专题05 平面向量与复数（7大考点）（全国通用）2026年高考数学二模分类汇编

**基本信息** 平面向量与复数专题汇编，涵盖7大核心考点，精选2025-2026各地二模真题，注重基础运算与综合应用，适配高三二轮复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|约30题|向量线性运算（平行四边形、三角形重心）、复数概念（实部、共轭）|结合几何图形（正六边形青花瓷盘）、动态问题（动点最值）| |多选|约8题|向量垂直共线、复数几何意义|跨考点综合（向量与圆交汇、复数与轨迹）| |填空|约20题|向量模与夹角、复数运算|真题情境（2026深圳二模等），梯度设计（基础到创新）|

专题05 平面向量与复数 7大考点概览 题型01 平面向量的线性运算 题型02 平面向量的数量积、投影向量的运算 题型03 有关平面向量的夹角、模的运算 题型04 有关平面向量的垂直、共线的运算 题型05 平面向量与圆、三角函数等知识的交汇问题 题型06 有关复数的基本概念及几何意义 题型07 有关复数的基本运算 ( 平面向量的线性运算 考点1 ) 1．（2026·广东深圳·二模）在平行四边形中，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽马鞍山·二模）已知四边形为平行四边形，，为与的交点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南邵阳·二模）在平行四边形ABCD中，点在线段AC上，且.若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 4．（2026·云南昭通·二模）已知是的边上的点，且，则（   ） A． B． C． D． 5．（2017·广西玉林·二模）如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·江西九江·二模）在平行四边形中，、分别是、的中点．若，则（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河北保定·二模）如图，在中，若 点满足 且 与 交于点 O，则 （   ） A． B． C． D． 8．（2026·浙江宁波·二模）如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026·河南濮阳·二模）如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中不正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值是 10．（2026·湖北·二模）如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（   ） A． B．21 C．24 D．40 11．（2026·四川南充·二模）在中，，，若，，，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 12．（多选）（2025·重庆·二模）已知 为 内部的一点，满足 ，则（   ） A． B． C． D． 13．（2026·天津和平·二模）已知边长为3的正方形，F为边上靠近点B的三等分点，E为线段上一点，M为线段上一点，若，则__________；若以为底边作等腰三角形，则当点E在边上运动时，的取值范围为__________. 14．（2026·湖南·二模）如图，等边边长为2，点、分别为、的中点，连接并延长至点，使得，则_________． 15．（2026·四川南充·二模）在中，，，分别是边，，边的中点，若，，，则的长度为_____________. 16．（2025·天津·二模）在边长为1的菱形ABCD中，，记，，点M是线段BD上一点，点N是线段DC上一点，且A，M，N三点共线．若，则用，表示________；若，则的值为________． ( 平面向量的数量积、投影向量的运算 考点2 ) 1．（2026·广东江门·二模）已知两个单位向量，的夹角为，则（   ） A．0 B． C． D． 2．（2026·广西河池·二模）已知向量均为单位向量，且向量夹角为，则（   ） A． B．1 C． D． 3．（2026·广东清远·二模）已知非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·广东深圳·二模）已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（    ） A．4 B．16 C．1 D．3 5．（2026·安徽池州·二模）已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河南郑州·二模）已知平面上不共线的四点，满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·山东聊城·二模）已知，且满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（2026·辽宁辽阳·二模）已知线段，点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（2026·天津河东·二模）已知点为坐标原点，，，点在内部，，其中，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·河北衡水·二模）已知平面向量，，，若，在上的投影向量相等，且，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 11．（多选）（2025·浙江台州·二模）已知，，，则下列选项正确的是（   ） A．的取值范围是 B．的最大值为30 C．的最小值为 D．的最小值为 12．（多选）（2023·山东·二模）下列说法正确的是（   ） A． B．非零向量和，满足，且和同向，则 C．非零向量和满足，则 D．已知，，则在上的投影向量的坐标为 13．（2026·宁夏吴忠·二模）青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是（   ） A． B． C．2 D． 14．（2026·广东东莞·二模）若为单位向量，且在上的投影向量为，下列说法正确的是（   ） A．的夹角为 B． C． D． 15．（2026·河北·二模）已知在中，，点为线段的中点，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D．若，且三点共线，则 16．（2026·四川攀枝花·二模）已知向量，，若在上的投影向量为，则________． 17．（2021·浙江·二模）在梯形ABCD中，，，，，若EF在线段AB上运动，且EF=1，则的最小值为______． 18．（2026·上海嘉定·二模）已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________ 19．（2026·重庆渝中·二模）已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是______． 20．（2026·西藏拉萨·二模）在平行四边形中，已知，且．若为边中点，点在边上且满足，则______． 21．（2026·重庆·二模）已知正方形ABCD边长为2，E为线段CD的中点，若AF⊥BE于F，则_______. 22．（2026·天津和平·二模）已知边长为3的正方形，F为边上靠近点B的三等分点，E为线段上一点，M为线段上一点，若，则__________；若以为底边作等腰三角形，则当点E在边上运动时，的取值范围为__________. ( 有关平面向量的夹角、模的运算 考点3 ) 1．（2026·山东德州·二模）已知向量满足，则（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（2026·江西上饶·二模）已知向量，，若，则（   ） A．4 B．5 C． D． 3．（2026·湖南岳阳·二模）已知向量与的夹角为120°，，则（   ） A．3 B．7 C． D． 4．（2026·山西吕梁·二模）若单位向量，满足，则（   ） A．2 B． C． D．1 5．（2026·山西太原·二模）已知，则向量与夹角为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·广西河池·二模）已知向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·河北沧州·二模）已知平面向量，，均为单位向量，且，，两两夹角均为，则（   ） A．4 B． C．2 D． 8．（2026·广东广州·二模）已知非零向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 9．（2026·陕西·二模）已知向量满足.当与的夹角最大时，（    ） A． B．2 C． D． 10．（2026·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，，，，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 11．（2026·安徽合肥·二模）已知非零向量，满足，，则与的夹角为________. 12．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知向量，为单位向量，且，若，则________． 13．（2026·安徽合肥·二模）已知非零向量满足，则_______． 14．（2026·安徽淮北·二模）已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为____________. 15．（2026·湖南怀化·二模）已知圆的圆心为，半径为，，，是圆上的动点，且，则的取值范围为________． 16．（2026·上海黄浦·二模）在复平面内，点P，Q，O分别表示复数z，w，0，已知，，，且，则向量与的夹角为______． 17．（2026·江西赣州·二模）已知向量，，则的最大值是________． 18．（2026·浙江宁波·二模）已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是________． 19．（2026·江苏盐城·二模）已知向量满足，则取值范围是_______. 20．（2026·吉林白山·二模）已知平面向量在方向上的投影向量模长为，则___________． ( 有关平面向量的垂直、共线的运算 考点 4 ) 1．（2026·四川广元·二模）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西渭南·二模）已知向量，，若，则（    ） A． B．4 C．9 D．11 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）向量，，若与同向，则（   ） A． B． C．3 D．±3 4．（2026·山东东营·二模）“，使得”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．（2026·江西·二模）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河南开封·二模）设向量，，则（   ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的充分条件 7．（2026·四川成都·二模）已知平面向量．若，则（   ） A． B． C． D．2 8．（2026·宁夏银川·二模）已知平面向量，且，则（    ） A． B． C． D．1 9．（2026·山东济南·二模）已知为非零向量，则“与共线”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 10．（2026·四川广安·二模）已知不共线向量、满足，则（    ） A． B． C． D． 11．（2026·四川达州·二模）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 12．（多选）（2025·贵州黔南·模拟预测）已知向量，且在方向的投影向量为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 13．（多选）（2025·重庆·二模）已知，，，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．，， 14．（2026·广东揭阳·二模）已知，，若，则______. 15．（2026·浙江台州·二模）已知平面向量，，，若，则的最小值为_______. ( 平面向量与圆、三角函数等知识的交汇问题 考点 5 ) 1．（2026·辽宁大连·二模）已知点在直线上，点在直线上，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．与、的具体值有关 2．（2026·四川成都·二模）已知向量满足，，且与的夹角为 ，则为（   ） A． B． C．7 D．21 3．（2026·安徽阜阳·二模）如图，无弹性的细绳，的一端分别固定在A，B处，同样的细绳下端系着一个秤盘，且，绳子受力的大小为40 N，受力的大小为30 N，则绳子受力的大小为（   ） A． B． C． D． 5．（2026·江苏镇江·二模）若非零向量与满足，且，则三角形ABC为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 6．（2026·安徽淮南·二模）在平面上有等腰直角三角形，为直角顶点，，，，，若，到直线的距离分别为和，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河北衡水·二模）已知直线与圆交于两点，，直线与椭圆切于点，若以，两点为切点的圆的两条切线交于点，为坐标原点，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 8．（2026·浙江·二模）如图，已知正三角形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切，若点P是圆B上的动点，则的最大值是（    ）． A． B． C．4 D． 9．（2026·山东泰安·二模）已知为圆上的两个动点，且，点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（2026·四川广元·二模）在中，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 11．（2026·四川内江·二模）已知过点的直线与圆交于两点，若，且点在圆上，则直线的斜率为（   ） A． B．2 C． D． 12．（2026·陕西榆林·二模）已知符号函数，是平面内三个不同的单位向量，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高三上·浙江金华·期末）如图，圆的半径为2，为圆的直径，为圆上的两点且.若，则的值为（   ）    A． B． C．2 D．3 14．（2026·四川绵阳·二模）已知圆C：，直线与圆C交于A，B两点，点P在圆C上，且，，则（   ） A． B． C． D．4 15．（多选）（2026·浙江杭州·二模）在中，，，，则（    ） A． B．的面积为6 C． D． 16．（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系xOy中，点，，．若点满足：，，则xy的最大值是________． 17．（2026·安徽淮北·二模）已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为____________. 18．（2026·上海嘉定·二模）已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________ 19．（2026·上海金山·二模）已知在中，．若点为外接圆的圆心，则__________． ( 有关复数的基本概念及几何意义 考点 6 ) 1．（2026·安徽蚌埠·二模）已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东东莞·二模）复数的实部为（   ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 3．（24-25高二上·湖北·月考）复数的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·河北·二模）已知为虚数单位，若复数，则在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2026·河南开封·二模）复数，则（   ） A．1 B． C． D．3 6．（2026·四川凉山·二模）复数是实数，则实数（    ） A．0 B．1 C． D．0或1 7．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知复数z是方程的根,则（   ） A． B． C．2 D．3 8．（2026·江西南昌·二模）已知复数满足，则的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·河南濮阳·二模）已知复数，则的虚部是（   ） A． B． C． D． 10．（2026·河南南阳·二模）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 11．（2026·广东广州·二模）已知，复数在复平面内对应的点在虚轴上，则（   ） A． B． C． D． 12．（2026·广东江门·二模）若复数，，则，在复平面内对应的两点之间的距离为（   ） A． B．2 C． D．5 13．（多选）（2026·陕西·二模）设复数满足，则（    ） A． B．存在复数，使得为纯虚数 C．存在，关于的方程有解 D．若复数满足，则的最小值为 14．（多选）（2026·吉林长春·二模）已知复数，则下列结论正确的有（   ） A．的虚部是 B．在复平面内对应的点在第二象限 C． D． 15．（多选）（2026·陕西·二模）已知复数在复平面上对应的点为，且满足，则（    ） A． B．的轨迹是 C．到直线的距离的最大值为 D．到圆上点的距离的最大值为 16．（多选）（2026·湖北孝感·二模）已知复数，其中，，为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．是为纯虚数的充要条件 C．若，则 D．若，则的最大值为 17．（多选）（2025·湖北武汉·二模）若复数，则（   ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．复数满足，则的最大值为 18．（18-19高二下·重庆·期中）已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为_____________. 19．（2025·上海黄浦·三模）复数z满足（i是虚数单位），则在复平面内，z对应的点在第________象限． 20．（2025·上海·三模）在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为______． ( 有关复数的基本运算 考点 7 ) 1．（2026·河北邢台·二模）设，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北十堰·二模）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·山东聊城·二模）设复数，则（    ） A． B． C． D． 4．（2026·青海西宁·二模）已知复数，若，则（   ） A． B． C．4 D． 5．（2026·湖北宜昌·二模）已知复数满足，则（    ） A． B． C．2 D． 6．（2026·山东德州·二模）设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（2026·江苏苏州·二模）已知复数z满足，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 8．（2026·山西太原·二模）已知，则（    ） A．1 B． C． D． 9．（2026·河南南阳·二模）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 10．（2026·江苏镇江·二模）已知复数，其中是虚数单位，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 11．（2026·河南郑州·二模）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 12．（2026·陕西咸阳·二模）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 13．（多选）（2025·广东茂名·二模）已知为关于的方程在复数范围内的一个根，则（   ） A． B． C．为纯虚数 D．为关于的方程的另一个根 14．（多选）（2026·山东日照·二模）设为复数（i为虚数单位），下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 15．（多选）（2026·广东佛山·二模）设，为复数，若，则（   ） A． B． C． D． 16．（多选）（2026·浙江嘉兴·二模）已知是由复数组成的数列，（i为虚数单位），且，则（   ） A． B． C． D．若，则的最小值为 17．（2026·上海闵行·二模）已知，若（其中为虚数单位），则______. 18．（2026·上海普陀·二模）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则______. 19．（2026·上海静安·二模）设i是虚数单位，计算：______． 20．（2026·浙江温州·二模）若i为虚数单位，则________． 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 平面向量与复数 7大考点概览 题型01 平面向量的线性运算 题型02 平面向量的数量积、投影向量的运算 题型03 有关平面向量的夹角、模的运算 题型04 有关平面向量的垂直、共线的运算 题型05 平面向量与圆、三角函数等知识的交汇问题 题型06 有关复数的基本概念及几何意义 题型07 有关复数的基本运算 ( 平面向量的线性运算 考点1 ) 1．（2026·广东深圳·二模）在平行四边形中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】 . 2．（2026·安徽马鞍山·二模）已知四边形为平行四边形，，为与的交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以 因为，所以，所以。 3．（2026·湖南邵阳·二模）在平行四边形ABCD中，点在线段AC上，且.若，其中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，又，则，故. 4．（2026·云南昭通·二模）已知是的边上的点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以。 5．（2017·广西玉林·二模）如图，已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基底表示即可求出. 【详解】因为，所以，则，因为，所以，即，则.故选：C 6．（2026·江西九江·二模）在平行四边形中，、分别是、的中点．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平面向量的基本定理可得出关于、的表达式，可得出、的值，即可得解. 【详解】由题意可得，，所以，故，因为、不共线，且，则，，故. 7．（2026·河北保定·二模）如图，在中，若 点满足 且 与 交于点 O，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，，，利用平面向量线性运算，用基底表示，根据平面向量基本定理求出系数即可求解. 【详解】设，则得，即，再设，则，即，，解得，所以. 8．（2026·浙江宁波·二模）如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，由共线，存在使 ， 由 共线，存在使，联立系数相等： ，解得：， ，因此：，故选项 A 错误； 对于B，， ，若，则： ​，显然系数不相等，选项B错误； 对于C，由于，且在 上，故设， 则，结合 ，得：，解得，选项C错误；对于D，由， 所以，故选项 D 正确. 9．（2026·河南濮阳·二模）如图，在等边三角形ABC中，，点是靠近的三等分点，过的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N，，则下列选项中不正确的是（   ） A． B． C． D．的最小值是 【答案】B 【分析】根据平面向量基本定理、向量共线的定义、余弦定理、向量的模的计算、基本不等式的性质逐项计算判断即可. 【详解】对于A，，所以A正确；对于B，由A选项知，所以. 在中，利用余弦定理得，B错误； 对于C，因为点三点共线，所以存在实数使得， 因为，由A知，所以，所以 ，即，C正确；对于D，由C可知，结合题意可知， 所以当且仅当，即时，等号成立，此时取最小值为，D正确. 10．（2026·湖北·二模）如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成的一个大正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（   ） A． B．21 C．24 D．40 【答案】D 【分析】利用平面向量的线性表示和数量积，转化为函数的最值问题求解. 【详解】根据题意可得，所以， 又因为，，所以，， 设，则，所以，， 所以 ， 令，在上单调递增，在上单调递减，故最大值为40，故选：D． 11．（2026·四川南充·二模）在中，，，若，，，相交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以与为基底表示，再结合向量的数量积运算求解 【详解】因为， 又与共线，可设，则，同理与共线，设， 又所以， 又，所以，解得， 故，所以 又， 故 12．（多选）（2025·重庆·二模）已知 为 内部的一点，满足 ，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】把变形得然后两边平方，再由平面向量数量积的运算律计算即可判断A；根据数量积的运算律和定义计算即可判断B；根据向量的求模公式和数量积的定义计算即可判断C；根据向量的线性运算即可判断D. 【详解】由，又， 所以，故A对； 由， 所以，故B错； ，故C对； ，故D对；故选：ACD 13．（2026·天津和平·二模）已知边长为3的正方形，F为边上靠近点B的三等分点，E为线段上一点，M为线段上一点，若，则__________；若以为底边作等腰三角形，则当点E在边上运动时，的取值范围为__________. 【答案】 【分析】以为原点建立坐标系，设，由三点共线，，结合列方程组求解即可；根据，即可求解． 【详解】如图，以为原点建立坐标系，则，设，三点共线，则， 又，，解得， ；设的中点为， ， ，又E为线段上一点，， ． 14．（2026·湖南·二模）如图，等边边长为2，点、分别为、的中点，连接并延长至点，使得，则_________． 【答案】 【详解】因为点，分别是边，的中点，所以，因为， 所以，所以，因为，，，所以． 15．（2026·四川南充·二模）在中，，，分别是边，，边的中点，若，，，则的长度为_____________. 【答案】 【详解】 如图所示，由三角形重心性质可知， 因为是的中点，所以，所以，得，解得，可知，所以. 16．（2025·天津·二模）在边长为1的菱形ABCD中，，记，，点M是线段BD上一点，点N是线段DC上一点，且A，M，N三点共线．若，则用，表示________；若，则的值为________． 【答案】 【分析】将用来表示，进而利用三点共线求得参数；假设，将用来表示，利用三点共线可得到的关系，再根据，解方程即可. 【详解】设，，则，若，则， 因为B，M，D三点共线，则，得，所以； 设，，则，又B，M，D三点共线，则，得，因为菱形ABCD的边长为1，，，， 所以，．又， 所以， 整理，得，解得，或（舍去）．故． ( 平面向量的数量积、投影向量的运算 考点2 ) 1．（2026·广东江门·二模）已知两个单位向量，的夹角为，则（   ） A．0 B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意可得． 2．（2026·广西河池·二模）已知向量均为单位向量，且向量夹角为，则（   ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【分析】根据向量数量积的运算法则及定义，两边平方后化简即可得解, 【详解】因为，所以，即， 又因为向量均为单位向量，且向量夹角为，所以，即. 3．（2026·广东清远·二模）已知非零向量，满足，则在方向上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对两边平方，得出与的关系，再根据向量投影向量的计算公式求解在方向上的投影向量. 【详解】由题意，已知，两边同时平方可得，化简得，即，根据向量投影向量的计算公式，可得在方向上的投影向量为. 4．（2026·广东深圳·二模）已知向量与，，向量在向量方向上的投影向量是，则（    ） A．4 B．16 C．1 D．3 【答案】A 【详解】由题设，则， 由，则. 5．（2026·安徽池州·二模）已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量在另一个向量上的投影向量公式求解即可. 【详解】因为，所以，，所以在上的投影向量为。 6．（2026·河南郑州·二模）已知平面上不共线的四点，满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知条件求得，进一步得到，再结合投影向量定义即可求解. 【详解】由，得，即，所以，所以与共线且同向，且，所以在上的投影向量为,因为与共线且同向，所以，所以在上的投影向量为. 7．（2026·山东聊城·二模）已知，且满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量的线性运算及向量数量积的运算律求解即可. 【详解】设的中点为，如图 则，且因为, 所以 ，当同向共线时，等号成立. 8．（2026·辽宁辽阳·二模）已知线段，点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先建立平面直角坐标系，根据已知条件，求出点的轨迹为圆，进而将向量用坐标形式表示，利用数量积的坐标表示，将数量积的取值范围，转化成求横坐标的相关范围，从而最终求出的取值范围. 【详解】以线段中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，设点为，由，所以，两边平方化简整理得，因此，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 因为，，所以， 又因为点满足，所以，化简得.由圆方程可知，，所以，即. 9．（2026·天津河东·二模）已知点为坐标原点，，，点在内部，，其中，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由的坐标得出直线方程，再根据点在内部列出关于的不等式组，结合，得出所有可能的点坐标，由平面向量数量积的坐标运算即可求解． 【详解】因为点为坐标原点，，，所以直线的截距式方程为，即，因为点在内部，所以满足不等式组，由，且，，当时，由得，，点可以是； 当时，由得，，点是；当时，此时不存在满足题意的正整数，综上所述，满足条件得点共有三个：，； 因为，所以，，， 所以 ，当点为时，， 当点为时，，当点为时，，所以最小值为． 10．（2026·河北衡水·二模）已知平面向量，，，若，在上的投影向量相等，且，，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】D 【详解】因为，在上的投影向量相等，所以它们的投影也相等，即，所以，又因为，， 所以；已知，，满足基本不等式的使用条件，对目标式， 由得，因此，将目标式乘展开，根据基本不等式，，代入得：，当且仅当时等号成立，即，结合，解得，，满足，，因此最小值为. 11．（多选）（2025·浙江台州·二模）已知，，，则下列选项正确的是（   ） A．的取值范围是 B．的最大值为30 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】利用向量模的三角不等式（当且仅当同向时时取等号）用该不等式求解的最大值，把首尾顺次连接构成封闭三角形时，是最小值，利用向量数量积化简分析最值，利用向量同向时数量积取得最大值，反向或特殊位置时即可求得最小值. 【详解】对于选项A：由向量模长的三角不等式， 当且仅当同向时，取得最大值9；当这三个向量当首尾顺次连接构成封闭三角形时，，模长为0，由于长度为2，3，4满足任意两边之和大于第三边，所以这样的三角形是存在的，故的取值范围是[0，9]，故选项A正确. 对于选项B， ， 当同向时，，的最大值为，B选项正确.对于选项C，D， ， 设，则上式为①，当与反向时， ，所以代入①式得，所以当时，取得最小值为，此时，所以，这种可能性是存在的，故选项C是正确的，选项D是错误的.故选：ABC 12．（多选）（2023·山东·二模）下列说法正确的是（   ） A． B．非零向量和，满足，且和同向，则 C．非零向量和满足，则 D．已知，，则在上的投影向量的坐标为 【答案】AC 【分析】根据向量的运算性质、向量的比较、向量垂直的判定及向量投影向量，对每个选项进行分析即可. 【详解】选项A：根据数量积的运算律可知，，故选项A正确； 选项B：向量不能比较大小，故选项B错误；选项C：非零向量和满足，则，即，所以，则，故选项C正确；选项D：因为，，所以，， 所以在上的投影向量为，故选项D错误．故选：AC. 13．（2026·宁夏吴忠·二模）青花瓷（blue and white porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为，圆的圆心为正六边形的中心，半径为，若点在正六边形的边上运动，动点，在圆上运动且关于圆心对称，则的取值可以是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】BC 【分析】根据题意，利用向量的线性运算，化简得到，即可求得的取值范围. 【详解】连接、，如图， 由动点关于圆心对称可得，且， 因为点在正六边形的边上运动，且正六边形的边长为， 所以当点位于正六边形各边的中点时，此时取最小值为， 当点位于正六边形的顶点时，此时取最大值为，所以, 所以，因此， 因为、，，，故符合题意的有B、C. 14．（2026·广东东莞·二模）若为单位向量，且在上的投影向量为，下列说法正确的是（   ） A．的夹角为 B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由题意求得，从而可得，即可判断A；求得，从而判断B；求出、，从而判断C，D. 【详解】对于A，因为在上的投影向量为，且，所以，即， 所以，所以，又因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，因为，所以，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确. 15．（2026·河北·二模）已知在中，，点为线段的中点，则下列结论正确的有（   ） A． B． C．向量在向量上的投影向量为 D．若，且三点共线，则 【答案】BCD 【分析】首先根据已知条件判断的形状，进而可判断A；通过平面向量基本定理可判断B；通过向量在向量上的投影向量公式即可判断C；通过三点共线的向量表示可判断D. 【详解】因为，所以， 所以，所以为直角三角形，因为，所以是上靠近点C的三等分点，如图： 对于A，，由勾股定理知，故A错误； 对于B，由题意知， 所以，故B正确； 对于C，由B知， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为，故C正确； 对于D，因为，所以， 由B知，所以，又三点共线，所以，所以，故D正确. 16．（2026·四川攀枝花·二模）已知向量，，若在上的投影向量为，则________． 【答案】 【详解】因为在上的投影向量为，所以. 17．（2021·浙江·二模）在梯形ABCD中，，，，，若EF在线段AB上运动，且EF=1，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】根据题意建立直角坐标系，把转化为，利用二次函数求最值即可. 【详解】如图所示，以A为原点，为x轴正方向，为y轴正方向建立平面直角坐标系，则不妨设 则 ∴， ∴的最小值为，当且仅当时取得. 18．（2026·上海嘉定·二模）已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________ 【答案】 【分析】代入数量投影公式，转化为三角函数值域问题求解. 【详解】在方向上的数量投影为， ，，. 19．（2026·重庆渝中·二模）已知向量，，若，则在方向上的投影向量的坐标是______． 【答案】 【分析】根据数量积的运算律求得，，根据投影向量的概念求解即可. 【详解】，，因为，所以，解得．所以，，所以在方向上的投影向量的坐标为． 20．（2026·西藏拉萨·二模）在平行四边形中，已知，且．若为边中点，点在边上且满足，则______． 【答案】6 【分析】根据给定条件，结合向量加减法法则可得，再利用基底表示，并利用数量积的运算律求解. 【详解】在平行四边形中，由，得，所以平行四边形为矩形，所以，所以，点在边上且满足，得，由为边中点，得，而，所以. 21．（2026·重庆·二模）已知正方形ABCD边长为2，E为线段CD的中点，若AF⊥BE于F，则_______. 【答案】/ 【分析】设，以为基底表示，根据得出值即可求出. 【详解】设，因为E为线段CD的中点，所以， 则，，因为AF⊥BE，所以 ，得或（舍），则，故. 22．（2026·天津和平·二模）已知边长为3的正方形，F为边上靠近点B的三等分点，E为线段上一点，M为线段上一点，若，则__________；若以为底边作等腰三角形，则当点E在边上运动时，的取值范围为__________. 【答案】 【分析】以为原点建立坐标系，设，由三点共线，，结合列方程组求解即可；根据即可求解． 【详解】如图，以为原点建立坐标系， 则，设，三点共线，则，又， ，解得，；设的中点为， ， ， 又E为线段上一点，，． ( 有关平面向量的夹角、模的运算 考点3 ) 1．（2026·山东德州·二模）已知向量满足，则（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】由题设有，故，故，即. 2．（2026·江西上饶·二模）已知向量，，若，则（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】由向量垂直的坐标表示求出，再求即可． 【详解】，，，又， ，解得，． 3．（2026·湖南岳阳·二模）已知向量与的夹角为120°，，则（   ） A．3 B．7 C． D． 【答案】C 【分析】利用向量的数量积求解向量的模即可. 【详解】 4．（2026·山西吕梁·二模）若单位向量，满足，则（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】C 【详解】由题意，，因为，所以，则，即，所以. 5．（2026·山西太原·二模）已知，则向量与夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，将代入化简可得，所以，所以向量与夹角为. 6．（2026·广西河池·二模）已知向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以，则，因为，所以，即与的夹角为. 7．（2026·河北沧州·二模）已知平面向量，，均为单位向量，且，，两两夹角均为，则（   ） A．4 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】由题得，， 所以，所以. 8．（2026·广东广州·二模）已知非零向量满足，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由可得：，整理可得：，根据数量积定义可得：，又因为，所以，又因为为非零向量，所以，所以等式约去，整理可得：. 9．（2026·陕西·二模）已知向量满足.当与的夹角最大时，（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】将平方后换元，利用向量的夹角公式表示，利用余弦函数的单调性分析的最大值求解即可. 【详解】将平方得，令，则，所以，设与的夹角为，当时，，与条件矛盾，所以，又，分子分母同时除以，，令，则， 当时，取得最小值，此时取最大值， 当时，，，所以当与的夹角最大时，. 10．（2026·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，，，，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】取中点，可得，利用余弦定理求出后，由模长与数量积关系计算可得，再利用点坐标，可得当、、三点共线时，取最小，即可得最小值. 【详解】取中点，则，则， 由，则， 则，由，则，则，当且仅当、、三点共线，且在、之间时，等号成立，故的最小值为. 11．（2026·安徽合肥·二模）已知非零向量，满足，，则与的夹角为________. 【答案】 【分析】借助数量积公式及模长与数量积的关系计算即可得. 【详解】由，则，即，则. 12．（2026·新疆乌鲁木齐·二模）已知向量，为单位向量，且，若，则________． 【答案】 【详解】由题意得，且，故. 13．（2026·安徽合肥·二模）已知非零向量满足，则_______． 【答案】 【详解】，，设，则，． 14．（2026·安徽淮北·二模）已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为____________. 【答案】 【分析】设中点为，根据向量加法的平行四边形法则得到与的关系，分析的最小值，根据即可求解. 【详解】设中点为，则，所以.得的轨迹是和两条平行线所夹的区域，点到该区域的最小距离为点到直线的距离，因为点在圆上，圆心，半径，设点到直线的距离为，则，所以.又因为，所以.综上， 的最小值为 . 15．（2026·湖南怀化·二模）已知圆的圆心为，半径为，，，是圆上的动点，且，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】由弦长与半径的关系可知两条半径垂直，利用向量加法的几何意义，将目标表达式转化为从某固定圆上的动点到已知圆上动点的距离，通过分析两圆的位置关系，得到距离的取值范围. 【详解】延长至点，使得，取的中点，连接，,．是的中点，，所以，所以，，，在中，，，所以，所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，的最小值为，最大值为，所以的取值范围为． 16．（2026·上海黄浦·二模）在复平面内，点P，Q，O分别表示复数z，w，0，已知，，，且，则向量与的夹角为______． 【答案】 【分析】设复数u在复平面内对应的点为A，可得，结合模长关系可得，进而可得向量夹角. 【详解】设复数u在复平面内对应的点为A，由题意可知，，，，则，即，解得，可得，且，可得，所以向量与的夹角为. 17．（2026·江西赣州·二模）已知向量，，则的最大值是________． 【答案】 【分析】设，由平方化简得到，结合不等式，得到，解得，即可得到的最大值. 【详解】设，由，得到，即， 即，即因为，所以， 即，即，解得；故的最大值是. 18．（2026·浙江宁波·二模）已知点，，在圆上运动，且，若点的坐标为，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】首先确定是圆的直径，再结合向量的运算，以及向量模的三角形不等式，以及向量的位置关系，求最值. 【详解】由圆的性质可知，时，是圆的直径，所以，而，右边等号成立的条件是和同向，且此时最大，此时，左边等号成立的条件是和反向，且此时最小，此时， 所以的取值范围是. 19．（2026·江苏盐城·二模）已知向量满足，则取值范围是_______. 【答案】 【分析】先通过换元，再根据向量线性运算的几何意义及椭圆的定义及几何性质可得. 【详解】设，则，代入得，根据向量的几何意义知，向量表示的点到表示的点和的距离和为常数8，根据椭圆的定义知向量表示的点在以长轴为，焦距为的椭圆上，所以，所以表示椭圆上的点到椭圆中心的距离，由椭圆的几何性质可知，即，如图： 所以取值范围是. 20．（2026·吉林白山·二模）已知平面向量在方向上的投影向量模长为，则___________． 【答案】 【分析】先求，，再结合定义求向量在方向上投影向量的模长，列方程可求结论. 【详解】因为，，所以 ， 所以 所以向量在方向上投影向量的模长为，又，所以 ，因此. ( 有关平面向量的垂直、共线的运算 考点 4 ) 1．（2026·四川广元·二模）已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以. 2．（2026·陕西渭南·二模）已知向量，，若，则（    ） A． B．4 C．9 D．11 【答案】D 【详解】因为向量，，所以， 又因为，所以，所以. 3．（2026·黑龙江齐齐哈尔·二模）向量，，若与同向，则（   ） A． B． C．3 D．±3 【答案】A 【详解】由题设知，则，则，则，因为与同向，所以，故. 4．（2026·山东东营·二模）“，使得”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合共线向量的定义、充分条件、必要条件的定义即可判断. 【详解】当时，，满足； 当时，因为，使得，所以共线，即； 综上，由，使得，可得，即充分性满足； 当时，若，则不存在，使得，故必要性不满足； 所以“，使得”是“”的充分不必要条件. 5．（2026·江西·二模）已知向量，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，，由， 得，所以，解得． 6．（2026·河南开封·二模）设向量，，则（   ） A．“”是“”的充分条件 B．“”是“”的充分条件 C．“”是“”的必要条件 D．“”是“”的充分条件 【答案】A 【分析】本题考查向量垂直和平行的坐标表示以及充分条件和必要条件的判断。解题的关键是根据向量垂直的坐标表示求出时的值，再根据充分条件和必要条件的定义判断各选项. 【详解】已知两个向量，，若，则，即，解得或.已知两个向量，，若，则，即，解得.对于A选项，由“”，可以推出“”，所以“”是“”的充分条件，A选项正确；对于B选项，由“”，不能推出“”，所以“”不是“”的充分条件，B选项错误；对于C选项，由， 解得或，不能推出，所以“”不是“”的必要条件，C选项错误；对于D选项，由， 解得，所以“”不是“”的充分条件，D选项错误. 7．（2026·四川成都·二模）已知平面向量．若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】因为，所以 ，展开整理得，又因为，故，，，代入等式得：，解得. 8．（2026·宁夏银川·二模）已知平面向量，且，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】由题可知，因为且，所以，解得。 9．（2026·山东济南·二模）已知为非零向量，则“与共线”是“与共线”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】借助平面向量共线定理结合充分条件与必要条件定义判断即可得. 【详解】若与共线，当时，存在实数，使得， 整理得， 若与不共线，则且，矛盾，故与共线； 当，有，此时与共线； 故“与共线”是“与共线”的充分条件； 若与共线，则存在实数，使得， 则，，故与共线， 故“与共线”是“与共线”的必要条件； 综上可得：“与共线”是“与共线”的充要条件. 10．（2026·四川广安·二模）已知不共线向量、满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据共线向量的判定定理可得存在实数，使得，进而运算求解. 【详解】因为向量、不共线，则均不为零向量，若，则存在实数，使得，则，解得. 11．（2026·四川达州·二模）已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用平面向量平行的坐标表示即可求解. 【详解】当时，向量，，则，即,故充分性成立； 当时，满足,即，解得：或,所以必要性不成立；所以“”是“”的充分不必要条件 12．（多选）（2025·贵州黔南·模拟预测）已知向量，且在方向的投影向量为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【分析】对于A，由向量共线的坐标形式求解后可判断正误；对于B， 由向量垂直的坐标形式求解后可判断正误，对于CD，利用投影向量公式计算后可判断正误. 【详解】对于A，因为，故，故，故A错误； 对于B，因为，故，整理得，故，故，故B正确；对于C，由题设有在方向的投影向量为，故，故即，故C错误，对于D，由C的分析可得，故，故D成立.故选：BD. 13．（多选）（2025·重庆·二模）已知，，，则（    ） A． B．若，则 C．若，则 D．，， 【答案】ABD 【分析】利用向量的坐标运算，按选项逐个判断即可． 【详解】已知，，，对于A，因为，所以，故A正确；对于B，若，则，即，故B正确；对于C，，若，则，，所以不一定成立，故C错误；对于D，，由，则，所以，，，故D正确.故选：ABD. 14．（2026·广东揭阳·二模）已知，，若，则______. 【答案】 【详解】由，，得， 因为，所以，解得. 15．（2026·浙江台州·二模）已知平面向量，，，若，则的最小值为_______. 【答案】 【分析】利用向量平行坐标表示可得之间的关系，将问题转化为二次函数最小值的求解即可. 【详解】，，即，， ，当时，取得最小值. ( 平面向量与圆、三角函数等知识的交汇问题 考点 5 ) 1．（2026·辽宁大连·二模）已知点在直线上，点在直线上，且，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．与、的具体值有关 【答案】B 【详解】由题意，，所以，因为，，所以. 2．（2026·四川成都·二模）已知向量满足，，且与的夹角为 ，则为（   ） A． B． C．7 D．21 【答案】A 【详解】由向量，可得，因为，且与夹角为，所以，则，所以. 3．（2026·安徽阜阳·二模）如图，无弹性的细绳，的一端分别固定在A，B处，同样的细绳下端系着一个秤盘，且，绳子受力的大小为40 N，受力的大小为30 N，则绳子受力的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，，三根绳子所受的力分别为，则，因为的合力，所以，如图，在平行四边形中，， 因为，所以，所以绳子受力的大小为. 5．（2026·江苏镇江·二模）若非零向量与满足，且，则三角形ABC为（    ） A．三边均不相等的三角形 B．直角三角形 C．底边和腰不相等的等腰三角形 D．等边三角形 【答案】D 【分析】由已知可得角的角平分线与垂直，所以是等腰三角形，结合可得角，从而选出正确答案. 【详解】分别是非零向量同向的单位向量，因为，所以角的角平分线与垂直，即角的角平分线与边上的高重合，所以，即是等腰三角形.由，得.又，所以.因此，是等边三角形. 6．（2026·安徽淮南·二模）在平面上有等腰直角三角形，为直角顶点，，，，，若，到直线的距离分别为和，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立平面直角坐标系，由题意可得直线的直线方程为，利用向量的线性运算可求得，求得的中点的轨迹方程，进而可得，进而求得的最大值. 【详解】以为坐标原点，所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐标系， 因为三角形为等腰直角三角形，且，所以， 所以直线的直线方程为，因为，所以，所以，又，所以，解得. 因为，，所以的轨迹方程为和.记的中点为，则，所以， 所以，所以的轨迹方程为.过分别向直线作垂线，垂足分别为，则，又因为，所以为直角梯形，又，为的中点，所以. 则的最大值即为的最大值，又到直线的距离为， 所以的最大值为，所以的最大值即为. 7．（2026·河北衡水·二模）已知直线与圆交于两点，，直线与椭圆切于点，若以，两点为切点的圆的两条切线交于点，为坐标原点，则（   ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】设出点、，利用椭圆上的点的切线性质及圆的切点弦性质可表示出，即可得、坐标关系，再利用数量积的坐标公式计算即可得. 【详解】设，，有，即，由直线与椭圆切于点，则，即，由为点关于圆的切点弦，则，故，故，则. 8．（2026·浙江·二模）如图，已知正三角形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切，若点P是圆B上的动点，则的最大值是（    ）． A． B． C．4 D． 【答案】D 【分析】以A为原点，建立平面直角坐标系，设，求出坐标，由数量积的坐标运算结合余弦函数的性质即可得出答案. 【详解】 如图，以A为原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，已知正三角形的边长为2，以B为圆心的圆与直线相切，则，圆B的半径为， 因为点P是圆B上的动点，设， 则，则，因为，所以，当时，取得最大值为. 9．（2026·山东泰安·二模）已知为圆上的两个动点，且，点为直线上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取的中点， 利用平面向量的基本定理和数量积得到，要求的最小值就是求的最小值，求出，从而得到点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，由点为直线上的动点，可知的最小值为圆心到直线的距离减去半径，利用点到直线的距离公式来求出，从而得到. 【详解】取的中点，则， ， 要求的最小值，就是求的最小值，圆的圆心为，半径为，， 点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆，点为直线上的动点，的最小值为圆心到直线的距离减去半径，，，故选项C正确. 10．（2026·四川广元·二模）在中，，则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平面向量数量积的定义，结合余弦定理、三角形面积公式、辅助角公式进行求解即可. 【详解】设所对的边分别为， ，当且仅当时取等号， 即，即， 当且仅当时取等号，设 ，所以，所以面积的最大值为. 11．（2026·四川内江·二模）已知过点的直线与圆交于两点，若，且点在圆上，则直线的斜率为（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】通过联立直线与圆的方程得到一元二次方程，结合韦达定理及，利用点在圆上的条件建立等式，即得直线斜率. 【详解】由已知斜率存在，设直线的斜率为，因为过点，故方程可设：， 联立方程组，消去得：，设，由韦达定理得：，由，得. 因为在圆上，故，又因为， 代入上式得：，化简：，解得：. 12．（2026·陕西榆林·二模）已知符号函数，是平面内三个不同的单位向量，若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题目条件平面建系设出、、并判断所在象限，再用辅助角公式化简并结合所在象限求解即可. 【详解】由题意可知，且和中，一个大于0，另一个小于0， 不妨设，由函数可知． 不妨设，，，， 所以，，所以，所以， 则有，因为， 所以，所以，所以.故选：A. 13．（25-26高三上·浙江金华·期末）如图，圆的半径为2，为圆的直径，为圆上的两点且.若，则的值为（   ）    A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】先分解向量，用圆心出发的向量表示所有待处理向量（利用圆的半径、直径性质），再用数量积分配律展开化简，代入模长、夹角等已知条件，将式子转化为包含目标向量点积的形式，随后求解即可. 【详解】因为圆半径，，所以，因为， 所以，所以因为， 所以， 又因为， 代入得，所以，即， 又因为，所以故选：D. 14．（2026·四川绵阳·二模）已知圆C：，直线与圆C交于A，B两点，点P在圆C上，且，，则（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】利用极化恒等式可得，再利用垂径定理可得，最后可求解. 【详解】    圆C：，半径，取中点M，则， 记，，所以，在中，由勾股定理，，由极化恒等式，， 代入消元得：.故选：B 15．（多选）（2026·浙江杭州·二模）在中，，，，则（    ） A． B．的面积为6 C． D． 【答案】BC 【分析】由余弦定理解出的长，确定为直角三角形，结合向量的模长计算与数量积公式即可求解. 【详解】由余弦定理得， 解得，因为，所以为直角三角形，， 对于A，，故A错误；对于B，，故B正确； 对于C，，故C正确；对于D，，故D错误. 16．（2026·上海奉贤·二模）在平面直角坐标系xOy中，点，，．若点满足：，，则xy的最大值是________． 【答案】 【分析】通过条件建立关于与的二元一次方程组，解出，并使用辅助角公式变形求解. 【详解】，，，由题意得解得，，，当时，取最大值为，所以y的最大值是. 17．（2026·安徽淮北·二模）已知点，分别是直线和圆上的动点，，则的最小值为____________. 【答案】 【分析】设 中点为 ，根据向量加法的平行四边形法则得到 与 的关系，分析的最小值，根据即可求解. 【详解】设中点为，则，所以.得的轨迹是和两条平行线所夹的区域，点到该区域的最小距离为点到直线的距离，因为点在圆 上，圆心，半径，设点到直线的距离为，则，所以.又因为，所以.综上，的最小值为 . 18．（2026·上海嘉定·二模）已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________ 【答案】 【分析】代入数量投影公式，转化为三角函数值域问题求解. 【详解】在方向上的数量投影为， ，，. 18．（2026·上海金山·二模）已知在中，．若点为外接圆的圆心，则__________． 【答案】 【分析】利用余弦定理求出，取的中点，连接，由点为外接圆的圆心，得到，利用向量的数量积的定义，结合在直角三角形中的余弦公式求出的值. 【详解】，，， 取的中点，连接，点为外接圆的圆心，， . ( 有关复数的基本概念及几何意义 考点 6 ) 1．（2026·安徽蚌埠·二模）已知复数，则的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用复数的乘法化简复数，利用共轭复数的定义和复数的概念可得结果. 【详解】因为，则，故的虚部为. 2．（2026·广东东莞·二模）复数的实部为（   ） A．3 B．-3 C．2 D．-2 【答案】A 【分析】先进行复数的乘方运算化简复数，再确定其实部. 【详解】因为，所以的实部为3.故选：A. 3．（24-25高二上·湖北·月考）复数的共轭复数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，且，故选项C正确. 4．（2026·河北·二模）已知为虚数单位，若复数，则在复平面内对应的点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】本题主要考查复数的乘法运算及复数的几何意义，先利用复数的乘法法则化简复数，再根据复平面内点的坐标特征判断其所在象限. 【详解】由，所以在复平面内对应的点的坐标为，因此，点在第一象限. 5．（2026·河南开封·二模）复数，则（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【分析】根据复数的模长公式求解即可. 【详解】. 6．（2026·四川凉山·二模）复数是实数，则实数（    ） A．0 B．1 C． D．0或1 【答案】B 【分析】利用实数定义计算即可得. 【详解】由题意可得，解得. 7．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知复数z是方程的根,则（   ） A． B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为方程的判别式，所以该方程有虚数根，所以，因此. 8．（2026·江西南昌·二模）已知复数满足，则的共轭复数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据复数的除法运算计算出，进而根据共轭复数的概念得到结果. 【详解】已知复数满足，所以.则的共轭复数为. 9．（2026·河南濮阳·二模）已知复数，则的虚部是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以的虚部是. 10．（2026·河南南阳·二模）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，复数在复平面内对应的点为，则，所以，，因此. 11．（2026·广东广州·二模）已知，复数在复平面内对应的点在虚轴上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由复数的除法和复数的几何意义可得. 【详解】由复数的除法得，又因为复数在复平面内对应的点在虚轴上，所以，解得. 12．（2026·广东江门·二模）若复数，，则，在复平面内对应的两点之间的距离为（   ） A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】根据复数的几何意义确定的对应点的坐标，再求两点距离. 【详解】由已知，在复平面内对应的点分别为，， 所以，所以． 13．（多选）（2026·陕西·二模）设复数满足，则（    ） A． B．存在复数，使得为纯虚数 C．存在，关于的方程有解 D．若复数满足，则的最小值为 【答案】ABC 【详解】设，则，即，即在复平面内点到点与点的距离之和为，故点的轨迹为椭圆，，，故，则椭圆方程为；， 对A，，故A正确， 对B，，要使得为纯虚数，则且，则，解得，有解，故存在复数，使得为纯虚数，故B正确； 对C：，则，即有，解得，则存在，使得关于的方程有解，故C正确；对D：由复数满足，则复数在复平面内的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，则椭圆上的点到该圆圆心的距离为：，则的最小值为，故D错误. 14．（多选）（2026·吉林长春·二模）已知复数，则下列结论正确的有（   ） A．的虚部是 B．在复平面内对应的点在第二象限 C． D． 【答案】BD 【详解】，的虚部是，故A错误； 在复平面内对应的点，在第二象限，故B正确；故C错误； ，故D正确． 15．（多选）（2026·陕西·二模）已知复数在复平面上对应的点为，且满足，则（    ） A． B．的轨迹是 C．到直线的距离的最大值为 D．到圆上点的距离的最大值为 【答案】AC 【分析】对A，利用复数模的三角不等式求解判断；对B，由复数的几何意义判断；对CD，数形结合求解判断. 【详解】对于A，因为，所以，即，故A正确； 对于B，设，则， 所以表示点与点距离之和等于2，所以点的轨迹为线段，即，故B错误；对于C，由前面知，的轨迹为线段，即， 如图，到直线的最大距离为点到直线的距离，即，故C正确； 对于D，因为点的轨迹为线段，即，且在圆内， 设点到圆上的点的距离为，则 所以到圆上点的距离的最大值为，此时的坐标为，故D错误. 16．（多选）（2026·湖北孝感·二模）已知复数，其中，，为虚数单位，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．是为纯虚数的充要条件 C．若，则 D．若，则的最大值为 【答案】AD 【分析】利用复数的运算，得到，对A，利用复数相等的条件，即可求解；对B和C，利用复数的定义即可求解；对D，根据选项条件得，令，利用辅助角公式及三角函数的性质，即可求解. 【详解】因为，对于A，若，则，所以，故A正确，对于B，若为纯虚数，则且，所以是为纯虚数的必要不充分条件，故B错误，对于C，若，则，所以C错误，对于D，若，则，即，令，则，当，即时，取等号，所以D正确. 17．（多选）（2025·湖北武汉·二模）若复数，则（   ） A． B． C．在复平面内对应的点位于第四象限 D．复数满足，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】根据复数的性质和运算法则求出复数，进而利用共轭复数的定义，复数的模的计算公式，复平面坐标及几何意义分析判断选项． 【详解】，，，故A错误；，故B正确；在复平面内对应的点的坐标为，位于第四象限，故C正确；复数满足，复数在复平面内对应的点在以原点为圆心的单位圆上，，故的最大值为，故D正确．故选：BCD． 18．（18-19高二下·重庆·期中）已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为_____________. 【答案】 【分析】根据复数的模长、复数除法公式、复数的虚部的概念即可得结论. 【详解】由可得：，故复数z的虚部为. 19．（2025·上海黄浦·三模）复数z满足（i是虚数单位），则在复平面内，z对应的点在第________象限． 【答案】三 【分析】由复数的除法、复数的几何意义即可求解. 【详解】由题意，则在复平面内，z对应的点为在第三象限. 20．（2025·上海·三模）在复平面内，复数（是虚数单位，）是纯虚数，其对应的点为，为曲线上的动点，则与之间的最小距离为______． 【答案】1 【分析】利用复数的运算法则得，结合条件得，再利用复数和圆的几何意义，即可求解. 【详解】复数是纯虚数，，，解得，，其对应的点为，为曲线上的动点，则点在以原点为圆心，半径的圆上，所以与之间的最小距离. ( 有关复数的基本运算 考点 7 ) 1．（2026·河北邢台·二模）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设，由题意得，所以， 所以解得，所以. 2．（2026·湖北十堰·二模）已知复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分离复数，再按复数除法法则将分母有理化，按复数乘法法则计算分子并化简，即可求得 的值. 【详解】由，得． 3．（2026·山东聊城·二模）设复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， 4．（2026·青海西宁·二模）已知复数，若，则（   ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】结合复数的乘方求出，进而求出，结合复数的几何意义求解即可. 【详解】因为，，，所以. ，所以. 5．（2026·湖北宜昌·二模）已知复数满足，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 由共轭复数的性质得，可得，由模长公式得. 6．（2026·山东德州·二模）设复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，设，则， 所以，即，所以. 7．（2026·江苏苏州·二模）已知复数z满足，则（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【详解】因为复数z满足，则，所以，所以由模长公式得. 8．（2026·山西太原·二模）已知，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【详解】，即，则. 9．（2026·河南南阳·二模）已知复数在复平面内对应的点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，复数在复平面内对应的点为，则，所以，，因此. 10．（2026·江苏镇江·二模）已知复数，其中是虚数单位，，则（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先根据复数除法的法则将变形，再根据复数模的公式计算即可得解. 【详解】因为复数 ， 所以. 11．（2026·河南郑州·二模）已知复数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以，所以，所以. 12．（2026·陕西咸阳·二模）若复数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，代入化简，利用复数相等求解得到，再利用复数的除法计算即可. 【详解】设，则，代入得到，， 即，所以，即 ，所以，则. 13．（多选）（2025·广东茂名·二模）已知为关于的方程在复数范围内的一个根，则（   ） A． B． C．为纯虚数 D．为关于的方程的另一个根 【答案】ABD 【分析】根据复数乘法、除法运算法则及模长公式，可确定AC选项，再利用复数范围内的求根公式可知复数是方程的根，则也是方程的根可确定D选项，再利用韦达定理确定B选项. 【详解】对A，，，故A正确； 对C，，故C错误；对D，又为关于的方程，所以也是方程的根，故D正确；对B，，故B正确；故选：ABD 14．（多选）（2026·山东日照·二模）设为复数（i为虚数单位），下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】AC 【分析】根据共轭复数的定义可判断A；举反例可判断B；根据虚数单位的性质可判断C；根据复数的除法以及复数模的公式可判断D. 【详解】设复数，则共轭复数，对于A：若，则虚部， 此时，，故，A正确；对于B：取，则，但，B错误；对于C：由得，复数范围内解得，C正确； 对于D：对，化简得，故，D错误. 15．（多选）（2026·广东佛山·二模）设，为复数，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】对于AC，举反例排除即可；对于B，由即可推出；对于D，由即可推出． 【详解】对于A，易知当，时，，但，故A错误； 对于B，，，则，故B正确； 对于C，易知当，时，，此时，故C错误； 对于D，，，故D正确. 16．（多选）（2026·浙江嘉兴·二模）已知是由复数组成的数列，（i为虚数单位），且，则（   ） A． B． C． D．若，则的最小值为 【答案】BCD 【分析】化简得到，再根据数列的周期、复数的运算以及点到圆上一点的距离最值进行分析求解即可. 【详解】.进一步，即数列周期为.已知，计算得，，以此类推，奇数项都为，偶数项都为.选项A.，A错误.选项B.，因此，B正确.选项C. . 因为，所以总和为， 模长，C正确. 选项D.，.表示复平面上以为圆心、半径为的圆，是圆上点到的距离，两定点距离为 ，因此的最小值为，D正确. 17．（2026·上海闵行·二模）已知，若（其中为虚数单位），则______. 【答案】 【详解】设，则，由可得，则，故. 18．（2026·上海普陀·二模）已知复数z满足，其中i为虚数单位，则______. 【答案】 【分析】先根据复数的除法运算化简，再应用共轭复数定义求解. 【详解】复数z满足，则+3i， 则，则. 19．（2026·上海静安·二模）设i是虚数单位，计算：______． 【答案】 【分析】根据复数的除法及复数的乘方求解即可. 【详解】，所以. 20．（2026·浙江温州·二模）若i为虚数单位，则________． 【答案】 【分析】设，利用错位相减法求得，进而求解即可. 【详解】由，，设，则，两式相减得， ， 所以. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $