第四章 三角形【期末复习讲义】培优版-2025-2026学年北师大版数学七年级下册

2025-2026学年北师大版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第四章 三角形【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+19个题型讲练+真题实战练 共48题』（原卷版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 与平行线有关的三角形内角和问题 题型二 直角三角形的两个锐角互余 题型三 构成三角形的条件 题型四 确定第三边的取值范围 题型五 三角形三边关系的应用 题型六 与三角形的高有关的计算问题 题型七 利用网格求三角形面积 题型八 全等的性质和SSS综合(SSS) 题型九 尺规作图——作三角形 题型十 全等的性质和ASA(AAS）综合(ASA或者AAS) 题型十一 全等的性质和SAS综合(SAS) 题型十二 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合) 题型十三 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合) 题型十四 利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形) 题型十五 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题） 题型十六 旋转模型(全等三角形的辅助线问题） 题型十七 垂线模型(全等三角形的辅助线问题） 题型十八 其他模型(全等三角形的辅助线问题） 题型十九 全等三角形综合问题 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 知识点二 三角形的分类 知识点三 三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点四 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 知识点五 三角形的重要线段 知识点六 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 知识点七 直角三角形 ①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 知识点八 全等图形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点九 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 知识点十 全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 知识点十一 判定全等三角形 1.边边边（SSS） 1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2.（边角边SAS） （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.（角边角ASA） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4.（角角边AAS） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. （直角边、斜边HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 与平行线有关的三角形内角和问题 【例1】（24-25七年级·全国·课后作业）如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,EP平分∠BEF,FP平分∠DFE.试说明:△PEF是直角三角形. 【变式】（24-25七年级下·江苏镇江·月考）如图，，，，求的度数． 题型讲练二 直角三角形的两个锐角互余 【例2】（23-24七年级下·天津南开·期中）在中，，是斜边上的高． (1)如图1，若是中线，，填空： ①则与的周长差为______； ②则高的长为_______； (2)如图2，若是角平分线，，求的度数． 【变式】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，   (1)试说明CD是△CBE的角平分线；   (2)和∠B相等的角是 ． 题型讲练三 构成三角形的条件 【例3】（2026·河南三门峡·一模）等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 【变式】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）已知是等腰三角形，如果它的两条边的长分别为和，那么它的周长是_______． 题型讲练四 确定第三边的取值范围 【例4】（25-26七年级下·四川·期中）我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形三边长为，，且满足，当时，这样的整边有______个；若（为正整数）时，这样的整边有______个（用含的代数式表示）． 【变式】（24-25七年级下·湖南衡阳·月考）已知2，，4是三角形的三边长，化简______． 题型讲练五 三角形三边关系的应用 【例5】（25-26七年级下·上海宝山·月考）一个等腰三角形的三边长分别为7、、，求x的值，并求这个等腰三角形三边的长． 【变式】（25-26七年级下·全国·单元复习）周长为的三角形中，最长边的取值范围是 (    ) A． B． C． D． 题型讲练六 与三角形的高有关的计算问题 【例6】（2026七年级下·广东广州·专题练习）如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，则下列说法错误的个数有（　　） ①点到的距离等于． ②点到直线的距离等于．③点到直线的距离等于． ④点到的距离等于 A．个 B．个 C．个 D．个 【变式】（2026七年级下·广东广州·专题练习）如图，中，，，，，P为线段上一动点（可以与重合），连接，令长为x，则x的取值范围是________． 题型讲练七 利用网格求三角形面积 【例7】（24-25七年级下·广西梧州·期中）观察图1，每个小正方形的边长均为1，我们可以得到每个小正方形的面积为1．    (1)图1中阴影正方形的面积为_____________，可得的长为_____________； (2)根据（1）中解题思路和方法，请你在图2所示的正方形网格中（每个小正方形的边长均为1）画出长为的线段，并说明理由． 【变式】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）在如图所示的方格纸中，点A、B、C均在格点上． (1)连接，过点作的平行线； (2)连接，过点作的垂线，垂足为E； (3)连接，则三角形的面积为 ． 题型讲练八 全等的性质和SSS综合(SSS) 【例8】（25-26七年级下·吉林长春·开学考试）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．若，则_____． 【变式】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，，求证：． 题型讲练九 尺规作图——作三角形 【例9】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）用尺规作图：已知：如图，线段及．求作：，使，，． 【变式】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）用圆规、直尺作图，不写作法，但要求保留作图痕迹． 已知：线段a． 求作：，使得． 题型讲练十 全等的性质和ASA(AAS）综合(ASA或者AAS) 【例10】（25-26七年级下·山东济南·月考）如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（    ）． A． B． C． D． 【变式】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在和中，，，P是上任意一点，试说明： (1) (2) 题型讲练十一 全等的性质和SAS综合(SAS) 【例11】（25-26七年级下·北京·开学考试）如图，在锐角中，的面积为15，平分，若，分别是上的动点，当的最小值为6时，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式】（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，、分别是等边三角形的边，上的点，且，交于点． (1)请探究线段与线段的数量关系，并说明理由； (2)求的度数． 题型讲练十二 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合) 【例12】（24-25七年级下·江苏盐城·月考）根据下列条件，能作出唯一三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 【变式】（24-25七年级下·江苏·期末）如图，在和中，有以下四个论断：①，②，③，④，请以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出一个正确的结论：_________（填序号）． 题型讲练十三 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合) 【例13】（23-24七年级下·安徽淮南·期中）根据下列条件，能画出唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式】（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，已知点D是射线上一点且 (1)过点E作的平行线； (2)若，求的度数． 题型讲练十四 利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形) 【例14】（24-25七年级下·全国·周测）如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为_____________． 【变式】（24-25七年级下·河北沧州·月考）如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为________；度数为_______． 题型讲练十五 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题） 【例15】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长． 【变式】（25-26七年级下·山东济宁·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：________； (2)如图，，点为的中点，连接．求证：． 题型讲练十六 旋转模型(全等三角形的辅助线问题） 【例16】（23-24七年级下·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【变式】（23-24七年级下·山东济南·期末）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 题型讲练十七 垂线模型(全等三角形的辅助线问题） 【例17】（24-25七年级下·上海·月考）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【变式】（24-25七年级下·广东汕头·期中）如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有________（写上序号） 题型讲练十八 其他模型(全等三角形的辅助线问题） 【例18】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    【变式】（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处； ②从D处左转向正南方向行走，到E处时停止行走．此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直线上； ③从A到E小淇共走了140步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程． 题型讲练十九 全等三角形综合问题 【例19】（25-26七年级下·广西崇左·期末）如图，已知在四边形中，，，，，点为线段的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．要使与全等，点的运动速度为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式】（24-25七年级下·河南漯河·期中）（1）问题背景： 如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）灵活运用： 如图2，若在四边形中，，．E，F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由； （3）探索延伸： 如图3，已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，且满足，请直接写出与的数量关系． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26七年级下·河南周口·期中）用一根长的铁丝围成等腰三角形，若一边长为，则该等腰三角形的腰长为（   ） A． B． C．或 D． 2．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知点，，，在同一直线上，且，，那么添加一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 4．（24-25七年级下·重庆南岸·期中）如图，为等边三角形，，分别在，上，且，连接，交于点，作，的平分线交于点，连接，．若，，则______，与的面积比为_________． 5．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）仔细观察如图所示的“五角星”，数一数，图中一共有________个三角形． 6．（25-26七年级下·四川·期中）如图，直角三角形中，，点为边上一点，且，连接交延长线于，且为线段的中点，若，，则面积为______． 7．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)画边上的高；（不要求写画法，只需写出结论即可） (2)过点画直线的垂线，垂足为； （不要求写画法，只需写出结论即可） (3)点到直线的距离是线段_________的长度． 8．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在和中，点D在的延长线上，，，，求证：． 9．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）阅读材料：若，求、的值． 解：∵， ∴ ， ∴且， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则________，________； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长． 10．（24-25七年级下·河南南阳·月考）综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年北师大版新教材数学七年级下册期末复习精讲精练讲义【题型讲练】 第四章 三角形【期末复习讲义】-培优版 『导图+知识梳理+19个题型讲练+真题实战练 共48题』（解析版） 归纳 题型汇总 一览无余 题型序列 题型名称 题型一 与平行线有关的三角形内角和问题 题型二 直角三角形的两个锐角互余 题型三 构成三角形的条件 题型四 确定第三边的取值范围 题型五 三角形三边关系的应用 题型六 与三角形的高有关的计算问题 题型七 利用网格求三角形面积 题型八 全等的性质和SSS综合(SSS) 题型九 尺规作图——作三角形 题型十 全等的性质和ASA(AAS）综合(ASA或者AAS) 题型十一 全等的性质和SAS综合(SAS) 题型十二 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合) 题型十三 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合) 题型十四 利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形) 题型十五 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题） 题型十六 旋转模型(全等三角形的辅助线问题） 题型十七 垂线模型(全等三角形的辅助线问题） 题型十八 其他模型(全等三角形的辅助线问题） 题型十九 全等三角形综合问题 第一部分 框架速览 体系搭建 第二部分 知识梳理 核心归纳 知识点一 三角形的概念 由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形； 记作：△ABC，如图：其中：线段 AB，AC，CA 是三角形的边，A，B，C 是三角形的顶点，∠A，∠B， ∠C 是相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角． 知识点二 三角形的分类 知识点三 三角形的三边关系 三角形任意两边的和大于第三边，任意两边的差小于第三边。 【拓展：三边关系的运用】 ①判断三条线段能否组成三角形； ②当已知三角形的两边长时，可求第三边的取值范围。 知识点四 三角形的稳定性 ①三角形的形状是固定的，三角形的这个性质叫三角形的稳定性。三角形具有稳定性，而四 边形没有稳定性。 ②三角形的稳定性有广泛的运用：桥梁、起重机、人字形屋顶、桌椅等 知识点五 三角形的重要线段 知识点六 三角形的内角 ①三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于 180 度。 ②证明方法：剪拼成平角、通过做平行线构造平角、构造两平行线下的同旁内角。 测量法： 剪角拼角法 ： 知识点七 直角三角形 ①直角三角形的两个角互余。直角三角形用符号“Rt△”表示，如 Rt△ABC。 ②有两个角互余的三角形是直角三角形 知识点八 全等图形 全等形：能够完全重合的两个图形叫做全等形。 （一）全等形的形状相同，大小相等，与图形所在的位置无关。 （二）两个全等形的面积一定相等，但面积相等的两个图形不一定是全等形。 （三）一个图形经过平移、翻折、旋转后，形状、大小都没有改变，只是位置发生了变化，即平移、翻折、旋转前后的图形全等。 知识点九 全等三角形 （一）全等三角形：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。 （二）全等三角形中的对应元素 1、概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角。 对应顶点：点A与点D，点B与点E，点C与点F。 对应边：AB与DE，AC与DF，BC与EF。 对应角：∠A与∠D，∠B与∠E，∠C与∠F。 2、对应元素的确定方法 （1）字母顺序确定法∶根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、对应角。 （2）图形位置确定法 ①公共边一定是对应边； ②公共角一定是对应角； ③对顶角一定是对应角; （3）图形大小确定法∶两个全等三角形的最大的边（角）是对应边（角），最小的边（角）是对应边（角）。 （三）全等三角形的表示：全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如三角形△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 知识点十 全等三角形的性质 （一）全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 （二）全等三角形对应边上的高、中线分别相等，对应角的平分线相等，面积相等，周长相等。 ∵△ABC≌△DEF ∴AB=DE，AC=DF，BC=EF（全等三角形的对应边相等）。 ∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（全等三角形的对应角相等）。 知识点十一 判定全等三角形 1.边边边（SSS） 1、三边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS”）。 2.（边角边SAS） （1）用直尺和圆规作一个角等于已知角(已知角∠AOB，求作∠AOB=∠A'O'B') ①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C、D。 ②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'。 ③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第2步中所画的弧相交于点D'; ④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB。 （2）两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS”）。 3.（角边角ASA） 两角和它们的夹边分别相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）。 4.（角角边AAS） 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等（可以简写成"角角边"或"AAS"）。 5. （直角边、斜边HL） 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成"斜边、直角边"或"HL"）。 注意：用“HL”证明两个直角三角形全等，书写时两个三角形符号前面要加上“Rt”。 第三部分 精讲变式 融会贯通 题型讲练一 与平行线有关的三角形内角和问题 【例1】（24-25七年级·全国·课后作业）如图,已知AB∥CD,直线EF分别交AB,CD于点E,F,EP平分∠BEF,FP平分∠DFE.试说明:△PEF是直角三角形. 【答案】△PEF是直角三角形 【详解】试题分析：根据平行线的性质，由AB∥CD得到∠BEF＋∠DFE ＝180°，再根据角平分线定义得∠PEF＋∠PFE＝(∠BEF＋∠DFE)，然后计算出∠P＝90°，根据直角三角形的定义即可得到△EPF是直角三角形． 试题解析： 证明：因为AB∥CD， 所以∠BEF＋∠DFE＝180°． 又因为EP平分∠BEF，FP平分∠DFE， 所以∠PEF＝∠BEF，∠PFE＝∠DFE． 所以∠PEF＋∠PFE＝(∠BEF＋∠DFE)＝90°． 又因为∠PEF＋∠PFE＋∠P＝180°， 所以∠P＝90°． 所以△PEF是直角三角形． 【变式】（24-25七年级下·江苏镇江·月考）如图，，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质及三角形内角和定理． 先根据可知，再由三角形外角的性质求出的度数，根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：， ，                   ， ， ，     ， ． 题型讲练二 直角三角形的两个锐角互余 【例2】（23-24七年级下·天津南开·期中）在中，，是斜边上的高． (1)如图1，若是中线，，填空： ①则与的周长差为______； ②则高的长为_______； (2)如图2，若是角平分线，，求的度数． 【答案】(1)①2；② (2) 【分析】本题考查了三角形中线的性质、角平分线的定义，熟练掌握直角三角形的两锐角互余是解此题的关键． （1）①根据是中线可得，分别表示出出与的周长，作差即可得到答案； ②根据代入数据进行计算即可； （2）由角平分线的定义可得，再由直角三角形的两锐角互余得出，最后根据进行计算即可得到答案． 【详解】（1）解：①在中，，是中线， ， 的周长，的周长， 与的周长差， 故答案为：2； ②， ， ， 故答案为：； （2）解：，平分， ， 是斜边上的高， ， ， ， ． 【变式】（24-25七年级下·江苏苏州·期中）如图，△ABC中，∠A=30°，∠B=70°，CE平分∠ACB，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，   (1)试说明CD是△CBE的角平分线；   (2)和∠B相等的角是 ． 【答案】（1）证明见解析；（2）∠CEB、∠CDF． 【分析】（1）根据∠A=30°，∠B=70°，得∠ACB=80°，由角平分线的定义得∠BCE=40，根据三角形的内角和定理得∠BCD=20°，从而得出CD是△BCE的角平分线． （2）由直角三角形两个锐角互余，得∠B=∠CEB．根据等角的余角相等，得∠B=∠CDF． 【详解】解：（1）∵∠A=30°，∠B=70°， ∴∠ACB=80°． ∵CE平分∠ACB， ∴∠BCE=40． ∵∠B=70°，∠CDB=90°， ∴∠BCD=20°． ∴∠ECD=∠BCD=20°． ∴CD是△BCE的角平分线． （2）∵∠ECD=20°，∠CDE=90°， ∴∠CEB=70°． ∴∠B=∠CEB． ∵∠CFD=90°，∠FCD=20°， ∴∠CDF=70°． ∴∠CDF=∠B． ∴与∠B相等的角是：∠CEB、∠CDF． 题型讲练三 构成三角形的条件 【例3】（2026·河南三门峡·一模）等腰三角形的两边长分别是3和7，则这个等腰三角形的周长为（    ） A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 【答案】C 【分析】根据题意，分两种情况讨论腰长，再根据三边关系判断能否构成三角形，进而计算周长． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：当为腰长时，三角形三边长为， ∵，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形， ∴此情况舍去； 情况2：当为腰长时，三角形三边长为， ∵，，满足三角形三边关系，可以构成三角形. ∴三角形的周长为． 【变式】（24-25七年级下·江苏连云港·月考）已知是等腰三角形，如果它的两条边的长分别为和，那么它的周长是_______． 【答案】 【分析】分两种情况讨论等腰三角形的腰长与底边长，结合三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可得到结果． 【详解】解：分两种情况讨论： ①当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ， 不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰长为，底边长为时， ， 能构成三角形， 周长为， 故答案为． 题型讲练四 确定第三边的取值范围 【例4】（25-26七年级下·四川·期中）我们称各边长为整数的三角形为整边三角形．若整边三角形三边长为，，且满足，当时，这样的整边有______个；若（为正整数）时，这样的整边有______个（用含的代数式表示）． 【答案】 【详解】解：当时，则， 根据三角形三边关系，可得， 当时，代入得， 又∵， ∴， ∴此时无整数解； 当时，代入，即， ∴， ∴， 此时三边为，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∴或， 此时三边为或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∴或或， 此时三边为：或或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴或或， 此时三边为：或或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴或， 此时三边为或，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴， 此时三边为，共种情况； 当时，代入，即， ∴， ∵，即， ∴此时无整数解； 综上可得当时，满足条件的整边的个数为：（个）； 若（为正整数）时， 同上理可得：满足条件的整边的个数为：（个）． 【变式】（24-25七年级下·湖南衡阳·月考）已知2，，4是三角形的三边长，化简______． 【答案】4 【分析】根据在三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；即可求a的取值范围，进而得到化简结果． 【详解】解：由三角形三边关系定理得， 即． ∴． 题型讲练五 三角形三边关系的应用 【例5】（25-26七年级下·上海宝山·月考）一个等腰三角形的三边长分别为7、、，求x的值，并求这个等腰三角形三边的长． 【答案】，三边长为：7，7，4 【分析】在没有明确给出腰和底边时，要注意和已知条件联系起来分情况讨论进而求解．分三种情况讨论． 【详解】解：∵等腰三角形边长分别为7、、， ∴①当时，解得：， ∴等腰三角形的三边分别为，此时能组成三角形； ②当时，解得：， ∴等腰三角形的三边分别为，此时不能组成三角形； ③当时，解得：， 等腰三角形的三边分别为，此时不能组成三角形； 综上所述，，三角形三边长为7，7，4． 【变式】（25-26七年级下·全国·单元复习）周长为的三角形中，最长边的取值范围是 (    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设三角形的三边分别为， ， ，其中为最长边，由三角形两边之和大于第三边得，由是最长边，得，即可得的取值范围． 【详解】解：设三角形的三边分别为， ， ，其中为最长边， ∵三角形两边之和大于第三边， ∴， ∵， ∴， 代入不等式得 ， 解得， ∵是三角形的最长边， ∴且， ∴， 即， 解得得， 当时，，此时三角形为等边三角形，满足最长边的限定条件， ∴最长边m的取值范围是． 故选：A． 题型讲练六 与三角形的高有关的计算问题 【例6】（2026七年级下·广东广州·专题练习）如图，点在直线上，点，在直线上，，，，，则下列说法错误的个数有（　　） ①点到的距离等于． ②点到直线的距离等于．③点到直线的距离等于． ④点到的距离等于 A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离． 【详解】解：因为， 所以点到的距离等于线段的长度，即点到的距离等于． ①错误． 因为， 所以点到直线的距离等于线段的长度，即点到直线的距离等于． ②正确． 因为， 所以点到直线距离等于线段的长度，即点到直线距离等于． ③正确． 如图所示，过点作的垂线，交于点． 点到的距离等于线段的长度． 因为， 所以． ④错误． 综上所述，说法错误的为①④，共个． 故选：B 【变式】（2026七年级下·广东广州·专题练习）如图，中，，，，，P为线段上一动点（可以与重合），连接，令长为x，则x的取值范围是________． 【答案】 【分析】当P在B处时，最长为4；当时，最短，利用列方程计算即可． 【详解】解：∵，， ∴当P在B处时，最长， 此时； 当时，最短，如图： ∵， ∴ ； ∴． 题型讲练七 利用网格求三角形面积 【例7】（24-25七年级下·广西梧州·期中）观察图1，每个小正方形的边长均为1，我们可以得到每个小正方形的面积为1．    (1)图1中阴影正方形的面积为_____________，可得的长为_____________； (2)根据（1）中解题思路和方法，请你在图2所示的正方形网格中（每个小正方形的边长均为1）画出长为的线段，并说明理由． 【答案】(1)，； (2)见解析． 【分析】本题考查了图形类规律探索，正方形的面积，算术平方根，解题的关键是会熟练掌握正方形边长与面积之间的关系． （1）将正方形分为两个三角形，求每一个三角形的面积，相加即可得到正方形的面积，求算术平方根，即可得边长； （2）画出面积为的正方形，其四条边都是长为的线段． 【详解】（1）解：由图可知，， ∴阴影正方形的面积为， ∴的长为， 故答案为：，． （2）如图所示，四条线段都是长为的线段． 理由：因为所画正方形的面积为，所以其边长为．    【变式】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）在如图所示的方格纸中，点A、B、C均在格点上． (1)连接，过点作的平行线； (2)连接，过点作的垂线，垂足为E； (3)连接，则三角形的面积为 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】本题考查了格点作图的应用，利用网格求三角形的面积，掌握网格线的特征和割补法求三角形的面积是解题的关键． （1）根据网格线的特征作图； （2）根据网格线的特征作图； （3）根据三角形的面积公式求解． 【详解】（1）解：如图，线段，直线即为所求作． （2）解：如图，线段，即为所求作， （3）解：如图， ． 故答案为：5． 题型讲练八 全等的性质和SSS综合(SSS) 【例8】（25-26七年级下·吉林长春·开学考试）如图，点A、C、D、B在同一条直线上，点E、F分别在直线的两侧，，，．若，则_____． 【答案】/125度 【分析】本题主要运用全等三角形的判定定理以及全等三角形的性质来求解．先通过线段的等量关系证明三角形全等，再利用全等三角形对应角相等求出角度． 【详解】解：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 【变式】（24-25七年级下·山东济南·期中）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，证明角相等，通常证明它们所在的三角形全等．运用证明，从而可得出结果． 【详解】解：， ， ， 在和中， ∴， ． 题型讲练九 尺规作图——作三角形 【例9】（24-25七年级下·陕西宝鸡·期中）用尺规作图：已知：如图，线段及．求作：，使，，． 【答案】见解析 【分析】本题考查尺规作三角形，先作一个角，再以为圆心为半径画弧，交于，交于，则，再以为圆心为半径画弧交于，则，，最后连接即可得到满足要求的． 【详解】解：如图，，其中，，． 【变式】（24-25七年级下·宁夏银川·期末）用圆规、直尺作图，不写作法，但要求保留作图痕迹． 已知：线段a． 求作：，使得． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查尺规作图，线段的作图，线段的垂直平分线的作法，三角形的作图．先作射线，以点B为圆心，长度为的线段为半径画弧交射线于点，以点C为圆心，长度为的线段为半径画弧交射线于点，再作线段的垂直平分线，以点B为圆心，长度为的线段为半径画弧，在上方交线段的垂直平分线于点，连接即可． 【详解】解：如图所示，为所求． 题型讲练十 全等的性质和ASA(AAS）综合(ASA或者AAS) 【例10】（25-26七年级下·山东济南·月考）如图，已知，，，点，分别是，边上的动点，满足，连接，，则取得最小值时，线段的长为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图：过点A作且，连接交于，证明可得，从而将转化为，根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值．易证，再利用全等三角形的性质以及线段的运算即可解答． 【详解】解：如图：过点A作且（点F在下方），连接交于， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 根据两点之间线段最短，当F、D、C三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在和中， ， ∴， ∴， ∴取得最小值时，线段的长为． 【变式】（24-25七年级下·辽宁沈阳·期中）如图，在和中，，，P是上任意一点，试说明： (1) (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据题意，，根据进行判定即可； （2）由（1）可得，得到，证明，即可得到答案． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）证明： 在和中， ， ， ． 题型讲练十一 全等的性质和SAS综合(SAS) 【例11】（25-26七年级下·北京·开学考试）如图，在锐角中，的面积为15，平分，若，分别是上的动点，当的最小值为6时，的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】在上截取，证明，所以，则，当三点共线，且时，的值最小，为长，然后通过三角形面积公式求出长即可． 【详解】解：如图，在上截取， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线，且时，的值最小，为长，如图， 即， ∵的面积为15， ∴，即， ∴． 【变式】（25-26七年级下·山东泰安·期末）如图，、分别是等边三角形的边，上的点，且，交于点． (1)请探究线段与线段的数量关系，并说明理由； (2)求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理． (1)由等边三角形的性质可知，，利用可证，根据全等三角形的性质可得； (2)由全等三角形的性质可得，可得，利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】（1）解：， 理由如下： 是等边三角形， ，， 在与中，， ， ； （2）解：由(1)知， ， ， 即， ． 即． 题型讲练十二 灵活选用判定方法证全等（全等三角形的判定综合) 【例12】（24-25七年级下·江苏盐城·月考）根据下列条件，能作出唯一三角形的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．， 【答案】C 【分析】本题利用三角形三边关系和全等三角形的判定定理，逐一判断选项能否作出唯一三角形即可． 【详解】解：A、已知两边及其中一边的对角，不能确定唯一三角形，本选项不符合题意． B、，不满足三角形任意两边之和大于第三边，不能作出三角形，本选项不符合题意． C、已知两个角，第三个角可由三角形内角和求出，且已知一条边，符合全等三角形的判定条件，能作出唯一三角形，本选项符合题意． D、只知道一个直角和斜边，缺少边或角的条件，不能确定唯一三角形，本选项不符合题意． 【变式】（24-25七年级下·江苏·期末）如图，在和中，有以下四个论断：①，②，③，④，请以其中三个论断为条件，余下一个论断为结论，写出一个正确的结论：_________（填序号）． 【答案】选择①②④，得出③，或选择②③④，得出①． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，根据，可知由①②④，可得出，由全等三角形的对应角相等可得出③，根据，可知由②③④，可得出，由全等三角形的对应边相等可得出①． 【详解】解：选择①②④，得出③， 在和中， ， ∴， ∴， 选择②③④，得出①， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：选择①②④，得出③，或选择②③④，得出①． 题型讲练十三 结合尺规作图的全等问题（全等三角形的判定综合) 【例13】（23-24七年级下·安徽淮南·期中）根据下列条件，能画出唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键．根据根据三角形全等的判定方法可对A、B、C选项进行判断；三角形的三边的关系可对D选项进行判断． 【详解】解：A、，，，符合“”，所以根据条件能画出唯一，故此选项符合题意； B、，，，根据两边及一边对角不能判定两三角形全等，即作出的三角形不唯一，故此选项不符合题意； C、，，，根据三角相等不能能判定两三角形全等，即作出的三角形不唯一，故此选项不符合题意； D、，，，∵，∴不满足三角形三边的关系，即三边不能构成三角形，故此选项不符合题意； 故选：A. 【变式】（24-25七年级下·山东济宁·期中）如图，已知点D是射线上一点且 (1)过点E作的平行线； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查作平行线，平行线的判定与性质，熟练掌握尺规基本作图-作一个角等于已知角，平行线的判定与性质是解题的关键． （1）利用尺规基本作图-作一个角等于已知角，在一上，作即可； （2）分情况讨论，当点F在上方时，利用平行线的性质求出，再利用求解即可；当点F在下方时，利用邻补角的性质即可求解． 【详解】（1）解：以点O为圆心任意为半径画弧，交、于M、N，半径不变，以点E为圆心画弧，交于点P，再以点P为圆心长为半径画弧形，与前弧相交于F，过作直线即可． 如图所示，直线就是所要求作的直线， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）解：如图， 当点F在上方时， ， ， ． ， ； 当点F在下方时，． 题型讲练十四 利用全等图形求正方形网格中角度之和(全等图形) 【例14】（24-25七年级下·全国·周测）如图，图形的各个顶点都在的正方形（每个小正方形的边长为1）网格的格点上，则的度数为_____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，由证明三角形全等得出是解题的关键． 通过证明三角形全等得出再根据即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 由题意得，在和中， 故答案为：. 【变式】（24-25七年级下·河北沧州·月考）如图是由16个大小相同的小正方形组成的网格图形，图形的各个顶点均为格点，则的度数为________；度数为_______． 【答案】 /90度 /45度 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，网格的特点， 首先证明出，得到，然后等量代换得到，即可求出；然后由得到． 【详解】解：如图所示， ∵由网格特点得，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴． 故答案为：，． 题型讲练十五 倍长中线模型(全等三角形的辅助线问题） 【例15】（25-26七年级下·重庆·期中）如图，在中，，，D，E分别为，边上的点，连接，交于点F，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，以为边作，，，连接，G为中点，连接，求证：； (3)如图3，P为上一点，连接，H为中点，连接，M，N分别为，上的点，连接，交于点O，若，，，，直接写出的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明即可得出结论； （2）延长至点，使得，连接，则，证明，得到．由得到，从而证明，得到，因此．证明，得出，因此，进而即可得出结论； （3）延长至点K，使得，连接，则，证明，得到，，得出，因此．延长至点L，使得，连接，根据，，得到，从而证明，得到，，证明，得到，求出，得到． 【详解】（1）证明：∵在与中， ∴ ． （2）证明：延长至点，使得，连接， ， 为中点， ， ∵在与中， ， ， ， ， ，即． ∵在与中， 由（1）得， ∴， ， ， ， ，即， ，即， ∴． ∵在与中， ． （3）解：延长至点K，使得，连接，则 ∵点H是的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 延长至点L，使得，连接， ∵，， ∴在四边形中，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式】（25-26七年级下·山东济宁·期中）在通过构造全等三角形解决的问题中，有一种方法叫倍长中线法． (1)如图，是的中线，，求的取值范围．我们可以延长到点，使，连接，根据可证，所以．接下来，在中利用三角形的三边关系可求得的取值范围，从而得到中线的取值范围是：________； (2)如图，，点为的中点，连接．求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（）由可得，再根据三角形三边关系解答即可求解； （）延长至，使，连接，则，同理可证，即得，，再证明，得到，即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，延长至，使，连接，则， 同理可证， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 题型讲练十六 旋转模型(全等三角形的辅助线问题） 【例16】（23-24七年级下·贵州遵义·期末）在中，，点E为上一动点，过点A作于D，连接．    (1)【观察发现】 如图①，与的数量关系是 ； (2)【尝试探究】 点E在运动过程中，的大小是否改变，若改变，请说明理由，若不变，求的度数； (3)【深入思考】 如图②，若E为中点，探索与的数量关系． 【答案】(1) (2)的大小不变， (3) 【分析】此题考查等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识． （1）由，得，而，所以，于是得到问题的答案； （2）作交于点F，则，而，即可证明，得，则，所以的大小不改变，； （3）作交于点G，作于点H，可证明，得，由，得，则，由，得，则，所以，即可推导出． 【详解】（1）∵ ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）的大小不改变， 如图①，作交于点F，则，    ∴， 由（1）得， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴的大小不改变，． （3）， 理由：如图②，作交于点G，作于点H，则    ∴， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式】（23-24七年级下·山东济南·期末）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）证即可求解； （3）证即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：， ∵，， ∴ ∵，， 故答案为： （2）解：，理由如下： ， ， 又， ， 即：， 在和中，， ； （3）解：（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由如下： 如图所示： ， ， 即：， 在和中，， 又， ． 题型讲练十七 垂线模型(全等三角形的辅助线问题） 【例17】（24-25七年级下·上海·月考）某校七年级学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图①，在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为D、E．可证得：、、的数量关系为 ； (2)组员小丽想，如果将图①中的直角变式为一般情况，那么结论是否成立呢？如图②，将（1）中的条件改为：在中，，D、A、E三点都在直线l上，并且有，其中α为任意钝角．请问（1）中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由； (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用以上结论来解决问题：如图③，以的边、为腰向外作等腰直角和，其中，若，垂足为点H，延长交于点M．求证：点M是的中点． 【答案】(1) (2)（1）中的结论成立，理由见解析 (3)证明见解析 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质； （1）证明得，由此即可得出、、的数量关系； （2）同（1）证得，进而得，据此即可得出结论； （3）过点作，交的延长线于点，由等腰直角三角形，得到，根据同角的余角相等得到，再根据和得到，即可证明，得到，再由，得到，即可证明得到，据此即可得出结论． 【详解】（1）解：、、的数量关系为：，理由如下： 如图1所示： ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：（1）中的结论成立，证明如下： 如图2所示： ∵，， ∴， 在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：证明：过点作，交的延长线于点，如图3所示： ∵和都是等腰直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点． 【变式】（24-25七年级下·广东汕头·期中）如图，在中，以，为腰作等腰直角三角形和等腰直角三角形，连接，为边上的高线，延长交于点N，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有________（写上序号） 【答案】①③④ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质的应用，先作，交于点H，，交延长线于点K，构造三对全等三角形：，，，根据全等三角形的面积相等，即可得出，，，根据，即可得出结论③；最后根据，得出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵与不一定相等， ∴与不一定全等，故②错误； 作，交于点H，，交延长线于点K， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 同理可得：， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ， 即，故③正确； ∵， ∴，故④正确． 故答案为：①③④． 题型讲练十八 其他模型(全等三角形的辅助线问题） 【例18】（24-25七年级下·江苏盐城·期中）（1）如图1，在四边形中，分别是边、上的点，且．求证：； （2）如图2，在四边形中，分别是边上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？ （3）如图3，在四边形中，分别是边延长线上的点，且（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明．    【答案】（1）见解析；（2）成立；（3）不成立，应当是，见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了三角形全等的判定和性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）延长到G，使，连接．利用全等三角形的性质解决问题即可； （2）先证明，由全等三角形的性质得出．，由全等三角形的性质得出，即，则可得出结论； （3）在上截取，使连接．证明．由全等三角形的性质得出．证明，由全等三角形的性质得出结论． 【详解】证明：延长到G，使，连接．    ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵ ∴． ∴． ∵． ∴ （2）（1）中的结论仍然成立． ， ， 在与中， ， ， ， ， 即 在与中 ， ， 即， ； （3）结论不成立，应当是． 证明：在上截取，使连接．    ∵， ∴． ∵ ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． 【变式】（24-25七年级下·河北保定·期末）如图，小淇站在河边的A点处，在河的对面（小淇的正北方向）的B处有一信号塔，他想知道信号塔离他有多远（即A、B两地的距离），他是这样做的： ①从点向正西方向走30步到达一棵树C处，再继续向前走30步到达D处； ②从D处左转向正南方向行走，到E处时停止行走．此时发现信号塔B、树C与自己所处的位置E恰好在一条直线上； ③从A到E小淇共走了140步． (1)根据题意，画出示意图； (2)如果小淇一步大约50厘米，估计小淇在点A处时，他与信号塔的距离有多少米？请写出说理过程． 【答案】(1)画图见解析 (2)小淇在点处时他与处信号塔的距离为40米． 【分析】本题考查了全等三角形在实际生活中的应用，关键能把实际问题抽象成数学问题，并应用相关知识解决． （1）依据题意即可画出示意图； （2）由题意可得，得，即可求得的长． 【详解】（1）解：示意图如图所示．     （2）解：40米，理由如下： 在和中， ， ， ， 又小淇走了140步，为步， ∴为步，一步大约50厘米即米， （米）． 答：小淇在点处时他与处信号塔的距离为40米． 题型讲练十九 全等三角形综合问题 【例19】（25-26七年级下·广西崇左·期末）如图，已知在四边形中，，，，，点为线段的中点，点在线段上以的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动．要使与全等，点的运动速度为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形对应边相等的性质，并根据不同的全等情况进行分类讨论是解题的关键．已知，要使与全等，需分两种情况讨论：，；，；根据这两种全等情况，结合已知边长和点的运动速度，计算出运动时间，进而求出点的运动速度． 【详解】解：∵，为中点， ∴， 设运动时间为秒，则，， 情况：当（）时，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的速度； 情况：当（）时，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点的速度； 综上，点的运动速度为或 故选：D． 【变式】（24-25七年级下·河南漯河·期中）（1）问题背景： 如图1，在四边形中，，，，E，F分别是、上的点，且．探究图中线段，，之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是，延长到点G，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______； （2）灵活运用： 如图2，若在四边形中，，．E，F分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立，请说明理由； （3）探索延伸： 如图3，已知在四边形中，，，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，如图3所示，且满足，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）；（2）成立，理由见解析；（3） 【分析】（1）延长到点，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，进而得出结论； （2）延长到点，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出，进而得出结论； （3）在延长线上取一点，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图，延长到点，使，连接， 在和中， ， ，，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ∵， ∴， 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，理由如下： 如图，延长到点，使，连接， ，， ， 在和中， ， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ， ∵， ∴； （3）如图，在延长线上取一点，使得，连接， ∵， ， 又∵， ， 在和中， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ∴， ∴． 第四部分 拓展拔高 实战攻坚 1．（25-26七年级下·河南周口·期中）用一根长的铁丝围成等腰三角形，若一边长为，则该等腰三角形的腰长为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，已知边长分别为腰和底边，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可得到腰长． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况1：若为等腰三角形的腰长， 则底边长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴此时腰长为； 情况2：若为等腰三角形的底边长， 则腰长为， ∵，满足三角形三边关系， ∴此时腰长为， 综上，该等腰三角形的腰长为或． 2．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，已知点，，，在同一直线上，且，，那么添加一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定方法逐个判断即可． 【详解】解：∵，∴，即， A：当时，且，，满足，可以判定，故不符合题意； B：当时，可得，且，，满足，可以判定，故不符合题意； C：当，且，，满足，无法判定，故符合题意； D：当时，且，，满足，可以判定，故不符合题意． 3．（25-26七年级下·上海闵行·期中）如图，在中，点是边上一点，点是线段上一点，且；其中点与点、点与点、点与点分别是对应顶点，下列结论中正确的是（    ） ①；②；③；④． A．①②③ B．①② C．①③④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据，得到两组三角形中的边角的关系，得到、为等腰直角三角形，逐个判断各结论的正确性即可． 【详解】解： ， ，，，， ， ， ，， ，， ， ，即①正确； 根据现有条件，无法判断②，故②不正确； ，， ， 设延长线交于点H，延长线交交于点M，则， ，即③正确； ，， ， ，即④正确； 综上所述，结论中正确的是①③④． 4．（24-25七年级下·重庆南岸·期中）如图，为等边三角形，，分别在，上，且，连接，交于点，作，的平分线交于点，连接，．若，，则______，与的面积比为_________． 【答案】 【分析】先根据结合等边三角形的性质，证明，即可求出，再过点作交于点，作交于点，作交的延长线于点，结合角平分线的性质证明，，推出，最后根据即可求解． 【详解】∵，，三点共线， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵在和中， ， ∴ ∴， 过点作交于点，作交于点，作交的延长线于点， ∵是，的平分线， ∴，， ∵，，， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∵在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴，即与的面积比为． 5．（25-26七年级下·江苏宿迁·期中）仔细观察如图所示的“五角星”，数一数，图中一共有________个三角形． 【答案】35 【分析】按照一定的规律，寻找三角形，可以找全不遗漏． 【详解】解：如图， 图中有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 有共5个， 共计有个三角形． 6．（25-26七年级下·四川·期中）如图，直角三角形中，，点为边上一点，且，连接交延长线于，且为线段的中点，若，，则面积为______． 【答案】 【分析】过点作的延长线于点，可证，得，，再证，得，，即得，设，则，进而利用列出方程求出的值即可求解． 【详解】解：如图，过点作的延长线于点，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵为线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴． 7．（25-26七年级下·上海奉贤·期中）如图，已知，根据下列要求作图并回答问题： (1)画边上的高；（不要求写画法，只需写出结论即可） (2)过点画直线的垂线，垂足为； （不要求写画法，只需写出结论即可） (3)点到直线的距离是线段_________的长度． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）延长，以为半径，点C为圆心作圆弧交直线于点G，再分别以A、G为圆心，以大于一半的长度为半径画圆弧，两弧交于点F，连接，交于点D，问题得解； （2）按照（1）的方法作答即可； （3）根据点到直线的距离的定义作答即可． 【详解】（1）解：边上的高如图所示： （2）解：过点画直线的垂线，垂足为，如图所示： （3）解：根据作图有：， ∴点B到直线的距离是线段的长度， 8．（2026·陕西宝鸡·一模）如图，在和中，点D在的延长线上，，，，求证：． 【答案】见详解 【分析】由判定，由全等三角形的性质即可得证． 【详解】证明：， ， ， ，， （）， ． 9．（24-25七年级下·江苏盐城·期中）阅读材料：若，求、的值． 解：∵， ∴ ， ∴且， ∴． 根据你的观察，探究下面的问题： (1)，则________，________； (2)已知，求的值； (3)已知的三边长、、都是正整数，且满足，求的周长． 【答案】(1)1；0 (2) (3)11 【分析】（1）先根据例题凑成2个完全平方式的和等于0的形式，再根据非负数的性质求得a、b的值即可解答； （2）先根据例题凑成2个完全平方式的和等于0的形式，再根据非负数的性质求得x、y的值，最后代入即可解答； （3）根据配方法和非负数的性质求出a，b的值，根据三角形三边的关系得到c的范围，根据c是正整数得到c的值，从而得到周长的值． 【详解】（1）解：∵， ∴, ∴， ， ∴，； （2）解：∵， ∴， 即， 则，， 解得： ∴； （3）解：∵， ∴， ∴, 则，， 解得：，， ∵， 即，且是正整数， ∴， 即三角形三边的长分别为1，5，5， 所以，的周长为． 10．（24-25七年级下·河南南阳·月考）综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)m 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：在中，， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $