10.5 离散型随机变量及其分布列、均值、方差 课件-2027届高考数学一轮复习

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布 第五讲　离散型随机变量及其分布列、均值、方差 知识梳理·双基自测 名师讲坛·素养提升 考点突破·互动探究 提能训练　练案[66] 知识梳理 · 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 知识点一　离散型随机变量 对随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，称为____________，通常用大写英文字母X，Y，…表示随机变量．所有取值可以一一列出的随机变量，称为__________随机变量． 随机变量 离散型 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 知识点二　离散型随机变量的分布列及性质 1．一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，称X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi为X的分布列，可用表格表示为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2.离散型随机变量的分布列的性质 (1)pi≥0(i＝1，2，…，n)； p1＋p2＋…＋pn 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 3．两点分布或0－1分布：若随机变量X服从两点分布，其分布列为 其中p＝P(X＝1)称为成功概率． 若随机变量X服从两点分布，则E(X)＝p，D(X)＝p(1－p)． X 0 1 P 1－p p 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 知识点三　离散型随机变量的均值与方差 若离散型随机变量X的分布列为P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n. 标准差 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 3．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝_____________. (2)D(aX＋b)＝___________. (3)D(X)＝E(X2)－[E(X)]2. aE(X)＋b a2D(X) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 归 纳 拓 展 1．若X是随机变量，则Y＝aX＋b(a，b是常数)也是随机变量． 2．随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的． 3．随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定． 4．随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．(　　) (2)在离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　　) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．(　　) (4)由下列给出的随机变量X的分布列服从两点分布．(　　) [答案]　(1)√　(2)×　(3)√　(4)× X 2 5 P 0.3 0.7 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 题组二　走进教材 2．(选择性必修3P90T4改编)设随机变量X的概率分布列为 则P(|X－3|＝1)＝________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 3．(选择性必修3P69例6)A、B两种股票，每股收益分布列如表 股票A收益分布列 股票B收益分布列 则投资________股票期望大，投资________股票风险高． 收益X/元 －1 0 2 概率 a 0.3 0.6 收益Y/元 0 1 2 概率 0.3 0.4 b 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　A　A [解析]　由分布列的性质易知a＝0.1，b＝0.3，从而E(X)＝1.1，E(Y)＝1，D(X)＝1.29，D(Y)＝0.6，∴E(X)>E(Y)，投资A股票期望大，D(X)>D(Y)投资A股票风险高． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 题组三　走向考场 4．(2022·浙江卷)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6.从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝______，E(ξ)＝________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 5．(2025·高考新课标Ⅰ卷)一个箱子里有5个相同的球，分别以1～5标号，若每次取一颗，有放回地取三次，记至少取出一次的球的个数X，则数学期望E(X)＝________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 考点突破 · 互动探究 返回导航 离散型随机变量分布列的性质——自主练透 1．随机变量X的概率分布列如下： X －1 0 1 p a b c 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．(多选题)(2026·贵州联考)离散型随机变量X的分布列如下表所示，m，n是非零实数，则下列说法正确的是(　　) A．m＋n＝1 B．X服从两点分布 C．2 024<E(X)<2 025 D．D(X)＝mn [答案]　ACD X 2 024 2 025 P m n 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [解析]　由分布列的性质知m＋n＝1，所以A正确；根据二点分布知，随机变量X的取值为0和1，所以B不正确；E(X)＝2 024m＋2 025n＝2 024(1－n)＋2 025n＝2 024＋n，因为0<n<1，所以2 024<2 024＋n<2 025，即2 024<E(X)<2 025，所以C正确；D(X)＝[2 024－(2 024＋n)]2·m＋[2 025－(2 024＋n)]2·n＝n2·m＋(1－n)2·n＝mn2＋m2n＝mn(m＋n)＝mn，所以D正确．故选ACD. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 名师点拨：离散型随机变量分布列的性质的应用 1．利用“概率之和为1”可以求相关参数的值． 2．利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率． 3．可以根据性质判断所得分布列结果是否正确． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 【变式训练】 (2025·四川成都石室中学模拟)若随机变量X的可能取值为1，2，3，4，且P(X＝k)＝λk(k＝1，2，3，4)，则D(X)＝(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 离散型随机变量的均值与方差——多维探究 角度1　均值、方差的性质 (多选题)(2025·江苏如皋诊断)已知随机变量X，Y，其中Y＝3X＋1，已知随机变量X的分布列如下表 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　AC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 角度2　均值、方差与函数性质 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 角度3　离散型随机变量的分布列、均值、方差 1．(2026·安徽皖西南示范性高中起点考试)将分别标有号码1～6的6个小球平均分为两组，记这两组小球中最小的号码分别为m，n，X＝|m－n|，则数学期望E(X)＝________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．(2025·江苏镇江期初测试)某自助餐厅为了鼓励消费，设置了一个抽奖箱，箱中放有8折、8.5折、9折的奖券各2张，每张奖券的形状都相同，每位顾客可以从中任取2张奖券，最终餐厅将在结账时按照2张奖券中最优惠的折扣进行结算． (1)求一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率； (2)若自助餐的原价为100元/位，记一位顾客最终结算时的价格为X，求X的分布列及数学期望E(X)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 名师点拨： 求离散型随机变量的分布列、期望与方差的步骤 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 注：求离散型随机变量X的分布列，首先要理解X的意义，准确写出X的所有可能值，其次要准确求出X取各个值时的概率． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　ABC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 3．(角度3)(2026·山东济南摸底)有四个相同的小球，分别标有数字1，2，3，4，将这些小球随机排成一列． (1)求标有数字2和4的小球不相邻的概率； (2)一个排列中，若两个相邻小球上的数字之和为5，则称这两个小球为一组“友好球”．设X表示排列中“友好球”的组数，求X的分布列和数学期望． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 均值、方差在决策问题中的应用——师生共研 (2026·江苏镇江期初监测)2025年9月3日，纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年阅兵式在天安门广场隆重举行．某部队观看阅兵直播结束后，就举行了射击比赛．每个参赛队由两名战士组成，比赛分为两个阶段．比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名战士射击3次，若3次都未射中靶子，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少射中靶子一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名战士射击3次，每次射中靶子得5分，未射中靶子得0分．该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名战士组成，甲每次射中靶子的概率为p，乙每次射中靶子的概率为q，各次射击中靶与否均相互独立． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)若p＝0.5，q＝0.6，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率． (2)假设0<p<q<1， (ⅰ)在比赛成绩中，为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由哪位战士参加第一阶段比赛？ (ⅱ)在比赛成绩中，为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由哪位战士参加第一阶段比赛？ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [解析]　(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次， ∴比赛成绩不少于5分的概率P＝[1－(1－0.5)3]×[1－(1－0.6)3]＝0.819. (2)(ⅰ)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲＝[1－(1－p)3]q3， 若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙＝[1－(1－q)3]·p3， ∵0<p<q， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 P甲－P乙＝q3－(q－pq)3－p3＋(p－pq)3 ＝(q－p)(q2＋pq＋p2)＋(p－q)[(p－pq)2＋(q－pq)2＋(p－pq)(q－pq)] ＝(p－q)(3p2q2－3p2q－3pq2) ＝3pq(p－q)(pq－p－q)＝3pq(p－q)[(1－p)(1－q)－1]>0， ∴P甲>P乙，应该由甲参加第一阶段比赛． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (ⅱ)若甲先参加第一阶段比赛，比赛成绩X的所有可能取值为0，5，10，15， P(X＝0)＝(1－p)3＋[1－(1－p)3]·(1－q)3， 记乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 同理E(Y)＝15(q3－3q2＋3q)·p ∴E(X)－E(Y)＝15[pq(p＋q)(p－q)－3pq(p－q)] ＝15(p－q)pq(p＋q－3)， 因为0<p<q，则p－q<0，p＋q－3<1＋1－3<0， 则(p－q)pq(p＋q－3)>0， ∴应该由甲参加第一阶段比赛． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 名师点拨： 随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定． 有时也通过比较事件发生概率的值进行决策． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 【变式训练】 某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分． 已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关． (1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列； (2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [解析]　(1)由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100， 则P(X＝0)＝1－0.8＝0.2， P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32， P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48， 所以X的分布列为 X 0 20 100 P 0.2 0.32 0.48 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)由(1)可知小明先回答A类问题累计得分的期望为E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4， 若小明先回答B类问题，记Y为小明的累计得分， 则Y的所有可能取值为0，80，100， P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4， P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12， P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48， 则Y的期望为 E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6， 因为E(Y)>E(X)， 所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 两点分布 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 【变式训练】 设随机变量X服从两点分布，若P(X＝1)－P(X＝0)＝0.6，则D(X)＝(　　) A．0.24 B．0.21 C．0.16 D．0.8 [答案]　C [解析]　由两点分布可得P(X＝1)＋P(X＝0)＝1，解得P(X＝1)＝0.8，即p＝0.8，所以D(X)＝p(1－p)＝0.16，故选C. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 名师讲坛 · 素养提升 返回导航 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．(2025·云南德宏州监测)在刚刚结束的巴黎奥运会中，国球选手再创辉煌，包揽全部5枚金牌，其中最惊险激烈的就是男单1/4决赛，中国选手樊振东对战日本选手张本智和．比赛采取7局4胜制，每局为11分制，每赢一球得一分． (1)樊振东首局失利，第二局比赛双方打到8∶8平，此时张本智和连续发球2次，然后樊振东连续发球2次．根据以往比赛结果统计，樊振东发球时他自己得分的概率为0.6，张本智和发球时樊振东得分的概率为0.5，每次发球的结果相互独立，令人遗憾的是该局比赛结果，樊振东最终以9∶11落败，求其以该比分落败的概率； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [解析]　(1)在比分为8∶8后张本智和先发球的情况下，樊振东以9∶11落败的情况分三种： 第一种：后四球樊振东依次为胜败败败，概率为P1＝0.5×0.5×0.4×0.4＝0.04， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 第二种：后四球樊振东依次为败胜败败，概率为P2＝0.5×0.5×0.4×0.4＝0.04， 第三种：后四球樊振东依次为败败胜败，概率为P3＝0.5×0.5×0.6×0.4＝0.06， 所以所求事件的概率为P1＋P2＋P3＝0.14. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 名师点拨： 解决这类终止型问题，一定要弄清终止的条件，根据终止的条件确定各种可能结果，再计算相应概率求解问题． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)求他前两发子弹只命中一发的概率； (2)求他所耗用的子弹数X的分布列和数学期望． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 提能训练　练案[66] 返回导航 A组基础巩固 一、单选题 1．(2026·陕西西安八校联考)已知某随机变量X的分布列如图表，则随机变量X的方差D(X)＝(　　) A．120 B．160 C．200 D．260 [答案]　C X 0 20 40 P m 2m m 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 5．(2026·福建厦门外国语学校月考)将2个小球随机地投入编号为1，2，3，4的4个盒子中(每个盒子容纳的小球个数没有限制)，记1号盒子中小球的个数为ξ，则E(ξ)＝(　　) [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 6．(2025·四川成都石室中学模拟)A、B两位同学各有2张卡片，现以投掷均匀硬币的形式进行游戏，当出现正面向上时A赢得B一张卡片，否则B赢得A一张卡片，如果某人已赢得所有卡片，则游戏终止，那么恰好掷完6次硬币时游戏终止的概率是(　　) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 二、多选题 8．(2025·河南调研)随机投掷一枚质地均匀的骰子3次，记3次掷出的点数之积为X，掷出的点数之和为Y，则(　　) A．事件“X＝2”和“Y＝4”相等 B．事件“X＝4”和“Y＝6”互斥 [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 9．(2025·广东五粤名校联盟联考)设0≤p≤1，随机变量X的分布列如下所示，则下列说法正确的有(　　) A．E(X)恒为1 B．E(X)随p增大而增大 D．D(X)最小值为0 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [答案]　AC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 三、填空题 10.(2026·湖北部分名校联考)如图是一个电子元器件，现将其表面涂上颜色，再将其拆散成28个单位正方体，置于一个不透明容器内充分搅匀，随机拿出一个单位正方体，记其涂色的表面数为X，则X的数学期望为E(X)＝________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [解析]　根据图形表面涂色可知： 一个单位正方体涂色表面数为5，3，2，1，0的分别有1个，8个，12个，5个，2个， 所以涂色的表面数为X的分布列为 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 11．(2026·湖北华大新高考联盟质量测评)袋中装有除颜色外均相同的4个红球、3个蓝球和2个绿球．现从袋中无放回地随机取球，每次取1个球，直到取到红球为止．设随机变量X为取到红球时的次数，则X的数学期望E(X)＝________. [答案]　2 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 13．(2026·江苏南京金陵中学月考)3名男生和3名女生中随机选择两人，设选到男生的人数为X，则3X＋2的方差为________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 四、解答题 14．(2024·九省联考试题)盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球． (1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率； (2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (2)由题意可知，X的可能取值为1，2，3， 当X＝1时，分为两种情况：只有一个数字为1的小球、有两个数字为1的小球， 当X＝2时，分为两种情况：只有一个数字为2的小球、有两个数字为2的小球， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 15．(2026·山东青岛适应性考试)某学校举行知识竞赛，第一轮选拔共设有A，B，C，D四个问题，规则如下： ①每位参加者计分器的初始分均为10分，答对问题A，B，C，D分别加1分，2分，3分，6分，答错任一题减2分； ②每回答一题，计分器显示累计分数，当累计分数小于8分时，答题结束，淘汰出局；当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮；当答完四题，累计分数仍不足14分时，答题结束，淘汰出局，当累计分数大于或等于14分时，答题结束，进入下一轮； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)求甲同学能进入下一轮的概率； (2)用ξ表示甲同学本轮答题结束时答题的个数，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [解析]　设A，B，C，D分别为第一，二，三，四个问题． 用Mi(i＝1，2，3，4)表示甲同学第i个问题回答正确，用Ni(i＝1，2，3，4)表示甲同学第i个问题回答错误，则Mi与Ni是对立事件(i＝1，2，3，4)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)记“甲同学能进入下一轮”为事件Q， Q＝M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3M4＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4， P(Q)＝P(M1M2M3＋N1M2M3M4＋M1N2M3M4＋M1M2N3M4＋N1M2N3M4) ＝P(M1M2M3)＋P(N1M2M3M4)＋P(M1N2M3M4)＋P(M1M2N3M4)＋P(N1M2N3M4) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布  B组能力提升 1．(多选题)(2026·四川巴中诊断)设离散型随机变量X的分布列如下表 若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则(　　) A．m＝0.4 B．E(X)＝2，D(X)＝1.2 C．E(Y)＝3，D(Y)＝3.4 D．E(Y)＝5，D(Y)＝4.8 [答案]　ABD X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.2 m 0.2 0.1 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 [解析]　由离散型随机变量X的分布列性质可得m＝1－0.1－0.2－0.2－0.1＝0.4，A正确；E(X)＝0×0.1＋1×0.2＋2×0.4＋3×0.2＋4×0.1＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.2＋(2－2)2×0.4＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.1＝1.2，B正确；由于Y＝2X＋1，故E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝4.8，C错误，D正确．故选ABD. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 2．(2026·江苏部分学校开学考试)袋子中装有8球，其中6个黑球，2个白球，若依次随机取出2个球，则在第一次取到黑球的条件下，第二次取到白球的概率为________；若随机取出3个球，记取出的球中白球的个数为X，则X的数学期望E(X)＝________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)求在一次猜谜活动中，有一方获胜的概率； (2)若有一方获胜则猜谜活动结束，否则猜谜继续，猜谜最多进行3次，求猜谜次数X的分布列和期望． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)若规定每位参加活动的顾客需要依次参加A、B、C三个项目，如果A、B、C三个项目全部中奖，顾客将获得100元奖券；如果仅有两个项目中奖，他将获得50元奖券；否则就没有奖券．求每位顾客获得奖券金额的期望； (2)若规定每位顾客等可能地参加三个项目中的一个项目．已知某顾客中奖了，求他参加的是A项目的概率． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 C组拓展应用(选作) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (1)若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； (2)若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得3分，回答错误得－1分．设该同学回答三题后的总得分为X分，求X的分布列及数学期望； (3)知识竞赛规则：随机从题库中抽取2n道题目，答对题目数不少于n道，即可获得奖励．现以获得奖励的概率大小为依据，若甲同学在n＝4和n＝5之中选其一，则他应如何选择？并说明理由． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 (3)当n＝4时，Y为甲答对题目的数量， 故当n＝4时，甲获奖励的概率P1＝P(Y＝4)＋P(Y≥5)， 当n＝5时，甲获奖励的情况可以分为如下情况： ①前8题答对题目的数量大于等于5， ②前8题答对题目的数量等于4，且最后2题至少答对1题， ③前8题答对题目的数量等于3，且最后2题全部答对， 故当n＝5时，甲获奖励的概率P2＝P(Y≥5)＋P(Y＝4)[1－(1－p)2]＋P(Y＝3)p2， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 所以P2－P1＝P(Y＝4)(2p－p2)＋P(Y＝3)p2－P(Y＝4) ＝P(Y＝3)p2－P(Y＝4)(1－p)2 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第十章　计数原理、概率、随机变量及其分布 谢谢观看 (2)pi＝________________________＝1. 1．均值：称E(X)＝ x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn＝xipi　为随机变量X的均值或数学期望． 2．方差：称D(X)＝ (xi－E(X))2pi为随机变量X的方差，其算术平方根为随机变量X的__________. X 1 2 3 4 P m [答案]　 [解析]　由＋m＋＋＝1，解得m＝， P(|X－3|＝1)＝P(X＝2)＋P(X＝4)＝＋＝. [答案]　　 [解析]　从写有数字1，2，2，3，4，5，6的7张卡片中任取3张共有C种取法，其中所抽取的卡片上的数字的最小值为2的取法有CC＋CC种，所以P(ξ＝2)＝＝，由已知可得ξ的取值有1，2，3，4，P(ξ＝1)＝＝，P(ξ＝2)＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，所以E(ξ)＝1×＋2×＋3×＋4×＝. [答案]　 [解析]　依题意，X的可能取值为1、2、3，总的选取可能数为53＝125，其中X＝1：三次抽取同一球，选择球的编号有5种方式，故P(X＝1)＝＝，X＝2：恰好两种不同球被取出(即一球出现两次，另一球出现一次)，选取出现两次的球有5种方式，选取出现一次的球有4种方式，其中选取出现一次球的位置有3种可能，故事件X＝2的可能情况有5×4×3＝60种， 故P(X＝2)＝＝，X＝3：三种不同球被取出，由排列数可知事件X＝3的可能情况有5×4×3＝60种，故P(X＝3)＝＝，所以E(X)＝1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＝1×＋2×＋3×＝. 其中a，b，c成等差数列，若E(X)＝，则D(X)＝________. [答案]　 [解析]　因为a，b，c成等差数列，则a＋c＝2b，又a＋b＋c＝1，所以b＝，a＋c＝，又E(X)＝－1×a＋0×b＋1×c＝c－a＝，∴a＝，c＝. 解法一：D(X)＝×2＋×2＋×2＝. 解法二：由题意知，X2的分布列为 X2 0 1 p b a＋c 所以E(X2)＝a＋c＝，故D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝－＝. [引申]本例1中，(1)P(|X|＝1)＝________； (2)若P(X≥a)＝，则实数a的取值范围是________. [答案]　(1)　(2)(－1，0] [解析]　(1)P(|X|＝1)＝P(X＝－1)＋P(X＝1)＝＋＝.(2)由P(X＝0)＋P(X＝1)＝＝P(X≥a)知－1<a≤0. [解析]　由题意得λ＋2λ＋3λ＋4λ＝1，解得λ＝，故E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＝3，D(X)＝(1－3)2×＋(2－3)2×＋(3－3)2×＋(4－3)2×＝1.故选A． X 1 2 3 4 5 P m n 若E(X)＝3，则(　　) A．m＝ B．n＝ C．E(Y)＝10 D．D(Y)＝21 [解析]　由m＋＋＋n＋＝1，可得m＋n＝①，又因为E(Y)＝E(3X＋1)＝3E(X)＋1＝10，故C正确；所以E(X)＝m＋2×＋3×＋4n＋5×＝3，则m＋4n＝②，所以由①②可得n＝，m＝，故A正确，B错误；D(X)＝(1－3)2×＋(2－3)2×＋(3－3)2×＋(4－3)2×＋(5－3)2×＝4×＋1×＋1×＋4×＝，D(Y)＝D(3X＋1)＝9D(X)＝9×＝，故D错误．故选AC. 设0<a<，随机变量X的分布列是 X －1 0 1 P －a b ＋a 则当a在内增大时(　　) A．D(X)增大 B．D(X)减小 C．D(X)先增大后减小 D．D(X)先减小后增大 [解析]　∵＋b＋＝1，∴b＝，因为E(X)＝－1×＋0×＋1×＝2a－， 解法一：E(X2)＝1×＋0×＝，所以D(X)＝E(X2)－[E(X)]2＝－42. 解法二：D(X)＝2＋×2＋2＝－42.所以当a∈时，a增大D(X)增大，当a∈时，a增大D(X)减小．故选C. [答案]　 [解析]　将6个小球平均分两组，分组的方法数有＝10种，由题意X的可能取值为1，2，3，则P(X＝3)＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，故E(X)＝1×＋2×＋3×＝. [解析]　(1)从6张奖券中，任取2张奖券共有C＝15种选法，抽到的两张奖券相同的有3种选法， 所以一位顾客抽到的2张奖券的折扣均不相同的概率为P＝＝. (2)X的所有可能取值为80，85，90， P(X＝80)＝＝， P(X＝85)＝＝， P(X＝90)＝＝， ∴X的分布列为 X 80 85 90 P ∴E(X)＝80×＋85×＋90×＝. 【变式训练】 1．(角度1)(多选题)设随机变量X的分布列为P(X＝k)＝(k＝1，2，5)，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论正确的是(　　) A．P(0<X<3.5)＝ B．E(3X＋1)＝7 C．D(X)＝2 D．D(3X＋1)＝6 [解析]　由分布列的性质可知，P(X＝1)＋P(X＝2)＋P(X＝5)＝＋＋＝1，解得a＝1，所以P(0<X<3.5)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝，A选项正确；E(X)＝1×＋2×＋5×＝2，所以E(3X＋1)＝3E(X)＋1＝3×2＋1＝7，B选项正确；D(X)＝×(1－2)2＋×(2－2)2＋×(5－2)2＝2，所以D(3X＋1)＝9×D(X)＝18，C选项正确，D选项不正确．故选ABC. 2．(角度2)设0<a<1，离散型随机变量X的分布列如下，则当a在内增大时(　　) X 0 1 2 P A．D(X)增大 B．D(X)减小 C．D(X)先减小后增大 D．D(X)先增大后减小 [解析]　由题意：E(X)＝0×＋1×＋2×＝a＋，所以D(X)＝2＋2＋2＝－a2＋a＋＝－2＋，因为a∈，所以D(X)先增后减，故选D. [解析]　(1)记“2和4的小球不相邻”为事件A， 则P(A)＝＝， 所以2和4的小球不相邻的概率为. (2)X的所有可能取值为0，1，2. P(X＝2)＝＝， P(X＝1)＝＝， P(X＝0)＝1－P(X＝1)－P(X＝2)＝ X的分布列如下： X 0 1 2 P 数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＝1. P(X＝5)＝[1－(1－p)3]Cq·(1－q)2， P(X＝10)＝[1－(1－p)3]Cq2·(1－q)， P(X＝15)＝[1－(1－p)3]·q3， ∴E(X)＝15[1－(1－p)3]q＝15(p3－3p2＋3p)·q 随机变量X服从两点分布，若D(X)＝，则P(X＝1)＝(　　) A． B． C.或 D． [解析]　X服从两点分布，设P(X＝1)＝p，则D(X)＝p(1－p)＝.解得p＝或.故选C. 概率中的“停止型”问题 1．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满6局时停止，设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数X的期望E(X)＝(　　) A． B． C． D． [解析]　由题意，随机变量X的所有可能取值是2，4，6，设每两局比赛为一轮，则该轮比赛停止的概率为2＋2＝，若该轮结束时比赛还要继续，则甲、乙在该轮中必是各得1分，此时该轮比赛结果对下一轮比赛是否停止没有影响，所以P(X＝2)＝，P(X＝4)＝×＝，P(X＝6)＝2＝，所以期望为E(X)＝2×＋4×＋6×＝.故选B. (2)在本场比赛中，张本智和先以2∶0领先．根据以往比赛结果统计，在后续的每局比赛中樊振东获胜的概率为，张本智和获胜的概率为，且每局比赛的结果相互独立．假设两人又进行了X局后比赛结束，求X的分布列与数学期望． (2)随机变量X的可能取值为2，3，4，5， P(X＝2)＝×＝， P(X＝3)＝C×××＝， P(X＝4)＝C××2×＋4＝， P(X＝5)＝C××3×＋C×3××＝＝， 所以X的分布列为 X 2 3 4 5 P 数学期望为E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝. 【变式训练】 设某人有5发子弹，他向某一目标射击时，每发子弹命中目标的概率为.若他连续两发命中或连续两发不中则停止射击，否则将子弹打完． [解析]　记“第k发子弹命中目标”为事件Ak，则A1，A2，A3，A4，A5相互独立，且P(Ak)＝，P(k)＝，k＝1，2，3，4，5， (1)解法一：他前两发子弹只命中一发的概率为 P(A12)＋P(1A2)＝P(A1)P(2)＋P(1)P(A2) ＝×＋×＝. 解法二：由独立重复试验的概率计算公式知，他前两发子弹只命中一发的概率为P＝C××＝. (2)X的所有可能值为2，3，4，5. P(X＝2)＝P(A1A2)＋P(12) ＝×＋×＝， P(X＝3)＝P(A123)＋P(1A2A3) ＝×2＋×2＝， P(X＝4)＝P(A12A3A4)＋P(1A234) ＝3×＋3×＝， P(X＝5)＝P(A12A34)＋P(1A23A4) ＝2×2＋2×2＝. 故X的分布列为 X 2 3 4 5 P ∴E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.　　　 [解析]　由题可知m＋2m＋m＝1，解得m＝，则E(X)＝0×m＋40m＋40m＝80m＝20；故D(X)＝(0－20)2＋(20－20)2＋(40－20)2＝100＋0＋100＝200.故选C. 2．(2025·浙江名校新高考研究联盟联考)已知随机变量X的分布列如下表所示，则E(2X＋1)＝(　　) X 1 2 3 P a A． B． C． D． [解析]　由分布列可得＋a＋＝1，解得a＝，则E(X)＝1×＋2×＋3×＝，所以E(2X＋1)＝2E(X)＋1＝.故选C. 3．若随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，E(X)，D(X)分别为随机变量X的均值与方差，则下列结论不正确的是(　　) A．P(X＝1)＝E(X) B．E(3X＋2)＝4 C．D(3X＋2)＝4 D．D(X)＝ [解析]　随机变量X服从两点分布，其中P(X＝0)＝，∴P(X＝1)＝，E(X)＝0×＋1×＝，D(X)＝2×＋2×＝，在A中，P(X＝1)＝E(X)，故A正确；在B中，E(3X＋2)＝3E(X)＋2＝4，故B正确；在C中，D(3X＋2)＝9D(X)＝9×＝2，故C错误；在D中，D(X)＝，故D正确．故选C. 4．口袋中装有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个球，记取出的球的最大编号为X，则D(X)＝(　　) A． B． C． D． [解析]　由题意，X可能取值为2，3，X＝2包含事件为取出的两个球为1，2，所以P(X＝2)＝＝，X＝3包含事件为取出的两个球为1，3或2，3，所以P(X＝3)＝＝，E(X)＝2×＋3×＝，D(X)＝×2＋×2＝..故选A． A． B． C． D． [解析]　根据题意ξ可取0，1，2，P(ξ＝0)＝×＝，P(ξ＝1)＝C××＝，P(ξ＝2)＝×＝，所以E(ξ)＝0＋＋2×＝，故选A． A． B． C． D． [解析]　设A赢得B卡片为事件A，B赢得A卡片为事件B，依题意，在第6次硬币投掷时游戏结束，如果是A赢了B的卡片，则必然是以下4种情形中的一种：ABABAA，ABBAAA，BABAAA，BAABAA；如果是B赢得了A的卡片，则必然是以下4种情形中的一种：BABABB，BAABBB，ABABBB，ABBABB，所以第6次投掷硬币游戏结束的概率为6×2×4＝，故选C. 7．(2026·河南南阳一中开学考)已知5件产品中有2件次品，现逐一检测，直至能确定所有次品为止，记检测的次数为ξ，则E(ξ)＝(　　) A．3 B． C． D．4 [解析]　由题意知，ξ的可能取值为2，3，4，其概率分别为P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝，P(ξ＝4)＝＝，所以E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝.故选B. C．X为奇数的概率为 D．Y<17的概率为 [解析]　事件“X＝2”和“Y＝4”都相当于掷出两个1点和一个2点，故A正确；事件“X＝4”和“Y＝6”都包含掷出两个1点和一个4点，故B错误；X为奇数等价于“3次掷出的点数都为奇数”，因此其概率为3＝，故C正确；事件“Y<17”的对立事件为“Y＝17或Y＝18”，P(Y＝18)＝3＝，P(Y＝17)＝C3＝，因此P(Y<17)＝1－－＝，故D正确．故选ACD. X 0 1 2 P C．D(X)恒为 [解析]　因为＋＋＝1，解得p＝0， 所以随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 因为E(X)＝0×＋1×＋2×＝1，E(X)恒为1，故A正确，B错误；D(X)＝(0－1)2×＋(1－1)2×＋(2－1)2×＝＋＝，故C正确，D错误．故选AC. [答案]　 X 5 3 2 1 0 P 则X的数学期望为E(X)＝5×＋3×＋2×＋1×＋0×＝＝. [解析]　依题意，X的可能值为1，2，3，4，5，6.则P(X＝1)＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝，故E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝＝2. 12．(2026·辽宁鞍山质监)已知离散型随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，且E(X)＝2，D(X)＝q，则＋的最小值为________. [答案]　 [解析]　离散型随机变量X服从二项分布X～B(n，p)，所以有E(X)＝2＝np，D(X)＝np(1－p)＝q，所以p＋q＝1，(0<p<1，0<q<2)所以＋＝×＝＋＋≥＋2＝＋2＝，当且仅当q＝p＝时取得等号，此时n＝3. [答案]　 [解析]　由题意，X满足超几何分布，且X的取值为0，1，2，则P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，E(X)＝0×＋1×＋2×＝1，D(X)＝×(0－1)2＋×(1－1)2＋×(2－1)2＝，所以D(3X＋2)＝32D(X)＝9×＝. [解析]　(1)记“取出的3个小球上的数字两两不同”为事件M，先确定3个不同数字的小球，有C种方法， 然后每种小球各取1个，有C×C×C种取法， 所以P(M)＝＝. 所以P(X＝1)＝＝； 所以P(X＝2)＝＝； 当X＝3时，分为两种情况：只有一个数字为3的小球、有两个数字为3的小球， 所以P(X＝3)＝＝， 所以X的分布列为 X 1 2 3 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝. ③每位参加者按问题A，B，C，D顺序作答，直至答题结束．假设甲同学对问题A，B，C，D回答正确的概率依次为，，，，且各题回答正确与否相互之间没有影响． 由题意得，P(M1)＝，P(M2)＝，P(M3)＝，P(M4)＝， 所以P(N1)＝，P(N2)＝，P(N3)＝，P(N4)＝. ＝××＋×××＋×××＋×××＋×××＝. (2)由题意知，随机变量ξ的可能取值为2，3，4.由于每题答题结果相互独立， 所以P(ξ＝2)＝， P(ξ＝3)＝××＋××＝， P(ξ＝4)＝1－P(ξ＝1)－P(ξ＝2)＝. 随机变量ξ的分布列为 ξ 2 3 4 P 所以E(ξ)＝2×＋3×＋4×＝. [答案]　　 [解析]　设“第一次取到黑球”为事件A，“第二次取到白球”为事件B.则P(A)＝＝.P(AB)＝＝.根据条件概率公式P(B|A)＝，可得P(B|A)＝＝×＝.随机取出3个球，取出的球中白球的个数X可能取值为0，1，2.P(X＝0)＝＝＝. P(X＝1)＝＝＝.P(X＝2)＝＝＝.根据期望公式可得E(X)＝0×＋1×＋2×＝＋＝＝. 3．已知随机变量X的分布列如表：其中m>0，n>0，若E(X)＝1，则＋的最小值为________. X m n P a [答案]　1＋ [解析]　由分布列的性质可知a＋＝1，解得a＝，所以E(X)＝＋＝1，又m>0，n>0，所以＋＝＝1＋＋≥1＋2＝1＋，当且仅当即m＝，n＝时取等号，所以＋的最小值为1＋. 4．(2025·山东青岛调研)甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响． [解析]　(1)设甲猜对为事件A，乙猜对为事件B， 事件A＋B表示第一轮活动中只有1人猜对，且事件B与A互斥， 则P(B)＝P()×P(B)＝， P(A)＝P(A)×P()＝， ∴P(B＋A)＝P(B)＋P(A)＝， 即有一方获胜的概率为. (2)由题意X的可能取值为1，2，3， 所以P(X＝1)＝，P(X＝2)＝×＝， P(X＝3)＝1－－＝， 所以分布列为 X 1 2 3 P 所以E(X)＝1×＋2×＋3×＝. 5．(2025·江苏南京市、盐城调研)春节临近，为了吸引顾客，我市某大型商超策划了抽奖活动，计划如下：有A、B、C三个抽奖项目，它们之间相互不影响，每个项目每位顾客至多参加一次，项目A中奖的概率是，项目B和C中奖的概率都是. [解析]　(1)设一位顾客获得X元奖券，则X的可能取值为100，50，0， P(X＝100)＝××＝， P(X＝50)＝×C××＋×2＝， P(X＝0)＝1－－＝， 所以每位顾客获得奖券金额的期望是E(X)＝100×＋50×＋0＝16(元)． (2)设“该顾客中奖”为事件M，参加项目A，B，C分别记为事件N1，N2，N3，则 P(M)＝(Ni)P(M|Ni)＝×＋×＋×＝， ∴P(N1|M)＝＝＝＝， 即已知某顾客中奖了，则他参加的是A项目的概率是. (2026·浙江嘉兴模拟)2025年7月6日晚，“浙BA”揭幕战在绍兴诸暨打响，“浙BA”作为浙江省城市篮球联赛，不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎．某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为，，.甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为，，. [解析]　(1)设B＝“甲同学所选的题目回答正确”， Ai＝“所选的题目为篮球、足球、排球相关知识的题目”(i＝1，2，3)， 则Ω＝A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥． 根据题意得P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝， P(B|A1)＝，P(B|A2)＝，P(B|A3)＝， 则P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)＋P(A3)P(B|A3)＝×＋×＋×＝， 所以甲同学在该题库中任选一题作答，他回答正确的概率为. (2)X的可能取值为－3，1，5，9， P(X＝－3)＝××＝， P(X＝1)＝××＋××＋××＝， P(X＝5)＝××＋××＋××＝， P(X＝9)＝××＝， 则X的分布列为 X －3 1 5 9 P 所以E(X)＝(－3)×＋1×＋5×＋9×＝. 由题意可知Y～B(8，p)，其中p＝， ＝p2Cp3(1－p)5－(1－p)2Cp4(1－p)4 ＝p4(1－p)5[56p－70(1－p)] ＝p4(1－p)5(126p－70)， 因为p＝，所以126p－70>0，即P2>P1， 所以甲应选n＝5. $