专题09 探索规律（压轴题必刷练&二轮复习 学霸秘籍）全国通用-2026年小升初数学二轮复习真题汇编专题培优练

**基本信息** 小升初数学探索规律专题，精选全国名校2024-2025年真题及优质模拟题，聚焦压轴题型，覆盖几何综合、行程工程等核心难点，解析含审题切入与解题逻辑拆解。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |选择题|7|数列规律（1,3,4,7...）、图形计数（小圆摆放）|2024成都病毒传染真题，基础规律识别| |填空题|13|几何规律（正方体模型、正方形拼长方形）、周期问题（☆◇□〇排列）|2025鞍山、龙岩等地真题，规律表达式推导| |计算题|4|规律简算（123×5.67+8.77×567）、公式应用（A=49×51比较）|结合运算技巧，渗透代数思维| |解答题|11|实际应用（空瓶换汽水、凳子高度）、综合探究（密码学、格点多边形）|2025兰州、深圳等地真题，跨情境规律迁移|

2026年小升初数学二轮复习之压轴题必刷练真题汇编专题练•全国通用 专题09 探索规律『压轴题必刷练&二轮复习 学霸秘籍』 【原卷版】在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 专题说明 资料简介 本专题专为小升初数学备考打造，题目精选全国各地各大名校小升初真题与优质模拟题，聚焦高频压轴题型，精准贴合2026年考情与命题趋势。 复习内容覆盖几何综合、行程工程、整数小数分数百分数的计算与应用、方程解题等等核心难点，摒弃低效题海，针对性突破小升初数学高分瓶颈。每道题都配有完整清晰的解析思路，从审题切入点、解题步骤推导到方法总结，层层拆解，手把手教会学生梳理解题逻辑、掌握解题技巧。 通过专项训练，全面提升学生逻辑解题能力与精准运算能力，帮助学生攻克数学难题短板，熟练应对小升初各类复杂压轴题型，夯实数学核心素养，从容备战小升初考试，轻松拿下数学高分。 在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 学霸秘籍 压轴必刷 一、选择题 1．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……依此规律，第10个图形有（    ）个小图。 A．110 B．114 C．112 D．120 2．如左图，照样子摆三角形，摆12个三角形一共需要（    ）根小棒。 A．24 B．25 C．36 3．找规律填数。1，3，4，7，11，（    ）。 A．14 B．16 C．18 D．20 4．小卖部规定：每四个空汽水瓶可换一瓶汽水，李磊如果买了九瓶汽水，那么他最多可以喝（    ）瓶汽水。 A．10 B．11 C．12 D．13 5．有一列数：1，，，，，，，，，，，，，，，，…，则排列在第（    ）。 A．88个 B．94个 C．88个或94个 D．81个或88个 6．（2024·四川成都·小升初真题）有一种传染性极强的恶性病毒，一个病毒携带者每过5分钟就会传染给两个人，如果不及时控制，经过30分钟就会有（    ）人感染这种病毒。 A．729 B．486 C．243 D．162 7．已知，若，则＝（    ）。 A．19 B．21 C．99 D．109 二、填空题 8．（2025·辽宁鞍山·小升初真题）如图，用大小相同的正方体木块搭模型，按照这样的规律，第4个模型需要__________个正方体木块；第n个模型需要__________个正方体水块。 9．（2025·福建龙岩·小升初真题）如图，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片逐渐加1的规律拼成如图图案。按照这样的规律，如果一个图案白色纸片有70张，那么这个图案中有黑色纸片( )张。 10．（2025·广西贵港·小升初真题）☆◇□〇☆◇□〇☆◇□〇……，照这样排下去，第24个图形是______，在前81个图形中，☆有______个。 11．（2025·广东潮州·小升初真题）按规律填数：1，3，9，27，( )，243，( )…。 12．（2025·北京西城·小升初真题）用正方形和等边三角形按下面的方法摆图案。按照这样的方法摆第6幅图案需要( )个等边三角形，摆第n幅图案需要( )个等边三角形。 13．（2024·河南郑州·小升初真题）把边长为1厘米的正方形纸片，按下面的规律拼成长方形： 用4个正方形拼成的长方形的周长是( )厘米，用n个正方形拼成的长方形的周长是( )厘米。 14．（2024·河南郑州·小升初真题）聪聪帮助妈妈一起干家务劳动，他的任务是清洗6个一模一样的杯子。叠起来的杯子激发起了聪聪的学习兴趣，于是他拿起尺子开始探究。 (1)聪聪发现随着杯子数量的增加，叠起来杯子的整体高度也在不断增加，数据如表： 杯子数量/个 1 2 3 4 整体高度/cm 11 13 15 17 聪聪认为：叠起来杯子的整体高度与杯子的数量成正比例关系，你同意吗？写出判断理由：____________________。 (2)如果叠起来5个杯子，整体高度是________cm；n个杯子叠起来的整体高度是________cm。 15．（2024·重庆璧山·小升初真题）如图，由棱长为1cm的小正方体拼成的图形，第2个图形的表面积是( )cm2，第n个图形一共需要( )个小正方体。 16．（2024·江西九江·小升初真题）如图，第①个图中有1个小三角形，第②个图中有4个小三角形，第⑤个图形中有( )个小三角形；第n个图形中有( )个小三角形。 17．接着摆下去每增加一个三角形需要增加两根小棒，用105根小棒能摆成______个三角形。 …… 18．观察下列图形的变化规律，请你想一想：第7幅图中有________个三角形。 19．找规律，写得数。 ，， 根据上面的等式，则：( )。 20．观察一组等式：，，，，找规律填空。 ( )－( )； 请把你猜想到的规律用只用一个字母的式子表示出来( )。 三、计算题 21．（2025·安徽合肥·小升初真题）脱式计算（能简算的要简算）             123×5.67＋8.77×567         1－ 22．探究规律，巧妙计算。 （1）＝ －＝（    ） －＝（    ） （2） ＝（    ） 请展示你的思维过程： 23．（东城区）如果A=49×51，B=48×52，要比较A和B的大小除了可以计算出它们的结果外，还可以采用以下的方式．请你在下面的□中填入适当的数．在横线中填入“＜”“＞”或“=”． 因为：A=49×51 =（48+1）×51 =48×51+1×□ B=48×52 =48×（51+1） =48×51+□×1 所以：A　 　B． 24．（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）计算。 （1） （2） （3） （4） （4） 四、解答题 25．（2025·甘肃兰州·小升初真题）多功能教室里有一些同样的凳子，每个凳子的高度都是45厘米。搞卫生时，奇奇和明明将凳子摞了起来（如下图），并记录了凳子的总高度和凳子数量的变化情况（如下表）。 凳子数量/个 1 2 3 4 …… 总高度/cm 45 51 57 63 …… (1)如果继续摆下去，7个凳子的总高度是( )厘米。 (2)凳子的数量与总高度成正比例关系吗？为什么？ 26．（2024·河南鹤壁·小升初真题）观察下面的算式： 32－1＝4×2＝8 42－1＝5×3＝15 72－1＝8×6＝48 92－1＝10×8＝80 （1）根据你发现的规律，再写一道这样的算式。 （2）运用这个规律计算101×99。 27．（2024·重庆九龙坡·小升初真题）指令：②＝1×2×3，③＝2×3×4，⑤＝4×5×6，如果⑨－⑧＝⑧×A，求A的值。 28．（23-24六年级下·河北·课后作业）100名同学按照编号1~100从左往右顺次排成一行，然后“1、2”报数到最后一人，凡报“1”的就出队；剩下的50名同学再从头开始“1、2”报数，报“1”的再出队……这样继续下去，报到第几轮后就只剩下1名同学？他是多少号？ 29．探索与发现：奇思在乘法口诀表上发现一组有趣的算式，如： 6×6＝36    5×7＝35    4×8＝32    3×9＝27    (1)根据上面这组乘法算式的特点，在上面右边横线上再写一组这样的算式。 (2)观察上述这两组算式，你发现乘数怎样变化会引起积怎样变化？ (3)奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（    ）。 A．（a＋1）×（a－1）＝a2＋1 B．（a＋1）×（a－1）＝a2 C．（a＋1）×（a－1）＝a2－1 D．（a＋2）×（a－2）＝a2＋2 (4)根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则2021×2023＝( )。 30．找规律，并计算。 观察下列两组等式： 第一组：；；。 第二组：；；；。 回答下列问题： （1）我发现的规律：两个分数的（    ）相同，并且等于分母之（    ），则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）根据这个规律计算： ①；     ②若，则正整数m等于（    ）。 31．（2025·北京昌平·小升初真题）密码学中的数学规律。 密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学。在密码学中，加密前的信息称为“明文”，加密后的信息称为“密文”。 请你根据下面的倍恩回答问题： 字母按规律加密后会得到新字母，如： 明文A→密文D  明文ONE→密文RQH 明文TWO→密文WZR ①观察字母的变化，你能发现加密规律吗？把你的发现写在下面空白处。 ②用规律加密和解密。 加密：明文PANDA→密文 ；解密：密文IULHQG→明文 。         　 ③你发现了吗？用上面的规律加密时会遇到一个问题，例如明文W加密后会得到密文Z，但是X、Y、Z加密后没有与之对应的字母了，聪明的密码学者想到了一个办法：明文X→密文A，明文Y→密文B。按照这样的加密规律，密文CRR→明文是 。（你可以在上面的字母表中写一写，画一画） 32．（2025·吉林长春·小升初真题）现将自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出9个数。 （1）图中的9个数的和是多少？ （2）能否使一个长方形框出的9个数的和为2007？若不可能，请说明理由；若可能，求出9个数中最大的数。 33．（2025·重庆渝北·小升初真题）我们把“个相同的数相乘”记为，例如。 (1)请计算：________，__________。 (2)观察下列等式： 由以上规律，我们可以猜： _______。 (3)计算：。 34．（2024·广东深圳·小升初真题）现有365张大小相同的纸卡，上面分别印着整数1～365，如果按照数字从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至365为止（如图1）。图2是完成上述排列后，抽出365周围的部分。 （1）在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，在这些空格上打“×”。 （2）在其他位置填上与365相邻的数字。 35．用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形，设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为。 （1）如上图所示中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S与之间的关系式，答：S＝（    ）。 多边形的序号 ① ② ③ ④ …… 多边形的面积 2 （    ） 3 （    ） …… 各边上格点的个数和 4 5 6 （    ） …… （2）请你再画出2个格点多边形，使每个多边形内部都有而且只有2个格点。 此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和之间的关系式S＝（    ）。 （3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有个格点时，猜想S与有怎样的关系？请直接写出结果。 试卷第2页，共121页 试卷第2页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年小升初数学二轮复习之压轴题必刷练真题汇编专题练•全国通用 专题09 探索规律『压轴题必刷练&二轮复习 学霸秘籍』 【解析版】在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 专题说明 资料简介 本专题专为小升初数学备考打造，题目精选全国各地各大名校小升初真题与优质模拟题，聚焦高频压轴题型，精准贴合2026年考情与命题趋势。 复习内容覆盖几何综合、行程工程、整数小数分数百分数的计算与应用、方程解题等等核心难点，摒弃低效题海，针对性突破小升初数学高分瓶颈。每道题都配有完整清晰的解析思路，从审题切入点、解题步骤推导到方法总结，层层拆解，手把手教会学生梳理解题逻辑、掌握解题技巧。 通过专项训练，全面提升学生逻辑解题能力与精准运算能力，帮助学生攻克数学难题短板，熟练应对小升初各类复杂压轴题型，夯实数学核心素养，从容备战小升初考试，轻松拿下数学高分。 在此输入内容，确保信息清晰简洁，便于观众快速理解。文字应简明扼要，突出重点，搭配合适的字体和配色，提升可读性。 学霸秘籍 压轴必刷 一、选择题 1．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放：第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，……依此规律，第10个图形有（    ）个小图。 A．110 B．114 C．112 D．120 【答案】B 【思路引导】根据图分析，可知第一个图形是（4＋1×2）个小圆，第二个图形是（4＋2×3）个小圆，第三个图形是（4＋3×4）由此即可知道第n个图形就是4＋n（n＋1），问第10个图形有多少个小圆，把n＝10代入公式即可。 【规范解答】4＋10×（10＋1） ＝4＋10×11 ＝4＋110 ＝114 故答案为：B。 【考点剖析】本题主要考查找规律的题目，对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，再进行解答。 2．如左图，照样子摆三角形，摆12个三角形一共需要（    ）根小棒。 A．24 B．25 C．36 【答案】B 【思路引导】搭一个三角形需要3根小棒，搭两个三角形需要5根小棒，搭三个三角形需要7根小棒，则知搭n个三角形需要（2n＋1）根小棒，据此即可解答。 【规范解答】由分析及规律知：搭n个三角形需要（2n＋1）根小棒 当a＝12时，2×12＋1＝24＋1＝25（根） 故答案为：B。 【考点剖析】本题是一道找规律的题目，首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的。 3．找规律填数。1，3，4，7，11，（    ）。 A．14 B．16 C．18 D．20 【答案】C 【思路引导】4＝1＋3，7＝3＋4，11＝4＋7，从第三项开始，都是前两项的和；由此求解。 【规范解答】1＋3＝4，3＋4＝7，4＋7＝11，7＋11＝18。 故答案为：C 【考点剖析】数列中的规律：关键是根据已知的式子或数得出前后算式或前后数之间的变化关系和规律，然后再利用这个变化规律再回到问题中去解决问题。 4．小卖部规定：每四个空汽水瓶可换一瓶汽水，李磊如果买了九瓶汽水，那么他最多可以喝（    ）瓶汽水。 A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【规范解答】每四个空瓶换一瓶汽水，可以先换两瓶，加上自己还有1瓶，这是缺一瓶可再换购，先问店家借一瓶，再把后来换购到的还掉。 5．有一列数：1，，，，，，，，，，，，，，，，…，则排列在第（    ）。 A．88个 B．94个 C．88个或94个 D．81个或88个 【答案】C 【思路引导】根据所给数可知，分母是1的有1个；分母是2的有3个；分母是3的有5个；分母是4的有7个……据此计算出分母是1－9的一共的个数，分母是10时，可能是第7个，也可能是第13个。据此计算即可。 【规范解答】1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋7＝88 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17＋13＝94 据此可知排列在第88个或者第94个。 故答案为：C 【考点剖析】分析处数列的排列规律是解题关键。 6．（2024·四川成都·小升初真题）有一种传染性极强的恶性病毒，一个病毒携带者每过5分钟就会传染给两个人，如果不及时控制，经过30分钟就会有（    ）人感染这种病毒。 A．729 B．486 C．243 D．162 【答案】A 【思路引导】30分钟里有6个5分钟。第一个5分钟，传染给2个人，这样就有3个病毒感染者。第二个5分钟，3个病人传染给6个人，这样一共就有9个病毒感染者。依此类推，从而计算出第6个5分钟会有多少人感染。 【规范解答】30÷5＝6（个） 第一个五分钟：1＋1×2＝3（人） 第二个五分钟：3＋3×2＝9（人） 第三个五分钟：9＋9×2＝27（人） 第四个五分钟：27＋27×2＝81（人） 第五个五分钟：81＋81×2＝243（人） 第六个五分钟：243＋243×2＝729（人） 故答案为：A 【考点剖析】解决本题的关键是比较小的数据出发，找出规律，从而解决问题。 7．已知，若，则＝（    ）。 A．19 B．21 C．99 D．109 【答案】D 【思路引导】观察算式可知，b等于等式左边的第一个数字，a等于等式右边第一个数字的平方减1，据此解答即可。 【规范解答】通过观察算式规律可知， 因为 所以b＝10，a＝－1＝99 所以a＋b＝10＋99＝109 故答案为：D。 【考点剖析】解题的关键是根据所给的式子，得出算式规律，再利用算式规律求和。 二、填空题 8．（2025·辽宁鞍山·小升初真题）如图，用大小相同的正方体木块搭模型，按照这样的规律，第4个模型需要__________个正方体木块；第n个模型需要__________个正方体水块。 【答案】 12 3n 【思路引导】第1个模型：通过观察可知有3个正方体木块。第2个模型：有6个正方体木块。第3个模型：有9个正方体木块。可以发现，第1个模型：3＝3×1；第2个模型：6＝3×2；第3个模型：9＝3×3。规律为：第n个模型需要3n个正方体木块。那么第4个模型需要的正方体木块数量为3×4＝12个。 【规范解答】第1个模型：3＝3×1（个） 第2个模型：6＝3×2（个） 第3个模型：9＝3×3（个） 第4个模型：3×4＝12（个） 第n个模型需要3n个正方体木块。 第4个模型需要12个正方体木块；第n个模型需要3n个正方体木块。 9．（2025·福建龙岩·小升初真题）如图，用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片逐渐加1的规律拼成如图图案。按照这样的规律，如果一个图案白色纸片有70张，那么这个图案中有黑色纸片( )张。 【答案】23 【思路引导】第1个图案：黑色纸片有1张，白色纸片有4张。 第2个图案：黑色纸片有2张，白色纸片有4＋3×（2－1）＝4＋3×1＝4＋3＝7张。 第3个图案：黑色纸片有3张，白色纸片有4＋3×（3－1）＝4＋3×2＝4＋6＝10张。 由此可推出，第n个图案中，黑色纸片有n张，白色纸片有（3n＋1）张。已知白色纸片有70张，即3n＋1＝70，然后计算解答即可。 【规范解答】由分析可知，第n个图案中，黑色纸片有n张，白色纸片有（3n＋1）张。 3n＋1＝70 3n＝70－1 3n＝69 n＝69÷3 n＝23 所以这个图案中有黑色纸片23张。 10．（2025·广西贵港·小升初真题）☆◇□〇☆◇□〇☆◇□〇……，照这样排下去，第24个图形是______，在前81个图形中，☆有______个。 【答案】 〇 21 【思路引导】观察图形排列可知，这组图形是按照“☆◇□〇”每4个图形为一个循环周期进行排列； 求第24个图形，先用除法求出24里面有几个4，没有余数，就是一个循环周期里的最后一个图形。 求在前81个图形中☆的个数，先用除法求出81里面有几个4还余几，因为一个循环周期里只有1个☆，那么商是几，就有几个☆，再结合余数，确定余数里☆的个数，相加，即可求出☆的总个数。 【规范解答】24÷4＝6（组） 没有余数，第24个图形是〇； 81÷4＝20（组）……1（个） 余数是1，说明第81个图形是☆； ☆一共有： 20×1＋1 ＝20＋1 ＝21（个） ☆◇□〇☆◇□〇☆◇□〇……，照这样排下去，第24个图形是（〇），在前81个图形中，☆有（21）个。 11．（2025·广东潮州·小升初真题）按规律填数：1，3，9，27，( )，243，( )…。 【答案】 81 729 【思路引导】分析题目，根据3÷1＝3，9÷3＝3可知：数列的规律为：后一个数＝前一个数×3，据此解答。 【规范解答】27×3＝81 243×3＝729 按规律填数：1，3，9，27，81，243，729…。 12．（2025·北京西城·小升初真题）用正方形和等边三角形按下面的方法摆图案。按照这样的方法摆第6幅图案需要( )个等边三角形，摆第n幅图案需要( )个等边三角形。 【答案】 19 3n＋1 【思路引导】根据图中可得：第1幅有4个等边三角形：3×1＋1，第2幅有7个等边三角形：3×2＋1，第3幅有10个等边三角形：3×3＋1，第4幅有13个等边三角形：3×4＋1，等等.可以看出图形中的等边三角形个数＝第几个图形×3＋1，第n个图形就有3n＋1个等边三角形。据此可得出答案。 【规范解答】3×6＋1 ＝18＋1 ＝19（个） 按照这样的方法摆第6幅图案需要19个等边三角形，摆第n幅图案需要（3n＋1）个等边三角形。 13．（2024·河南郑州·小升初真题）把边长为1厘米的正方形纸片，按下面的规律拼成长方形： 用4个正方形拼成的长方形的周长是( )厘米，用n个正方形拼成的长方形的周长是( )厘米。 【答案】 10 （2n+2） 【思路引导】每增加1个正方形，周长增加了2厘米，则n个正方形周长为上下的2n厘米，再加上左右的2厘米，即（2n＋2）厘米。 【规范解答】由分析可知，用n个正方形拼成的长方形的周长是（2n＋2）厘米。 当n＝4时， 2＋2×4 ＝2＋8 ＝10（厘米） 所以用4个正方形拼成的长方形的周长是10厘米，用n个正方形拼成的长方形的周长是（2n＋2）厘米。 14．（2024·河南郑州·小升初真题）聪聪帮助妈妈一起干家务劳动，他的任务是清洗6个一模一样的杯子。叠起来的杯子激发起了聪聪的学习兴趣，于是他拿起尺子开始探究。 (1)聪聪发现随着杯子数量的增加，叠起来杯子的整体高度也在不断增加，数据如表： 杯子数量/个 1 2 3 4 整体高度/cm 11 13 15 17 聪聪认为：叠起来杯子的整体高度与杯子的数量成正比例关系，你同意吗？写出判断理由：____________________。 (2)如果叠起来5个杯子，整体高度是________cm；n个杯子叠起来的整体高度是________cm。 【答案】(1)我不同意聪聪的观点。理由是：叠起来杯子的整体高度与杯子的数量对应的比值不一定。 (2) 19 2n＋9 【思路引导】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 （2）叠1个杯子，整体高度是11cm；叠2个杯子，整体高度是13cm；叠3个杯子，整体高度是15cm；依次类推，叠5个杯子，整体高度是（17＋2＝19）cm；每叠一个杯子，整体高度增加2cm，叠n个杯子，整体高度增加是（2n－2）cm；叠n个杯子，整体高度是（2n－2＋11＝2n＋9）cm。 【规范解答】（1）11÷1＝11，13÷2＝6.5，15÷3＝5，因为叠起来杯子的整体高度与杯子的数量对应的比值不一定，所以二者不成正比例关系。 因此我不同意聪聪的观点。理由是：叠起来杯子的整体高度与杯子的数量对应的比值不一定。 （2）17＋2＝19（cm） 如果叠起来5个杯子，整体高度是19cm。 2（n－1）＋11 ＝2n－2＋11 ＝（2n＋9）cm 叠n个杯子叠起来的整体高度是（2n＋9）cm。 因此如果叠起来5个杯子，整体高度是19cm；叠n个杯子叠起来的整体高度是（2n＋9）cm。 15．（2024·重庆璧山·小升初真题）如图，由棱长为1cm的小正方体拼成的图形，第2个图形的表面积是( )cm2，第n个图形一共需要( )个小正方体。 【答案】 18 n2 【思路引导】前后有（4×2）个面，左右有（2×2）个面，上下有（3×2）个面。加起来就是第2个图形的表面积。 第一个图形有1个小正方体，即1＝12； 第二个图形有4个小正方体，即4＝22； 第三个图形有9个小正方体，即9＝32； 第n个图形一共有n2个小正方体。 【规范解答】（4＋2＋3）×2 ＝9×2 ＝18（平方厘米） 所以第2个图形的表面积是18cm2，第n个图形一共需要n2个小正方体。 16．（2024·江西九江·小升初真题）如图，第①个图中有1个小三角形，第②个图中有4个小三角形，第⑤个图形中有( )个小三角形；第n个图形中有( )个小三角形。 【答案】 25 n2 【思路引导】观察可知，第①个图中有12个小三角形，第②个图中有22个小三角形，第⑤个图形中有52个小三角形，第n个图形中有n2个小三角形。 【规范解答】52＝25（个） n×n＝n2（个） 第①个图中有1个小三角形，第②个图中有4个小三角形，第⑤个图形中有25个小三角形；第n个图形中有n2个小三角形。 17．接着摆下去每增加一个三角形需要增加两根小棒，用105根小棒能摆成______个三角形。 …… 【答案】52 【思路引导】根据图示可知：摆1个三角形，需要小棒根数：3根；摆2个三角形，需要小棒根数：3＋2＝5（根）；摆3个三角形，需要小棒根数：3＋2＋2＝7（根）；……摆n个三角形，需要小棒根数：3＋2（n－1）＝（2n＋1）根。据此解答。 【规范解答】摆1个三角形，需要小棒根数：3根 摆2个三角形，需要小棒根数：3＋2＝5（根） 摆3个三角形，需要小棒根数：3＋2＋2＝7（根） …… 摆n个三角形，需要小棒根数：3＋2（n－1）＝（2n＋1）根 2n＋1＝105 2n＝104 n＝52 【考点剖析】本题考查了图形的变化类问题，主要培养学生的观察能力和总结能力。 18．观察下列图形的变化规律，请你想一想：第7幅图中有________个三角形。 【答案】36 【思路引导】第1幅图中有0个三角形，第2幅图中有1个三角形，第3幅图中有4个三角形，第4幅图中有9个三角形……，由此可以发现第1幅图中三角形的个数是（1－1）2，第2幅图中三角形的个数是（2－1）2，第3幅图中三角形的个数是（3－1）2，第4幅图中三角形的个数是（4－1）2……，第n幅图中三角形的个数是（n－1）2。据此解答。 【规范解答】第1幅图中三角形的个数是（1－1）2，第2幅图中三角形的个数是（2－1）2，第3幅图中三角形的个数是（3－1）2，第4幅图中三角形的个数是（4－1）2……，第n幅图中三角形的个数是（n－1）2。 当n＝7时，（n－1）2＝（7－1）2＝36（个） 【考点剖析】根据图中的数据，发现规律，利用规律解题是关键。 19．找规律，写得数。 ，， 根据上面的等式，则：( )。 【答案】 【思路引导】将分数的分母改写成两个连续整数的乘积： 可以发现规律：，a为正整数， 将要求的算式每一项进行改写，然后裂项，即可计算。 【规范解答】由题意推出， 【考点剖析】本题主要考查了数列中的规律，需要学生能够根据题目给出的算式总结出运算的规律，并能灵活运用。 20．观察一组等式：，，，，找规律填空。 ( )－( )； 请把你猜想到的规律用只用一个字母的式子表示出来( )。 【答案】 20212 1 （n＋1）2－1 【思路引导】观察一系列等式得到一般性规律，写出规律即可：n（n＋2）＝（n＋1）2－1，据此解答即可。 【规范解答】由分析可知；2×4＝32－1，3×5＝42－1，4×6＝52－1，10×12＝112－1 通过观察可得到规律：n（n＋2）＝（n＋1）2－1 2020×2022＝20212－1 猜想到的规律用只含一个字母的式子表示：n（n＋2）＝（n＋1）2－1 【考点剖析】解答本题关键是找出规律：n（n＋2）＝（n＋1）2－1。 三、计算题 21．（2025·安徽合肥·小升初真题）脱式计算（能简算的要简算）             123×5.67＋8.77×567         1－ 【答案】；1； 5670； 【思路引导】（1）先算括号内的加法，先把小括号里的异分母进行通分再相加得到的结果乘2后，再算括号外的分数除法，据此得到结果； （2）利用加法交换律先把和交换位置，得到，再利用加法结合律和减法性质得到简便计算，据此得到结果； （3）首先将8.77×567转化为877×5.67，再利用乘法分配律简便计算，据此得到结果； （4）先把化成，化成，化成，化成，化成，化成，化成，再去掉括号计算，据此得到结果。 【规范解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝2－1 ＝1 （3）123×5.67＋8.77×567   ＝123×5.67＋877×5.67 ＝（123＋877）×5.67 ＝1000×5.67 ＝5670 （4）1－ ＝1－－－－－－－ ＝1－1＋－＋－＋－＋－＋－＋－＋ ＝ 22．探究规律，巧妙计算。 （1）＝ －＝（    ） －＝（    ） （2） ＝（    ） 请展示你的思维过程： 【答案】（1）； （2） 思维过程： ＝（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－） ＝7－（＋＋＋＋＋＋） ＝7－（1－＋－＋－＋－＋－＋－＋－） ＝7－（1－） ＝7－ ＝ 【思路引导】（1）根据异分母的分数的减法计算出结果即可。 （2）通过观察，每个分数都是用1减去它的分数单位得到的，于是把原式变为（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－），然后运用减法的性质变为7－（＋＋＋＋＋＋），括号内的每个分数都可以拆分成两个分数相减的形式，然后通过加、减相互抵消，得出结果。 【规范解答】（1）＝－＝ ＝－＝ （2） ＝（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－）＋（1－） ＝7－（＋＋＋＋＋＋） ＝7－（1－＋－＋－＋－＋－＋－＋－） ＝7－（1－） ＝7－ ＝ 23．（东城区）如果A=49×51，B=48×52，要比较A和B的大小除了可以计算出它们的结果外，还可以采用以下的方式．请你在下面的□中填入适当的数．在横线中填入“＜”“＞”或“=”． 因为：A=49×51 =（48+1）×51 =48×51+1×□ B=48×52 =48×（51+1） =48×51+□×1 所以：A　 　B． 【答案】＞ 【规范解答】分析：根据乘法分配律的意义，把其中一个因数分解为两个数的和的形式，再根据乘法分配律进行简算． 解答：解：因为：A=49×51， =（48+1）×51， =48×51+1×51； B=48×52， =48×（51+1）， =48×51+48×1； 所以：A＞B． 故答案为51，48，＞． 点评：此题考查的目的是使学生理解乘法分配律的意义，并且能够运用乘法分配律进行简便计算． 24．（2024·重庆沙坪坝·小升初真题）计算。 （1） （2） （3） （4） （5） 【答案】（1）；（2）9.25；（3）；（4）；（5）253764 【思路引导】（1）左边小括号的加法和右边小括号同时运算，再算左边中括号里的乘法，然后算中括号里的减法，最后算括号外的除法； （2）先计算小括号的除法和乘法，再算小括号里的减法，然后计算中括号的加法，最后计算括号外的除法； （3）先同时算分子、分母的乘法和除法，再同时算分子、分母的加法和减法，最后算乘法即可； （4）先算小括号的减法，再算中括号的乘法和除法，然后算中括号里减法，而后算括号外的乘法和除法，最后算括号外的加法； （5）先计算小括号的结果，得算式：，再改写为：。从1＋2＋3＋4＋5＋6＝（1＋6）＋（2＋5）＋（3＋4）＝7＋7＋7＝7×3＝21可知，连续的自然数相加，第一个数和最后一个数相加＝第二个数和倒数第二个数相加＝第三个数和倒数第三个数相加……，每两个数为一组，则一共有（自然数的个数÷2）组。由此即可知道公式： 连续的自然数相加的和＝（第一个数＋最后一个数）×（加数的个数÷2）。据此简便计算即可。 【规范解答】（1） ＝ ＝ ＝ ＝ （2） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （3） ＝× ＝× ＝× =÷× ＝×× ＝ （4） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ （5） ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ = ＝253764 【点评】本题考查了分数的简算运算方法，能够明确算式的运算顺序，运用算式呈现的规律是解决本题关键。 四、解答题 25．（2025·甘肃兰州·小升初真题）多功能教室里有一些同样的凳子，每个凳子的高度都是45厘米。搞卫生时，奇奇和明明将凳子摞了起来（如下图），并记录了凳子的总高度和凳子数量的变化情况（如下表）。 凳子数量/个 1 2 3 4 …… 总高度/cm 45 51 57 63 …… (1)如果继续摆下去，7个凳子的总高度是( )厘米。 (2)凳子的数量与总高度成正比例关系吗？为什么？ 【答案】(1)81 (2)不成正比例关系。因为凳子的数量与总高度的比值不一定。 【思路引导】（1）先观察表格里凳子数量和总高度的变化，发现1个凳子高45厘米，每增加1个凳子，总高度增加6厘米，由此得出总高度的计算公式：总高度＝45＋6×（凳子数量－1），再把凳子数量7代入公式，即可求出7个凳子的总高度。 （2）正比例关系的定义：两种相关联的量，若它们的比值（商）一定，则成正比例关系。接着计算不同数量凳子对应的总高度与数量的比值，发现这些比值不固定，因此判断凳子的数量与总高度不成正比例关系。 【规范解答】（1）45＋6×（7－1） ＝45＋6×6 ＝45＋36 ＝81（厘米） （2）1个凳子：45÷1＝45 2个凳子：51÷2＝25.5 3个凳子：57÷3＝19 答：不成正比例关系。因为凳子的数量与总高度的比值不一定。 26．（2024·河南鹤壁·小升初真题）观察下面的算式： 32－1＝4×2＝8 42－1＝5×3＝15 72－1＝8×6＝48 92－1＝10×8＝80 （1）根据你发现的规律，再写一道这样的算式。 （2）运用这个规律计算101×99。 【答案】（1）52－1＝6×4＝24 （2）9999 【思路引导】（1）观察32－1＝4×2＝8可得：4＝3＋1，2＝3－1，4和2相差2。 可将算式改写成：32－1＝（3＋1）×（3－1）＝4×2＝8 那么42－1＝5×3＝15可改写成：42－1＝（4＋1）×（4－1）＝5×3＝15 72－1＝8×6＝48可改写成：72－1＝（7＋1）×（7－1）＝8×6＝48 92－1＝10×8＝80可改写成：92－1＝（9＋1）×（9－1）＝10×8＝80 可得规律：n2－1＝（n＋1）×（n－1），据此写出这样的算式即可。 （2）101和99相差2，101＝100＋1，99＝100－1，根据算式的规律n2－1＝（n＋1）×（n－1），可得101×99＝（100＋1）×（100－1）＝1002－1，据此求解即可。 【规范解答】（1）根据分析可得规律：n2－1＝（n＋1）×（n－1） 52－1＝6×4＝24（答案不唯一） （2）101×99 ＝（100＋1）×（100－1） ＝1002－1 ＝10000－1 ＝9999 27．（2024·重庆九龙坡·小升初真题）指令：②＝1×2×3，③＝2×3×4，⑤＝4×5×6，如果⑨－⑧＝⑧×A，求A的值。 【答案】 【思路引导】因为②＝1×2×3，③＝2×3×4，⑤＝4×5×6，所以⑧＝7×8×9，⑨＝8×9×10，分别计算出⑧和⑨的值；因为⑨－⑧＝⑧×A，所以A＝（⑨－⑧）÷⑧，按顺序计算出A的值即可。 【规范解答】⑧＝7×8×9＝56×9＝504 ⑨＝8×9×10＝72×10＝720 ⑨－⑧＝720－504＝216 216÷504＝＝＝ 答：A的值是。 28．（23-24六年级下·河北·课后作业）100名同学按照编号1~100从左往右顺次排成一行，然后“1、2”报数到最后一人，凡报“1”的就出队；剩下的50名同学再从头开始“1、2”报数，报“1”的再出队……这样继续下去，报到第几轮后就只剩下1名同学？他是多少号？ 【答案】6；64 【思路引导】第1轮报数后，报“1的出队，剩下的编号为2，4，6…100，总共有50名同学； 第2轮报数后，报“1的出队，剩下的编号为4，8，12…100，总共有25名同学； 第3轮报数后，报“1的出队，剩下的编号为8，16，24…96，总共有12名同学； 可以发现：第1轮后剩下的数是2的倍数，第2轮后剩下的是4的倍数，第3轮后剩下的是8的倍数……据此往下报数，即可找出剩下的数。 【规范解答】第1轮报数后，剩下2的倍数：2，4，6…100； 第2轮报数后，剩下4的倍数：4，8，12…100； 第3轮报数后，剩下8的倍数：8，16，24…96； 第4轮报数后，剩下16的倍数：16，32，48，64，80，96； 第5轮报数后，剩下32的倍数：32，64，96； 第6轮报数后，剩下64的倍数：64； 答：报到第6轮后就只剩下1名同学，他是64号。 29．探索与发现：奇思在乘法口诀表上发现一组有趣的算式，如： 6×6＝36    5×7＝35    4×8＝32    3×9＝27    (1)根据上面这组乘法算式的特点，在上面右边横线上再写一组这样的算式。 (2)观察上述这两组算式，你发现乘数怎样变化会引起积怎样变化？ (3)奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（    ）。 A．（a＋1）×（a－1）＝a2＋1 B．（a＋1）×（a－1）＝a2 C．（a＋1）×（a－1）＝a2－1 D．（a＋2）×（a－2）＝a2＋2 (4)根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则2021×2023＝( )。 【答案】(1)7×7＝49 6×8＝48 5×9＝45 4×10＝40 (2)两个相同的因数相乘，如果一个因数加n，另一个因数减n，积就等于因数的平方减n2。 (3)C (4)4088483 【思路引导】根据算式的规律，可以发现： 6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来：（a＋1）×（a－1）＝a2－1； 6×6和4×8之间的规律可以用字母表示出来：（a＋2）×（a－2）＝a2－22； 6×6和3×9之间的规律可以用字母表示出来：（a＋3）×（a－3）＝a2－32； 据此结合题意解答即可。 【规范解答】（1）根据上面这组乘法算式的特点，在右边横线上再写一组这样的算式： 7×7＝49 6×8＝48 5×9＝45 4×10＝40（答案不唯一） （2）观察上述这两组算式，发现：两个相同的因数相乘，如果一个因数加n，另一个因数减n，积就等于因数的平方减n2。 （3）奇思发现6×6和5×7之间的规律可以用字母表示出来，下面正确的是（a＋1）×（a－1）＝a2－1 故答案为：C （4）根据上面发现的规律，如果2022×2022＝4088484，则： 2021×2023 ＝2022×2022－1 ＝4088484－1 ＝4088483 【考点剖析】本题考查了式的规律知识，结合题意分析解答即可。 30．找规律，并计算。 观察下列两组等式： 第一组：；；。 第二组：；；；。 回答下列问题： （1）我发现的规律：两个分数的（    ）相同，并且等于分母之（    ），则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）根据这个规律计算： ①；     ②若，则正整数m等于（    ）。 【答案】（1）分子，和 （2）① ②19 【思路引导】（1）观察算式可知，若两个分数的分子相同，且分母之和等于分子，所以这两个分数的和等于它们的积； （2）①根据（1）中发现的规律进行计算即可； ②根据规律可知＝，然后根据发现的规律求出m的值即可。 【规范解答】（1）我发现的规律：两个分数的分子相同，并且等于分母之和，则这两个分数的和就等于它们的积。 （2）① ② ＝ ＝ 所以6＋m＝25 m＝19 【考点剖析】本题考查算式的变化规律，发现规律，利用规律是解题的关键。 31．（2025·北京昌平·小升初真题）密码学中的数学规律。 密码学是研究编制密码和破译密码的技术科学。在密码学中，加密前的信息称为“明文”，加密后的信息称为“密文”。 请你根据下面的倍恩回答问题： 字母按规律加密后会得到新字母，如： 明文A→密文D  明文ONE→密文RQH 明文TWO→密文WZR ①观察字母的变化，你能发现加密规律吗？把你的发现写在下面空白处。 ②用规律加密和解密。 加密：明文PANDA→密文 ；解密：密文IULHQG→明文 。         　 ③你发现了吗？用上面的规律加密时会遇到一个问题，例如明文W加密后会得到密文Z，但是X、Y、Z加密后没有与之对应的字母了，聪明的密码学者想到了一个办法：明文X→密文A，明文Y→密文B。按照这样的加密规律，密文CRR→明文是 。（你可以在上面的字母表中写一写，画一画） 【答案】①密文字母是明文字母向右移动3个位置后对应的字母，明文字母是密文字母向左移动3个位置后对应的字母。 ②SDQGD；FRIEND ③ZOO 【思路引导】（1）首先观察字母变化的规律，总结加密方法。 通过对比明文字母和密文字母的位置关系，发现每个明文字母在字母表中向右移动3个位置得到密文字母。例如：A（第1位）→D（第4位）；O（第15位）→R（第18位）；T（第20位）→W（第23位）。 同理明文字母是密文字母向左移动3个位置后对应的字母，据此写出规律。 （2）应用规律进行加密和解密即可。 （3）解密时，当字母左移3位超出字母表范围时，从字母表末尾Z再开始循环：C（第3位）左移3位→Z（第26位），R（第18位）左移3位→O（第15位），据此解答。 【规范解答】（1）我发现的加密规律是：密文字母是明文字母向右移动3个位置后对应的字母，明文字母是密文字母向左移动3个位置后对应的字母。 （2）加密：将明文PANDA的每个字母向右移动3个位置：P→S，A→D，N→Q，D→G，A→D，所以明文PANDA→密文SDQGD； 解密：密文IULHQG的每个字母分别向左移动3个位置：I→F，U→R，L→I，H→E，Q→N，G→D，所以密文IULHQG→明文FRIEND。 （3）根据解密规律以及当字母左移3位超出字母表范围时，从字母表末尾Z再开始循环原则，题目密文字母对应明文字母如下：C→Z，R→O ，R→O，所以密文CRR→明文是ZOO。 （写一写，画一画见字母表中） 【考点剖析】这道题的难点在于需要从有限例子中归纳出“字母向右数3位”的加密规则，同时还要掌握字母表循环逻辑，并完成加密到解密的逆向思维转换。 32．（2025·吉林长春·小升初真题）现将自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出9个数。 （1）图中的9个数的和是多少？ （2）能否使一个长方形框出的9个数的和为2007？若不可能，请说明理由；若可能，求出9个数中最大的数。 【答案】（1）216；（2）能；231 【思路引导】（1）设中间数为x，则 9 个数可表示为x－8、x－7、x－6、x－1、x、x＋1、x＋6、x＋7、x＋8，其和为9x。图中中间数是24，因此和为9×24＝216。 （2）依据是数阵的整除特性（9个数的和为9x，需为9的倍数）。 验证2007：2007÷9＝223，即中间数x＝223。 判断位置：223÷7＝31⋯⋯6，说明223在第32行第6列，符合数阵布局。 最大数：x＋8＝223＋8＝231。 【规范解答】（1）设中间的数为x，则另外8个数分别为x－8，x－7，x－6，x－1，x＋1，x＋6，x＋7，x＋8。 （x－8）＋（x－7）＋（x－6）＋（x－1）＋x＋（x＋1）＋（x＋6）＋（x＋7）＋（x＋8）＝24 9x＝24 x＝24 9×24＝216 答：图中的9个数的和是216。 （2）因为9个数的和需为9的倍数，2007÷9＝223，中间数223在第32行第6列，符合布局，最大数为223＋8＝231，故可能，最大数是231。 答：能使一个长方形框出的9个数的和为2007，9个数中最大的数是231。 【考点剖析】核心是抓住3×3方框的对称分布规律：9个数的和必为中间数的9倍，这是快速计算和判断的关键；判断某数能否成为方框和时，先验证其是否为9的倍数（对应中间数为整数），再通过“行数＝商＋1、列数＝余数”确认中间数未超出数阵范围，且最大数可直接用中间数＋8得出，高效简化解题流程。 33．（2025·重庆渝北·小升初真题）我们把“个相同的数相乘”记为，例如。 (1)请计算：________，__________。 (2)观察下列等式： 由以上规律，我们可以猜： _______。 (3)计算：。 【答案】（1）64；625 （2） （3） 【思路引导】（1）根据“个相同的数相乘”记为，将写成6个2相乘，写成4个5相乘，计算即可； （2）观察 …… 可知算式左边为乘到1的连续次方数减1的和，结果为（）； （3）利用（2）的规律，符合的形式，其中＝3，n＝2011，根据结论 ，可得（3－1）（）＝，根据等式的性质2，两边同时÷（3－1），计算即可。 【规范解答】（1）2×2×2×2×2×2＝64，5×5×5×5＝625。 （2） （3）根据分析，可得： （3－1）（）＝ 解：（3－1）（）÷（3－1）＝（）÷（3－1） ＝ 【考点剖析】关键是理解“个相同的数相乘”记为，总结出第（2）题的规律，根据总结出的规律，运用等式的性质，求出第（3）题的结果。 34．（2024·广东深圳·小升初真题）现有365张大小相同的纸卡，上面分别印着整数1～365，如果按照数字从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列，从1开始排列至365为止（如图1）。图2是完成上述排列后，抽出365周围的部分。 （1）在图2的8个空白方格中，其中有些位置不会有数字卡，在这些空格上打“×”。 （2）在其他位置填上与365相邻的数字。 【答案】见解答 【思路引导】（1）（2）如下图所示，数从小到大逆时针方向螺旋由内而外排列出的图形是一个正方形，以1为中心数，每个1×1，3×3，5×5的正方形的右下角的数（即标蓝色方格内的数）均是从1开始的连续奇数的平方（即（2n－1）²），因为19²＝361，即最接近365的奇数的平方，据此画出以数361为右下角的数的排列，再画出以数289为右下角的数的排列（如下图），据此解答。 【规范解答】由分析可知： （1）如下图所示： （2）如下图所示： 【考点剖析】本题考查了数表中的规律的应用。 35．用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点，叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形，设格点多边形的面积为S，它各边上格点的个数和为。 （1）如上图所示中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如下表，请写出S与之间的关系式，答：S＝（    ）。 多边形的序号 ① ② ③ ④ …… 多边形的面积 2 （    ） 3 （    ） …… 各边上格点的个数和 4 5 6 （    ） …… （2）请你再画出2个格点多边形，使每个多边形内部都有而且只有2个格点。 此时所画的各个多边形的面积S与它各边上格点的个数和之间的关系式S＝（    ）。 （3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有个格点时，猜想S与有怎样的关系？请直接写出结果。 【答案】（1）x；2.5；4；8 （2）作图见详解；x＋1 （3）S＝x＋n－1 【思路引导】（1）②多边形的面积是2.5，④多边形的面积是4，各边上格点的个数和是8。通过计算，发现这四个图形的面积都是各边上格点的个数和的，所以S＝x； （2）按照题目的要求作图； 通过观察计算发现，这两个多边形的面积与它各边上格点的个数和之间的关系式为S＝x＋1； （3）通过继续在方格中画格点多边形，发现当格点多边形内部有且只有个格点时，S＝x＋n－1。 【规范解答】（1）通过数图形、分析可以发现S＝x；②多边形的面积是2.5；④多边形的面积是4，各边上格点的个数和是8。 （2） 通过观察、分析数据发现S＝x＋1； （3）继续画图、分析数据、探索，可以发现S＝x＋n－1。 【考点剖析】理解题意，观察图形，通过画图、分析数据、探索规律是解决探究问题的方法。 试卷第2页，共121页 试卷第2页，共33页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $