精品解析：重庆市育才中学校2026届高三下学期5月高考模拟考试(一)数学试题

重庆市育才中学校2026届高三下学期5月高考模拟考试(一)数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．试卷由整理排版．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知复数在复平面内对应的点坐标为，为的共轭复数，则=（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知集合则x∈B是x∈U的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 若函数是奇函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 4. 已知向量，若，则||的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 5. 在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（ ） A. B. 112 C. D. 6. 已知，且为关于t的方程的一个根，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数满足则（ ） A. B. C. D. 8. 若客户M准备在银行存入本金1万元，存期为n年，年利率为x，银行存款有单利计息（单利本利和=本金+本金×利率×时间）和复利计息两种方案，客户M经过考虑选择了复利计息的方案，其实这背后蕴藏着一个著名的伯努利不等式：. 已知数列的前n项和为，，若对任意的，恒成立，则λ的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（ ） A. 从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降得最多的是五月份 B. 这10个月营业额的极差为37万元 C. 前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差 D. 这10个月营业额数据的下四分位数为23 10. 已知O为坐标原点，双曲线，其左右焦点分别为，过的直线与C的右支交于两点，与两条渐近线分别交于两点，在x轴上方，过点A作两条渐近线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 双曲线C的离心率为 C. D. 11. 已知函数的定义域为，且对于任意实数，恒有，当时，有，函数满足，则（ ） A. B. 是的充分不必要条件 C. D. 任意， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为___________．（用数字作答） 13. 在平面坐标系中，，动点满足，则的面积的最大值为___________． 14. 如图，在矩形纸片ABCD中，，，E、F、G、H分别是四边的中点．现将它通过翻折后围成一个正四面体（围成的正四面体的表面中，纸片无任何重叠）．若折痕用虚线段连接，则这样的虚线段需要连_______条（用数字作答）；若一个小球可以在正四面体内任意滚动，且小球与正四面体所有接触点形成的轨迹的图形面积为，则该小球的半径___________． 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）求的最小正周期及单调增区间； （2）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，钝角A满足，点D为线段BC上一点，且，求AD的长． 16. 在递增数列中，. （1）求的值，并证明：数列是等差数列； （2）若等比数列中，，数列的前项和，证明：. 17. 已知函数的图象在点处的切线方程为． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，，若函数仅有一个零点，求的取值范围． 18. 在近期的中东冲突中，某武装力量的一种精准制导导弹的命中率为，各枚导弹是否命中相互独立． （1）若对某一处军事设施同时发射3枚导弹，记事件A为“恰有两枚导弹命中目标”，事件B为“第二枚导弹命中目标”，判断A与B是否相互独立； （2）若对某一处军事设施同时发射10枚导弹，记随机变量X为导弹命中的数量，求使取最大值时k的值； （3）现有一个敌方高防御目标需要两枚导弹命中才可以被击毁，若某指挥官制定了如下战略：恰好击毁目标即停止行动，且发射导弹总数不超过枚，记停止行动时发射的导弹数为Y，求． 19. 如图1，平面平面，是平面内的动点，且是边长为2的等边三角形． （1）若，求证：； （2）若记点的轨迹为曲线． （i）求曲线的方程，并说明是什么曲线； （ii）如图2，动点D在曲线上，，为的中点，面，点（与不重合），且满足，设二面角，，，的大小分别为，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆市育才中学校2026届高三下学期5月高考模拟考试(一)数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．试卷由整理排版．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 已知复数在复平面内对应的点坐标为，为的共轭复数，则=（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由复平面内点的坐标可得复数，进而表示出共轭复数，最后利用模长公式求出. 【详解】解：由复数z在复平面内对应的点坐标为，则， 所以，因此. 2. 已知集合则x∈B是x∈U的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查知识点为集合的运算（补集）及充分、必要条件的判断，属于基础题.先求出全集与补集的元素，再根据充分、必要条件的定义进行判断. 【详解】先求全集解方程，，或，所以. 再求，由，根据补集的定义知，，则有. 充分性：若，则，显然，因此由能推出，即充分性成立； 必要性：若不能推出，必要性不成立，故A选项正确. 3. 若函数是奇函数，则（ ） A. 2 B. 1 C. 0 D. -1 【答案】C 【解析】 【分析】先求出函数的定义域，根据奇函数的性质代入特殊值求出的值，再进行检验即可. 【详解】由，可得， 即函数的定义域为， 显然， 又因为函数奇函数， 所以. 当时，，定义域为， 且，满足题意. 所以. 4. 已知向量，若，则||的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量垂直时的数量积为的性质，结合向量模长代数运算求其最小值. 【详解】根据两向量互相垂直的充要条件为数量积为0，所以 ， ，又， 所以，即. 根据数量积的定义知 ，其中为向量，的夹角， 由， ，故， 要使有意义，只有，所以， 所以当，时，取得最小值为. 5. 在正四棱台中，，若侧棱与底面的夹角为，则该四棱台的体积为（ ） A. B. 112 C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】如图，分别为上底面和下底面的中心，连接， 则底面，过点作于点，则底面， 则即侧棱与底面的夹角,即， 因为，所以， 故，所以， 故该正四棱台的体积为. 6. 已知，且为关于t的方程的一个根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将代入原方程，得，令，求出的值，即可得答案. 【详解】将代入， 得， 令， 因为，所以， 所以， 所以， 所以原方程即为， 解得或(舍)， 所以，， 所以， 解得. 7. 已知实数满足则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件变形得,构造上的单调函数,利用对比大小,可举出反例说明A、B、C不成立,再分和两种情况,结合指数单调性推出与2的大小同步于与2的大小,从而证得成立. 【详解】已知实数满足，整理得，时,显然有，等式不成立. 所以,令，则. 故在上严格单调递增，且，. 若，则，得； 若，则； 若，则. 取，，得，故不恒成立，A错误. 由以上分析知不恒成立，B错误. 取，，得，此时，不满足，C错误. 当时，，得，乘积非负； 当时，，得，乘积非负. 故恒成立，D正确. 8. 若客户M准备在银行存入本金1万元，存期为n年，年利率为x，银行存款有单利计息（单利本利和=本金+本金×利率×时间）和复利计息两种方案，客户M经过考虑选择了复利计息的方案，其实这背后蕴藏着一个著名的伯努利不等式：. 已知数列的前n项和为，，若对任意的，恒成立，则λ的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用伯努利不等式对数列通项进行放缩，再通过裂项相消法求前项和，最终转化为由数列的单调性求的取值范围. 【详解】由伯努利不等式可得， 所以， 即，因此. 令，则， 则， 又，则，即，所以，因此数列为递增数列， 当时，，所以. 因对任意的，恒成立，则对任意的，恒成立， 则小于的最小值，即. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 某超市统计了2025年前10个月该超市的营业额（单位：万元），得到了如图所示的折线图，则下列说法正确的是（ ） A. 从二月份开始，每月与上个月相比，营业额下降得最多的是五月份 B. 这10个月营业额的极差为37万元 C. 前5个月营业额的方差大于后5个月营业额的方差 D. 这10个月营业额数据的下四分位数为23 【答案】AC 【解析】 【分析】对A ，计算相邻月份营业额的变化量，找出下降幅度最大的区间判断；对 B ，最大数据减去最小数据，即可判断；对 C ，分别计算前 5 个月和后 5 个月营业额的方差，比较两者大小；对 D ，将数据排序后，根据百分位数公式计算即可判断. 【详解】对于A：由图可知二月份比一月份增加6万元，三月份比二月份增加24万元，四月份比三月份减少13万元，五月份比四月份减少24万元， 六月份比五月份增加6万元，七月份比六月份增加12万元，八月份比七月份增加2万元，九月份比八月份减少18万元， 十月份比九月份减少4万元，故与上个月相比营业额下降最多的是五月份，A正确； 对于B，极差为，B错误； 对于C：前5个月的平均数， 方差； 后5个月的平均数， 方差 因为，所以前5个月的营业额的方差确实大于后5个月，C正确； 对于D：将10个数据从小到大排序： 因为，所以下四分位数取第3项，即25，D错误. 10. 已知O为坐标原点，双曲线，其左右焦点分别为，过的直线与C的右支交于两点，与两条渐近线分别交于两点，在x轴上方，过点A作两条渐近线的垂线，垂足分别为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 双曲线C的离心率为 C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用基本量求解离心率判断B，利用四点共圆的性质判断A，利用平面向量数量积的定义结合点到直线的距离公式判断C，利用正弦定理结合两点间距离公式判断D即可. 【详解】对于B，由题意得，则，故B正确， 对于A，如图，作出符合题意的图形，设， 由题意得分别与渐近线垂直， 则四点共圆，且渐近线的方程为， 结合斜率的几何意义得，可得，故A错误， 对于C，由向量数量积的定义得， 由点到直线的距离公式得，， 则， 因为在双曲线上，所以，则， 可得，故C正确， 对于D，由已知得四点共圆，且圆的直径为， 由正弦定理得，整理得， 由两点间距离公式得， 令，而过的直线与C的右支交于两点， 且作直线过焦点并与渐近线平行，其方程为， 设直线与双曲线交点为，联立方程组， 解得，可得，而， 由二次函数性质得在上单调递增， 则，即，得到，故D正确. 11. 已知函数的定义域为，且对于任意实数，恒有，当时，有，函数满足，则（ ） A. B. 是的充分不必要条件 C. D. 任意， 【答案】ACD 【解析】 【分析】令可判断A；设，利用，结合单调性定义得的单调性，再利用单调性解得可判断B；令得，代入已知得，根据求出的范围可判断C；结合选项C，分别求出与可判断D. 【详解】对于A，令，得， 因为时，有，所以，所以，故A正确； 对于B，设，则，所以， ， 因为，且，所以， 所以，所以在上是单调递增函数， 由，得，解得， 因为是的真子集， 所以是的必要不充分条件，故B错误； 对于C，令，得，所以， 代入得 ， 可得， ， 因为，所以， 则，，即，故C正确； 对于D，任意， ， ， ， ， 所以 ， 所以，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 的展开式中的系数为___________．（用数字作答） 【答案】120 【解析】 【分析】根据二项式的展开式，分类讨论产生的情况，求指定项的系数即可. 【详解】二项式的通项公式为： 展开式中的系数有两种情况： 情况1：第一个括号的乘中的项，则， 系数为：. 情况2：第一个括号的乘中的对应项， ，乘完后要得到，则， 系数为：. 合并两种情况的系数：，即的系数为. 13. 在平面坐标系中，，动点满足，则的面积的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据条件判断出点的轨迹，然后根据三角形面积公式结合图象可求解出的面积的最大值. 【详解】设，因为，所以， 化简可得， 所以点的轨迹是圆心为，半径的圆， 又因为，所以， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的面积的最大值为. 14. 如图，在矩形纸片ABCD中，，，E、F、G、H分别是四边的中点．现将它通过翻折后围成一个正四面体（围成的正四面体的表面中，纸片无任何重叠）．若折痕用虚线段连接，则这样的虚线段需要连_______条（用数字作答）；若一个小球可以在正四面体内任意滚动，且小球与正四面体所有接触点形成的轨迹的图形面积为，则该小球的半径___________． 【答案】 ①. 5 ②. ## 【解析】 【分析】第一个空：把矩形纸片ABCD通过翻折后围成一个正四面体（围成的正四面体的表面中，纸片无任何重叠），那么每个面都是正三角形，可知每个正三角形边长均为2； 第二个空：小球可以在正四面体内任意滚动，小球与正四面体每个面的所有接触点形成的轨迹为一正三角形，该正三角形可视为小球球心在正四面体对应面上的投影，小球球心在正四面体对应面上的投影总面积为，再通过小球半径与正四面体高的关系计算出小球半径为. 【详解】 第一个空：折痕如上图1中虚线段，折叠后点A，B，C，D重合为一点如图2，所以折痕虚线段共5条. 第二个空：小球可以在正四面体内任意滚动，小球与正四面体每个面的所有接触点形成的轨迹为一正三角形， 该正三角形可视为小球球心在正四面体对应面上的投影， 因此小球任意滚动时，小球球心形成的轨迹为一个小正四面体， 该小正四面体的面与正四面体的对应面平行，距离为半径，设其棱长为， 则小球球心在正四面体对应面上的投影总面积为， 取中点，连接，， 设小球与顶点的正四面体的3个面都相切时的球心为，点在平面上的投影为， 那么为的中心，则在线段上，且， 令在平面上的投影为，则在线段上， 设与平面平行的小正四面体的面交于点，设小球半径为， 那么，， 由，可得，， 则，即. 所以，该小球半径为. 四、解答题：本题共5题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知. （1）求的最小正周期及单调增区间； （2）已知的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，钝角A满足，点D为线段BC上一点，且，求AD的长． 【答案】（1）最小正周期为，增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）整理得，可求得其最小正周期及单调递增区间； （2）由题意可求得，结合已知可得，利用，可求得AD的长． 【小问1详解】 由 ， 则的最小正周期， 令时，解得， 故函数的增区间为； 【小问2详解】 因为，则， 由于，则，所以，解得， 又，则， 又由于，得， ，解得． 16. 在递增数列中，. （1）求的值，并证明：数列是等差数列； （2）若等比数列中，，数列的前项和，证明：. 【答案】（1），证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）代入可求，对条件等式进行变形可化简得到的关系式，由此完成证明； （2）根据条件先求的通项公式，由此可知的通项公式，再采用放缩法完成证明. 【小问1详解】 由题意，解得或， 又因为是一个递增的数列，所以， 下面证明数列是一个等差数列： 因为， 所以，即， 又因为，所以，故数列是一个等差数列； 【小问2详解】 由（1）知，是一个公差为的等差数列，且，所以， 由题意是一个等比数列， 设的公比为，由，得，解得，故， 由于当时，，所以， 所以， 故． 17. 已知函数的图象在点处的切线方程为． （1）讨论函数的单调性； （2）当时，，若函数仅有一个零点，求的取值范围． 【答案】（1）在上单调递增 （2） 【解析】 【分析】（1）利用导数的性质结合多次求导法判断单调性即可. （2）法一对参数范围进行分类讨论，结合导数的性质判断零点个数检验即可，法二利用分离参数法并结合导数求解参数范围即可. 【小问1详解】 因为，所以， 而的图象在点处的切线方程为， 可得，则，解得， 故，则， 令，则， 当时，，所以在单调递减， 当时，，所以在单调递增， 所以， 所以恒成立，故在上单调递增． 【小问2详解】 法一：由题意得，显然， 则是唯一零点，， ①当时，恒成立，故在上单调递增，满足条件； ②当时，令，解得， 当时，则在上单调递减； 当时，则，所以在上单调递增； （i）当时，，且在上单调递增， 故，而， 所以，使，故，有两个零点，不合题意； （ii）当时，，故，满足条件； （iii）当时，，且在上单调递减； 故，而， 所以，使，故有两个零点，不合题意； 综上所述，. 法二：由题意得，显然，则是唯一零点． 当时，分离参数得，令，则， 设，则， 当时，单调递减； 当时，则单调递增，所以， 故，所以在上单调递增，在上单调递增， 又时，时，， 又由洛必达法则知， 所以当时，方程无解， 综上所述，． 18. 在近期的中东冲突中，某武装力量的一种精准制导导弹的命中率为，各枚导弹是否命中相互独立． （1）若对某一处军事设施同时发射3枚导弹，记事件A为“恰有两枚导弹命中目标”，事件B为“第二枚导弹命中目标”，判断A与B是否相互独立； （2）若对某一处军事设施同时发射10枚导弹，记随机变量X为导弹命中的数量，求使取最大值时k的值； （3）现有一个敌方高防御目标需要两枚导弹命中才可以被击毁，若某指挥官制定了如下战略：恰好击毁目标即停止行动，且发射导弹总数不超过枚，记停止行动时发射的导弹数为Y，求． 【答案】（1）与不相互独立 （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）先分别计算，再验证是否满足； （2）利用二项分布的概率公式列出与的比值，通过判断比值与1的大小关系确定的最大值点； （3）先确定的所有可能取值，再分和两种情况计算，最后利用期望公式计算期望. 【小问1详解】 由题意得， 因为，， 所以，所以与不相互独立． 【小问2详解】 由题意可得，，所以， 令， 即，解得， 所以， 又因为且 所以当时，有最大值． 【小问3详解】 由题意可知，， ①当时，实际情况为前次发射的导弹恰有一枚击中目标，且第次发射的导弹击中目标，； ②当时，实际情况为两种，第一种为前次发射的导弹都没击中目标，第二种为前次发射的导弹恰有一枚击中目标， 所以， 所以， 记，记， 不妨令， 可设， 对比系数得，解得，所以， 故， 所以. 19. 如图1，平面平面，是平面内的动点，且是边长为2的等边三角形． （1）若，求证：； （2）若记点的轨迹为曲线． （i）求曲线的方程，并说明是什么曲线； （ii）如图2，动点D在曲线上，，为的中点，面，点（与不重合），且满足，设二面角，，，的大小分别为，求的最小值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（i），抛物线；（ii） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，利用线面垂直判定定理证明即可； （2）（i）建立空间直角坐标系，设点的坐标，结合向量夹角公式建立方程，进而求解曲线方程； （ii）方法一：利用线面平行的性质确定点位置，根据几何关系推出是的角平分线，结合空间角的定义，利用空间向量法表示出四个二面角的正切值平方，再结合曲线的方程，利用函数求最小值； 方法二：利用线面平行的性质确定点位置，利用线面垂直性质和三角形全等求得轴平分，进而通过联立方程和斜率关系求解的坐标，再结合方法一证明即可. 【小问1详解】 证明：作的中点，连接， 因为，所以，又 由于面面，所以面， 又面，所以； 【小问2详解】 （i）如图，以为坐标原点，在面内过点作的垂线为轴，直线为轴，过点作面的垂线为轴建立空间直角坐标系，则，设， 所以， 因为，所以 化简得，故曲线为抛物线，其方程为； （ii）法一：因为面，面面，所以， 又由于为的中点，所以为的中点． 由已知得直线的斜率存在，设其直线方程为， 设，联立， 得：，所以， 由对称性知点在轴上，设， 所以，， 因为，所以， 得， 所以， 因为，故， 所以， 得， 因为，所以， 所以所以， 所以，得， 由于上式对任意的恒成立，所以，故； 因为为等边边的中点，所以，又由于面平面， 面面面，所以面， 又由于面，所以． 过点分别作直线的垂线，垂足分别为， 再连接； 由于面面， 所以面，故， 所以为二面角的平面角， 所以，同理可得． 由于，即， 所以， 故在中，， 同理可得， 又由于，所以， 同理可得， 故 所以当时，取最小值． 法二：因为面，面面，所以， 又由于为的中点，所以为的中点，所以， 又因为平面平面，面，面， 所以面，面，所以，又由对称性知点在轴上． 如图，过点作于点，作于点， 因为， 所以面，又面，所以，即， 同理可得，又由于， 故，所以， 故，所以，所以轴平分， 所以． 由已知得直线的斜率存在，设其直线方程为， 设， 联立得：，所以， 因为 ， 所以，对任意的恒成立，所以，故， 后续同解法一． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $