精品解析：江苏灌南县2025-2026学年第二学期期中调研考试高二数学试题

2025~2026学年第二学期期中调研考试 高二数学试题 注意事项： 1．考试时间120分钟，试卷总分150分． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 设离散型随机变量服从两点分布，其分布列如下表，则（ ） 0 1 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分布列的性质计算可得. 【详解】依题意可得，解得. 故选：B 2. 已知点，若向量，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设，再由向量的坐标，列出方程，即可得到结果. 【详解】设，因为，且， 则，所以，即. 故选：A 3. 杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算法》一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．下面是，当时展开式的二项式系数表示形式． 借助上面的表示形式，判断与的值分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用“杨辉三角”中的数的特点求解即可. 【详解】观察分析出“杨辉三角”中的数的特点： 1.每一行有个数字，每一行两端的数字均为1， 2.从第二行起，每一行中间的数字等于它上一行对应（即两肩上）的两个数字的和， 所以. 故选：D. 4. 某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P（X＝3）＝（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】表示出抽取的4人中有3个团员，分别求出从这10人中任选4人参加某种活动方法总数，以及抽取的4人中有3个团员的方法总数，由古典概率的公式即可得出答案 【详解】表示出抽取的4人中有3个团员， 所以. 故选：D. 5. 可以表示为( )． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据排列数的计算公式即可判断﹒ 【详解】＝， 故选：C﹒ 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 100 B. 60 C. 40 D. 20 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 其中展开式的通项为， 所以的展开式中含有的项为， 所以展开式中的系数为60. 7. 在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（ ） A. 异面 B. 平行 C. 垂直 D. 相交但不垂直 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的坐标，求出向量的坐标，再借助共线向量判断得解. 【详解】由，，，， 得，，则，即， 而，显然向量不共线，即点不在直线上， 所以直线与平行． 故选：B 8. 用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球，而“”则表示把红球和蓝球都取出来，依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的红球都取出或都不取出的所有取法的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定信息，利用分步乘法计数原理列式即得. 【详解】从5个无区别的红球中都取出或都不取出，有种取法； 从5个无区别的蓝球中取出若干个球，有种取法； 从5个有区别的黑球中取出若干个球，有种取法， 所以所有取法为. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于空间向量的说法中正确的有（ ） A. 若向量、共线，则向量、所在的直线平行 B. 若向量、所在的直线是异面直线，则向量、一定不共线 C. 若三个向量、、两两共面，则三个向量、、一定共面 D. 若、、是空间中三个不共面的向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使． 【答案】BD 【解析】 【分析】根据共线向量的定义，可判定A错误，B正确；根据任意的两个向量共面，但三个向量不一定共面，可判定C错误；根据空间向量的基本定理，可判定D正确. 【详解】对于A， 若向量、共线，则向量，所在的直线平行或重合，所以A错误； 对于B，若向量，所在的直线是异面直线，则向量，的方向既不相同也不相反， 所以向量，一定不共线，所以B正确； 对于C，若三个向量，，两两共面，因为任意两个向量一定共面，如图所示， 但三个向量，，不一定共面，所以C错误； 对于D，若，，是空间中三个不共面的向量， 根据空间向量的基本定理，可得对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组， 使，所以D正确. 10. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个四位二进制数（每一位上数字只能是0或1，例如出现“1010”），其中的各位数字中出现0的概率为，出现1的概率为，各个位数之间互相独立．记随机变量，则当程序运行一次时，下列说法正确的有（ ） A. B. C. 的数学期望 D. 随机变量的方差 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，得到的可能取值为，结合独立重复试验的概率计算公式，分别求得相应的概率，再由二项分布的期望与方差的计算公式，分别求得，结合选项，即可求解. 【详解】由二进制数的特点知：每一位上的数字只能是0或1， 且各位数字出现0的概率为，出现1的概率为，各个位数字之间互相独立， 对于A，若，即各位数字都是，所以，所以A不正确； 对于B，若，即各位数字中三个，一个1，所以，所以B正确； 对于C，由随机变量，可得的可能取值为， 则，，， ，， 可得随机变量服从二项分布，所以，所以C正确； 对于D，由随机变量服从二项分布，可得， 设，可得，即，所以D正确. 11. 已知，则下列说法正确的有（ ） A. 展开式的各二项式系数的和为0 B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】对于A，各项的二项式系数和为：，A错误； 对于B，令，则，令，则， 所以，B正确； 对于C，，C正确； 对于D，令，则， 两边同乘得：， 所以正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，且，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】依题意得， 所以. 13. 在的展开式中，有理项的个数共有__________个． 【答案】2 【解析】 【详解】因为， 所以当时，为整数，因此有理项的个数有2个. 14. 如图，在体积为1的三棱锥的侧棱上分别取点，使．记为平面、平面、平面的交点，则三棱锥的体积等于__________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，则，又，求出，得到对应线段的比，设到底面的距离分别为，得到，进而得到体积. 【详解】如图，假设，连接， 则， 如图，在中，连接，设， 所以， 又， 所以，解得，即，同理， 则，则， 设到底面的距离分别为，则， 又，所以，所以， 所以， 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，以正四棱锥的底面中心O为坐标原点建立直角坐标系，其中，，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为，高为h． （1）求； （2）当是二面角的平面角时，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）写出各点的坐标，求出两个向量，，利用数量积公式即可求解； （2）由是二面角的平面角可得，，代入坐标解得的关系，再代入二面角的余弦公式即可求值. 【小问1详解】 由题意知，，，，，，，，， ，，由此得：， 由向量的数量积公式有： ， 【小问2详解】 若是二面角的平面角，则 ， 由，，，，0，可得，， 又， 解得： ， 所以 16. 甲、乙、丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务． （1）进行合影留念时，6名同学站成一排.甲、乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种？ （2）6名同学分成三组（每组至少有一人），进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？ 【答案】（1）144 （2）540 【解析】 【分析】（1）根据题意，从除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体，再与余下2个人全排列，即可求解； （2）根据题意，得到学生的人数分组方案可以有1，2，3或1，1，4或2，2，2，结合排列数和组合数的公式，以及分类计数原理，即可求解. 【小问1详解】 解：从除甲、乙以外的4人中任取2人排在甲、乙之间，与甲、乙组成一个整体， 再与余下2个人全排列，则有种排列方案. 【小问2详解】 解：由题可得学生的人数分组方案可以有：①1，2，3；②1，1，4；③2，2，2； ①6名学生人数按1，2，3分为三个组有种分组方法， 则6人分配到三项不同的社区服务共有种分配方法； ②6名学生人数按1，1，4分为三个组有种分法， 则6人分配到三项不同的社区服务，一种服务1人、一种服务1人、一种服务4人共有种分配方法； ③6名学生平均分配做三项不同的社区服务有种分配方法； 则6人分配进行三项不同的社区服务，每组至少一人一共有种方法． 17. 现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球， （1）在第一次抽到3号球的条件下，求第二次抽到1号球的概率； （2）求第二次取到2号球的概率； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件概率公式即可得解. （2）由全概率公式、条件概率公式即可得解. 【小问1详解】 记事件分别表示第一次、第二次取到号球， ， 则第一次抽到号球的条件下，第二次抽到号球的概率； 【小问2详解】 依题意两两互斥， 其和为， 并且， ，， ， 应用全概率公式， 有. 18. 如图，等边三角形的边长为8，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． （1）求线段的长度； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）； （2） （3）存在，点位于线段的靠近点的三等分点 【解析】 【分析】（1）连接，证明，结合面面垂直性质定理证明平面，取边的中点记为，建立空间直角坐标系，求的坐标，再求线段的长度； （2）求平面的法向量，结合向量夹角公式求直线与平面所成角的正弦值，再利用同角三角函数基本关系求出余弦值； （3）设，求平面的法向量，结合点到平面的距离的向量求法求点到平面的距离，列方程求，由此可得结论. 【小问1详解】 连接，因为为线段的中点，所以， 由题意知面面，且面面， 又面，所以平面，取边的中点记为，则． 以点为原点，以为轴建立空间直角坐标系， 易知，所以； 【小问2详解】 由（1）可知， 所以，，， 记平面的一个法向量， 所以 ，不妨取，得，即， 记直线与平面所成角为， 则， 考虑到，有，从而， 所以直线与平面所成角的余弦值为． 【小问3详解】 设，其中． ， ， ，记平面的一个法向量为， 则有， 不妨取，解得，即， 则点到平面的距离， 整理得：，即， 解得或（舍去）， 所以当点位于线段的靠近点的三等分点时， 点到平面的距离为． 19. 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现分别以表示第一次排序时被排在1，2，…，的种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述． （1）当时，若等可能地为1，2，3的各种排列，求的所有可能的取值集合； （2）取，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，等可能地为1，2，3，4的各种排列，且各轮测试相互独立． ①求的分布列与数学期望； ②若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，计算出现这种现象的概率：出现这种现象，能否认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能？请说明理由． 【答案】（1） （2）① 0 2 4 6 8 5； ②记“在相继进行的三轮测试中都有”为事件， “在某轮测试中有”为事件，则， 又各轮测试相互独立，， 考虑到，该可能性非常小根据概率的实际推断原理，这样的小概率事件在试验中几乎不可能发生， 从而我们认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能，而非靠随机猜测． 【解析】 【分析】（1）列举出所有可能的排列，进而求出的所有可能的取值集合； （2）①由题意可知，随机变量的可能取值有0、2、4、6、8，分别计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，并由此计算出的值；②记“在相继进行的三轮测试中都有”为事件，计算出的值，由此可得出结论. 【小问1详解】 当时，的各种排列方式如下表： 1 1 2 2 3 3 2 3 1 3 1 2 3 2 3 1 2 1 0 2 2 4 4 4 ∴的可能取值集合为； 【小问2详解】 ①当时， 考虑到在1，2，3，4中奇数和偶数各有两个，所以中的奇数个数等于中的偶数个数，那么与的奇偶性相同， 所以对于必为偶数， 而，且易知 从而的可能取值为0、2、4、6、8； ， ， ， ∴的分布列为： 0 2 4 6 8 从而的数学期望． ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期期中调研考试 高二数学试题 注意事项： 1．考试时间120分钟，试卷总分150分． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 3．请用2B铅笔和0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上指定区域内作答． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项符合题目要求． 1. 设离散型随机变量服从两点分布，其分布列如下表，则（ ） 0 1 A. B. C. D. 2. 已知点，若向量，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 杨辉是我国南宋的一位杰出的数学家，在他所著的《详解九章算法》一书中，画的一张表示二项式展开后的系数构成的三角图形，称为“开方做法本源”．现在简称为“杨辉三角”．下面是，当时展开式的二项式系数表示形式． 借助上面的表示形式，判断与的值分别是（ ） A. B. C. D. 4. 某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X表示4人中的团员人数，则P（X＝3）＝（　　） A. B. C. D. 5. 可以表示为( )． A. B. C. D. 6. 的展开式中的系数为（ ） A. 100 B. 60 C. 40 D. 20 7. 在空间直角坐标系中，已知，，，，则直线与的位置关系是（ ） A. 异面 B. 平行 C. 垂直 D. 相交但不垂直 8. 用代表红球，代表蓝球，代表黑球，由加法原理及乘法原理，从1个红球和1个蓝球中取出若干个球的所有取法可由的展开式表示出来，如：“1”表示一个球都不取、“”表示取出一个红球，而“”则表示把红球和蓝球都取出来，依此类推，下列各式中，其展开式可用来表示从5个无区别的红球、5个无区别的蓝球、5个有区别的黑球中取出若干个球，且所有的红球都取出或都不取出的所有取法的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于空间向量的说法中正确的有（ ） A. 若向量、共线，则向量、所在的直线平行 B. 若向量、所在的直线是异面直线，则向量、一定不共线 C. 若三个向量、、两两共面，则三个向量、、一定共面 D. 若、、是空间中三个不共面的向量，则对空间任一向量，总存在唯一的有序实数组，使． 10. 某计算机程序每运行一次都随机出现一个四位二进制数（每一位上数字只能是0或1，例如出现“1010”），其中的各位数字中出现0的概率为，出现1的概率为，各个位数之间互相独立．记随机变量，则当程序运行一次时，下列说法正确的有（ ） A. B. C. 的数学期望 D. 随机变量的方差 11. 已知，则下列说法正确的有（ ） A. 展开式的各二项式系数的和为0 B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，且，则__________． 13. 在的展开式中，有理项的个数共有__________个． 14. 如图，在体积为1的三棱锥的侧棱上分别取点，使．记为平面、平面、平面的交点，则三棱锥的体积等于__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，以正四棱锥的底面中心O为坐标原点建立直角坐标系，其中，，E为VC的中点，正四棱锥的底面边长为，高为h． （1）求； （2）当是二面角的平面角时，求． 16. 甲、乙、丙等6名同学利用周末到社区进行志愿服务． （1）进行合影留念时，6名同学站成一排.甲、乙两名同学之间恰有2人的不同排列方案有多少种？ （2）6名同学分成三组（每组至少有一人），进行三项不同的社区服务，则不同的分配方案有多少种？ 17. 现有编号为1，2，3的三个口袋，其中1号口袋内装有两个1号球，一个2号球和一个3号球；2号口袋内装有两个1号球，一个3号球；3号口袋内装有三个1号球，两个2号球；第一次先从1号口袋内随机抽取1个球，将取出的球放入与球同编号的口袋中，第二次从该口袋中任取一个球， （1）在第一次抽到3号球的条件下，求第二次抽到1号球的概率； （2）求第二次取到2号球的概率； 18. 如图，等边三角形的边长为8，分别为所在边的中点，为线段的中点，现将三角形沿直线折起，使得二面角为直二面角． （1）求线段的长度； （2）求直线与平面所成角的余弦值； （3）棱上是否存在异于端点的点，使得点到平面的距离为．若存在，请指出点的位置；若不存在，请说明理由． 19. 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试，通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让品酒师品尝，要求其按品质优劣为它们排序；经过一段时间，等其记忆淡忘之后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试，根据一轮测试中的两次排序的偏离程度的高低为其评分．现分别以表示第一次排序时被排在1，2，…，的种酒在第二次排序时的序号，并令，则是对两次排序的偏离程度的一种描述． （1）当时，若等可能地为1，2，3的各种排列，求的所有可能的取值集合； （2）取，假设在品酒师仅凭随机猜测来排序的条件下，等可能地为1，2，3，4的各种排列，且各轮测试相互独立． ①求的分布列与数学期望； ②若某品酒师在相继进行的三轮测试中，都有，计算出现这种现象的概率：出现这种现象，能否认为该品酒师有较好的酒味鉴别功能？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $