专题04 数学广角-数与形（必备知识&小升初奥数+高频考点）全国通用-2026年小升初数学精讲练通关秘籍

**基本信息** 聚焦数形结合思想，通过32题三难度分层训练，系统构建从图形观察到规律归纳的解题方法体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识清单|1|以形助数直观化、以数解形精确化|构建数形结合思想框架| |例题精讲|2|图形分割观察法、规律归纳公式法|从具体图形到抽象规律推导| |随堂演练|29|跟踪/巩固/拓展三层递进|覆盖图形计数、公式应用等高频考法|

2026年小升初奥数高频考点专题讲练通关秘籍•全国通用 专题04 数学广角-数与形（必备知识&小升初奥数+高频考点） 【典例精讲+随堂演练（三难度分层练） 共32题】 【原卷版】 知●识●清●单 数形结合是一种非常重要的数学思想，数与形是有联系的，在一定条件下可以相互转化。运用数形结合发现规律，即借助图形分析并观察数的运算中的规律。以形助数：借助图形的特点可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直观的启示。以数解形：将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论。 例●题●精●讲 例题精讲题1 （25-26六年级上·浙江宁波·期末）观察如图，把大正方形看作“1”，请计算下面算式的结果。 ＝( )。 名师点拨 把大正方形看作整体“1”： 第一次去掉​，剩下​； 第二次去掉，剩下​； 第三次去掉，剩下​； …… 每一次去掉的都是当前剩下部分的一半，所以最后剩下的部分，就是最后一次要去掉的那个分数，也就是​。 解答 由分析可得到：＝ 考点再现 重点考查数形结合思想的应用，通过把抽象的分数减法运算转化为直观的正方形面积分割与剩余问题，帮助理解“连续减半”的过程。 例题精讲题2 （25-26六年级上·浙江温州·期末）用同样大小的黑、白两种正方形如下图所示的方式摆图案，并按照规律一直摆下去。 第4个图形中白色方块有( )个，第( )个图形中白色方块有20个，第个图形中白色方块有( )个。 名师点拨 先观察前三个图形中白色方块的个数，发现从第二个图形开始，每个图形都比前一个多3个，由此总结出第n个图形白色方块数量的公式为5＋3×（n－1）；接着将n＝4代入公式，求出第4个图形的白色方块数；再令公式结果等于20，通过解方程求出对应的图形序号。 解答 第1个图形白色方块有5个 第2个图形白色方块有5＋3＝8个 第3个图形白色方块有8＋3＝11个 …… 第n个图形白色方块：5＋3×（n－1） ＝5＋3n－3 ＝（3n＋2）个 将n＝4代入公式 3×4＋2＝12＋2＝14（个） 即第4个图形白色方块有14个。 令3n＋2＝20 解：3n＋2－2＝20－2 3n＝18 3n÷3＝18÷3 n＝6 即第6个图形中白色方块有20个。 随●堂●演●练 跟踪演练 1．（2025·湖北黄石·小升初真题）用下面的图形（    ）可直观得出“1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝52”。 A．B． C． D． 2．（25-26六年级上·贵州遵义·期末）“转化”是一种重要的数学思想，下面4个数学实例中，有（    ）个运用了“转化思想”。 ①如图，用推导出三角形的面积计算公式。 ②如图，用推导出平行四边形的面积计算公式。 ③如图，用推导出是。 ④如图，用推导出圆面积计算公式。 A．①② B．①②③ C．①②④ 3．（25-26六年级上·河南焦作·期末）按下图所示的规律拼图形，其中第①个图形有4个圆点，第②个图形有8个圆点，第③个图形有12个圆点，按照这一规律，第6个图形有（    ）个圆点。 A．28 B．26 C．30 D．24 4．（25-26六年级上·湖北黄冈·期末）麻城福白菊种植园用花盆摆成三角形图案，第1层1盆，第2层2盆，第3层3盆……以此类推，摆成n层的三角形图案，花盆总数是1＋2＋3＋…＋n。当n＝20时，花盆总数是（    ）盆。 A．210 B．200 C．190 D．220 5．（2025·湖北黄石·小升初真题）下面的每一个图形都是由△、□、○中的两个组成的。观察各个图形，根据图形下面的数，找出规律。 6．（25-26六年级上·浙江杭州·期末）图中阴影部分的面积是用大正方形的面积减小正方形的面积得到的，可以转化成长方形来计算。请阅读①后，将②③④中的算式补充完整。 （____＋____）×（____－____）   ___________   ___________         7．（23-24六年级下·全国·随堂练习）观察下图，想一想。 （1）依次排下去，第7幅图有多少个棋子？第15幅图呢？ （2）第n幅图有多少个棋子？ 8．观察下列点阵，在□里面画出第六个点阵，并写出它的算式。 9．（25-26六年级下·江苏淮安·期中）如图，观察由梯形拼成的图形和所给表中的数据后回答问题。 梯形个数 1 2 3 4 5 … 图形周长 10 14 18 22 26 … (1)当梯形的个数为10个时，图形的周长是( )。 (2)当图形的周长为82时，梯形的个数是( )个。 10．（24-25六年级上·北京海淀·期末）“长桌宴”是独特又古老的传统民俗文化，如图是幸福村“长桌宴”摆放桌椅的方式。（桌子用表示，椅子用表示。） (1)按照这样摆放桌椅的方式，6张桌子需要配多少把椅子？ (2)某次家庭聚餐共有22人参加长桌宴，按照这样摆放桌椅的方式需要多少张桌子？ (3)你能发现摆放桌椅的方式有什么规律吗，请用含有字母的式子表示出桌、椅个数之间的规律。 巩固训练 11．（25-26六年级上·山东青岛·期末）观察前四幅图的规律，想一想图⑤阴影部分的形状，它的面积相当于图中（    ）个圆的面积。（图中所有圆的大小相等） A．个 B．3个 C．个 12．（25-26六年级上·内蒙古乌兰察布·期末）梦梦用小圆片摆放图形来研究数的规律。图①中小圆片围成三角形。其个数分别是3，6，9…称为三角形数。图②中小圆片围成正方形，其个数分别是4，8，12…称为正方形数。下列各数中既是三角形数又是正方形数的是。（    ） A．2220 B．2021 C．2022 D．2023 13．（25-26六年级上·山东济宁·期末）研学用餐时，一张桌子坐4人，两张拼起来坐6人，三张拼起来坐8人，（    ）张桌子拼起来可坐40人。 A．18 B．19 C．20 D．21 14．（23-24六年级下·湖北省直辖县级单位·期中）用火柴棒搭房子（如图），搭3间用了13根，照这样搭502间房子要用( )根火柴棒。 15．（2025·湖南长沙·小升初真题）如图中每个黑色的圆片周围都有6个白色圆片。 照这样摆下去，6个黑色圆片周围一共有( )个白色圆片，如果黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，那么有( )个黑色圆片。 16．（25-26六年级上·河北保定·期末）先观察下面每个图形中小长方形个数与所列算式之间的关系，再填一填。 (1)2＋4＋6＋8＋10＝( )×( )。 (2)2＋4＋6＋8＋10＋…＋( )＝10×11。 (3)我的发现：从( )起，n个( )相加，和等于( )。 17．（23-24六年级上·湖南张家界·期末）照这样画下去，第10个图形中黑色方块有10个，白色方块有53个。( )（判断对错） 18．（2025六年级下·全国·专题练习）看图想一想有什么规律，再计算。 计算1＋3＋5＋7＋…＋39。 19．（25-26六年级上·山东济南·期末）中国传统建筑中“三交六椀菱花”门窗装饰，以三根棂条精准交叉构成六瓣菱花，花心以竹木钉点缀。这种几何图案通过60度角完美分割空间，形成严谨的对称美，既展现了传统木作的精密计算，又赋予建筑以韵律感，是中国古代工匠对数学之美的极致表达。 (1)如上图，第1幅图有8个交点，第2幅图有13个交点，第3幅图有( )个交点，照这样的规律，第9幅图有( )个交点。 (2)根据上面的规律，请你推测一下有378个交点的是第几幅图？ 20．（25-26六年级·全国·随堂练习）连接正方形四条边的中点可组成一个新的正方形。 （1）按照图形的变化规律把表格填写完整。 正方形的个数 1 2 3 4 … n 直角三角形的个数 0 … （2）海海想得到36个直角三角形，他应该画多少个正方形？ 拓展提高 21．（25-26六年级上·浙江杭州·期末）古希腊数学家毕达哥拉斯认为“万物皆数”，如通过点排列成不同的几何图形，提出了“三角形数、正方形数、长方形数”等。照下面各图这样排列下去，图（    ）可以表示连续非零偶数的和。 A． B． C． D． 22．（25-26六年级上·河北秦皇岛·期末）（    ）。 A． B． C． 23．（2025·河北保定·小升初模拟）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”下列关于数与形的表述错误的是（    ）。 A．图1大正方形的面积是1m2 B．图3中最大的正方形的面积是 C．图2表示商品打八折 D．从图4中可以看出乙比甲跑得快 24．（25-26六年级上·湖北武汉·期末）小美做一个剪纸片的游戏：有一张三角形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片；从这3张中任选一张，重复上述操作，得到4张纸片；……，如此下去。若最后得到10张纸片，其中有5张三角形纸片，2张四边形纸片，2张五边形纸片，则还有1张多边形纸片的边数是( )。 25．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）2012年西湖烟花大会燃放点，工人叔叔设计一个空心方阵，最外层每边用了26个燃放点，最里层每边放了22个燃放点，那么这个方阵共放了______个燃放点。 26．（2025·河北石家庄·小升初真题）简便运算。                     27．（25-26六年级上·湖北武汉·期末）本学期在数学广角单元我们体会了“数形结合”思想方法的魅力，我们可以用形巧妙的解决有关数的问题，比如聪聪在算这个数的计算问题时，就借用形来思考。 (1)他发现________。 (2)仔细观察上面的等式，是不是任意两个数的平方差都具有这样的特征呢？请举两个例子算一算，验证你的发现。 举例1： 举例2： (3)如果和表示两个数，这样的规律可以表示为( )×( ) (4)根据以上结论计算： 28．（2025·湖北武汉·小升初真题）奥地利数学家皮克（Pick）发现，在网格中，顶点均在格点的多边形面积S可以由多边形内部格点数i和边界格点数b计算得到，请你观察下列图形，探索S与i和b之间的关系。 (1)观察图形，补全表格。 图形 ① ② ③ ④ ⑤ i 0 2 2 6 ______ b 6 10 6 6 ______ S 2 6 4 ______ 12 (2)观察①、③、④可以发现，每增加i时，面积增加______。 观察②和③，④和⑤可以发现，b每增加1时，面积增加______。 根据上述发现，可得：S＝______。（用含i和b的式子表示） (3)根据你发现的结论计算图形的面积。 29．（24-25六年级上·重庆云阳·期末）在生产和生活中，我们经常把一些同样的圆柱捆扎起来，下面我们就来探究怎样求捆扎后的绳子长度。假设每个圆柱的直径都是10厘米，当圆柱的放置方式是“单层平放”时，捆扎后的横截面如下图所示。计算出6个圆柱“单层平放”时捆扎后的绳子长度，填在表格中。（接头处忽略不计） 圆柱的个数 1 2 3 … 6 绳子的长度（厘米） 31.4 51.4 71.4 … （    ） 30．（2024·湖南株洲·小升初真题）小明用黑白两色的小三角形绘制了一个三角图案，前四行已给出。 （1）前四行中黑色小三角形所占的比例是__________%。 （2）如果小明要画出第五行，请问在第五行中黑色小三角形所占的比例是__________%。 （3）如果小明要画出更多行，他认为无论画多少行，整个大三角形中，黑色小三角形所占的比例都不会超过50%。你支持他的说法吗，为什么？ 试卷第2页，共121页 试卷第2页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年小升初奥数高频考点专题讲练通关秘籍•全国通用 专题04 数学广角-数与形（必备知识&小升初奥数+高频考点） 【典例精讲+随堂演练（三难度分层练） 共32题】 【解析版】 知●识●清●单 数形结合是一种非常重要的数学思想，数与形是有联系的，在一定条件下可以相互转化。运用数形结合发现规律，即借助图形分析并观察数的运算中的规律。以形助数：借助图形的特点可以将许多抽象的数学概念和数量关系形象化、简单化，给人以直观的启示。以数解形：将图形问题转化为代数问题，以获得精确的结论。 例●题●精●讲 例题精讲题1 （25-26六年级上·浙江宁波·期末）观察如图，把大正方形看作“1”，请计算下面算式的结果。 ＝( )。 名师点拨 把大正方形看作整体“1”： 第一次去掉​，剩下​； 第二次去掉，剩下​； 第三次去掉，剩下​； …… 每一次去掉的都是当前剩下部分的一半，所以最后剩下的部分，就是最后一次要去掉的那个分数，也就是​。 解答 由分析可得到：＝ 考点再现 重点考查数形结合思想的应用，通过把抽象的分数减法运算转化为直观的正方形面积分割与剩余问题，帮助理解“连续减半”的过程。 例题精讲题2 （25-26六年级上·浙江温州·期末）用同样大小的黑、白两种正方形如下图所示的方式摆图案，并按照规律一直摆下去。 第4个图形中白色方块有( )个，第( )个图形中白色方块有20个，第个图形中白色方块有( )个。 名师点拨 先观察前三个图形中白色方块的个数，发现从第二个图形开始，每个图形都比前一个多3个，由此总结出第n个图形白色方块数量的公式为5＋3×（n－1）；接着将n＝4代入公式，求出第4个图形的白色方块数；再令公式结果等于20，通过解方程求出对应的图形序号。 解答 第1个图形白色方块有5个 第2个图形白色方块有5＋3＝8个 第3个图形白色方块有8＋3＝11个 …… 第n个图形白色方块：5＋3×（n－1） ＝5＋3n－3 ＝（3n＋2）个 将n＝4代入公式 3×4＋2＝12＋2＝14（个） 即第4个图形白色方块有14个。 令3n＋2＝20 解：3n＋2－2＝20－2 3n＝18 3n÷3＝18÷3 n＝6 即第6个图形中白色方块有20个。 随●堂●演●练 跟踪演练 1．（2025·湖北黄石·小升初真题）用下面的图形（    ）可直观得出“1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝52”。 A．B． C． D． 【答案】C 【名师点拨】根据“1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝52”，找出图形中不同颜色正方形数量分布与算式“先递增到5再递减”的规律一致，且整体构成边长为5的正方形（面积为52）的选项。 【解答】A．图形从颜色和数量分布可以看作是1＋3＋5＋7＋5＋3＋1，不能对应题目中的算式，因此选项A错误； B．图形从颜色和数量分布可以看作是1＋2＋6＋6＋10，不能对应题目中的算式，因此选项B错误； C．图形中不同颜色正方形数量呈现“从1开始递增到5，再递减回1”的分布，完全对应算式“1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1”；同时这些正方形组成一个边长为5的大正方形，其面积为52，因此C选项正确。 D．图形中不同颜色正方形数量与“先递增到5再递减”的规律不对应，因此D选项错误。 可直观得出“1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝52” 的图形是。 2．（25-26六年级上·贵州遵义·期末）“转化”是一种重要的数学思想，下面4个数学实例中，有（    ）个运用了“转化思想”。 ①如图，用推导出三角形的面积计算公式。 ②如图，用推导出平行四边形的面积计算公式。 ③如图，用推导出是。 ④如图，用推导出圆面积计算公式。 A．①② B．①②③ C．①②④ 【答案】C 【名师点拨】①把两个相同的三角形拼成一个平行四边形，拼成的平行四边形的底等于三角形的底，平行四边形的高等于三角形的高，根据平行四边形面积＝底×高，进而推导出三角形面积＝底×高÷2，运用了“转化思想”方法。 ②把平行四边形拼成一个长方形，长方形的长等于平行四边形的底，长方形的宽等于平行四边形的高；根据长方形面积＝长×宽；进而推导出平行四边形的面积＝底×高，运用了“转化思想”方法。 ③是通过图形的方法来理解和推导这个等式，并没有将问题进行转化，没有运用“转化思想”方法。 ④将圆的面积转化为长方形的面积，长方形的长等于圆的周长的一半，宽等于圆的半径；圆的周长＝，周长一半＝；圆的面积＝长方形面积＝，即圆的面积＝运用到“转化”思想方法。 【解答】根据分析可知，①②④个运用了“转化思想”。 3．（25-26六年级上·河南焦作·期末）按下图所示的规律拼图形，其中第①个图形有4个圆点，第②个图形有8个圆点，第③个图形有12个圆点，按照这一规律，第6个图形有（    ）个圆点。 A．28 B．26 C．30 D．24 【答案】D 【名师点拨】第①个图形有4个圆点，4＝1×4；第②个图形有8个圆点，8＝2×4；第③个图形有12个圆点，12＝3×4……由此可知，圆点的个数＝第几个图形就用几×4。 【解答】6×4＝24（个） 第6个图形有24个圆点。 4．（25-26六年级上·湖北黄冈·期末）麻城福白菊种植园用花盆摆成三角形图案，第1层1盆，第2层2盆，第3层3盆……以此类推，摆成n层的三角形图案，花盆总数是1＋2＋3＋…＋n。当n＝20时，花盆总数是（    ）盆。 A．210 B．200 C．190 D．220 【答案】A 【名师点拨】求从1到20的连续自然数之和，可以用配对求和法：把首尾的数两两配对，让每对的和相等，再用每对的和乘对数求出总数。 【解答】1＋2＋3＋……＋19＋20 ＝（1＋20）＋（2＋19）＋（3＋18）＋ ……＋（10＋11） ＝（1＋20）×（20÷2） ＝21×10 ＝210（盆） 当n＝20时，花盆总数是210盆。 5．（2025·湖北黄石·小升初真题）下面的每一个图形都是由△、□、○中的两个组成的。观察各个图形，根据图形下面的数，找出规律。 【答案】； 【名师点拨】第一个图：11是两个三角形，一个在另一个的里面； 第二个图：32表示一个正方形，一个圆形，圆形在正方形的里面； 第三个图：21表示一个圆形，一个三角形，三角形在圆的里面； 第四个图：13表示一个三角形，一个正方形，正方形在三角形的里面； 由此可知：数字1表示三角形，2表示圆形，3表示正方形；而且第二个数字表示的图形在第一个的里面。 【解答】23表示一个圆形，一个正方形在圆形里面； 12表示一个三角形，一个圆形在三角形里面。 6．（25-26六年级上·浙江杭州·期末）图中阴影部分的面积是用大正方形的面积减小正方形的面积得到的，可以转化成长方形来计算。请阅读①后，将②③④中的算式补充完整。 （____＋____）×（____－____）        ___________          ___________ 【答案】 6 4 6 4 （6＋3）×（6－3） （a＋b）×（a－b） 【名师点拨】正方形的面积＝边长×边长即边长的平方。观察图①，并结合图②、③、④的情况，第一步算式都是依据：阴影部分的面积＝用大正方形的面积－小正方形的面积，第二步算式：将阴影部分图形切拼转化成长方形来计算，转化后的长方形的面积＝（大正方形的边长＋小正方形边长）×（大正方形的边长－小正方形边长）。图形规律特征是大小正方形边长的平方之差等于大小正方形边长的和与大小正方形边长的差相乘；据此解答。 【解答】                    7．（23-24六年级下·全国·随堂练习）观察下图，想一想。 （1）依次排下去，第7幅图有多少个棋子？第15幅图呢？ （2）第n幅图有多少个棋子？ 【答案】（1）49个；225个（2）（n2）个 【名师点拨】观察棋子的数目与图的序数之间的关系，发现：第1幅图：1＝12个棋子；第2幅图：1＋3＝4＝22个棋子；第3幅图：1＋3＋5＝9＝32个棋子；第4幅图：1＋3＋5＋7＝16＝42个棋子，……，据此总结出一般规律，解答即可。 【解答】第1幅图：1＝12个棋子 第2幅图：1＋3＝4＝22个棋子 第3幅图：1＋3＋5＝9＝32个棋子 第4幅图：1＋3＋5＋7＝16＝42个棋子 …… 所以第7幅图有72＝49个棋子 第15幅图有152＝225个棋子 第n幅图：（n2）个棋子 【考点再现】本题考查数与形，解答本题的关键是找到棋子的数目与图的序数之间的关系。 8．观察下列点阵，在□里面画出第六个点阵，并写出它的算式。 【答案】见详解；1＋2＋3＋4＋5＋6 【名师点拨】根据图可知，第几个点阵，就在前一个点阵的基础上，在最下面加几个点即可，由此即可画出第六个点阵；第一个点阵：1个点；第二个点阵：1＋2＝3个点，第三个点阵：1＋2＋3＝6个点，第四个点阵：1＋2＋3＋4＝10个点，由此即可知道第n个点阵的点数：1＋2＋3＋……＋n，据此写出第六个点阵的算式。 【解答】由分析可得，第六个点阵如图如下： 1＋2＋3＋4＋5＋6＝21 【考点再现】主要考查了学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力。 9．（25-26六年级下·江苏淮安·期中）如图，观察由梯形拼成的图形和所给表中的数据后回答问题。 梯形个数 1 2 3 4 5 … 图形周长 10 14 18 22 26 … (1)当梯形的个数为10个时，图形的周长是( )。 (2)当图形的周长为82时，梯形的个数是( )个。 【答案】(1)46 (2)19 【名师点拨】（1）观察图形及表格可知，每增加一个梯形，图形的周长就增加4。据此总结出计算周长的规律表达式，求出梯形个数为10时，图形的周长。 （2）让上述表达式的结果等于82，求出梯形的个数。 【解答】（1）根据图形及表格可知： 当梯形个数为1时，周长为10，10＝1×4＋6； 当梯形个数为2时，周长为14，14＝2×4＋6； 当梯形个数为3时，周长为18，18＝3×4＋6； 当梯形个数为4时，周长为22，22＝4×4＋6； 当梯形个数为5时，周长为26，26＝5×4＋6； …… 由此可知，当梯形个数为n时，周长为n×4＋6＝4n＋6。 将n＝10代入上述表达式，得到当梯形个数为10时，图形的周长为： 4×10＋6 ＝40＋6 ＝46 （2）当图形的周长为82时，即： 4n＋6＝82 解：4n＝82－6 4n＝76 n＝76÷4 n＝19 因此，当图形的周长为82时，梯形的个数是19个。 10．（24-25六年级上·北京海淀·期末）“长桌宴”是独特又古老的传统民俗文化，如图是幸福村“长桌宴”摆放桌椅的方式。（桌子用表示，椅子用表示。） (1)按照这样摆放桌椅的方式，6张桌子需要配多少把椅子？ (2)某次家庭聚餐共有22人参加长桌宴，按照这样摆放桌椅的方式需要多少张桌子？ (3)你能发现摆放桌椅的方式有什么规律吗，请用含有字母的式子表示出桌、椅个数之间的规律。 【答案】(1)14把 (2)10张 (3)（表示椅子的把数，表示桌子的张数）（字母不唯一） 【名师点拨】根据图示可知：每增加一张桌子，椅子就增加2把； 图1椅子有4把：4＝2＋2×1； 图2椅子有6把：6＝2＋2×2； 图3椅子有8把：8＝2＋2×3； …… 即桌、椅个数之间的规律：椅子的把数＝2＋桌子的张数×2。 所以当有张桌子时，椅子的数量为：把。 （1）当时代入计算； （2）计算时的值； （3）根据发现的规律，用字母表示桌椅的关系。 【解答】（1） （把） 答：6张桌子需要配14把椅子。 （2） （张） 答：按照这样摆放桌椅的方式需要10张桌子。 （3）答：桌、椅个数之间的规律：椅子的把数＝2＋桌子的张数×2。 设桌子张，椅子把。那么（字母不唯一）。 巩固训练 11．（25-26六年级上·山东青岛·期末）观察前四幅图的规律，想一想图⑤阴影部分的形状，它的面积相当于图中（    ）个圆的面积。（图中所有圆的大小相等） A．个 B．3个 C．个 【答案】A 【名师点拨】所有圆的大小相等，阴影部分均为半径相等的扇形，扇形的面积和仅由圆心角的总和决定。观察前四幅图，阴影扇形的圆心角总和等于中间多边形的内角和，根据多边形内角和公式可推导出阴影面积的变化规律，再代入图⑤的条件计算即可。 【解答】半径相等的扇形，圆心角之和每增加360°，面积就增加1个整圆的面积。 找规律： 图①：3个圆，中间为三角形，内角和180°，阴影面积＝180°÷360°＝​个圆； 图②：4个圆，中间为四边形，内角和360°，阴影面积＝360°÷360°＝1个圆； 图③：5个圆，中间为五边形，内角和540°，阴影面积＝540°÷360°＝​个圆； 图④：6个圆，中间为六边形，内角和720°，阴影面积＝720°÷360°＝2个圆； 规律：若图形中有m个圆，阴影面积＝个圆的面积。 计算图⑤的阴影面积：图⑤有7个圆，代入规律得：阴影面积＝＝个圆的面积。 12．（25-26六年级上·内蒙古乌兰察布·期末）梦梦用小圆片摆放图形来研究数的规律。图①中小圆片围成三角形。其个数分别是3，6，9…称为三角形数。图②中小圆片围成正方形，其个数分别是4，8，12…称为正方形数。下列各数中既是三角形数又是正方形数的是。（    ） A．2220 B．2021 C．2022 D．2023 【答案】A 【名师点拨】个数分别是3，6，9…称为三角形数，则三角形数是3的倍数；个数分别是4，8，12…称为正方形数，则正方形数是4的倍数，既是三角形数又是正方形数，这个数是3和4的公倍数，根据求出最小公倍数的方法：两个数的公有质因数与每一个数的独有质因数的连乘积，就是两个数的最小公倍数；如果两个数为倍数关系，最小公倍数为较大的那个数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是两个数的乘积；求出3和4的最小公倍数，再分析选项的数是不是3和4的最小公倍数的倍数，即可解答。 【解答】3和4为互质数，最小公倍数是3×4＝12。 A．2220；2220÷12＝185，2220能被12整除，符合题意。 B．2021；2021÷12＝168……5，2021不能被12整除，不符合题意。 C．2022；2022÷12＝168……6，2022不能被12整除，不符合题意。 D．2023；2023÷12＝168……7，2023不能被12整除，不符合题意。 既是三角形数又是正方形数的是2220。 13．（25-26六年级上·山东济宁·期末）研学用餐时，一张桌子坐4人，两张拼起来坐6人，三张拼起来坐8人，（    ）张桌子拼起来可坐40人。 A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【名师点拨】先找桌子数量和可坐人数的规律： 1张桌子坐4人：， 2张桌子坐6人：， 3张桌子坐8人：， 总结规律：张桌子拼起来，可坐人数为， 据此答题。 【解答】当可坐人数为40人时，代入公式： 19张桌子拼起来可坐40人。 14．（23-24六年级下·湖北省直辖县级单位·期中）用火柴棒搭房子（如图），搭3间用了13根，照这样搭502间房子要用( )根火柴棒。 【答案】2009 【名师点拨】根据图示，搭1间房子需要火柴棒1＋4根；搭2间房子需要火柴棒1＋4×2＝9（根）；搭3间房子需要火柴棒1＋4×3＝13（根）；……；搭n间房子需要火柴棒1＋4n根。据此求搭502间房子需要的火柴棒根数即可。 【解答】1＋4×502＝1＋2008＝2009（根）即这样搭502间房子要用2009根火柴棒。 15．（2025·湖南长沙·小升初真题）如图中每个黑色的圆片周围都有6个白色圆片。 照这样摆下去，6个黑色圆片周围一共有( )个白色圆片，如果黑色圆片周围一共摆有42个白色圆片，那么有( )个黑色圆片。 【答案】 26 10 【名师点拨】1个黑圆时，白圆有6个； 2个黑圆时，白圆有6＋4＝6＋4×1＝6＋4×（2－1）＝10个； 3个黑圆时，白圆有6＋4＋4＝6＋4×2＝6＋4×（3－1）＝14个； …… n个黑圆时，白色圆片数为： 6＋4×（n－1） ＝6＋4n－4 ＝（4n＋2）个。 当白色圆片个数为42个时，即4n＋2＝42，解关于n的方程即可。 【解答】当有n个黑圆片时，白色圆片个数为（4n＋2）个 当n＝6时， 4n＋2 ＝4×6＋2 ＝24＋2 ＝26（个） 解：4n＋2＝42 4n＝42－2 4n＝40 n＝40÷4 n＝10 16．（25-26六年级上·河北保定·期末）先观察下面每个图形中小长方形个数与所列算式之间的关系，再填一填。 (1)2＋4＋6＋8＋10＝( )×( )。 (2)2＋4＋6＋8＋10＋…＋( )＝10×11。 (3)我的发现：从( )起，n个( )相加，和等于( )。 【答案】(1) 5 6 (2)20 (3) 2 连续偶数 【名师点拨】（1）通过图形展示的排列，推导规律。第1个算式：2＝1×2，是1个偶数（2），结果＝加数个数×（加数个数＋1）。第2个算式：2＋4＝2×3，是2个连续偶数（2、4）相加，结果＝加数个数×（加数个数＋1）。第3个算式：2＋4＋6＝3×4，是3个连续偶数（2、4、6）相加，结果＝加数个数×（加数个数＋1）。即，连续偶数相加的和＝偶数的个数×（偶数的个数＋1）。 （2）由规律可知，连续偶数相加时，最后一个偶数的大小＝偶数的个数×2。 （3）根据（1）中的结论：连续偶数相加的和＝偶数的个数×（偶数的个数＋1），将偶数的个数设为n个，将n代入公式计算求解，计算时，连续的偶数必须从2起。 【解答】（1）2、4、6、8、10一共有5个连续偶数， 所以，2＋4＋6＋8＋10＝5×6。 （2）10×11表示有10个偶数，则最后一个偶数为：。 2＋4＋6＋8＋10＋…＋20＝10×11。 （3）从2起，n个连续偶数相加，和等于。 17．（23-24六年级上·湖南张家界·期末）照这样画下去，第10个图形中黑色方块有10个，白色方块有53个。( )（判断对错） 【答案】√ 【名师点拨】由图可知，第1个图形一共有9个方块，可以写成：3×[3＋2×（1－1）]个方块； 第2个图形一共有15个方块，可以写成：3×[3＋2×（2－1）]个方块； 第3个图形一共有21个方块，可以写成：3×[3＋2×（3－1）]个方块； … 第n个图形一共有3×[3＋2×（n－1）]个方块； 第1个图形一共有1个黑色方块，第2个图形一共有2个黑色方块，第3个图形一共有3个黑色方块……则第n个图形有n个黑色方块； 白色方块的数量＝方块的总数量－黑色方块的数量，据此求出第10个图形中黑色方块和白色方块，再进行比较，即可解答。 【解答】根据分析可知，第10个图形方块有： 3×[3＋2×（10－1）] ＝3×[3＋2×9] ＝3×[3＋18] ＝3×21 ＝63（个） 黑色方块有10个； 白色方块有：63－10＝53（个） 照这样画下去，第10个图形中黑色方块有10个，白色方块有53个。 原题干说法正确。 故答案为：√ 18．（2025六年级下·全国·专题练习）看图想一想有什么规律，再计算。 计算1＋3＋5＋7＋…＋39。 【答案】400 【名师点拨】由1＝12，1＋3＝22，1＋3＋5＝32，1＋3＋5＋7＝42，发现规律：连续奇数的和等于奇数个数的平方；据此规律解答。 【解答】1＋3＋5＋7＋…＋39 ＝202 ＝400 19．（25-26六年级上·山东济南·期末）中国传统建筑中“三交六椀菱花”门窗装饰，以三根棂条精准交叉构成六瓣菱花，花心以竹木钉点缀。这种几何图案通过60度角完美分割空间，形成严谨的对称美，既展现了传统木作的精密计算，又赋予建筑以韵律感，是中国古代工匠对数学之美的极致表达。 (1)如上图，第1幅图有8个交点，第2幅图有13个交点，第3幅图有( )个交点，照这样的规律，第9幅图有( )个交点。 (2)根据上面的规律，请你推测一下有378个交点的是第几幅图？ 【答案】(1) 18 48 (2)75幅 【名师点拨】（1）根据题意，已知第1幅图有8个交点，第2幅图有13个交点，先计算两幅图交点数的差，得出每增加一幅图交点数增加5个，据此总结出第n幅图交点数的计算方法，再代入第3幅和第9幅图的序号计算结果。 （2）根据已知的交点总数378个，结合总结的规律，先减去固定多出的3个交点，再用所得的差÷每幅图增加的5个交点，即可求出对应的图序号。 【解答】（1）计算相邻两幅图交点数的差值：13－8＝5（个），可知每增加1幅图，交点数增加5个。 总结规律：第n幅图的交点数＝8＋（n－1）×5，化简后为5n＋3。 计算第3幅图交点数：5×3＋3＝18（个） 计算第9幅图交点数：5×9＋3＝48（个） （2）378－3＝375（个） 375÷5＝75 答：有378个交点的是第75幅图。 20．（25-26六年级·全国·随堂练习）连接正方形四条边的中点可组成一个新的正方形。 （1）按照图形的变化规律把表格填写完整。 正方形的个数 1 2 3 4 … n 直角三角形的个数 0 … （2）海海想得到36个直角三角形，他应该画多少个正方形？ 【答案】（1）4；8；12；4n－4 （2）10个 【名师点拨】（1）观察图形可知，当有1个正方形时，直角三角形个数为0。当有2个正方形时，是在第一个正方形基础上连接四条边中点得到第二个正方形， 此时多了4个直角三角形，直角三角形个数为4。当有3个正方形时，是在第二个正方形基础上再连接四条边中点得到第三个正方形，又多了4个直角三角形，直角三角形个数为（个）。当有4个正方形时，同样是在第三个正方形基础上操作，直角三角形个数为（个）。以此类推，当有n个正方形时，直角三角形个数 比正方形个数少1个4，所以直角三角形个数为。 （2）由（1）得到直角三角形个数与正方形个数n的关系为。当直角三角形个数为36时，可列出方程，求出n的值即可。 【解答】（1）当有2个正方形时，直角三角形的个数为4； 当有3个正方形时，直角三角形的个数为8； 当有4个正方形时，直角三角形的个数为12 当有n个正方形时，直角三角形的个数为。 正方形的个数 1 2 3 4 n 直角三角形的个数 0 4 8 12 （2）       解：                                                              答：海海想得到36个直角三角形，他应该画10个正方形。 拓展提高 21．（25-26六年级上·浙江杭州·期末）古希腊数学家毕达哥拉斯认为“万物皆数”，如通过点排列成不同的几何图形，提出了“三角形数、正方形数、长方形数”等。照下面各图这样排列下去，图（    ）可以表示连续非零偶数的和。 A． B． C． D． 【答案】C 【名师点拨】不能被2整除的数叫做奇数，能被2整除的数叫做偶数。 A．最开始是1个点，第二层有2个点，第三层有3个点，第四层有4个点，也就是点的个数：1＋2＋3＋4个点；不可以表示连续偶数的和。 B．最开始是1个点，第二层有3个点，第三层有5个点，第四层有7个点，也就是点的个数：1＋3＋5＋7个点；不可以表示连续偶数的和。 C．最开始是2个点，第二层有4个点，第三层有6个点，第四层有8个点，也就是点的个数：2＋4＋6＋8个点；可以表示连续偶数的和。 D．最开始是1个点，第二层有4个点，第三层有7个点，第四层有10个点，也就是点的个数：1＋4＋7＋10个点；不可以表示连续偶数的和。 【解答】 根据分析可知，图可以表示连续非零偶数的和。 故答案为：C 【考点再现】本题主要是根据点的个数，找到连续的偶数点的个数即可，要注意每个选项围成的基本图形是什么，根据基本图形确定点数。 22．（25-26六年级上·河北秦皇岛·期末）（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【名师点拨】观察算式，前半部分是从1到15的连续奇数，共8个数，根据“从1开始的连续n个奇数之和等于n2”，和为82；后半部分是从1到11的连续奇数，共6个数，和为62。由于序列中数字1、3、5、7、9、11各出现两次，13、15各出现一次，而前半部分包含这些数字各一次，后半部分包含1、3、5、7、9、11各一次，因此总和恰好等于前半部分和与后半部分和相加，即82＋62。 【解答】 ＝（1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15）＋（11＋9＋7＋5＋3＋1） ＝82＋62 ＝64＋36 ＝100 所以82＋62。 故答案为：A 【考点再现】利用“从1开始的连续n个奇数之和等于n2”的规律，是解题的关键。 23．（2025·河北保定·小升初模拟）数学家华罗庚说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”下列关于数与形的表述错误的是（    ）。 A．图1大正方形的面积是1m2 B．图3中最大的正方形的面积是 C．图2表示商品打八折 D．从图4中可以看出乙比甲跑得快 【答案】D 【名师点拨】求正方形面积，可以根据正方形面积公式＝边长边长，长方形面积公式＝长宽得出答案，折扣＝现价原价，代入数据得出答案；比较速度，可以根据路程时间＝速度，得出答案。 【解答】A．小正方形边长为1dm，大正方形的边长为1×10＝10（dm）＝1m，面积为1×1＝1（m²），大正方形的面积是1m²； B．图3中大正方形边长为：a＋b，它的面积可以看成两个长方形的面积加上两个正方形的面积，即大正方形的面积＝ab＋ab＋aa＋bb＝a²＋2ab＋b²； C．原价看作5份，现价看作4份，折扣等于4÷5＝0.8，即打八折； D．图4中，路程相同时，乙用的时间更长，根据路程÷时间＝速度，甲比乙跑得快； 故答案为：D 24．（25-26六年级上·湖北武汉·期末）小美做一个剪纸片的游戏：有一张三角形的纸片，用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片；从这2张中任选一张，再用剪刀沿一条不过任何顶点的直线将其剪成了2张纸片，这样共有3张纸片；从这3张中任选一张，重复上述操作，得到4张纸片；……，如此下去。若最后得到10张纸片，其中有5张三角形纸片，2张四边形纸片，2张五边形纸片，则还有1张多边形纸片的边数是( )。 【答案】6 【名师点拨】初始有1张三角形纸片，每剪1次纸片数增加1，最终得到10张纸片，所以总共剪了10减1等于9次；接着根据剪纸规律，每次剪纸会使总边数增加4，初始三角形总边数为3，因此9次剪纸后所有纸片的总边数为3＋9×4＝39；然后分别计算5个三角形、2个四边形、2个五边形的边数和；最后用总边数减去已知边数和，即可求出未知多边形的边数。 【解答】剪纸次数：10－1＝9（次） 总边数增量：9×4＝36 最终总边数：3＋36＝39 已知边数和：5×3＋2×4＋2×5 ＝15＋8＋10 ＝33 未知多边形边数：39－33＝6 25．（2025·重庆沙坪坝·小升初真题）2012年西湖烟花大会燃放点，工人叔叔设计一个空心方阵，最外层每边用了26个燃放点，最里层每边放了22个燃放点，那么这个方阵共放了______个燃放点。 【答案】276 【名师点拨】根据方阵的特点，相邻两层每边的点数相差2，每层有4边，所以相邻两层每层总点数相差8，最外层每边26个点，26减去2得24，表示最外层相邻的内一层每边24个点，24减去2刚好等于22，所以方阵有3层，用每层每边的点数乘4再减去4个重复的点等于每层总点数，可先求出外层总点数，再根据相邻两层的总点数相差8，分别求出里面两层每层总点数，再把每层总点数相加即可。 【解答】26－2＝24（个） 24－2＝22（个） 所以方阵一共有三层； 最外层点数： 26×4－4 ＝104－4 ＝100（个） 100－8＝92（个） 92－8＝84（个） 100＋92＋84 ＝192＋84 ＝276（个） 这个方阵共放了 276 个燃放点。 26．（2025·河北石家庄·小升初真题）简便运算。                           【答案】144；； 10000；1023 【名师点拨】（1）分母相同分子相加，分子部分前两项都有144，把48×72也化成144×24的形式，再根据乘法分配律计算结果。 （2）分子相同，则要观察分母的规律：，，，…，，，，，…，，再利用乘法分配律计算结果。 （3）将19961997看作是19961996＋1，将19971997看作是19971996＋1，然后根据乘法分配律化简进行计算。 （4）观察数字规律可知，，，…，，后一个数都是前一个数的2倍，所以原式就是，逐项相加计算即可。 【解答】（1） （2） （3） （4） 【考点再现】数字多且数值大，首先观察数字规律，再灵活运用所学定律进行简便运算。 27．（25-26六年级上·湖北武汉·期末）本学期在数学广角单元我们体会了“数形结合”思想方法的魅力，我们可以用形巧妙的解决有关数的问题，比如聪聪在算这个数的计算问题时，就借用形来思考。 (1)他发现________。 (2)仔细观察上面的等式，是不是任意两个数的平方差都具有这样的特征呢？请举两个例子算一算，验证你的发现。 举例1： 举例2： (3)如果和表示两个数，这样的规律可以表示为( )×( ) (4)根据以上结论计算： 【答案】(1) (2)见详解 (3) (4)4051 【名师点拨】（1），把转化为两个正方形的面积之差，即图中阴影部分的面积，而阴影部分又可以转化为一个长方形，长方形的长等于5＋3，长方形的宽等于5－3，，则阴影部分的面积为，由此可知， ； （2）举例如下：，，先按照四则混合运算的顺序求出各式的结果，再利用发现的规律求出各式的结果，观察计算结果是否相等，计算结果相等，说明任意两个数的平方差都具有这样的特征； （3）根据发现的规律得出结论：任意两个数的平方差都等于这两个数的和与这两个数的差的乘积； （4）先把转化为，再按照四则混合运算的顺序求出结果。 【解答】（1）分析可知， 。 （2）举例1： ＝ ＝13 ＝ ＝ ＝13 举例2： ＝ ＝196 ＝ ＝ ＝196 因为13＝13，196＝196，所以任意两个数的平方差都具有这样的特征。 （3）如果和表示两个数，这样的规律可以表示为 。 （4） ＝ ＝ ＝4051 28．（2025·湖北武汉·小升初真题）奥地利数学家皮克（Pick）发现，在网格中，顶点均在格点的多边形面积S可以由多边形内部格点数i和边界格点数b计算得到，请你观察下列图形，探索S与i和b之间的关系。 (1)观察图形，补全表格。 图形 ① ② ③ ④ ⑤ i 0 2 2 6 ______ b 6 10 6 6 ______ S 2 6 4 ______ 12 (2)观察①、③、④可以发现，每增加i时，面积增加______。 观察②和③，④和⑤可以发现，b每增加1时，面积增加______。 根据上述发现，可得：S＝______。（用含i和b的式子表示） (3)根据你发现的结论计算图形的面积。 【答案】(1)见详解 (2) 1 /0.5 i＋b－1 (3)21 【名师点拨】（1）先观察图形⑤，数出内部格点数i和边界格点数b；观察前几个图形，可以把图形④当作是两个相等的梯形，上底是1，下底是3，高是2，计算图形④的面积S。 （2）对比①、③、④的i和S的变化量，得出每增加i时面积的变化值；对比②和③、④和⑤的b和S的变化量，得出b每增加1时面积的变化值；再结合这两个变化规律，推导S关于i和b的表达式。 （3）先确定目标图形的内部格点数i和边界格点数b，再代入（2）中推导的公式计算面积。 【解答】（1） 图形 ① ② ③ ④ ⑤ i 0 2 2 6 6 b 6 10 6 6 14 S 2 6 4 8 12 （2）①：图形①、③、④的边界格点b都是6，每增加i，面积对应增加1； 即观察①、③、④可以发现，每增加i时，面积增加1。 ②：图形②和③的内部格点i都是2，b增加4时面积增加2，因此b每增加1，面积增加​； 观察②和③，④和⑤可以发现，b每增加1时，面积增加。 ③：2＝0＋×6－1＝3－1 6＝2＋×10－1＝2＋5－1 12＝6＋×14－1＝6＋7－1 根据上述发现，可得：S＝i＋b－1。 （3）由图可知i＝15，b＝14： S＝15＋×14－1 ＝15＋7－1 ＝21 答：图形的面积为21。 29．（24-25六年级上·重庆云阳·期末）在生产和生活中，我们经常把一些同样的圆柱捆扎起来，下面我们就来探究怎样求捆扎后的绳子长度。假设每个圆柱的直径都是10厘米，当圆柱的放置方式是“单层平放”时，捆扎后的横截面如下图所示。计算出6个圆柱“单层平放”时捆扎后的绳子长度，填在表格中。（接头处忽略不计） 圆柱的个数 1 2 3 … 6 绳子的长度（厘米） 31.4 51.4 71.4 … （    ） 【答案】131.4 【名师点拨】圆的周长＝； 观察图形可知：第一幅图1个圆柱捆扎绳子长度等于它的底面圆的周长（即：一个圆周长），3.14×10＝31.4（厘米） 第二幅图2个圆柱时跟第一个图形相比捆扎绳子长度增加了两条直径（即：一个圆周长＋直径×2）； 3.14×10＋10×2 ＝31.4＋20 ＝51.4（厘米） 第三幅图3个圆柱时跟第二个图形相比捆扎绳子长度也增加了两条直径，（即：一个圆周长＋直径×4） 3.14×10＋10×4 ＝31.4＋40 ＝71.4（厘米） 第n幅图有n个圆柱，捆扎绳子长度为：一个圆周长＋直径×2（n－1） 【解答】结合分析可知： 6个圆柱“单层平放”时捆扎后的绳子长度 ＝一个圆周长＋直径×2×（6－1） ＝一个圆周长＋直径×2×5 ＝一个圆周长＋直径×10 3.14×10＋10×10 ＝31.4＋100 ＝131.4（厘米） 圆柱的个数 1 2 3 … 6 绳子的长度（厘米） 31.4 51.4 71.4 … 131.4 【考点再现】观察图中每增加一个圆柱，捆扎的绳子长度就多两条直径是本题的关键。 30．（2024·湖南株洲·小升初真题）小明用黑白两色的小三角形绘制了一个三角图案，前四行已给出。 （1）前四行中黑色小三角形所占的比例是__________%。 （2）如果小明要画出第五行，请问在第五行中黑色小三角形所占的比例是__________%。 （3）如果小明要画出更多行，他认为无论画多少行，整个大三角形中，黑色小三角形所占的比例都不会超过50%。你支持他的说法吗，为什么？ 【答案】（1）62.5 （2）55.6 （3）不支持；理由见详解 【名师点拨】（1）前四行中，黑色小三角形共有10个，白色小三角形共有6个。求黑色小三角形所占的比例用黑色小三角形个数除以黑、白三角总个数，结果用百分数表示。 （2）根据三角形的排列规律可知，第几行就有几个黑色三角形，白色三角形个数比黑色三角形个数少1，据此规律可知第五行中黑色三角形有5个，白色三角形有4个，两种三角形共有9个，据此解答。 （3）根据三角形的排列规律可知，第行有黑色三角形个，有白色三角形个，那么整个大三角形中黑色三角形总共是个，白色三角形总共是个，据此计算出黑色小三角形占所有三角形个数的百分比，再与50%比较，据此解答。 【解答】（1）10÷（10＋6）×100% ＝10÷16×100% ＝0.625×100% ＝62.5% 故前四行中黑色小三角形所占的比例是62.5%。 （2）5÷（5＋4）×100% ＝5÷9×100% ≈0.556×100% ＝55.6% 故第五行中黑色小三角形所占的比例是55.6%。 （3）黑色三角形： 黑、白三角形： 黑色三角形在整个三角形中的占比： 因为，分子上加上1，那么无论取什么值，都大于（50%）。所以无论画多少行，整个大三角形中黑色小三角形所占的比例都大于50%，故不支持小明的说法。 【考点再现】本题考查了图形中三角形的排列规律及百分比的计算方法，难点是含有字母算式的计算及化简。 试卷第2页，共121页 试卷第2页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $