专题06 数列（6大考点）（全国通用）2026年高考数学二模分类汇编

**基本信息** 数列专题汇编，涵盖递推公式、等差等比数列等6大考点，精选2026年各地二模试题，基础题（如等差数列求和）与创新题（如函数零点构成等差数列、“等和数列”新定义）梯度分布，适配高考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择（单选+多选）|约30题|等差数列性质、等比数列求和、递推公式应用|结合生活情境（如兼职报酬等比数列）、多选项多角度考查（如数列增减性与前n项和判断）| |填空|约10题|前n项和计算、通项公式求法|注重细节（如公差取值范围）、联系函数（如已知Sₙ求aₙ）| |解答|约15题|数列与不等式证明、新定义问题探究|综合考查逻辑推理（如证明数列为等比数列）、创新应用（如“积回归性”判断），贴合高考命题趋势|

专题06 数列 6大考点概览 题型01 数列的递推公式 题型02 等差数列及其性质 题型03 等比数列及其性质 题型04 数列的前n项和问题 题型05 数列与函数、概率等知识的交汇问题 题型06数列中的新定义问题 ( 数列的递推公式 考点1 ) 1．（2026·浙江嘉兴·二模）数列满足，则（    ） A．8 B．4 C．2 D．1 2．（2026·福建·二模）已知数列的前项和为，若，则（   ） A．16 B．18 C．20 D．22 3．（2026·天津河西·二模）在数列中，已知，，那么使这个数列前n项的和成立的正整数n的最小值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 4．（2026·山东聊城·二模）数列共有项，其中，，且，则满足这种条件的不同数列的个数为（    ） A． B． C． D． 5．（2026·江西·二模）在正项数列中，，，，若，为数列的前n项和，若，则正整数n的最大值为（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 6．（2026·浙江台州·二模）已知数列共有5项，各项均为正整数，且对，满足，若为数列中的项，记满足题意的数列的个数为，则（   ） A．12 B．14 C．16 D．18 7．（2026·云南昆明·二模）已知数列满足，记的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·湖北·二模）已知数列满足，且，则的值可能是（    ） A．1 B．2026 C． D． 9．（多选）（2026·湖北宜昌·二模）已知数列，数列满足.若在数列中去掉所有与数列中某项的值相同的项，余下的项组成数列，则（    ） A． B．中存在连续三项成等比数列 C． D． 10．（多选）（2026·河北·二模）已知数列满足，且为数列的前项和，为数列的前项积，则下列说法正确的是（   ） A．当时，数列是递减数列 B． C．存在，使得成等差数列 D．当时， 11．（多选）（2026·河北衡水·二模）已知数列的前项和为，若，，则（   ） A． B．数列为递减数列 C．任意， D．任意， 12．（多选）（2026·安徽马鞍山·二模）数列的前项和为，且，，则（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等比数列 C． D．数列的前项和等于 13．（多选）（2026·山西太原·二模）已知数列的前项和为，且，则下列结论正确的是（    ） A． B．是等比数列 C． D．若，则 14．（2026·河南南阳·二模）已知数列的首项，且满足，则______. 15．（2026·湖北黄冈·二模）已知数列的前项和为，且，，则______． 16．（2026·安徽淮北·二模）已知数列满足：，，则_____________. 17．（2026·山西太原·二模）已知数列的前项和为，若，则__________. 18．（2026·福建·二模）已知数列满足，，则________． 19．（2026·广东汕头·二模）数列的前三项均为，是公比为3的等比数列，且. (1)求的前项和； (2)求. 20．（2026·天津和平·二模）已知，数列满足，当时，. (1)求数列的通项公式； (2)数列的前n项和为，证明：； (3)若数列满足，，求数列的前n项和. ( 等差数列及其性质 考点2 ) 1．（2026·广东东莞·二模）等差数列的前项和为，已知，则（   ） A．64 B．56 C．38 D．8 2．（2026·湖北宜昌·二模）已知为等差数列的前项和，若，则（    ） A．84 B．100 C．103 D．128 3．（2026·福建·二模）等差数列的前n项和为，且，，则（    ） A．90 B．100 C．110 D．200 4．（2026·甘肃酒泉·二模）已知等差数列的公差，前项和为. 若，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·山西吕梁·二模）已知为公差不为零的等差数列的前n项和，若，且，则（   ） A．4 B．5 C．10 D．11 6．（2026·山西临汾·二模）等差数列的前项和为，，则（） A． B． C．1 D．2 7．（2026·湖北十堰·二模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．19 B．25 C．30 D．33 8．（2026·海南省直辖县级单位·二模）等差数列的前n项和为，已知，，则数列的前20项和为（   ） A． B． C． D． 9．（2026·江西九江·二模）已知是首项为6的等差数列．当且仅当时，的前项和取得最大值，则公差的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10．（2026·河北唐山·二模）在等差数列中，，记为数列的前项和，当取得最大值时，的值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 11．（2026·山东淄博·二模）已知等差数列和的前10项均为正整数，且公差均不为0.若，则的最小值为（   ） A．15 B．10 C．9 D．5 12．（多选）（2026·内蒙古包头·二模）记是等差数列的前项和，的公差为，已知，且与的等差中项为，则（    ） A． B． C．最小 D． 13．（多选）（2026·重庆渝中·二模）已知是等差数列的前项和，为公差，且，，则下列说法正确的是（   ） A． B．当时，取最小值 C． D． 14．（多选）（2026·四川遂宁·二模）已知等差数列的前项和为，公差为，则（    ） A． B． C．若，则 D．当且仅当时取最小值 15．（多选）（2026·广东揭阳·二模）已知等差数列的公差，为数列的前n项和，对给定的n且，，，则下列说法正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当，时， D．当，时， 16．（多选）（2026·安徽淮北·二模）已知为等差数列的前项和，，，，则（    ） A． B． C． D． 17．（多选）（2026·青海西宁·二模）设数列的前项和为，且．则（   ） A．若为等差数列，则 B．若为等差数列，则 C．若为等比数列，则 D．若为等比数列，则 18．（2026·广东深圳·二模）已知等差数列的前项和为，首项为的最大值，则的值可以为___________．（写出符合条件的一个值即可） 19．（2026·河南郑州·二模）已知为等差数列，记公差为，前项和为，当且仅当时取得最大值，则的取值范围为______． 20．（2026·广东清远·二模）已知数列中，，则___________． 21．（2026·山东日照·二模）已知数列的前项和为，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是公差为2的等差数列，且．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值． 22．（2026·陕西·二模）已知数列满足． (1)求的前项和； (2)记数列的前项和为，若；证明数列为等差数列，并求出的通项公式； 23．（2026·河北·二模）已知数列的前项和为，且满足． (1)求数列的通项公式； (2)在与之间插入个数，使这个数成等差数列，公差记为，设，求数列的前项和． 24．（2026·福建厦门·二模）记数列的前项和为，已知． (1)证明是等差数列，并求； (2)记数列的前项和为，证明：． 25．（2026·广东惠州·二模）已知数列的前项和为. (1)求的通项公式； (2)设，数列的前项和为，若，求的最大值. ( 等比数列及其性质 考点3 ) 1．（2026·广东湛江·二模）已知等比数列的各项均为正数，且，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·吉林·二模）在等比数列中，，，则（   ） A． B．2 C．2 D．4 3．（2026·山东东营·二模）已知是等差数列，是等比数列，且，则（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 4．（2026·四川广元·二模）等比数列的前项和为，且，则公比（    ） A． B．1 C．2 D．4 5．（2026·河北张家口·二模）已知公比为整数的等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·重庆·二模）已知等比数列的首项，公比．若是数列的前项积，则取得最大值时的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 7．（2026·重庆渝中·二模）已知正项等比数列单调递增，是其前项和，，，则（   ） A． B． C． D． 8．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列是等比数列，若，则（    ） A．13 B． C．7 D． 9．（2026·安徽淮南·二模）平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案.其画法是：取第一个正方形各边的四等分点，，，作第二个正方形，再取正方形各边的四等分点，，，作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，如图所示.设正方形边长为，后续各正方形边长依次为.若，则等于（   ） A． B． C． D． 10．（2026·山西太原·二模）已知分别是等差数列和等比数列，其前项和分别是和，且，，则（    ） A．5或11 B．7或13 C．9或18 D．12或21 11．（2026·重庆九龙坡·二模）某科技公司研发人工智能大模型， 训练该模型每月消耗的算力 (单位:千 PFLOPS・天)是前一个月的固定倍数，且始终保持增长. 观测到第4个月消耗的算力为4， 第3个月与第5个月消耗的算力之和为10 . 则（   ） A．第3个月消耗的算力为1 B．前5个月消耗的总算力为16 C．第7个月消耗的算力比第4个月增长300% D．前8个月消耗的总算力与第4个月消耗的算力比值为 12．（多选）（2026·辽宁辽阳·二模）已知等比数列的公比为q，，，是的前n项和，则（    ） A． B． C． D．的最小值是 13．（多选）（2026·甘肃酒泉·二模）已知等比数列的首项，公比为，前项和为，且满足，则下列说法正确的有（    ） A．的可能取值有3个 B．若，则数列是递增数列 C．若，则 D．若，则 14．（多选）（2026·安徽滁州·二模）已知等比数列的公比为，前项和为，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．，，成等比数列 D．若，则 15．（2026·陕西咸阳·二模）设等比数列的前项和为，若，，则______． 16．（2026·上海闵行·二模）已知等比数列的公比为，若，则的取值范围是______. 17．（2026·湖北十堰·二模）已知等差数列的公差为，等比数列的公比为，其中，若，且存在，使得，则______；______．（用表示） 18．（2026·上海崇明·二模）已知首项为1的等比数列满足对任意的正整数m，n都有，则等比数列的公比q的取值范围是________． 19．（2026·山西吕梁·二模）设各项均为正数的等比数列的前n项和为，，. (1)求数列的通项公式； (2)设，证明：. 20．（2026·浙江嘉兴·二模）已知数列，，． (1)求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和． ( 数列的前n项和 问题 考点4 ) 1．（2026·广西河池·二模）小明假期在一家文具店兼职打工，文具店第1天支付给他30元，由于小明工作认真努力，从第2天起，文具店老板决定每天支付给小明的金额都是前一天的1.2倍．小明一共工作了10天，则他领到的总报酬为（   ）元．（参考数据：） A．778.5 B．624 C．185.7 D．154.8 2．（2026·广东揭阳·二模）已知数列满足，且，则数列的前项和为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·山西太原·二模）已知数列的前项和，若为正整数，则（    ） A．4052 B．2026 C． D． 4．（25-26高二下·安徽阜阳·月考）表示不超过的最大整数，如[，，若的通项公式为，则数列的前10项和为（   ） A．-16 B．-15 C．-12 D．-10 5．（2026·浙江宁波·二模）数列满足：为的前项和，则（    ） A． B． C． D． 6．（2026·山东泰安·二模）已知等比数列的公比大于1，前项和为，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．9 7．（2026·四川·二模）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A．若，则 B．若数列为等差数列，，，则时，最大 C．若数列满足，，则 D．若，则数列的前项和小于 8．（2026·四川·二模）在数列中，，，为的前项和，则（ ） A． B． C． D． 9．（2026·江苏镇江·二模）已知数列满足，，，为其前n项和，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 10．（2026·福建·二模）已知公差为的等差数列的前项和为，公比为的等比数列的前项和为，且，．下列命题正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时，集合可能有三个元素 11．（2026·河北唐山·二模）已知欧拉函数的函数值等于所有不超过正整数，且与互质的正整数的个数，例如：；记集合中元素个数为，则数列前项和为__________． 12．（2026·浙江金华·二模）数列中，，，记数列的前n项和为，则______． 13．（2026·上海金山·二模）已知是数列的前项和，且，且．若，则__________． 14．（2026·河南开封·二模）已知集合，，将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列．记为数列的前n项和，若且，则__________． 15．（2026·安徽滁州·二模）已知数列的通项公式是，去掉数列中的后余下的项构成新的数列，则数列的前项和________． 16．（2026·山东日照·二模）已知数列的前项和为，且成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)已知数列是公差为2的等差数列，且．若将数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列，求的值． 17．（2026·广东汕头·二模）数列的前三项均为，是公比为3的等比数列，且. (1)求的前项和； (2)求. 18．（2026·河南濮阳·二模）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前90项和． 注意：这里表示角度， 19．（2026·四川攀枝花·二模）已知数列的前项和为，，． (1)证明：是等比数列，并求出的通项公式： (2)求数列的前项和； (3)若，求的取值范围． 20．（2026·上海静安·二模）已知等差数列的首项，公差为，等比数列的首项，公比为，数列满足（n为正整数）． (1)依次写出数列的前项； (2)设数列的前项和为，求． 21．（2026·陕西·二模）已知数列满足． (1)求的前项和； (2)记数列的前项和为，若；证明数列为等差数列，并求出的通项公式； 22．（2026·山东济宁·二模）记为数列的前项和，已知，. (1)求数列的通项公式； (2)记为数列的前项和，求. ( 数列与 函数、 概率等知识的交汇问题 考点 5 ) 1．（2026·浙江宁波·二模）设是与的等差中项，则的值为（   ） A． B． C．1 D．2 2．（2026·浙江宁波·二模）已知幂函数是非奇非偶函数，令，记数列的前项和为，则（   ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏盐城·二模）已知正项等比数列满足，若存在两项，使得，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（2026·湖北孝感·二模）已知数列是各项均为正数的等差数列，且公差；数列是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项，下列说法正确的个数是（   ） ①数据，，，…，的平均数是； ②数据，，，…，的平均数是； ③若，，则数据，，，…，的中位数大于数据，，，…，的中位数； ④若，，则数据，，，…，的平均数大于数据，，，…，的平均数． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026·河北保定·二模）已知等比数列中，，则“”是“为、的等差中项”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 6．（2026·西藏拉萨·二模）量子计算是当前科技前沿领域，其核心单元“量子比特”在物理实现上常采用能级结构．某种量子比特模型中，用递增离散能级表示量子态，相邻能级间的能量差构成等比数列，即（）．已知（为基准能量单位）．则该量子比特从高能级向低能级跃迁时，可释放光子的频率（光子频率恰为能量差）不可能为（   ） A． B． C． D． 7．（2026·河北沧州·一模）已知函数的四个零点，恰好成递增的等差数列，则m的值为（   ） A． B． C． D． 8．（2026·广东东莞·二模）椭圆的左、右焦点为为坐标原点，为椭圆上一点，，且成等比数列，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 9．（多选）（2026·广东清远·二模）已知函数满足对且，若数列满足，则（   ） A． B． C．数列是等比数列 D． 10．（多选）（2026·湖南常德·二模）已知成等差数列，若关于的方程组恰有组解，则（    ） A． B． C． D． 11．（多选）（2026·四川广元·二模）如图，有一系列正三角形，设第个正三角形的边长为，其中，在曲线上，为坐标原点，在轴上.记为数列的前项和，则（    ） A． B．对任意的， C．数列的前项和为 D． 12．（多选）（2026·四川南充·二模）假设在一定的环境下，某种电子元件的寿命（单位：年）是一个取值为正整数的随机变量，且满足如下统计规律：对任意正整数，寿命恰好为的元件在所有寿命不小于的元件中的占比为10%.记事件，事件，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．设，则 D．设，则 13．（多选）（2026·河南濮阳·二模）已知定义在上的函数满足：，其中[x]表示不超过的最大整数．当时，，设数列满足，数列为从小到大第n个极小值点构成的数列，下列说法正确的是（   ） A．数列为等比数列 B．，使得 C．数列的通项公式 D．，都有 14．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知数列的首项，，则______． 15．（2026·甘肃·一模）如图，若第1行数字的和记为，第2行数字的和记为，第行数字的和记为，则__________；若数列的前项和为，则__________ 16．（2026·上海嘉定·二模）已知正四面体上的四个面上分别写有1、2、3、4，游戏中甲、乙轮流抛掷该四面体，谁抛出底面数字等于4则获胜且游戏结束．甲先开始，则甲获胜的概率为___________． 17．（2026·广东广州·二模）我们把经过同一点且半径相等的圆称为共点等圆.在平面上过同一点有个共点等圆，其中任何两个圆都有两个不同的交点，但任何三个圆除点外无其他公共点，记这个共点等圆共有个交点，若，则__________. 18．（2026·湖南衡阳·二模）某大学数学系举办学科素养大赛，参赛选手在2小时内进行学科素养答题挑战赛，比赛规则如下：参赛选手的赛程按轮次进行，只有完成上一轮的答题才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮随机地派出一道素养题或技能题，系统派出素养题的概率为，派出技能题的概率为．若某选手答对素养题的概率为，答对技能题的概率为，各轮答题正确与否相互独立．记该选手在第轮答题结束时挑战依然未终止的概率为，记，则__________． 19．（2026·山东聊城·二模）记数列的前项和为，若满足，，且． (1)求证：是等差数列，并求的通项公式； (2)设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 20．（2026·江苏镇江·二模）已知数列的首项是，且． (1)证明数列是等比数列，并求出数列的通项公式； (2)若，求满足条件的最小整数n的值． 21．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在自动驾驶系统的路径规划中,车辆的车道选择行为可用马尔科夫链模型描述.设道路只有两条车道,分别记为车道0和车道1.每隔一个固定时间步长,车辆会选择更换车道或者保持车道不变,记为第个时间步长车辆所在的车道（）.马尔科夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态,记为一步转移概率,矩阵为一步转移概率矩阵. 已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道0,下一时刻变道至车道1的概率为；若当前在车道1,下一时刻变道至车道0的概率为. (1)已知时刻车辆处于车道0的概率为,处于车道1的概率为. ①写出该模型的一步转移概率矩阵； ②若时刻车辆处于车道1,求时刻车辆处于车道0的概率. (2)在第（1）问的初始概率条件下,记（）,求随机变量的分布列（结果用含的式子表示）. 22．（2026·青海西宁·二模）已知函数，． (1)令，讨论在的单调性； (2)证明：，. 23．（2026·天津河西·二模）已知数列是公差不为0的等差数列，且，是和的等比中项，等比数列的通项公式为（其中，且）. (1)求的前n项和； (2)设集合，对于的每一个非空子集X，设其最小元素为x，最大元素为y. （ⅰ）设为所有非空子集对应的之和，求证：； （ⅱ）设为所有非空子集对应的之和，且，求数列的通项公式. 24．（2026·甘肃酒泉·二模）某种微生物的繁殖规则如下：初始时刻有1个该微生物，每经过1个单位时间，每个现存的微生物独立地发生三种变化之一：①死亡，概率为；②保持1个，不繁殖也不死亡，概率为；③分裂为2个微生物，概率为.当微生物的数量为0时，繁殖过程终止.设为经过个单位时间后，该微生物处于繁殖过程终止的概率. (1)求的值； (2)令，证明：； (3)在（2）的条件下，证明：对任意正整数，都有. 25．（2026·四川遂宁·二模）已知抛物线的焦点为，其准线与轴的交点为，抛物线上存在点满足，且. (1)求的方程； (2)记，过的直线交于，在抛物线上按如下方式构造点列：连接分别交于另一点. （i）设直线与轴交点的横坐标为，求数列的通项公式； （ii）为坐标原点，若的外接圆与抛物线交于第四点，试证明：的重心在轴上，且在的右侧. ( 数列中的新定义问题 考点 6 ) 1．（2026·四川眉山·二模）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和．已知等和数列中，，公和为5，则（    ） A．0 B． C． D．4 2．（2026·浙江嘉兴·二模）若数列满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差依次排成一列，组成的新数列是一个公差为k的等差数列，则称数列为“等差数列．已知为“等差数列，且，则（   ） A．91 B．111 C．121 D．133 3．（2026·上海黄浦·二模）若无穷数列的首项为1，且对任意的，的前n项和都可以表示成的两项之差，则称为T数列，所有T数列组成的集合为T集．下列结论正确的是（    ）． A．任意一个T数列均不是等差数列 B．任意一个T数列均不是等比数列 C．T集中含有且仅含有有限个等差数列 D．T集中含有无穷多个等比数列 4．（2026·上海杨浦·二模）已知数列，给出以下定义：若存在常数，对于任意的，都有，则称数列为“-加速数列”，现给出下列命题： ①若，则对任意，数列都不是“-加速数列”； ②若数列是“1-加速数列”，且，，则数列存在最小项； ③若数列是“2-加速数列”，且，，则存在，使得； ④正数列是等比数列且公比，则是“-加速数列”的充要条件是. 其中正确的命题是（    ） A．①②③ B．② C．②④ D．③④ 5．（多选）（2026·江苏无锡·二模）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列满足，，则正确的有（   ） A． B． C． D．数列的前10项和为110 6．（多选）（2026·陕西商洛·二模）若数列满足（，为常数），则称数列为“调和数列”．已知各项均为正数的数列满足，则下列说法正确的是（    ） A．数列是“调和数列” B．数列是递增数列 C．对任意的，都有 D．若，则（） 7．（多选）（2026·山东日照·二模）对于无穷数列，若存在常数，使得对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．则下列结论正确的是（   ） A．存在公差不为0的等差数列具有性质 B．以1为首项，为公比的等比数列具有性质 C．若由数列的前项和构成的数列具有性质，则数列也具有性质 D．若数列和均具有性质，则数列也具有性质 8．（多选）（2026·江苏苏州·二模）为首项为1的正项数列，前n项和为，如果对任意正整数，存在实数使得，则称该数列为“-数列”，则下列说法中正确的有（   ） A．若是公差为2的等差数列，则是“3-数列” B．若是“2-数列”，则可以是常数列 C．若是"2-数列”，则对任意的正整数， D．对任意的，，则“”是“是“-数列”的充要条件 9．（多选）（2026·江西九江·二模）已知有穷数列，每一项均为0或1，且末项为1．若存在正整数，则称数列为“数列”．记“数列”的所有项的和为，则（   ） A．若为“20数列”，则此数列为0，1，0，1 B．若为“数列”且，则 C．若为“数列”且（其中），则所有的和为90 D．若为“2k数列”，则 10．（2026·广东湛江·二模）若数列（）满足，则称数列为“和谐数列”.已知数列是“和谐数列”，且，则满足条件的数列的个数为______. 11．（2026·陕西咸阳·二模）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下：．已知是各项为正的等比数列，是其前项和，若，则的值为________． 12．（2026·广东江门·二模）若数列满足，则称为“-拟等差数列”；若数列满足，则称为“-拟等比数列”． (1)若数列既是“2-拟等差数列”，又是“4-拟等比数列”，且，求的通项公式． (2)已知，，，数列是“-拟等比数列”，的前项和为． （i）证明：存在，使得是“-拟等差数列”． （ii）证明：． 13．（2026·重庆·二模）已知正项数列的首项且满足：. (1)令，证明是等差数列，并求的通项公式； (2)设是互不相同的正整数，求证：； (3)记.若对于任意，均存在正整数，使得，则称具有“积回归性”.请判断数列是否具有“积回归性”，并证明你的结论. 2 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数列 6大考点概览 题型01 数列的递推公式 题型02 等差数列及其性质 题型03 等比数列及其性质 题型04 数列的前n项和问题 题型05 数列与函数、概率等知识的交汇问题 题型06数列中的新定义问题 SHAPE \* MERGEFORMAT 1．（2026·浙江嘉兴·二模）数列 满足 ，则 （    ） A．8 B．4 C．2 D．1 【答案】B 【分析】结合递推公式依次计算即可. 【详解】 ， ， . 2．（2026·福建·二模）已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 （   ） A．16 B．18 C．20 D．22 【答案】C 【分析】通过对 取不同的正整数值，代入求解即可. 【详解】由 得，当 时， ，即 . 当 时， ，即 ， . 当 时， ，即 ，所以 ， . 当 时， ，即 ，所以 ， . 当 时， ，即 ，所以 . 3．（2026·天津河西·二模）在数列 中，已知 ， ，那么使这个数列前n项的和 成立的正整数n的最小值为（   ） A．2025 B．2026 C．2027 D．2028 【答案】B 【分析】找到数列的规律，周期，分组求和，结合单调性得到答案 【详解】 ，故 ， ，故 ， ， ， ， ，……，故当 ， 为奇数时， ，当 ， 为偶数时， ， 且当 时，随着 的增大， 不减，其中 ， ， ，所以使这个数列前n项的和 成立的正整数n的最小值为2026. 4．（2026·山东聊城·二模）数列 共有 项，其中 ， ，且 ，则满足这种条件的不同数列 的个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析可得 或 ，记 ， ，设 ，求出 的值，再利用组合计数原理可得结果. 【详解】由 可得 ， 所以 或 ，记 ， ，因为 ， ，设 ，即 ，整理可得 ，所以 ，解得 ，所以从 变化到 的过程中，需要乘 个 ， 个 ，由组合计数原理可知，满足这种条件的不同数列 的个数为 . 5．（2026·江西·二模）在正项数列 中， ， ， ，若 ， 为数列 的前n项和，若 ，则正整数n的最大值为（   ） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】B 【分析】由递推公式两边同时除以 ，再由等差数列的基本量法求出 ，再由累乘法得到 ，最后利用裂项相消法可得. 【详解】由 ，得 ，又 ，所以 是首项为2，公差为1的等差数列，所以 ，又 ，所以 ，所以当 时， EMBED Equation.DSMT4 ， 又 ，也符合上式，故 ，则 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 ， 由 ，得 ，所以 ，解得 ，所以正整数n的最大值为22． 6．（2026·浙江台州·二模）已知数列 共有5项，各项均为正整数，且对 ，满足 ，若 为数列 中的项，记满足题意的数列 的个数为 ，则 （   ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】C 【分析】 时，分数列 仅有一个1、仅有两个1、仅有三个1讨论求出 ；同理求出 即可． 【详解】解： 时，把数列 的5项依次排列， 数列 只有一个1时， 时， 共3种，同理 也有3种； 时， 共2种，同理 也有2种； 时， 共1种； 数列 仅有两个1时， 共4种；数列 仅有三个1时， 共1种，综上， ； 时，数列 只有一个2时， 时， 共3种，同理 也有3种； 时， 共4种，同理 也有4种； 时， 一种；数列 仅有两个2时， 时， 共2种，同理 时也有2种； 时， 共8种； 时， 共1种；数列 仅有三个2时， 共4种， 综上 ， ． 7．（2026·云南昆明·二模）已知数列 满足 ，记 的前 项和为 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用取倒数法，结合累加法进行求解即可. 【详解】由 ，由 ，当 时， ，所以 ， 即 ，所以 ，因此选项C正确，选项A不正确； ， ， 因为 ， ，所以数列 是单调递减数列， ，所以数列 是递增数列，因此 ，所以选项D不正确；假设 ，因为数列 是单调递减数列，所以 ，因此 不成立，假设不成立，选项B不成立. 8．（2026·湖北·二模）已知数列 满足 ，且 ，则 的值可能是（    ） A．1 B．2026 C． D． 【答案】ACD 【详解】原式因式分解可得 ，故 或 都可成立.数列每一项都满足 时，则 ，A可能， ，不是 的整数次幂，B不可能，第一步选择 ，之后所有递推都选择 ，则 ，C可能，所有递推都选择 ，则 ，D可能 9．（2026·湖北宜昌·二模）已知数列 ，数列 满足 .若在数列 中去掉所有与数列 中某项的值相同的项，余下的项组成数列 ，则（    ） A． B． 中存在连续三项成等比数列 C． D． 【答案】ACD 【分析】先由 与 的递推关系式推出 的通项公式，进而得到 的通项公式，然后根据 与 的通项公式，依次判断ABC选项，找出它们相同的项，从而可求 的前10项的和可判断D选项. 【详解】因为 ，所以 ，又因为 ，所以 ， 所以数列 是首项为2，公比为2的等比数列，所以 ，即 ， 所以 ，故A正确； 由于 ， ，所以数列 是首项为 ，公差为2的等差数列，即 ，假设 中存在连续三项成等比数列，设为： ，则 ，化简得： ，即等式无解；所以 中不存在连续三项成等比数列，故B错误；由于 ，所以 ，故C正确；数列 的项在数列 中对应的位置满足： ，即 ，即 中被去掉的项为： ， ，即第一项 ， ， ，即第三项 ， ， ，即第七项 ， ， ，即第十五项 ，所以 ,故D正确. 10．（2026·河北·二模）已知数列 满足 ，且 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项积，则下列说法正确的是（   ） A．当 时，数列 是递减数列 B． C．存在 ，使得 成等差数列 D．当 时， 【答案】ACD 【分析】对于A，利用放缩得到 即可判断；对于B，举例排除即可；对于C，列方程求解即可判断；对于D，利用构造法求通项，再分组求和即可判断． 【详解】对于A， ， ， ， ，又 ， ，则 ， ， ，即 ，即数列 是递减数列，故A正确；对于B， ， ，则 ，而 中， ，矛盾，故B错误；对于C， ， ， ，若 成等差数列， ，即 ，解得 或 ，则 时，符合题意，故C正确；对于D， 时， ，易知 ， ， ，则数列 是首项为1，公比为2的等比数列， ， ， EMBED Equation.DSMT4 ，故D正确． 11．（2026·河北衡水·二模）已知数列 的前 项和为 ，若 ， ，则（   ） A． B．数列 为递减数列 C．任意 ， D．任意 ， 【答案】ABD 【分析】对于A，代入求值即可判断；对于B， ，说明 ，即可证明 ，即可判断B；对于C，求出 即可判断；对于D，先证明 ，由 ，两边同时除以 得 ，当 时，利用累加法得到 ，即可得到 ，再讨论 ，即可判断D. 【详解】对于A， ， ， ，故A正确； 对于B， ，当 时，若 ，则 或 ，令 ，即 ，因为 ，故方程 无解，即 ，当 时， 或 ，而 ，以此类推， 或 ，又 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以数列 为递减数列，故B正确；对于C， ，所以 ，故C错误；对于D，因为数列 为递减数列，故 ，由 可得 ，即 ，由 ，两边同时除以 得 ，即 ，所以当 时， ， ， ， ，上式累加得 ， 即 ，又 ，所以 ， 当 时， ，此时 ，综上， ，故D正确. 12．（2026·安徽马鞍山·二模）数列 的前 项和为 ，且 ， ，则（    ） A．数列 是等差数列 B．数列 是等比数列 C． D．数列 的前 项和等于 【答案】ABD 【分析】根据 与 之间的关系分析可得 ，即可判断A；进而可得 ， ，即可判断BC；整理可得 ，利用裂项相消法运算求解，即可判断D. 【详解】对于A，由数列 满足 ，当 时， ，所以 ，可得 ， 因为 ，可得 ，所以 ，则 ，所以 ，所以 ，所以数列 是以首项为 ，公差 的等差数列，所以A正确； 对于B，由A项可得 ，所以 ， 当 时， ，当 时， ，适合上式，所以 ，又由 ，可得 ，所以数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，所以B正确；对于C，由B项知：数列 的通项公式为 ，所以C错误； 对于D，由 ，可得 的前 项和为： EMBED Equation.DSMT4 ，所以D正确. 13．（2026·山西太原·二模）已知数列 的前 项和为 ，且 ，则下列结论正确的是（    ） A． B． 是等比数列 C． D．若 ，则 【答案】BC 【分析】根据 与 的关系可得 ，结合等比数列通项公式和题意求得 ， ，再依次判断各选项即可. 【详解】当 时， ，解得 ，当 时，由题意可得 ， 所以 ，因为 ，所以 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ， ，对于A， ，故A错误；对于B， 是等比数列，故B正确；对于C，因为 ， ，所以 ，故C正确； 对于D，若 ，则 ，即 ，而当 时， ，故D错误. 14．（2026·河南南阳·二模）已知数列 的首项 ，且满足 ，则 ______. 【答案】 【详解】 ， ， ， ， . 15．（2026·湖北黄冈·二模）已知数列 的前 项和为 ，且 ， ，则 ______． 【答案】 【分析】由条件易判断出数列 为等比数列，确定该数列的首项和公比，求出其通项公式，再利用 ，即可求出 的通项公式. 【详解】由题意知 ，由 可得 ，所以 ， 因此数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 .当 且 时， ，又 不满足上式，所以 . 16．（2026·安徽淮北·二模）已知数列 满足： ， ，则 _____________. 【答案】2 【详解】由 ， ，所以 ， ， ，即 ，所以数列 是以 为周期的周期数列，所以 . 17．（2026·山西太原·二模）已知数列 的前 项和为 ，若 ，则 __________. 【答案】 【分析】利用 与 的关系得到数列通项 的递推关系式，再利用递推关系式构造等比数列求解即可. 【详解】依题意得 .当 时， ，即 .设 ，则 ，即 .又 是以4为首项，2为公比的等比数列， ，即 . 18．（2026·福建·二模）已知数列 满足 ， ，则 ________． 【答案】 【分析】构造数列 ，根据递推关系，可得 ，利用等比数列通项公式求出 ，分组求和即可得解. 【详解】因为 ，所以 ， 令 ，则 ，所以 ， 则 ，所以 ，又 ， 所以 是以 为首项，公比为 的等比数列，所以 ，即 ，所以 . 19．（2026·广东汕头·二模）数列 的前三项均为 ， 是公比为3的等比数列，且 . (1)求 的前 项和 ； (2)求 . 【答案】(1) ；(2) 【分析】（1）根据题意结合等比数列通项公式可得 ， ，结合等差数列求和公式运算求解； （2）整理可得 ，利用累加法结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】（1）因为 是公比为3的等比数列，且 ， 又因为 ，则 ，可得 ，则 ，可得 ，所以 . （2）因为 ，即 ，则 ，可得 ， 则 EMBED Equation.DSMT4 ，所以 . 20．（2026·天津和平·二模）已知 ，数列 满足 ，当 时， . (1)求数列 的通项公式； (2)数列 的前n项和为 ，证明： ； (3)若数列 满足 ， ，求数列 的前n项和 . 【答案】(1) ；(2)证明见解析； (3) . 【分析】（1）变形给定等式，构造常数列求出通项公式. （2）利用等比数列前n项和公式，结合差值比较法推理证明. （3）按 为偶数、奇数分类，利用分组求和法，结合等差等比数列前n项和公式求解. 【详解】（1）当 时，由 ，得 ，即 ， 因此 ，数列 是常数列，则 ，即 ， 所以数列 的通项公式为 . （2）由（1）得 ，则 ，数列 是等比数列， 则 ， ， ， ， ， 因此 ，所以对任意 ， . （3）由（1）得 ，所以 ， ， 则 ，当n为偶数时， ， 设 ， ， ， ， 两式相减得 ，于是 ， 又 ， 因此 ； 当n为奇数时， ， ，而 满足上式，所以 . SHAPE \* MERGEFORMAT 1．（2026·广东东莞·二模）等差数列 的前 项和为 ，已知 ，则 （   ） A．64 B．56 C．38 D．8 【答案】B 【分析】由等差中项的性质先求出 ，再代入等差数列的前 项和公式计算即可得解. 【详解】由等差中项的性质可知 ，所以 ，解得 ， 所以 . 2．（2026·湖北宜昌·二模）已知 为等差数列 的前 项和，若 ，则 （    ） A．84 B．100 C．103 D．128 【答案】B 【分析】设出首项和公差，得到基本量，最后求解 即可. 【详解】设首项为 ，公差为 ，由题意得 ，可得 ，解得 ，则 . 3．（2026·福建·二模）等差数列 的前n项和为 ，且 ， ，则 （    ） A．90 B．100 C．110 D．200 【答案】B 【分析】设出首项和公差，求解出基本量，最后利用求和公式求和即可. 【详解】设首项为 ，公差为 ，因为 ，所以 ， 因为 ，所以 ，联立方程组可得 ，解得 ， 则由等差数列求和公式得 ，故B正确. 4．（2026·甘肃酒泉·二模）已知等差数列 的公差 ，前 项和为 . 若 ，且 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由 可知 ，即 . 根据等差数列性质：若 ，则 ，可得 ， ，代入得 ，即 . 同理， ，代入 得 ，即 . 由等差数列前 项和公式 ，结合性质 ，得： . 5．（2026·山西吕梁·二模）已知 为公差不为零的等差数列 的前n项和，若 ，且 ，则 （   ） A．4 B．5 C．10 D．11 【答案】A 【详解】因为 ，所以 ，即 所以 . 又因为 ，所以 .对于A， ，故选A.对于B， ，因为 ，所以 ，错误.对于C， ，因为 ，所以 ，错误.对于D， ，因为 ，所以 ，错误. 6．（2026·山西临汾·二模）等差数列 的前 项和为 ， ，则 （） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】设等差数列 的首项为 ，公差为 ， .由等差数列性质： ，故 .已知 ，代入得： ，化简得 . ，化简得 .又 ，故 . 7．（2026·湖北十堰·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 （    ） A．19 B．25 C．30 D．33 【答案】B 【详解】法1：设 的公差为 ，由 ，得 ，即 . 由 ，得 ，所以 .所以 ， 所以 . 法2：设 的公差为 ，由题意，得 ， 即 ， 解得 ， .所以 . 8．（2026·海南省直辖县级单位·二模）等差数列 的前n项和为 ，已知 ， ，则数列 的前20项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得， ，化简得 ，又 ， ，即 ，故 ， ， ， 故数列 的前20项和为 EMBED Equation.DSMT4 . 9．（2026·江西九江·二模）已知 是首项为6的等差数列．当且仅当 时， 的前 项和取得最大值，则公差 的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据等差数列的通项公式表示出 ，再结合前 项和取得最大值的条件，得到关于公差 的不等式组，进而求解 的取值范围. 【详解】因为 是首项 的等差数列，所以 ，因为当且仅当 时， 的前 项和取得最大值，则 且 ，当 时： ，则 ，所以 ，当 时： ，则 ，所以 ，综上， ，即公差 的取值范围是 . 10．（2026·河北唐山·二模）在等差数列 中， ，记 为数列 的前 项和，当 取得最大值时， 的值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 【答案】C 【分析】差数列 的公差为 ，根据条件推出 ，判断出当 时， ； 时， ，再根据 ，判断出 对 取正负的影响，进而可得出结果. 【详解】设等差数列 的公差为 ，所以 ，因此 ，所以 ， 所以 ， ，因此，当 时， ； 时， ，因为 ，所以当 时， ，当 时， ，当 时， ，当 时，因为 ，所以 ；因为 ，所以，当 时， 取得最大值. 11．（2026·山东淄博·二模）已知等差数列 和 的前10项均为正整数，且公差均不为0.若 ，则 的最小值为（   ） A．15 B．10 C．9 D．5 【答案】B 【分析】先根据 ，结合题干条件，判断出等差数列 的公差 ，再根据等差数列通项公式，将求 的最小值转化为求 的最小值，再通过赋值的方式求出 的最小值即可求出答案. 【详解】设数列 的公差为 ，设数列 的公差为 .因为等差数列 和 的前10项均为正整数，且公差均不为0，所以首项 和公差 为整数，即 ，若数列 是递增数列，则 ，这样 ，又题中所述 ，此时 ，与题意不符，故数列 是递减数列，即 ，而 ， ，若要求 的最小值，只需求 的最小值，若要求 的最小值，只需求 最小值减去 最大值，而 最大值为 ，下面分析 最小值：当 时， ，此时 的最小值必定大于等于 ，无答案；当 时， ，此时 的最小值必定大于等于 ，接下来验证 时是否满足题意，因为 ，在 的最小值为10的情况下， ，解得 ，若 ，满足题干所有条件，综上 的最小值为10. 12．（多选）（2026·内蒙古包头·二模）记 是等差数列 的前 项和， 的公差为 ，已知 ，且 与 的等差中项为 ，则（    ） A． B． C． 最小 D． 【答案】BC 【分析】利用等差数列前 项和公式代入条件计算可得数列 是公差为 的等差数列，结合等差数列的通项公式以及前 项和公式依次判断选项即可. 【详解】因为 是等差数列 的前 项和， 的公差为 ，则 ，故 ，所以 ，故数列 是公差为 的等差数列．对于A选项，由题意可得 ，故 ，所以 ，A错；对于B选项， ，解得 ，B对；对于C选项，由题意可得 ，解得 ，所以 ，故当 时， 取最小值，即 最小，C对；对于D选项， ，所以 ，D错． 13．（多选）（2026·重庆渝中·二模）已知 是等差数列 的前 项和， 为公差，且 ， ，则下列说法正确的是（   ） A． B．当 时， 取最小值 C． D． 【答案】AD 【分析】根据等差数列性质可得 ， ，即可得 ，即可判断A；结合单调性分析数列 的正负性，即可得 的最值，即可判断BCD. 【详解】因为数列 为等差数列，则 ，即 ，且 ，即 ，可得 ，所以公差 ，故A正确；可知等差数列 为递增数列，当 时， ；当 时， ；所以当 时， 取最小值，故B错误；所以 ， ，故C错误，D正确． 14．（多选）（2026·四川遂宁·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，公差为 ，则（    ） A． B． C．若 ，则 D．当且仅当 时 取最小值 【答案】AD 【分析】先利用等差数列通项公式，结合已知公差与项的值求出首项，再依次求出数列指定项，通过代数运算验证等式是否成立；接着代入求和公式建立方程，求解正整数项数；最后写出通项，结合项的正负分界，分析前n项和的最值，逐一筛选选项即可. 【详解】因为公差 ， ， ，所以：选项A： ，所以 ，A正确；选项B： ， ， ，所以 ，B错误；选项C：因为 ，所以 ，解得 或 （舍去负根），所以 ，不是9，C错误；选项D：因为 ，令 ，则 ，即 ， ，所以前4项均为负，从第5项开始为正，因此 是最小值. D正确. 15．（多选）（2026·广东揭阳·二模）已知等差数列 的公差 ， 为数列 的前n项和，对给定的n且 ， ， ，则下列说法正确的是（   ） A．当 时， B．当 时， C．当 ， 时， D．当 ， 时， 【答案】ABD 【分析】利用等差数列通项公式写出不等式，利用不等式的性质解题. 【详解】对于A，当 时， ，因为 ， ， 所以 ，又因为 ， ，所以 ，故A正确；对于B，当 时， ，若 ，则 ，若 ，则 ，故B正确； 对于C，当 时， ，若 ，则 ，因为 ，与题目条件矛盾，若 ，则 ， ， ，故C错误；对于D，当 时， ，又因为 ，代入可得 ， ，所以 ，解得 ，故D正确. 16．（多选）（2026·安徽淮北·二模）已知 为等差数列 的前 项和， ， ， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A选项，因为 是等差数列，且 ， ，所以 ， ，所以 ，所以A选项正确；B选项，由A选项解析得： ， ，则 ，所以B选项错误；C选项， ，所以 ， ，则 ，所以C选项正确；D选项，因为 ，所以 是以首项为 ，公比为4的等比数列，所以 ，所以D选项正确. 17．（多选）（2026·青海西宁·二模）设数列 的前 项和为 ，且 ．则（   ） A．若 为等差数列，则 B．若 为等差数列，则 C．若 为等比数列，则 D．若 为等比数列，则 【答案】AB 【分析】利用等比和等差数列的性质和前 项和的性质逐项分析可解. 【详解】对于A，若 为等差数列，则 ，故A正确；对于B，若 为等差数列，则公差 ，则 ，于是 ，故B正确；对于C，若 为等比数列，则 ，由于等比数列的偶数项同号，则 ，故C错误；对于D，若 为等比数列，则 ，所以 ，若 ，则 ；若 ，则 ，故D错误． 18．（2026·广东深圳·二模）已知等差数列 的前 项和为 ，首项 为 的最大值，则 的值可以为___________．（写出符合条件的一个值即可） 【答案】260（ 均可） 【分析】根据 为 的最大值得出公差 的取值范围，然后将 代入等差数列的前 项和公式计算 . 【详解】因为等差数列 首项 ，且 是前 项和 的最大值， 所以公差 ，且满足 ，根据等差数列通项公式可得： ，解得： ，再根据前 项和公式 可得： ，化简得： ，因此任取该区间内一个值即可，例如 . 19．（2026·河南郑州·二模）已知 为等差数列，记公差为 ，前 项和为 ，当且仅当 时 取得最大值，则 的取值范围为______． 【答案】 【分析】由题可得 ，据此可得答案. 【详解】因 ，且 存在最大值，则 ，又 仅在 时取最大值，则 前7项为正数，从第8项开始为负数，从而 . 20．（2026·广东清远·二模）已知数列 中， ，则 ___________． 【答案】 【分析】先判断出数列 是等差数列，求出其首项和公差，再利用公式求和即可. 【详解】因为 ，所以 ，所以 ， 所以数列 是等差数列，首项为6，公差为3，所以 21．（2026·山东日照·二模）已知数列 的前 项和为 ，且 成等差数列． (1)求数列 的通项公式； (2)已知数列 是公差为2的等差数列，且 ．若将数列 中去掉数列 的项后余下的项按原顺序组成数列 ，求 的值． 【答案】(1) (2)1176 【分析】（1）根据等差中项的性质以及 和 的关系即可求解； （2）首先求出 的通项公式，然后令 ，可得所有 的 都在 中，最后根据去掉的项利用分组求和即可求解. 【详解】（1）由等差数列性质得： ①， 当 时， ，解得 ，当 时，有： ②， ①-②得： ， 整理得： ， 因此 是首项为 ，公比为2的等比数列，故 . （2）设 ，代入 得： ， 因此 ， 是首项为 ，公差为 的等差数列， 令 ，即 ，得 ， 为正整数， 故所有 的 都在 中（ 小于 ，不在 中）， 要得到 的前30项，即从 前 项中去掉 个属于 的项，满足 ， 去掉的项为 ，共 个（ ，故 不在 的前35项中）， 故 ，即 的前30项和等于 前35项和减去5个 的和， 前35项和： ， 去掉的5个 的和： ， 因此 . 22．（2026·陕西·二模）已知数列 满足 ． (1)求 的前 项和 ； (2)记数列 的前 项和为 ，若 ；证明数列 为等差数列，并求出 的通项公式； 【答案】(1) ；(2)证明见解析， 【分析】（1）分 和 两种情况求解， 时 利用等差数列求和公式求解； （2）根据 与 的关系得到数列 的递推关系式，再根据等差数列的定义进行证明，利用等差数列的通项公式求解. 【详解】（1）当 时， ，当 时， ，则 ； （2）由 ，当 时， ，即 ； 当 时， ，所以 ， 则 ，所以数列 是以0为首项，以 为公差的等差数列，则 ， 即 . 23．（2026·河北·二模）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ． (1)求数列 的通项公式； (2)在 与 之间插入 个数，使这 个数成等差数列，公差记为 ，设 ，求数列 的前 项和． 【答案】(1) ；(2) 【分析】（1）根据递推公式求出 及 的关系，从而可判断数列 的特征； （2）首先求出数列 的通项公式，观察可知需要通过错位相减法求解其前 项和． 【详解】（1） ， 当 时， ，解得 ． 又 当 时， ， ， ， 数列 是以2为首项，2为公比的等比数列． ． （2） ，由题意知 ， . ，设数列 的前 项和为 ， ， ， 则 ，两式相减得： ， 即 ， ． 24．（2026·福建厦门·二模）记数列 的前 项和为 ，已知 ． (1)证明 是等差数列，并求 ； (2)记数列 的前 项和为 ，证明： ． 【答案】(1)证明见解析， (2)证明见解析 【分析】（1）利用 ，结合等差数列的定义即可求解； （2）使用等差数列前 项和公式求得 ，再使用裂项相消结合 的取值范围即可得证. 【详解】（1）当 时， ， 则 ，即 ， 由于 ，所以 ， ，解得 ， ， 所以 是首项为3，公差为2的等差数列，得证，即 . （2）由（1）知， ，所以 ， 则 ， 即 ，又因为 ，所以 ，故得证. 25．（2026·广东惠州·二模）已知数列 的前 项和为 . (1)求 的通项公式； (2)设 ，数列 的前 项和为 ，若 ，求 的最大值. 【答案】(1) ；(2) 【分析】（1）根据 和 的关系求解即可； （2）求出 ，采用裂项相消法求出前 项和为 ，解 ，即可得到答案. 【详解】（1）由条件有 时， ，又 ，所以 ， ，则 ，经检验， 满足 ，所以 的通项公式 . （2）由（1）得数列 EMBED Equation.DSMT4 则 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 因为 ，所以 ，又 ，故 的最大值为 . SHAPE \* MERGEFORMAT 1．（2026·广东湛江·二模）已知等比数列 的各项均为正数，且 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由等比数列的性质得 .由于 的各项均为正数，所以 . 2．（2026·吉林·二模）在等比数列 中， ， ，则 （   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】B 【详解】设等比数列公比为 ，由 ，得 ， ， .由 ，得 ，即 ，因 ，故 ，则 . 3．（2026·山东东营·二模）已知 是等差数列， 是等比数列，且 ，则 （   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】C 【详解】由题可知 ，则 ， ， ，解得 ， ． 4．（2026·四川广元·二模）等比数列 的前 项和为 ，且 ，则公比 （    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【分析】先分类讨论 和 ，再根据等比数列求和公式列出方程即可求解． 【详解】若 ，则 ，不合题意舍； 所以 ，则 ． 5．（2026·河北张家口·二模）已知公比为整数的等比数列 的前 项和为 ，且 ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出等比数列的公比 ，根据题意列出方程，解得首项和公比，再由等比数列的求和公式计算即可得到． 【详解】设 的公比为 ，由 得 ， 所以 .当 时， ，解得 或 .又 是整数， 所以 ；当 时， ，解得 ，此时 不是整数， 所以 ，A，B错误； ，所以C错误，D正确. 6．（2026·重庆·二模）已知等比数列 的首项 ，公比 ．若 是数列 的前 项积，则 取得最大值时 的值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【详解】由题意可知 ，可知等比数列 为单调递减数列，由 ，要使 取得最大值，需满足 ，则 ，即 且 ，即 且 ，因为 ，所以当 时满足要求. 7．（2026·重庆渝中·二模）已知正项等比数列 单调递增， 是其前 项和， ， ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助等比数列定义计算可得其公比，再计算出其首项后利用求和公式计算即可得. 【详解】设数列 的公比为 ，则 ，即 ， 即 ，解得 或 ，由数列 单调递增且 ，故 ，所以 ， . 8．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）已知数列 是等比数列，若 ，则 （    ） A．13 B． C．7 D． 【答案】B 【详解】因为数列 是等比数列，若 ，则 ，与题设条件不符，所以 ； 当 时，所以 ，即 ，所以 . 9．（2026·安徽淮南·二模）平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案.其画法是：取第一个正方形 各边的四等分点 ， ， ， 作第二个正方形，再取正方形 各边的四等分点 ， ， ， 作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，如图所示.设正方形 边长为 ，后续各正方形边长依次为 .若 ，则 等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意判断 为等比数列，求出通项公式，代入求解即可. 【详解】由题意可知， ，易知 ，所以 .又 ， 所以数列 是以1为首项， 为公比的等比数列，所以 ，故 . 10．（2026·山西太原·二模）已知 分别是等差数列和等比数列，其前 项和分别是 和 ，且 ， ，则 （    ） A．5或11 B．7或13 C．9或18 D．12或21 【答案】D 【详解】设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ， 因为 ，所以 ， ， ， ， ，即 ，化简可得 ，因为 ，即 ，代入可得 ， 化简可得 ，解得 或 ， ，代入可得 或 . 11．（2026·重庆九龙坡·二模）某科技公司研发人工智能大模型， 训练该模型每月消耗的算力 (单位:千 PFLOPS・天)是前一个月的固定倍数，且始终保持增长. 观测到第4个月消耗的算力为4， 第3个月与第5个月消耗的算力之和为10 . 则（   ） A．第3个月消耗的算力为1 B．前5个月消耗的总算力为16 C．第7个月消耗的算力比第4个月增长300% D．前8个月消耗的总算力与第4个月消耗的算力比值为 【答案】D 【详解】对于A：因为每月消耗的算力是前一个月的固定倍数，且始终保持增长，说明每月消耗的算力构成了一个公比 的等比数列，设第 个月消耗的算力为 ，则 ；已知 ， ，得： ，即 ，解得 或 ， 又因为 ，所以 ， ，故A错误； 对于B：已知 ， ，所以 ， ， ， ， 前 个月消耗的总算力为 ，故B错误； 对于C： ，增长率 ，故C错误； 对于D： ， ，故D正确. 12．（多选）（2026·辽宁辽阳·二模）已知等比数列 的公比为q， ， ， 是 的前n项和，则（    ） A． B． C． D． 的最小值是 【答案】ACD 【分析】应用等比数列通项公式计算判定A，B，应用 计算判定C，应用等比数列求和公式计算判定D. 【详解】因为等比数列 的公比为q， ， ，则 ，所以 ，B选项错误； ，所以 ，A选项正确；因为 ，所以 ，所以 ，C选项正确； ，当 为偶数时， 单调递增， 的最小值是 ，当 为奇数时， 单调递减，所以 ，综上， 的最小值是 ，D选项正确； 13．（多选）（2026·甘肃酒泉·二模）已知等比数列 的首项 ，公比为 ，前 项和为 ，且满足 ，则下列说法正确的有（    ） A． 的可能取值有3个 B．若 ，则数列 是递增数列 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】AC 【分析】根据给定条件，求出 的所有可能值，再逐项判断即可. 【详解】在等比数列 中，由 ，得 ，则 ， 即 ，当 时， ，解得 ，当 时， ，解得 或 ，对于A， 的可能取值为 ，有3个，A正确； 对于B，当 时， 或 ，而当 时， ， ，数列 是常数列，不是递增数列，B错误；对于C，当 时， ， ，C正确；对于D，当 时， 或 ，而当 时， ，D错误. 14．（多选）（2026·安徽滁州·二模）已知等比数列 的公比为 ，前 项和为 ，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． ， ， 成等比数列 D．若 ，则 【答案】BC 【详解】对于A，当 时， 无意义，A错误； 对于B， EMBED Equation.DSMT4 ，B正确； 对于C，若 ，则 ， ， ， 因为 ，所以 ， ， 成公比为 的等比数列；若 ，则 ， ， ，所以 ，所以 ， ， 成公比为 的等比数列，C正确；对于D，当 时， ,对于任意的 都满足 ，但 不一定成立，D错误. 15．（2026·陕西咸阳·二模）设等比数列 的前 项和为 ，若 ， ，则 ______． 【答案】255 【详解】设 的公比为 ，由 ，得 ，解得 , 所以 ． 16．（2026·上海闵行·二模）已知等比数列 的公比为 ，若 ，则 的取值范围是______. 【答案】 . 【详解】根据题意可知 ，即 或 .因为 ，所以 .所以 . 故 取值范围为 . 17．（2026·湖北十堰·二模）已知等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，其中 ，若 ，且存在 ，使得 ，则 ______； ______．（用 表示） 【答案】 【分析】根据 ，结合 ，可得 ，进而可求出 ，再根据 ，求出 的表达式，再结合 ，即可求出 ，再根据等差数列前 项和公式即可得解. 【详解】由题意， ，由 ，即 ，所以 ，由 ，可得 ，所以 ，所以 ， 又 ，所以 ，因为存在 ，使得 ，即 ， 所以 ，因为 ，且 ，所以 ，即 ，所以 ， 所以 ，所以 . 18．（2026·上海崇明·二模）已知首项为1的等比数列 满足对任意的正整数m，n都有 ，则等比数列 的公比q的取值范围是________． 【答案】 【分析】取特殊情况结合指数函数与一次函数性质可得 ，再证明 时，对任意的正整数m，n都有 恒成立即可得. 【详解】由题意可得 ，取 ，当 时，有 ， 当 时，有 ，故 ；若 ，则当 时，指数函数增速会大于一次函数，故 不可能恒成立，故 ；综上可得 ；下证充分性： 当 时，不妨设 ，则 ，故需满足 ，即 ， 令 ，则只需满足数列 为非递减数列即可， ， 由 ，则 ， ，则 ， 故数列 为非递减数列，即 时符合题意. 19．（2026·山西吕梁·二模）设各项均为正数的等比数列 的前n项和为 ， ， . (1)求数列 的通项公式； (2)设 ，证明： . 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用基本量法可求首项与公比，故可求通项公式； （2）求出 的通项，利用裂项相消法结合不等式的性质可证题设中的不等式. 【详解】（1）设公比为 ，则 ，故 ，故 . （2） ，故 ， 所以 . 20．（2026·浙江嘉兴·二模）已知数列 ， ， ． (1)求证：数列 为等比数列，并求数列 的通项公式； (2)求数列 的前n项和 ． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】(1)通过配凑可得到；(2)依据数列的特征，用错位相减法即可求得. 【详解】（1） ，且 因此， 是以 为首项， 为公比的等比数列， （2）由（1）： ，因此 令 ， 两式相减得： ，所以， . SHAPE \* MERGEFORMAT 1．（2026·广西河池·二模）小明假期在一家文具店兼职打工，文具店第1天支付给他30元，由于小明工作认真努力，从第2天起，文具店老板决定每天支付给小明的金额都是前一天的1.2倍．小明一共工作了10天，则他领到的总报酬为（   ）元．（参考数据： ） A．778.5 B．624 C．185.7 D．154.8 【答案】A 【分析】根据等比数列的求和公式，代入数据，即可得答案. 【详解】设第n天的报酬为 ， ，由题意， 是以首项 ，公比 的等比数列，则工作了10天，他领到的总报酬 . 2．（2026·广东揭阳·二模）已知数列 满足 ，且 ，则数列 的前 项和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由 ， ，则数列 是以2为首项，2为公比的等比数列，所以 ， 则 ，所以数列 的前 项和为 EMBED Equation.DSMT4 . 3．（2026·山西太原·二模）已知数列 的前 项和 ，若 为正整数，则 （    ） A．4052 B．2026 C． D． 【答案】A 【分析】先根据条件求解出 的通项公式，然后表示出 并结合 即可求解出结果. 【详解】因为数列 的前 项和 ， 当 时， ， 当 时， ，符合 的情况，所以 ， . 4．（25-26高二下·安徽阜阳·月考） 表示不超过 的最大整数，如[ ， ，若 的通项公式为 ，则数列 的前10项和为（   ） A．-16 B．-15 C．-12 D．-10 【答案】C 【分析】根据原数列可得 ，再结合取整函数的性质逐项求解并求和即可. 【详解】已知 ， 则 ，根据取整函数性质： 对任意整数 ， ，因此 .由 从 到 ，依次计算得： 所以 . 5．（2026·浙江宁波·二模）数列 满足： 为 的前 项和，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据递推关系，找到 的周期，根据周期性，逐一分析各个选项，即可得答案. 【详解】由递推关系得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，所以 的周期为12，则 ，故A正确，B错误；一个周期内的和为 ，则 ，故C、D错误. 6．（2026·山东泰安·二模）已知等比数列 的公比大于1，前 项和为 ，则 （    ） A．2 B．3 C．4 D．9 【答案】B 【分析】设等比数列的公比为 ，令 ，则可由 求出 ， ， 关于 的表达式，再由条件求出 ，进而得到 ． 【详解】设等比数列的首项为 ，公比为 ，其中 ．则 ，由 ，得 ．令 ，则 ．由上式可得 ， ， ，由题意得 ，因为 ，所以 ．化简得 ．解得 或 ． 又 ，所以 ，故 ． 7．（2026·四川·二模）已知数列 的前 项和为 ，则下列说法正确的是（ ） A．若 ，则 B．若数列 为等差数列， ， ，则 时， 最大 C．若数列 满足 ， ，则 D．若 ，则数列 的前 项和小于 【答案】B 【详解】选项A：已知 ，当 时， ，解得 ， 当 时， ， ， 两式相减得： ，则 ，故数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， ，故A错误；选项B：由 ，可得 ，又 ，故得 ， ，故数列前 项为正，第 项起为负， EMBED Equation.DSMT4 在 时取得最大值，故B正确；选项C：已知 ， ，故 ，即 ， 数列 是首项为 ，公差为1的等差数列，则 ，解得 ，则 ， 故 ，故C错误； 选项D：当 时，数列的第一项为 ， 且对于 ，因 ，即 恒成立，故前 项和不可能小于 ，故D错误． 8．（2026·四川·二模）在数列 中， ， ， 为 的前 项和，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知通项公式变形构造新数列，结合累加法分组求和以及等差数列求和公式分析求解即可. 【详解】由 ，两边同时除以 得： ， 即 ，令 ，则 ， 所以 ， 所以 ， ， ， ，累加得： ， 又 ，所以 ， 由 ，所以 ， 所以 9．（2026·江苏镇江·二模）已知数列 满足 ， ， ， 为其前n项和，则下列选项正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】先根据已知的递推公式求出数列的前几项，进而分析数列的规律，再逐一分析选项即可. 【详解】选项A：因为 ，所以： 当 时， ，当 时， ， 当 时， ，当 时， ， 所以 ，故A正确； 选项B：由 可得：当 为偶数时， ， 则 ， ， ， 将 代入 ，可得 ，再将 代入上式可得 ，故B正确； 选项C： ， 因为 ， ， ，…，所以 包含奇数项和偶数项，因为 只包含偶数项， 所以 ，故C错误；选项D：当 时， ， ， 所以 ，假设当 时， 成立，当 时， ， 因为 ，所以 ， ， ， 则 ， ，综上 ， 即 ，所以 ，故D正确. 10．（2026·福建·二模）已知公差为 的等差数列 的前 项和为 ，公比为 的等比数列 的前 项和为 ，且 ， ．下列命题正确的是（   ） A．当 时， B．当 时， C．当 时， D．当 时，集合 可能有三个元素 【答案】ACD 【分析】对于选项A，可对 与 进行分组比较，利用等差数列与等比数列的性质即可； 对于选项B，可以举反例，例如 时，进行说明； 对于选项C，与选项A类似，对 与 进行分组比较，利用等差数列与等比数列的性质即可； 对于选项D，考虑等差数列与等比数列对应的函数交点情况即可. 【详解】对于选项A，当 时， ，由 ， 从而 ，得 ， ， ， 而 由 得 ， ，从而 ， 即得 ，同理 ， ， ， 从而 ，选项A正确；对于选项B，当 时， ，此时 ， ，公差 ，选项B错误；对于选项C， ， ，而 当 ， ， ，从而 ， 即得 ，同理 ， ， ， 从而 ，选项C正确；对于选项D，当 时，由等差数列对应的是一次函数，等比数列对应的是指数型函数；如图 是数列 对应的函数图象(离散的点）， 是数列 对应的函数图象（ 取奇数）， 是数列 对应的函数图象（ 取偶数）， 图中两个交点分别代表 ， ，由指数函数的增长性知 与 在后面还可能有符合条件的交点，即集合 可能有三个元素，选项D正确. 11．（2026·河北唐山·二模）已知欧拉函数 的函数值等于所有不超过正整数 ，且与 互质的正整数的个数，例如： ；记集合 中元素个数为 ，则数列 前 项和为__________． 【答案】 【分析】由欧拉函数的定义可求出 ，进而得到 ，可得 ，再根据错位相减法求和即可. 【详解】因为3为质数，在不超过 的正整数中，所有能被3整除的正整数的个数为 ， 则 ，即 ， 所以集合 当 时，集合为 ，则 ；当 时，集合为 ，则 ； 当 时， ，则 ， 综上所述， ，则 ，设数列 前 项和为 ， 当 时， ；当 时， ， 则 ，两式相减得， ， 则 ,显然 满足上式，则 . 12．（2026·浙江金华·二模）数列 中， ， ，记数列 的前n项和为 ，则 ______． 【答案】 【分析】先根据累乘法求出 的通项公式，然后根据裂项法求出 ，最后再计算 . 【详解】 ， . ， 又 ， . . . . 13．（2026·上海金山·二模）已知 是数列 的前 项和，且 ， 且 ．若 EMBED Equation.DSMT4 ，则 __________． 【答案】 【详解】因为 ， ， ， ， . 所以 . 设 ，则 . 所以 EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 . 14．（2026·河南开封·二模）已知集合 ， ，将 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列 ．记 为数列 的前n项和，若 且 ，则 __________． 【答案】1150 【分析】根据给定条件，确定不大于 的集合 中元素个数，不大于 的集合 中元素个数，再列出方程并确定其整数解，利用等差数列、等比数列前n项和公式求解. 【详解】依题意， ，由 ，令 ，显然集合 中小于 的元素有 个，集合 中不大于 的元素有 个，因此 ，由 ，令 ， 同理 ，于是 ， ，令 ，则 ，由 ，得 ，则 ， 又数列 单调递增，而 ，因此 ， 当 时， ，解得 ；当 时， ，无整数解； 当 时， ，无整数解；当 时， ，无整数解， 则 ， ，集合 中小于 的元素有32个，它们的和为 ，集合 中不大于 的元素有6个，它们的和为 ，所以 . 15．（2026·安徽滁州·二模）已知数列 的通项公式是 ，去掉数列 中的 后余下的项构成新的数列 ，则数列 的前 项和 ________． 【答案】 【分析】由题意知数列 是等差数列，先求出数列 的前 项和为 ，再结合题意减去 的前 项和为 即可得答案. 【详解】因为数列 的通项公式是 ，所以 ，即数列 是等差数列，所以数列 的前 项和为 ，因为 ，依然为等差数列，所以 的前 项和为 ，所以数列 的前 项和 . 16．（2026·山东日照·二模）已知数列 的前 项和为 ，且 成等差数列． (1)求数列 的通项公式； (2)已知数列 是公差为2的等差数列，且 ．若将数列 中去掉数列 的项后余下的项按原顺序组成数列 ，求 的值． 【答案】(1) (2)1176 【分析】（1）根据等差中项的性质以及 和 的关系即可求解； （2）首先求出 的通项公式，然后令 ，可得所有 的 都在 中，最后根据去掉的项利用分组求和即可求解. 【详解】（1）由等差数列性质得： ①，当 时， ，解得 ， 当 时，有： ②，①-②得： ， 整理得： ， 因此 是首项为 ，公比为2的等比数列，故 . （2）设 ，代入 得： ， 因此 ， 是首项为 ，公差为 的等差数列，令 ，即 ，得 ， 为正整数，故所有 的 都在 中（ 小于 ，不在 中）， 要得到 的前30项，即从 前 项中去掉 个属于 的项，满足 ， 去掉的项为 ，共 个（ ，故 不在 的前35项中）， 故 ，即 的前30项和等于 前35项和减去5个 的和， 前35项和： ， 去掉的5个 的和： ， 因此 . 17．（2026·广东汕头·二模）数列 的前三项均为 ， 是公比为3的等比数列，且 . (1)求 的前 项和 ； (2)求 . 【答案】(1) ；(2) 【分析】（1）根据题意结合等比数列通项公式可得 ， ，结合等差数列求和公式运算求解； （2）整理可得 ，利用累加法结合等比数列求和公式运算求解. 【详解】（1）因为 是公比为3的等比数列，且 ， 又因为 ，则 ，可得 ，则 ，可得 ，所以 . （2）因为 ，即 ，则 ，可得 ， 则 EMBED Equation.DSMT4 ，所以 . 18．（2026·河南濮阳·二模）已知数列 的前 项和 ． (1)求数列 的通项公式； (2)求数列 的前90项和． 注意：这里 表示角度， 【答案】(1) (2)45 【分析】（1）根据 求出数列的通项公式即可. （2）先列出数列 的前90项和，然后利用三角函数的二倍角公式进行化简，进而求出结果. 【详解】（1）当 时， ， 当 时， ，当 时满足，故 . （2）设数列 的前90项和为 ，又 ， 则 EMBED Equation.DSMT4 因为 ，所以 ，所以 . 19．（2026·四川攀枝花·二模）已知数列 的前 项和为 ， ， ． (1)证明： 是等比数列，并求出 的通项公式： (2)求数列 的前 项和 ； (3)若 ，求 的取值范围． 【答案】(1)证明见详解； (2) (3) 【分析】（1）由 与 关系结合题意可得 ，据此可完成证明；进而求出 的通项公式； （2）由（1）结合错位相减法可得答案； （3）根据（1）得到 ，根据作差法得到数列的单调性，再求范围即可. 【详解】（1）已知 ，故 ，当 时， . 因为 ，代入 ，整理得 . 因此 是首项为 、公比为 的等比数列，所以 ，故 . （2） ，两边同乘 ​得 得， ，整理得 . （3）由 ​得 ，设 ​， 对任意正整数 恒成立， 只需 的最大值. ， 当 时， ，即 ；当 时， ，即 ， 故 最大值为 .因此 的取值范围为 . 20．（2026·上海静安·二模）已知等差数列 的首项 ，公差为 ，等比数列 的首项 ，公比为 ，数列 满足 （n为正整数）． (1)依次写出数列 的前 项； (2)设数列 的前 项和为 ，求 ． 【答案】(1)数列 的前 项依次为 ；(2) 【分析】（1）先根据等差数列、等比数列的通项公式，分别求出 和 的通项，再按 ​的分段定义，依次代入 到 ，区分奇偶项计算得到前 项； （2）将 ​拆分为前 项中的奇数项和与偶数项和两部分：奇数项是 的前 个奇数项，构成新等差数列，用等差数列求和公式计算；偶数项是 的前 个偶数项，构成新等比数列，用等比数列求和公式计算，最后将两部分和相加得到 ​． 【详解】（1）根据题意可得 ， ， 所以 ， ， ， ， ， ，所以数列 的前 项依次为 ． （2） EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ．所以 ． 21．（2026·陕西·二模）已知数列 满足 ． (1)求 的前 项和 ； (2)记数列 的前 项和为 ，若 ；证明数列 为等差数列，并求出 的通项公式； 【答案】(1) (2)证明见解析， 【分析】（1）分 和 两种情况求解， 时 利用等差数列求和公式求解； （2）根据 与 的关系得到数列 的递推关系式，再根据等差数列的定义进行证明，利用等差数列的通项公式求解. 【详解】（1）当 时， ，当 时， ，则 ； （2）由 ，当 时， ，即 ； 当 时， ， 所以 ，则 ，所以数列 是以0为首项，以 为公差的等差数列， 则 ，即 . 22．（2026·山东济宁·二模）记 为数列 的前 项和，已知 ， . (1)求数列 的通项公式； (2)记 为数列 的前 项和，求 . 【答案】(1) ；(2) 【分析】（1）利用 ，应用累乘法计算即可求解； （2）利用分组求和及等差数列求和公式计算求解即可. 【详解】（1）因为 中， 且 ， 当 时，所以 ， 所以 ，化简得 ，即得 ， 所以 ，所以 ， 当 时，所以 ，综上， ； （2）由（1）可得 ， 即得 ， ， ， ，所以 . SHAPE \* MERGEFORMAT 1．（2026·浙江宁波·二模）设 是 与 的等差中项，则 的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【详解】因为 是 与 的等差中项，则 ,即 ， 所以 。 2．（2026·浙江宁波·二模）已知幂函数 是非奇非偶函数，令 ，记数列 的前 项和为 ，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由 ，解得 或 ，再由 为非奇非偶函数，确定函数 ,然后再利用裂项相消法求解. 【详解】由题意得： ，解得 或 ，而当 时， 为偶函数，不合题意；当 时， 为非奇非偶函数，符合题意，则 ，则 ． 3．（2026·江苏盐城·二模）已知正项等比数列 满足 ，若存在两项 ，使得 ，则 的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先由条件可得公比和 ,进而再用基本不等式可得最小值. 【详解】设正项等比数列的公比为 ，通项为 .由 ，代入通项得 两边同除以 ，整理得 , 解得正根 （负根舍去）.再由 得 ，整理得 化为指数形式 ， 即 ，得 . EMBED Equation.DSMT4 ，等号成立条件： 且 ，解得 ，均为正整数，符合条件.因此 的最小值为2. 4．（2026·湖北孝感·二模）已知数列 是各项均为正数的等差数列，且公差 ；数列 是各项均为正数的等比数列，且公比 ，若项数均为 项 ，下列说法正确的个数是（   ） ①数据 ， ， ，…， 的平均数是 ； ②数据 ， ， ，…， 的平均数是 ； ③若 ， ，则数据 ， ， ，…， 的中位数大于数据 ， ， ，…， 的中位数； ④若 ， ，则数据 ， ， ，…， 的平均数大于数据 ， ， ，…， 的平均数． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】根据等差、等比数列的性质，结合平均数、中位数的概念逐项判断即可. 【详解】对于①选项，设 的前 项和为 ， ， 所以数据 ， ， ，…， 的平均数是 ，故①选项正确： 对于②选项，当 时，取 为2，4，8，平均数为 ，故②选项错误； 对于③选项， ， ， ，…， 的中位数是 ， ， ， ，…， 的中位数是 ， ，故③选项正确；对于④选项，易知点 在直线 上，点 在曲线 上，因为 ，所以如下图所示： 由图可知，当 时， ，所以数列 的前 项和大于数列 的前 项和， 所以数列 的前 项的平均数比 的前 项的平均数大，④选项正确． 5．（2026·河北保定·二模）已知等比数列 中， ，则“ ”是“ 为 、 的等差中项”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据 为 、 的等差中项得出 ，结合 可求出 的值，结合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论. 【详解】一方面，若 ，由 可得 ， 此时 ，则 为 、 的等差中项， 所以“ ” “ 为 、 的等差中项”；另一方面，若 为 、 的等差中项，所以 ，所以 ，解得 ，故“ ” “ 为 、 的等差中项”.所以“ ”是“ 为 、 的等差中项”的充要条件. 6．（2026·西藏拉萨·二模）量子计算是当前科技前沿领域，其核心单元“量子比特”在物理实现上常采用能级结构．某种量子比特模型中，用递增离散能级 表示量子态，相邻能级间的能量差构成等比数列，即 （ ）．已知 （ 为基准能量单位）．则该量子比特从高能级 向低能级 跃迁时，可释放光子的频率（光子频率恰为能量差 ）不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的通项公式求出 ，逐项检验后可得正确的选项. 【详解】设 的公比为 ，因为 ， 所以 ，而 ，故 ，故 （舍）或 . 故 ，且 ，故 EMBED Equation.DSMT4 ， 对于A，令 ，故 ，因为 为奇数，故 ，故 ，此方程无正整数解，故A不可能为能量差；对于B，取 ，则 ，故B选项可为能量差； 对于C，取 ，则 ，故C选项可为能量差； 对于D，取 ，则 ，故D选项可为能量差. 7．（2026·河北沧州·一模）已知函数 的四个零点 ，恰好成递增的等差数列，则m的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】化简函数，利用偶函数得四零点，从小到大排序，依等差数列公差相等列式，换元运算，解得对数结果. 【详解】函数 ，定义域为 .又 ， 所以函数 为偶函数.当 时， ，令 ，得 ，显然 ， ，解得 或 .由 有四个零点，且函数为偶函数，故四个零点为 .因零点成递增等差数列，故排序为 ， 设公差为 ，则： ， ，即 ，化简得 ，两边同乘 得 ，故 . 8．（2026·广东东莞·二模）椭圆 的左、右焦点为 为坐标原点， 为椭圆上一点， ，且 成等比数列，则椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由椭圆的定义得 ，再结合 成等比数列得 ，再用坐标表示焦半径并结合 可得. 【详解】设椭圆半焦距为 ， ，左右焦点 . 由椭圆的定义得： ，因为 成等比数列， 故 ，即 ，得： . 对 两边平方： 代入 整理得： ①，由 ，得 . 所以 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ②， 联立①②得： ， ，即 ，因此， . 所以椭圆的离心率为 . 9．（多选）（2026·广东清远·二模）已知函数 满足对 且 ，若数列 满足 EMBED Equation.DSMT4 ，则（   ） A． B． C．数列 是等比数列 D． 【答案】ABD 【详解】对于A，令 ，可得 ，正确； 对于B，令 ，则 ，由 和 可得 ，正确；对于C，因为 EMBED Equation.DSMT4 ，令 ，则 ，即 ，所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，故错误；对于D，所以 . 10．（多选）（2026·湖南常德·二模）已知 成等差数列，若关于 的方程组 恰有 组解，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据条件可得直线 过定点 ，再结合题设条件，可将问题转化成 与直线 恰有 个交点，求出过点 且与 相切的直线方程，可得到 ，再对各个选项分析判断，即可求解. 【详解】因为 成等差数列，则 ，代入 得到 ， 整理得到 ，令 ，解得 ，所以直线 过定点 ，又由 ，得到 ，因为方程组 恰有 组解，则 与直线 恰有 个交点，设过点 的直线与 切于点 ，又 ，则 ，得到 ，解得 所以过点 且与 相切的直线方程为 ，即 ， 又 的斜率为 ，由图可知，要使 与直线 恰有 个交点，则 ，即 ，所以 ， ，故A和D正确， 取 ，显然满足 ，但 ，所以B错误， 取 ，显然满足 ，但 ，所以C错误. 11．（多选）（2026·四川广元·二模）如图，有一系列正三角形，设第 个正三角形 的边长为 ，其中， 在曲线 上， 为坐标原点， 在 轴上.记 为数列 的前 项和，则（    ） A． B．对任意的 ， C．数列 的前 项和为 D． 【答案】ACD 【分析】选项A：结合正三角形的性质求出 坐标，代入曲线 求解即可；选项B：结合正三角形的性质求出 坐标，代入曲线 得到 ，根据 与 的关系求出 ，进一步判断即可；选项C：由B求出 ，进而求出 ，结合裂项相消法求和即可；选项D：由 解析式代入求解即可. 【详解】选项A：由题意易知， ，则 ，即 ，解得 ，故A正确.选项B：易知 ，即 ， 则 ，即 ，则 ， 所以 ， 即 ，又 ，所以 ， 所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，所以 . 因为 ，故B错误.选项C： ，则 ，所以数列 的前 项和为 ，故C正确. 选项D： ，故D正确. 12．（多选）（2026·四川南充·二模）假设在一定的环境下，某种电子元件的寿命（单位：年）是一个取值为正整数的随机变量 ，且满足如下统计规律：对任意正整数 ，寿命恰好为 的元件在所有寿命不小于 的元件中的占比为10%.记事件 ，事件 ，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．设 ，则 D．设 ，则 【答案】ACD 【分析】设元件总数为 ，寿命为 年的元件数为 ，根据给定条件可得 ，进而求出 ，再结合条件概率公式及错位相减求和法逐项判断. 【详解】设元件总数为 ，寿命为 年的元件数为 ，依题意， ， 整理得 ，则 ， 两式相减得， ，因此 ，而 ，则数列 是首项为 ， 公比为 的等比数列， ，对于A， ，A正确；对于B，由 ，得 ，则 ，B错误； 对于C， ，C正确； 对于D， ，设 ， 则 ， ， 两式相减得 ，因此 ，D正确. 13．（多选）（2026·河南濮阳·二模）已知定义在 上的函数 满足： ，其中[x]表示不超过 的最大整数．当 时， ，设数列 满足 ，数列 为 从小到大第n个极小值点构成的数列，下列说法正确的是（   ） A．数列 为等比数列 B． ，使得 C．数列 的通项公式 D． ，都有 【答案】AC 【分析】由题意可得 ，计算可判断A；由题意得 ，求解判断B；若 时，可得 ，求解计算可判断CD. 【详解】因为定义在 上的函数 满足： ，且 ， 所以 ，所以 ， 又 ，所以 是以 为首项，2为公比的等比数列，故A正确；所以 ，所以 ，若 ，得 ，解得 ，又 ，不存在 的值，所以不存在 ，使得 ，故B错误； 当 时，由 ，得 ，令 ，解得 ， 当 时， ， 在 上单调递减，当 时， ， 在 上单调递增，所以 是函数 的第一个极小值点.若 时，则 ，则 ，所以 ， ， 所以 ，即 递推得 ，求导得 ， 令 ，可得 ，解得 ，即 ， 当 时， ， 在 上单调递减， 当 时， ， 在 上单调递增， 所以 的第 个极小值点为 ，所以 ，即 ，故C正确； 所以第 个极小值为 当 时，极小值 ，故D错误. 14．（25-26高三上·山东青岛·期末）已知数列 的首项 ， ，则 ______． 【答案】 / 【分析】根据累加法结合余弦函数的周期性可求 . 【详解】由题设有 ，由累加法可得 ， ，即 ， ，故 EMBED Equation.DSMT4 ， ， ， ， 而 的周期为 ，故 是周期为 的数列， 且 ， 故 . 15．（2026·甘肃·一模）如图，若第1行数字的和记为 ，第2行数字的和记为 ，第 行数字的和记为 ，则 __________；若数列 的前 项和为 ，则 __________ 【答案】 【详解】由题意可知， ； 所以 . 16．（2026·上海嘉定·二模）已知正四面体上的四个面上分别写有1、2、3、4，游戏中甲、乙轮流抛掷该四面体，谁抛出底面数字等于4则获胜且游戏结束．甲先开始，则甲获胜的概率为___________． 【答案】 【分析】根据题意，求出甲在第 （奇数）次获胜的概率，再由等比数列求和得解. 【详解】由题意，甲抛掷一次获胜的概率为 ，失败的概率为 ，甲胜的概率分为无数种情况：第 次掷获胜，第 次掷获胜， ，第 次获胜， ，概率分别为 ， ，故 为以 为首项， 为公比的等比数列，故甲获胜的概率 . 17．（2026·广东广州·二模）我们把经过同一点且半径相等的圆称为共点等圆.在平面上过同一点 有 个共点等圆，其中任何两个圆都有两个不同的交点，但任何三个圆除点 外无其他公共点，记这 个共点等圆共有 个交点，若 ，则 __________. 【答案】21 【详解】过同一点 有 个等圆，当增加第 个圆时，第 个圆与前 个圆各有一个除 外的交点，因此递推关系为： ，当 时，三个等圆过同一点 ，每两个圆有 个交点，但 是公共点，所以除 外，每两个圆有 个交点，三个圆中两两组合的数量为 ，因此 ，由递推关系式可得： ， ， EMBED Equation.DSMT4 ，将这些式子累加得： ， 所以 ，又因为 ，所以 ，整理得： ，因式分解得： ，解得： 或 ，又 ，所以 . 18．（2026·湖南衡阳·二模）某大学数学系举办学科素养大赛，参赛选手在2小时内进行学科素养答题挑战赛，比赛规则如下：参赛选手的赛程按轮次进行，只有完成上一轮的答题才能进入下一轮，若连续两轮均答错，则挑战终止；每一轮随机地派出一道素养题或技能题，系统派出素养题的概率为 ，派出技能题的概率为 ．若某选手答对素养题的概率为 ，答对技能题的概率为 ，各轮答题正确与否相互独立．记该选手在第 轮答题结束时挑战依然未终止的概率为 ，记 ，则 __________． 【答案】 【分析】设事件 “一轮答题中系统派出素养题”，事件 “该选手在一轮答题中答对”，根据全概率公式求出 ，设事件 “第n轮答题结束时挑战未终止”，则当 时， ，所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，求解即可. 【详解】设事件 “一轮答题中系统派出素养题”，事件 “该选手在一轮答题中答对”， 依题意， ， 因此 ，所以该选手在一轮答题中答对题目的概率为 ．设事件 “该选手在第n轮答对”，由于各轮答题正确与否相互独立，所以 ，设事件 “第n轮答题结束时挑战未终止”，当 时，第n轮答题结束时挑战未终止的情况有两种： ①第n轮答对，且第 轮结束时挑战未终止； ②第n轮答错，且第 轮答对，且第 轮结束时挑战未终止， 因此第n轮答题结束时挑战未终止的事件可表示为 ， 则 ，而各轮答题正确与否相互独立， 因此 ， 即当 时， ，当 时， ， ， 所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列，所以 ，所以 ． 19．（2026·山东聊城·二模）记数列 的前 项和为 ，若满足 ， ，且 ． (1)求证： 是等差数列，并求 的通项公式； (2)设 ， 为数列 的前 项和，若 ， ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）由 ，得 ，将这两个等式作差结合等差中项法可证得结论成立，在等式 中令 ，可求出 的值，结合 可求得该数列的公差，再利用等差数列的通项公式可求得数列 的通项公式； （2）求得 ，利用裂项求和法可求得 的表达式，得出 ，结合题意得出 对 恒成立，于是得出关于 的不等式组，即可解得实数 的取值范围. 【详解】（1）由 ①，得 ②，②−①得 ③，则 ④，④−③得 ，即 ， 所以 是等差数列，设其公差为 ，由 ，得 ，所以 ． 因为 ，所以公差 ，所以 ． （2） EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 ．由 对 恒成立，得 ，即 ．设 ，由 对 恒成立， 得 ，解得 或 ，故 的范围为 ． 20．（2026·江苏镇江·二模）已知数列 的首项是 ，且 ． (1)证明数列 是等比数列，并求出数列 的通项公式； (2)若 ，求满足条件的最小整数n的值． 【答案】(1) ；(2) 【详解】（1） ， 所以 ，又 ，所以数列 是以首项为 ， 公比为 的等比数列，所以 ，可得 . （2）由（1）得 为等比数列，设数列的前 项和为 ， ， 所以 ，构造函数令 ，根据增函数减去减函数为增函数，可得函数为增函数， 为整数，所以当 ， ，不成立，当 ， 成立，所以满足条件的最小整数n的值为 . 21．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在自动驾驶系统的路径规划中,车辆的车道选择行为可用马尔科夫链模型描述.设道路只有两条车道,分别记为车道0和车道1.每隔一个固定时间步长,车辆会选择更换车道或者保持车道不变,记 为第 个时间步长车辆所在的车道（ ）.马尔科夫链的下一时刻状态仅取决于当前时刻状态,记 EMBED Equation.DSMT4 为一步转移概率,矩阵 为一步转移概率矩阵. 已知某自动驾驶模型的车道转移规律如下：若当前在车道0,下一时刻变道至车道1的概率为 ；若当前在车道1,下一时刻变道至车道0的概率为 . (1)已知 时刻车辆处于车道0的概率为 ,处于车道1的概率为 . ①写出该模型的一步转移概率矩阵 ； ②若 时刻车辆处于车道1,求 时刻车辆处于车道0的概率. (2)在第（1）问的初始概率条件下,记 （ ）,求随机变量 的分布列（结果用含 的式子表示）. 【答案】(1)① ；② (2) 0 1 【分析】（1）①结合概率矩阵的定义求解即可； ②根据条件概率公式及贝叶斯公式求解即可. （2）根据条件概率公式及全概率公式得到递推关系，进而求出 ，从而得到分布列. 【详解】（1）①由题意，车道转移概率：当前在车道0时，留在0的概率为 ，变道到1的概率为 ；当前在车道1时，变道到0的概率为 ，留在1的概率为 ； 因此一步转移的概率矩阵为 . ②设事件 ： 时刻车辆在车道0， ： 时刻车辆在车道1， ： 时刻车辆在车道1，已知 ， ， ， ， 由贝叶斯公式 . （2）设 ，由全概率公式得递推关系 ，则 ，首项 ，因此通项为： .所以 .故 的分布列为 0 1 22．（2026·青海西宁·二模）已知函数 ， ． (1)令 ，讨论 在 的单调性； (2)证明： ， . 【答案】(1)当 时， 在 上单调递减； 当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增. (2)证明见解析 【分析】（1）求导后，分 、 、 、 讨论即可； （2）构造函数 ，根据导数与最值的关系得到 ，当且仅当 ，等号成立. 令 ，得到 ，从而有 ，即 ，结合等比数列的前 项和公式即可证明. 【详解】（1） ， ，则 ， ①当 时， 恒成立，所以 在 上单调递减； ②当 时，令 ，则 ，解得 . 若 ，即 时， ，则 ，所以 在 上单调递增； 若 ，即 时，当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增； ③当 时， 在 上恒成立，即 在 上恒成立， 所以 在 上单调递减. 综上所述，当 时， 在 上单调递减；当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增. 令 ，则 ，令 ，则 ，当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增；所以当 时， 取极小值，所以 ，即 ，所以 ，当且仅当 ，等号成立.令 ，则 ， 所以 ，则 . 所以 . 综上， ， . 23．（2026·天津河西·二模）已知数列 是公差不为0的等差数列，且 ， 是 和 的等比中项，等比数列 的通项公式为 （其中 ，且 ）. (1)求 的前n项和 ； (2)设集合 ，对于 的每一个非空子集X，设其最小元素为x，最大元素为y. （ⅰ）设 为 所有非空子集对应的 之和，求证： ； （ⅱ）设 为 所有非空子集对应的 之和，且 ，求数列 的通项公式. 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【分析】(1)利用等比中项的性质求出 ，得到数列 的通项公式，利用错位相减即可求得 的前n项和 ； (2)（ⅰ）根据题意可得x是最小元素，则X中的其他元素只能从 这 个元素中选取.得到这样的子集X共有 个，从而得到 ，代入(1)问中 的结论，令 即可求解； （ⅱ）根据题意分析可得对于固定的最大元素y，所有对应子集的 之和为 ，代入（ⅰ）的结论 ，则 ，从而得到 ，利用等比数列的求和公式即可求解. 【详解】（1）由题意，设数列 的公差为 ，已知 ， 是 和 的等比中项， 所以 ，因为 ，所以 ，所以 ，所以 . 所以 ，①， ，② ①式减去②式（错位相减法）得 ， ， 因为 ，两边同除以 得： . （2）（ⅰ）假设非空子集X的最小元素为x（ ），则元素x必属于X. 因为x是最小元素，所以X中的其他元素只能从 这 个元素中选取， 这样的子集X共有 个.因此，在 的求和中， （即x本身）被累加了 次， 所以： ，将 直接代入(1)的结论中： ， ， 所以： 命题得证. （ⅱ）对于任意一个最大元素为y（ ）的子集X，它必定包含y，由于此时y固定， 也是一个常数，提取公因式后，只需要对这些子集的 （最小元素）求和， 设 ，其中Y是集合 的任意子集（可以是空集）， ①若 ，则 ，此时最小元素 ，对应的项为 ， ②若 ，则X的最小元素就是Y的最小元素，即 ， 对于情况②，当Y取遍 的所有非空子集时，其最小元素 的总和， 恰好就是（ⅰ）中的 .因此，对于固定的最大元素y，所有对应子集的 之和为： ， 代入（ⅰ）的结论 ，可得 ， 则 ， 因此，最大元素为y的所有子集，其 的和为 . 所以 ，因为 ，所以 ， 所以 ，整理得： . 24．（2026·甘肃酒泉·二模）某种微生物的繁殖规则如下：初始时刻有1个该微生物，每经过1个单位时间，每个现存的微生物独立地发生三种变化之一：①死亡，概率为 ；②保持1个，不繁殖也不死亡，概率为 ；③分裂为2个微生物，概率为 .当微生物的数量为0时，繁殖过程终止.设 为经过 个单位时间后，该微生物处于繁殖过程终止的概率. (1)求 的值； (2)令 ，证明： ； (3)在（2）的条件下，证明：对任意正整数 ，都有 . 【答案】(1) ； (2)证明见详解； (3)证明见详解. 【分析】（1）分直接死亡、保持一个、分裂为2个求概率，然后根据互斥事件的概率公式求解可得； （2）分直接死亡、保持一个、分裂为2个求出 的递推公式，将条件代入化简即可得证； （3）利用数学归纳法，结合函数 的单调性即可得证. 【详解】（1）由题知 ， 经过 个单位时间后，该微生物处于繁殖过程终止有三种互斥情况： 经过1个单位时间后生物直接死亡，概率为 ； 经过1个单位时间后生物保持一个后，再经过1个单位时间繁殖过程终止，概率为 ； 经过1个单位时间后分裂为2个微生物，再经过1个单位时间繁殖过程终止，概率为 . 所以 . （2）经过 个单位时间后，该微生物处于繁殖过程终止有三种互斥情况： 经过1个单位时间后生物直接死亡，概率为 ； 经过1个单位时间后生物保持一个，再经过 个单位时间繁殖过程终止，概率为 ； 经过1个单位时间后分裂为2个微生物，再经过 个单位时间繁殖过程终止，概率为 . 所以 ，因为 ，所以 ， 整理即得 . （3）当 时， ，此时 ，不等式成立； 假设 时， 成立.证右边 ： 设函数 ，易知 在 上单调递增， 因为 ，所以 ，即 ， 因为 ，所以 ，所以 ，右边成立； 证左边 ：因为 ，所以 ， 即 ，因为 ， 所以 ，所以 ，综上，当 时，不等式成立. 所以对任意正整数 ，都有 . 25．（2026·四川遂宁·二模）已知抛物线 的焦点为 ，其准线与 轴的交点为 ，抛物线 上存在点 满足 ，且 . (1)求 的方程； (2)记 ，过 的直线交 于 ，在抛物线 上按如下方式构造点列 ：连接 分别交 于另一点 . （i）设直线 与 轴交点的横坐标为 ，求数列 的通项公式； （ii） 为坐标原点，若 的外接圆与抛物线 交于第四点 ，试证明： 的重心在 轴上，且在 的右侧. 【答案】(1) (2)（i） ，（ii）证明见解析 【分析】（1）由抛物线的定义及三角形的面积即可求解； （2）（i）设经过 轴上点 的直线为 ，与抛物线 方程联立，得 ，因为直线 经过点 ，所以 ，因为直线 经过点 ，所以 ，得 ，即可求解； （ii）设直线 与 的交点为 ，因为四点 共圆，所以 ，即可求解． 【详解】（1）由题知 ，所以 ，不妨设点 在第一象限, 由抛物线定义知 到准线的距离为 ，所以 ，由 ，解得 ，所以 的方程为 . （2）（i）设经过 轴上点 的直线为 ，与抛物线 的两交点记为 ，联立 得 ，则 ，因为直线 经过点 ，所以 ，因为直线 经过点 ，所以 ，因为直线 和 经过点 ， 所以 ， 所以 ， 因为 ，所以 ， 当 为偶数时， ，当 为奇数时， ， 综上 ． （ii）设直线 与 的交点为 ，因为四点 共圆， 所以 ，设直线 为 ，联立 得 ，所以 ， ， 设直线 为 ，同理可得 ， 又 且 ，所以 ，所以 ， 则 的重心纵坐标为0，即 的重心在 轴上， ， 同理 所以 ， 联立直线 与 得 ， 所以 ，所以 的重心在 的右侧.    SHAPE \* MERGEFORMAT 1．（2026·四川眉山·二模）如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的和都等于同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做等和数列的公和．已知等和数列 中， ，公和为5，则 （    ） A．0 B． C． D．4 【答案】C 【分析】根据题意分析可知数列 是以2为周期的周期数列，结合周期性分析求解. 【详解】因为 （公和），所以 ，两式相减可得， ，可知数列 是以 为周期的周期数列，因为 ，所以 ，又公和为5，所以 ，所以 ， . 2．（2026·浙江嘉兴·二模）若数列 满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差依次排成一列，组成的新数列是一个公差为k的等差数列，则称数列 为“ 等差数列．已知 为“ 等差数列，且 ，则 （   ） A．91 B．111 C．121 D．133 【答案】B 【分析】设 ，可得 ，结合累加法即可求得 的通项公式，代入即可. 【详解】设 ，因为 为“ 等差数列，且 ，所以 是公差为2的等差数列，且 ，则 ，通过累加法可得：当 时， ， ，…， ，所以累加可得 ， 化简得： ，当 时， ，符合通项公式，所以 ，则 . 3．（2026·上海黄浦·二模）若无穷数列 的首项为1，且对任意的 ， 的前n项和都可以表示成 的两项之差，则称 为T数列，所有T数列组成的集合为T集．下列结论正确的是（    ）． A．任意一个T数列均不是等差数列 B．任意一个T数列均不是等比数列 C．T集中含有且仅含有有限个等差数列 D．T集中含有无穷多个等比数列 【答案】D 【分析】对于AC：举例说明即可，例如等差数列 的公差为 ，结合题意分析判断；对于BD：设等比数列 的公比为 ，结合零点存在性定理可知存在 使得 ，结合题意分析判断即可. 【详解】对于选项AC：例如等差数列 的公差为 ，则 ， ，注意到 能表示大于 的所有正整数， 且 为整数，必能用两个大于 的整数之差表示，所以等差数列 为T数列，且有无数个，故AC错误；对于选项BD：设等比数列 的公比为 ，则 ， 对于确定的 ，令 ， ，令 ， 因为 ，则 ，可知函数 在 内单调递增，且 ， ，可知函数 在 内有且仅有一个零点.即存在 使得 ，即 ，此时 ，对于不同的 ， 的零点可以看出方程 的解，即 与 在 交点的横坐标，当 变化时，由幂函数的图像可得交点的横坐标相异，故等比数列 有无数个，所以T集中含有无穷多个等比数列，故B错误，D正确；故选：D. 4．（2026·上海杨浦·二模）已知数列 ，给出以下定义：若存在常数 ，对于任意的 ，都有 ，则称数列 为“ -加速数列”，现给出下列命题： ①若 ，则对任意 ，数列 都不是“ -加速数列”； ②若数列 是“1-加速数列”，且 ， ，则数列 存在最小项； ③若数列 是“2-加速数列”，且 ， ，则存在 ，使得 ； ④正数列 是等比数列且公比 ，则 是“ -加速数列”的充要条件是 . 其中正确的命题是（    ） A．①②③ B．② C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】根据“ -加速数列”结合数列性质，等比数列概念及前 项和公式依次判断即可. 【详解】令 ，由题意可得常数 ，对于任意的 ，都有 成立， 对于①， ， ， 因为 ，所以 ，所以 成立，即 ， 因为 ，所以存在 ，使得 成立，即数列 都是“ -加速数列”，故①错误；对于②，若数列 是“1-加速数列”，则 ，所以数列 是常数列或单调递增数列，因为 ， 若 ，满足题意，即数列 是常数列， ，若数列 单调递增，则必有 ， ，即数列 先单调递减，后单调递增，故数列 存在最小项，故②正确； 对于③，若数列 是“2-加速数列”，则 ，且 ， 则 ，所以 ，即 ， 当 时， ，所以不存在 ，使得 ，故③错误； 对于④，若正数列 是等比数列，则 ，若 ，则 ，不等式 ，等价于 ，只要 ，数列 是“ -加速数列”；若 ，则 ，不等式 ，等价于 ，只要 ，数列 是“ -加速数列”；所以 是“ -加速数列”的充要条件不是 ，故④错误；综上所述：正确的命题是②. 5．（多选）（2026·江苏无锡·二模）大衍数列是中国古代数学中的数列，该数列在现代通信编码领域中得到应用．已知大衍数列 满足 ， ，则正确的有（   ） A． B． C． D．数列 的前10项和为110 【答案】AC 【分析】利用所给数列关系式计算可得A；得到 与 即可得B；由题意可得 ，结合累加法与等差数列求和公式计算可得C；并项求和结合等差数列求和公式可得D. 【详解】对于A，由题意可得 ， ， ， ， ， ，故A正确；对于B，因为 为偶数，所以 ，因为 为奇数，所以 ，所以 ，故B错误；对于C，因为 为偶数，所以 ，又因为 为奇数， ，所以 ，所以 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 ，故C正确； 对于D，设数列 的前 项的和为 ，由 ，则 ， 故 ，故D错误. 6．（多选）（2026·陕西商洛·二模）若数列 满足 （ ， 为常数），则称数列 为“调和数列”．已知各项均为正数的数列 满足 ，则下列说法正确的是（    ） A．数列 是“调和数列” B．数列 是递增数列 C．对任意的 ，都有 D．若 ，则 （ ） 【答案】ACD 【分析】利用已知递推式，结合“调和数列”定义判断选项A；利用已知递推式，结合已知条件判断选项B；利用等差数列性质结合均值不等式判断选项C；构造函数并求导，利用导数分析函数单调性，结合已知条件求解． 【详解】已知各项均为正数的数列 满足 ， ， 数列 是“调和数列”，故A正确；若 满足各项均为正数，且 ， 但 是递减数列，故B错误；已知 为等差数列，故 ， ，当且仅当 时取等号，故C正确；若 ，则 ，故 ，令 ，求导得 ， ，解得 ， ，结合 得 ， 在 上单调递减，在 上单调递增，则 ， ，即 在 时恒成立， （ ），即 ，即 ，即 ， ，故D正确． 7．（多选）（2026·山东日照·二模）对于无穷数列 ，若存在常数 ，使得对任意的 ，都有不等式 成立，则称数列 具有性质 ．则下列结论正确的是（   ） A．存在公差不为0的等差数列 具有性质 B．以1为首项， 为公比的等比数列 具有性质 C．若由数列 的前 项和构成的数列 具有性质 ，则数列 也具有性质 D．若数列 和 均具有性质 ，则数列 也具有性质 【答案】BCD 【分析】对选项A：设公差不为0的等差数列，写出相邻项差的绝对值的前 项和表达式，因为公差非零，所以判断该和是否能被常数 约束；对选项B：写出等比数列相邻项差的绝对值的前 项和，可利用等比数列求和公式判断该和是否有上界；对选项C：由 具有性质 ，得到 ，将其转化为 相邻项差的绝对值的和的形式，判断是否满足性质 ；对选项D：利用性质 的定义，结合不等式的放缩法则，判断 相邻项差的绝对值的前 项和是否有上界. 【详解】设 ， ，​对于A：若 是公差 的等差数列，则 ，因此 ，当 时， ，不存在满足条件的 ， A错误；对于B：等比数列的通项公式为 ， ，则 ， ，右侧为常数，取 即满足条件，B正确；对于C：若 具有性质 ，则存在 ，对任意 有， ，对 由三角不等式放缩： ，存在常数 满足条件，C正确；对于D：若 都具有性质 ，则二者一定有界： ， （ 为常数）， 对 的差放缩 ， 求和得： ，右侧为常数，满足性质 ，D正确. 8．（多选）（2026·江苏苏州·二模） 为首项为1的正项数列，前n项和为 ，如果对任意正整数 ，存在实数 使得 ，则称该数列为“ -数列”，则下列说法中正确的有（   ） A．若 是公差为2的等差数列，则 是“3-数列” B．若 是“2-数列”，则 可以是常数列 C．若 是"2-数列”，则对任意的正整数 ， D．对任意的 ， ，则“ ”是“ 是“ -数列”的充要条件 【答案】ABC 【分析】根据“ 数列”的定义可判断A；取常数列，判断B即可；根据“ 数列”满足的条件可得出相应不等式 ，可推出 ，即可判断C；举出反例即可判断D. 【详解】对于A，若 是首项为 、公差为 的等差数列，则 ，前 项和 ， 时等号成立 ，所以 ，即 是“ 数列”，故A正确；对于B，当 时， ， 成立，即 是“ 数列”时， 可能为常数列，故B正确；对于C，若 是“ 数列”，则 ，且 ，所以 ，则 ，故 ，由题意知当 ， ，结合 ，得 ，C正确；对于D，取 ， ， 满足 ，则 ， ，而 ，所以 不成立，因此“ ”不足以保证 是“ 数列”，D错误. 9．（多选）（2026·江西九江·二模）已知有穷数列 ，每一项均为0或1，且末项为1．若存在正整数 ，则称数列 为“ 数列”．记“ 数列”的所有项的和为 ，则（   ） A．若 为“20数列”，则此数列为0，1，0，1 B．若 为“ 数列”且 ，则 C．若 为“ 数列”且 （其中 ），则所有 的和为90 D．若 为“2k数列”，则 【答案】ACD 【详解】对于A， ，所以此数列为0，1，0，1，故A正确； 对于B，因为 ，所以 ，故B错误； 对于C，因为 EMBED Equation.DSMT4 ，所以 至少有2项，至多有4项，且恰有两项为1， 故所有 的和为： ，故C正确； 对于D，因为 且 ， 所以 ，当 时，所有 的和为 ， 当 时，所有 的和为 ， 当 时，所有 的和为 ， 当 时，所有 的和为 ， 所以 ，故D正确. 10．（2026·广东湛江·二模）若数列 （ ）满足 ，则称数列 为“ 和谐数列”.已知数列 是“ 和谐数列”，且 ，则满足条件的数列 的个数为______. 【答案】19 【详解】因为数列 是“ 和谐数列”，且 ，所以 共有6项，且 .若 ， ， ， 各项全为0，则满足条件的数列 只有1个；若 ， ， ， 有2项为0，1项为1，1项为 ，则满足条件的数列 的个数为 ； 若 ， ， ， 有2项为1，2项为 ，则满足条件的数列 的个数为 ，所以 的个数为 . 11．（2026·陕西咸阳·二模）行列式是近代数学中研究线性方程的有力工具，最简单的二阶行列式的运算定义如下： ．已知 是各项为正的等比数列， 是其前 项和，若 ，则 的值为________． 【答案】 【详解】由题意可得 ，即 ，设等比数列 的公比为 ， ∴ ，∴ ，∴ ． 12．（2026·广东江门·二模）若数列 满足 ，则称 为“ -拟等差数列”；若数列 满足 ，则称 为“ -拟等比数列”． (1)若数列 既是“2-拟等差数列”，又是“4-拟等比数列”，且 ，求 的通项公式． (2)已知 ， ， ，数列 是“ -拟等比数列”， 的前 项和为 ． （i）证明：存在 ，使得 是“ -拟等差数列”． （ii）证明： ． 【答案】(1) 或 ；(2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【分析】（1）设公差为 ，根据数列新定义得到方程，解出 值，最后验证即可； （2）（i）根据数列新定义得到方程，再构造常数列 即可证明； （ii）首先分析得 ，再对 分奇偶数讨论，再利用 的单调性，最后取值放缩即可. 【详解】（1）因为 是“2-拟等差数列”，所以 ，则 是等差数列，设 的公差为 .又 是“4-拟等比数列”，所以 ，即 ，即 .当 时，由 ，得 ； 当 时，由 ，得 . （2）（i）由“ -拟等比数列”的定义，取 ，得 ，即 ，得 ，所以 .由 可得 ，即 ，即 .所以 是常数列， ，即 ，即 是“ -拟等差数列”. （ii）由 ，得 ， 可知 是等比数列，首项为 ，公比为 ，故 . 当 为奇数时， ； 当 为偶数时， . 所以当 为奇数时， ； 当 为偶数时， .设 ，则 . 当 时， ，则 在区间 上单调递减； 当 时， ，则 在区间 上单调递增. 所以 ，即 ，当且仅当 时，等号成立. 取 ，其中 ，则有 ，即 ，即 ， 则 . 当 为奇数时， . 当 为偶数时， .综上， . 13．（2026·重庆·二模）已知正项数列 的首项 且满足： . (1)令 ，证明 是等差数列，并求 的通项公式； (2)设 是互不相同的正整数，求证： ； (3)记 .若对于任意 ，均存在正整数 ，使得 ，则称 具有“积回归性”.请判断数列 是否具有“积回归性”，并证明你的结论. 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析 (3)数列 具有“积回归性”，证明见解析 【分析】（1）通过变形公式 和数列 与 的关系即可求解，然后利用累加法可求数列 的通项公式； （2）通过放缩法即可求解； （3）根据题意得到 和 ，然后设 即可证明. 【详解】（1）由 可得 ，令 ，则 ，所以 ， ，因此数列 是以 为首项， 为公差的等差数列， 由 ， 因此当 时，有 ，得 由于 ，所以 ，所以 ，即 ， 当 时， ，符合上式，所以 ， 因为 是正项数列，所以 . （2）由（1）得 ，由于 是互不相同的正整数，不妨设 ， 显然 ，并且 在 时单调递减，所以 ，当 时， ， 当 时，由于 ，所以 ， 得 ， 即 ， 所以 ， 因此，对任意互不相同的正整数 ，都有 . （3）由（1）得 ，则 ， 对任意的 ， ， 所以 ，不妨设 ，则 ， 要使 ，即 ，得 ，即当 时，有 ，由于 ， 是正整数， 因此对任意 ，均存在正整数 ，使得 ，即数列 具有“积回归性”. 数列的递推公式 考点1 等差数列及其性质 考点2 等比数列及其性质 考点3 数列的前n项和问题 考点4 数列与函数、概率等知识的交汇问题 考点5 数列中的新定义问题 考点6 2 / 13 _1234569431.u$