湖南长沙市长郡中学2026届高三下学期数学满分训练（4）

长都中学2026届高三数学满分训练(4) 命题人：谭泽阳审题人：陈贞、毛水 一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共计35分，每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1.已知命题p:x∈{xx>1,x2+16>8,则命题p的否定为() A.x∈{xx>1x2+16≤8 B.x∈{xx≤1)，x2+16≤8 C.3x∈{x|x>1,x2+16≤8 D.3x∈{x|x≤1，x2+16≤8 【解析】因为命题P为全称命题，则其否定为x∈{xx>1},x2+16x<8x故选C 2.已知平面，B为两个不同的平面，直线m为&内一条直线，则“m/1B”是“/1B” 的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解析】因为Ca,若a&/1B,则由线面平行的性质可知m/B,故“m//B”是“a/B”的 必要条件，设o∩B=n,mCa,m/11n,显然ncB,从而有m//B成立，但此时a,B不平行， 所以故“/1B”是“x/1B”的不充分条件，即“m/1B”是“/1B”的必要不充分条件 故选：B 3.已知同=1，=2，a1(2a+b),则ā+26在五上的投影向量为() A.36 B36 C.6b D.3 【解析】由d=l,=2,a1(2a+b)可得a:(2a+)=2aP+ab=2+ab=0, a,b=-2。而向量石+2b在向量6上的投影向量为 a+5b5, 因a-26a5+262-83 =4°2，故ā+2万在6上的投影向量为i.故选：B 4已知e2 +ax为偶函数，则a的值为（) 第1页共12页 A.1 B.-1 C.2 D.-2 【解析】由e-1≠0可得x≠0，故函数f(x)的定义域为{xx≠0}， 因为函数/(x)为偶函数，则f(x)=f(x),即-2x x 2x e*-1 e-1 所以-2m=2x+2x=2x2e 2x2e2x1-e） e-1ex-1e-1e*(ex-1e-1e-1e-1 =-2x对任意的x≠0恒成立， 故-2a=-2,解得a=1.故选：A. (*)5.如图是一块高尔顿板的示意图在一块木板上钉着若干排相互 平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为 通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球下落的过程中， 每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的 格子中.格子从左到右分别编号为0,1,2，.，10，用X表示小球 最后落入格子的号码，则小球最可能落入格子的号码X的值为( A.4 B.5 C.6 D.7 【解析：设A=“向右下落”，则A=“向左下落”，且P(A)=P(A=0.5.因为小球最后落入 格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次， 所以X~B(10,0.5).于是，X的分布列为P(X=)=C。×0.5,k=0,1,2,.,10. 当k=5时，P(X=最大，故选B. 6.已知函数了()=Asin(@x+p)A>0,o>0,<的部分图像如图所示， 若方程f八)-m在子上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（》 A.(-2,-1] B.[-2,-] c.(-2-5] D.[-2,- 6 元 【解折】由函激/)的图像，可得A=2,且-骨-←？-子，所以T=元， 则@=2π=2，所以f(x)=2sin(2x+p), 第2页共12页 又由孕-2，可得22×骨+列-2，即m子+-1， 解得+p子2kc乙，解得p=名=2， 3 因为所以p=所以=2a2-：又由x，可2x 设=2-石，则1e「子1，可得f0=2n21E π11π 2’6 26” 当te π3π 3元11π 2’2 时，函数f(t)单调递减；当t∈ 2’6 时，函数f(t)单调递增， 且f0m=f9=2,0)。=f=-2,且f23=-1, 要使得方程f)-m在后x上有两个不相等的实数根。 y=f(t 3元11元 即方程0奔 上有两个不相等的实数根， 26 -2--- =m 即函数y=f(t)和y=m的图像在 π11π 26 上有两个不同的交点 如图所示，可得-2<m≤1，即实数m的取值为(-2，-1].故选：A. 7.已知抛物线y2=2px上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线， 则直线BC的方程为() A.x+2y+1=0 B.x+3y+2=0 C.2x+6y+3=0 D.3x+6y+4=0 【答案】D 【解析】A(2,2)在抛物线y=2Px上，故2=2p×2,即p=1,抛物线方程为y2=2x, 设过点A(2,2)与圆(x-2)2+y2=1相切的直线的方程为：y-2=k(x-2),即x-y+2-2k=0, 则圆心20)到切线的距离d-240221,解得-5，如图，直线 Vk2+1 AB:y-2=5(x-2),直线AC:y-2=-V5(x-2) 第3页共12页 联立25(x-2》,得3x+45-14+16-85=0, y2=2x 故65，由=将飞85，散，2行6， 3 3 联立 y-2=5(x-2）),得3x2-(45+14)x+16+85=0, y2=2x 放，自=海，故3-6， 3 3 故)，+-256,25-6-4，又由BC在抛物线上可知， 3 3 直线C的斜率为Ae上-，》-上 2 21 1 21 22 23 ya+y-42 3- 即3x+6y+4=0.故选D. 法二：直线BC的方程为：(yy2y-yy2=2x 直线AB的方程为：(y+2)y-2y1=2x 直线AC的方程为：(y2+2)y-2y2=2x 14+2y-=1 V(2+)2+4 直线AB、AC与圆(x-2)2+y2=1相切得出： 14+2y=1 V(2+y2)2+4 8 于是y,y2是3y2+12y+8=0的两根，yty2-4,yy2=3 所以直线BC的方程为：4：2，即3x+6y+4=0,故选：D, 二、多选题：本大题共2小题，每小题6分，共计12分，每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. (*)9.若小明坐公交上班的用时X(单位：分钟)和骑自行车上班的用时Y(单位：分钟) 分别满足X~N(30,6),Y~N(34,22),且同一坐标系中X的密度曲线与Y的密度曲线在 t=38分钟时相交，则下列说法正确的是() A.P(X>38)<P(Y>38) B.P(24≤X≤36)=P(32≤Y≤36) 第4页共12页 C.若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交 D.若X的密度曲线与Y的密度曲线相交所对应的另一个时间为1，则t=31 16-四2 (若X-N(山，。)，则其密度曲线为0=2元 -e22) 【答案】BCD 【解析】由题意易知坐公交的方差比骑自行车的方差大， 即X的密度曲线较矮胖，Y的密度曲线更瘦高， Y的密 则X的密度曲线在38分钟后在Y的密度曲线的上方， 的密 度曲线 可在同一坐标系中作出密度曲线， 度曲线 易知P(X>38)>P(Y>38),故A错误 26303438t/min 由3o原则可知P(30-6≤X≤30+6)=P(34-2≤Y≤34+2)，故B正确： 易知P(X≤34)>0.5=P(Y≤34)，故C正确. (x-30)2 根据条件可知两种方式相应密度函数分别为：f(x)= 1 e72, 6√2元 8(x)= e8,建立方程1。 1-342 e8 16-302 (x-34)2(x-30)2 e72→e872=3, 2W2元 2√2π 6√2π 整理可得8x2-552x+9×342-302=72n3, 则5+38=552=69→5=31>30，故D正确： 8 故选：BCD 10.如图，在棱长为2的正方体ABCD-AB,CD,中，点E,F分别为AB,BC的中点， 动点G在棱CC1上（不含端点），则下列说法正确的有() A.△EFG是钝角三角形 B.平面EFG截该正方体所得截面的形状可能是平行四边形 C.当G为CC,的中点时，平面EFG与底面ABCD所成角的正切值为√2 D.若G,E,B,F在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为I0元 【答案】ACD 【解析】A：建立如图所示的空间直角坐标系， 第5页共12页 E(2,10),F(1,2,0),设G(0,2,a(a∈(0,2)，EF=(-1,1,0),EG=(-21,a),FG=（-1,0,a), 因为EF.EG=2+1=3>0,FGEG=2+a2>0,FE.FG=(1,-1,0)小(-1,0，a)=-1<0, 所以∠EFG是钝角，所以△EFG是钝角三角形，因此本选项说法正确； B:根据正方体截面性质，可以判断平面EFG截该正方体所得截面的形状不可能是 平行四边形，所以本选项说法不正确； C:当G为CC的中点时，G(0,2,1),因为DD,⊥平面ABCD, 所以DD=(0,0,2)是平面ABCD的一个法向量，EF=(-11,0),EG=（-2,11), 设平面EFG的法向量为i=(x,o,),所以 mEF=0∫-x+=0 m-EG=0-2x++2。=0’ 令y。=1,得x=1,2。=1,所以i=(1,1,1)是平面EFG的一个法向量， 设平面EFG与底面ABCD所成角为日， mDD cos6=cos(m,DD)》 2 v5 DD W1+1+1×2 39 sin0=v1-cos20= 36 →tam0= sin =√2，所以本选项说法正确； 93 cose D:G,E,B,F在同一个球面上，设该球的球心为O(x,y,), 所以由02-08-2+--F*0-到+F→y o-o8=-旷+0-2旷+--2+-2旷+→- 0G=0B→V+0-2+e-a-V-2+0-2旷+：=a+2 2a 所以球心坐标 3所以袋0前半为治可 22’2a 因为a0,2,所以2号+之2.5，当且仅当分时取等号， 2a-2a V2 a 即当a=时，心+2有最小值V2, 2a 所以OE有最小值，最小值为 -5-吾， 第6页共12页 5 所以球的表面积的最小值为4元： =10π，所以本选项说法正确 故选：ACD 三、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共计10分 (*)12.已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值，则c的值为 【解析】：'f(x)=(x-c)2+2x(x-c)=3x2-4Cx+c2,且函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值， ∴f"(2)=0,即c2-8c+12=0,解得c=6或2. 经检验c=2时，函数f(x)在x=2处取得极小值，不符合题意，应舍去.故c=6. 故答案为：6. (*)13.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者 都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则次传球后球在甲手中的概率为 【解析】记An表示事件“经过次传球后，球再甲的手中”， 设n次传球后球再甲手中的概率为Pn,n=1,2,3,,n,则有p1=0,A1=A,·A1+A·A1, 所以p1=P(AA1+A·A)=P(A·A)+P(A·A) =④4④)+P4P44)=-A)广+n-0-0-p). 即A-A+5a-l2a,所以A背，且A号号 1 所以数列.表示以子为首项，)为公比的等比数列， 所以青（分，所以A=吉宁+-(y 即”次传球后球在甲手中的概率是扣-（少2点].。 四、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知等差数列{a}和等比数列bn}满足a,=4,b=2,a2=2b,-1,a=b,+2. (1)求{a}和b.}的通项公式： (2)数列{a}和b}中的所有项分别构成集合A,B,将AUB的所有元素按从小到大依次 排列构成一个新数列{Cn},求数列{C}的前60项和S。. 【解析】(1)设等差数列{a}的公差为d,等比数列b}的公比为9， 第7页共12页 4+d=2.2q-1∫d=4g-5 由4+2d=2可+2→d-gi，g=2,d=3,a=初+1,4-26分 (2)当c,}的前60项中含有{}的前6项时，令3m+1<2=128→n<127 3 此时至多有41+7=48项（不符) 当{cn}的前60项中含有{b}的前7项时，令3n+1<2=256→n<85, 且2,24,2°是{a}和b.}的公共项，则c}的前60项中含有b}的前7项且含有{a}的前56 项，再减去公共的三项 28w56x4+65x3+2+2+2+2三4844+170=50143分 16.（本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,己知∠BMC=行BD=ADC (1)若=1，AD=√6，求△ABC面积的最大值： 2若=后求m∠n 【解析】 第8页共12页 (1)当元=1时，D是BC的中点，所以而=(B+AC), 两边同时平方，得而=瓜+4C=B+C+2瓜4 即6=(c2+B+2cc0s∠BAC）,即B2+c2+bc=24. 3分 又由基本不等式可得24=b2+c2+bc≥2bc+bc=3bc, 当且仅当b=c=22时等号成立，所以bc≤8 6分 所以Sc-csin∠B1C≤2W5,即△MBC面积的最大值为2V5. .7分 (2)设∠B4D=0,则0<0<号∠C4D=号-0， 31 在△ABD中，由正弦定理得，C in ADB6.即Dsin乙4DB=csn9.0 BD 在△4CD中，由正弦定理得，b CD sfin∠ADc= 9分 即CDsin∠4Dc=sn(g-0② 当=时，CD=2BD,又n∠4DB=n∠ADC,后-g 代人0@中，化简得n(行-03n0。 12分 所以2W5cos0-2sin0=3sin,得an0=2 5 即tan∠BAD=23 15分 17.(本小题满分15分) 已知A、B两点的坐标分别为(-2,0)，(2,0)，直线PA,PB相交于点P,且它们的斜率 之积为，点P关于x轴的对称点为Q,直线PA与BQ相交于点R,记P,R的轨迹分别为 C1、C2. (1)求C和C2的方程： (2)若过点心)的直线交C于M,N两点。 (i)求证：以MN为直径的圆过定点： (iⅱ)当直线N的斜率存在时，记△AN的外接圆和内切圆的半径分别为R,r, 且√2(r+R)=MN,求直线MN的斜率. 解新：)设P出，则≠士2，k2三” x-2 由已知：=之点2子化筒得C:草-产-1《≠士2》3分 第9页共12页 设R(,yW,则由P、A、R三点共线得：4=k即h,=y 2t2@ 同理由Q、B、R三点共线得：，=二)@ x。-2x-2 ①X②得 9。.。=y二y=- x。+2x。-2x+2x-24 所以C,的方程为+y=1《x≠士2). .6分 (2)()因为椭圆关于y轴对称，过点E的任意一条直线均有一条直线与之关于y轴对称， 所以以MN为直径的任意一个圆都存在另一个圆与之关于y轴对称， 所以N为直径的圆过定点，则由对称性可知该定点必在y轴上，设为点2(0，t), 若直线W的斜率存在，设其方程为y=,点MG,y.N(), 消去y化简可得+4松)4x0, x2+4y2=4 25 24k 64 所以+650+网21+4状 8分 由@w10得丽tg0)4a0, 5 0*)G+(+0gj-0 -64(1+k2） 即 251+4k2） [t2-1=0 所以 25x2+30M-5=01=1,故以w为直径的圆过(0,1) 若直线l斜率不存在，以MN为直径的圆显然过(0,1)， 综上，以N为直径的圆过定点(0,1)； 10分 (i)由(i)知，AM⊥AW,所以2R=MW,2r=AM+AN-MW, 因为V2(r+R)=MW,所以AM+AW=V2N|, 即AM+ANP+2AMAN=2N，也即(AM-AW=-0, 第10页共12页 所以AM=AW,取线段MN中点为P,则AP⊥MN, 因为+gK+)名合，所以点的坐标为 12k 3 51+42)’51+4k2) 当k=0时，AP⊥MN,符合题意， 当k≠0时，k=5-2,则知k=5水-2-1，解得k=±5 3k 3 综上，=0或-士，即直线40的斜率为0或± 5 15分 18.(备选)（本小题满分17分） A=1,2,3,4,5,6,7,8,M={(x,y)川x∈Ay∈A},从M中选出n个有序数对构成一列： (,)…,(x,n).相邻两项(x,y),(x1,)满足： 5-x=3k1-x=4 出=4或以-川3”称为列. 可或 (1)若k列的第一项为(3,3)，求第二项， (2)若x为k列，且满足i为奇数时，x∈1,2,7,8：i为偶数时，x∈3,4,5,6)： 判断：(3,2)与(4,4)能否同时在r中，并说明： (3)证明：M中所有元素都不构成k列， 【解析1.(1)根据题目定义可知，下一项是(6,7)或(7,6)； 3分 (2)假设二者同时出现在t中，由于k列取反序后仍是k列， (3)故可以不妨设(3,2)在(4,4)之前显然，在k列中，相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性 总是相反的，所以从(3,2)到(4,4)必定要向下一项走奇数次.但又根据题目条件， 这两个点的横坐标均在中，所以从(3,2)到(4,4)必定要向下一项走偶数次 这导致矛盾，所以二者不能同时出现在π中 6分 (3)假设全体元素构成一个k列，则n=64. 设T={x,yx∈1,2,7,8，y∈12,3,4,5,6,7,8}，I={x,y∈3,4,5,6}，y∈12,3,4,5,6,7,8}. 则T1和T,都包含32个元素，且T中元素的相邻项必定在T,中. 8分 如果存在至少两对相邻的项属于，，那么属于，的项的数目一定多于属于T的项的数目， 所以至多存在一对相邻的项属于T. 如果存在，则这对相邻的项的序号必定形如2m和2m+1, 第11页共12页 否则将导致属于T,的项的个数比属于T的项的个数多2，此时=1,2,3，，31， 从而这个序列的前2m项中，第奇数项属于T,第偶数项属于T,； 这个序列的后64-2项中，第奇数项属于T,,第偶数项属于T. …11分 如果不存在相邻的属于T,的项，那么也可以看作上述表示在m=0或=32的特殊情况. 这意味着必定存在m∈和，12,32，使得4)∈.G)eI,l≤k≤m (x2-1y2-1)eT,(化2，y2)e,l+1≤k≤32· 由于相邻两项的横纵坐标之和的奇偶性必定相反，故T中横纵坐标之和为奇数的点和横纵坐 标之和为偶数的点的数量一定分别是m和32-（不一定对应）13分 但容易验证，T和工，都包含16个横纵坐标之和为奇数的点和16个横纵坐标之和为偶数的点， 所以m=32-m=16,得m=16. 从国有格团 这就得到T={(xy)k=13,5,29,31,34,36,62,64} .15分 再设I={,y)∈{红2,34,5,6,7,8y∈12,7,8}，I={x,y)x∈红23,4,5,6,7,8y∈8,4,5,6} 则同理省仁5 这意味着T={(x,yk=1,3,5,,29,31,34,36,,62,64}. 从而得到T,=T,但显然它们是不同的集合，矛盾 所以全体元素不能构成一个k列： 17分 第12页共12页长鄂中学2026届高三数学满分训川练（4) 命题人：潭泽阳审题人：陈贞、毛水 一、选择题：本大题共7小题，每小题5分，共计35分，每小题给出的四个选项中， 只有一个选项是正确的，请把正确的选项填涂在窖题卡相应的位置上. 1.已知命题p:x∈{xx>1,x2+16>8,则命题p的否定为() A.x∈(xx>1,x2+16≤8 B.x∈(xx≤1，x2+16≤8 C.3x∈{x|x>1,x2+16≤8 D.3r∈{x|x≤1，x2+16≤8 2.已知平面，B为两个不同的平面，直线m为内一条直线， 则“m/1B”是“a/1B”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知d=1,=2,a1(2ā+b),则a+25在6上的投影向量为() A.36 B. 3五 C.6b D. 3 2 4 1已知/y+为偶两数，则a的省为() A.1 B.-1 C.2 D.-2 (*)5.如图是一块高尔顿板的示意图在一块木板上钉着若干排 相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的 空隙作为通道，前面挡有一块玻璃将小球从顶端放入，小球 下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下， 最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0,1,2，， 10,用X表示小球最后落入格子的号码，则小球最可能落入格子 e。 的号码X的值为() A.4 B.5 C.6 D.7 6.已知函数fx)=Asim(or+9到A>0,@>0州<习 的部分图像如图所示， 若方程f(x)=m在子x上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是() A.(-2,-1] B.[-2,- c.(-2,5 D.[-2,-3 7.己知抛物线y2=2Px上三点A(2,2),B,C,直线AB,AC是圆(x-2)2+y2=1的两条切线， 则直线BC的方程为() A.x+2y+1=0 B.x+3y+2=0 C.2x+6y+3=0 D.3x+6y+4=0 二、多选题：本大题共2小题，每小题6分，共计12分，每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求.全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分 (*)9.若小明坐公交上班的用时X(单位：分钟)和骑自行车上班的用时Y(单位：分钟) 分别满足X~N30,62),Y~N(34,22),且同一坐标系中X的密度曲线与Y的密度曲线 在t=38分钟时相交，则下列说法正确的是() A.P(X>38)<P(Y>38) B.P(24≤X≤36)=P(32≤Y≤36) C.若要在34分钟内上班不迟到，小明最好选择坐公交 D.若X的密度曲线与Y的密度曲线相交所对应的另一个时间为t,则t=31 （若X-N(a,则其密度曲线为=】e器) √2元6 2 10.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A,B,CD,中，点E,F分别为AB,BC的中点， 动点G在棱CC上（不含端点），则下列说法正确的有() A.△EFG是钝角三角形 B.平面EFG截该正方体所得截面的形状可能是平行四边形 C.当G为CC的中点时，平面EFG与底面ABCD所成角的正切值为√2 D.若G,E,B,F在同一个球面上，则该球的表面积的最小值为10元 三、填空题：本大题共2小题，每小题5分，共计10分 (*)12.已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值，则c的值为 (*)13.甲、乙、丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者 都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，则4次传球后球在甲手中的概率为 四、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15。(本小题满分13分) 已知等差数列{a}和等比数列b}满足a,=4,b=2,a=2b-1,4=b+2. (1)求{a}和b}的通项公式： (2)数列{a}和b}中的所有项分别构成集合A,B,将AUB的所有元素 按从小到大依次排列构成一个新数列{cn},求数列{cn}的前60项和So: 16。（本小题满分15分) 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知∠B4C=于，BD=ADC (1)若=1，AD=√6，求△ABC面积的最大值： 2)若后求mM》 3 17.（本小题满分15分) 已知A、B两点的坐标分别为(-2,0)，(2,0)，直线PA,PB相交于点P,且它们的斜率 之积为，点P关于x轴的对称点为Q,直线PA与BQ相交于点R,记卫，R的轨迹分别为 C1、C2. (1)求C和C2的方程； (2)若过点0-)的直线交C,于M,V两点 (i)求证：以N为直径的圆过定点： (ⅱ)当直线N的斜率存在时，记△AMN的外接圆和内切圆的半径分别为R,r, 且√2(r+R)=W,求直线N的斜率. 18.(备选)（本小题满分17分） A=1,2,3,4,5,6,7,8,M={(x,y)川x∈Ay∈A},从M中选出n个有序数对构成一列： (任)().相邻两项(，y),(sy)满足： 化H-=3金小1-x=4 少=4或以-川=3”称为列. 可或 (1)若k列的第一项为(33)，求第二项. (2)若r为k列，且满足i为奇数时，x∈1,2,7,8}：i为偶数时，x∈3,4,5,6； 判断：(3,2)与(4,4)能否同时在x中，并说明； (3)证明：M中所有元素都不构成k列. 4