数列(30题)备战2026届高考数学考前一个月(解答题每日一题)

02 数列（30题） 高考一天天临近，可不能停下做数学题的手，得一直保持着“手感”，坚持动笔练习才是正理。这时候不少同学心态容易像坐过山车，就说成绩那事儿吧，要是看着分数往下掉，立马就慌了神，陷入焦虑里出不来。其实啊，成绩起起伏伏太正常不过了。你想啊，每套试卷的难度本来就不一样，咱们临场发挥也有好有坏，再加上试卷考查的知识点，说不定刚好撞到了自己掌握得不太扎实的地方，那分数有点波动不就是情理之中的事儿嘛。真犯不上因为一次考试的得失就揪着自己不放，非得学会辩证地看待这些起起落落才行。 进了考场，要是碰到没见过的新题或者啃不动的难题，可千万得沉住气。这时候不妨给自己宽宽心：我都觉得难，那别的同学大概率也跟我一样犯愁。当然了，也不能因为题目看着简单就飘了，觉得自己稳操胜券，掉以轻心可不行。咱们得拿出十二分的劲头，把自己真实的水平都发挥出来，确保会做的题一分都不丢，至于那些难题，就尽自己最大的努力，能多拿一分是一分。 常用公式 等差数列 知识点1 等差数列的定义 1、文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示． 2、符号语言：若，则数列为等差数列（通常可称为AP数列） 知识点2 等差数列的通项与性质 1、等差数列的通项公式 已知等差数列的首项为a1，公差为d，则通项公式为： 2、等差中项 如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项． 这三个数满足的关系式是A＝. 3、等差数列的性质 （1）若是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则. 特别地，当m＋n＝2k（m，n，k∈N*）时，. （2）通项公式的推广： (n，m∈N*)． 知识点3 等差数列的前n项和与性质 1、等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 2、等差数列的前n项和的常用性质 （1）设等差数列的公差为，为其前n项和，等差数列的依次项之和，，，…组成公差为的等差数列； （2）数列是等差数列⇔(a，b为常数)⇔数列为等差数列，公差为； （3）若S奇表示奇数项的和，表示偶数项的和，公差为d； ①当项数为偶数时，，，； ②当项数为奇数时，，，. （4）在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 等比数列 知识点1 等比数列的定义 1、等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示． 知识点2 等比数列的通项与性质 1、等比数列的通项公式 （1）等比数列的首项为，公比为，则通项公式为：. （2）通项公式的变形：或 2、等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列 （2）等比数列的运算性质 在等比数列中，若，则； ①特别地，时，； 当时， ②若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积， 即 知识点3 等比数列的前n项和与性质 1、等比数列的前n项和公式 已知量 首项与公比 首项，末项与公比 公式 2、等比数列前n项和的性质 （1）等比数列中，若项数为，则；若项数为，则. （2）若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． （3）若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列。 基础通关练 1．（2026·河北雄安·模拟预测）已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知数列是首项为1，公比为3的等比数列，结合等比数列通项公式运算求解； （2）可得，结合等差数列求和公式运算求解. 【详解】（1）因为，则，即， 且，可知数列是首项为1，公比为3的等比数列， 所以. （2）因为，则， 可得数列为等差数列， 所以数列的前项和. 2．（2026·山西吕梁·二模）设各项均为正数的等比数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本量法可求首项与公比，故可求通项公式； （2）求出的通项，利用裂项相消法结合不等式的性质可证题设中的不等式. 【详解】（1）设公比为，则，故， 故. （2），故， 所以. 3．（2026·辽宁大连·一模）在数列中，． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用等比数列的定义证明. （2）利用分组求和法求数列的前项和. 【详解】（1）因为， 且， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列. （2）由（1）得，. 所以. 所以 . 4．（2026·湖南怀化·一模）已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的前项和； (2)记，数列的前项积为，求的最小值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式，联立方程组即可求解； （2）利用等差数列的前项和公式，再结合复合函数的单调性即可求得最小值. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据题意列方程： 由得： ， 由得： ， 联立解得：，， 则由等差数列前项和公式可得 ； （2）由，，可得等差数列的通项公式为：， 则，即数列的前项积为： ， 因此： ， 令，， 因为函数是关于的单调递增函数，因此最小时，取得最小值， 因为的最小值在时取得，即， 代入可得： , 即的最小值为. 5．（2026·山东青岛·一模）已知为等差数列的前项和，，. (1)求； (2)求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的性质，结合等差数列前项和公式进行求解即可； （2）利用裂项相消法进行求解即可. 【详解】（1）因为数列是等差数列， 所以由， 所以公差为， 所以； （2）， 所以，因此 6．（2026·新疆·模拟预测）已知数列的前项和. (1)证明：； (2)若，求数列的前项和. 【答案】(1)证明过程见解析； (2) 【分析】（1）根据得到通项公式，进而得到； （2）得到，由错位相减法求和得到答案. 【详解】（1）当时，， 当时，， 由于，故对，， 所以，而， 故； （2）， 故①， 则②， 式子①-②得， 故. 7．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）等差数列的前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)数列的各项依次是数列的第，，，项，这些下标构成等比数列，求数列的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件求出等差数列的首项和公差，进而得到通项公式； （2）根据数列的构成特点，确定其通项公式，再计算前项和. 【详解】（1）因为是等差数列，由已知，，得， 所以，所以，所以； （2）由题意可知：，所以. 8．（2026·上海·二模）已知等差数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，． (1)求数列和数列的通项公式； (2)数列与中的所有项分别构成集合与，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前30项和. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用等比数列和等差数列通项公式可求答案； （2）列举部分项，得出数列的前30项的组成，利用求和公式可得答案. 【详解】（1）因为数列为等比数列，且， 所以. 又因为，所以， 又，则， 故等差数列的通项公式为. （2）因为，， 所以， 而. 因为在数列前30项内，不在数列前30项内， 即为的前30项，其集合为 则数列前30项和为：=1203. 9．（2026·浙江杭州·一模）已知数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，记的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由，得，从而为常数列； （2）求出通项公式，裂项相消法求和. 【详解】（1）因为，得， 所以， 数列为常数列，则， 所以，. （2）因为， 所以， 故 . 10．（2026·山东枣庄·一模）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和， 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列通项公式和求和公式列式求，进而可得通项公式； （2）整理可得，利用裂项相消法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可得：，解得， 所以数列的通项公式. （2）因为， 则. 中档提升练 11．（2026·江苏镇江·二模）已知数列的首项是，且． (1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最小整数n的值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， 所以， 又， 所以数列是以首项为，公比为的等比数列， 所以， 可得. （2）由（1）得为等比数列， 设数列的前项和为，， 所以， 构造函数令，根据增函数减去减函数为增函数，可得函数为增函数， 为整数，所以当，，不成立， 当，，成立， 所以满足条件的最小整数n的值为. 12．（2026·河北张家口·二模）已知等差数列的公差和等比数列的公比均为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1)，． (2) 【分析】（1）根据等量关系建立方程，求解出和，进而得到两个数列的通项公式；（2）使用错位相减法求解即可. 【详解】（1）依题意可知，，解得， 所以，． （2）由（1）可知，，则 ， ， 两式作差得 ， 所以． 13．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数的解集为．在数列中有，当时，记 (1)求数列的通项公式． (2)设数列满足，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由韦达定理求出的值，即可写出答案； （2）根据题意写出数列的通项公式，利用裂项相消求出，即可得证. 【详解】（1）由题意可知：是函数的两个零点. 由韦达定理可知： 所以 当时， 所以; （2）已知，由（1）可得， 当时，. 当时，. 则， 去括号可得 当时，，满足. 当时，，因为，所以，则，即. 综上，. 14．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)定义数列满足递推公式． （i）求数列的前项和； （ii）记数列，若数列的前项和为，证明：． 【答案】(1) (2)（i）（ii）证明见解析 【分析】（1）设首项为，公差为，再结合已知条件建立方程求得，再求通项公式即可； （2）（i）根据题意证明是首项为2，公比为2的等比数列，进而得，再结合错位相减法求解即可； （ii）由题意知，再结合裂项求和即可证明. 【详解】（1）解：设首项为，公差为 根据题意可得方程组，所以解得． 所以 （2）（i）解：因为 所以， 所以是首项为2，公比为2的等比数列． 所以 ， 设 所以，两式相减得： 所以． （ii）由题得． 所以 化简得． 因为，，所以． 15．（2026·河北·二模）已知是数列的前项和，，. (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用与关系可推导得到，结合等差数列通项公式可分别得到为奇数和为偶数时的通项公式，进而得到； （2）根据等差数列求和公式可得，采用裂项相消法可求得，进而证得结论. 【详解】（1）当时，，， ，又，； ，即，； 则当为奇数时，；当为偶数时，； . （2）由（1）得：， ， ， ，. 16．（2026·陕西榆林·三模）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求的前项和. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义，分类讨论进行求解即可； （2）根据等比数列前项和公式，分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）因为，所以， 所以， 所以构成以2为公比的等比数列， 也构成以2为公比的等比数列， 又，所以， 所以，， 所以； （2）当为偶数时，中奇数项和偶数项均为项， 所以 . 当为奇数时，中奇数项有项，偶数项有项， 所以 . 所以. 17．（2026·四川德阳·三模）已知数列中，． (1)求； (2)设，证明：数列是等比数列； (3)记，求数列的前n项和． 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3) 【分析】（1）由递推公式可得答案； （2）证明为常数即可完成证明； （3）由（2）分析可得，，然后由裂项求和法可得答案. 【详解】（1）数列中，， 则，； （2）由，则，则， 从而是以为首项，公比为2的等比数列； （3）由（2）， 则 ， 从而. 18．（2026·四川攀枝花·二模）已知数列的前项和为，，． (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式： (2)求数列的前项和； (3)若，求的取值范围． 【答案】(1)证明见详解； (2) (3) 【分析】（1）由与关系结合题意可得，据此可完成证明；进而求出的通项公式； （2）由（1）结合错位相减法可得答案； （3）根据（1）得到，根据作差法得到数列的单调性，再求范围即可. 【详解】（1）已知，故，当时，. 因为，代入， 整理得. 因此是首项为、公比为的等比数列， 所以，故. （2） 两边同乘​得 得，， 整理得. （3）由​得，设​，对任意正整数恒成立， 只需的最大值. ， 当时，，即； 当时，，即， 故最大值为. 因此的取值范围为. 19．（2026·云南玉溪·二模）已知数列中，． (1)证明：数列是等差数列； (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，若，依次连接点，得到折线，求由该折线与直线所围成的区域的面积； (3)记，若恒成立，求实数的最大值． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3). 【分析】（1）两边同时除以即可证明数列是等差数列. （2）记梯形 的面积为 ，根据题意得 ，再根据错位相减法求和即可得面积 ; （3）结合题意代入原式可得，再根据恒成立问题转化为 ，最后根据数列的单调性求 的最小值即可得答案. 【详解】（1）因为，两边同时除以， 所以所以是首项为 ，公差为 1的等差数列. （2）过 向 轴作垂线，垂足分别为 ， 由（1）得 ，则 . 记梯形 的面积为 . 由题意得 所以 ① 又 ② ①②得 所以 . 所以由该折线与直线 所围成的区域的面积 . （3）已知 ，则 所以. 由 恒成立，即 恒成立， 即 恒成立，由 单调递增， 故当 时， ，故 ，即 ， 所以 的最大值为 . 20．（2026·山东聊城·二模）记数列的前项和为，若满足，，且． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由，得，将这两个等式作差结合等差中项法可证得结论成立，在等式中令，可求出的值，结合可求得该数列的公差，再利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）求得，利用裂项求和法可求得的表达式，得出，结合题意得出对恒成立，于是得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【详解】（1）由①，得②， ②−①得③，则④， ④−③得，即， 所以是等差数列，设其公差为， 由，得，所以． 因为，所以公差， 所以． （2） ， 所以． 由对恒成立，得，即． 设，由对恒成立， 得，解得或，故的范围为． ‌冲刺满分练 21．（2026·辽宁辽阳·二模）已知数列，是的前n项和． (1)若，，求证：； (2)求的值； (3)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）计算可得其等于，即可得证； （2）结合（1）中所得，利用分组求和计算即可得解； （3）利用分组求和可得，则；构造函数，利用导数计算可得对任意恒成立，则可得，计算可得，结合可证得，利用不等式性质可得当时，有，计算可得，则可得，即可得证. 【详解】（1） ， 又，，故； （2）由（1）可得， 故 ； （3） ， 又， 故， 故，故； 令，则， 故在上单调递减，故， 即对任意恒成立，则， 则， 又，故； 当时， ， 则，即有， 则， 则， 又，则， 综上所述：可得. 22．（2026·重庆·模拟预测）已知等差数列的公差为4，其前8项之和为144．等比数列的公比为，且． (1)求和的通项公式； (2)记． （i）证明：数列是等比数列； （ii）证明：． 【答案】(1)， (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用等差数列前项和公式，代入已知条件求出首项，即可得到的通项；利用等比数列通项公式，代入得到关于的方程，结合解出，进而得到的通项； （2）（i）：求出的表达式，再分别计算的表达式，然后计算，若该比值为非零常数，则可证明数列是等比数列； （ii）根据（1），（2）（i）的结果化简的表达式，结合放缩法，将其放缩为可求和的数列形式，再对放缩后的数列求和. 【详解】（1）设数列的前项和为，则， 又，. （2）（i）， 又， ， ∵对任意，有，且， ∴数列是以为首项，4为公比的等比数列． （ii）由，， 则， 由于， 又． 从而，证毕． 23．（2026·天津·一模）已知是等差数列，是等比数列.. (1)求和的通项公式： (2)若，记由的所有可能取值组成集合. （i）求集合中的最大元素； （ii）已知为给定的大于1的自然数，求证：当时，，并求集合中所有大于0的元素之和. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析，. 【分析】（1）设等差数列公差、等比数列公比，列方程组，求解公比和公差，得出两数列通项公式. （2）(i) 要使取最大值 ，需每一项 (因 ，正项和最大)，构造该和式，采用错位相减法消去等比项，化简计算后，得出集合 中的最大元素. (ii)先证明 时和为正，通过放缩与前 项和对比得出；再证 ) 时和必为负，进而得和为正的充要条件，接着证明正元素个数为 且互不相同,最后利用前 项正负抵消的性质，计算所有大于 0 的元素之和. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，由， 得：，即， 所以，解得：或（舍），， 从而，； （2）（i）当时，取最大值， 此时，①， ②， ①-②得： ， 故，即集合中的最大元素为； （ii）首先证明，当，即时，， 当时，， 由（i）可知， 所以，， 反之，若，则必有，否则若，则 ， 故当且仅当时，， 再证明集合中有个大于0的元素， 首先，当，即时，对于任意， 都有和两种可能，故有种不同形式， 下面证明这种不同形式的结果互不相同， 任取其中的两种不同形式，记为， ， 因为为两种不同形式，则必存在，使得， 将其中最大的记为，不妨设， 若，则显然， 若，则 ， 故，因此集合中有个大于0的元素， 将这个元素记为，其中给定， 满足的元素个数为个，满足的元素个数也为， 因此 ， 所以集合中所有大于0的元素之和为. 24．（2026·安徽安庆·二模）设数列的前项和为，且，若，记数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)求； (3)记集合，若的子集个数为8，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）借助与的关系及等比数列定义计算即可得； （2）借助裂项相消法计算即可得； （3）借助等比数列求和公式计算可得关于的不等式有个正整数解，构造数列，借助作差法可判断该数列单调性，即可得该数列中最大的三个数，即可得解. 【详解】（1）当时，，则， 即，当时，，即， 又，则有，故对任意恒成立， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故； （2）， 故 ； （3）， 则 ， 由的子集个数为8，则中有个元素， 故关于的不等式有个正整数解， 令，则， ， 则数列在时单调递增，在时单调递减， 即， 又， 当时，， 故的三个正整数解为、、， 故，又，， 故. 25．（2026·河北邢台·二模）已知等差数列 满足 (1)求数列的通项公式； (2)若当时，求 的前n项和 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据等差数列的通项公式，再结合已知条件列出关于首项和公差的方程组，进而求解出和，最后得到数列的通项公式即可； （2）先根据（1）中求出的的通项公式，判断时的正负性，再根据的分段表达式求出的值即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，由，， 可得： 解得： 所以：， 故数列的通项公式为：. （2）由可知， 当时，，此时， 当时，，所以， 当时，，所以， 故 因为每一组括号内的和为公差，共5组，因此：， 因为，代入得：， 又因为， 所以， 所以当时，，是一个首项为，公差为的等差数列， 所以，前项和为： . 26．（2026·北京昌平·一模）设数列，若存在公比为的等比数列，使得，其中，则称数列为数列的“等比分割数列”． (1)写出数列的一个“等比分割数列”； (2)若数列的通项公式为，其“等比分割数列”的首项为1，求数列的公比的取值范围； (3)若数列的通项公式为，且数列存在“等比分割数列”，求的最大值． 【答案】(1).（答案不唯一） (2) (3)5 【分析】（1）由于是公比为2的等比数列，因此“等比分割数列”的公比也取2，易得结论； （2）利用定义得出，然后确定出的最小值即得； （3）用反证法证明时，数列不存在“等比分割数列”，然后对找出“等比分割数列”数列即证． 【详解】（1）由，可以取，得.（答案不唯一）； （2）由得， 所以， 令， 则单调递减，所以的最小值是， 所以公比的取值范围是； （3）首先证明时，数列不存在“等比分割数列”， 假设当时，数列存在“等比分割数列”， 则． 易知， 因为且，则，而，所以， 又因为，所以， 与矛盾， 所以当时，数列不存在“等比分割数列”． 所以， 当时，数列，存在首项为，公比为的数列满足： , 所以时，数列存在“等比分割数列”， 所以的最大值是5. 27．（2026·陕西西安·模拟预测）首项为的无穷数列同时满足下面两个条件：①；②． (1)证明：中相邻两项不可能同时为非负数； (2)记，若对任意成立，求的通项公式； (3)对于给定的正整数，求的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)当为奇数时，的最大值为；当为偶数时，的最大值为. 【分析】（1）假设数列中存在、同时为非负数，分两种情况、讨论，结合不等式的基本性质推出矛盾，即可证得结论成立； （2）根据数列的单调性可知数列的偶数项、、、、是单调递增数列，进而得出，，即可推导出数列为等差数列，确定该数列的首项和公差，即可得出数列的通项公式； （3）由（1）知，当时，，推导出；当时，，推导出，然后分为奇数、偶数两种情况讨论，结合并项求和法以及不等式的基本性质可求得的最大值. 【详解】（1）假设数列中存在、同时为非负数， 因为， 若，则有，与已知矛盾． 若，则有，与已知矛盾． 所以假设不成立，即中相邻两项不可能同时为非负数． （2）因为，． 因为对任意成立，所以为单调递增数列． 即数列的偶数项、、、、是单调递增数列． 由题意计算得出，， 因为数列单调递增，所以当时，恒成立， 所以时，，，即，． 所以，， 则， 又，， 所以是以，公差为的等差数列，. （3）由（1）知，当时，， 根据，有，所以， 当时，， 根据，有，所以， 所以当为奇数时，，则的最大值为； 当为偶数时，，的最大值为. 28．（2026·天津和平·一模）已知，等比数列的前项和为，正项等差数列的首项为5，且成等比数列． (1)求数列与数列的通项公式： (2)设，，．求证：若，满足，且有序实数对，则． (3)设，求集合的所有元素之和． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据等差、等比数列的概念和公式求通项. （2）结合（1）的结论，先明确和的表达式，再利用反证法进行证明. （3）先分析集合中元素的特征，表示出元素和. 方法一：利用错位相减求和法求和； 方法二：先化简得，利用错位相减求和法求，利用公式法求，即可得. 【详解】（1）设等比数列公比为，故． 设等差数列公差为， 由已知有， 解得，即， 则或（舍）， 则. （2）不妨先设， ， 可知时也成立， 假设，即成立， 若，不妨设， 则等价于， 因等式左侧不是3的倍数，等式右侧为3的倍数，所以左式与右式不相等，与假设矛盾， 所以假设不成立，此时．同理时，； 若，则，不妨设， 因为， 故 ．同理时，． 综上当时，． （3）先证取不同的的值各不相同，不妨设， 所以， 而， 所以， 由（2）可知，对不同的取值，均不相同． 故． 考虑中含有个个个， 因此． 法（一） ， 两式相减得： ， 所以，． 法（二） ， 设， ， 两式作差， ， 所以，，又， 所以，. 29．（2026·贵州六盘水·一模）若正项数列满足对于给定的正数，，，（为的前n项和），则称为“稳定数列”. (1)若为“稳定数列”，且，求的取值范围. (2)若，证明：数列为“稳定数列”. (3)若为“稳定数列”，证明，． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）结合定义，由得，代入n=2对应的不等式，解一元二次不等式即可得到​的取值范围； （2）先化简得，对前n项和做裂项放缩，得到放缩范围后，代入证明对任意正整数n都有； （3）利用变形，结合稳定数列定义对差式放缩，再累加放缩后的不等式，分别证明不等式的左右两边. 【详解】（1）由题意，是稳定数列，故对，. 已知，则​（），对，有， 解左边不等式，得正根​； 解右边不等式，得正根​， 故的取值范围为. （2）当时，，满足， 当时，对于任意正整数，有，则， 则由，可得， 又由，可得, 所以， 则， 所以数列为“稳定数列”. （3）因为为“稳定数列”，所以，则，， 则，由，可得， 由为“稳定数列”可得，则， 当时，，则， 因为，所以，故，. 由得，结合，则，则， 当时，，则， 当时，，故， 从而，. 30．（2026·天津河北·一模）对于数列，如果存在一个正整数m，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期． (1)设数列满足，，，且数列是周期为3的周期数列，求常数的值； (2)设数列的前n项和为，且．若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由； (3)设数列满足，，，，数列的前n项和为，试问是否存在p，q，使对任意的，都有成立，若存在，求出p，q的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)是周期为2的周期数列，理由见解析 (3)存在，，． 【分析】（1）根据题意列式计算即可求解； （2）先利用求得或，由得出，求出数列的通项公式即可判断出数列是否为周期数列； （3）先由数列满足，推出数列以及数列是周期为的周期数列，求出数列的前项，即可求出数列的前项和以及数列的前项和的取值范围，即可求出对应的、的取值范围. 【详解】（1）因为数列是周期为3的周期数列， 当，时，，， 因为，，解得，或， 经检验，时，，时，，，成立； 时，，时，，，不成立，舍去； 所以． （2）当时，，又，得； 当时，， 化简，得． 即，或． 由，有， 所以数列为公比为等比数列，即， 所以对任意都成立， 即当时，是周期为2的周期数列． （3）假设存在p、q，满足题设． 所以化简，得， 又，则． 所以是周期为3的周期数列，所以的前3项分别为2，3，． 则，， 当时，； 当时，，因为数列单调递减，所以， 当时，，； 综上所述：，为使恒成立，只要，， 所以，． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 02 数列（30题） 高考一天天临近，可不能停下做数学题的手，得一直保持着“手感”，坚持动笔练习才是正理。这时候不少同学心态容易像坐过山车，就说成绩那事儿吧，要是看着分数往下掉，立马就慌了神，陷入焦虑里出不来。其实啊，成绩起起伏伏太正常不过了。你想啊，每套试卷的难度本来就不一样，咱们临场发挥也有好有坏，再加上试卷考查的知识点，说不定刚好撞到了自己掌握得不太扎实的地方，那分数有点波动不就是情理之中的事儿嘛。真犯不上因为一次考试的得失就揪着自己不放，非得学会辩证地看待这些起起落落才行。 进了考场，要是碰到没见过的新题或者啃不动的难题，可千万得沉住气。这时候不妨给自己宽宽心：我都觉得难，那别的同学大概率也跟我一样犯愁。当然了，也不能因为题目看着简单就飘了，觉得自己稳操胜券，掉以轻心可不行。咱们得拿出十二分的劲头，把自己真实的水平都发挥出来，确保会做的题一分都不丢，至于那些难题，就尽自己最大的努力，能多拿一分是一分。 常用公式 等差数列 知识点1 等差数列的定义 1、文字语言：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母表示． 2、符号语言：若，则数列为等差数列（通常可称为AP数列） 知识点2 等差数列的通项与性质 1、等差数列的通项公式 已知等差数列的首项为a1，公差为d，则通项公式为： 2、等差中项 如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项． 这三个数满足的关系式是A＝. 3、等差数列的性质 （1）若是公差为d的等差数列，正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则. 特别地，当m＋n＝2k（m，n，k∈N*）时，. （2）通项公式的推广： (n，m∈N*)． 知识点3 等差数列的前n项和与性质 1、等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 2、等差数列的前n项和的常用性质 （1）设等差数列的公差为，为其前n项和，等差数列的依次项之和，，，…组成公差为的等差数列； （2）数列是等差数列⇔(a，b为常数)⇔数列为等差数列，公差为； （3）若S奇表示奇数项的和，表示偶数项的和，公差为d； ①当项数为偶数时，，，； ②当项数为奇数时，，，. （4）在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 等比数列 知识点1 等比数列的定义 1、等比数列的定义 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示． 知识点2 等比数列的通项与性质 1、等比数列的通项公式 （1）等比数列的首项为，公比为，则通项公式为：. （2）通项公式的变形：或 2、等比中项：如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，即G是a与b的等比中项a，G，b成等比数列 （2）等比数列的运算性质 在等比数列中，若，则； ①特别地，时，； 当时， ②若数列是有穷数列，则与首末两项“等距离”的两项的积等于首末两项的积， 即 知识点3 等比数列的前n项和与性质 1、等比数列的前n项和公式 已知量 首项与公比 首项，末项与公比 公式 2、等比数列前n项和的性质 （1）等比数列中，若项数为，则；若项数为，则. （2）若等比数列的前n项和为，则，，…成等比数列（其中，，…均不为0）． （3）若一个非常数列的前n项和，则数列为等比数列。 基础通关练 1．（2026·河北雄安·模拟预测）已知数列满足，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 2．（2026·山西吕梁·二模）设各项均为正数的等比数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：. 3．（2026·辽宁大连·一模）在数列中，． (1)求证：数列为等比数列； (2)设，求数列的前项和． 4．（2026·湖南怀化·一模）已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的前项和； (2)记，数列的前项积为，求的最小值. 5．（2026·山东青岛·一模）已知为等差数列的前项和，，. (1)求； (2)求数列的前项和. 6．（2026·新疆·模拟预测）已知数列的前项和. (1)证明：； (2)若，求数列的前项和. 7．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）等差数列的前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)数列的各项依次是数列的第，，，项，这些下标构成等比数列，求数列的前项和. 8．（2026·上海·二模）已知等差数列的前项和为，数列是公比为2的等比数列，且，． (1)求数列和数列的通项公式； (2)数列与中的所有项分别构成集合与，将集合中的所有元素从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前30项和. 9．（2026·浙江杭州·一模）已知数列. (1)求数列的通项公式； (2)设，记的前项和为，证明：. 10．（2026·山东枣庄·一模）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求的通项公式； (2)设，求数列的前项和， 中档提升练 11．（2026·江苏镇江·二模）已知数列的首项是，且． (1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最小整数n的值． 12．（2026·河北张家口·二模）已知等差数列的公差和等比数列的公比均为，，． (1)求数列和的通项公式； (2)求数列的前n项和． 13．（2026·四川广安·模拟预测）已知函数的解集为．在数列中有，当时，记 (1)求数列的通项公式． (2)设数列满足，数列的前项和为，求证：． 14．（2026·江苏扬州·模拟预测）已知数列为等差数列，． (1)求数列的通项公式； (2)定义数列满足递推公式． （i）求数列的前项和； （ii）记数列，若数列的前项和为，证明：． 15．（2026·河北·二模）已知是数列的前项和，，. (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和为，证明：. 16．（2026·陕西榆林·三模）已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； (2)求的前项和. 17．（2026·四川德阳·三模）已知数列中，． (1)求； (2)设，证明：数列是等比数列； (3)记，求数列的前n项和． 18．（2026·四川攀枝花·二模）已知数列的前项和为，，． (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式： (2)求数列的前项和； (3)若，求的取值范围． 19．（2026·云南玉溪·二模）已知数列中，． (1)证明：数列是等差数列； (2)如图，在平面直角坐标系xOy中，若，依次连接点，得到折线，求由该折线与直线所围成的区域的面积； (3)记，若恒成立，求实数的最大值． 20．（2026·山东聊城·二模）记数列的前项和为，若满足，，且． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． ‌冲刺满分练 21．2026·辽宁辽阳·二模）已知数列，是的前n项和． (1)若，，求证：； (2)求的值； (3)求证：． 22．（2026·重庆·模拟预测）已知等差数列的公差为4，其前8项之和为144．等比数列的公比为，且． (1)求和的通项公式； (2)记． （i）证明：数列是等比数列； （ii）证明：． 23．（2026·天津·一模）已知是等差数列，是等比数列.. (1)求和的通项公式： (2)若，记由的所有可能取值组成集合. （i）求集合中的最大元素； （ii）已知为给定的大于1的自然数，求证：当时，，并求集合中所有大于0的元素之和. 24．（2026·安徽安庆·二模）设数列的前项和为，且，若，记数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)求； (3)记集合，若的子集个数为8，求的取值范围. 25．（2026·河北邢台·二模）已知等差数列 满足 (1)求数列的通项公式； (2)若当时，求 的前n项和 26．（2026·北京昌平·一模）设数列，若存在公比为的等比数列，使得，其中，则称数列为数列的“等比分割数列”． (1)写出数列的一个“等比分割数列”； (2)若数列的通项公式为，其“等比分割数列”的首项为1，求数列的公比的取值范围； (3)若数列的通项公式为，且数列存在“等比分割数列”，求的最大值． 27．（2026·陕西西安·模拟预测）首项为的无穷数列同时满足下面两个条件：①；②． (1)证明：中相邻两项不可能同时为非负数； (2)记，若对任意成立，求的通项公式； (3)对于给定的正整数，求的最大值． 28．（2026·天津和平·一模）已知，等比数列的前项和为，正项等差数列的首项为5，且成等比数列． (1)求数列与数列的通项公式： (2)设，，．求证：若，满足，且有序实数对，则． (3)设，求集合的所有元素之和． 29．（2026·贵州六盘水·一模）若正项数列满足对于给定的正数，，，（为的前n项和），则称为“稳定数列”. (1)若为“稳定数列”，且，求的取值范围. (2)若，证明：数列为“稳定数列”. (3)若为“稳定数列”，证明，． 30．（2026·天津河北·一模）对于数列，如果存在一个正整数m，使得对任意的都有成立，那么就把这样一类数列称作周期为m的周期数列，m的最小值称作数列的最小正周期，以下简称周期． (1)设数列满足，，，且数列是周期为3的周期数列，求常数的值； (2)设数列的前n项和为，且．若，试判断数列是否为周期数列，并说明理由； (3)设数列满足，，，，数列的前n项和为，试问是否存在p，q，使对任意的，都有成立，若存在，求出p，q的取值范围；若不存在，说明理由． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $