第五章 图形的轴对称【期末复习讲义】基础版-2025-2026学年北师大版数学七年级

2025-2026学年北师大版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第五章 图形的轴对称【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+25个题型讲练+真题实战练 共60题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 轴对称图形的识别 题型二 成轴对称的两个图形的识别 题型三 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型四 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型五 求对称轴条数 题型六 折叠问题 题型七 画对称轴 题型八 画轴对称图形 题型九 设计轴对称图案 题型十 车牌号码的镜面对称 题型十一 钟表的镜面对称 题型十二 电子钟示数的镜面对称 题型十三 台球桌面上的轴对称问题 题型十四 轴对称中的光线反射问题 题型十五 等边对等角 题型十六 三线合一 题型十七 线段垂直平分线的性质 题型十八 作已知线段的垂直平分线 题型十九 角平分线的性质定理 题型二十 作角平分线（尺规作图） 题型二十一 最短路径问题 题型二十二 线段问题（轴对称综合题) 题型二十三 面积问题（轴对称综合题) 题型二十四 角度问题（轴对称综合题) 题型二十五 其他问题（轴对称综合题) 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 知识点二 轴对称性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点三 画轴对称图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形. 知识点四 线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 知识点五 角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 知识点六 等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 知识点七 等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 知识点八 将军饮马-最短路径问题 基本图模 1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 2. 中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 轴对称图形的识别 【例1】（2025·陕西西安·一模）春节于年月日被列入世界非物质文化遗产名录，这标志着春节不仅是中国的重要传统节日，也是全球文化多样性的重要组成部分．下面春节的相关剪纸图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】本题考查了轴对称图形的概念，熟练掌握轴对称图形的概念是解答本题的关键． 根据轴对称图形的概念逐项判断即可解答． 【规范解答】解：A、不是轴对称图形，故A选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故B选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故C选项不符合题意； D、是轴对称图形，故D选项符合题意； 故选：D． 【变式】（24-25七年级上·山东淄博·月考）认真观察图（1）～图（4）中阴影部分构成的图案，回答下列问题：    (1)请写出这4个图形都具有的两个共同特征①______；②______． (2)请在图（5）中，设计一个新的图形，使它也具有这两个共同特征 【答案】(1)①轴对称图形；②阴影部分的面积都等于4个小正方形的面积和 (2)见解析 【思路引导】本题考查利用轴对称设计图案的知识，解题时要注意判断图形的共性，首先要看对称性；有阴影的，注意观察阴影部分的面积是否相同． （1）从图形的对称性，以及图形中阴影部分的面积入手考虑； （2）只需符合是轴对称图形，阴影部分面积为4即可． 【规范解答】（1）解：①都是轴对称图形； ②阴影部分的面积都等于4个小正方形的面积和； （2）解：如图（答案不唯一）：    题型讲练二 成轴对称的两个图形的识别 【例2】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．    (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (2)线段被直线l___________； (3)在直线l上找一点P，使的长最短； 【答案】(1)见详解 (2)垂直平分 (3)连接交直线l于点 【思路引导】(1）根据轴对称的性质即可画出图形； (2）根据轴对称的垂直可得答案； (3）连连接交直线l于点，此时最短． 【规范解答】（1）解：作法：1．先描出点的对应点 2．顺次连接， 即为所求；    （2）根据轴对称的性质得，被被直线l垂直平分， 故答案为：垂直平分； （3）解：连接交直线l于点，此时最短． 证明：连接，任意取点，连接，    根据轴对称的性质，得，， ， ， ， 故最短． 【考点剖析】本题主要考查了作图﹣轴对称变换，轴对称的性质，轴对称﹣最短路线问题等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 【变式】（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了成轴对称图形的相关概念，掌握成轴对称图形的概念是解答本题的关键．根据成轴对称图形的相关概念逐项判断即可解答． 【规范解答】解：A、不符合成轴对称图形的相关概念，故A不符合题意； B、不符合成轴对称图形的相关概念，故B不符合题意； C、符合成轴对称图形的相关概念，故C符合题意； D、不符合成轴对称图形的相关概念，故D不符合题意； 故选：C． 题型讲练三 根据成轴对称图形的特征进行判断 【例3】（25-26七年级下·全国·周测）如下图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，，，． (1)试写出EF，AD的长度． (2)求的度数． (3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？ 【答案】(1)， (2) (3)直线MN垂直平分线段BF 【思路引导】本题考查了轴对称，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键； （1）（2）（3）根据轴对称的性质即可得出相关信息． 【规范解答】（1）解：∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称， ，， ，． （2）解：∵四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称， ， ∴． （3）解：∵对称轴垂直平分对应点的连线， ∴直线MN垂直平分线段BF． 【变式】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知在地图上，点表示学校的位置，点表示游泳馆的位置，且点在点的正北方向距点处． (1)已知车站在学校的北偏东方向距学校处，请标出汽车站的位置； (2)若公园与汽车站关于直线对称，请在图中标出公园的位置，并说明，对学校而言，公园在它的什么位置． 【答案】(1)见解析 (2)图上表示见解析，公园在学校的北偏西方向距学校处 【思路引导】（）根据方向角的定义及距离标出汽车站的位置即可； （）根据轴对称的性质作出图形，再根据轴对称的性质及方向角的定义解答即可； 本题考查了用方向角表示位置，作轴对称图形，掌握方向角的定义及轴对称的性质是解题的关键． 【规范解答】（1）解：如图所示，点即为所求； （2）解：如图所示，点即为所求，对学校而言，公园在学校的北偏西方向距学校处． 题型讲练四 根据成轴对称图形的特征进行求解 【例4】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为________． 【答案】(1) (2) 【思路引导】（1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出的度数； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【规范解答】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ∴ ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为． 【变式】（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，已知和关于直线对称． (1)结合图形指出对称点； (2)若连接，直线与线段有什么关系？ (3)若延长与，它们的交点与直线有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律． 【答案】(1)点的对称点是，点的对称点是，点的对称点是 (2)直线垂直平分线段 (3)对应线段（或其延长线）的交点在对称轴上 【思路引导】（1）根据所给对称关系，写出对称点即可； （2）根据轴对称的性质即可解决问题； （3）根据题意进行画图，发现规律即可解决问题． 【规范解答】（1）解：由题知， 点的对称点是，点的对称点是，点的对称点是； （2）解：连接， 则直线垂直平分线段； （3）解：若延长与， 它们的交点在直线上，其他对应线段（或其延长线）的交点也在直线上， 规律：对应线段（或其延长线）的交点在对称轴上． 题型讲练五 求对称轴条数 【例5】（2024八年级上·江苏·专题练习）认真观察图甲，其中每个小正方形的边长都是1． (1)①图甲中阴影部分构成的图案是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？如果不是，请说明理由． ②图甲中阴影部分的面积是多少？ (2)请在图乙中设计出至少有两条对称轴且面积与图甲中阴影部分面积相等的一个轴对称图形． 【答案】(1)①图甲中阴影部分构成的图案是轴对称图形，有4条对称轴；②4 (2)见解析 【思路引导】本题考查了利用轴对称设计图案的知识，同时考查了学生的动手实践能力和逻辑思维能力． （1）观察图形即可得出答案． （2）根据轴对称图形的定义及特点即可设计出满足条件的图形． 【规范解答】（1）解：①图甲中阴影部分构成的图案是轴对称图形，有4条对称轴． ②∵每个小正方形的边长都是1， ∴图甲中阴影部分的面积． （2）所设计图形如下所示：（答案不唯一） 【变式】（23-24七年级上·山东青岛·期末）在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形，有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题： (1)非等边的等腰三角形有______条对称轴，非正方形的长方形有______条对称轴，等边三角形有______条对称轴； (2)观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图和图都可以看作由图修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图和图中，分别修改图和图，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形； (3)小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形； (4)请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴． 【答案】(1)1，2，3 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【思路引导】本题主要考查了轴对称图形的设计，对称轴的条数，解题的关键是熟知轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合． （1）根据对称轴的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就叫做对称轴进行求解即可； （2）仿照题意进行设计即可； （3）仿照题意进行设计即可； （4）仿照题意进行设计即可． 【规范解答】（1）解：非等边的等腰三角形有1条对称，非正方形的长方形有2条对称轴，等边三角形有3条对称轴， 故答案为：1，2，3； （2）解：恰好有1条对称轴的凸五边形，如图所示； （3）解：恰好有2条对称轴的凸六边形，如图所示； （4）解：恰好有3条对称轴的凸六边形，如图所示； 题型讲练六 折叠问题 【例6】（25-26七年级下·山东枣庄·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点落在边上的点处，点落在点处，与交于点，若，则的度数为（） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】利用平行线的性质求出，再结合折叠性质和平角定义求解． 【规范解答】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 由折叠的性质可知，， ∵点，，在同一直线上， ∴ ． 【变式】（25-26七年级下·江苏常州·期中）折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿折叠，展开后，再沿折叠（如图2）．若，，则________． 【答案】31 【思路引导】由折叠的性质可得，再由平行线的性质得到，设，则，根据平角的定义可得方程，解方程即可得到答案． 【规范解答】解：如图所示， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴． 题型讲练七 画对称轴 【例7】（2025·吉林·模拟预测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、P、Q均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，画出的对称轴； (2)如图②，四边形的面积为________； (3)如图②，点M是线段上一点，在线段上找一点N，使． 【答案】(1)见解析 (2)6 (3)见解析 【思路引导】本题考查了作图-轴对称变化，解题的关键是掌握轴对称变换的性质． （1）根据轴对称图形的定义画出对称轴即可； （2）利用梯形的面积公式求解； （3）连接交对称轴于点J，连接，延长交于点N，根据轴对称的性质，则，，进而可以证明，则有，则是点N即为所求． 【规范解答】（1）解：（1）如图①中，直线m即为所求； （2）（2）四边形的面积， 故答案为：6 ． （3）（3）如图②中，点N即为所求． 【变式】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，网格中的与为轴对称图形， (1)如果每一个小正方形的边长为，请直接写出的面积 ； (2)利用网格线作出与的对称轴； (3)结合所画图形，在直线上画出点，使最小．（所有作图保留必要的画图痕迹） 【答案】(1) (2)图见解析 (3)图见解析 【思路引导】本题考查了轴对称图形与轴对称的性质、两点之间线段最短，熟练掌握轴对称图形与轴对称的性质是解题关键． （1）结合网格，利用正方形的面积减去三个直角三角形的面积即可得； （2）连接对应点，，利用网格作出，的垂直平分线即可得； （3）连接，与直线的交点即为点． 【规范解答】（1）解：的面积为 ． 故答案为：． （2）解：直线即为所求，如图： （3）解：点即为所求，如图： 题型讲练八 画轴对称图形 【例8】（25-26七年级下·山东济南·月考）在边长为1的小正方形组成的网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），的三个顶点都在格点上，请利用网格线和直尺画图． (1)在图中画出关于直线成轴对称的；的面积为___________； (2)在所给的网格内，在直线上找一点，使的面积等于的面积． (3)在直线上确定一点，使得的周长最小． 【答案】(1)见解析；8； (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（）分别找到、、三点关于直线的对称点、、，再顺次连接； （）两个三角形都可以是以为底的三角形，根据同底等高即可知面积相等，所以只需要作同高，根据平行线间的距离相等，过作的平行线交于即可； （）的周长，长度固定，所以只需让最小；作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求的点． 【规范解答】（1）关于直线成轴对称的如图所示： 分别找到、、三点关于直线的对称点、、，再顺次连接； ∵ ∴ ∴． （2）解：过作的平行线交于，点即为所求作的图 （3）解：的周长，长度固定，所以只需让最小；作点关于直线的对称点，连接，与直线的交点即为所求的点． 【考点剖析】本题主要考查了轴对称图形，作轴对称图形，以及最短路径的问题，熟练掌握相关知识点是解决本题的关键． 【变式】（25-26七年级下·山东济南·月考）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出关于直线m对称的； (2)请求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)5 【思路引导】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）利用直角梯形的面积减去旁边两个直角三角形的面积即可． 【规范解答】（1）解：如图所示， 即为所求； （2）解：． 题型讲练九 设计轴对称图案 【例9】（2026·河北石家庄·一模）如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点，，均在格点上．请在给定的网格中，找一个格点，使以点，，，为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】根据轴对称图形的定义，动手逐个判断即可求解． 【规范解答】解：如图所示， 即：满足条件的点D的个数为2个， 【变式】（25-26七年级下·江苏连云港·月考）将一个正方形彩纸依次按如图1，如图2所示的方式对折，然后沿图3中的虚线裁剪，则将图3的彩纸展开铺平后的图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路引导】观察所剪的小圆和扇形与两条居中折线的位置关系，再根据对称性，即可得出正确答案． 【规范解答】解：剪去的小圆靠近图2的折线及正方形的上边缘，根据对称性，则展开后正方形的上下边缘居中处有四个小圆；剪去的扇形靠近图1的折线及正方形的右边缘，根据对称性，故正方形的左右边缘都有缺口，观察选项，只有D符合． 题型讲练十 车牌号码的镜面对称 【例10】（25-26八年级上·河南许昌·期中）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【答案】D 【思路引导】本题考查了镜面对称的性质，解题的关键是正确将镜像号码进行水平翻转并转换对应字符．把镜子中的号码水平翻转（左右镜像），同时转换每个字符的镜像对应，得到实际号码． 【规范解答】 解：镜面对称为水平翻转（左右镜像），将镜子里的号码进行水平翻转后，字符的镜像对应为，即组合得到实际号码为3265． 故选：D． 【变式】（25-26八年级上·江苏淮安·月考）从镜子中看到的这个号码  ，实际上是______． 【答案】 【思路引导】本题考查了镜面对称，正确理解轴对称的性质是解题的关键，注意体会物体与镜面平行放置和垂直放置的不同．根据镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称；据此解答即可得． 【规范解答】解：由镜面对称的性质可知，这个号码实际上是， 故答案为：． 题型讲练十一 钟表的镜面对称 【例11】（25-26八年级上·重庆江津·期中）小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A．B． C． D． 【答案】C 【思路引导】此题主要明白镜面对称的特点是：上下前后方向一致，左右方向相反．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右顺序颠倒，且关于镜面对称．把镜中的表针的时刻再还原到实际即可选择． 【规范解答】解：如图， 接近的有A、C，A是，C是，最接近的是C． 故选：C． 【变式】（25-26八年级上·重庆江北·月考）从镜子里看到位于镜子对面电子钟的像如图所示，则实际时间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了镜面对称，得到相应的对称轴是解决本题的关键；若是竖直方向的对称轴，数的顺序正好相反，注意2的对称数字为5，5的对称数字是2． 关于镜子的像，实际数字与原来的数字关于竖直的线对称，根据相应数字的对称性可得实际数字． 【规范解答】解：是从镜子中看， 对称轴为竖直方向的直线， 、0的对称数字为1、0，2的对称数字是5，镜子中数字的顺序与实际数字顺序相反， 这时的时刻应是． 故选：C． 题型讲练十二 电子钟示数的镜面对称 【例12】（25-26七年级上·上海·月考）东东放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车．由于去的早，他在候车室睡着了，等醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，则东东醒来时的正确时间是______． 【答案】 【思路引导】本题考查电子钟示数的镜面对称． 根据平面镜中的示数与实际时间左右对称，即可求解． 【规范解答】 解：∵平面镜中电子钟示数为“”，与左右对称， ∴东东醒来时的正确时间是“”， 故答案为：． 【变式】如图，在镜子中看到时钟显示的时间，则实际时间是___________． 【答案】 【思路引导】实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称，根据轴对称的性质求解即可． 【规范解答】解：由题意可知，实际时间和镜子中的时间关于竖直的线成轴对称， 由轴对称的性质得：实际时间是， 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了轴对称图形的性质，解题的关键是掌握轴对称图形的有关性质． 题型讲练十三 台球桌面上的轴对称问题 【例13】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【思路引导】本题考查了生活中的轴对称现象，根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断． 【规范解答】解：根据轴对称的性质可知，台球走过的路径为： 则球最后落入的球袋是2号袋． 故选：B． 【变式】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，长方形是台球台面，有白、黑两球分别位于点M，N处，试问：怎样撞击白球M，才能使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N？ 【答案】见解析 【思路引导】本题是日常生活中常见的台球问题，通过感知并描述台球的运动规律，想象出小球被撞击后的运动路线，可利用轴对称的性质作出图形，培养了空间观念和应用意识．要使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N，可画点M关于的对称点，连接交于点O，则沿方向撞击白球可满足要求． 【规范解答】解：如图所示，画点M关于的对称点；连接交于点O，则白球M沿碰撞台边，必沿反弹击中黑球N． 理由：由轴对称性质得． 又∵， ∴． ∴白球M沿碰撞台边，必沿反弹击中黑球N． 题型讲练十四 轴对称中的光线反射问题 【例14】如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查了轴对称的性质，根据平面镜反射光线的规律：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等，即可得出答案． 【规范解答】解：∵平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的角相等， ∴． 故选：B． 【变式】（23-24八年级·全国·单元复习）如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的_______．    【答案】号袋 【思路引导】根据每次的入射角总是等于反射角画出球运动的路线，即可得出答案． 【规范解答】解：如图，球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中号袋．    故答案为：号袋． 【考点剖析】本题主要考查了轴对称的性质，解题的关键是根据题意画出球运动的路线． 题型讲练十五 等边对等角 【例15】（2026·安徽蚌埠·二模）如图，直线，直线分别交，于点，，点在射线上，且，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】先根据两直线平行，内错角相等可得的度数，再根据等边对等角可得的度数，最后根据三角形的内角和定理即可求得的度数． 【规范解答】解：，， ， ， ， ． 【变式】如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则为（   ）度． A．30 B．45 C．36 D．54 【答案】C 【思路引导】由等边对等角可得，由作图可得，平分，再由角平分线的定义计算即可得出结果． 【规范解答】解：∵， ∴， 由作图可得，平分， ∴． 题型讲练十六 三线合一 【例16】如图，已知：，点D在边上，且． (1)求证：； (2)如果O为中点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【思路引导】（1）先根据角的和差运算得到，结合已知条件即可利用证得结论； （2）根据全等三角形对应边和对应角相等，可知为等腰三角形，然后根据等边对等角、三线合一以及三角形内角和定理，即可解答． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴； （2）解：由（1）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵O点为中点， ∴． 【变式】如图，在中，于点，是上一点，连接，已知．求证：． 【答案】证明见解析 【思路引导】本题考查等腰三角形的性质及平行线的判定定理．关键是利用等腰三角形的性质找到相等的内错角，进而证明两直线平行．先根据等腰三角形“三线合一”的性质，由且推出；再由，利用“等边对等角”得到；通过等量代换得到，最后依据“内错角相等，两直线平行”证明． 【规范解答】证明：∵，， ∴； ∵， ∴； ∴； ∴． 题型讲练十七 线段垂直平分线的性质 【例17】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线l对称的；（要求：A与，B与，C与相对应） (2)若有一格点P到点A、B的距离相等（），则网格中满足条件的点P共有 个； (3)在直线l上找一点Q，使的值最小； (4)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3)见解析 (4)5 【思路引导】（1）利用轴对称的性质，即可作出关于直线l对称的； （2）依据格点P到点A、B的距离相等，作出的垂直平分线，经过的格点即为所求； （3）根据两点之间，线段最短，连接，与直线l的交点Q即为所求； （4）依据割补法进行计算，即可得到的面积． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求， ； （2）解：如图所示，网格中满足条件的点P共有4个； （3）解：如图所示，点Q即为所求； （4）解：． 【变式】（25-26八年级下·湖北武汉·开学考试）如图，在中，，点P为射线上一点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】（1）根据等腰三角形三线合一的性质即可证明； （2）可证明是线段的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质即可证明． 【规范解答】（1）证明：∵， ∴，即； （2）证明：由（1）知， 又∵， ∴是线段的垂直平分线， ∴． 题型讲练十八 作已知线段的垂直平分线 【例18】（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为________． 【答案】 【思路引导】本题考查了线段垂直平分线的性质，尺规作图—作线段和作线段的垂直平分线，由作图知，，垂直平分线段，则，则由即可求得周长． 【规范解答】解：由作图知，，垂直平分， ∴， ∴， ∴的周长为， 故答案为：12． 【变式】（24-25七年级下·全国·期末）如图，已知． (1)尺规作图：作的外角的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)尺规作图：作边的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题主要考查作角平分线和线段垂直平分线，熟练掌握基本作图是解答本题的关键． （1）利用基本作图作的平分线即可； （2）利用基本作图作出的垂直平分线即可． 【规范解答】（1）解：如图，即为所作． （2）解：如图，即为所作． 题型讲练十九 角平分线的性质定理 【例19】如图，中，平分交于点．若，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】过点D作于E，根据角平分线的性质可得，再根据及求出的长即可求解． 【规范解答】解：过点D作于E，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵，平分，， ∴， 即点D到的距离为． 【变式】如图，中，，利用尺规在，上分别截取、，使；分别以D、E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若，P为上一动点，则的最小值为（   ） A．无法确定 B． C．1 D．2 【答案】C 【思路引导】由垂线段最短可得，当时，的值最小，再结合角平分线的性质定理即可得出结果． 【规范解答】解：由作图可得：平分， 由垂线段最短可得，当时，的值最小， ∵， ∴由角平分线的性质定理可得，即的最小值为． 题型讲练二十 作角平分线（尺规作图） 【例20】（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，小于的长为半径作圆弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点； ③作射线，交边于点．若，则的大小为____________． 【答案】 【思路引导】根据作图可得平分，进而根据直角三角形的两个锐角互余，即可求解． 【规范解答】解：由作图得平分， ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，作的平分线． (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序的序号依次为________． ①分别以点为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点P； ②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点M，交于点N； ③作射线，交于点D． (2)证明的理论依据是________（填序号）． ①SSS；②ASA；③AAS；④角平分线上的点到角两边的距离相等． (3)过点D作于E，若，，，求的长． 【答案】(1)②①③ (2)① (3)． 【思路引导】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，作角平分线； （1）根据作角平分线的顺序进行判断，即可求解； （2）证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （3）根据角平分线的性质可得，进而根据，即可求解． 【规范解答】（1）解：作的平分线的正确顺序是②①③； 故答案为：②①③； （2）解：能说明的依据是①； 如图所示，连接，． 在和中， ， 故选：①； （3）解：如图所示，过点作于点． ， ，， ． ， 即， ， 解得． 题型讲练二十一 最短路径问题 【例21】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，平原上有，，，四个村庄，为解决当地饮水问题，政府准备出资修建一个蓄水池． (1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池的位置，使它到四个村庄的距离之和最小． (2)计划把河水引入蓄水池中，怎样开渠最短？请画出来，并说明依据． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；依据：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短． 【思路引导】（1）由两点之间线段最短可知，连接、交于，则为蓄水池位置； （2）根据垂线段最短可知，要做一个垂直的线段． 【规范解答】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：如图，过点作，垂足为．沿线段开渠最短． 依据：连接直线外一点与直线上各点的线段中，垂线段最短． 【考点剖析】此题主要考查了线段的性质以及垂线段的性质，正确掌握相关线段的性质是解题关键． 【变式】（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知四点、、、，请用尺规作图完成．（保留作图痕迹） (1)画直线，画射线，连接． (2)延长线段到．使得． (3)在线段上取点，使的值最小． (4)在（2）的条件下，若，，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【思路引导】本题考查的是画直线，射线，线段，两点之间线段最短的含义及线段的和与差，熟练的作图是解本题的关键． （1）过、画直线，以为端点，作过点的射线、连接即可； （2）先连接，再延长，以为圆心，为半径画弧，在延长线上截取即可； （3）与的交点即为点； （4）根据求出，根据即可得答案． 【规范解答】（1）解：如图，直线、射线，线段即为所求． （2）解：如（1）中图，点即为所求． （3）解：如（1）中图，点即为所求． （4）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 题型讲练二十二 线段问题（轴对称综合题) 【例22】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图是某果树树苗基地的平面示意图，，分别是桃树苗、杏树苗，中间为笔直的小路，为工具室，为笔直的水渠，灌溉沟． (1)在水渠上找一点，使从杏树苗到水渠，然后从水渠到工具室行走的总路程最短，在图中找出点 ，并画出行走路线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）； (2)现要在小路上修建一处诱虫处（点），要求诱虫处点到，的距离都相等，请确定点 的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【思路引导】本题考查了轴对称的性质，作线段的垂直平分线，线段的垂直平分线的性质． （1）根据题意作关于的对称点，连接交于点，连接，则即为所求 （2）根据题意连接，作的垂直平分线，即可求解． 【规范解答】（1）解：如图点，即为所求； （2）解：如图，点即为所求． 【变式】（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与实践 问题情境 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站A出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后返回空间站B．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 问题解决 数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作B关于能源站直线l的对称点，连接，与直线的交点即为最优燃料点，此时路径最短． 推理论证：如图3，在直线上另取任意一点，连接，，，只要说明即可． 证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ， ， ． 在中，， ，即最小． (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证； (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径； (3)如图4，在中，，．若点在上移动，点在上移动，如何确定的最小值？ 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】本题考查了轴对称的性质以及三角形三边关系．通过作对称点，将同侧点转化为异侧，利用两点之间线段最短和三角形三边关系是解题的关键． （1）利用轴对称性质，得到对称点到对称轴上点的距离相等，将转化为，再结合三角形三边关系，证明该线段长度为最小值； （2）通过作两点关于两直线的对称点，将折线转化为连接两对对称点的线段，利用“两点之间线段最短”确定最短路径即可； （3）过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 【规范解答】（1）证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ，， ． 在中，， ，即最小． 故答案为：，，，； （2）解：如图，即为最短路径； （3）解：过点作的垂线，垂足为点，交于点，此时的最小值为的长． 题型讲练二十三 面积问题（轴对称综合题) 【例23】如图，在正方形网格中有一个．    (1)画出关于直线的对称图形； (2)若网格上的每个小正方形边长均为1，求的面积； 【答案】(1)见解析； (2). 【思路引导】（1）先做出三点关于直线的对称点，然后顺次连接，即可得到. （2）利用割补法进行计算的面积即可． 【规范解答】（1）如图所示:即为所画； （2） . ∴的面积为6． 【考点剖析】本题主要考查了轴对称图形的作法，及网格中利用割补法求图形的面积．准确的做出图形是解题的关键． 【变式】如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形． (1)利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l； (2)结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小； (3)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3 【思路引导】（1）连接对应点，作出对应点连线的垂直平分线； （2）连接CD，与直线l交于点P； （3）用割补法进行计算即可． 【规范解答】（1）解：如图：直线l即为所求， （2）如图：连接CD，与直线l交于点P，点P即为所求． （3）． 故答案为：3． 【考点剖析】本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积的求解，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 题型讲练二十四 角度问题（轴对称综合题) 【例24】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝48°，点M和点N分别是射线OB和射线OA上的动点，当△PMN的周长为最小时，∠MPN的度数为____度． 【答案】84 【思路引导】作点关于的对称点，连接，，，得，；作点关于的对称点，连接，，，得，；根据；，，，共线时，周长最短，再根据对称性质，即可求出的角度． 【规范解答】作点关于的对称点，连接，，； ∴，， 作点关于的对称点，连接，，， ∴，， ∴ 当，，，共线时，周长最短 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴在中， ∴ ∵， ∴ ∵ 故答案为：． 【考点剖析】本题考查轴对称的最短路径问题，解题的关键是做出对称点，找到共线时路径最短，利用对称性质，对角等量代换． 【变式】已知． (1)如图1，若射线在的内部，且射线，关于射线对称．射线，关于射线对称，则 ．    (2)如图2，若射线在的外部，且，射线，关于射线对称，射线，关于射线对称，求的度数．    (3)若射线，关于射线对称，，请直接写的度数．    【答案】(1) (2) (3)的度数为或． 【思路引导】（1）由题意可得，，根据角的和差得出，计算即可求解； （2）根据和关于对称，得到，根据和关于对称，求得，根据角的和差即可得到结论； （3）①在内部，②当在外部，根据轴对称的性质即可得到结论． 【规范解答】（1）解：∵射线，关于射线对称．射线，关于射线对称， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图，    ∵射线，关于射线对称， ∴． 又∵射线，关于射线对称， ∴． ∵， ∴； （3）的度数为或． ①如图，当射线在的内部时，    ∵射线，关于射线对称， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ②当射线在的外部时， ∵射线，关于射线对称， ∴． 当射线在的下方时，． ∵， ∴射线不在射线的下方． 当射线在射线的上方时， 如图，，    ∴， ∴， ∴． 综上所述，的度数为或． 【考点剖析】本题考查了轴对称的性质，角的和差，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 题型讲练二十五 其他问题（轴对称综合题) 【例25】如图，在的正方形网格中，点A、B、C都在格点上点D是与网格线的交点且，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)作边上高． (2)画出点D关于的对称点F； (3)画射线，平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【思路引导】（1）取格点，连接交于点，线段即为所求； （2）作线段关于直线的对称直线与网格线的交点即为所求； （3）延长到点，使，找到中点，与点连接并延长，即为． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求； （2）如图，点即为所求； （3）如图，即为所求； 【考点剖析】本题考查作图—轴对称变换等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，灵活运用所学知识解决问题． 【变式】如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图1中画出与关于直线l成轴对称的； (2)如果三角形三个顶点都在格点处的三角形被称为“格点三角形”．那么请在图2中作出以AC为边与△ABC全等的格点三角形； (3)在图3中直线l上找一点P，使PB+PC的长最短． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【思路引导】（1）先画出点C和点B关于直线l的对称点，再依次连接即可； （2）根据题意画出图形即可； （3）先画出点C关于直线的对称点，再连接，与l相交于点P． 【规范解答】（1）解：如图，即为所求． （2）如图所示，可以作3个． （3）如图，点P即为所求． 【考点剖析】本题主要考查了作轴对称图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）如图，将一张长方形纸条沿着折叠，点的对应点是，点的对应点是.若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】首先根据平角定义求出的度数，再根据折叠性质求出的度数，进而求出的度数，最后利用平行线的性质可得的度数． 【规范解答】解：长方形纸条中，且， ，， 根据折叠可知：， ， ∵， 折叠后， ． 2．（25-26七年级下·广东东莞·期中）如图，长方形纸片的边缘互相平行，将纸片沿折叠，使得点分别落在点处．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】根据翻折的性质可得，再由平行的性质求解即可． 【规范解答】解：由翻折的性质可知，， ∴， ∵， ∴． 3．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】由折叠得出，，推出与之间的关系，再结合列式计算即可． 【规范解答】解：由折叠可知，， ． 由折叠可知，， ． ， ， 解得． 4．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，将长方形沿翻折，再沿翻折，若，则________度． 【答案】 【思路引导】利用长方形对边平行的性质，设，结合两次折叠的角度相等关系，用表示出的度数，再根据平行线同旁内角互补列方程求出，最后通过邻补角关系算出的度数． 【规范解答】解：∵四边形是长方形， ∴， ∴， 设， ∵， ∴ 由沿折叠可知： ∴， 由沿折叠可知： ∵， ∴，即， 解得：， ∴， ∴． 5．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，把沿折叠，使点C与点A重合，若，，则________． 【答案】6 【思路引导】由折叠的性质可得，即可求解． 【规范解答】解：由折叠的性质得：， ， ． 6．（25-26七年级下·湖南湘西·期中）一条两边互相平行的围巾按图甲所示折叠并将其绘制成图乙，已知，且，则______． 【答案】 【思路引导】将围巾展开，根据折叠的性质得：则，，设，根据平行线的性质得：，由平角的定义列式，可得x的值，从而得结论． 【规范解答】解：如图乙，由折叠得，，， 设，则， ∵， ∴，， ∴； ∵， ∴ ∵， ∴， 解得：， ∴． 7．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点． (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)的面积为______；（直接写答案） (3)用直尺在直线l上找一点P，使的长最短． 【答案】(1)作图见解析 (2)5 (3)作图见解析 【思路引导】（1）作点B，C关于直线l的对称点，再依次连接即可； （2）根据长方形的面积减去三个三角形的面积可得答案； （3）根据“两点之间线段最短”解答． 【规范解答】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：； （3）解：连接交直线l于点P，则点P即为所求． 连接，可知， ∴， 根据两点之间线段最短可得连接交直线l于点P，此时最短，即最短． 8．（25-26八年级上·广东韶关·月考）如图，在中，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 【答案】3 【思路引导】先通过角度关系推导，再结合、，用证，利用全等性质得、，最后结合及，求出． 【规范解答】解：， ， ． ∵， ∴， 在和中， ， ，． ， ． 9．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知小于的，点是边上的一个定点，点在边上． (1)如图，，将沿着直线翻折得，点的对应点为点，如果，求的度数； (2)在图中，用尺规作，使；（保留作图痕迹，无需说明作图步骤） 【答案】(1)的度数为； (2)见解析． 【思路引导】（）由，则，，又沿着直线翻折得，点的对应点为点，所以，然后通过角度和差即可求解； （）根据作一个角等于已知角的方法作出，交于点，则即为所求． 【规范解答】（1）解：∵， ∴，， ∵沿着直线翻折得，点的对应点为点， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）解：如图，即为所求． 10．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，使顶点B落在点处，点F为上一动点，连接，将沿折叠，使得点C落在点处． (1)若，求的度数． (2)当E，，三点共线时，_____°． (3)当E，，三点不共线，且，求的度数． 【答案】(1) (2)90 (3)的度数为或． 【思路引导】（1）由折叠的性质得，据此求解即可； （2）由折叠的性质结合平角的性质即可求解； （3）分两种情况讨论，由折叠的性质求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， 由折叠的性质得； （2）解：∵E，，三点共线， 由折叠的性质得，， ∵， ∴， ∴； （3）解：当折叠部分不重合时，如图， ∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴； 当折叠部分重合时，如图， ∵， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴； 综上，的度数为或． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第五章 图形的轴对称【期末复习讲义】-基础版 『导图+知识梳理+25个题型讲练+真题实战练 共60题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 轴对称图形的识别 题型二 成轴对称的两个图形的识别 题型三 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型四 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型五 求对称轴条数 题型六 折叠问题 题型七 画对称轴 题型八 画轴对称图形 题型九 设计轴对称图案 题型十 车牌号码的镜面对称 题型十一 钟表的镜面对称 题型十二 电子钟示数的镜面对称 题型十三 台球桌面上的轴对称问题 题型十四 轴对称中的光线反射问题 题型十五 等边对等角 题型十六 三线合一 题型十七 线段垂直平分线的性质 题型十八 作已知线段的垂直平分线 题型十九 角平分线的性质定理 题型二十 作角平分线（尺规作图） 题型二十一 最短路径问题 题型二十二 线段问题（轴对称综合题) 题型二十三 面积问题（轴对称综合题) 题型二十四 角度问题（轴对称综合题) 题型二十五 其他问题（轴对称综合题) 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 知识点二 轴对称性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点三 画轴对称图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形. 知识点四 线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 知识点五 角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 知识点六 等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 知识点七 等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 知识点八 将军饮马-最短路径问题 基本图模 1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 2. 中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 轴对称图形的识别 【例1】（2025·陕西西安·一模）春节于年月日被列入世界非物质文化遗产名录，这标志着春节不仅是中国的重要传统节日，也是全球文化多样性的重要组成部分．下面春节的相关剪纸图案中，是轴对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级上·山东淄博·月考）认真观察图（1）～图（4）中阴影部分构成的图案，回答下列问题：    (1)请写出这4个图形都具有的两个共同特征①______；②______． (2)请在图（5）中，设计一个新的图形，使它也具有这两个共同特征 题型讲练二 成轴对称的两个图形的识别 【例2】如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．    (1)在图中画出与关于直线l成轴对称的； (2)线段被直线l___________； (3)在直线l上找一点P，使的长最短； 【变式】（24-25八年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，哪一个选项中的右边图形与左边图形成轴对称（   ）． A． B． C． D． 题型讲练三 根据成轴对称图形的特征进行判断 【例3】（25-26七年级下·全国·周测）如下图，已知四边形ABCD与四边形EFGH关于直线MN对称，，，． (1)试写出EF，AD的长度． (2)求的度数． (3)连接BF，线段BF与直线MN有什么关系？ 【变式】（25-26七年级上·全国·课后作业）已知在地图上，点表示学校的位置，点表示游泳馆的位置，且点在点的正北方向距点处． (1)已知车站在学校的北偏东方向距学校处，请标出汽车站的位置； (2)若公园与汽车站关于直线对称，请在图中标出公园的位置，并说明，对学校而言，公园在它的什么位置． 题型讲练四 根据成轴对称图形的特征进行求解 【例4】（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为________． 【变式】（2026七年级下·江苏·专题练习）如图，已知和关于直线对称． (1)结合图形指出对称点； (2)若连接，直线与线段有什么关系？ (3)若延长与，它们的交点与直线有怎样的关系？其他对应线段（或其延长线）的交点呢？你发现了什么规律． 题型讲练五 求对称轴条数 【例5】（2024八年级上·江苏·专题练习）认真观察图甲，其中每个小正方形的边长都是1． (1)①图甲中阴影部分构成的图案是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？如果不是，请说明理由． ②图甲中阴影部分的面积是多少？ (2)请在图乙中设计出至少有两条对称轴且面积与图甲中阴影部分面积相等的一个轴对称图形． 【变式】（23-24七年级上·山东青岛·期末）在我们认识的多边形中，有很多轴对称图形，有些多边形，边数不同对称轴的条数也不同；有些多边形，边数相同但却有不同数目的对称轴．回答下列问题： (1)非等边的等腰三角形有______条对称轴，非正方形的长方形有______条对称轴，等边三角形有______条对称轴； (2)观察下列一组凸多边形（实线画出），它们的共同点是只有1条对称轴，其中图和图都可以看作由图修改得到的，仿照类似的修改方式，请你在图和图中，分别修改图和图，得到一个只有1条对称轴的凸五边形，并用实线画出所得的凸五边形； (3)小明希望构造出一个恰好有2条对称轴的凸六边形，于是他选择修改长方形，图2中是他没有完成的图形，请用实线帮他补完整个图形； (4)请你画一个恰好有3条对称轴的凸六边形，并用虚线标出对称轴． 题型讲练六 折叠问题 【例6】（25-26七年级下·山东枣庄·期中）如图，将一张长方形纸片沿折叠后，点落在边上的点处，点落在点处，与交于点，若，则的度数为（） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级下·江苏常州·期中）折纸是我国的一种传统艺术，如图1，将长方形纸条沿折叠，展开后，再沿折叠（如图2）．若，，则________． 题型讲练七 画对称轴 【例7】（2025·吉林·模拟预测）图①、图②均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B、P、Q均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图． (1)在图①中，画出的对称轴； (2)如图②，四边形的面积为________； (3)如图②，点M是线段上一点，在线段上找一点N，使． 【变式】（24-25八年级上·江苏镇江·期中）如图，网格中的与为轴对称图形， (1)如果每一个小正方形的边长为，请直接写出的面积 ； (2)利用网格线作出与的对称轴； (3)结合所画图形，在直线上画出点，使最小．（所有作图保留必要的画图痕迹） 题型讲练八 画轴对称图形 【例8】（25-26七年级下·山东济南·月考）在边长为1的小正方形组成的网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），的三个顶点都在格点上，请利用网格线和直尺画图． (1)在图中画出关于直线成轴对称的；的面积为___________； (2)在所给的网格内，在直线上找一点，使的面积等于的面积． (3)在直线上确定一点，使得的周长最小． 【变式】（25-26七年级下·山东济南·月考）如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，的三个顶点都在格点上． (1)在网格中画出关于直线m对称的； (2)请求出的面积． 题型讲练九 设计轴对称图案 【例9】（2026·河北石家庄·一模）如图是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点，，均在格点上．请在给定的网格中，找一个格点，使以点，，，为顶点的四边形是轴对称图形，满足条件的点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式】（25-26七年级下·江苏连云港·月考）将一个正方形彩纸依次按如图1，如图2所示的方式对折，然后沿图3中的虚线裁剪，则将图3的彩纸展开铺平后的图案是（   ） A． B． C． D． 题型讲练十 车牌号码的镜面对称 【例10】（25-26八年级上·河南许昌·期中）小明同学从镜子中看到的一组号码（如图），该号码表示的实际号码应该是（    ） A．2653 B．5623 C．3562 D．3265 【变式】（25-26八年级上·江苏淮安·月考）从镜子中看到的这个号码  ，实际上是______． 题型讲练十一 钟表的镜面对称 【例11】（25-26八年级上·重庆江津·期中）小明在镜中看到身后墙上的时钟如下，你认为实际时间最接近的是（   ） A．B． C． D． 【变式】（25-26八年级上·重庆江北·月考）从镜子里看到位于镜子对面电子钟的像如图所示，则实际时间是（   ） A． B． C． D． 题型讲练十二 电子钟示数的镜面对称 【例12】（25-26七年级上·上海·月考）东东放假去外地看爷爷，他买的是11点的火车．由于去的早，他在候车室睡着了，等醒来的时候，他从镜子中看到背面墙上的电子钟显示的时间如图所示，他吓了一身汗，以为自己错过了火车，则东东醒来时的正确时间是______． 【变式】如图，在镜子中看到时钟显示的时间，则实际时间是___________． 题型讲练十三 台球桌面上的轴对称问题 【例13】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球，每当球碰到长方形桌的边时会反弹，反弹的方向与原来的方向关于垂直于长方形桌边的直线对称，则球最后落入的球袋是（    ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【变式】（23-24八年级上·全国·课堂例题）如图所示，长方形是台球台面，有白、黑两球分别位于点M，N处，试问：怎样撞击白球M，才能使白球M碰撞台边反弹后击中黑球N？ 题型讲练十四 轴对称中的光线反射问题 【例14】如图是光的反射示意图，其中是入射光线，是反射光线，法线．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式】（23-24八年级·全国·单元复习）如图，球沿图中箭头方向击出后碰到桌子的边缘会反弹，其中叫做入射角，叫做反射角，如果每次的入射角总是等于反射角，那么球最后将落入桌子四个顶角处的球袋中的_______．    题型讲练十五 等边对等角 【例15】（2026·安徽蚌埠·二模）如图，直线，直线分别交，于点，，点在射线上，且，若，则（　　） A． B． C． D． 【变式】如图，在中，，，以点C为圆心，适当长度为半径作弧，交于点M，交于点N，再分别以点M、N为圆心，大于为半径作弧，两弧相交于点P，作射线交于点D，则为（   ）度． A．30 B．45 C．36 D．54 题型讲练十六 三线合一 【例16】如图，已知：，点D在边上，且． (1)求证：； (2)如果O为中点，，求的度数． 【变式】如图，在中，于点，是上一点，连接，已知．求证：． 题型讲练十七 线段垂直平分线的性质 【例17】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点（即三角形的顶点都在格点上）． (1)在图中作出关于直线l对称的；（要求：A与，B与，C与相对应） (2)若有一格点P到点A、B的距离相等（），则网格中满足条件的点P共有 个； (3)在直线l上找一点Q，使的值最小； (4)求的面积． 【变式】（25-26八年级下·湖北武汉·开学考试）如图，在中，，点P为射线上一点，连接． (1)求证：； (2)求证：． 题型讲练十八 作已知线段的垂直平分线 【例18】（25-26八年级上·北京西城·期中）如图，在中，以点为圆心，的长为半径作弧交于点，再分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于点和点，作直线交于点，连接．若，，则的周长为________． 【变式】（24-25七年级下·全国·期末）如图，已知． (1)尺规作图：作的外角的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； (2)尺规作图：作边的垂直平分线（保留作图痕迹，不写作法）． 题型讲练十九 角平分线的性质定理 【例19】如图，中，平分交于点．若，，则点到的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式】如图，中，，利用尺规在，上分别截取、，使；分别以D、E为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点F；作射线交于点G．若，P为上一动点，则的最小值为（   ） A．无法确定 B． C．1 D．2 题型讲练二十 作角平分线（尺规作图） 【例20】（23-24八年级上·浙江宁波·开学考试）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点为圆心，小于的长为半径作圆弧，分别交，于点，； ②分别以点，为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点； ③作射线，交边于点．若，则的大小为____________． 【变式】（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，作的平分线． (1)下列操作中，作的平分线的正确顺序的序号依次为________． ①分别以点为圆心，大于的长为半径作圆弧，在内，两弧交于点P； ②以点B为圆心，适当长为半径作圆弧，交于点M，交于点N； ③作射线，交于点D． (2)证明的理论依据是________（填序号）． ①SSS；②ASA；③AAS；④角平分线上的点到角两边的距离相等． (3)过点D作于E，若，，，求的长． 题型讲练二十一 最短路径问题 【例21】（25-26七年级下·全国·课后作业）如图，平原上有，，，四个村庄，为解决当地饮水问题，政府准备出资修建一个蓄水池． (1)不考虑其他因素，请你画图确定蓄水池的位置，使它到四个村庄的距离之和最小． (2)计划把河水引入蓄水池中，怎样开渠最短？请画出来，并说明依据． 【变式】（25-26七年级上·海南省直辖县级单位·期末）如图，已知四点、、、，请用尺规作图完成．（保留作图痕迹） (1)画直线，画射线，连接． (2)延长线段到．使得． (3)在线段上取点，使的值最小． (4)在（2）的条件下，若，，求线段的长度． 题型讲练二十二 线段问题（轴对称综合题) 【例22】（25-26八年级上·河北邢台·期末）如图是某果树树苗基地的平面示意图，，分别是桃树苗、杏树苗，中间为笔直的小路，为工具室，为笔直的水渠，灌溉沟． (1)在水渠上找一点，使从杏树苗到水渠，然后从水渠到工具室行走的总路程最短，在图中找出点 ，并画出行走路线（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）； (2)现要在小路上修建一处诱虫处（点），要求诱虫处点到，的距离都相等，请确定点 的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不必写作法）． 【变式】（25-26八年级上·山西忻州·期中）综合与实践 问题情境 如图1，在太空探索中，宇航员需要从空间站A出发，先到陨石带边缘收集样本，再到能源站补充燃料，最后返回空间站B．为了提高效率，宇航员需要设计一条最短路径． 问题解决 数学建模：如图2，若只需在能源站补充燃料，可作B关于能源站直线l的对称点，连接，与直线的交点即为最优燃料点，此时路径最短． 推理论证：如图3，在直线上另取任意一点，连接，，，只要说明即可． 证明：直线是点，的对称轴，点，在上， ， ， ． 在中，， ，即最小． (1)本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化为在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决．请补全上述推理论证； (2)请你根据以上材料内容，帮助宇航员在图1中画出最短路径； (3)如图4，在中，，．若点在上移动，点在上移动，如何确定的最小值？ 题型讲练二十三 面积问题（轴对称综合题) 【例23】如图，在正方形网格中有一个．    (1)画出关于直线的对称图形； (2)若网格上的每个小正方形边长均为1，求的面积； 【变式】如图，网格中的△ABC与△DEF为轴对称图形． (1)利用网格线作出△ABC与△DEF的对称轴l； (2)结合所画图形，在直线l上画出点P，使PA+PC最小； (3)如果每一个小正方形的边长为1，请直接写出△ABC的面积＝______． 题型讲练二十四 角度问题（轴对称综合题) 【例24】如图，点P是∠AOB内任意一点，∠AOB＝48°，点M和点N分别是射线OB和射线OA上的动点，当△PMN的周长为最小时，∠MPN的度数为____度． 【变式】已知． (1)如图1，若射线在的内部，且射线，关于射线对称．射线，关于射线对称，则 ．    (2)如图2，若射线在的外部，且，射线，关于射线对称，射线，关于射线对称，求的度数．    (3)若射线，关于射线对称，，请直接写的度数．    题型讲练二十五 其他问题（轴对称综合题) 【例25】如图，在的正方形网格中，点A、B、C都在格点上点D是与网格线的交点且，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示． (1)作边上高． (2)画出点D关于的对称点F； (3)画射线，平分． 【变式】如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形中，点A、B、C在小正方形的顶点上． (1)在图1中画出与关于直线l成轴对称的； (2)如果三角形三个顶点都在格点处的三角形被称为“格点三角形”．那么请在图2中作出以AC为边与△ABC全等的格点三角形； (3)在图3中直线l上找一点P，使PB+PC的长最短． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）如图，将一张长方形纸条沿着折叠，点的对应点是，点的对应点是.若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广东东莞·期中）如图，长方形纸片的边缘互相平行，将纸片沿折叠，使得点分别落在点处．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，将长方形纸片按照如图所示的方式折叠两次，第一次将四边形沿折叠得到四边形，交于点，第二次将四边形沿折叠形成四边形，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·江苏徐州·期中）如图，将长方形沿翻折，再沿翻折，若，则________度． 5．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，把沿折叠，使点C与点A重合，若，，则________． 6．（25-26七年级下·湖南湘西·期中）一条两边互相平行的围巾按图甲所示折叠并将其绘制成图乙，已知，且，则______． 7．（25-26七年级下·江苏无锡·期中）如图，在8×8的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点． (1)在图中作出关于直线l对称的； (2)的面积为______；（直接写答案） (3)用直尺在直线l上找一点P，使的长最短． 8．（25-26八年级上·广东韶关·月考）如图，在中，，点E在边上，点D在边上，且，若，，求的长． 9．（24-25七年级下·上海浦东新·期中）已知小于的，点是边上的一个定点，点在边上． (1)如图，，将沿着直线翻折得，点的对应点为点，如果，求的度数； (2)在图中，用尺规作，使；（保留作图痕迹，无需说明作图步骤） 10．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）如图，将长方形纸片沿折叠，使顶点B落在点处，点F为上一动点，连接，将沿折叠，使得点C落在点处． (1)若，求的度数． (2)当E，，三点共线时，_____°． (3)当E，，三点不共线，且，求的度数． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $