06 导数(30题)备战2026届高考数学考前一个月(解答题每日一题)

**基本信息** 聚焦导数核心公式与运算法则，通过30道分阶习题构建从基础应用到综合创新的训练体系，培养数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础通关练|10题|切线方程、单调性、极值基础应用|从基本初等函数导数公式到四则运算法则，构建导数运算基础| |中档提升练|10题|参数讨论、零点个数、不等式证明|结合复合函数导数，深化导数在函数性质研究中的应用| |冲刺满分练|10题|双变量证明、极值点偏移、恒成立问题|综合运用导数工具解决复杂函数问题，培养推理能力与创新意识|

06 导数（30题） 高考一天天临近，可不能停下做数学题的手，得一直保持着“手感”，坚持动笔练习才是正理。这时候不少同学心态容易像坐过山车，就说成绩那事儿吧，要是看着分数往下掉，立马就慌了神，陷入焦虑里出不来。其实啊，成绩起起伏伏太正常不过了。你想啊，每套试卷的难度本来就不一样，咱们临场发挥也有好有坏，再加上试卷考查的知识点，说不定刚好撞到了自己掌握得不太扎实的地方，那分数有点波动不就是情理之中的事儿嘛。真犯不上因为一次考试的得失就揪着自己不放，非得学会辩证地看待这些起起落落才行。 进了考场，要是碰到没见过的新题或者啃不动的难题，可千万得沉住气。这时候不妨给自己宽宽心：我都觉得难，那别的同学大概率也跟我一样犯愁。当然了，也不能因为题目看着简单就飘了，觉得自己稳操胜券，掉以轻心可不行。咱们得拿出十二分的劲头，把自己真实的水平都发挥出来，确保会做的题一分都不丢，至于那些难题，就尽自己最大的努力，能多拿一分是一分。 常用公式 知识点01 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 (为常数) 知识点02 导数的四则运算法则 1、两个函数和的和（或差）的导数法则： . 2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则： ； . 3、由函数的乘积的导数法则可以得出， 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即 知识点03 复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． 基础通关练 1．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数（，，）在处的切线方程为. (1)求的值； (2)分析函数的单调性. 【答案】(1)2 (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义结合切线方程建立关于的方程求解即可；（2）求出函数的导数，分类讨论，判断导数正负，即可求得答案. 【详解】（1）函数的定义域为，， 由题意得：，解得：，所以. （2）由（1）得：， ①当时，即，在区间上恒成立， 函数在区间上单调递增； ②当时，若，，函数在区间上单调递增； 若，，函数在区间上单调递减. 2．（2026·四川成都·二模）已知，在处的切线与垂直， (1)求实数a的值； (2)求在区间上的值域． 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，根据两直线垂直的性质即可求得a的值； （2）利用求导，判断函数的单调性，结合给定区间即可求得函数的值域. 【详解】（1）由求导得， 则在处的切线的斜率为，因切线与垂直， 故，解得. （2）由（1）可得 ， 因，则当时，，当时，， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 因,即, 故在区间上的值域为. 3．（2026·四川成都·二模）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】(1)利用导数的几何意义求解； (2)利用导函数研究函数的单调性. 【详解】（1）当时，， ，则， 又，∴曲线在点处的切线方程为． （2），， ，，由，得，由，得． 的单调递增区间为，单调递减区间为． 4．（2026·四川巴中·一模）已知在处取得极小值． (1)求在处的切线方程； (2)若，讨论零点的个数． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由题意可得，联立等式可得函数，根据导数的几何意义可求得切线方程； （2）根据导数及三次函数性质可得其图象，结合图象可得答案. 【详解】（1）由题意得．因为在处取得极小值， 则，解得，， 所以，， 故，， 则切线方程为，即； （2）令，所以． 令，解得或．则，，的关系如下表： 2 0 0 单调递增 单调递减 单调递增 作出函数的图象如下： 所以，①当或时，有两个零点； ②当或时，有一个零点； ③当时，有三个零点． 5．（2026·陕西咸阳·一模）已知函数，. (1)求函数的最大值及所对应的值； (2)若方程在上有两个不同的实根，求的取值范围及的值. 【答案】(1)当时，. (2)，. 【分析】（1）利用三角恒等变形，结合辅助角公式，即可求正弦型函数的最大值； （2）利用正弦函数图象，可研究方程根的个数及参数范围. 【详解】（1）由， ，则， 当，即时，. （2），则， 由正弦函数在上的图象如下， 所以方程在上有两个不同实根，则， 由对称性知，，解得：. 6．（2026·四川资阳·三模）已知函数在处有极大值． (1)求实数的值； (2)证明：． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）对进行求导，令求出实数的值，再验证即可； （2）要证，令只需要证明函数的最大值小于1即可. 【详解】（1）求导得， 又在处有极大值，，解得或， 当时，， 时，；时，，故为极大值点，符合题意， 当时，， 时，；时，，故为极小值点，不符合题意， 综上，实数的值为. （2）由（1）得， 要证，即证对成立， 令则， 令，解得或， 令，解得或， 所以函数在和上单调递增，在和上单调递减， 所以函数的极大值为和, 且，, 即对所有成立，成立. 7．（2026·安徽安庆·二模）设. (1)解不等式; (2)设，若存在，使得，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因，则， 故， 即，解得， 故原不等式的解集为. （2）因， 由，可得为奇函数. 又，因，，则 故在上单调递增. 故存在使得等价于存在使得， 等价于存在使得， 即存在使得， 因，， 则当时，取得最小值，故得. 故实数的取值范围是. 8．（2026·重庆·模拟预测）设函数（）满足恒成立. (1)求的值； (2)求证：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由于，恒成立即恒成立，，从而得到(必要条件)，然后再验证当时，通过导数求得函数最小值，再证明（充分条件）； （2）利用第一问可知，把不等式转化为证明不等式. 【详解】（1）由于，所以，恒成立即恒成立，处取最小值， ，故由（必要条件）； 验证充分性：当时，；令，得， 令，得，令，得； 故在上单调递减，在上单调递增， 故，即恒成立. 综上所述， （2）由（1）知恒成立，故； 又 ， 所以，， 故，即. 9．（2026·海南海口·一模）已知函数. (1)若在处的切线为，求的值； (2)当时，确定在上的零点个数. 【答案】(1)， (2)存在个零点 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后利用零点存在性定理可虚设零点，结合其单调性得到最小值小于，再利用零点存在性定理判断零点个数即可得解. 【详解】（1），， 由在处的切线为，则， 故，； （2）当时，，， 当时，， 当时，由与都单调递增， 故单调递增， 又， ，故存在，使得成立，即有， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时取得最小值，即， 则， 令，则， 所以， 则在上单调递减， 故， 又， 故在上存在一个零点， 又， 故在上存在2个零点. 10．（2026·山西晋城·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)令，求函数在上的零点个数． 【答案】(1) (2)个 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）由可得，令，则函数的零点个数即为直线与函数的图象的公共点的个数，利用导数分析函数的单调性，即可得出结论. 【详解】（1）当时，，则，所以，， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）由题意可得，， 令可得， 令，则函数的零点个数即为直线与函数的图象的公共点的个数， ， 令，其中， 则， 令，则， 由可得，由可得， 所以函数在处取得极大值，也是最大值， 所以，所以，即恒成立， 所以函数在上单调递减，且， 故当时，，所以，则函数在上单调递减， 当时，；当时，. 所以直线与函数的图象有且只有一个公共点， 故函数在上只有一个零点. 中档提升练 11．（2026·江西宜春·模拟预测）已知函数的图象在处的切线过点． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用函数导数求函数在某点处切线方程，切线过其它点建立方程求解即可. （2）根据题意将不等式问题等价出恒成立问题，构造新函数，结合函数导数与函数单调性求最值（极值）对参数进行分类讨论即可求解. 【详解】（1）由， 所以函数在处的切点为：， 又， 所以， 所以函数在点处的切线方程为：， 将点代入切线方程中得：，解得：. （2）由（1）得：， 所以对恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 令，因为，所以，且， 将代入中化简得： 在上恒成立， 令， 由， 令， 则，因为，所以， 即在上单调递减， 所以， 当时，， 所以在上单调递减， 所以，满足题意， 当时，存在使得，且时，， 此时在上单调递增，所以，不满足题意. 综上实数的取值范围为 12．（2026·湖北武汉·二模）已知函数的图象关于点中心对称. (1)求，； (2)在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，求角. 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）将原函数化简后，利用对称性有恒成立，代入计算解出即可得； （2）利用正弦定理将边化为角后，利用两角和的正弦公式计算可得，再利用（1）中所得可求出，结合可求出，即可得. 【详解】（1）由题 ， 由函数的图象关于点中心对称， 则， 即， 即 ， 所以，解得； （2）由（1）知， 又，所以， 即， 所以.又，所以，又，所以， 又，∴， 又，所以，所以或， ∴或，又，所以或. 13．（2026·辽宁沈阳·三模）已知函数，其中e为自然对数的底数， (1)当时，求在处的切线； (2)若为实数，，求的最小值； (3)已知，且在单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)最小值为1 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解； （2）利用导数确定单调性后可得最小值； （3），.注意，令，求出，分类讨论：时，由的单调性得出（）不可能恒成立，时，证明（）恒成立，从而可得参数范围． 【详解】（1）∵，∴， ∴，， ∴切线方程为， 整理得； （2）∵，令，，则， ∴，∴时，，时，， ∴在单调递减，在单调递增，∴的最小值为，即的最小值为1； （3）当时， ∵，∴， 令，则， 依题意，，，. 若，即时，使得时， 所以即在单调递减，∴时，不合题意， ∴，即，下面证明时符合题意. ∵，，，∴当时， 即在单调递增，∴，， 综上，实数a的取值范围为． 14．（2026·福建宁德·模拟预测）已知函数． (1)已知曲线在处的切线方程为，求和的值； (2)求证：不是函数的极值点； (3)设，，是否存在，使得函数的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2)证明见详解 (3)存在， 【分析】（1）根据导数即可求解； （2）根据、两种情况分析即可证明； （3）根据、、三种情况分析的导数，并据此求出最值，并根据题干求出对应a的值，判断是否符合情况即可． 【详解】（1），由题意， 解得，，解得． （2），且， ①当时，，令，求导得， 时，，单调递减；时，，单调递增； 故在处取得最小值，即恒成立， 因此不是极值点； ②当时，，不可能是极值点； 综上，不是函数的极值点． （3），，求导， ①，此时恒成立，在上单调递减， 最小值在处，即， 令，得，与矛盾，舍去； ②，即，此时在上为负，单调递减； 在上为正，单调递增， 最小值在处，即， 令，得，满足，成立； ③，即此时在上恒成立，单调递减， 最小值在处，即， 令，得，与矛盾，舍去； 综上，存在，使得在上的最小值为2． 15．（2026·北京·二模）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)当时，求在上的最小值； (3)若在上存在零点，求的取值范围. 【答案】(1)极大值为，没有极小值 (2)0 (3) 【分析】（1）利用导函数求函数的极值； （2）根据导函数求函数的最值； （3）根据的导数，对进行分类，结合函数的单调性和极值可得的取值范围. 【详解】（1）当时，，定义域是 求导可得 令，解得， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 极大值 单调递减 由此可得的极大值为，没有极小值. （2）当时，，定义域是 求导可得 令，定义域是，则 求导可得，当时，，因此在上是增函数， 所以，即在上是增函数，. （3），定义域是 求导可得， 令，定义域是 求导可得 分类讨论， 当时，，因此在上是减函数，； 当时，是负数，因此，在上是减函数，，不符合题目要求； 当时，，，因此存在，使得，即， 当变化时，，的变化情况如下表： 0 单调递增 极大值 单调递减 因此，只需要，即时，在上存在零点； 当时，由第一问可知在上是增函数，，不符合题目要求； 当时，，即，在上是增函数，，不符合题目要求， 综上所述，的取值范围是. 16．（2026·江苏徐州·三模）已知函数，为自然对数的底数. (1)若此函数的图象与直线交于点P，求该曲线在点P处的切线方程； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，利用导数的几何意义求切线方程； （2）整理可得，令，原题意可转化为有两个零点，求导，利用导数分析函数零点即可. 【详解】（1）因为，则， 可得，， 所以该曲线在点P处的切线方程为: ，即. （2）因为，则， 可得， 令，则，可得， 原题意可转化为有两个零点， 则， 因为，则， 若，则，可得， 可知在上单调递减，所以在上至多一个零点，不合题意； 若，令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增，则， 当趋近时，趋近正无穷，当趋近正无穷时，趋近正无穷， 若有两个零点，则， 令，则在上单调递增， 且，则不等式的解集为； 所以实数a的取值范围为：. 17．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【详解】（1）当时，，所以 所以切线方程为即， （2）， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 18．（2026·湖北武汉·二模）已知函数，其中. (1)当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）在上单调递减，在上单调递增. (2). 【分析】（1）（ⅰ）根据导数的几何意义求切线方程； （ⅱ）根据导数的正负求函数的单调区间； （2）首先确定，再根据导数求函数的最小值，根据最小值，结合极值点化简不等式，求和的取值范围. 【详解】（1）当时，，. （ⅰ）因，，所以切线方程为. （ⅱ）由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，不满足题意. 所以，此时. 显然是上的增函数，且时，，时，， 所以存在唯一正实数使得，即. 此时在上单调递减，在上单调递增. 由题意. 将代入上式整理得：，解得：. 此时，代入后. 化简得：，解得：. 令，其中. 则，所以是区间上的增函数. 所以，代入得到的取值范围是. 19．（2026·上海静安·二模）已知函数（且）． (1)当时，求函数的极值； (2)若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； (3)若函数的图像与的图像相交于相异两点和，求的取值范围． 【答案】(1)极大值，无极小值 (2)，切点坐标为 (3)的取值范围 【分析】（1）求导找单调性变化点，进而确定极值； （2）先求导得到切线斜率公式，再根据 “切点在曲线、切线上，且切线斜率等于导数” 列三个方程，联立消元求解，试根得到切点横坐标，最终算出和切点坐标； （3）将两函数交点问题转化为方程根的问题，用导数分析函数单调性，再根据零点存在性求参数范围． 【详解】（1）当时，，的定义域为， ， 令，得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以在处取极大值，无极小值． （2）， 设切点为，切线的斜率为，所以①， 因为切点同时在曲线和切线上，所以②， 由①得③，由②得④， ③④得⑤， 将⑤代入②中得，即⑥， 设，， 令， 由，得，单调递增， 又， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增， 又， 所以是的唯一零点， 即方程⑥的根，代入⑤得，切点坐标为． （3）令，即，整理得， 问题转化为在有个不同正根， 令， ， 若，则，在单调递增，最多个零点，不符合题意， 若，令，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 要使有个不同零点，需满足极小值小于（当和时，满足题意）， 所以，解得， 所以的取值范围． 20．（2026·湖南怀化·二模）已知函数． (1)设． ①求曲线在点处的切线方程； ②求在上的最小值． (2)若在上单调递减，求的取值范围． 【答案】(1)①；②． (2)． 【分析】（1）①求导，确定切线斜率即可求解，②通过二次求导，确定函数单调性，即可求解； （2）通过二次求导，结合，讨论，即可. 【详解】（1）当时，，． ①因为，， 所以曲线在点处的切线方程为． ②令，则． 当时，，，且两个等号不能同时成立， 所以，在上单调递减． 又，，所以存在，使得． 当时，；当时，． 在上单调递增，在上单调递减． 又，，， 所以在上的最小值为． （2）． 令，则， ． 若，即，则存在，使得当时，， 所以在上单调递增． 因为，所以当时，，即在上单调递增，不符合题意． 若，即，则当时，，，两个等号不能同时成立， 所以当时，． 当时，，， 所以，在上单调递减． 因为，所以当时，， 所以当时，，在上单调递减，符合题意． 综上，的取值范围为． ‌冲刺满分练 21．（2026·广东佛山·一模）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)设为两个不相等的正数，且，证明：． 【答案】(1) (2)在区间上为增函数，在区间上为减函数 (3)证明见解析 【分析】（1）先求切点，再求斜率即可. （2）讨论导数的正负，从而得到原函数的单调性. （3）分别证明不等式的两个方向，先将函数变形成的极值点偏移问题，构造对称函数即可证明，另一个方向构造新函数，研究新函数的最值. 【详解】（1），所以切点 由得，， 所以切线方程为：，即： （2）的定义域为． 由得，， 当时，；当时；当时，． 故在区间内为增函数，在区间内为减函数， （3）变形为，所以． 令．则上式变为， 于是命题转换为证明：． 因为，则有，不妨设． 由（2）知，先证． 要证：． 令， 则， ∴在区间内单调递增，所以，即． 再证． 因为，所以，所以，所以需证． 令， 所以，故在区间内单调递增． 所以．故，即． 综合可知． 22．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数． (1)当时，判断的单调性； (2)若有两个极值点． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)在上单调递增，在上单调递减； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）把代入，利用导数求出函数的单调区间即可. （2）（i）利用极值点的意义，分离参数并构造函数，求出直线与函数图象有两个交点的范围即可；（ii）由零点意义可得，再利用分析法及不等式性质，换元并构造函数，利用导数推理得证. 【详解】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 由，得；由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减. （2）（i）函数的定义域为，求导得， 由函数有两个极值点，得有两个不等的正实根， 令函数，因此直线与函数的图象有两个不同的交点， 求导得，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减，， 而，当时，，当时，， 当且仅当时，直线与函数的图象有两个不同的交点， 所以实数的取值范围是. （ii）由（i）不妨令，由，得， 两式相减得，即， 要证，即证，即证， 即证，令，则即证， 令函数，求导得， 函数在上单调递增，因此，即， 所以. 23．（2026·河北雄安·模拟预测）已知函数的定义域为. (1)求函数的值域； (2)若不等式在上恒成立，求实数的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数求出函数 在 上的最小值，从而得到值域； （2）设，将原不等式转化为关于 的恒成立问题，进一步转化为函数最值问题求解. 【详解】（1）由可知，当时，；当时，. 所以函数在上单调递减，在 上单调递增， 故当时取得最小值，且. 又因为当 且 时，；当 时，， 所以函数 的值域为. （2）设由第（1）问可知，. 原不等式可化为. 再设则由 可得 ，且. 于是原不等式可化为. 即，对一切恒成立. 设，其中，的最大值等于函数在区间上的最小值. 由. 设 ，则 所以在上单调递增. 又因为，所以当时，，从而 ；当 时，，从而 . 故函数在处取得最小值，且. 因此，实数的最大值为. 24．（2026·安徽滁州·二模）已知函数． (1)讨论的极值； (2)若有两个零点， ①求实数的取值范围； ②当取得最小值时，求实数的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)① ；② 【分析】（1）先求导，分和两种情况讨论即可求解； （2）①由（1）分和两种情况讨论，当时，的极大值为令，利用导数研究单调性结合零点存在定理即可求解； ②由①知，又，得 ，即，令，则，又，令，利用导数研究单调性，进而得当取最小值时，取最小值，即取最小值，令，利用导数研究单调性即可求解. 【详解】（1）由题意得：， 当时，恒成立，此时单调递减，无极值； 当时，令，解得， 令，解得， 故在单调递增，在单调递减． 在处取极大值，为，无极小值． 综上所述：当时，无极值； 当时，的极大值为，无极小值． （2）①由（1）知：当时，单调递减，此时最多有一个零点，不符合题意； 当时，的极大值为． 令，则， 故在单调递减，在单调递增． ，即， 又，，故在存在一个零点． 又由对数函数及幂函数性质，当足够大时，， 故在存在一个零点． ∴若有两个零点，则． ②由①知在存在一个零点，在存在一个零点，且， 所以，， 得： ． 令，则， 又， 令，则， 令，则， 在单调递增，又，故，即在单调递增． ∴当取最小值时，取最小值，即取最小值． 令，则， 令，则， 在单调递增，又，， ，使得，当时，，当时，， 且有，即，此时， 且在单调递减，在单调递增，∴在处取得最小值， 故取得最小值时． 25．（2026·江西抚州·二模）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)若在区间上单调递减，求的取值范围. (3)若，且存在两个极值点，证明：. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义即可求得切线方程； （2）根据单调性可知在上恒成立，利用分离变量法可得，进而结合对勾函数求解即可； （3）设，则.，将所证不等式转化为.，令，利用导数可求得，由此可证得结论. 【详解】（1）由题意得，， 而，则， 故曲线在点处的切线方程为. （2）， 又在区间上单调递减， 所以在上恒成立， 即在上恒成立， 即在上恒成立， 因为函数在上单调递增， 所以，所以， 故的取值范围是. （3）证明：， 因为存在两个极值点，所以 满足，即， 不妨设，则. 又 则要证， 即证， 又，则， 即证，即证. 设函数， 则， 所以在上单调递减，又，则， 所以， 即得证. 26．（2026·山西朔州·二模）已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)若，证明：当时，； (3)若，设，且，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）根据导数分和两类讨论函数的单调性； （2）（i）构造，根据导数判断函数的单调性和最小值，进而进行证明； （ⅱ）利用函数的单调性，先证得，结合（2）的不等式放缩得到，结合推出，得得证； 【详解】（1）.         ①若，则恒成立，在上单调递增.         ②若，令，得.         当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. （2）当时，.         令，则，. 由于 在单调递增，故在上单调递增. 又，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增.         故，即. 所以得证. （3）当时，，在上单调递增，且.         因为，所以，所以.         只需证，即证. 由（2）知，， 所以.         又因为，所以， 由于,所以，即. 因此，从而得证. 27．（2026·四川遂宁·二模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个极值点，求证 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求出函数的导数，通过设并分析其判别式，分情况讨论的正负，进而确定的正负，从而得到的单调性. （2）先根据极值点性质得到与关于的表达式，再代入化简，然后通过求导判断函数单调性来证明不等式. 【详解】（1）由题意知，， 函数的定义域为，设， ，令，则或， ①当，即时，对恒成立， 即，在单调递增， ②当，即或时，方程， 有两不等实根， 当时，由韦达定理，， 此时两根一正一负，当， ，所以在上单调递减， 当，，所以在上单调递增， 当时，由韦达定理，， 此时两根为正，且当， ，所以在和上单调递增， 当，，所以在上单调递减， 综上所述：当在单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，在和上单调递增，在上单调递减， （2）由（1）知有两个极值点，时， ，，， ， ， ， 令，则， 设，，其中， 所以，即单调递减，又因为， 所以，即在单调递减，所以 即，证毕. 28．（2026·甘肃金昌·三模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若的极值小于0，求实数a的取值范围； (3)当时，取得极值b，且，求数列的前n项和，并比较与的大小． 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】(1)利用斜率与导数的关系求解即可； (2)求出导函数，分和两种情况讨论的单调区间和极值情况，根据存在小于0的极值，可得，令，研究在上的单调情况以及最值即可求解； (3)根据题意知，，可得，利用错位相减求出，分为奇数和偶数两种情况讨论的范围即可与比较大小. 【详解】（1）时，，， ，， 所以曲线在点处的切线方程为，即． （2）的定义域为，， 当时，，在上单调递增，没有极值； 当时，，时，；时，，的单调递增区间为，单调递减区间为． 所以时，取得极小值，没有极大值， 因为的极值小于0，所以，所以， 令，显然在上单调递增， 因为，所以时，，所以，．即的取值范围是． （3）由题意知在处取得极值，则，即，所以， 的极值为，， 所以． 所以， ， 两式相减，得， 所以． 当n为奇数时，，当n为偶数时，设，，k是正整数， ， 记，则，， 所以，又，所以，时，取等号， 所以当n为偶数时，，时，取等号， 因为，所以． 29．（2026·河南·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的零点个数； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)当或时，1个零点；当或时，2个零点 (3) 【分析】（1）求导，可得，，结合导数的几何意义求切线方程； （2）令，原题意转化为与的交点个数，利用导数判断的图象，即可得结果； （3）整理可得恒成立，结合反函数性质可得，整理可得，结合（2）中结论运算求解. 【详解】（1）当时，则， 可得，， 所以曲线在处的切线方程为，即. （2）因为， 令，可得， 令，则转化为与的交点个数， 因为， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减，则， 当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于0； 且，可得： 当或，即或时，与有1个交点； 当，即或时，与有2个交点； 综上所述：当或时，1个零点；当或时，2个零点. （3）因为恒成立，即恒成立， 当时，，因为不恒成立，所以不满足题意； 当时，由得，即恒成立， 等价于恒成立， 因为曲线与关于直线对称，所以， 等价于，可得， 由（2）可得：，则； 综上可得：的取值范围是. 30．（2026·湖南岳阳·二模）已知函数 . (1)求函数的极值； (2)若存在两个不相等的正实数，，使得 （i）求证：； （ii）设，为正实数，证明：和中至少有一个小于. 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据导数与极值的关系求解即可. （2）（i）根据题意设，结合单调性将证明转化为证明，构造函数，根据导数与单调性、最值的关系证明即可. （ii）由（1）可知，当时，单调递增；当时，单调递减. ①当时，，故，符合题意； ②当时，若，则，符合题意；若，则.当时，，构造函数，结合导数证明即可. 【详解】（1）由题意知，的定义域为，. 令，即，解得. 故当时，，单调递增；当时，，单调递减； 故有极大值，为，无极小值. 故函数的极大值为，无极小值. （2）（i）因为，，不妨设， 要证，即证， 因为在上单调递减，故只需证. 又，只需证. 令，. ， 当时，，，故，所以在上单调递增， 因此，即. 又，所以，因此. （ii）由（1）知，当时，单调递增；当时，单调递减. ①当时，，故，符合题意； ②当时，若，则，符合题意； 若，则，即. 当时，. 令， 则， 令，则，在上单调递减， 所以，所以，在上单调递增， 则，即，. 令，则， 故若，则，符合题意. 综上，和中至少有一个小于. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 06 导数（30题） 高考一天天临近，可不能停下做数学题的手，得一直保持着“手感”，坚持动笔练习才是正理。这时候不少同学心态容易像坐过山车，就说成绩那事儿吧，要是看着分数往下掉，立马就慌了神，陷入焦虑里出不来。其实啊，成绩起起伏伏太正常不过了。你想啊，每套试卷的难度本来就不一样，咱们临场发挥也有好有坏，再加上试卷考查的知识点，说不定刚好撞到了自己掌握得不太扎实的地方，那分数有点波动不就是情理之中的事儿嘛。真犯不上因为一次考试的得失就揪着自己不放，非得学会辩证地看待这些起起落落才行。 进了考场，要是碰到没见过的新题或者啃不动的难题，可千万得沉住气。这时候不妨给自己宽宽心：我都觉得难，那别的同学大概率也跟我一样犯愁。当然了，也不能因为题目看着简单就飘了，觉得自己稳操胜券，掉以轻心可不行。咱们得拿出十二分的劲头，把自己真实的水平都发挥出来，确保会做的题一分都不丢，至于那些难题，就尽自己最大的努力，能多拿一分是一分。 常用公式 知识点01 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 (为常数) 知识点02 导数的四则运算法则 1、两个函数和的和（或差）的导数法则： . 2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则： ； . 3、由函数的乘积的导数法则可以得出， 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即 知识点03 复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积． 基础通关练 1．（2026·河南许昌·模拟预测）已知函数（，，）在处的切线方程为. (1)求的值； (2)分析函数的单调性. 2．（2026·四川成都·二模）已知，在处的切线与垂直， (1)求实数a的值； (2)求在区间上的值域． 3．（2026·四川成都·二模）已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间． 4．（2026·四川巴中·一模）已知在处取得极小值． (1)求在处的切线方程； (2)若，讨论零点的个数． 5．（2026·陕西咸阳·一模）已知函数，. (1)求函数的最大值及所对应的值； (2)若方程在上有两个不同的实根，求的取值范围及的值. 6．（2026·四川资阳·三模）已知函数在处有极大值． (1)求实数的值； (2)证明：． 7．（2026·安徽安庆·二模）设. (1)解不等式; (2)设，若存在，使得，求实数的取值范围. 8．（2026·重庆·模拟预测）设函数（）满足恒成立. (1)求的值； (2)求证：. 9．（2026·海南海口·一模）已知函数. (1)若在处的切线为，求的值； (2)当时，确定在上的零点个数. 10．（2026·山西晋城·模拟预测）已知函数，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)令，求函数在上的零点个数． 中档提升练 11．（2026·江西宜春·模拟预测）已知函数的图象在处的切线过点． (1)求； (2)若，求实数的取值范围． 12．（2026·湖北武汉·二模）已知函数的图象关于点中心对称. (1)求，； (2)在中，角，，所对的边分别为，，，若，且，求角. 13．（2026·辽宁沈阳·三模）已知函数，其中e为自然对数的底数， (1)当时，求在处的切线； (2)若为实数，，求的最小值； (3)已知，且在单调递增，求实数的取值范围. 14．（2026·福建宁德·模拟预测）已知函数． (1)已知曲线在处的切线方程为，求和的值； (2)求证：不是函数的极值点； (3)设，，是否存在，使得函数的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 15．（2026·北京·二模）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)当时，求在上的最小值； (3)若在上存在零点，求的取值范围. 16．（2026·江苏徐州·三模）已知函数，为自然对数的底数. (1)若此函数的图象与直线交于点P，求该曲线在点P处的切线方程； (2)若有两个零点，求实数a的取值范围. 17．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 18．（2026·湖北武汉·二模）已知函数，其中. (1)当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围. 19．（2026·上海静安·二模）已知函数（且）． (1)当时，求函数的极值； (2)若直线是曲线的一条切线，求的值和切点的坐标； (3)若函数的图像与的图像相交于相异两点和，求的取值范围． 20．（2026·湖南怀化·二模）已知函数． (1)设． ①求曲线在点处的切线方程； ②求在上的最小值． (2)若在上单调递减，求的取值范围． ‌冲刺满分练 21．（2026·广东佛山·一模）已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)设为两个不相等的正数，且，证明：． 22．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数． (1)当时，判断的单调性； (2)若有两个极值点． （i）求实数的取值范围； （ii）证明：． 23．（2026·河北雄安·模拟预测）已知函数的定义域为. (1)求函数的值域； (2)若不等式在上恒成立，求实数的最大值. 24．（2026·安徽滁州·二模）已知函数． (1)讨论的极值； (2)若有两个零点， ①求实数的取值范围； ②当取得最小值时，求实数的值． 25．（2026·江西抚州·二模）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程. (2)若在区间上单调递减，求的取值范围. (3)若，且存在两个极值点，证明：. 26．（2026·山西朔州·二模）已知函数，其中. (1)讨论的单调性； (2)若，证明：当时，； (3)若，设，且，证明：. 27．（2026·四川遂宁·二模）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若有两个极值点，求证 28．（2026·甘肃金昌·三模）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若的极值小于0，求实数a的取值范围； (3)当时，取得极值b，且，求数列的前n项和，并比较与的大小． 29．（2026·河南·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的零点个数； (3)若恒成立，求实数的取值范围. 30．（2026·湖南岳阳·二模）已知函数 . (1)求函数的极值； (2)若存在两个不相等的正实数，，使得 （i）求证：； （ii）设，为正实数，证明：和中至少有一个小于. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $