04 概率与统计(30题)备战2026届高考数学考前一个月(解答题每日一题)

04 概率与统计（30题） 高考一天天临近，可不能停下做数学题的手，得一直保持着“手感”，坚持动笔练习才是正理。这时候不少同学心态容易像坐过山车，就说成绩那事儿吧，要是看着分数往下掉，立马就慌了神，陷入焦虑里出不来。其实啊，成绩起起伏伏太正常不过了。你想啊，每套试卷的难度本来就不一样，咱们临场发挥也有好有坏，再加上试卷考查的知识点，说不定刚好撞到了自己掌握得不太扎实的地方，那分数有点波动不就是情理之中的事儿嘛。真犯不上因为一次考试的得失就揪着自己不放，非得学会辩证地看待这些起起落落才行。 进了考场，要是碰到没见过的新题或者啃不动的难题，可千万得沉住气。这时候不妨给自己宽宽心：我都觉得难，那别的同学大概率也跟我一样犯愁。当然了，也不能因为题目看着简单就飘了，觉得自己稳操胜券，掉以轻心可不行。咱们得拿出十二分的劲头，把自己真实的水平都发挥出来，确保会做的题一分都不丢，至于那些难题，就尽自己最大的努力，能多拿一分是一分。 常用公式 条件概率 定义:一般地,设为两个随机事件,且我们称 为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率. (1) (2)当时,当且仅当事件相互独立时,有； (3)如果是两个互斥事件,则 离散型随机变量及其分布列 1.离散型随机变量的分布列 (1)用表格表示:(一般涉及组合数的计算) （2）性质: ①② 离散型随机变量的均值与方差 1.均值(或数学期望):它反映了随机变量取值的平均水平. 2.方差:度量随机变量取值与均值的偏离程度 3.标差: 4.性质: （1） （2） （3） 概率模型 1.两点分布 2.二项分布: (1)定义:在重伯努利试验中,设每次试验中事件发生的概率为,用表示事件发生的次数,则的分布列为: (2)推论: 3.超几何分布 4.正态分布 (1) 正态曲线: 我们称f(x)＝ ,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,为正态密度函 数,称它的图象为正态密度曲线. (2)正态曲线的特点: ①非负性:对∀x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方. ②定值性:曲线与x轴之间的面积为1. ③对称性:曲线是单峰的,它关于直线x＝μ对称. ④最大值:曲线在x＝μ处达到峰值. ⑤位置:当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移,如图①. ⑥体型:当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ较小时曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时,曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散,如图②. (3)正态分布的几何意义:若X～N(μ,σ2),如图所示,X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积,而P(a≤X≤b)为区域B的面积. (4) 原则:P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545； P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973. 概率模型的均值与方差 1.若X服从两点分布,则. 2.若X～B(n,p),则. 3. 若,则 成对数据的统计分析 样本相关系数 (1)样本相关系数r的取值范围为. (2)当|r|越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强； 当|r|越接近0时,成对样本数据的线性相关程度越弱. (3)注意点: 当|r|＝1时,表明成对样本数据都在一条直线上,即两个变量之间满足一种线性关系. 当r＝0时,表明成对数据间没有线性相关关系,但不排除它们之间有其他相关关系. 经验回归直线 1.最小二乘法:我们将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程,也称经验回归函数或经验回归公式,其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法,求得的,叫做b,a的最小二乘估计. ＝x＋ 其中 注意点:经验回归方程＝x＋必过点样本点中心. 2.残差平方和法: 越小,模型的拟合效果越好. 3.决定系数R2 可以用来比较两个模型的拟合效果. R2越大,模型拟合效果越好; R2越小,模型拟合效果越差. 独立性检验 1.独立性检验:利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验,读作卡方独立性检验,简称 独立性检验 . 2.方法: (1)零假设(或原假设):两个分类变量独立； (2) 2×2列联表: y1 y2 合计 x1 a b a＋b x2 c d c+d 合计 a+c b＋d a+b +c+d (3)公式:χ2＝,其中n＝a＋b＋c＋d. (4)查表(题目中会给出):常用临界值表如下: α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (5)下结论: ①当时,我们推断不成立,即认为不独立,该推断犯错误的概率不超过； ②当时,我们没有充分证据推断不成立,即可以认为独立. 基础通关练 1．（2026·山西晋城·模拟预测）某校共有名高一学生，其中男生人．为了解该校高一学生的数学学习水平，采取按性别分层、比例分配的分层随机抽样方法，随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间．将分数不低于分的学生称为“优等生”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图．    (1)求实数的值，并估计该样本中“优等生”的人数； (2)若样本中属于“优等生”的男生有人，完成下列列联表；根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀（分数不低于分）与性别有关？ 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 附：． 【答案】(1)，人 (2)表格如下： 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 不能认为这次成绩是否优秀与性别有关． 【详解】（1）由各组频率之和为，得，解得， 则属于“优等生”的有 人. （2）由题意，样本中男生有人，则女生有人． 属于“优等生”的男生有人，则属于“优等生”的女生有人. 不属于“优等生”的男生有人，不属于“优等生”的女生有人． 所以得到列联表如下： 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 零假设：这次成绩是否优秀与性别无关． 根据表中数据，计算得． 根据小概率值的独立性检验，推断成立．所以不能认为这次成绩是否优秀与性别有关． 2．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）随着科技的进步，人工智能（AI）工具在职场中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工具，已被证明能有效提升员工的工作效率和准确率．某公司为了解员工使用这类AI工具的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表： 能够熟练使用AI工具 不能够熟练使用AI工具 男员工 30 15 女员工 16 9 (1)根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI工具的熟练度具有相关性？ (2)现按熟练度采用分层抽样的方法从该公司的男员工中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记其中不能够熟练使用AI工具的人数为，求的分布列以及数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)性别与使用AI工具的熟练度无关； (2) 0 1 2 3 数学期望为1. 【分析】（1）根据给定条件，求出的观测值，再与临界值比对即可得解. （2）求出12名男员工中能够熟练与不能够熟练使用AI的人数，进而求出的可能值及各个值对应的概率，列出分布列并求出数学期望. 【详解】（1）设零假设：性别与使用AI工具的熟练度无关， 由统计表得， 则， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立， 所以可以认为成立，即认为性别与使用AI工具的熟练度无关. （2）男员工中能够熟练与不能够熟练使用AI的人数比为， 按分层抽样抽12人，抽取的能够熟练使用的人数为，抽取的不能够熟练使用的人数为4， 因此的可能取值为， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 数学期望. 3．（2026·湖南·一模）某科技公司统计了过去10年每年的研发投入（单位：亿元）和营业额（单位：亿元）的数据，如下表： /亿元 12.1 12.5 11.3 12.4 13.1 11.5 11.0 11.3 12.6 12.2 /亿元 650 680 620 660 695 640 600 630 665 660 参考数据：，，，． 参考公式：相关系数． (1)估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额； (2)求样本的相关系数（精确到0.01）； (3)已知与的关系可以用线性回归模型进行拟合，若该公司今年投入13.5亿元用于研发，利用该模型预测该公司今年的营业额． 【答案】(1)12，650 (2) (3)710亿元 【分析】（1）利用平均数的计算方法求和. （2）将所给数据代入相关系数计算公式进行计算即可. （3）根据线性回归方程必过样本中心点确定的值，再利用回归方程进行预测即可. 【详解】（1）平均每年的研发投入为 平均每年的营业额为 ． （2）将所给数据代入相关系数计算公式得 ． 其中，所以. （3）由题意知，回归直线过样本中心点，即，解得． 所以回归方程为．将代入回归方程，得，故预测该公司今年的营业额为710亿元． 4．（2026·湖北黄冈·二模）一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上． (1)当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率； (2)当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据独立事件和互斥事件概率公式进行求解即可； （2）根据独立事件和互斥事件概率公式，结合数学期望公式进行求解即可. 【详解】（1）设1号乘客坐在号位上时，4号乘客坐在4号位的概率为， 则， ，， ，， 所以. （2）随机变量所有可能的取值为0，1，2，4； ， ， ， ， 所以. 5．（2026·四川绵阳·模拟预测）某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入（亿元）与科技改造直接收益（亿元）的数据统计如下： 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 68 当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①；模型②：； (1)根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 （附1：刻画回归效果的相关指数） (2)科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%，不予鼓励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元.求每台发动机获得奖励的分布列和数学期望. （附2：随机变量服从正态分布，则，.） 【答案】(1)模型①的小于模型②，模型② (2)分布列见解析， 【分析】（1）利用表格数据比较两个模型的相关指数的大小，把数据代入模型可得答案； （2）利用正态分布求出概率，结合期望公式可得答案. 【详解】（1）由表格中的数据，有182.4>79.2， 因为， 所以模型①的小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好， 所以当亿元时，科技改造直接收益的预测值为：（亿元）； （2）因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 设每台发动机获得的奖励为Y（万元），则Y的分布列为： 0 2 4 0.02275 0.8186 0.15865 所以每台发动机获得奖励的数学期望 （万元）. 6．（2026·安徽合肥·模拟预测）某学校为了研究学生的写作水平与每周课外阅读时长的关系，在该校随机抽取了200名学生，统计他们每周的课外阅读时长（单位：时），得到如下的频率分布表： 每周课外阅读时长 频率 0.1 0.2 0.3 0.25 0.15 同时，对这200名学生进行写作水平测试，根据测试成绩将学生分为“写作水平良好”和“写作水平一般”两类，得到如下的列联表： 写作水平良好 写作水平一般 合计 每周课外阅读时长不低于6小时 50 每周课外阅读时长低于6小时 80 合计 200 (1)根据已知条件补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断学生的写作水平与每周课外阅读时长是否有关； (2)从每周课外阅读时长在和的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加座谈，设表示抽取的2人中每周课外阅读时长在的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1) 写作水平良好 写作水平一般 合计 每周课外阅读时长不低于6小时 50 30 80 每周课外阅读时长低于6小时 40 80 120 合计 90 110 200 学生的写作水平与每周课外阅读时长有关 (2) X 0 1 2 P 【详解】（1）每周课外阅读时长不低于6小时的学生人数为（人）， 每周课外阅读时长低于6小时的学生人数为（人），所以列联表 为： 写作水平良好 写作水平一般 合计 每周课外阅读时长不低于6小时 50 30 80 每周课外阅读时长低于6小时 40 80 120 合计 90 110 200 所以， 依据小概率值的独立性检验，我们推断学生的写作水平与每周课外阅读时长有关． （2）根据分层抽样原理， 组抽取人数为（人）， 组人数为（人），则X的取值可能为， 所以， 则分布列如下所示： X 0 1 2 P 所以． 7．（2026·陕西西安·模拟预测）随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市充电桩建设的情况，能源部门收集到了2021年到2025年充电桩数量（单位：万个），为方便研究，年份代码用表示（用分别表示2021年，2022年，…，2025年），具体参考数据如下表： 统计量 数值 15 21 55 72.6 (1)请根据表中数据，建立关于的回归直线方程； (2)现对该市某区域现有的9个充电桩进行检查，其中4个为快充桩，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为，求的分布列及均值． （参考公式：） 【答案】(1)； (2)的分布列为： 0 1 2 3 均值． 【分析】(1)代入回归直线方程的计算公式计算回归直线方程； (2)根据题意可以看出服从超几何分布，根据超几何分布的概率计算公式可得到的分布列及均值． 【详解】（1）由题意可得：；； 故； ； 则关于的回归直线方程为：． （2）由题意知，随机变量的取值为：0，1，2，3；则： ； ； ； 故的分布列为： 0 1 2 3 所以随机变量的均值． 8．（2026·甘肃金昌·三模）某社区为了了解市民对生活环境的满意度，随机选择100人进行问卷调查，每人给出一个评分，分数都不低于60，满分100分．统计出这100人的评分成绩，绘制出频率分布直方图如图．已知这100人中，男、女市民人数之比为9：11，且评分不低于80分的男、女市民人数相等． (1)求满意度评分低于80分的市民中，男、女人数的比例； (2)若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，求满意度的平均分； (3)在满意度评分低于80分的被调查的人员中，按男、女人数比例用分层随机抽样方法选出5人进行座谈，再在这5人中选出3人作为座谈会主讲人，求3位主讲人中至少有1位男性市民的概率． 【答案】(1) (2)79.5 (3) 【分析】（1）先计算出不低于80分的男生、女生人数，再求满意度评分低于80分的市民中，男、女人数的比例； （2）由概率和为1列方程求a,再求平均值； （3）先分层抽样，再求概率. 【详解】（1）评分不低于80分的人数为， 因为评分不低于80分的男、女市民人数相等，所以评分不低于80分的男、女市民人数都是25， 因为这100人中，男、女市民人数之比为9：11，所以100人中，男市民45人，女市民55人， 所以满意度评分低于80分的市民中，男、女人数分别为20，30，男、女人数的比例为2：3． （2）由得， 因为，所以满意度的平均分为79.5． （3）因为评分低于80分的被调查的人员中，男、女人数的比例为2：3，所以用分层随机抽样方法选出5人，男性为2人，女性为3人， 再在这5人中选出3人，3人至少有1位男性的事件为A， 则． 9．（2026·山西朔州·二模）某芯片公司生产两种芯片，一种是用于人工智能计算的甲类芯片，另一种是用于基础信号传输的乙类芯片.现将4个甲类芯片和2个乙类芯片混合放置在一个容器中，这些芯片外观完全相同. (1)质检员从中随机抽取2个芯片进行破坏性测试，求至少抽到1个乙类芯片的概率； (2)自动化测试机随机逐个对芯片进行性能检测，检测过的芯片不再放回，直到甲类芯片或乙类芯片被全部检测完毕时停止，记停止时检测的芯片总数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) 2 3 4 5 . 【分析】（1）用对立事件处理，即“至少抽到1个乙类芯片”的对立事件是“抽到的2个芯片均为甲类芯片”； （2）把6个芯片的检测顺序看作随机排列，停止时间由2个乙类芯片的位置决定：若前2个均为乙类则，若第2个乙类出现在第3位则，若第2个乙类出现在第4位或前4个均为甲类则，其余情况为.分别计数即可得到分布列，再由数学期望公式求出. 【详解】（1）（1）设“至少抽到1个乙类芯片”为事件，则表示事件“抽取的两个芯片都是甲类芯片”， 则. （2）由题意知的所有可能取值为2，3，4，5. ，， ，，         所以的分布列为 2 3 4 5 . 10．（2026·陕西西安·模拟预测）近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 购买量（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 (1)计算与的相关系数（保留三位小数）； (2)求关于的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量． 参考公式：． 参考数值：． 【答案】(1)； (2)，2.9万辆． 【详解】（1）由题意，， 则，， 则． 故与的相关系数为． （2）由（1）， 则， 故关于的线性回归方程为， 令，则， 故可预测该地区2026年新能源汽车购买数量为万辆. 中档提升练 11．（2026·安徽宿州·一模）某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数； (2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随机抽样的方式从，［30，40）年龄段中随机共抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机再抽取3名，记3人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望. 【答案】(1)28 (2)分布列见解析， 【分析】（1）解法1：按照分位数的性质，结合频率分布直方图进行求解即可； 解法2：按照分位数的公式，结合频率分布直方图进行求解即可； （2）根据分层抽样的性质，结合古典概型运算公式、组合的定义、数学期望的定义进行求解即可. 【详解】（1）由频率分布直方图可知，年龄在的居民占的比例为，年龄在的居民所占到比例为，所以分位数位于内，设其为， 则，解， 所以年龄样本数据的分位数为28. 解法2.由频率分布直方图知，年龄在的居民所占的比例，年龄在的居民所占的比例为，所以分位数位于内， 由 所以年龄样本数据的分位数为28. （2）被调查的居民年龄在，比例为1:3，按照分层随机抽样，应抽取人，应抽取人. 设从中随机抽取的3名居民中年龄在的人数记为X，X的可能取值为0，1，2. . 所以，随机变量的分布列如下表所示： 0 1 2 所以数学期望为：. 12．（2026·重庆北碚·模拟预测） 某高校为调查人们对 AI 知识掌握的熟悉程度与学历是否有关，组织了相关的答题活动， 满分 100 分. 答题完成后， 工作人员从中随机抽取 200 人作为样本，得到如下数据. 人数分数 学历 本科及以下 37 33 12 10 5 3 本科以上 20 20 10 10 30 10 (1)若得分不小于 60 分，则认为对 AI 知识掌握的程度为熟悉，否则为不熟悉； 熟悉程度 学历 合计 本科及以下 本科以上 熟悉 不熟悉 合计 根据样本数据补全上面的 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为熟悉AI程度与参与人员学历有关系. (2)从样本里学历为本科以上的人群中，采用按比例分层随机抽样的方法抽取 10 个人，再从这 10 人中随机抽出 3 人进行访谈，记这 3 人中分数在 的人数为 ，求 的分布列及数学期望. 附：， . 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)列联表见解析；熟悉AI程度与参与人员学历有关联； (2)分布列见解析；. 【分析】（1）先根据题意列出列联表，再计算，并判断； （2）先确定的可能取值，再分别求概率，列出分布列，最后求期望. 【详解】（1） 熟悉程度 学历 合计 本科及以下 本科以上 熟悉 30 60 90 不熟悉 70 40 110 合计 100 100 200 零假设为：熟悉AI程度与参与人员学历互相独立，即熟悉AI程度与参与人员学历无关联. 根据列联表中的数据，经计算得 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为熟悉AI程度与参与人员学历有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001. 根据表中数据，熟悉AI的参与人员中，本科及以下和本科以上的频率分别为和， 不熟悉AI的参与人员中，本科及以下和本科以上的频率分别为和， 由可见，在被调查者中，熟悉AI的人中，本科以上学历是本科及以下学历的频率的将近2倍，于是，根据频率稳定于概率的原理，我们可以认为本科以上学历熟悉AI的概率明显大于本科及以下学历熟悉AI的概率，即本科以上学历更容易熟悉AI. （2）从样本里学历为本科以上的人群中，采用按比例分层随机抽样的方法抽取10个人，这10人中，分数在的人数为3，则可取0，1，2，3； ， ， ， ， 的分布列为 0 1 2 3 . 13．（2026·四川泸州·模拟预测）某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中，. (1)依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出所选类型的回归方程. (2)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表： 性别 佩戴头盔 合计 不佩戴 佩戴 女性 8 12 20 男性 14 6 20 合计 22 18 40 依据的独立性检验，能否认为市民骑电动摩托车佩戴头盔与性别有关联？ 参考公式：，，，其中. 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)更适合， (2)不能 【分析】（1）根据图形，即可作出判断，再将非线性回归方程转化成线性回归方程，再结合条件，求出，即可求解； （2）根据条件，求出的值，结合条件，即可求解. 【详解】（1）由图可以判断，更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型， 由，得到，因为，则， 则，所以，则. （2）零假设：市民佩戴头盔与性别无关联. 根据列联表中的数据，经计算得到： ， 根据小概率值的独立性检验，我们没有理由认为不成立，即认为市民佩戴头盔与性别没有关联. 14．（2026·陕西咸阳·三模）咸阳文旅部门统计了某景点在2025年2月至6月的旅游收入（单位：万元），得到以下数据： 月份 2 3 4 5 6 旅游收入 10 12 11 12 20 (1)根据表中所给数据，用相关系数判断，是否可用线性回归模型拟合与的关系？（当时，认为线性相关性较强），若可以，求出关于之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由； (2)为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了100名游客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，依据的独立性检验，能否认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”． 喜欢 不喜欢 总计 男 50 女 30 总计 60 参考公式：相关系数，参考数据：． 线性回归方程：，其中 ，其中． 临界值表： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 【答案】(1)可用，线性回归方程为； (2) 喜欢 不喜欢 总计 男 40 10 50 女 20 30 50 总计 60 40 100 能认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”. 【分析】（1）利用表格中数据求出并判断，再利用最小二乘法求出回归直线方程. （2）完善列联表，求出的观测值，与临界值比对作答. 【详解】（1）由表格中数据，得， ， ， 因此相关系数， 所以与的线性相关性较强，可用线性回归模型拟合与的关系； ， 所以关于之间的线性回归方程为. （2）依题意，列联表为： 喜欢 不喜欢 总计 男 40 10 50 女 20 30 50 总计 60 40 100 零假设：认为“游客是否喜欢该景点与性别无关联”， 由表格中数据经计算， 依据小概率的独立性检验，推断不成立， 即能认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”，此推断犯错误的概率不大于0.001. 15．（2026·山西运城·二模）小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打其他球，同一天中每人最多打一种球，且小张和小李两种球都会打，小王只打羽毛球，小周只打乒乓球.在雨天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.3；在晴天或阴天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.4，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5；在其他天气这4人不打球.已知周日出现晴天或阴天的概率为0.5，出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不影响. (1)求小张周日打羽毛球的概率； (2)若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率； (3)若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这3人中当天打球的人数为，求的数学期望． 【答案】(1)0.28 (2)0.352 (3)1.2． 【详解】（1）设小张周日打羽毛球为事件， 根据题目可知，周日下雨的概率为， 周日晴天或阴天的概率为，小张在雨天打羽毛球的概率为，小张在晴天或阴天打羽毛球的概率为， 由全概率公式可得. （2）设晴天或阴天打乒乓球的人数为， 根据题目可知，小张晴天或阴天打乒乓球的概率为，小李晴天或阴天打乒乓球的概率为，小王晴天或阴天打乒乓球的概率为，小周晴天或阴天打乒乓球的概率为， ， ， ， 故. （3）根据题目可知，因为同一天中每人最多打一种球，所以小李打羽毛球和打乒乓球是互斥事件，所以在雨天的情况下，小李打球的概率为， 小王雨天打球的概率为，小周雨天打球的概率为， 可能的取值为0，1，2，3， 则， ， ， ， 则． 16．（2026·江苏镇江·二模）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． (1)求甲连续打前四局比赛的概率； (2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； (3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分析甲连续打前四局比赛的情形，利用乘法求出概率即可； （2）利用条件概率求解即可； （3）先分析得分的情况，然后求出对应的概率，列出分布列计算数学期望即可. 【详解】（1）由甲连续打前四局比赛，说明甲在前3局都获胜， 第一局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 第二局：甲、丙对打，甲胜，概率为， 第三局：甲、乙对打，甲胜，概率为， 所以甲连续打前四局比赛的概率为：. （2）设事件：前四局中第二局乙获胜，事件：第二局乙获胜，前四局中甲轮空两局， 对于前四局中第二局乙获胜： 即第一局：甲、乙对打，乙胜，概率为， 第二局：乙、丙对打，乙胜，概率为， 所以， 在第二局乙获胜的前提下，甲要轮空两局，只能是第4局甲轮空 第三局：乙、甲对打，乙胜，概率为， 第四局：乙、丙对打，概率为， 所以， 根据条件概率知：. （3）由题意知得分的可能值为：， ， ， ， ， 所以的分布列为： 6 所以得分的数学期望为：. 17．（2026·河北雄安·模拟预测）当下有许多人喜欢以爬山作为锻炼身体的运动方式，有一座山，上山有①②两条路径. (1)小李、小王、小张三人经常组队去爬这座山锻炼身体，三人选择①路径爬山的概率分别为，求小李、小王、小张三人中恰有两人选择②路径爬山的概率. (2)若小刘决定连续两天去爬山，事件“小刘第一天选择①路径爬山”，“小刘第二天选择②路径爬山”，且.若小刘第一天选择①路径爬山，第二天仍选择①路径爬山的概率为；若小刘第一天选择②路径爬山，则第二天选择①路径爬山的概率为.求. (3)有一支登山队，经过一段时间的爬山锻炼后，可对每人的登山速度的提高做出评定为“有效”和“无效”.在对全体登山队员的登山速度的提高做出评定后，从中随机抽取一人，登山速度的提高为“有效”的概率为0.88.现从全体登山队员中随机抽取一人，若此人登山速度的提高为“有效”，则继续抽取下一人，直到抽取到登山速度的提高为“无效”的人为止.若抽取的次数为，且（且），求的最大值. （参考数据：） 【答案】(1) (2) (3)29 【分析】（1）根据独立事件的乘法公式求解即可； （2）根据条件概率公式以及全概率公式求解即可； （3）列出分布列，写出的表达式，利用错位相减求和，最后解不等式即可. 【详解】（1）由题意得小李、小王、小张三人中恰有两人选择②路径爬山的概率为 （2）由题意得，. . （3）设从全体登山队员中随机抽取1人，抽取到的人是“无效”的概率为，则. 抽取的次数为的分布列为 1 2 3 ... ... 故. 又， 两式相减得 . . ，即， 解得， 的最大值为29. 18．（2026·甘肃金昌·三模）甲､乙两人参加射击比赛，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，甲､乙射击比赛得分规则是：一次击中目标得1分，未击中目标得0分且对方得1分.甲､乙同时射击，且是否击中目标，互不影响. (1)甲､乙同时射击1次，求甲得1分的概率； (2)甲､乙同时射击2次，记甲的得分为，求的分布列和数学期望； (3)甲､乙同时射击次，甲的总得分与乙的总得分相等，求证：甲､乙两人击中目标的次数相等. 【答案】(1)0.74 (2) 0 1 2 3 4 0.0064 0.1184 0.5764 0.2664 0.0324 . (3)证明见解析 【分析】（1）由概率加法公式和乘法公式进行求解； （2）甲､乙同时射击2次，甲的得分的可能取值为，结合甲、乙击中次数服从二项分布进行求解； （3）设次射击中，甲击中目标的次数为，乙击中目标的次数为，则甲､乙同时射击次，甲的总得分为，乙的总得分为，进行求解． 【详解】（1）根据得分规则甲､乙同时射击1次，甲得1分的情况是甲､乙都击中目标或甲､乙都未击中目标， 所以甲得1分的概率. （2）甲､乙同时射击2次，甲的得分的可能取值为， ， ， ， ， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 0.0064 0.1184 0.5764 0.2664 0.0324 . （3）设次射击中，甲击中目标的次数为，乙击中目标的次数为， 因为甲､乙射击比赛得分规则是：击中目标得1分，未击中目标得0分且对方得1分， 所以甲击中目标次，甲得分，乙得分；乙击中目标次，甲得分，乙得分， 所以甲､乙同时射击次，甲的总得分为，乙的总得分为， 因为甲的总得分与乙的总得分相等，所以，所以，即两人击中目标的次数相等. 19．（2026·上海松江·模拟预测）质监部门从某超市销售的甲､乙两种食用油中各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图： (1)写出频率分布直方图（甲）中的值；记甲､乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为，试比较与的大小（只要求写出结果）； (2)在甲､乙两种食用油中各随机抽取1桶，用频率估计概率，求恰有1桶的质量指标大于10且小于40的概率； (3)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值Z服从正态分布.其中近似为样本平均数近似为样本方差，现从乙种食用油中随机抽取10桶，设X表示质量指标值位于的桶数，求X的数学期望.（结果保留两位小数） 注：①同一组数据用该区间的中点值作代表；②若，则. 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据矩形的面积和等于列出关于的方程，进而求出的值，再根据频率分布直方图中甲、乙食用油样本质量指标的波动程度，进而比较方差大小. （2）分别求出在甲、乙两种食用油中抽取1桶，其质量指标位于的概率，然后求出恰有1桶食用油指标位于的概率. （3）先根据频率分布直方图求出，然后求出从乙种食用油中随机抽取1桶，其质量指标位于的概率，最后根据二项分布的期望公式计算的数学期望. 【详解】（1）由题意，解得. 由频率分布直方图可得. （2）记事件在甲种食用油中抽取1桶，其质量指标大于且小于. 记事件在乙种食用油中抽取1桶，其质量指标大于且小于. 记事件在甲､乙两种食用油中各随机抽取1桶，恰有1桶其质量指标大于且小于. 则，. . （3）由题意. ，又. ， 现从乙种食用油中随机抽取10桶，其质量指标位于的概率为. ， 20．（2026·辽宁沈阳·三模）某农业技术站研究化肥施用量对大棚青菜产量的影响.在一定范围内，施肥量（单位kg/亩）越大，青菜产量（单位kg/亩）越高.实验测得具体数据如下表： 施肥量 2 3 4 5 6 青菜产量 4200 4300 4350 4380 4400 根据散点数据特征，研究人员分析得出产量与施肥量近似满足的关系，取，经计算可知，，，， (1)请根据上述数据，计算得出产量y关于施肥量x的回归方程，并结合常识描述的实际意义，为简化计算，计算过程中、均精确到个位数. (2)若青菜的收购价格为2元/kg，化肥的采购价格为12元/kg，请从利润最大的角度给出大棚的最优施肥量. 参考公式：，. 【答案】(1)，实际意义是当化肥使用量无限增加时，青菜产量的理论上限为/亩 (2)当施肥量为10kg/亩时利润最大 【分析】（1）根据题意，利用回归系数的公式，求得，进而得出回归直线方程，结合的值，得出的实际意义； （2）由利润为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）根据题意，可得， 又由， 所以产量y关于施肥量x的回归方程为， 其中的实际意义是当化肥使用量无限增加时，青菜产量的理论上限为/亩. （2）设利润为元/亩， 当且仅当kg/亩时取等，即当施肥量为10kg/亩时利润最大. ‌冲刺满分练 21．（2026·浙江温州·二模）在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为个单位，向“负方向姿态修正一次”记为个单位.假设向正负方向姿态修正是等可能的. (1)求6次姿态修正后达到个单位的概率； (2)以下三种情况将导致校准流程终止： 情况1：累计姿态偏移达到个单位（校准到位）； 情况2：累计姿态偏移达到个单位（需紧急干预）； 情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）. （ⅰ）求在能源耗尽的条件下校准到位的概率； （ⅱ）设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求． 【答案】(1) (2)（ⅰ），（ⅱ） 【分析】（1）根据二项分布的概率公式即可求解， （2）（i）列举所有的路线，即可求解；（ii）求解对应的概率，即可根据期望公式求解. 【详解】（1）若6次姿态修正后达到个单位，则需要6次姿态修正中，有4次正方向修正，2次负方向修正， 且每次正方向和负方向修正的概率均为， 故6次姿态修正后达到个单位的概率为. （2）（ⅰ）设第次修正的结果为，且，累计的修正单位为， “能源耗尽”意味着完成6次修正，即在前4次修正中，必须是中的某一种， 则第5次和第六次的修正可以为中的任意一种，故共有种选择， 故“完成6次修正”总的路线共有种， “校准到位”的路线有共有4种， 故在能源耗尽的条件下校准到位的概率为. （ⅱ）随机变量的取值为2,4,6， 表示两次修正都是正方向，或者都是负方向，故, 表示前两次修正的方向中有一次正方向，一次负方向，后两次修正都是正方向，或者都是负方向， 故, , 的分布列如下： 2 4 6 故 22．（2026·河南郑州·二模）某商场举行抽奖活动，箱子里装有标号为1到的张奖券，不同的奖券标号对应不同的奖品，标号越大，奖品越丰厚．规则如下：顾客从中有放回地抽取奖券次，每次抽取一张奖券，抽取结果中标号最大的奖券对应的奖品即为最终奖品，设最终获得的奖品对应的奖券标号为． (1)当时，求最终拿到标号为3的奖券的概率和拿到标号为2的奖券的概率． (2)若． ①求最终拿到标号不大于的奖券的概率； ②求随机变量的期望（用表示）． (3)当时，证明：． 【答案】(1)； (2)①；② (3)证明见解析. 【分析】（1）利用对立事件和差事件求概率：，计算两次有放回抽取的结果概率； （2）①标号不大于即每次抽取都不超过，用独立重复试验求概率；②用分布列或尾和公式求期望，化简得到结果； （3）先写出期望表达式，再构造对称和式，结合函数单调性放缩证明不等式. 【详解】（1）表示最大标号为，等价于所有抽取结果都不超过，且至少有一次等于， 则两次都不超过2； 两次都不超过2两次都不超过1. （2）①最终标号不大于等价于次抽取的所有结果都不大于，每次抽到不大于的概率为， 因此. ②由于， 随机变量的期望得 . （3）， 则随机变量的期望为 . 设，， 当时，，等号成立； 当时，当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以. 设， 又因为， 所以，所以． 综上所述，. 23．（2026·福建·二模）某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量的分布列为 其中，． (1)当时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值； (2)已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为，每个盲盒是否为封面款相互独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户．现从顾客中随机选取一人． （i）求该顾客为幸运客户的概率； （ii）若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（i），；（ii）. 【分析】（1）由分布列的性质得出，再利用期望公式求解即可； （2）（i）设事件“一次性购买个文创盲盒”，事件“顾客为幸运客户”，求出、，利用全概率公式可得出的表达式及的取值范围； （ii）设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”， 求得，利用全概率公式求出的值，利用条件概率公式结合可得出关于的不等式，结合可得出的取值范围. 【详解】（1）由题可知，， 化简可得 ， 当时，，则， 即顾客一次性购买文创盲盒数量的平均值为． （2）（i）设事件“一次性购买个文创盲盒”，事件“顾客为幸运客户”， 则，，，． 依题意，得，， 因为每个盲盒是否为封面款相互独立， 所以，， 又由题意知，，且、、、两两互斥， 所以， 由（1）得，，代入化简可得， 所以，； （ii）设事件“一次性购买的文创盲盒全部是封面款”， 依题意，得，且，、、两两互斥， 所以， 由（i）得，， 所以幸运客户中，一次性购买的文创盲盒全部是封面款的概率为 ， 由题意，可得，解得， 又因为，所以． 24．（2026·四川广元·三模）某机器人公司在初代人形机器人原型机的功能验证阶段，对“连续侧空翻”动作进行落地稳定性测试．假设单次空翻成功落地概率为，测试直到出现“连续成功2次”或“连续失败2次”时立即停止，各次测试相互独立．若测试停止时最后两次均为成功，称为“成功终止”，记为恰好次测试后成功终止的概率． (1)求，； (2)求； (3)该公司技术优化后，机器人的空翻落地概率增加“成功增益”规则：若某一次空翻成功落地，下一次空翻的成功概率将在原有基础上增加，（，即成功后动作稳定性会提升）；若某一次空翻落地失败，下一次空翻的成功概率会重置为初始值．现要求技术优化后，初始状态下最终“成功终止”的概率比无增益时最终“成功终止”的概率提升至少，求满足条件的的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据题意及独立事件的乘法公式即可求得，； （2）讨论的奇偶，计算对应的概率即可； （3）讨论成功增益为0和有成功增益的情况，分别求出初始状态下最终成功终止的概率和初始状态下最终成功终止的概率，进而根据即可求出的最小值． 【详解】（1）依题意可得恰好次测试后成功终止（第一次失败，第二、三次成功）的概率为 ， 恰好次测试后成功终止（第一次成功，第二次失败，第三、四次成功）的概率为 ． （2）要在第次成功终止，则必须满足第次和第次均为成功， 当为偶数时，前次测试结果成功与失败交替出现且第次必须为失败（否则第次就已经成功终止），成功失败各次， 所以； 当为奇数时，前次测试结果成功与失败交替出现且第次必须为失败（否则第次就已经成功终止），则前次测试成功次，失败次， 所以； 所以，整理得． （3）定义状态为初始状态，为上次测试失败但测试未终止， 为上次测试成功但测试未终止， 设为从状态出发最终终止的概率. 则，故， 当成功增益为0，即时， 将代入得初始状态下最终成功终止的概率， 同理若成功增益， 则初始状态下最终成功终止的概率， 由题设有，故，此时， 所以满足条件的的最小值为． 25．（2026·陕西咸阳·三模）某校举办了一场以“新质生产力·青春创未来”为主题的知识与能力挑战赛.比赛题库中有选择题和填空题两种题型，且数目相同，每次答题从中随机抽取1题进行作答，每次答题（无论对错）后，该题都会被移除，系统会补充1道同题型的新题，使比赛题库中的选择题和填空题的数目始终保持相同.答对1道选择题可获得1分，答对1道填空题可获得2分，若答对，继续从补充题目后的比赛题库中随机抽取1题进行作答；若答错，立即停止答题，比赛结束.已知甲同学答对每道选择题的概率均为，答对每道填空题的概率均为，且每道题答对与否互不影响． (1)记甲同学进行1次答题后的得分为，求的分布列及数学期望； (2)比赛结束前，记甲同学累计得分达到的概率为． （i）求； （ii）求．（用含的式子表达） 【答案】(1)的分布列为 0 1 2 ，. (2)（i）.（ii）. 【分析】（1）比赛题库中两种题型数目始终相同，所以每次抽到选择题和填空题的概率均为．一次答题后的得分只可能为，分别按“抽到题型”和“答题正误”计算概率，再列分布列并求数学期望． （2）将理解为从开始答题到比赛停止前，累计得分曾经达到的概率．先由“最后一次得分为1分或2分”建立递推关系，再用构造法把二阶递推转化为一阶递推，最后利用等比数列求和得到通项． 【详解】（1）每次抽到选择题和填空题的概率均为.若答错，则得分为0，所以. 若答对选择题，则得1分，所以；若答对填空题，则得2分，所以. 因此的分布列为 0 1 2 所以. （2）记为从开始答题到比赛停止前，累计得分曾经达到的概率． 先求初始两项．要累计得分达到，第一次答题必须抽到并答对选择题，所以． 要累计得分达到，有两种互斥情况：第一次抽到并答对填空题， 或前两次均抽到并答对选择题，第一种情况的概率为，第二种情况的概率为，所以． 当时，若最后一次由分达到分，则最后一次需抽到并答对选择题，这一步发生的概率为； 若最后一次由分达到分，则最后一次需抽到并答对填空题，这一步发生的概率为． 因此． 由递推式得．再由递推式得． 下面用构造法求．由，得． 设，则． 又，所以，即． 设，则．又，所以. 用等比数列求和得，所以． 而也满足此式，因此． 26．（2026·安徽马鞍山·二模）某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响． (1)求甲在乒乓球比赛中积1分的概率； (2)记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值； (3)若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用独立事件概率公式求解； （2）用独立事件概率公式表示，转化为一元二次函数的最值问题； （3）使用条件概率公式与全概率公式求解. 【详解】（1）甲在乒乓球比赛中积1分，则甲与乙、丙、丁三人的3场比赛中，胜1场，负两场，故概率为； （2）甲在游戏中总得分为2，对应事件：甲在乒乓球比赛中获得1积分，抽奖1次中1次； 或甲在乒乓球比赛中获得2积分，抽奖两次中0次，故所求概率为 ； 故当时，的最小值为 （3）乒乓球比赛中在事件发生的条件下，其余三人的积分有两种情形：2，1，0或1，1，1 则A发生当且仅当甲战胜乙、丙、丁3人，故， 记事件“甲在乒乓球比赛中积3分，乙、丙、丁各得1分”为， 则，， 事件“甲在乒乓球比赛中积3分，另3人得分为2，1，0分”为， 则， 且甲要获得奖励则对应两种情况：“甲3次抽奖至少中一次”，或者“甲3次抽奖一次都未中，而得两分的人至多抽中一次”，故 由全概率公式， 所以 27．（2026·湖南永州·三模）甲、乙两人投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率为，乙每次投篮的命中率均为． (1)若甲单独投篮，规定：首次出现连续两次命中，则停止投篮．求甲投篮4次即停止投篮的概率； (2)若甲、乙进行投篮比赛，记甲、乙各投篮一次为一局，每局结束记录各自的投球总数．规定：首次比对方多进两球者获胜，比赛停止；若第四局结束仍未分出胜负，比赛也停止．记表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列与数学期望； (3)若甲单独投篮，规定：首次出现连续次命中，则停止投篮．设停止投篮时甲投篮总次数为，随机变量的数学期望为，记．写出与的递推关系，并求数列的前项和． 【答案】(1) (2)分布列见详解， (3)； 【分析】（1）运用互斥事件概率加法公式，分析投篮4次停止需满足“前两次未出现连中且后两次连中”的结构，利用每次投篮的独立性，对命中与未命中序列进行分类相乘即可； （2）依据比赛规则确定随机变量的所有可能取值，逐局分析胜负条件，运用独立事件乘法与互斥事件加法求各取值概率，最后按定义计算分布列与数学期望； （3）利用数学期望的递推思想，基于投篮结果建立关系式，导出与的递推，通过构造等比数列求通项，再对等比数列与常数列分别求和得. 【详解】（1）设事件：甲第次投篮合中， 则则甲投篮4次即停止投篮的概率， 则，故甲投篮4次即停止投篮的概率为． （2）依题意可得，随机变量的可能取值为：， ， 局结束时，甲胜概率， 局结束时，乙胜概率， ， ， 分布列： 数学期望：. （3）当时，，则， 当时，， 则，即则， 故为首项为，公比为的等比数列故， 即，故． 28．（2026·湖南衡阳·二模）每年春季万象更新，也是病毒变异和流行病高发期，现代流行病学调查表明：某种流行病毒变异所形成的疾病S是由致病菌和致病菌共同引起的，治疗时至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈． (1)现有一种对疾病的试剂检测方法，该检验方法对患病的人进行化验，检测结果有96%呈阳性，对未患病的人进行化验，检测结果有98%呈阴性．检测结果为阳性的人中未患该病比例为误诊率．若某地区疾病的患病率为0.4%，求这种检验方法在该地区的误诊率（结果精确到0.001）； (2)对疾病有效治疗的药物有，两款，且这两种药物的疗程均为3天（药物使用时，按疗程服用3天，超过3天无效需换药进行治疗（无论谁先使用都不会影响后使用的药物的治愈率）．若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈．已知药物杀灭致病菌和致病菌的概率分别为，药物杀灭致病菌和致病菌的概率均为，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立．请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ 【答案】(1) (2)需先使用药物可使得痊愈的平均天数更短 【分析】（1）本小问主要考查条件概率和全概率公式，首先求出检测结果为阳性的概率，其次求出未患病且检测结果为阳性的概率，最后结合条件概率公式求出误诊率； （2）本小问主要考查离散型随机变量的数学问题，先分别计算出先后和先后两种方案下，治愈天数的所有可能取值及对应概率；再计算两种方案的期望天数，比较大小，选择期望更小的方案. 【详解】（1）记事件：检测结果阳性，事件：患病， 由题意可知，，，， 所以， 因此，这种检验方法在该地区的误诊率为． （2）设表示药物能治愈疾病的概率，表示药物能治愈疾病S的概率， 则有，． 设先用药物再用药来治愈疾病所需的天数为，的可能取值为3，6，9， 则， ， 所以 ． 设先用药物再用药来治愈疾病所需的天数为，的可能取值为3，6，9， 同理得， ， 则有 ， 从而有，由此需先使用药物B可使得痊愈的平均天数更短. 29．（2026·四川宜宾·三模）某电子产品生产单位通过抽样检验的方式检验某种电子产品的合格情况.现有份产品样本（足够大），有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验次；方式二：混合检验，将其中k份产品样本混合检验，若混合样本合格，说明这份产品样本全部合格，只需检验1次；若混合样本不合格，为了明确具体哪份产品样本不合格，需要对每份产品样本再分别检验一次，检验总次数为次. (1)现有5份不同的产品样本，其中只有2份产品样本不合格，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把不合格的产品样本全部判断出来的概率； (2)假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本不合格的概率均为. （i）现取其中k份产品样本，记采用逐份检验方式样本需要检验的总次数为；记采用混合检验方式样本需要检验的总次数为，当时，求p关于k的函数关系式； （ii）现将n份产品样本随机分为m组，每组k（k为n的正因数）份，然后将各组k份产品样本进行混合检验.设该种方法需要检验的总次数为X，当时，求p的取值范围并解释其实际意义. 【答案】(1) (2)（i）且；（ii），实际意义见解析 【分析】（1）设恰好经过3次检验就能把不合格产品的样本全部检验出来为事件A，由古典概型概率计算公式可得答案； （2）（i）由题得 ，进而根据化简整理得；（ii）易知的可能取值有，则，由得，即，利用导数求出的最大值，即可得出的取值范围，进而即可下结论. 【详解】（1）设恰好经过3次检验能把不合格产品样本全部检验出来为事件A， 所以， 所以恰好经过3次检验就能把不合格产品样本全部检验出来的概率为． （2）（i）由已知得， 的所有可能取值为1，． 所以， 所以， 若，则， 所以，， 所以，即， 所以p关于k的函数关系式为 且). （ii）将份产品样本随机分为组，每组份，则， 的可能取值有， 则， 所以 ， 又，所以， 即，整理得， 两边同时取自然对数，得， 即. 设，则， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，此时且， 又是的正因数， 所以， 所以，得， 所以，即的取值范围为. 实际意义为：当时，采用混合检验方式的总检验次数的期望不小于逐份检验的总检验次数，说明逐份检验较好. 30．（2026·重庆·一模）元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下： 游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到次，则游戏立即结束并获奖，若投掷次且后仍未累计命中次，则游戏结束，无法获奖； 游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得分，未命中记得分，当累计得分达到分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到分，游戏立即结束，无法获奖. 现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立，已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为. (1)当时，记甲同学投掷次数为，求的分布列及期望； (2)当且时，求甲同学获奖的概率（用含的表达式表示）； (3)记甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为；若乙同学获奖概率不小于，求的最小值. 【答案】(1)分布列见详解， (2) (3) 【分析】（1）写出的取值可能为，再分别计算其概率，最后利用期望公式即可得到答案； （2）计算出的表达式，从而得到的表达式，再利用错位相减法即可得到答案； （3）记表示乙同学的得分，，计算出对应的概率，根据得到不等式，解出即可得到最小值． 【详解】（1）由题可知：的取值可能为， ，，， 故的分布列为： 2 3 4 故. （2）记事件：甲同学获奖， 显然，，设表示甲投掷的次数，若甲投掷次并获奖， 则， 所以， 令， 所以， 两式相减： ， 即，所以． （3）记表示乙同学的得分，， 记事件：乙同学获奖，表示乙同学得分为分时，最终获奖的概率， 显然，又， 由全概率公式知：， 所以， 那么： ， 即， 同理：， ， ， ， 累加有， 所以， 即，即， 即， 由甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为得：， 由，即，解得， 故的最小值为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 04 概率与统计（30题） 高考一天天临近，可不能停下做数学题的手，得一直保持着“手感”，坚持动笔练习才是正理。这时候不少同学心态容易像坐过山车，就说成绩那事儿吧，要是看着分数往下掉，立马就慌了神，陷入焦虑里出不来。其实啊，成绩起起伏伏太正常不过了。你想啊，每套试卷的难度本来就不一样，咱们临场发挥也有好有坏，再加上试卷考查的知识点，说不定刚好撞到了自己掌握得不太扎实的地方，那分数有点波动不就是情理之中的事儿嘛。真犯不上因为一次考试的得失就揪着自己不放，非得学会辩证地看待这些起起落落才行。 进了考场，要是碰到没见过的新题或者啃不动的难题，可千万得沉住气。这时候不妨给自己宽宽心：我都觉得难，那别的同学大概率也跟我一样犯愁。当然了，也不能因为题目看着简单就飘了，觉得自己稳操胜券，掉以轻心可不行。咱们得拿出十二分的劲头，把自己真实的水平都发挥出来，确保会做的题一分都不丢，至于那些难题，就尽自己最大的努力，能多拿一分是一分。 常用公式 条件概率 定义:一般地,设为两个随机事件,且我们称 为在事件发生的条件下,事件发生的条件概率. (1) (2)当时,当且仅当事件相互独立时,有； (3)如果是两个互斥事件,则 离散型随机变量及其分布列 1.离散型随机变量的分布列 (1)用表格表示:(一般涉及组合数的计算) （2）性质: ①② 离散型随机变量的均值与方差 1.均值(或数学期望):它反映了随机变量取值的平均水平. 2.方差:度量随机变量取值与均值的偏离程度 3.标差: 4.性质: （1） （2） （3） 概率模型 1.两点分布 2.二项分布: (1)定义:在重伯努利试验中,设每次试验中事件发生的概率为,用表示事件发生的次数,则的分布列为: (2)推论: 3.超几何分布 4.正态分布 (1) 正态曲线: 我们称f(x)＝ ,x∈R,其中μ∈R,σ>0为参数,为正态密度函 数,称它的图象为正态密度曲线. (2)正态曲线的特点: ①非负性:对∀x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方. ②定值性:曲线与x轴之间的面积为1. ③对称性:曲线是单峰的,它关于直线x＝μ对称. ④最大值:曲线在x＝μ处达到峰值. ⑤位置:当σ一定时,曲线的位置由μ确定,曲线随着μ的变化而沿x轴平移,如图①. ⑥体型:当μ一定时,曲线的形状由σ确定,σ较小时曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时,曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散,如图②. (3)正态分布的几何意义:若X～N(μ,σ2),如图所示,X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积,而P(a≤X≤b)为区域B的面积. (4) 原则:P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827； P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545； P(u－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973. 概率模型的均值与方差 1.若X服从两点分布,则. 2.若X～B(n,p),则. 3. 若,则 成对数据的统计分析 样本相关系数 (1)样本相关系数r的取值范围为. (2)当|r|越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强； 当|r|越接近0时,成对样本数据的线性相关程度越弱. (3)注意点: 当|r|＝1时,表明成对样本数据都在一条直线上,即两个变量之间满足一种线性关系. 当r＝0时,表明成对数据间没有线性相关关系,但不排除它们之间有其他相关关系. 经验回归直线 1.最小二乘法:我们将＝x＋称为Y关于x的经验回归方程,也称经验回归函数或经验回归公式,其图形称为经验回归直线. 这种求经验回归方程的方法叫做最小二乘法,求得的,叫做b,a的最小二乘估计. ＝x＋ 其中 注意点:经验回归方程＝x＋必过点样本点中心. 2.残差平方和法: 越小,模型的拟合效果越好. 3.决定系数R2 可以用来比较两个模型的拟合效果. R2越大,模型拟合效果越好; R2越小,模型拟合效果越差. 独立性检验 1.独立性检验:利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验,读作卡方独立性检验,简称 独立性检验 . 2.方法: (1)零假设(或原假设):两个分类变量独立； (2) 2×2列联表: y1 y2 合计 x1 a b a＋b x2 c d c+d 合计 a+c b＋d a+b +c+d (3)公式:χ2＝,其中n＝a＋b＋c＋d. (4)查表(题目中会给出):常用临界值表如下: α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 (5)下结论: ①当时,我们推断不成立,即认为不独立,该推断犯错误的概率不超过； ②当时,我们没有充分证据推断不成立,即可以认为独立. 基础通关练 1．（2026·山西晋城·模拟预测）某校共有名高一学生，其中男生人．为了解该校高一学生的数学学习水平，采取按性别分层、比例分配的分层随机抽样方法，随机抽取了名学生进行调查，分数分布在分之间．将分数不低于分的学生称为“优等生”．根据调查的结果绘制的学生分数频率分布直方图如图．    (1)求实数的值，并估计该样本中“优等生”的人数； (2)若样本中属于“优等生”的男生有人，完成下列列联表；根据小概率值的独立性检验，能否认为这次成绩是否优秀（分数不低于分）与性别有关？ 属于“优等生” 不属于“优等生” 合计 男生 女生 合计 附：． 2．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）随着科技的进步，人工智能（AI）工具在职场中的应用日益广泛，像豆包、DeepSeek等常见的AI工具，已被证明能有效提升员工的工作效率和准确率．某公司为了解员工使用这类AI工具的熟练度，进行了一次内部统计，统计结果如下表： 能够熟练使用AI工具 不能够熟练使用AI工具 男员工 30 15 女员工 16 9 (1)根据的独立性检验，能否认为性别与使用AI工具的熟练度具有相关性？ (2)现按熟练度采用分层抽样的方法从该公司的男员工中随机抽取12人，再从这12人中随机抽取3人，记其中不能够熟练使用AI工具的人数为，求的分布列以及数学期望． 附：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 3．（2026·湖南·一模）某科技公司统计了过去10年每年的研发投入（单位：亿元）和营业额（单位：亿元）的数据，如下表： /亿元 12.1 12.5 11.3 12.4 13.1 11.5 11.0 11.3 12.6 12.2 /亿元 650 680 620 660 695 640 600 630 665 660 参考数据：，，，． 参考公式：相关系数． (1)估计该公司平均每年的研发投入和平均每年的营业额； (2)求样本的相关系数（精确到0.01）； (3)已知与的关系可以用线性回归模型进行拟合，若该公司今年投入13.5亿元用于研发，利用该模型预测该公司今年的营业额． 4．（2026·湖北黄冈·二模）一辆汽车上有个座位，编号从1到．现在编号为1到的乘客依次上车，编号为1的乘客比较顽皮，上了车后是随机等可能的选择座位坐下，编号为2的乘客上了车后会先看看2号座位有没有人，如果有，那么他从剩下的空座位中随机等可能的选择座位坐下，如果2号座位没有人，那么他就在2号座位坐下，编号为3及后面的乘客的选择座位方式与2号相同，即自己对应的号码座位上有人，则从剩下座位中随机等可能挑选座位坐下，如果自己对应的号码座位上没有人，则坐在自己对应号码的座位上． (1)当时，求4号乘客坐在编号4号座位上的概率； (2)当时，设为刚好坐在了自己座位上的乘客数（规定：编号为的乘客坐在了编号为的座位上为坐在了自己的座位上），求随机变量的期望． 5．（2026·四川绵阳·模拟预测）某汽车公司拟对“东方红”款高端汽车发动机进行科技改造，根据市场调研与模拟，得到科技改造投入（亿元）与科技改造直接收益（亿元）的数据统计如下： 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25 13 22 31 42 50 56 58 68.5 68 67.5 66 68 当时，建立了y与x的两个回归模型：模型①；模型②：； (1)根据下列表格中的数据，比较当时模型①、②的相关指数，并选择拟合精度更高、更可靠的模型，预测对“东方红”款汽车发动机科技改造的投入为16亿元时的直接收益. 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 （附1：刻画回归效果的相关指数） (2)科技改造后，“东方红”款汽车发动机的热效率X大幅提高，X服从正态分布，公司对科技改造团队的奖励方案如下：若发动机的热效率不超过50%，不予鼓励；若发动机的热效率超过50%但不超过53%，每台发动机奖励2万元；若发动机的热效率超过53%，每台发动机奖励4万元.求每台发动机获得奖励的分布列和数学期望. （附2：随机变量服从正态分布，则，.） 6．（2026·安徽合肥·模拟预测）某学校为了研究学生的写作水平与每周课外阅读时长的关系，在该校随机抽取了200名学生，统计他们每周的课外阅读时长（单位：时），得到如下的频率分布表： 每周课外阅读时长 频率 0.1 0.2 0.3 0.25 0.15 同时，对这200名学生进行写作水平测试，根据测试成绩将学生分为“写作水平良好”和“写作水平一般”两类，得到如下的列联表： 写作水平良好 写作水平一般 合计 每周课外阅读时长不低于6小时 50 每周课外阅读时长低于6小时 80 合计 200 (1)根据已知条件补全列联表，并依据小概率值的独立性检验，判断学生的写作水平与每周课外阅读时长是否有关； (2)从每周课外阅读时长在和的学生中按比例用分层随机抽样的方法抽取5人，再从这5人中随机抽取2人参加座谈，设表示抽取的2人中每周课外阅读时长在的人数，求的分布列和数学期望． 附：． 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 7．（2026·陕西西安·模拟预测）随着新能源产业的发展，我市近年来新能源汽车保有量快速增长，为了研究我市充电桩建设的情况，能源部门收集到了2021年到2025年充电桩数量（单位：万个），为方便研究，年份代码用表示（用分别表示2021年，2022年，…，2025年），具体参考数据如下表： 统计量 数值 15 21 55 72.6 (1)请根据表中数据，建立关于的回归直线方程； (2)现对该市某区域现有的9个充电桩进行检查，其中4个为快充桩，随机抽取3个充电桩进行检查，记抽到的快充桩个数为，求的分布列及均值． （参考公式：） 8．（2026·甘肃金昌·三模）某社区为了了解市民对生活环境的满意度，随机选择100人进行问卷调查，每人给出一个评分，分数都不低于60，满分100分．统计出这100人的评分成绩，绘制出频率分布直方图如图．已知这100人中，男、女市民人数之比为9：11，且评分不低于80分的男、女市民人数相等． (1)求满意度评分低于80分的市民中，男、女人数的比例； (2)若同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，求满意度的平均分； (3)在满意度评分低于80分的被调查的人员中，按男、女人数比例用分层随机抽样方法选出5人进行座谈，再在这5人中选出3人作为座谈会主讲人，求3位主讲人中至少有1位男性市民的概率． 9．（2026·山西朔州·二模）某芯片公司生产两种芯片，一种是用于人工智能计算的甲类芯片，另一种是用于基础信号传输的乙类芯片.现将4个甲类芯片和2个乙类芯片混合放置在一个容器中，这些芯片外观完全相同. (1)质检员从中随机抽取2个芯片进行破坏性测试，求至少抽到1个乙类芯片的概率； (2)自动化测试机随机逐个对芯片进行性能检测，检测过的芯片不再放回，直到甲类芯片或乙类芯片被全部检测完毕时停止，记停止时检测的芯片总数为，求的分布列与数学期望. 10．（2026·陕西西安·模拟预测）近年来我国新能源汽车行业蓬勃发展，新能源汽车不仅对环境保护具有重大的意义，而且还能够减少对不可再生资源的开发，是全球汽车发展的重要方向．某地区近几年新能源汽车的购买情况如下表所示： 年份 2019 2020 2021 2022 2023 购买量（万辆） 0.40 0.70 1.10 1.50 1.80 (1)计算与的相关系数（保留三位小数）； (2)求关于的线性回归方程，并预测该地区2026年新能源汽车购买数量． 参考公式：． 参考数值：． 中档提升练 11．（2026·安徽宿州·一模）某数学兴趣小组为深入了解某款智能软件在社会上各年龄段人群使用情况，从某社区使用过该程序的人群中随机抽取了200名居民进行调查，并依据年龄样本数据绘制了如下频率分布直方图. (1)根据频率分布直方图，估计年龄样本数据的分位数； (2)为了解各年龄段居民的使用情况，需抽取居民代表召开座谈会，按照等比例分配分层随机抽样的方式从，［30，40）年龄段中随机共抽取8名居民.若从选定的这8名居民中随机再抽取3名，记3人中在年龄段的人数为，求的分布列及数学期望. 12．（2026·重庆北碚·模拟预测） 某高校为调查人们对 AI 知识掌握的熟悉程度与学历是否有关，组织了相关的答题活动， 满分 100 分. 答题完成后， 工作人员从中随机抽取 200 人作为样本，得到如下数据. 人数分数 学历 本科及以下 37 33 12 10 5 3 本科以上 20 20 10 10 30 10 (1)若得分不小于 60 分，则认为对 AI 知识掌握的程度为熟悉，否则为不熟悉； 熟悉程度 学历 合计 本科及以下 本科以上 熟悉 不熟悉 合计 根据样本数据补全上面的 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为熟悉AI程度与参与人员学历有关系. (2)从样本里学历为本科以上的人群中，采用按比例分层随机抽样的方法抽取 10 个人，再从这 10 人中随机抽出 3 人进行访谈，记这 3 人中分数在 的人数为 ，求 的分布列及数学期望. 附：， . 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 13．（2026·四川泸州·模拟预测）某市开展“安全随我行”活动，交警部门在某个交通路口增设电子抓拍眼，并记录了某月该路口连续10日骑电动摩托车未佩戴头盔的人数与天数的情况，对统计得到的样本数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值. 5.5 8.7 1.9 301 385 79.75 表中，. (1)依据散点图推断，与哪一个更适合作为未佩戴头盔人数与天数的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由），并求出所选类型的回归方程. (2)为了解佩戴头盔情况与性别的关联性，交警对该路口骑电动摩托车市民进行调查，得到如下列联表： 14．（2026·陕西咸阳·三模）咸阳文旅部门统计了某景点在2025年2月至6月的旅游收入（单位：万元），得到以下数据： 月份 2 3 4 5 6 旅游收入 10 12 11 12 20 (1)根据表中所给数据，用相关系数判断，是否可用线性回归模型拟合与的关系？（当时，认为线性相关性较强），若可以，求出关于之间的线性回归方程；若不可以，请说明理由； (2)为调查游客对该景点的评价情况，随机抽查了100名游客，得到如下列联表，请填写下面的列联表，依据的独立性检验，能否认为“游客是否喜欢该景点与性别有关联”． 喜欢 不喜欢 总计 男 50 女 30 总计 60 参考公式：相关系数，参考数据：． 线性回归方程：，其中 ，其中． 临界值表： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 15．（2026·山西运城·二模）小张、小李、小王、小周周日都喜欢打球，这4人只打羽毛球或乒乓球，不打其他球，同一天中每人最多打一种球，且小张和小李两种球都会打，小王只打羽毛球，小周只打乒乓球.在雨天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.3，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.3；在晴天或阴天的情况下，小张、小李、小周打乒乓球的概率均为0.4，小张、小李、小王打羽毛球的概率均为0.5；在其他天气这4人不打球.已知周日出现晴天或阴天的概率为0.5，出现雨天的概率为0.1.假设这4人打球的选择相互独立、互不影响. (1)求小张周日打羽毛球的概率； (2)若某个周日是晴天或阴天，求当天这4人中打乒乓球的人数不少于2的概率； (3)若某个周日是雨天，设小李、小王、小周这3人中当天打球的人数为，求的数学期望． 16．（2026·江苏镇江·二模）甲、乙、丙三人进行羽毛球比赛，规定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局的比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环．设甲对乙、丙的胜率均为，乙、丙之间的胜率互为． (1)求甲连续打前四局比赛的概率； (2)前四局中，求在第二局乙获胜的条件下甲轮空两局的概率； (3)如果甲胜一局得2分，输一局不得分，记打完前三局后甲的得分为，求的分布列和期望． 17．（2026·河北雄安·模拟预测）当下有许多人喜欢以爬山作为锻炼身体的运动方式，有一座山，上山有①②两条路径. (1)小李、小王、小张三人经常组队去爬这座山锻炼身体，三人选择①路径爬山的概率分别为，求小李、小王、小张三人中恰有两人选择②路径爬山的概率. (2)若小刘决定连续两天去爬山，事件“小刘第一天选择①路径爬山”，“小刘第二天选择②路径爬山”，且.若小刘第一天选择①路径爬山，第二天仍选择①路径爬山的概率为；若小刘第一天选择②路径爬山，则第二天选择①路径爬山的概率为.求. (3)有一支登山队，经过一段时间的爬山锻炼后，可对每人的登山速度的提高做出评定为“有效”和“无效”.在对全体登山队员的登山速度的提高做出评定后，从中随机抽取一人，登山速度的提高为“有效”的概率为0.88.现从全体登山队员中随机抽取一人，若此人登山速度的提高为“有效”，则继续抽取下一人，直到抽取到登山速度的提高为“无效”的人为止.若抽取的次数为，且（且），求的最大值. （参考数据：） 18．（2026·甘肃金昌·三模）甲､乙两人参加射击比赛，甲击中目标的概率为0.9，乙击中目标的概率为0.8，甲､乙射击比赛得分规则是：一次击中目标得1分，未击中目标得0分且对方得1分.甲､乙同时射击，且是否击中目标，互不影响. (1)甲､乙同时射击1次，求甲得1分的概率； (2)甲､乙同时射击2次，记甲的得分为，求的分布列和数学期望； (3)甲､乙同时射击次，甲的总得分与乙的总得分相等，求证：甲､乙两人击中目标的次数相等. 19．（2026·上海松江·模拟预测）质监部门从某超市销售的甲､乙两种食用油中各随机抽取100桶检测某项质量指标，由检测结果得到如下的频率分布直方图： (1)写出频率分布直方图（甲）中的值；记甲､乙两种食用油100桶样本的质量指标的方差分别为，试比较与的大小（只要求写出结果）； (2)在甲､乙两种食用油中各随机抽取1桶，用频率估计概率，求恰有1桶的质量指标大于10且小于40的概率； (3)由频率分布直方图可以认为，乙种食用油的质量指标值Z服从正态分布.其中近似为样本平均数近似为样本方差，现从乙种食用油中随机抽取10桶，设X表示质量指标值位于的桶数，求X的数学期望.（结果保留两位小数） 注：①同一组数据用该区间的中点值作代表；②若，则 . 20．（2026·辽宁沈阳·三模）某农业技术站研究化肥施用量对大棚青菜产量的影响.在一定范围内，施肥量（单位kg/亩）越大，青菜产量（单位kg/亩）越高.实验测得具体数据如下表： 施肥量 2 3 4 5 6 青菜产量 4200 4300 4350 4380 4400 根据散点数据特征，研究人员分析得出产量与施肥量近似满足的关系，取，经计算可知，，，， (1)请根据上述数据，计算得出产量y关于施肥量x的回归方程，并结合常识描述的实际意义，为简化计算，计算过程中、均精确到个位数. (2)若青菜的收购价格为2元/kg，化肥的采购价格为12元/kg，请从利润最大的角度给出大棚的最优施肥量. 参考公式：，. ‌冲刺满分练 21．（2026·浙江温州·二模）在我国深海万米探测工程中，“奋斗者”号深潜器需在极端高压环境下完成姿态校准.工程师设计了一套算法：“向正方向姿态修正一次”记为个单位，向“负方向姿态修正一次”记为个单位.假设向正负方向姿态修正是等可能的. (1)求6次姿态修正后达到个单位的概率； (2)以下三种情况将导致校准流程终止： 情况1：累计姿态偏移达到个单位（校准到位）； 情况2：累计姿态偏移达到个单位（需紧急干预）； 情况3：完成6次姿态修正（能源耗尽）. （ⅰ）求在能源耗尽的条件下校准到位的概率； （ⅱ）设随机变量X表示终止时姿态修正的次数，求． 22．（2026·河南郑州·二模）某商场举行抽奖活动，箱子里装有标号为1到的张奖券，不同的奖券标号对应不同的奖品，标号越大，奖品越丰厚．规则如下：顾客从中有放回地抽取奖券次，每次抽取一张奖券，抽取结果中标号最大的奖券对应的奖品即为最终奖品，设最终获得的奖品对应的奖券标号为． (1)当时，求最终拿到标号为3的奖券的概率和拿到标号为2的奖券的概率． (2)若． ①求最终拿到标号不大于的奖券的概率； ②求随机变量的期望（用表示）． (3)当时，证明：． 23．（2026·福建·二模）某盲盒商店调查数据显示，顾客一次性购买某种文创盲盒数量的分布列为 其中，． (1)当时，求顾客一次性购买该种文创盲盒数量的平均值； (2)已知该种文创盲盒分为封面款与非封面款两类，且每个盲盒为封面款的概率为，每个盲盒是否为封面款相互独立．若顾客一次性购买的盲盒中，封面款的数量大于非封面款的数量，则称此顾客为幸运客户．现从顾客中随机选取一人． （i）求该顾客为幸运客户的概率； （ii）若该顾客是幸运客户，他购买的盲盒全部是封面款的概率不超过，求的取值范围． 24．（2026·四川广元·三模）某机器人公司在初代人形机器人原型机的功能验证阶段，对“连续侧空翻”动作进行落地稳定性测试．假设单次空翻成功落地概率为，测试直到出现“连续成功2次”或“连续失败2次”时立即停止，各次测试相互独立．若测试停止时最后两次均为成功，称为“成功终止”，记为恰好次测试后成功终止的概率． (1)求，； (2)求； (3)该公司技术优化后，机器人的空翻落地概率增加“成功增益”规则：若某一次空翻成功落地，下一次空翻的成功概率将在原有基础上增加，（，即成功后动作稳定性会提升）；若某一次空翻落地失败，下一次空翻的成功概率会重置为初始值．现要求技术优化后，初始状态下最终“成功终止”的概率比无增益时最终“成功终止”的概率提升至少，求满足条件的的最小值． 25．（2026·陕西咸阳·三模）某校举办了一场以“新质生产力·青春创未来”为主题的知识与能力挑战赛.比赛题库中有选择题和填空题两种题型，且数目相同，每次答题从中随机抽取1题进行作答，每次答题（无论对错）后，该题都会被移除，系统会补充1道同题型的新题，使比赛题库中的选择题和填空题的数目始终保持相同.答对1道选择题可获得1分，答对1道填空题可获得2分，若答对，继续从补充题目后的比赛题库中随机抽取1题进行作答；若答错，立即停止答题，比赛结束.已知甲同学答对每道选择题的概率均为，答对每道填空题的概率均为，且每道题答对与否互不影响． (1)记甲同学进行1次答题后的得分为，求的分布列及数学期望； (2)比赛结束前，记甲同学累计得分达到的概率为． （i）求； （ii）求．（用含的式子表达） 26．（2026·安徽马鞍山·二模）某次乒乓球课上，甲、乙、丙、丁四人进行游戏，先在四人中每两人之间进行一场乒乓球比赛，每场比赛胜者积1分，负者积0分，没有平局．乒乓球比赛结束后，再进行抽奖，积分为k的人有k次抽奖机会，每人的游戏总得分为其比赛积分与中奖次数的和，总得分最高者（允许并列）获得奖励．已知每场乒乓球比赛中每人获胜的概率均为，每次抽奖每人中奖的概率均为，且各场比赛结果、每次抽奖结果互不影响． (1)求甲在乒乓球比赛中积1分的概率； (2)记甲在游戏中总得分为2的概率为，求的最小值； (3)若，记事件A为“甲在乒乓球比赛中积3分”，事件B为“甲在游戏中获得奖励”，求． 27．（2026·湖南永州·三模）甲、乙两人投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率为，乙每次投篮的命中率均为． (1)若甲单独投篮，规定：首次出现连续两次命中，则停止投篮．求甲投篮4次即停止投篮的概率； (2)若甲、乙进行投篮比赛，记甲、乙各投篮一次为一局，每局结束记录各自的投球总数．规定：首次比对方多进两球者获胜，比赛停止；若第四局结束仍未分出胜负，比赛也停止．记表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量的分布列与数学期望； (3)若甲单独投篮，规定：首次出现连续次命中，则停止投篮．设停止投篮时甲投篮总次数为，随机变量的数学期望为，记．写出与的递推关系，并求数列的前项和． 28．（2026·湖南衡阳·二模）每年春季万象更新，也是病毒变异和流行病高发期，现代流行病学调查表明：某种流行病毒变异所形成的疾病S是由致病菌和致病菌共同引起的，治疗时至少杀灭其中一种致病菌即可痊愈． (1)现有一种对疾病的试剂检测方法，该检验方法对患病的人进行化验，检测结果有96%呈阳性，对未患病的人进行化验，检测结果有98%呈阴性．检测结果为阳性的人中未患该病比例为误诊率．若某地区疾病的患病率为0.4%，求这种检验方法在该地区的误诊率（结果精确到0.001）； (2)对疾病有效治疗的药物有，两款，且这两种药物的疗程均为3天（药物使用时，按疗程服用3天，超过3天无效需换药进行治疗（无论谁先使用都不会影响后使用的药物的治愈率）．若使用完两种药物仍不见效，依靠自身的免疫能力再经过3天也能痊愈．已知药物杀灭致病菌和致病菌的概率分别为，药物杀灭致病菌和致病菌的概率均为，且对于同一种药物，杀灭两种致病菌的事件相互独立．请问应先使用哪种药物可使得痊愈的平均天数更短？ 29．（2026·四川宜宾·三模）某电子产品生产单位通过抽样检验的方式检验某种电子产品的合格情况.现有份产品样本（足够大），有以下两种检验方式：方式一：逐份检验，需要检验次；方式二：混合检验，将其中k份产品样本混合检验，若混合样本合格，说明这份产品样本全部合格，只需检验1次；若混合样本不合格，为了明确具体哪份产品样本不合格，需要对每份产品样本再分别检验一次，检验总次数为次. (1)现有5份不同的产品样本，其中只有2份产品样本不合格，采用逐份检验方式，求恰好经过3次检验就能把不合格的产品样本全部判断出来的概率； (2)假设每份样本的检验结果相互独立，每份样本不合格的概率均为. （i）现取其中k份产品样本，记采用逐份检验方式样本需要检验的总次数为；记采用混合检验方式样本需要检验的总次数为，当时，求p关于k的函数关系式； （ii）现将n份产品样本随机分为m组，每组k（k为n的正因数）份，然后将各组k份产品样本进行混合检验.设该种方法需要检验的总次数为X，当时，求p的取值范围并解释其实际意义. 30．（2026·重庆·一模）元旦晚会上，班委为了活跃氛围，特准备了“丢沙包”游戏，参与者在指定范围内投掷沙包入框，并制定了两个小游戏，且每位参与者只能参加其中一项游戏，规则如下： 游戏一：参与者进行投掷，若在投掷过程中累计命中次数达到次，则游戏立即结束并获奖，若投掷次且后仍未累计命中次，则游戏结束，无法获奖； 游戏二：参与者进行投掷，不限投掷次数，若每次投掷中，命中记得分，未命中记得分，当累计得分达到分，则游戏立即结束并获奖，当累计得分达到分，游戏立即结束，无法获奖. 现有甲、乙两位同学分别参加游戏，且每位同学每次投掷是否命中相互独立，已知甲同学参加游戏一，且每次命中率为；乙同学参加游戏二，每次命中率为. (1)当时，记甲同学投掷次数为，求的分布列及期望； (2)当且时，求甲同学获奖的概率（用含的表达式表示）； (3)记甲同学获奖时，投掷次数不超过次的概率为；若乙同学获奖概率不小于，求的最小值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $