第五章 图形的轴对称【期末复习讲义】培优版-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

2025-2026学年北师大版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第五章 图形的轴对称【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+25个题型讲练+真题实战练 共60题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 轴对称图形的识别 题型二 成轴对称的两个图形的识别 题型三 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型四 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型五 求对称轴条数 题型六 折叠问题 题型七 画对称轴 题型八 画轴对称图形 题型九 设计轴对称图案 题型十 车牌号码的镜面对称 题型十一 钟表的镜面对称 题型十二 电子钟示数的镜面对称 题型十三 台球桌面上的轴对称问题 题型十四 轴对称中的光线反射问题 题型十五 等边对等角 题型十六 三线合一 题型十七 线段垂直平分线的性质 题型十八 作已知线段的垂直平分线 题型十九 角平分线的性质定理 题型二十 作角平分线（尺规作图） 题型二十一 最短路径问题 题型二十二 线段问题（轴对称综合题) 题型二十三 面积问题（轴对称综合题) 题型二十四 角度问题（轴对称综合题) 题型二十五 其他问题（轴对称综合题) 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 知识点二 轴对称性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点三 画轴对称图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形. 知识点四 线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 知识点五 角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 知识点六 等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 知识点七 等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 知识点八 将军饮马-最短路径问题 基本图模 1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 2. 中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 轴对称图形的识别 【例1】（2024七年级下·浙江·专题练习）新年伊始，虎年来临，大家都开始用上了虎的图腾与吉祥物．以下小老虎的表情设计没有利用轴对称的是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】A 【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，结合各选项的特点即可作出判断． 【详解】． 解：根据对称轴两旁的部分能完全重合可知，B、C、D都利用了轴对称，A没有利用轴对称， 故选：A． 【变式】（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）下列图形中不是轴对称图形的是（    ） A．    B．    C．     D．     【答案】A 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；依次进行判断即可. 【详解】解：A.不是轴对称图形，故故本选项正确； B.是轴对称图形，故本选项错误； C.是轴对称图形，故本选项错误； D.是轴对称图形，故本选项错误； 故选：A. 题型讲练二 成轴对称的两个图形的识别 【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了轴对称的定义，把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称，这条直线叫做对称轴，根据定义逐项判断即可． 【详解】A．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； B．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； C．找不到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，不能够完全重合，这两个图形不能关于直线成轴对称，故选项符合题意； D．可以找到一条直线，使两个图形沿这条直线折叠，能够完全重合，这两个图形能关于这条直线成轴对称，故选项不符合题意； 故选：C． 【变式】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示的每组中的两个图形，成轴对称的是______（填序号）． 【答案】③ 【分析】本题考查了对轴对称概念的理解和应用，如果两个图形沿着某一条直线对折后能够重合，那么这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，据此即可得出答案． 【详解】解：对折后不能重合， ③对折后能重合， 故答案为：③． 题型讲练三 根据成轴对称图形的特征进行判断 【例3】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ）． A．长方形有且只有一条对称轴 B．垂直于线段的直线就是线段的对称轴 C．平行四边形的对称轴是对角线 D．平面内两条相交直线是轴对称图形 【答案】D 【分析】本题考查轴对称图形的定义和性质，熟练掌握轴对称图形的定义是解题的盖世件，根据轴对称图形的定义逐一判断即可得到答案． 【详解】A、长方形有两条对称轴，此项错误； B、过线段的中点，且垂直于线段的直线才是线段的对称轴，此项错误； C、平行四边形不是轴对称图形，所以没有对称轴，此项错误； D、平面内两条相交直线是轴对称图形，此项正确． 故选：D． 【变式】（24-25七年级下·天津和平·期中）如果是轴对称图形，则它的对称轴一定是（    ） A．某一条边上的高； B．某一条边上的中线 C．平分一角和这个角对边的直线； D．某一个角的平分线 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时我们也说这个图形关于这条直线的轴对称判断即可； 【详解】如果是轴对称图形，则它的对称轴一定是平分一角和这个角对边的直线； 故选C． 题型讲练四 根据成轴对称图形的特征进行求解 【例4】（25-26七年级下·河北廊坊·期中）如图，直线相交于点O，，点P在的内部，且，点P关于直线的对称点分别是点，则点之间的距离的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质及三角形三边的关系，熟知轴对称的性质是解题的关键．根据轴对称的性质进行计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵点P关于直线的对称点分别是点P1，P2， ， ． ， ∴当时，， 此时点P1，P2之间的距离取得最大值为． 又， ∴点P1，P2之间的距离的取值范围是：． 故选：D． 【变式】（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图所示，在所给正方形网格图中完成下列各题：用直尺画图，保留痕迹 (1)格点顶点均在格点上的面积为_______； (2)画出格点关于直线对称的，使点A的对应点为点，点B的对应点为点，点C的对应点为点； (3)在上找一点P，使得周长最小； (4)在上找一点M，使得最大． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查网格与图形的变化，掌握网格求几何图形面积，轴对称图形及其性质，求线段最短的方法是解题的关键． （1）根据网格求几何图形面积的计算方法即可求解； （2）根据轴对称图形的性质作图即可； （3）根据轴对称图形的性质，两点之间线段最短的方法即可求解． （4）延长交直线于点M，则点M即为所求． 【详解】（1）解：格点的面积为， 故答案为：； （2）解：如图，即为所求． ； （3）解：如图，连接交直线于点P，连接， 此时的周长为，为最小值， 则点P即为所求； （4）解：， 当A，B，M三点共线时最大， 如图，延长交直线于点M， 此时，为最大值， 则点M即为所求． 题型讲练五 求对称轴条数 【例5】（25-26七年级下·河南周口·期中）如图1，棋盘上已经摆放好了3个棋子，如图2所示，再添加一个棋子后，这4个棋子恰好构成一个轴对称图形，直线m为对称轴． (1)请仿照图2，用新方法在图3的棋盘格点上添加1个棋子，使4个棋子构成一个轴对称图形，并画出对称轴 (2)这样的添加方法共有_______种（含图2方法）． 【答案】(1)图见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了利用轴对称设计图案，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键； （1）直接利用轴对称图形的性质得出对称轴位置； （2）直接利用轴对称图形的性质求解． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：这样的添加方法共有4种，如下图： 【变式】（24-25七年级下·北京海淀·开学考试）在当地时间月日结束的巴黎奥运会米气步枪混合团体比赛中，中国选手黄雨婷/盛李豪夺得本届奥运会首枚金牌，右图是巴黎奥运会射击项目图标，这个图案的对称轴条数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形对称轴，根据正方形有四条对称轴即可判断求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：∵图标中间是一个正方形，而正方形有四条对称轴，圆有无数条对称轴， ∴这个图案的对称轴条数为， 故选：． 题型讲练六 折叠问题 【例6】（25-26七年级下·北京西城·期中）将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的性质，可以得到，再根据折叠的性质，即可得到，最后根据平角的性质即可得解． 【详解】解：∵四边形是长方形纸片， ，， ， ∵折叠， ∴， ， ． 【变式】（25-26七年级下·山东聊城·期中）如图1，在长方形纸片中，点在上，点在上，将纸片沿折叠，点，的对应点分别为点，，交于点．设．继续折叠纸片，使落在边上（如图2），折痕为，沿继续折叠纸片（如图3），点的对应点为点，若，则的度数为_______． 【答案】 【分析】根据折痕是角平分线，结合平行线的性质，在图1中得到，图2中得到，进而得到，再根据，得到 ，进行求解即可． 【详解】解：在图1中， ∵折叠， ∴， ∵， ∴， 在图2中， ∵折叠， ∴， 如图3，由折叠可知：， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型讲练七 画对称轴 【例7】（2024七年级·全国·竞赛）下列图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（    ） A．菱形 B．正三角形 C．正方形 D．正五边形 【答案】B 【分析】本题主要考查了轴对称图形的性质以及以及菱形、三角形、等腰梯形和正五边形的性质等知识．轴对称：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，而这条直线就是这个图形的对称轴． 根据轴对称图形的特点以及菱形、三角形、等腰梯形和正五边形的性质逐项判断即可． 【详解】A、菱形，对角线所在的直线即为对称轴，可以用直尺画出，故A选项错误； B、正三角形对称轴只用一把无刻度的直尺无法画出，故B选项正确； C、正方形，对角线所在的直线即为对称轴，可以用直尺画出，故C选项错误； D、正五边形，作一条对角线把正五边形分成一个等腰三角形与一个等腰梯形，根据正五边形的对称性，过等腰三角形的顶点与梯形的对角线的交点的直线即为对称轴，故D选项错误． 故选：B． 【变式】（24-25七年级下·山西晋中·期末）请在网格中完成下列问题： (1)在图1中画出△ABC关于直线PQ成轴对称的； (2)在图2中画出△ABC与△DEF的对称轴． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别作出点A，B，C关于直线PQ的对称点，，，再顺次连接即可； （2）连接AD，CF利用网格特点，作出AD和CF的中点M，N，过点M，N作直线l即可． 【详解】（1）如图，与△ABC关于直线PQ成轴对称； （2）如图，直线l就是△ABC与△DEF的对称轴． 题型讲练八 画轴对称图形 【例8】（24-25七年级下·山东枣庄·期末）在的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（　　）个． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图．根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得解. 【详解】解：如图，最多能画出个格点三角形与成轴对称． 故选：B． 【变式】（24-25七年级下·陕西西安·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点A，B，C均在格点（网格线的交点）上． (1)请作出关于直线对称的． (2)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质即可作出关于直线对称的； （2）根据割补法即可求的面积． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积． 题型讲练九 设计轴对称图案 【例9】（25-26七年级下·北京海淀·期末）图1是一个的正方形网格纸，甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下： ①两人轮流将网格中的白色方格涂黑，每次涂一个格子； ②每次涂色需使涂色后网格中所有黑色方格构成轴对称图形，否则不可涂色； ③若一方无法涂色，则游戏结束，对方获胜． 如图2，甲先涂了1号方格，乙随后涂了2号方格，则这局游戏的获胜者能涂黑的方格数最多为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义：“将图形沿某一条直线对折，直线两边的图形能完全重合的图形是轴对称图形．”是解题的关键． 【详解】解：如图： 甲先涂了1号方格，乙随后涂了2号方格， 甲第次只能涂号方格， 当乙第次涂号方格时，甲第次只能涂号方格，游戏结束； 当乙第次涂号方格时，甲第次只能涂号方格，游戏结束； 最多次数是甲涂了次获胜； 故选：B． 【变式】（25-26七年级下·河北石家庄·月考）如图，在的正方形网格中，与成轴对称且以格点为顶点的三角形有______个． 【答案】5 【分析】本题考查了成轴对称的性质，根据轴对称图形的性质，不同的对称轴，可以有不同的对称图形，考虑不同的对称轴是解题的关键． 根据网格结构确定出对称轴，然后作出与成轴对称的三角形即可得解． 【详解】解：如图所示，与成轴对称的三角形有，，，，，共有5个． 故答案为：5． 题型讲练十 车牌号码的镜面对称 【例10】（23-24七年级下·四川攀枝花·月考）小明站在平面镜前，看见镜子中自己球衣胸前的号码是51，则实际的号码为（　　） A．15 B．51 C．12 D．21 【答案】C 【分析】本题考查镜面对称，是常见基础考点，联系生活实际，掌握镜面对称的性质是解题关键．根据镜面对称性质解题，可将四个数子写在全白纸上，再观察纸的背面即可得到答案． 【详解】解：∵5对称图形是2，1对的是1，如果是51号，5在前1在后，对应为5对的是2，1对的是1， ∴实际号码是12． 故选：C． 【变式】（24-25七年级下·江西新余·期末）在平面镜中看到一辆汽车的车牌号：  ，则该汽车的车牌号是______． 【答案】 【分析】根据镜面对称的性质，在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称性质得出：实际车牌号是：， 故答案为：． 题型讲练十一 钟表的镜面对称 【例11】（24-25七年级下·浙江·期中）小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了镜面对称的性质，熟练掌握镜面对称中像与现实事物左右颠倒且关于镜面对称是解题的关键．根据镜面对称的性质，判断每个选项中镜子里的时间对应的实际时间，找出最接近8时整的． 【详解】解：∵镜面对称的性质是：在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右颠倒，且关于镜面对称． ∴8时整时，时针指向8，分针指向12，在镜子里看到的应该是4时整（时针指向4，分针指向12）． 对于选项A，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项B，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项C，镜子里的时间对应的实际时间不是最接近8时整； 对于选项D，镜子里的时间对应的实际时间最接近8时整． 故选：D． 【变式】（25-26七年级下·福建福州·期中）墙上有一面镜子，镜子对面的墙上有一个数字式电子钟．如果在镜子里看到该电子钟的时间显示如图所示，那么它的实际时间是___________． 【答案】 【分析】本题考查镜面对称，根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与成轴对称，所以此时实际时刻为． 故答案为：． 题型讲练十二 电子钟示数的镜面对称 【例12】（25-26七年级下·云南昆明·期末）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了镜面对称的性质，掌握镜面对称的性质是解决本题的关键． 根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】解：根据镜面对称的性质，与成轴对称， ∴此时实际时刻为． 故选D． 【变式】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是____． 【答案】12：01 【分析】根据镜面对称原理，左右颠倒，上下不变即可解题． 【详解】据镜面对称原理物体的像与物体本身上下不变，左右颠倒可知， 10:51对称之后为12:01， 故答案为12:01．　 题型讲练十三 台球桌面上的轴对称问题 【例13】（24-25七年级下·北京·期中）如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．    (1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q； (2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）作点P关于是对称点，连接′交于M，点M即为所求． （2）作点P关于是对称点，点Q关于的对称点，连接交于E，交于F，点E，点F即为所求． 【详解】（1）解：如图，运动路径：，点M即为所求．    （2）解：如图，运动路径：，点E，点F即为所求．    【变式】（24-25七年级下·江西新余·期中）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（   ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 【答案】B 【分析】利用轴对称画图可得答案. 【详解】解：如图所示， 球最后落入的球袋是2号袋， 故选：B. 题型讲练十四 轴对称中的光线反射问题 【例14】（2024七年级下·全国·专题练习）判断说理：元旦联欢会上，八年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由． 【答案】有，捷径见解析 【分析】利用轴对称得出找到A，B的对称点，，连接，交两长条桌于C，D两点，则折线就是捷径． 【详解】解：如下图， 假设北边和东边条桌各为一个平面镜，光线经过两次反射到达B点． 因此，分别以北条桌和东条桌为对称轴，找到A，B的对称点，，连接，交两长条桌于C，D两点，则折线的长度等于的长度， 连接，则， 在中，由三角形三边故选可得：， 所以折线的长， 即折线就是捷径． 【变式】（2025·河南周口·二模）如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和性质，反射角等于入射角，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先得出，，根据反射角等于入射角，即得． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为， ∴， 故选：C． 题型讲练十五 等边对等角 【例15】（25-26七年级下·青海果洛·月考）如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，先求出的度数，结合，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 【变式】（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）如图，在中，，求和的度数． 【答案】， 【分析】根据等腰三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质，计算即可． 本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和，三角形外角性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解： ． 题型讲练十六 三线合一 【例16】（25-26七年级下·北京海淀·期末）过直线外一点C，用尺规作的垂线，如图所示，其中点F是分别以点D和点E为圆心，为半径的两弧的交点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了尺规作图—线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定等；理解作法是解题的关键．由作图得，，，由等边三角形的判定得，由等腰三角形的性质得，即可求解． 【详解】解：由作图得，，， 是等边三角形， ，， ， ， ． 故选：D． 【变式】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图，在等腰中，，，为的中点，点在上，，若点是上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是______． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，四边形的内角和，连接，过作于，于，由，，则，，根据角平分线的性质得，然后证明，则，再根据四边形内角和求出，同理，掌握知识点的应用及正确的作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接，过作于，于， ∵，， ∴， ∴， 当是以为腰的等腰三角形， ∵，为的中点， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理证得， ∴， ∴， 得， 故答案为：或 题型讲练十七 线段垂直平分线的性质 【例17】（25-26七年级下·云南昆明·期末）在中，点D在边的垂直平分线上，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和外角的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题先根据垂直平分线得到，然后根据等边对等角和外角的知识，即可求解； 【详解】解：∵在中，点D在边的垂直平分线上， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， 故选：D. 【变式】（25-26七年级下·广东广州·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交于点，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，连接，作的平分线交于点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查作图—复杂作图、线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理、三角形的外角的性质等知识点，根据题意、正确作图是解题的关键． （1）利用尺规按要求作出图形即可； （2）根据三角形内角和定理、垂直平分线的性质、等边对等角、角平分线的定义等知识点求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 题型讲练十八 作已知线段的垂直平分线 【例18】（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·月考）已知中，，在上取一点，使，下列尺规作图的方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查五类基本尺规作图-作垂直平分线，熟练掌握线段垂直平分线的作法是解决问题的关键． 根据题中要求，在上取一点，使得，根据，从而得到，即可得到本题的尺规作图是作线段的垂直平分线，结合选项即可得到答案． 【详解】解：在中，，在上取一点，使得， ， ，即作线段的垂直平分线， 故选：D． 【变式】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在等腰中，，请用尺规作图法，求作的对称轴（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】作图见解析． 【分析】本题考查了尺规作图——作垂线，作线段垂直平分线即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，即为所求． 题型讲练十九 角平分线的性质定理 【例19】（25-26七年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，根据作图痕迹，以下结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由尺规作图的痕迹可得平分，，然后根据全等三角形的性质和角平分线的性质逐项证明判断即可． 【详解】解：根据基本作图，得平分，， ∴， ∵， ∴，故A选项正确，不符合题意； ∵ ∴ ∴，故B选项正确，不符合题意； 无法证明， 故C选项错误，符合题意； 根据题意，得，故D选项正确，不符合题意． 【变式】（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）平分，于A，且．若点Q在射线上运动，则的取值范围是__． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理以及垂线段最短，解题的关键是掌握以上性质． 根据角平分线的性质和垂线段最短进行求解即可． 【详解】解：∵平分，于A，且， ∴ 点P到的距离为6（角平分线上的点到角两边的距离相等）． 点Q在射线上运动，当Q为点P到的垂足时，取最小值6； 当Q远离垂足时，无限增大， ∴的取值范围是． 故答案为：． 题型讲练二十 作角平分线（尺规作图） 【例20】（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小用m可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，角平分线的定义，角平分线的尺规作图，全等三角形的性质与判定，连接，由作图方法可知，平分，，则可证明是等边三角形，再证明得到，据此由三角形内角和定理可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由作图方法可知，平分，， ∴是等边三角形，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式】（24-25七年级下·广东江门·期中）尺规作图：(不写作法，保留作图痕迹)作的角平分线． 【答案】图形见解析 【分析】本题主要考查尺规作图，熟练掌握角平分线的作图步骤是解题的关键．根据角平分线的作图步骤画图即可． 【详解】解：以点为圆心任意半径画弧，交两点，以两点分别为圆心，大于两点的距离画弧交于一点，连接A点和此点的射线交边于D点，连接即可； 题型讲练二十一 最短路径问题 【例21】（2024·江苏·一模）如图，中，分别是边上的动点，则的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 【答案】C 【分析】如图作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，．由，，，推出，可得、、共线，由，，可知当、、、共线时，且时，的值最小，最小值，求出的值即可解决问题． 【详解】解：如图，作关于直线的对称点，作关于直线的对称点，连接，，，，，，． ∴，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴M、C、N共线， ∵， ∵， ∴当M、F、E、N共线时，且时，的值最小， 最小值为， ∵， ∴ ， ∴ ， ∴的最小值为． 故选：C． 【变式】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）小月学习三角形相关知识后，对其进行深入学习，并得到如下结论：如图，在中，，点D是的中点，如果，则．她把这个结论用于解决实际问题：将以点O为原点建立平面直角坐标系，，，则的长为________；若在上有一点P，使得最小，则点P的坐标为________． 【答案】 3 【分析】本题考查最短路径问题，轴对称性质等．根据题意利用中位线性质即可得到的值，再过点作轴，使，连接交轴于点，则此时有最小值，继而利用题干中的性质即可得到点的坐标． 【详解】解：∵，点D是的中点，， ∴， 过点作轴交轴于，使，连接交轴于点，则此时有最小值， ， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3；． 题型讲练二十二 线段问题（轴对称综合题) 【例22】（24-25七年级下·新疆巴州·期末）如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)作出关于直线对称的； (2)在直线上作一点P，使得的周长最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题主要考查了作图-轴对称变换． （1）首先确定A、B、C三点关于轴对称的对称点位置，再连接即可； （2）连接交直线于点P，则，即可知的周长最小． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求； （2）解：如图所示：连接交直线于点P，点P即为所求． ， ∴此时最小，的周长最小， ∴点P即为所求． 【变式】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知的三个顶点均在格点上． (1)画出关于直线对称的； (2)在直线上找一点，使的长最短； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，最短路径问题． （1）利用网格特点和轴对称的性质画出关于直线的对称点即可； （2）连或交直线于，则利用两点之间线段最短可判断点满足条件． （3）根据长方形的面积减去三个三角形的面积即可求解． 【详解】（1）如图，即为所求； （2）如图，点即为所求： （3）的面积为. 题型讲练二十三 面积问题（轴对称综合题) 【例23】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，，点分别在射线上，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为．当点在直线上运动时，的面积最小值为_____． 【答案】8 【分析】根据对称的性质得出，从而得到，利用等腰直角三角形面积的求得当与边上的高相等时，面积最小． 【详解】解：如图所示，连接，过点作线段的垂线，交的延长线于点． ∵点与点关于对称， 点与点关于对称， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是个等腰直角三角形， ， ∴要使面积最小，需要的值最小， 当垂直时，即与重合时，的值最小． ∵，解得； ∴面积的最小值为． 【变式】（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： （1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1 （2）△ABC的面积是_____________． （3）在DE上画出点P，使PB1＋PC最小． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A，B，C 的对应点A1，B1，C1即可． （2）根据分割法把三角形面积转化为矩形面积减去三个三角形． （3）直接连接CB1，与y轴的交点就是点P． 【详解】解：（1）如图，的△A1B1C1即为所求． （2）△ABC的面积＝2×3−， 故答案为：； （3）如图，点P即为所求． 题型讲练二十四 角度问题（轴对称综合题) 【例24】（24-25七年级下·江苏徐州·月考）如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则______． 【答案】/60度 【分析】连接，，，根据对称的性质证明，，即可作答． 【详解】解：连接，，，如图， ∵点P关于的对称点， ∴，， ∴平分， ∴， 同理可证明：， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式】（24-25七年级下·湖北恩施·期末）如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查轴对称，根据题意得出点的变化规律是解题关键． 根据题意画出图形进而得出每对称6次回到点P，进而得出符合题意的答案． 【详解】解：作图可得： ， 设两直线交点为O，根据对称性可得：作出的一系列点，，，…，都在以O为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴每相邻两点间的角度是； 故若与P重合，则n的最小值是6． 故选：B． 题型讲练二十五 其他问题（轴对称综合题) 【例25】（24-25七年级下·吉林长春·月考）如图，已知等腰直角三角形，，，，是过点A的任意一条直线，点M是点B关于直线的对称点．连接，则线段长度的最小值是______．    【答案】/ 【分析】由轴对称的性质可知，，点M在以A为圆心，5为半径的圆上，进而得出当点M在上时，长度最小，即可得到答案． 【详解】解： 是过点A的任意一条直线，点M是点B关于直线的对称点， ， 点M在以A为圆心，5为半径的圆上， 当点M在上时，长度最小，此时， 故答案为：．    【变式】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上． (1)作关于直线对称的图形； (2)若网格中最小正方形边长为1，求的面积； (3)在直线上找一点，使得的值最大，并画出点的位置． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)详见解析 【分析】（1）利用轴对称的性质分别作出A、B、C的对应点，，即可． （2）根据三角形的面积公式即可得到结论． （3）连接交直线MN于点P，此时的值最大． 【详解】（1）如图，即为所求． （2）的面积为 （3）点P即为所求 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）正方形网格中，位置如图，点O、A、B三点都是格点，则格点C、D、E、F中到两边距离相等的点是（    ） A．C点 B．D点 C．E点 D．F点 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，将“到两边距离相等的点”转化为“在的平分线上的点”，通过图象即可找出符合条件的点． 【详解】解：由题意，可知该点在的平分线上， 通过图象可知，点E在的平分线上， 故选： C． 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在等边三角形中，，D是边上一点，且，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】此题考查了等边三角形的性质，三角形内角和的性质，解题的关键是掌握等边三角形的性质．由题意可得：即，由等边三角形的性质可得，为中线，得到，即可求解． 【详解】解：等边中，， 则，， ∵， ∴，即 ∴为中线，则， 故选：C ． 3．（25-26七年级下·河南周口·期末）阅读以下作图步骤：①以点O为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交于点C，D；②分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M；③作射线，连接，如图．根据以上作图步骤，判断下列结论错误的是（   ） A．平分， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的作法，全等三角形的判定和性质，根据作图方法依次判断即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可得平分，，， ∴， ∴A、C、D正确，不符合题意； 无法得出，符合题意； 故选：B． 4．（25-26七年级下·江苏南京·月考）如图，中，，，E，F分别是边，上的点，连接，将沿着折叠，得到，当所在直线与垂直时，的度数是________． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论，一是点与点B在直线的异侧，二是点与点B在直线的同侧，即可求解． 【详解】解：如图1，，且点与点B在直线的异侧， ∵中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵将沿着折叠，得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图2，，且点与点B在直线的同侧， 由可知， ∴， 由折叠可得，， ∴； 综上所述，的度数是或． 5．（25-26七年级下·山东聊城·月考）如图，把一张长方形纸片沿折叠，点D与点C分别落在点和点的位置上，与的交点为G，若，则为 _______ 度． 【答案】68 【分析】根据折痕是角平分线，得到，由平行线的性质得到，再根据平角的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵折叠， ∴， ∴， ∵长方形， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）如图，将一张长方形纸片，分别沿着，对折，使点B落在点，点C落在点处． （1）若点P，，在同一直线上（图1），，则______； （2）若点P，，不在同一直线上（图2），，则______． 【答案】 36 78 【分析】本题考查了翻折变换，角度计算，掌握翻折变换是解题的关键． （1）根据折叠，得出，，再根据平角的性质进行计算即可； （2）根据折叠，得出，，再根据平角的性质进行计算即可． 【详解】解：（1）∵折叠， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：36； （2）∵折叠， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：78． 7．（24-25七年级下·吉林长春·月考）如图1，已知长方形中，，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒）    (1)当时，_____；当时，______ ． (2)在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值． (3)如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ①当最短时，直接写出此时四边形的面积； ②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值． 【答案】(1)1，3 (2)或； (3)①；②或 【分析】本题考查了一元一次方程与几何应用，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据运动速度和时间列式得出，再结合，，进行线段的和差运算，即可作答； （2）根据平分或的面积，得到或，据此列式进行计算可作答； （3）①结合垂线段最短，找出最短，即点与点重合，根据轴对称的性质，得出，结合边形的面积是长方形的面积，即可作答． ②由得出，然后进行分类讨论，即当点P在上时和点P在上时，再根据三角形的面积等于底与高的乘积的一半，即可作答． 【详解】（1）解：∵动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动， ∴当时，则， ∵，， ∴， ∴当时，则， ∴， 故答案为：1，3； （2）解：∵长方形中，，， ∵平分的面积，    ∴，即， 解得； ∵平分的面积，    ∴，即， 解得； ∴或； （3）解：①∵当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结， ∴最短时，即最短， 此时（垂线段最短），即点与点重合， ∴； ②∵边形的面积是长方形的面积， ∴， ∵， ∴， 当点P在上时，    ∴， 解出； 当点P在上时    ∴ 解出； 综上：或． 8．（23-24七年级下·浙江金华·期末）定义：如果有三个角，满足，则称是和的“减余角”． (1)已知，，若是和的“减余角”，则 ． (2)现有一张正方形纸片，如图所示，点为线段上一点（不与重合）．连结，将纸片沿着对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为． ①若是和的“减余角”，求的度数． ②再将此正方形纸片沿着所在直线对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为，如图所示．是否存在，，中的一个角是其它两个角的“减余角”？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) ；存在．当时，为和的“减余角”； 当时，为和的“减余角”． 【分析】（）根据“减余角”的定义即可求解； （）根据“减余角”的定义即可求解； 存在．分三种情况根据“减余角”的定义解答即可求解； 本题考查了新定义角度的运算，折叠的性质，理解“减余角”的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由折叠可得，， 设，则， ∵是和的“减余角”， ∴， 解得， ∴的度数为； 存在． 由折叠可得，，， 设，，则， 当为和的“减余角”时， 由题意可得，， 解得， ∴， ∴当时，为和的“减余角”； 当为和的“减余角”时， 由题意可得，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∴当时，为和的“减余角”； 当为和的“减余角”时， 由题意可得，， 故此种情况不存在； 综上，当时，为和的“减余角”； 当时，为和的“减余角”． 9．（23-24七年级下·浙江宁波·月考）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 　　表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使2表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与______表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为16（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是______； 操作三： （3）在数轴上剪下9个单位长度（从到6）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（例如下图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是______．    【答案】（1）3；（2）①，②和6；（3）或或 【分析】本题考查了实数和数轴的关系，及数轴上的折叠变换问题，明确①数轴上折叠后重合的点到折痕的距离相等，②数轴上任意两点的距离为两点所表示的数的差的绝对值； （1）根据对称性找到折痕的点为原点，即可求解； （2）根据对称性找到折痕的点为， ①设3表示的点与数表示的点重合，根据对称性列式求出的值； ②因为，所以到折痕的点距离为8，因为折痕对应的点为，由此得出、两点表示的数； （3）分三种情况进行讨论：如图1，当时，所以设，，，得，，得出、、的值，计算折痕处对应的点所表示的数的值，同理可得出如图2、3折痕处对应的点所表示的数的值． 熟练掌握分类讨论的思想是解题的关键． 【详解】解：操作一， （1）表示的点1与表示的点重合， 折痕为原点， 则表示的点与3表示的点重合， 故答案为：3； 操作二： （2）折叠纸面，若使2表示的点与表示的点重合， 则折痕表示的点为， ①设3表示的点与数表示的点重合， 则， ； 故答案为：； ②数轴上、两点之间距离为16， 数轴上、两点到折痕的距离为8， 在的左侧， 则、两点表示的数分别是和； 故答案为：①，②和6； 操作三： （3）如图1，当时，    设，，， ， ， ，，， 折痕处对应的点所表示的数是：， 如图2，当时，    设，，， ， ， ，，， 折痕处对应的点所表示的数是：， 如图3，当时，    设，，， ， ， ，， 折痕处对应的点所表示的数是：， 综上所述：则折痕处对应的点所表示的数可能是或或． 故答案为：或或． 10．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知，射线、在的内部（OC与OD不重合），且．将射线沿直线翻折，得到射线；将射线沿直线翻折，得到射线（与不重合）． (1)如图①，若，则______°，______°； (2)若，请画出不同情形的示意图，并分别求出和的度数； (3)设，请直接写出与之间的数量关系及相应的的取值范围． 【答案】(1)10；70 (2)和的度数分别为和或和； (3)当时，；当时，． 【分析】（1）由可求得的度数；由折叠的性质得，，先求得和的度数，再利用即可求解； （2）分两种情况，画出图形，同（1）的方法即可求解； （3）分当和两种情况讨论，画出图形，同（1）的方法即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得，， ∴，， ∴， 故答案为：10；70； （2）解：如图，，， ∴，， ∴， 如图，，， ∴，， ∴， 综上，和的度数分别为和或和； （3）解：当，设，如图， ∴， ∴，， ∴，即， ∴； 当，设，如图， ∴， ∴，， ∴，即， ∴； 综上，当时，；当时，． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第五章 图形的轴对称【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+25个题型讲练+真题实战练 共60题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 轴对称图形的识别 题型二 成轴对称的两个图形的识别 题型三 根据成轴对称图形的特征进行判断 题型四 根据成轴对称图形的特征进行求解 题型五 求对称轴条数 题型六 折叠问题 题型七 画对称轴 题型八 画轴对称图形 题型九 设计轴对称图案 题型十 车牌号码的镜面对称 题型十一 钟表的镜面对称 题型十二 电子钟示数的镜面对称 题型十三 台球桌面上的轴对称问题 题型十四 轴对称中的光线反射问题 题型十五 等边对等角 题型十六 三线合一 题型十七 线段垂直平分线的性质 题型十八 作已知线段的垂直平分线 题型十九 角平分线的性质定理 题型二十 作角平分线（尺规作图） 题型二十一 最短路径问题 题型二十二 线段问题（轴对称综合题) 题型二十三 面积问题（轴对称综合题) 题型二十四 角度问题（轴对称综合题) 题型二十五 其他问题（轴对称综合题) 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 轴对称图形 ⑴轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形.这条直线称为它的对称轴. 注意： 1. 轴对称图形的对称轴是一条直线， 2. 轴对称图形是1个图形， 3. 有些对称图形的对称轴有无数条。 ⑵两个图形成轴对称：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称.这条直线称为这两个图形的对称轴. ⑶线段的垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 知识点二 轴对称性质 对称的性质： ①两个图形关于某一条直线对称，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线. 轴对称图形的对称轴是任何一对对应点连线段的垂直平分线. ②关于某直线对称的两个图形是全等形. 知识点三 画轴对称图形 （1）过已知点A作对称轴l的垂线，垂足为O，在垂线上截取OA'，使OA'=OA，则点A'是点A的对称点； （2）同理分别作出其它关键点的对称点； （3）将所作的对称点依次相连，得到轴对称图形. 知识点四 线段垂直平分线性质 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等. 知识点五 角的平分线的性质 角的平分线上的点到角的两边的距离相等。 几何表示：∵OC是∠AOB的平分线，P是OC上一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E。∴PD=PE。 知识点六 等腰三角形的概念与性质 1. 等腰三角形概念：有两边相等的三角形叫做等腰三角形，相等的边叫做腰，另一边叫做底，两条腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角． 2.等腰三角形的性质：如图所示，在△ABC中，AB＝AC，△ABC是等腰三角形，其中AB、AC为腰，BC为底边,∠A是顶角，∠B、∠C是底角． 性质1：等腰三角形的两个底角相等，简称“在同一个三角形中，等边对等角”． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上中线和高线互相重合.简称“等腰三角形三线合一”． 知识点七 等边三角形的概念与性质 1.等边三角形概念：三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 知识点八 将军饮马-最短路径问题 基本图模 1.已知：如图，定点A、B分布在定直线l两侧； 要求：在直线l上找一点P，使PA+PB的值最小 解：连接AB交直线l于点P，点P即为所求, PA+PB的最小值即为线段AB的长度 理由：在l上任取异于点P的一点P´，连接AP´、BP´， 在△ABP’中，AP´+BP´>AB，即AP´+BP´>AP+BP ∴P为直线AB与直线l的交点时，PA+PB最小. 2.已知：如图，定点A和定点B在定直线l的同侧 要求：在直线l上找一点P，使得PA+PB值最小 （或△ABP的周长最小） 解：作点A关于直线l的对称点A´，连接A´B交l于P， 点P即为所求； 理由：根据轴对称的性质知直线l为线段AA´的中垂线， 由中垂线的性质得：PA=PA´，要使PA+PB最小，则 需PA´+PB值最小，从而转化为模型1. 方法总结： 1.两点之间，线段最短；2.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； 2. 中垂线上的点到线段两端点的距离相等；4.垂线段最短. 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 轴对称图形的识别 【例1】（2024七年级下·浙江·专题练习）新年伊始，虎年来临，大家都开始用上了虎的图腾与吉祥物．以下小老虎的表情设计没有利用轴对称的是（    ） A．  B．  C．   D．   【变式】（24-25七年级下·辽宁本溪·期末）下列图形中不是轴对称图形的是（    ） A．    B．    C．     D．     题型讲练二 成轴对称的两个图形的识别 【例2】（23-24七年级下·全国·课后作业）视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式，下面每种组合的两个字母“E”不能关于某条直线成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级下·全国·单元测试）如图所示的每组中的两个图形，成轴对称的是______（填序号）． 题型讲练三 根据成轴对称图形的特征进行判断 【例3】（23-24七年级下·全国·课后作业）下列说法中，正确的是（   ）． A．长方形有且只有一条对称轴 B．垂直于线段的直线就是线段的对称轴 C．平行四边形的对称轴是对角线 D．平面内两条相交直线是轴对称图形 【变式】（24-25七年级下·天津和平·期中）如果是轴对称图形，则它的对称轴一定是（    ） A．某一条边上的高； B．某一条边上的中线 C．平分一角和这个角对边的直线； D．某一个角的平分线 题型讲练四 根据成轴对称图形的特征进行求解 【例4】（25-26七年级下·河北廊坊·期中）如图，直线相交于点O，，点P在的内部，且，点P关于直线的对称点分别是点，则点之间的距离的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图所示，在所给正方形网格图中完成下列各题：用直尺画图，保留痕迹 (1)格点顶点均在格点上的面积为_______； (2)画出格点关于直线对称的，使点A的对应点为点，点B的对应点为点，点C的对应点为点； (3)在上找一点P，使得周长最小； (4)在上找一点M，使得最大． 题型讲练五 求对称轴条数 【例5】（25-26七年级下·河南周口·期中）如图1，棋盘上已经摆放好了3个棋子，如图2所示，再添加一个棋子后，这4个棋子恰好构成一个轴对称图形，直线m为对称轴． (1)请仿照图2，用新方法在图3的棋盘格点上添加1个棋子，使4个棋子构成一个轴对称图形，并画出对称轴 (2)这样的添加方法共有_______种（含图2方法）． 【变式】（24-25七年级下·北京海淀·开学考试）在当地时间月日结束的巴黎奥运会米气步枪混合团体比赛中，中国选手黄雨婷/盛李豪夺得本届奥运会首枚金牌，右图是巴黎奥运会射击项目图标，这个图案的对称轴条数为（    ） A． B． C． D． 题型讲练六 折叠问题 【例6】（25-26七年级下·北京西城·期中）将一张长方形纸片折叠成如图所示图形，重叠部分是一个三角形，为折痕，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级下·山东聊城·期中）如图1，在长方形纸片中，点在上，点在上，将纸片沿折叠，点，的对应点分别为点，，交于点．设．继续折叠纸片，使落在边上（如图2），折痕为，沿继续折叠纸片（如图3），点的对应点为点，若，则的度数为_______． 题型讲练七 画对称轴 【例7】（2024七年级·全国·竞赛）下列图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（    ） A．菱形 B．正三角形 C．正方形 D．正五边形 【变式】（24-25七年级下·山西晋中·期末）请在网格中完成下列问题： (1)在图1中画出△ABC关于直线PQ成轴对称的； (2)在图2中画出△ABC与△DEF的对称轴． 题型讲练八 画轴对称图形 【例8】（24-25七年级下·山东枣庄·期末）在的正方形网格中，以格点为顶点的三角形称为格点三角形，在图中画出与关于某条直线对称的格点三角形，最多能画（　　）个． A．6 B．7 C．8 D．9 【变式】（24-25七年级下·陕西西安·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的顶点A，B，C均在格点（网格线的交点）上． (1)请作出关于直线对称的． (2)求的面积． 题型讲练九 设计轴对称图案 【例9】（25-26七年级下·北京海淀·期末）图1是一个的正方形网格纸，甲、乙两人在网格中进行游戏，规则如下： ①两人轮流将网格中的白色方格涂黑，每次涂一个格子； ②每次涂色需使涂色后网格中所有黑色方格构成轴对称图形，否则不可涂色； ③若一方无法涂色，则游戏结束，对方获胜． 如图2，甲先涂了1号方格，乙随后涂了2号方格，则这局游戏的获胜者能涂黑的方格数最多为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式】（25-26七年级下·河北石家庄·月考）如图，在的正方形网格中，与成轴对称且以格点为顶点的三角形有______个． 题型讲练十 车牌号码的镜面对称 【例10】（23-24七年级下·四川攀枝花·月考）小明站在平面镜前，看见镜子中自己球衣胸前的号码是51，则实际的号码为（　　） A．15 B．51 C．12 D．21 【变式】（24-25七年级下·江西新余·期末）在平面镜中看到一辆汽车的车牌号：  ，则该汽车的车牌号是______． 题型讲练十一 钟表的镜面对称 【例11】（24-25七年级下·浙江·期中）小华在镜子中看到身后墙上的钟，你认为时间最接近时整的是（ ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级下·福建福州·期中）墙上有一面镜子，镜子对面的墙上有一个数字式电子钟．如果在镜子里看到该电子钟的时间显示如图所示，那么它的实际时间是___________． 题型讲练十二 电子钟示数的镜面对称 【例12】（25-26七年级下·云南昆明·期末）小明从平面镜里看到镜子对面电子钟的示数的像如图所示，这时的时刻是（    ） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）小强站在镜前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子表，其读数如图所示，则电子表的实际时刻是____． 题型讲练十三 台球桌面上的轴对称问题 【例13】（24-25七年级下·北京·期中）如图，长方形台球桌上有两个球P，Q．    (1)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边反弹后，正好撞到球Q； (2)请画出一条路径，使得球P撞击台球桌边，经过两次反弹后，正好撞到球Q． 【变式】（24-25七年级下·江西新余·期中）如图是台球桌面示意图，阴影部分表示四个入球孔，小明按图中方向击球（球可以多次反弹），则球最后落入的球袋是（   ） A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋 题型讲练十四 轴对称中的光线反射问题 【例14】（2024七年级下·全国·专题练习）判断说理：元旦联欢会上，八年级（1）班的同学们在礼堂四周摆了一圈长条桌子，其中北边条桌上摆满了苹果，东边条桌上摆满了香蕉，礼堂中间B处放了一把椅子，游戏规则是这样的：甲、乙二人从A处（如图）同时出发，先去拿苹果再去拿香蕉，然后回到B处，谁先坐到椅子上谁赢．张晓和李岚比赛，比赛一开始，只见张晓直奔东北两张条桌的交点处，左手抓苹果，右手拿香蕉，回头直奔B处，可是还未跑到B处，只见李岚已经手捧苹果和香蕉稳稳地坐在B处的椅子上了．如果李岚不比张晓跑得快，张晓若想获胜有没有其他的捷径？若有，请说明你的捷径，若没有，请说明理由． 【变式】（2025·河南周口·二模）如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型讲练十五 等边对等角 【例15】（25-26七年级下·青海果洛·月考）如图，在中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级下·安徽芜湖·期末）如图，在中，，求和的度数． 题型讲练十六 三线合一 【例16】（25-26七年级下·北京海淀·期末）过直线外一点C，用尺规作的垂线，如图所示，其中点F是分别以点D和点E为圆心，为半径的两弧的交点．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级下·湖北武汉·月考）如图，在等腰中，，，为的中点，点在上，，若点是上的一点，则当是以为腰的等腰三角形时，的度数是______． 题型讲练十七 线段垂直平分线的性质 【例17】（25-26七年级下·云南昆明·期末）在中，点D在边的垂直平分线上，连接，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级下·广东广州·期末）如图，在中，，． (1)尺规作图：作边的垂直平分线交于点，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）所作的图中，连接，作的平分线交于点，求的度数． 题型讲练十八 作已知线段的垂直平分线 【例18】（24-25七年级下·新疆乌鲁木齐·月考）已知中，，在上取一点，使，下列尺规作图的方法正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级下·陕西西安·期末）如图，在等腰中，，请用尺规作图法，求作的对称轴（保留作图痕迹，不写作法）． 题型讲练十九 角平分线的性质定理 【例19】（25-26七年级下·吉林长春·开学考试）如图，在中，，根据作图痕迹，以下结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】（25-26七年级下·安徽阜阳·期末）平分，于A，且．若点Q在射线上运动，则的取值范围是__． 题型讲练二十 作角平分线（尺规作图） 【例20】（25-26七年级下·辽宁大连·期末）如图，，点A在射线上，以点O为圆心，长为半径画弧，交射线于点B．若分别以点A，B为圆心，长为半径画弧，两弧在内部交于点C，连接，则的大小用m可以表示为（    ） A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级下·广东江门·期中）尺规作图：(不写作法，保留作图痕迹)作的角平分线． 题型讲练二十一 最短路径问题 【例21】（2024·江苏·一模）如图，中，分别是边上的动点，则的最小值是（   ） A．2.5 B．3.5 C．4.8 D．6 【变式】（24-25七年级下·贵州遵义·期末）小月学习三角形相关知识后，对其进行深入学习，并得到如下结论：如图，在中，，点D是的中点，如果，则．她把这个结论用于解决实际问题：将以点O为原点建立平面直角坐标系，，，则的长为________；若在上有一点P，使得最小，则点P的坐标为________． 题型讲练二十二 线段问题（轴对称综合题) 【例22】（24-25七年级下·新疆巴州·期末）如图，在正方形网格中，的顶点都在格点上，按下列要求作图（不写作法，保留作图痕迹）： (1)作出关于直线对称的； (2)在直线上作一点P，使得的周长最小． 【变式】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知的三个顶点均在格点上． (1)画出关于直线对称的； (2)在直线上找一点，使的长最短； (3)求的面积． 题型讲练二十三 面积问题（轴对称综合题) 【例23】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）如图，，点分别在射线上，的面积为，点是直线上的动点，点关于对称的点为，点关于对称的点为．当点在直线上运动时，的面积最小值为_____． 【变式】（24-25七年级下·广东佛山·期末）如图，在所给网格图（每小格均为边长是1的正方形）中完成下列各题： （1）画出格点△ABC（顶点均在格点上）关于直线DE对称的△A1B1C1 （2）△ABC的面积是_____________． （3）在DE上画出点P，使PB1＋PC最小． 题型讲练二十四 角度问题（轴对称综合题) 【例24】（24-25七年级下·江苏徐州·月考）如图，点P为内一点，分别作出点P关于、的对称点、，连接交于M，交于N．若，则______． 【变式】（24-25七年级下·湖北恩施·期末）如图，直线与直线相交，，点在内（不在，上）．小明用下面的方法作的对称点：先以为对称轴作点关于的对称点，再以为对称轴作关于的对称点，然后再以为对称轴作关于的对称点，以为对称轴作关于的对称点，…，如此继续，得到一系列点，，，…，．若与重合，则的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型讲练二十五 其他问题（轴对称综合题) 【例25】（24-25七年级下·吉林长春·月考）如图，已知等腰直角三角形，，，，是过点A的任意一条直线，点M是点B关于直线的对称点．连接，则线段长度的最小值是______．    【变式】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在正方形网格中，点，，，，都在格点上． (1)作关于直线对称的图形； (2)若网格中最小正方形边长为1，求的面积； (3)在直线上找一点，使得的值最大，并画出点的位置． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26七年级下·江苏扬州·期末）正方形网格中，位置如图，点O、A、B三点都是格点，则格点C、D、E、F中到两边距离相等的点是（    ） A．C点 B．D点 C．E点 D．F点 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·课后作业）如图，在等边三角形中，，D是边上一点，且，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 3．（25-26七年级下·河南周口·期末）阅读以下作图步骤：①以点O为圆心，适当的长度为半径画弧，分别交于点C，D；②分别以点C，D为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点M；③作射线，连接，如图．根据以上作图步骤，判断下列结论错误的是（   ） A．平分， B．， C．， D．， 4．（25-26七年级下·江苏南京·月考）如图，中，，，E，F分别是边，上的点，连接，将沿着折叠，得到，当所在直线与垂直时，的度数是________． 5．（25-26七年级下·山东聊城·月考）如图，把一张长方形纸片沿折叠，点D与点C分别落在点和点的位置上，与的交点为G，若，则为 _______ 度． 6．（25-26七年级下·安徽滁州·期末）如图，将一张长方形纸片，分别沿着，对折，使点B落在点，点C落在点处． （1）若点P，，在同一直线上（图1），，则______； （2）若点P，，不在同一直线上（图2），，则______． 7．（24-25七年级下·吉林长春·月考）如图1，已知长方形中，，，连结，动点P从点A出发，以的速度沿的方向运动向终点C运动，连结．设P点运动的时间为t（秒）    (1)当时，_____；当时，______ ． (2)在点P的运动过程中，当平分或的面积时，求t的值． (3)如图2，当点P不与点B重合时，作点P关于的对称点，分别连结 ①当最短时，直接写出此时四边形的面积； ②当四边形的面积是长方形的面积时，直接写出t的值． 8．（23-24七年级下·浙江金华·期末）定义：如果有三个角，满足，则称是和的“减余角”． (1)已知，，若是和的“减余角”，则 ． (2)现有一张正方形纸片，如图所示，点为线段上一点（不与重合）．连结，将纸片沿着对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为． ①若是和的“减余角”，求的度数． ②再将此正方形纸片沿着所在直线对折，使点落在正方形纸片的内部且对应点为，如图所示．是否存在，，中的一个角是其它两个角的“减余角”？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 9．（23-24七年级下·浙江宁波·月考）数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小锦在草稿纸上画了一条数轴进行操作探究： 操作一： （1）折叠纸面，若使1表示的点与表示的点重合，则表示的点与 　　表示的点重合； 操作二： （2）折叠纸面，若使2表示的点与表示的点重合，回答以下问题： ①3表示的点与______表示的点重合； ②若数轴上A、B两点之间距离为16（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，则A、B两点表示的数分别是______； 操作三： （3）在数轴上剪下9个单位长度（从到6）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（例如下图）．若这三条线段的长度之比为，则折痕处对应的点所表示的数可能是______．    10．（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知，射线、在的内部（OC与OD不重合），且．将射线沿直线翻折，得到射线；将射线沿直线翻折，得到射线（与不重合）． (1)如图①，若，则______°，______°； (2)若，请画出不同情形的示意图，并分别求出和的度数； (3)设，请直接写出与之间的数量关系及相应的的取值范围． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $