湖南岳阳市2026届高三下学期5月信息模拟卷数学

岳阳市2026届高三信息卷 数学 参考答案 一、二、选择题 题号 2 3 ￥ 5 6 7 8 答案 D C D B B A B C 题号 9 10 11 答案 ABD AC BCD 1.D 【详解】B={x(x+2)(x-3)<0}=在2<x<3}, 故AnB={-2,-1,1,2,4}{x-2<x<3}={-1,1,2} 故选：D 2.C 2i2i(1+i) 【详解】1-Q-1+i) =i+i=-1+i, 因为复致：对应的点和产对应的点关于定销对称， 所以z=1+i. 故选：C 3.D 【详解】在△ABC中，BD=3DC,AF=2FC,E是AD的中点， 则丽=丽-亚=2401D=2Ac-B+3A0 3 3 24 4 24 故选：D 4.A 【详解】因为正四棱台的上、下底面边长分别为2,4，所以4C=2√2，AC=4√2， 设正四棱台的高为h,则二(22+4V2)h=92,可得h=3, 正四棱台的上底面面积为4，下底面面积为16， 则该正棱台的体积为V=34+V4×16+16×3=28 故选：A. D 5.B 【详解】设圆x2+y2=1与圆(x-4)2+y2=4的圆心分别为O,C,则|AB=VACP-4,当 |AC最小时，1AB|最小，由于点A在圆O上，则|ACI的最小值为OC|-1=4-1=3,所 以川AB|的最小值为5. 故选：B. 6.A 【详解】x>0,y>0,由x+2y+y-6=0得： 6=x+2y+Xy=x+2y+ 2u<x+2 1x+2y)2 22 即(x+2y)2+8(x+2y)-48≥0-[(x+2y)+12][(x+2)-4]≥0，解得x+2y≥4， x=2y 当且仅当x=2y时取等号，由 x+2y+y-6=0解得x=2,y=1, 所以当x=2,y=1时，x+2y取得最小值4 故选：A 7.B 【详解】依题意可知an>0(n=1,2,…,13) 12 X12 由于4,42，…，43满足1og =1(i=1,2,,12),则 a+ =2,:1=2， a a a 所以数列4,4,4影为等比数列，公比g=2亚，D对应的频率为a,题目所求半音与D的 频率之比为2=2 所以所求半音对应的频率为α 即对应的半音为G 故选：B. 8.C 【详解】 B M E A G 对于A,根据已知条件圆O为以O为圆心，半径R=1的圆；G在棱AB上移动， 当G与点A重合时，平面EFG即为平面EFA,因为D在直线AE上， 所以Dc平面EFG,所以OD与平面EFG相交，A错误； 对于B,以D点为坐标原点，DA、DC、DD所在直线分别为x、y、z轴建立如图所示的 空间直角坐标系， 则O1,1,1)、E(1,0,0)、F(2,2,1)、D(0,0,0) 则0E=V02+(-1+(-1)2=2,02=(0,-1,-1),F=12,1), OE.EF 设直线OE与直线EF夹角为日，则cos日 -2-1V3 OEEF 2V6=2 由此可知sin6 3 连结OE,过O作直线EF的垂线，垂足为M, 2 OM 则在Rt△OEM中，有 OE =s血0，解得oM=5 设直线Er被球0截得的弦长为1，则1=2VR2-OM=2 5,B错误： 对于C,过直线EF的平面截球O所得的所有截面圆半径最小时，有OM垂直于过EF的平 面， 此时圆的半径为，={- ,圆的面积为S=π C正确： 22 2 2 对于D,根据题意当G为AB的中点时， 过E,F,G的平面截该正方体所得截面为正六边形EGFHNP,∠EAG=90°， 在Rt△EAG中，AG=AE=1,所以边长EG=P+1下=√5， 所以截面面积为S=6××V2xV2xin60°=35，D错误 2 故选：C 9.ABD 【详解】设等差数列{an}的公差为d(d≠O), 由S,=9,a是a,与a的等比中项，得 「30，=9 aj=aa' 即/%3 a,+d)°=(a,-d山-(a,+2d'解得d=-l,故AB正确； 则a,=4+n-2)d=n+5,4=4,8=(4-n+》_9-羽 2 2 因为数列{a}单调递减且4=0， 所以n=4或n=5时Sn有最大值，故C错误； 当S=m(9四0时，<9，所以n的最大值为8，故D正确. 2 故选：ABD 10.AC 【详解】由抛物线C:y2=2px的准线方程为x=-1,得该抛物线方程为y2=4x,其焦点为 F1,0),设A(x1y),B(x2,y2）, 对于A,由抛物线的定义，得AF=x1+1,BF=x2+1,则AB=AF+BF=+x2+2, 而直线l的倾斜角不为0，设其方程为x=y+1,由 =4，得y24y-4=0, x=y+1 则y,+y2=4,yy2=-4,x+x2=m0+y2)+2=4m2+2, AB=4m2+4≥4，当且仅当L=0时取等号，A正确： 对于B,由%+%=4m,4=4,,=父兰-=1， 4416 得0.0i=4,+yy=1-4=-3<0,则cos(@10丽)- O4.0B<0. QA OB 而∠AOB∈(0，π)，因此∠AOB一定为钝角，即△ABO为钝角三角形，B错误： 对于C,由抛物线的定义，得AF=+1=4,解得x=3,则=12， 不纺令点4在第一象限，则男=-25，即482.A-l2.又x1,则号 而点8在阳象限，别为，甲29：1-29：4 3 4=4,B列-5，现的周长为4A4因牛和4，C正： 对于D,由AFBB,=16,得AABB,=16,即(x+1)(x,+1)=16, 整理得xx2++x+1=16,则1+4m2+2+1=16,解得m=±√5， 因此直线4B的斜率为5或-5，即直线1的倾斜角为30或150，D错误. 3 3 故选：AC 11.BCD 【详解】由题意可得f(x)=x4+2x2-13x2-20x+24=(x-x)(x-x2)x-x)x-x) =x-(+x2+x3+x4)x3+2+x4zx4+x42x3于护 -(xx2x3+xx2x4+x2x3x4+xx3x4)x+xX2x3x4, 所以x+x2+x+x,即为x系数的相反数，即x+x2+x,+x4=-2,故A错误： x2即为常数项24，即xx2xx4=24,故B正确： 因为860=f=4+6金-26-20，j所以e=12产+12-26=19(-28 则g(x)在[0,1]上单调递增，又g'(1)=-2,则g(x)<0在[0,1]恒成立， 所以g(x)在[0,1单调递减，所以g(x)m=g(①)=4+6-26-20=-36，故C正确； 因为g(x)=f'(x)=4x3+6x2-26x-20, 则g(-1-x)=4(-1-x)+6(-1-x)2-26(-1-x)-20=-4x3-6x2+26x+8, 所以8(9+8(1--12，所以e)的对称中心为3可，所以：-引+6关于(Qo0)对 称， 即()=心-为+m=gc分+m为奇函数，则m=6, 所以存在m=6,使得h(x)为奇函数，故D正确. 故选：BCD. 12.-17 1 【详解】由题意，角a的终边过点P(3,4),根据三角函数的定义，可得tan= 4 31 2× 2tan a 3 24 则tan2a= 1-tan'a 42 7 1-0 24 1+tan 2o 1- 又由tan(2a+ 元、 7.17 41-tam2a1+2431 7 故答案为：一 17 311 13. 名体李2分：体室3分 111 【详解】甲射击目标恰好命中两次的概率为×)4则甲乙二人全部命中的概率为 1、21 436 两人至少命中两次为事件A,甲恰好命中两次为事件B, 国=1P国=-1}23}号品 P(AB)=xx是+Lx1x23 22322312 3 所以P(BlA)= (AB)_12=3 P(A)77 12 故答案为：。7 13 【详解】已知f(x)=lnx,函数定义域为(0，+o), 若2ae2+na≥fc)恒成立，即2ae2≥1n恒成立， 1 此时2e2r≥1n,即2e2≥n ea恒成立， 不妨设g(x)=xe,函数定义域为R, 可得g'(x)=(x+1)e 当x<-1时，g'(x)<8；当x>-1时，g'(x)>0, 又8(0)=5，所以当x<0时，g(x)<0,g(x)>5, 此时需满足g(2x)≥g1m, 即2x≥h恒成立， a 则e2≥￥在(0，+o)恒成立， a 所以a产。二在(0)恒成立， 不纺设(-。二，西数完义域为Q+, 可得倒)=12x e, 当0<x<二时，H(x)>0,h(x)单调递增； 当>时，h(x)<0,(x)单调递减， 2 所以(K)≤h2 1 1 1 ,此时a≥ 2e 2e 则实数a的取值范围为 [1 2e,+0 故答案为： 1 15.A=号 (26-v5 4 【详解】(1)解：因为c⑧CA=b(2b-c) 2 所以bC-b(2b-CL,即2b=c+2 acosC, 2 所以，正弦定理可得2sinB=sinC+2 sin AcosC, 因为2sinB=2sin(A+C)=2 sin AcosC+2 cos AsinC, 所以sinC=2 cos Asin C, 因为Ce(0,π)，sinC≠0. 所8以o4:子： 因为A∈(0，)， 所以A=子 (2)解：因为b+c=√2a, 所以，由正弦定理得sinB+sinC=√2sinA, 又因为sinB=sin(A+C)=sin AcosC+cosAsinC,A=交， 3 所以3 cosC+sinC+sinC 2 整理可得nC+5osC-6,即2smC+5c。 2 2 2 所以smc+）-2 +62 因为4=， 所以C+ 元π 或C+ +-3,即C=或C=7 64 +64 12 2 因为c<b, 所以C吾 sinC=sin ππ）6-√2 46 4 16,(1D分别抽2人，3人，4人，子：(2)分布列见解析， 29 4 【详解】(1)由已知，甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为2：3：4， 由于采用分层抽样的方法从中抽取9人，因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取2 人，3人，4人 记事件M:“员工A被抽到'，由于每位员工被抽到的概率相等， 所以员工A被抽到的概率为P(M)=二= 63 (2)甲部门的6名员工随机平均分成2组，每组3人，记每组血样化验结果呈阴性”为事 件B, 由于每个人血检是否呈阳性相互独立，所以P(B) 则X可取值：2,5,8， Px2(Pefg4 P=列=GP国Pa=2-日片 px=8=crj--器 所以X的分布列为下表： 2 8 1 7 49 64 32 64 1 6a+5 32+8 7 4946429 则X的期望为E(X)=2 646441 17.(1)证明见解析 a号5 【详解】(1)取BP中点M,连接AM、CM, 因为AD=2AB,P为AD的中点，所以AB=AP,故AM⊥BP, 因为△BCP为等边三角形，所以CM⊥BP, 又因为AMOCM=M,AM,CMC面ACM, 因此BP⊥平面ACM, 因为BPC平面ABP,所以平面ACM⊥平面ABP, 因为平面ACMO平面ABP=AM, 所以直线AC在平面ABP的射影在直线AM上，所以直线AC与平面ABED所成角为 ∠CAM,则∠CAM= 4 因为AB=AP=2,∠BAD-牙，所以△1BP是正三角形，则4M=V5,BP=2. 因为△BCP为等边三角形，BP=2,则CM=√5， 所以在aMMC中，由AM=CM=5,∠CAM=平得∠ACM= 4 则<CM-子所以AM1CM, 因为CM⊥BP,AM∩BP=M,AM,BPC面ABED, 所以CM⊥平面ABED,因为PEC平面ABED,所以CM⊥PE, 因为BP=2,在△PDE中，PD=BD=2,∠PDE=2,所以PE=2N5,又BB=4, 3 所以BP2+PE2=BE2,即PE⊥BP, 又CM∩BP=M,CM,BPc平面BCP, 所以PE⊥平面BCP. （2) 由(1)可知MP、MC、MA两两垂直，以M为原点，M4所在直线为x轴，MP所在直线为y 轴，MC所在直线为z轴建立空间直角坐标系， 则C(0,0,V3),P(0,1,0),A3,0,0),B(0,-1,0), 由于P是AD的中点，易得D(-√5,2,0)， 又由BA=ED可得E(-25,1,0, 所以PC=(0,-1,3),PE=(-25,0,0),PD=（-31,0 设平面CP的法向量为？=(：，，名)，则 z·PC=0 -y+V3=0 ，即 2Pz=0 -235=0 令男=5，得=(0,3,1， 设平面PCD的法向量为%=（化，y2,2),则 zPC=0n∫-y,+V322=0 %Pō=0'即 -V3x2+y2=0 令y=5,得=(13，， 设平面ECP与平面PCD的夹角为0，易知0<0≤花 所以c0s={ 四4_25， 2×V55 即平面2CP与平面P0D夹角的余弦值为子厅 18ω+号1 【详解】(1)由己知条件知离心率e-S-5,长轴2a=26, 故a=√6，c=√5，b=√a2-c2=√5， 故所求的椭圆方程为￥+二-1， 63 (2)由(1)可得r(-5,0),S(0,5), 设点Q的坐标为(mm),由△S2为等边三角形，可得S=RO-s, 因此m+3}+2=mr2+n-3)'=6, m=5+3 求解可以得到 2 m=5-3 √5-3 或 2 = n=3*3 2 2 市于点0在陆网内高，因此需满足公兮1，由此可以排除后一种情视，符到点O的坐 标为 -3+3√3-3 22 等边三角形外接圆的圆心即为其中心，因此圆心坐标为 -5+1V3-1 2,2 半径为√2， 故外接圆的方程为 19.0a= (2)证明见解析： (3)存在，理由见解析. 【详解】(1)设f=ar2-1,g()=x,则f"()=2m,g')=1, 由题意得：x。需同时满足： 「f(x)=g(x) [axp -1=Inxo U"c)=g)故 21 所以行1=，→3，→=e-万 71 得a) aa=号所以a-号 e 2 (2)由题意x。需同时满足： [f(x)=g() f'(x)=g'(x) 令sinx。=x+2x。-2, 函数f(x)=sinx有f'(x)=cosx,函数g(x)=x2+2x-2,有g'(x)=2x+2, 令2x。+2=c0sx,所以sinx+cosx=(x+2x。-2+(2x。+)”=1得 (x+1)°-2(x+1)+8=0, 因为△=4-4×1×8=-28<0，所以x无解， 故函数f(x)=sinx与g(x)=x2+2x-2不存在“2点”： (3)对任意的a>0,存在b>0,使得函数y=f(x)和y=g(x)在区间(0，+0)内存在“2点”. 段f@=-+a,gd)e,则广田=2x,8w=b.e x2 函数y=f(x)与y=8(x)在区间(0，+o)内存在“2点”， [f(x)=g(x) ta=be 则，>0且需同时满足： f)=g)即 -2x,=6.e(3-1)1 得：b-←5+0且b -2x e(x-1) 联立存：-2x8（仁6+ax。三26=(8-回)xo e(-1)e 因为x>0, 所以2发=G-a→a=- 七-1 -1 由a>0得：G5二3>0， x-1 又因为飞>0，所以-30，解得5∈6+U01. 七-1 此时b e6D,当b>0,所以5∈(0,1， -2.x8 当x∈(0,1)，设s(x)=x2-3, )232+300. (x-1)2 (x-1)2 故s(x)在(0,1)为增函数，且s(0)=0,而x→1时，s(x)→+0， 赦对于任意a>0,总存在5(0，使得2%=G-a, x。-1 令h(x)=-2x ,0<x<1, e*(x-1) 求导得(9=6x.c6r-)-2Y.e(c-)-2x.e e(x-1) e-。 「e*(x-1) 「e*(x-1)]1 故函数h(x)在(0,1)单调递增，故x∈(0,1)，h(x)>h(0)=0, 所以存在b>0满足题意： 所以存在b>0,使得函数y=f(x)和y=8(x)在区间(0，+o)内存在“2点”■■■■ ■■■■ ■■■■ 2026年普通高等学校招生全国统一考试 数学试题·答题卡 姓名： 班级： 考生条形码粘贴处 准考证号： 单选题 (共40分) 1[A][B][CD] 5[A][B][CD] 2 [A][B][C][D] 6[A][B][CD] 3[A]B][CD] 7[A][B][C][D] 4[A]B][CD] 8[A][B][C[D] 二、多选题（共18分) 9[A]B][CD] 10A]B][CD] 11[A]B][CD] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 13 14. 此区域禁止答题 儿· 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）姓名 考号 岳阳市2026届高三信息卷 数学 本试卷共4页，19道题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、考号和姓名填写在答题卡指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应的标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦千净后，再选涂其它答案标号。 3.非选择题必须用黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内； 如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求 作答无效。 4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，只交答题卡。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的. 1.己知集合A={-2,-1,1,2,4,B=x(x+2)x-3)<0},则A∩B= A.{-2,2} B.{-1,2 C.{-2,-1,2} D.{-11,2} 2.在复平面内，复数z对应的点和21 1-i 对应的点关于虚轴对称，则z= A.1-i B.-1+i C.1+i D.-1-i 3.如图，在△ABC中，BD=3DCAF=2FC,E是AD的中点，则EF= A8亚+7亚B.名+付C 24 6 C.4B+IAC D.+7 6 8 B 4.用平行于正四棱锥底面的平面去截该棱锥，把底面和截面之间的那部分多面体叫做正四 棱台，经过正四棱台不相邻的两条侧棱的截面叫做该正四棱台的对角面.若正四棱台的上、 下底面边长分别为2,4，对角面面积为9√2，则该棱台的体积为 A.28 B.27√2 C.28√5 D.74 5.过圆x2+y2=1上一点A作圆(x-4)2+y2=4的切线，切点为B,则AB|的最小值为 A.2 B.5 C.6 D.√万 6.已知x>0,y>0,且x+2y+xy-6=0,则x+2y的最小值是 A.4 B.5 C.6 D.7 7.著名物理学家李政道说：“科学和艺术是不可分割的”音乐中使用的乐音在高度上不是任 意定的，它们是按照严格的数学方法确定的.我国明代的数学家、音乐理论家朱载填创立了 十二平均律是第一个利用数学使音律公式化的人.十二平均律的生律法是精确规定八度的比 例，把八度分成3个半音，使相邻两个半音之间的频率比是常数，如下表所示，其中 12 4,42,,4表示这些半音的频率，它们满足1og2 +1 =1(i=1,2,,12).若某一半音与D# 的频率之比为5，则该半音为 频率 a, 4 a as A, 410 411 av 43 半音 D D E F G A B C(八度) A.F# B.G C.G D.A 8.如图，棱长为2的正方体ABCD-ABCD的内切球为球O,E,F分别是棱AD,BB的 中点，G在棱AB上移动，则 D A.对于任意点G,ODM平面EFG B.直线EF被球O截得的弦长为√5 C.过直线EF的平面截球O所得的所有截面圆中，半径最小的圆 的面积为好 D.当G为AB的中点时，过E,F,G的平面截该正方体所得截面的面积为2√3 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分 9.己知公差不为0的等差数列{a}的前n项和为Sn,且S?=9,a是a1与a的等比中项，则下 列说法正确的是 A.a2=3 B.d=-1 C.当且仅当n=5时Sn有最大值 D.当Sn>0时，的最大值为8 10.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的准线方程为x=-1,过C的焦点F的直线l与C交 于A,B两点，过A,B分别作准线的垂线，垂足分别为A,B,O为坐标原点，则下列 说法正确的是 A.AB的最小值为4 B.存在直线I,使得△ABO为直角三角形 C.若AF=4,则△AFB1的周长为4+4V3 D.若AFBB=16,则直线1的倾斜角为60°或120° 11.己知x,x2,x,x4是函数f(x)=x4+2x3-13x2-20x+24有四个零点，记f(x)的导函数为 '(x),则 A.x1+x2+x3+x4=20 B.XX2X=24 C.g(x)=f'(x)在[0,1]上的最小值为-36 D.存在m∈R,使得h(x)=f(x-)+m是奇函数 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知角α的顶点与坐标原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P(3,4) ,则m2如+到的值为一 13.甲乙两人射击，甲射击两次，乙射击一次.甲每次射击命中的概率是；，乙命中的概率 是号，两人每次射击是否金中都互不影响，则甲乙=人全部金中的概率为（体空2分） :在两人至少命中两次的条件下，甲恰好命中两次的概率为（本空3分） 14.已知函数f(x)=nx,若2ae2x+na≥f(x)恒成立，则实数a的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步 骤 15.△1BC的内角4，B,C的对边分别为ab,c,CB.C=b(2b-c 2 （1)求A: (2)若c<b,b+c=√2a,求simC. 16.某企业有甲、乙、丙三个部门，其员工人数分别为6,9,12，员工A隶属于甲部门.现 在医务室通过血检进行一种流行疾病的检查，已知该种疾病随机抽取一人血检呈阳性的概率 为；，且每个人血检是否呈阳性相互独立。 (1)现采用分层抽样的方法从中抽取9人进行前期调查，求从甲、乙、丙三个部门的员工中 分别抽取多少人，并求员工A被抽到的概率； (2)将甲部门的6名员工随机平均分成2组，先将每组的血样混在一起化验，若结果呈阴性 ,则可断定本组血样全部为阴性，不必再化验；若结果呈阳性，则本组中至少有一人呈阳性 ,再逐个化验.记X为甲部门此次检查中血样化验的总次数，求X的分布列和期望， 17.如图，在三棱柱ABC-DEF中，AD=2AB=4,∠BAD=交，P为AD的中点，△BCP为等边 3 三角形，直线AC与平面ABED所成角大小为严 4 (1)求证：PE⊥平面BCP: (2)求平面ECP与平面PCD夹角的余弦值. 18已知植圆C:,+为Q心0，b>0)的离心率为2，长猫长为26 (1)求椭圆C的方程： (2)点Q为椭圆C内部一点，其与椭圆C的左焦点F以及上顶点S构成的△SQ为等边三角 形，试求△SO外接圆的方程. 19.记y=∫'(x),y=g'(x)分别为函数y=f(x)和y=8(x)的导数，存在x,∈R,满足 f(x)=8(x)且f'(x)=g'(x),则称x。为y=f(x)和y=8(x)的一个“点”. (1)若函数f(x)=ax2-1与g(x)=nx存在“2点"，求实数a的值： (2)证明函数f(x)=sinx与g(x)=x2+2x-2不存在“2点”： (3)已知函数f(田)=-r+a,g()=bc,对任意的a>0,判断是否存在b>0,使得函 数y=f(x)和y=g(x)在区间(0，+o)内存在“2点”，请说明理由.