精品解析：江西省2026年“三校生”对口升学第二次联合考试数学试题

江西省2026年“三校生”对口升学第二次模拟考试试题 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第II卷3至4页，共150分.考试用时120分钟. 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如须改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回. 第I卷 选择题 一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.对每小题的命题作出判断，对的写正确，错的写错误） 1. .（ ） 2. 化为弧度是.（ ） 3. 设集合，，则.（ ） 4. 直线在轴上的截距为.（ ） 5. 函数的值域是.（ ） 6. 若是第四象限角，则点在第四象限. （ ） 7. 满足不等式的整数有且只有两个. （ ） 8. 双曲线与的渐近线相同．（ ） 9. 已知，，为非零实数，且，则.（ ） 10. 正四面体的侧棱与底面所成角为.（ ） 二、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 11. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 12. 与向量平行的一个单位向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 13. 某校高三年级1000名学生参加体育健康标准测试，从中随机抽取部分学生的成绩（满分为100分），得到频率分布直方图如图所示，则估计该次考试成绩在区间内的学生人数为（ ） A. 100 B. 200 C. 300 D. 400 14. 已知复数z满足，则的虚部为（   ） A. B. C. 2 D. 15. 如图1是第19届亚运会（在我国杭州举办）的会徽“潮涌”，图2是会徽的简化扇形图，若圆心角为，，.则图2中阴影部分的面积等于（ ） A. B. C. D. 16. 若直线与圆有两个交点，则点（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 与圆的位置关系不确定 17. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币两次，都是正面朝上的概率为（ ） A. B. C. D. 18. 已知、是不同的平面，为内的一条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 第II卷 非选择题 三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 19. 若椭圆的两个焦点把长轴三等分，则该椭圆的离心率为_________. 20. 函数的最小正周期是__________. 21. 若的展开式中，的系数等于的系数的5倍，则__________. 22. 已知高都是3的圆柱和圆锥的底面圆的半径相等，它们的侧面积也相等，则底面圆的半径为__________. 23. 在等比数列中，已知，则__________. 24. 有3位家长带2位儿童去爬山，5个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数有__________种（用数字作答）. 四、解答题（本大题共6小题，25∼28小题每小题8分，29∼30小题每小题9分，共50分.解答应写出过程或步骤） 25. 设数列为递增的等差数列，其前项和为，已知，且. （1）求的通项公式； （2）求满足不等式的的最小值. 26. 设函数. （1）求的值. （2）解关于x的不等式. 27. 在中，角，，所对边分别为，，，已知，，. （1）求的值； （2）求的值. 28. 某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次.求： （1）其中恰有3次击中目标的概率； （2）其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率. 29. 如图，设抛物线的准线为，过焦点的任一直线与交于，两点. （1）求抛物线的方程； （2）求证：为定值. 30. 如图，在三棱柱中，平面，且四边形是菱形，. （1）求证：； （2）若，求二面角的正切值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省2026年“三校生”对口升学第二次模拟考试试题 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第II卷3至4页，共150分.考试用时120分钟. 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如须改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.第II卷用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回. 第I卷 选择题 一、是非选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.对每小题的命题作出判断，对的写正确，错的写错误） 1. .（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】利用对数换底公式及对数的运算法则求解判断. 【详解】. 故答案为：正确. 2. 化为弧度是.（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据角度与弧度的转换公式求解. 【详解】， 即化为弧度是. 故答案为：正确. 3. 设集合，，则.（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据指数函数与对数函数的单调性及子集的定义求解. 【详解】对不等式两边取以为底的对数， 根据对数函数在上单调递增， 可得，即， 所以， 对数函数在上单调递增， 所以由，可得， 所以， 因为，对数函数在上单调递增， 所以， 所以， 故答案为：正确. 4. 直线在轴上的截距为.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据截距的概念求值即可解答. 【详解】已知直线， 当时，， 所以该直线在轴上的截距为， 故答案为：错误. 5. 函数的值域是.（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据二次函数的性质得出，结合二次根式的性质得出，即可得到函数的值域. 【详解】令函数，图像为开口向下的抛物线，对称轴为， 所以函数的最大值为，所以， 则，， 所以函数的值域是， 故答案为：正确. 6. 若是第四象限角，则点在第四象限. （ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】由三角函数在各象限的符号即可判断. 【详解】因为是第四象限角， 所以，故点P在第四象限. 故答案为：正确. 7. 满足不等式的整数有且只有两个. （ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据绝对值不等式及一元二次不等式的解法求解. 【详解】已知，可得，即， 因为对任意实数，恒成立， 所以得，解得， 在这个范围内的整数有，，，共个， 故答案为：错误. 8. 双曲线与的渐近线相同．（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据不同的焦点位置，双曲线的渐近线方程表示也不同判断即可. 【详解】双曲线的渐近线是， 双曲线的渐近线是． 所以双曲线与的渐近线不同． 故答案为:错误. 9. 已知，，为非零实数，且，则.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据赋值法即可得解. 【详解】令，满足， 此时即， 故答案为：错误. 10. 正四面体的侧棱与底面所成角为.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据线面角的概念以及三角形的性质求解即可. 【详解】 正四面体所有棱长相等，设棱长为，顶点在底面的投影是底面正三角形的中心， 侧棱与底面所成角就是侧棱和它在底面投影的夹角. 则，侧棱长为， 在直角三角形中，， 因此正四面体侧棱与底面所成角不等于. 故答案为：错误. 二、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 11. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合的交集以及不等式求解即可. 【详解】集合，， 则. 故选：C. 12. 与向量平行的一个单位向量的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据单位向量的概念求解即可. 【详解】向量的模为， 则与平行的一个单位向量的坐标是，故其中一个为 . 故选：C. 13. 某校高三年级1000名学生参加体育健康标准测试，从中随机抽取部分学生的成绩（满分为100分），得到频率分布直方图如图所示，则估计该次考试成绩在区间内的学生人数为（ ） A. 100 B. 200 C. 300 D. 400 【答案】C 【解析】 【分析】先求出区间内的频率，再由总人数求解即可. 【详解】根据频率分布直方图可知，区间内的频率为， 又因为高三年级共1000名学生， 所以估计该次考试成绩在区间内的学生人数为人. 故选：C. 14. 已知复数z满足，则的虚部为（   ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出复数，利用共轭复数的意义及复数相等，列式求出即可. 设，由，得， 则，因此，所以复数的虚部为. 故选：A 15. 如图1是第19届亚运会（在我国杭州举办）的会徽“潮涌”，图2是会徽的简化扇形图，若圆心角为，，.则图2中阴影部分的面积等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据扇形面积公式求解即可. 【详解】∵圆心角为，， ∴扇形的面积为； 又∵圆心角为，， ∴扇形的面积为； ∴阴影部分的面积为. 故选：D. 16. 若直线与圆有两个交点，则点（ ） A. 在圆内 B. 在圆上 C. 在圆外 D. 与圆的位置关系不确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆的方程求出圆心坐标及半径，根据直线与圆相交结合点到直线的距离公式得出，即可得解. 【详解】圆，圆心坐标为，半径为， 直线与圆有两个交点， 则， 所以点在圆外， 故选：. 17. 连续抛掷一枚质地均匀的硬币两次，都是正面朝上的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据古典概率公式求解即可. 【详解】连续抛掷一枚质地均匀的硬币两次，所以可能的情况为（正，反），（正，正），（反，正），（反，反）. 则都是正面朝上的概率为. 故选：C. 18. 已知、是不同的平面，为内的一条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据面面垂直的性质和判定定理结合充分条件与必要条件的概念即可解答. 【详解】已知、是不同的平面，为内的一条直线， 若，只有垂直于与的交线时，才有， 所以充分性不成立， 若，则由面面垂直的判定定理得， 所以必要性成立， 所以“”是“”的必要不充分条件， 故选：B. 第II卷 非选择题 三、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分） 19. 若椭圆的两个焦点把长轴三等分，则该椭圆的离心率为_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用长轴长与焦距的关系求解即可. 【详解】因为椭圆的两个焦点把长轴三等分. 所以,即. 故答案为：. 20. 函数的最小正周期是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由辅助角公式化简函数，再由函数的最小正周期公式求解即可. 【详解】函数，其中， 则该函数的 最小正周期为. 故答案为：. 21. 若的展开式中，的系数等于的系数的5倍，则__________. 【答案】7 【解析】 【分析】首先由二项展开式的通项公式列出，再分别令的指数等于3和1表示出的系数与的系数，再由题意列方程求解即可. 【详解】已知，则， 则的系数为，的系数为， 因为的系数等于的系数的5倍， 所以，即， 因为，整理得， 解得或（舍去），所以. 故答案为：. 22. 已知高都是3的圆柱和圆锥的底面圆的半径相等，它们的侧面积也相等，则底面圆的半径为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆柱与圆锥的侧面积公式列方程求解即可. 【详解】已知圆柱的高为3，设半径为， 则圆柱的侧面积为， 且圆锥的高为3，半径为， 则圆锥的母线长为， 所以圆锥的侧面积为， 则，即， 解得， 故答案为：. 23. 在等比数列中，已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式列方程求值即可. 【详解】在等比数列中，设公比为， 已知，则， 所以，解得， 则 ， 故答案为：. 24. 有3位家长带2位儿童去爬山，5个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数有__________种（用数字作答）. 【答案】36 【解析】 【分析】根据题意结合排列数的计算即可得解. 【详解】3位家长带2位儿童去爬山，5个人需要排成一条队列， 先将位家长排在队列的头和尾，有种排法， 再将剩下的位家长和位儿童排在中间，有种排法， 则共有种排法， 故答案为：. 四、解答题（本大题共6小题，25∼28小题每小题8分，29∼30小题每小题9分，共50分.解答应写出过程或步骤） 25. 设数列为递增的等差数列，其前项和为，已知，且. （1）求的通项公式； （2）求满足不等式的的最小值. 【答案】（1）. （2）5. 【解析】 【分析】（）根据题意结合等差数列的求和公式化简得到，求出，利用等差数列的性质求出公差即可得解. （）利用等差数列的求和公式和通项公式化简不等式即可得解. 【小问1详解】 因为，所以，由可得， 又为递增的等差数列，则公差，因此， 由，解得， 所以. 【小问2详解】 即为， 整理得，解得（舍去），或 故的最小值为. 26. 设函数. （1）求的值. （2）解关于x的不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由函数解析式，结合指数和对数的运算代入求解即可； （2）分类讨论，分别由指数函数和对数函数的单调性解不等式即可. 【小问1详解】 函数， 则， 所以. 【小问2详解】 当时，， 可化为，即， 因为是在上的单调递增函数， 由得 所以，解得； 当时，， 可化为，即， 因为是在上的单调递增函数， 所以，解得； 综上，关于x的不等式的解集为. 27. 在中，角，，所对边分别为，，，已知，，. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）解法一：利用同角三角函数基本关系式求出，应用正弦定理求出值，代入余弦定理求出值，结合三角形的性质即可得解. 解法二：利用同角三角函数基本关系式求出，应用诱导公式求出，代入正弦定理即可得解. （）解法一：根据诱导公式及两角和的余弦公式即可得解. 解法二：利用同角三角函数基本关系式求出，根据余弦函数及三角形的性质得到即可得解. 【小问1详解】 解法一：在中，角，，所对边分别为，，， . 由正弦定理得，即，解得. 根据余弦定理知， 即，整理得. 解得或，由于，所以，即， 表明，是的最大边，因此. 解法二：在中，角，，所对边分别为，，， . 则， 由正弦定理得，则. 【小问2详解】 解法一： . 解法二： ， 由于，所以，即， 表明，因此. 28. 某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为，且每次射击的结果互不影响，已知射手射击了5次.求： （1）其中恰有3次击中目标的概率； （2）其中恰有3次连续击中目标，而其他两次没有击中目标的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据独立事件的概率公式求值即可. （2）首先确定连续3次击中的顺次所有可能，再由独立事件的概率公式求值即可. 【小问1详解】 已知每次射击击中目标的概率为， 则每次射击没有击中目标的概率为， 则射手射击了5次，恰有3次击中目标的概率为. 【小问2详解】 连续3次击中的顺次可能为共3种情形， 所以恰有3次连续击中目标， 而其他两次没有击中目标的概率为. 29. 如图，设抛物线的准线为，过焦点的任一直线与交于，两点. （1）求抛物线的方程； （2）求证：为定值. 【答案】（1）. （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（）根据抛物线的准线方程求出值即可得解. （）当直线斜率不存在时，写出直线方程求出的值即可得解；当直线斜率存在时，设出直线的点斜式方程，代入抛物线方程中，结合韦达定理及抛物线的定义表示出，即可得解. 【小问1详解】 已知准线为，则，， 抛物线方程是. 【小问2详解】 由（1）可知，焦点为， 当直线斜率不存在时，直线的方程为， 将代入抛物线方程中得，解得或， 则，，， 为定值； 当直线斜率存在时，设直线的方程为， 代入抛物线方程得， 整理得， 设， 根据韦达定理有①， 根据抛物线的定义知，， 则， 将①代入上式就得为定值； 综上所述，为定值. 30. 如图，在三棱柱中，平面，且四边形是菱形，. （1）求证：； （2）若，求二面角的正切值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，再由线面垂直的判定定理得出平面，再由线面垂直的定义即可证明. （2）作于，连接，得出就是二面角的平面角，再由菱形的性质结合直角三角形中正切函数的概念求值即可. 【小问1详解】 连接，因为四边形是菱形， 所以， 又平面，平面， 所以， 因为平面， 所以平面，且平面， 则. 【小问2详解】 作于，连接. 因为平面，平面， 所以，因为平面， 则平面，且平面，所以， 所以就是二面角的平面角， 因为四边形是菱形， ，所以是等边三角形， 则是的中点， 设菱形的边长为1，则，， 又因为平面，平面，所以， ， 依题设又知，则是等腰直角三角形， ，解得， 在直角中，有. 即二面角的正切值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $