湖南长沙市长郡中学2026届高三数学满分训练（2）

长郡中学2026届高三数学满分训练(2)参考答案 1.由-4<x-1<4得-3<x<5,且x≠1，又xeN,则A={0,2,3,4, 其子集个数共有24=16，除去集合A本身，则其真子集个数为16-1=15，故选：D. 2.命题“x>1,x2-x>1的否定是“3x>1x2-x≤1”故选：A 3.由题可知，AB=OB-OA=(4,1)-(1,2)=(3,1),AC=OC-OA=(3+1,3-t）1,2)=(2+t,1-t). 若点A,B,C能构成三角形，则A,B,C三点不共线，即向量AB与AC不共线， 所以片，即-21≠33，所以1=故选：C 4自图像可知：君号君T:子，所以心于- ΓT-2' 把0代入解折式得：m号于90=p=点平&=Z.因为情号，取=1得- 所以=m是+则得+=-5放途： 3 若A地区派驻两名医生，则有CC,CC=36种不同方式；若B或C区有两名医生， 则有C.C.C·A=36种不同方式.所以不同的派驻方式有36+36=72种.故选：B. 6.如图： 因为D平分∠A8c,所以铝能手又AC=所以D 在VABC中，根据余弦定理，可得c0sA=4B+AC-BC_16+21-25_3 2.AB.AC 8V212√21' 在△ABD中，根据余弦定理， 92-25,所以BD-452g BD=4B+4D2AB40.cosA=16+g22x4x4213-16x2刃 3√5-9 故选A. 7.由题知a=2,b=√5，c=√万，因为A、AB、B成等差数列，所以A+B=2AB, 由双曲线的定义得：A-AE=2a=4①，B-BE=2a=4②， ①+②得A+BE-BE-AF=8,又因为AB=BF+A引，A+B=2AB 试卷第1页，共5页 所以AR+B-BF-AF=2AB-(BF,+AF)=2AB-AB=AB=8故选：B 9.对于A,数据12,14,1517,19,23,27,30共8个数， 8×70%=5.6,所以第70百分位数是第6个数23，说法正确： 对于B,回归方程y=-0.45x+0.6中=-0.45<0，所以变量y与x成负相关，说法正确： 对于C,因为随机变量X服从正态分布N(3,σ2)，P(X≤4)=0.64， 所以P(3≤X≤4)=P(X≤4)-0.5=0.14，所以P(2≤X≤3)=P(3≤X≤4)=0.14，说法错误； 对于D,在线性回归分析中决定系数R2用来刻画回归的效果，若R2值越大，越接近1，则模型的拟合效果 越好，说法错误；故选：AB 10.对于A,a.b=(1,3,-2)6.(4,0,2)6=(i+3j-2k4i+2k)=4+2i.k+12i·j+6j:k-8ki-4=12cos6, 因为0<日<元，且0≠匹，所以ab≠0，故A错误： 对于B,如图所示，设OB=b,OA=4,则点A在平面Oxy上，点B在z轴上， B A 由图易知当x=y时，∠AOB取得最小值，即向量a与b的夹角取得最小值，故B正确； 对于C,根据“仿射坐标的定义可得，a+b=(3y,之)8+2y222)9=1+yj+zk1+y,J+zk）】 =(31+x2)i+(以+y2)j+(名+22=G+x2出+y21+22)θ，故C正确； 个小×=S降里洋洋T(汁科'粉里平(Oa-0翻段园 2 故选：BC. (★)12.因为5=1+i,52=x+2i(x∈R),故=2=(1+0(x+2)=(x-2)+(x+2)i 因为22∈R,故x+2=0,即x=-2.故答案为：-2 (★)13，根据棱柱的定义知，有两个面是互相平行且是全等的多边形，其余每相邻两个面的交线也互相 平行，而这些面都是平行四边形，所以(1)和(2)正确： 试卷第2页，共5页 因为水面EFGH所在四边形，从图2，图3可以看出，有两条对边边长不变而另外两条对边边长随倾斜度 变化而变化，所以水面四边形EFGH的面积是变化的，(3)错误； 因为棱AD始终与BC平行，BC与水面始终平行，所以(4)正确： 因为水的体积是不变的，高始终是BC也不变，所以底面积也不会变，即BE·BF是定值， 所以(5)正确：综上知(1)(2)(4)(5)正确，故答案为：(1)(2)(4)(5). 15.(1)频率分布直方图中所有小矩形面积之和为1， (0.005+0.010+0.015+0.030+a)×10=1,解得a=0.040 [90,100]的频率为0.015×10=0.15<0.2，[80,100]的频率和为(0.015+0.040)×10=0.55>0.2， 故排名前20%的同学的成绩位于[80,90)内，且设为x,则0.15+(90-x)×0.040=0.2,解得x=88.75, .进入决赛的同学成绩应不低于88.75分.6分 (2)甲乙两人共计答对三道题目的情况有： 甲对一道题，乙对两道题，或甲对两道题，乙对一道题， 设甲对一道题，乙对两道题为事件A,甲对两道题，乙对一道题为事件B, ④-1引e@)cc)8 两人各道题答对与杏互不影响，则P=P-P)=名音 。甲、乙两人共计答对三道题目的概率为2了 ..13分 (★)16.(1)证明：取AC的中点M,连接BM,BM. 在正三角形ABC中，因为M为AC的中点，所以BM LAC. 因为B,B=B,B,BC=BA,∠BBA=∠BBC=60°，所以△BBA≌△BBC,所以B,A=B,C 因为M为AC的中点，所以B,M⊥AC 因为B,MABM=M,BM,BMc平面BBM,所以AC⊥平面B,BM. 因为B,BC平面BBM,所以AC⊥BB..6分 (2)解：过M作BC的垂线，垂足为N,连接BN 在ABB,中，由余弦定理得AB2=AB2+B,B2-2AB×B,B×cos60°=7， 所以B,M= 4B- =√6.因为BM=√5，所以BMP+BM2=BB2,所以B,M⊥BM 因为ACBM=M,AC,BMC平面ABC,所以BM⊥平面ABC 因为BCC平面ABC,所以BM⊥BC 试卷第3页，共5页 因为M⊥BC,M,B,MC平面B,MN,所以BC⊥平面B,MN 因为B,NC平面B,MN,所以BC⊥B,N,所以∠BM为二面角A-BC-B,的平面角. EBCM中，NEBC=，BN=VBM+=3的 BC 2 所以sin∠BM=M22所以三面角ABC-A的E弦值为2V5 15分 3 17.(1)当a=1时，fd)=(4x+2nc+1,f'(x)=4nx+4+2,得f"①)=6， 所以曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程为y-1=6(x-1),即6.x-y-5=0..4分 (2)方法一：g(x)=(x+2)2-(4x+2)nx-a,xe(0,+w), g(y=2c+2)-4nx-4+2-2x12n, 令a2n,te0+得g心)=1+二-少生20，敌g四在0，+回)内单调递增，又 q1)=0,则当x∈(0,1)，q(x)<0,得g'()<0,g(x)单调递减， 当x∈(1，+o),q(x)>0,得g'(x)>0,g(x)单调递增， 从而g(x)在x=1处取得极小值，同时也是最小值，最小值为g(1)=9-a. 又当x>0且x→0时，g(x)→+0，当x→+n时，g(x)→+o, 由函数g(x)有且仅有一个零点，可得g(1)=9-a=0,则a的值为9.5分 方法二：g(x)=(x+2)2-(4x+2)nx-a,x∈(0，+o),令g(x)=0得a=(x+2-(4x+2nx, 专=++2a,@,则-a+4h2- 令9)=x-2hx,∈0，o,得g0-1+2_-少≥0， 故q(x)在(0，+∞)内单调递增，又q(①)=0， 则当x∈(0,1)，q(x)<0,得1(x)<0,h(x)单调递减，当x∈(1，+o),q(x)>0,得(x)>0,h(x)单调 递增，从而h(x)在x=1处取得极小值，同时也是最小值，最小值为()=9 又当x>0且x→0时，h(x)→+n,当x→+∞时，h(x)→+0， 试卷第4页，共5页 由函数g(x)有且仅有一个零点，可得a=h(1)=9,则a的值为9.15分 (备选)18.(1)a.=n2+21,所以a1=(-1)+2(n-1)=-1,a1=(n+1)+2(+1)=m2+4+3. a-1+a+1=n2-1+n+4n+3=2n2+4n+2,而2a。=2(+2m=2n2+4n, 因为2n+4n+2>2n2+4n,即an-1+an1≥2a.,所以{an}为凸数列. b.=-2，则b1=-22,b1=-2,所以b1+b4=-2-2=- 2×2” 4 而2边=-22=-2，因为-子2<-2，即A+b<2的，所以}不是凸数列5分 (2)因为{a}是一个凸数列，所以对任意的neN且n≥2，都有a-1+a+1≥2a4,即a-a.≥a.-a-1, 当1≤k<l<n时，有am-am-1≤am+1-am≤≤a.-a-1, 所以a-a=a-a）++(a1-a)20m-m(a1-a,故8-a≥a4-a n-n 又a-a4=(a-a)++(a1-a)sm-k)a.-a）,故8二g≤a。-a4 m-k 因为a1-a≥a-a1,所以8，-a≥-410分 n-m m-k (3)因为数列{b}是凸数列，所以b1+b1≥2b。, c1+c1=21+2≥2V2≥2W2=2c,当且仅当b1=b1时，等号成立， 即{Cn}为凸数列，所以cn1-Cn≥Cn-Cm1,所以C2-C21≥C2k1-C2-2≥≥S-9, 所以C2k+G≥C24+C2≥C22+S≥≥C++?;因为Cn}的所有项的和等于2k,所以 2k=G+C2++c2k=(G+c2t)+(C2+C2-1)++(C+CH)≥k(C+CkH), 所以C+C1≤2，当且仅当C+C2=C2+C21==Cx+CH时取等号，此时数列{C}为等差数列； 而C-1+C+1≥2cn中等号成立要求凸}为常数列. 设b,=b,则cn=2,由所有项的和为2k得2k.2=2k, 解得b=0;故当bn=0时，C+C1取最大值2.17分 试卷第5页，共5页长郡中学2026届高三数学满分训练（2) 命题人：陈家烦审题人：李典芳王小伟 一、单选题：本题共7小题，每小题5分，共35分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1.集合A={x∈N4<x-1<4,且x≠1}的真子集的个数是 A.32 B.31 C.16 D.15 2.命题x>1,x2-x>1的否定是 A.3x>1,x2-x≤1 B.3x≤1，x2-x>1 C.x>1,x2-x≤1 D.x≤1，x2-x>1 (★)3.已知OA=(1,2),OB=(4,1),OC=(3+t,3-t),若点A,B,C能构成三角形， 则实数t不能取的值为 A. B.-2 c. D.月 4.已知函数f)-tam(ar+。>0习的部分图象如图，则f设) A.-3 B.-5 C.5 D.2+5 5.某医院拟组成4医生3护士共7人的工作队，派驻到3个地区A、B、C进行工作 若每一个地区至少派驻1医生1护士两位工作人员，且医生甲必须派驻到A地区， 则不同的派驻方式有 A.36种 B.72种 C.98种 D.108种 6.在VABC中，AB=4,BC=5,AC=√2I,D为边AC上一点，且BD平分∠ABC,则BD= A.20W3 B.2 9 9 3 C.2 0.号 7、双曲线号=1的左右焦点分别为R、R,过R的直线与双曲线的右支交于A、B两点， 且A、AB吲、B成等差数列，则AB等于 A.16 B.8 C.4 D.2 试卷第1页，共4页 二、多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列命题中，真命题的是 A.数据12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位数是23 B.若回归方程为y=-0.45x+0.6,则变量y与x成负相关 C.若随机变量X服从正态分布N(3,o2),P(X≤4)=0.64，则P(2≤X≤3)=0.07 D.在线性回归分析中决定系数R2用来刻画回归的效果，若R2值越小，则模型的拟合效果越好 10,已知单位向量1，，k两两的夹角均为00<0<飞0+，若空间向量口满足 a=+yj+(xy二∈R),则有序实数组(x,y,)称为向量a在“仿射坐标系Oxz(O为坐标原点) 下的“仿射”坐标，记作a=(x,y,z)8,则下列命题是真命题的为 A.已知a=(1,3,-2)日，b=(4,0,2)6,则a.b=0 B.已知a=(,y.0)行b=(0.0,)写其中xy>0, 则当且仅当x=y时，向量αb的夹角取得最小值 C.已知a=(x1y1,1)8,b=(x2y2,22)8,则a+b=(x+5,片+，+三2)日 D.已知o1=1,00)5,0B=(0,10),0C=(Q.0,1)5,则三棱锥0-A8C的表面积S=V2 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 (★)12.设复数5=1+i,二2=x+2i(x∈R),若z22∈R,则x等于 (★)13.如图，透明塑料制成的长方体容器ABCD-ABCD内灌进一些水， 固定容器底面一边BC于地面上，再将容器倾斜.随着倾斜度的不同，有下面五个命题： A D A B B (1) (2) (3) (1)有水的部分始终呈棱柱形： (2)没有水的部分始终呈棱柱形： (3)水面EFGH所在四边形的面积为定值： (4)棱AD始终与水面所在平面平行： (5)当容器倾斜如图(3)所示时，BE·BF是定值. 其中所有正确命题的序号是 四、解答题：本题共3小题，共43分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(本小题满分13分)某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的 主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者.比赛分为初赛和决赛 两个环节，现从所有初赛成绩（满分100分，最低分50分）中，随机调查了部分同学的测试成绩， 按[50,60)，[60,70)，[70,80)[80,90)分组，并绘出了如图所示的频率分布直方图.按照规定， 成绩排名前20%的同学可入围决赛， 频率 组距 a 0.030-- 0.015---- 0.010--- 0.005 05060708090100成绩/分 (1)求图中α的值并估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ (2)现有甲、乙两同学入围决赛，均需回答两道考题，己知甲同学答对每道题目的概率均为。，乙同学 答对每道题目的概率均为，且两人各道题答对与否互不影响，求甲、乙两人共计答对三道题目的概率。 (★)16.（本小题满分15分）如图，在三棱柱ABC-ABC中，底面ABC为正三角形，AB=2,BB,=3, ∠BBA=∠BBC=60° (I)求证：AC⊥BB: (2)求二面角A-BC-B,的正弦值. C A B 试卷第3页，共4页 17.(本小题满分15分)已知函数f(x)=(4x+2)nx+a. (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1,1)处的切线方程： (2)若函数g(x)=(x+2)2-f(x)有且仅有一个零点，求a的值， (备选) 18.(本小题17分)已知数列{a},如果对任意的n∈N且n≥2，都有a-1+a≥2a, 则称{a}为凸数列. (1)直接判断数列a=n2+21和b,=-2”-是否为凸数列： (2)若a}是一个凸数列，证明：当k,m,neN,且1≤k<m<n时，有-a≥。-a n-m m-k (3)已知项数为2k(k≥2，k∈Z)的数列{bn}是一个凸数列，cn=2,n=1,2,3,,2k, 且{cm}的所有项的和等于2k,求c+Cx的最大值.