湖南长沙市长郡中学2026届高三数学满分训练（3）

长都中学2026届高三数学满分训练(3) 命题人：吴华华审题人：郭小燕、肖诗刚 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的 1.已知复数z= 2+i (i为虚数单位)，那么二的共轭复数为() 1-i p. c D.33 22 【答案】B 【解】 复数：= 2+i(2+i)1+i)1+3i 1-i(1-i)1+i)2 郑么：的共抚复数为：片斗放选B 2.已知圆台上底面直径为2，下底面直径为4，母线长为3，则该圆台的体积为() A.14V2 B.14V5 c.28V2 D.28V5 3 3 3π 【答案】A 【】烟意，如图--e-心-25，所rA+红+原4运 故选：A 3.“-号-后ez)小是“函数y=an2x+孕的图象关于点化，0)对称的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由充分条件、必要条件的定义，结合三角函数的性质判断即可 【详解】正切函数=mx的对称中心为经0，令2+ez),解得x任ce2 32 46 所以函数y=tm2x+孕的对称中心为任0：ez) 因为中=誓名e2是-红名e的真子集， 所以，=经若（化ez)”是“函数y=ta(2x+孕的图象关于点区，o)对称"的充分不必要条件故选：A. 4.若圈10少=)北>0)上到直线y方2的矩离为v5的点有且仅有2个， 则半径r的取值范围是() 5s B. (3W575 D.(V5,+m) 【答案】C 【详解】由圆x2+(y-1)2=r2(>0),圆心为(0,1)，半径为”， -1+2 2 d= 则圆心(0,1)到直线二x-y+2=0的距离为 1)2 5, 2 +1 因为圆上的点到直线的距离为√5的点有且仅有2个， 后 解得35.7√5 3W57w5 <P< ,即r的取值范围是 故选：C 5 5 5,5 5.如图，四边形ABCD是面积为4的正方形，以B为斜边作等腰直角三角形B, 再以ABE,EB为边分别作正方形AEFG,BMNE,点C是B的中点，则COs2∠AO的值为() E G A D 1 A. B.2 c. n 【答案】D 【详解】因为正方形4BCD的面积为4，所以正方形ABD的边长为2 如图，连接AF,BN,则AF⊥AB,BN⊥AB,BN=AB=2,建立如图平面直角坐标系， 则A(0,0),B(2,0),0(1,0),N(2,2): 所以N4=（-2,-2),NO=（-1-2): 所以cosN,N石= M.W0_2+43310 W同2W2xV5i0-10,即CSLANO=3o 10 所以co32∠W0=2cos2∠AN0-1=2×91=4故选：D. 4 10 5 6.已知正数a,b满足2+b=1,则下列结论不正确的是 () A由有银大值后B子方有最小道8C.合号有最小值4D.心+公有最小值时 【答案】B 【餐1对于A因为2☑+61，a>06>0,所以a〔2”)-子所以安 (2 当且仅当a= ,b=时取等号，所以A正确，对于B,因为2a+b=1,a>0,b>0, 2 4 a b 当且仅当 2b公，即a=b时取等号，所以兰分的最小值为9，所以B错误 a a b 对于C,因为2a+b=1,a>0,b>0,所以上+92a+b+9=2+b+≥2+2 a b a b a b ba=4, Va b 当且仅当a=b=时取等号，所以上+有最小值4，所以C正确， 3 a b 对于D,因为2a+6=1,a060,所以+=0-2+松=04+1=50)+号 而0：b:宁所以当=专时，心+6有最小值；，所以D正痛，故达：B 6.已知写为曲线y=cosx与y=sin(2x+p0≤p<网的一个交点的横坐标， 则函数f(x)=sin(2.x+p)的一个单调增区间为 B. 2r7π 2π A.34] 36 e[ D. 【答案】B 3 【解】由题意可知，co}sm(交+)-}由于0sp<元， 所以+pc经p=冬解得p后放创=2x-总， 令-元+2m≤2x+亚s+2,k∈Z,解得-亚+机≤x≤匹+L,k∈Z, 2 62 3 6 故单调递增区间为一3 +m,+mbk∈Z, 6 元π 2元7π 当k=0时，一个单调递增区间为 36 当k=1时，一个单调递增区间为 3’6 当k=-1时，一个单调递增区间为 36故选：B 4π-5π 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的有() A.若事件A与事件B相互独立，P(A)=0.1,P(B)=0.2,则P(AUB)=0.28 B.若样本数据X,x2,…,xn的方差为4，则数据2x-3,2x2-3,…,2x。-3的方差为8 C.一个盒子中有3个黑球，2个白球，1个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球， 则事件“至少有一个红球与事件“两个球颜色相同”互斥 D.1,2,3,…,2024,2025,2026这2026个数的上四分位数是507 【答案】AC 【详解】选项A:事件A与B相互独立，则P(AUB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B), 又P(A)=0.1,P(B)=0.2,则P(AUB)=0.1+0.2-0.1×0.2=0.28,选项A正确： 选项B:设原数据的方差为D(X)=4,新数据为Y=2X-3, 因为D(aX+b)=aD(X)(4,b为常数)，则D(Y)=D(2X-3)=22.D(X)=4×4=16,选项B错误； 选项C:记“至少有一个红球为事件M,“两个球颜色相同为事件N: 事件M的样本点：（红，黑）、（红，白）、（黑，红）、（白，红）：事件N的样本点：（黑，黑）、（白，白）： 事件M与N无公共样本点，不可能同时发生，故M与N互斥，选项C正确： 选项D:对于n=2026个按从小到大排列的数据，上四分位数的位置为： i=n×75%=2026×0.75=1519.5,根据百分位数定义，位置i为小数时，取第。1519.5=1520个数 作为上四分位数，而非507，因此选项D错误. 10.设函数f(x)与其导函数'(x)的定义域均为R,且'(x+2)为偶函数，f(1+x)-f(1-x)=0,则() A.f"(1+x)=f'(1-x)B.f'(3)=0C.f"(2025)=0D.f(2+x)+f(2-x)=2f(2) 4 【答案】BCD 【解】对于A,f(1+x)-f(1-x)=0,f"(1+x)+'(1-x)=0,即'(x)关于(1,0)对称，故A错误； 对于B,f(x+2)为偶函数，故f(x+2)=f'(-x+2),即'(x)关于x=2对称， 由(x)关于x=2对称，知f'(3)=f'(1)=0,故B正确； 对于C,f'(x)关于x=2对称和f(x)关于(1,0)对称可得：f'(x)=-∫'(-x+2)=f'(-x+4), 故∫"(x+4)=-f"(x+2)=-[-f"(x)]=f"(x),即f'(x)的周期为4，所以f"(2025)=f()=0,故C正确： 对于D,由f'(x+2)=f'(-x+2)得：f(x+2)=-f(-x+2)+m, 即f(x+2)+f(-x+2)=m,令x=0得，2f(2)=m,故f(2+x)+f(2-x)=2f(2),故D正确 故选：BCD 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 22x 的展开式中常数项为 【答案】40 【解】：由 2x 展开式的通项公式为T,1=C;2(-1)x-2, 则+2x-的展开式中带数项为GS2G2=0教答案为40 13已知双曲线-y 云方京=L(a>0,b>0)的左，右焦点分别为乃，￡，点P在双曲线的右支上， 且PE=4PF,,则此双曲线的离心率e的最大值为 解：由定义划P吹1P明2a,又已刹P吹4P那，解得P四-4，P 2a, 64 4 在△PFE,中，由余弦定理，得cos∠TPI,=9ga一 2.8.2 17_9e2, 881 3a30 大值，即求cos∠PK的最小值，当cos∠PE=-I时，解得e=子即e的症 解二：设P(x),由焦半径公式得PF=ex+a,PF=ex-a,PF=4PF,引，∴ (ex+0=4(er-a),e=5 ·二耳簿创a.‘二5∂，‘D≥， 3x 四、解答题：本题共4小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.某学校校庆时统计连续5天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 第x天 1 2 3 4 5 参观人数y 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数，加以说明（保留小数点后两位）； (若>0.75，则认为y与x的线性相关性很强)，并求出y关于x的线性回归方程； (2)校庆期间学校开放1号门、2号门和3号门供校友出入，校友从1号门、2号门和3号门进入学校的概率 分则为片，各片：且出学校与进学视达择相同门的瓶本为了选排与入校不同两1的商率各为片假设校 友从1号门、2号门、3号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁4名校友于10月1日回母校参加活动， 设X为4人中从2号门出学校的人数，求X的分布列、期望及方差， 附：参考数据： y=72,=55,=4,∑y=95.86,V1586≈12.59 xy-xy 参考公式：回归直线方程y=bx+a,其中b=回 a=y-bx 一2 之xy-nxy 相关系数” 【答案】0)as,说明见解析，-12x+04:(@分布列见解析，()1，D(2x)-} 【解】(1)依愚意，x=1+2+3+4+5-3,而公y=72,2x=55,=4, 1=1 j=1 ∑xy-5x 1=1 72-5×3×4 12 12 则r= 0.95 -5 V55-5×3V95.86-5×42V158.612.59 因为r≈0.95>0.75时线性相关程度高，所以y与x线性相关性很强，可以用线性回归模型拟合. ∑xy-5xy 5-5x3=12,a=y-6=4-1.2x3=04, 72-5×3×4 因此，回归方程为y=1.2x+0.4 5分 (2)记“甲从2号门出学校”为事件A,“甲从1号门进学校”为事件B, “甲从2号门进学校为事件C,“甲从3号门进学校”为事件D, 6 由题意可得P(a)=号，P(C)=石P(D)3P(4B)=P(AD)-名P(AC)-子 由全概率公式得：P(A)=P(BA+CA+DA)=P(BA)+P(CA+P(DA) =P@Pao-Peac9+DAV)-合号若 同理乙、丙、丁从2号门出学校的概率也为 X为4人中从2号门山学校的人数，则X-B4号》， 0x-o--器=-c到--器 Px=2-e用)嘉品px-=c月-品高 Px=4=周6 故X的分布列为： X 0 1 2 3 4 81 27 27 3 1 256 4 128 64 256 B(X)=4x-1,D(x)=4xx3-3 4 444 .13分 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，△ADC与△BAC均为等腰直角三角形，∠ADC=90°，∠BAC=90°， E为BC的中点. ①若F,G分别为PD,PE的中点，求证：FG/1平面PAB; ②若PA⊥平面ABCD,PA=AC,求直线AB与平面PCD所成角的正弦值. 【解析】(1)取PA的中点N,PB的中点M,连接 FN,MN,MG,:'△ACD与△ABC为等腰直角三角形且 ∠ADC=90°，∠BAC=90°，不妨设AD=CD=2, ∴AC=AB=2N2,∴.BC=4.E,F分别为BC,PD的中 点FN=2AD=1,GM=2BE=1,且FN/AD,GM/ BC..·∠DAC=45°，∠ACB=45°，.AD∥BC,.FN∥ GM,.四边形FGMN为平行四边形，.FG∥MN, ,FG￠平面PAB,MNC平面PAB,∴.FG∥平面PAB; .5分 (2)PA⊥平面ABCD,.以A为原点，AC,AB,AP所在 直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系， G B D E C 设AD=CD=2,则A(0,0,0),B(0,22,0), C(22,0,0),D(2,-2,0),P(0,0,22),AB= (0,22,0),DC=(2,2,0),C=(-22,0,22),设 D元.n=0, 平面PCD的法向量为n=(x,y,z),∴. c.n=0, 2x+2y=0,取x=1,y=-1,2=1,n9 {-22x+22z=0, (1,-1,1).设AB与平面PCD所成角为0，则sin0= 1s(,1=.10x1+22x(-)+0x1 |AB|元|22×√12+(-1)2+1 22X√53，即直线AB与平面PCD所成角的正弦值 22√3 为了 15分 17.如图，对每个正整数n,A(xn,yn)是抛物线x2=4y上的点，过焦点F的直线FA交抛物线 于另一点Bn(sn,tn) （I）试证：x,Sn=-4(n≥1)： (Ⅱ)取xn=2”,并记Cn为抛物线上 分别以A与B为切点的两条切线的交点. 试证：FC+FC2++FCn=2”-21+1. 证明：(I)对任意固定的≥1，因为焦点F(0,1),所以可设直线ABn的方程为y-1=knx, 将它与抛物线方程x2=4y联立，得x2-4k,x-4=0, 由一元二次方程根与系数的关系得x,5n=-4. 3分 ()对任意固定的n≥1，利用导数知识易得抛物线x=4y在A,处的切线的斜率-。 故=4y在A,处的切线方程为y-为=多(c-x), ① 2 癸似地，可求得x=4v在B,处的切线方程为y1号一S，包 由@减去①得y-1=-、x+, 2 2 从而三戈5+、s,5x=,x=+,③ 44 2 2 2 4 2 将3代入0并注成到x。=-4得交点C,的华标为（产。，-） 两的鹿商除元相心心1-孚异？号兰2-序 44 4x2 从而C.上+2 …10分 2|x 现在xn=2”,利用上述已证结论并由等比数列求和公式得， 9+…c++)-女女安 2+2+…292京… =(2”-1)+(2-27+=2”-2m+1+1. 15分 (备选)18.已知函数f(x)=a(x-1)-xhnx,且f(x)≤0. (1)求a; (②)已知f'(0为函数f)的导函数，证明：对任意的0<4<，均有fx)>f,)f2, X2-x1 3)证明：对任意的neN*,均有1 +1 1 <ln2. +2n+3 2n+1 1 【详解】1)由f≤0得a0-令-lhx≤0， 令8)=al-为-hx,x>0,则g侧=-1-a= Γx2xx2 ①当a≤0时，g'(x)<0恒成立，g(x)在(0，+∞)上单调递减，且8()=0，不符题意； ②当a>0时，g(x)在(0，ad)上单调递增，在(a,+)上单调递减， 故g.x=g网=a-l-l血a≤0，令=a-1-na,则h(a=1-1=a-1, aa 故h(d在(O,1)上单调递减，在(L,+o)上单调递增， 则h(admm=h1)=0,即a-1-lna≥0，又a-1-lna≤0，所以a-1-na=0,解得a=1..5分 (2)由(1)知f(x)=x-1-xhnx,f'"(x)=-nx, 要证f)>f,）f2,即证-nx>-+血-血， X2-X1 x2- 进一步变形为=5,0，甲E字-（传 x2-x ->0 X2-X1 因为0<<飞，令1=支>1，则需证-任-卫>0(4>1，即证r-t-1)>0(1>I) X t-1 设g(t)=tnt-(t-1),t>1,g'()=ht+1-1=lnt, 当t>1时，g'()>0,g(t)在(L1,+o)单调递增，所以g(t)>g(1)=0,得证.10分 (3)由(1)知f(x)=x-1-hx,且f()≤0， k+1-11 当0时，1r<0,时h,令=告（eN则h尖 t> 要证1+1 .21 n+2n+3 +<h2.即E2+2, 2n+1 因为m+1、1 所三立 2 k+1 之生-胖+b-n2 2n 2n n+1(n+1 <n2,得证.17分 10长鄂中学2026属高三数学满分训川练（3) 命题人：吴华华审题人：郭小燕、肖诗刚 一、选择题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的 1.已知复数z= 2+i 1-i (i为虚数单位)，那么：的共轭复数为() D.33 22 2.己知圆台上底面直径为2，下底面直径为4，母线长为3，则该圆台的体积为() A.14V2 3元 B.14V5 元 c.28V5 28V5 3 3 3.-誓名ez)是函数y=ta(2x+孕的图象关于点0)对称的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4若圆父+0-少=>0)上到直线y=号x+2的距离为5的点有且仅有2个 则半径？的取值范围是 () 3W5 3W57W5 B 5,5 D.(V5,+∞ 5.如图，四边形A®D是面积为的正方形，以B为斜边作等腰直角三角形B 再以AE,EB为边分别作正方形AEFG,BMNE,点C是B的中点，则cOs2∠4O的值为() G R D 6.已知正数a,b满足2a+b=1,则下列结论不正确的是 () A西有最大值日B.名+方有最小值8C.日日有最小值4D.G+6有最小值} a b a b 6.已知5为曲线y=cosx与y=sin(2r+0≤9<的一个交点的横坐标，则函数f()=sin(2x+9)的一 个单调增区间为 ( 2π7π B 3’6 c. 63 D 二、选择题：本题共2小题，每小题6分，共12分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的有() A.若事件A与事件B相互独立，P(A)=0.1,P(B)=0.2,则P(AUB)=0.28 B.若样本数据X,x2,…,x的方差为4，则数据2x-3,2x-3,…,2x-3的方差为8 C.一个盒子中有3个黑球，2个白球，1个红球，不放回地抽取两次，每次抽一个球，则事件“至少有一个 红球与事件“两个球颜色相同互斥 D.1,2,3,…,2024,2025,2026这2026个数的上四分位数是507 10.设函数f(x)与其导函数f'(x)的定义域均为R,且f'(x+2)为偶函数，f(1+x)-f(1-x)=0,则() A.f'(1+x)=f(1-x)B.f'(3)=0 C.f"(2025)=0D.f(2+x)+f(2-x)=2f(2) 三、填空题（本大题共2小题，每小题5分，共10分） 2(x+2x 的展开式中常数项为 1且已如双曲线等茶=1a>0b0)的左，右能点分别为，S,点P在双自线的右支上 y 且|PF上4PF,|,则此双曲线的离心率e的最大值为 四、解答题：本题共4小题，共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.某学校校庆时统计连续5天进入学校参加活动的校友数（单位：千人）如下： 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 第x天 1 2 3 4 5 参观人数y 2.2 2.6 3.1 5.2 6.9 (1)由上表数据看出，可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数？加以说明（保留小数点后两位）； (若>o.5,则认为y与x的线性相关性很强)，并求出y关于x的线性回归方程： (2)校庆期间学校开放1号门、2号门和3号门供校友出入，校友从1号门、2号门和3号门进入学校的概率 分别为宁、名、}，且出学校与进学校选择相同门的概率为子，选择与入校不同两门的概率各为后假设校 6 友从1号门、2号门、3号门出入学校互不影响，现有甲、乙、丙、丁4名校友于10月1日回母校参加活动， 设X为4人中从2号门出学校的人数，求X的分布列、期望及方差。 16.如图，在四棱锥P-ABCD中，△ADC与△BAC均为等腰直角三角形，∠ADC=90°，∠BAC=90°， E为BC的中点. ①若F,G分别为PD,PE的中点，求证：FG//平面AB; G ②若PA⊥平面ABCD,PA=AC,求直线AB与平面PCD所成角的正弦值. 3 17.如图，对每个正整数n,A(xn,yn)是抛物线x2=4y上的点，过焦点F的直线FA交抛物线 于另一点Bn(sn,t)· (I）试证：x,Sn=-4(n≥1)； (Ⅱ)取xn=2”,并记Cn为抛物线上 分别以A与B为切点的两条切线的交点. 试证：FC+FC2++FCn=2-2+1. (备选)18.已知函数f(x)=a(x-1)-xhx,且f()≤0. (1)求； (2)已知f"9为函数倒的导函数，证明：对任意的0<<，均有了)>f,)-f2 X2-X1 6)证明：对任意的neN*,均有1十L++,1<n2 n+2n+32n+1 4