购买甲书柜5个，乙书柜10个共需资金5100元． （1）甲，乙两种书柜的单价分别是多少钱？ （2）若学校准备投入不超过6920元购买甲，乙两种书柜共20个，并且保证书苑的藏书量至少为3200本．请问一共有几种购买方案？ 【答案】（1）甲书柜单价为220元，乙书柜单价为400元；（2）一共有3种购买方案 【分析】（1）设甲书柜单价为元，乙书柜单价为元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设甲书柜购买个，乙书柜购买个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可得出结果． 解：（1）解：设甲书柜单价为元，乙书柜单价为元， 由题意可得： ， 解得： ， 答：甲书柜单价为220元，乙书柜单价为400元； （2）解：设甲书柜购买个，乙书柜购买个， 由题意可得： ， 解得： ， ∵为正整数， ∴或或，   故一共有3种购买方案． 二.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（24-25八年级下·四川达州·期末）2025年5月13日，万源市的最高气温为，最低气温为，则万源市这天的气温的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出不等式组，解题的关键是抓住关键词，正确理解最高和最低的含义． 万源市的最高气温为，最低气温为，即气温大于或等于，小于或等于，据此写出答案即可． 解：万源市的最高气温为，最低气温为，则万源市这天的气温的范围是：． 故选：D． 2．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）东明县某日最高气温是，最低气温是 ，则东明县当日气温：的变化范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了将实际问题抽象出一元一次不等式组，抓住关键词语、列出不等式组是解答本题的关键．先根据最高气温与最低气温列出不等式组，然后再确定其解集即可解答． 解：由题意可得： 当天气温的变化范围是． 故选：A． 3．（25-26八年级下·江西吉安·期中）一本书共108页，布克读了一周（7天）还没读完，而莉克不到一周就已读完．莉克平均每天比布克多读5页．若设布克平均每天读x页，则由题意列出不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题干给出的“布克读了一周还没读完，而莉克不到一周就已读完”的条件，提取不等关系，即可列出对应的不等式组． 解：设布克平均每天读页，则莉克平均每天读页． ∵布克读7天还没读完，说明布克7天读的总页数小于书的总页数， ∴． ∵莉克不到7天就读完了，说明莉克7天读的总页数大于书的总页数， ∴． 因此可得不等式组． 4．（24-25八年级下·全国·暑假作业）某城区出租车起步价为5元（行驶距离在3千米内），超过3千米按每千米加收1.2元，不足1千米按1千米计算，小明某次花费14.6元．若设他行驶的路程为千米，则应满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了列不等式，正确理解收费标准是关键．设他行驶的路程为千米，则付费，根据不足1千米按1千米计算，可得答案． 解：设他行驶的路程为千米， ∴， 故选A 5．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）四月是工大附小的读书节活动月，四年级某班班主任刘老师打算把一些书分给几名同学，如果每人分3本，那么剩余8本；如果前面的每名同学分5本，那么最后一人分到了书但是不到3本．则共有（    ）名同学． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】设共有名同学，则书本总数为本，根据最后一人分到书但不到3本的条件列出不等式组，求解后取正整数即可得到结果． 解：设共有名同学，则书本总数为本， 根据题意，最后一人分得的书本数大于0且小于3，可得不等式组： 化简第一个不等式得， 化简第二个不等式得， 因此不等式组的解集为， ∵为正整数， ∴． 即共有6名同学． 6．（25-26七年级下·河南新乡·期中）图中是李刚同学设计的一个计算程序，规定从“输入 x”到判断“结果是否”为一次运行过程．如果程序运行两次就输出，那么的取值范围是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题可知两次就停止，则有第一次结果15，第二次结果15，由此可得关于x的一元一次不等式组，解之即可得． 解：由题可得 解得：． 7．（24-25七年级下·甘肃武威·期中）北京奥运会期间，重庆啦啦队一行56人，从旅馆乘出租车到比赛场为中国队加油，现有甲、乙两个出租车队，甲队比乙队少3辆车，若全部安排乘甲队的车，每辆坐5人，车不够， 每辆坐6人，有车未满；若全部安排乘乙队的车，每辆坐4人，车不够，每辆坐5人，有车未满，请问甲队有出租车（    ）辆． A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，解题的关键是根据题意列出不等式组，设甲队有出租车辆，则乙队有出租车辆，根据题意可列不等式组，再求解出即可． 解：设甲队有出租车辆，则乙队有出租车辆， 由题意得： 解得： ，且为正整数，故． 故选：B． 8．（2025·河北保定·二模）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为的值输入程序再次计算，比如：当输入时，依次计算作为第一次“传输”，可得，，，不大于，所以，把输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得，，，当起始输入时，要使最终可以结束程序，则需经过“传输”的次数为（    ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】B 【分析】本题考查了程序流程图，一元一次不等式的应用，由程序图可得，当起始输入时，依次输入的数为，，，设经过次传输，可以结束程序，由，，可得，解不等式即可求解，理解题意是解题的关键． 解：由程序图可得，当起始输入时，依次输入的数为，，， 设经过次传输，可以结束程序， ∵，， ∴， 解得， ∵为正整数， ∴的值为，即经过次传输，可以结束程序， 故选：． （2） 填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2024七年级下·安徽·专题练习）的5倍在3与7之间（不包括3和7）用不等式（组）表示：____． 【答案】 【分析】本题考查由实际问题列出一元一次不等式组，理解题意并能列出相应的不等式组是解答本题的关键．根据题意写出相应的不等式组即可． 解：的5倍在3与7之间（不包括3和）用不等式（组）表示是 故答案为：． 10．（24-25七年级下·湖南湘西·期末）科研人员发现：A、B两种花卉的最佳生长温度分别在和之间．若把这两种花卉放在一起种植，请用不等式表示最佳的生长温度t应控制的范围为___________． 【答案】 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，直接利用不等式解集确定方法得出答案． 解：∵A、B两种花卉的最佳生长温度t分别是和之间， ∴把这两种花卉放在一起种植，用不等式表示最佳的生长温度t应控制的范围为：． 故答案为：． 11．（24-25八年级下·全国·暑假作业）某人上午8时以5千米/时的速度从A地步行到B地，到B地时已过12时，但不到12时10分，设A、B两地相距x千米，根据题意列不等式组 ________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，理解题意是解题的关键．设A、B两地相距x千米，根据到B地时已过12时，但不到12时10分，列一元一次不等式组即可． 解：根据题意，得， 故答案为：． 12．（25-26八年级下·四川成都·期中）2025年9月3日上午，在北京天安门广场举行纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会．此次阅兵活动后放飞气球是由北京警察学院的学生负责的．若两名学生为一组，负责个气球的吹制与结绳，平均到秒完成一个．每组完成这些花费的时间为分，则的取值范围为______________． 【答案】 【分析】根据单个气球的完成时间范围，计算个气球的总时间的秒数范围，再将单位转换为分钟，利用不等式的性质求出x的取值范围． 解：由题意得，完成1个气球的时间（单位，秒）满足 ． 则完成450个气球的总秒数满足 计算得 因为的单位为分钟，总秒数为，因此 ，代入不等式得 不等式三边同时除以正数60，不等号方向不变，得 化简得 ． 13．（25-26七年级上·全国·课后作业）登山前，登山者要将矿泉水分装在旅行包内带上山，若每人2瓶，则剩余3瓶；若每人带3瓶，则有一人所带矿泉水不足2瓶．则登山有______人． 【答案】5 【分析】本题主要考查不等式组的运用，理解数量关系，关键是设出人数，表示出瓶数，根据不等量关系列不等式组求解． 设有x人登山，由此列出不等式组，求解即可． 解：设登山有x人，根据题意得不等式组， 解不等式： ， 解不等式： ， 解得：， 所以， 故答案为：5． 14．（25-26八年级下·全国·单元测试） “守护长江生态、传承长江文化”，引导青少年感恩长江、热爱长江、保护长江的意识，通过自身的行动和努力，让长江文化在新的时代焕发新的活力与魅力．某校八年级积极开展青少年主题读书活动，现有一批图书分发给若干班级，若每个班级发放4本图书，则剩余20本；若每个班级发放8本图书，就有一个班级发放的图书多于1本且不足8本．则学校八年级共有________个班级． 【答案】6 【分析】设学校八年级共有x个班级，根据题意列出不等式组求解即可． 解：设学校八年级共有x个班级，根据题意得： ， 解得：， ∵x为整数， ∴x取6， ∴学校八年级共有6个班级． 15．（25-26七年级下·上海杨浦·月考）在读书节活动中，老师把一些图书分给勤奋小组的同学们，如果每人分5本，那么剩余12本；如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本，勤奋小组一共有______人． 【答案】或 【分析】设勤奋小组一共有x人，根据“如果每人分5本，那么剩余12本”可得这些图书的总数为：，根据“如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本”，即可列出不等式组，进一步可得解. 解：设勤奋小组一共有x人， ∵如果每人分5本，那么剩余 12本， ∴这些图书的总数为：， ∵如果每人分8本，那么最后一人虽分到书但不足8本， ∴，即, 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， ∵为正整数， ∴或， ∴勤奋小组一共有人或人． 16．（24-25七年级下·江苏苏州·月考）如图，用锤子以相同的力将铁钉垂直钉入木块，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力也越来越大，当铁钉未进入木块部分长度足够时，每次钉入木块的铁钉长度是前一次的，已知这个铁钉被敲击次后全部进入木块（木块足够厚），且第一次敲击后，铁钉进入木块的长度是，若铁钉总长度为，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，由题意可知铁钉被敲击次时，铁钉进入木块的长度为，当铁钉被敲击次时，铁钉进入木块的长度为，进而列出不等式组解答即可求解，理解题意是解题的关键． 解：由题意可知铁钉被敲击次时，铁钉进入木块的长度为，当铁钉被敲击次时，铁钉进入木块的长度为， 则， 解得， ∴的取值范围是， 故答案为：． （3） 解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26八年级下·全国·课后作业）王芳到文具店购买中性笔和笔记本，中性笔每支0.8元，笔记本每本1.2元．王芳带了12元，当她买了5本笔记本后，如果计划余下的钱少于0.8元，那么她还能买几支中性笔？ 【答案】她还能买7支中性笔 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，掌握根据实际问题列出不等式组并取正整数解是解题的关键． 设能买支中性笔，根据总花费不超过元且剩余钱数少于元，列出不等式组，求解后取正整数解． 解：设她能买支中性笔． 由题意，得 解得． 为正整数， ． 故她还能买支中性笔． 18．（24-25八年级上·湖北随州·期末）随着技术的飞速发展，人工智能已经成为商场中不可或缺的一部分，大大提升了购物效率和顾客的满意度．某商场计划购进一批智能机器人，其计划单中部分信息如下： 型号 单价（元） 数量（台） 总金额（元） 型 27000 型 12000 已知计划购进型机器人比购进型机器人多2台，且型机器人的进价比型机器人的进价每台高50%． （1）求，两种型号的机器人的进价各是多少？ （2）春节将至，为应对购物高峰，商场决定用不超过20000元再次购买这两种型号的机器人共5台，并要求再次购买的型机器人的数量不少于型机器人的数量，问该商场如何采购这批机器人？总费用是多少？ 【答案】（1）型机器人的进价为4500元；型机器人的进价为3000元；（2）商场应购买型机器人3台，型机器人2台，总费用为19500元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用，找准等量关系，正确的列出二元一次方程组和一元一次不等式组并求解是解题的关键． （1）设型机器人的进价为元，则型机器人进价为元，设购进型机器人台，则购进型机器人台，根据题意列出方程组，解方程即可． （2）设再次购买型机器人台，则购买型机器人台，根据题意列出不等式组，解不等式即可． 解：（1）解：设B型机器人进价为元，购进B型机器人台，则型机器人进价为元，购进型机器人台， 根据题意，可列方程， 解得， 即B型机器人进价为3000元，型机器人进价为元． （2）解：设再次购买型机器人a台，则购买型机器人台， 根据题意，得， 解得， 由于为整数，所以， 总费用为元， 故商场应购买型机器人3台，B型机器人2台，总费用为19500元． 19．（25-26八年级下·江西吉安·期中）为了响应《关于全面推进健康学校建设的指导意见》号召，某校决定在每天下午组织学生“校园跑”，并购买跑鞋给优秀完成任务的学生作为奖励，该校购买了A种品牌的跑鞋40双，B种品牌的跑鞋25双，共花费3100元，已知B种品牌跑鞋的单价比A种品牌跑鞋的单价高20元． （1）求A，B两种品牌跑鞋的单价各是多少元？ （2）根据需要，学校决定再次购进A，B两种品牌的跑鞋共20双，正逢鞋店的“优惠促销”活动，A种品牌的跑鞋单价优惠3元，B种品牌的跑鞋单价打8折．如果此次学校购买A，B两种品牌跑鞋的总费用不超过900元，且购买B种品牌的跑鞋不少于10双，为了节约资金，学校应制定怎样的购买方案？ 【答案】（1）A种品牌跑鞋的单价是40元，B种品牌跑鞋的单价是60元；（2）为了节约资金，学校应购买10双A种品牌的跑鞋，10双B种品牌的跑鞋． 【分析】（1）设种品牌跑鞋的单价是元，种品牌跑鞋的单价是元，根据“购买了A种品牌的跑鞋40双，B种品牌的跑鞋25双，共花费3100元，已知B种品牌跑鞋的单价比A种品牌跑鞋的单价高20元”，可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买双种品牌的跑鞋，则购买双种品牌的跑鞋，根据“此次学校购买A，B两种品牌跑鞋的总费用不超过900元，且购买B种品牌的跑鞋不少于10双”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为正整数，即可得出结论． 解：（1）解：设种品牌跑鞋的单价是元，种品牌跑鞋的单价是元， 根据题意得， 解得， 答：A种品牌跑鞋的单价是40元，B种品牌跑鞋的单价是60元； （2）解：设购买双种品牌的跑鞋，则购买双种品牌的跑鞋， 根据题意得， 解得． 又为正整数， 可以为10，11，12，13，14． ∴购买种品牌的跑鞋越少，总费用越少， 答：为了节约资金，学校应购买10双A种品牌的跑鞋，10双B种品牌的跑鞋． 20．（25-26七年级下·安徽六安·期中）用甲、乙两种原料配制成某种饮料，设所需甲种原料的质量为．已知这两种原料中维生素的含量及购买这两种原料的价格如下表所示： 类别 甲种原料 乙种原料 维生素的含量/（单位/千克） 600 100 原料价格/（元/千克） 8 4 现配制这种饮料，要求含有不低于4000单位的维生素． （1）请列出应满足的不等式； （2）如果同时要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，请解答以下问题： ①求出满足题意的的取值范围； ②计算此时这种饮料中维生素含量的范围． 【答案】（1）；（2）①；②维生素含量 【分析】（1）由题中表格所给数据直接列不等式即可； （2）①由（1）中得到的不等式，结合要求购买甲、乙两种原料的总费用低于72元，组成不等式组求解即可；②设维生素的含量为单位，得到，结合①中的取值范围，由不等式性质求解即可． 解：（1）解：设所需甲种原料的质量为，则所需乙种原料的质量为， 则由题意可得应满足的不等式为； （2）解：设所需甲种原料的质量为，则所需乙种原料的质量为， ， 解得， 满足题意的的取值范围为； ②由①知满足题意的的取值范围为， 设维生素的含量为单位， 则， ， ， 即， 维生素含量． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $