精品解析：2026年湖南常德市中等职业学校对口升学联考数学试卷

2026年常德市中等职业学校对口升学联考 数学试卷 本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分120分. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 点到直线的距离为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式即可得解. 【详解】点到直线的距离为， 故选：. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为零，列不等式组可求解. 【详解】要使函数有意义，则满足 ，解得， 所以原函数的定义域为. 故选：C 3. 下列函数中，在定义域内为奇函数且单调递增的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据幂函数，指数函数，反比例函数及正弦函数的性质逐项判断即可得解. 【详解】对A选项，由幂函数的性质可知，在定义域内为奇函数且单调递增，故正确； 对B选项，由正弦函数的性质可知，在定义域内不具备单调性，故错误； 对C选项，由指数函数的性质可知，为非奇非偶函数，故错误； 对D选项，由反比例函数的性质可知，在,单调递增，但在定义域内不具备单调性，故错误. 故选：A 4. 已知角的终边过点，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据任意角的正弦函数和余弦函数的定义求值即可. 【详解】已知角的终边过点， 则， 则，， ， 故选：B. 5. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，结合圆的方程求得圆心坐标，结合圆的对称性，可判断圆心在直线上，将圆心代入直线计算求解. 【详解】因为圆，所以圆心坐标为， 又直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在直线上，即，解得. 故选：A. 6. 等差数列中，，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合等差数列的性质即可得解. 【详解】等差数列中，，， 则，解得， 故选：. 7. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 二项式展开式的第3项为 C. 若，则 D. 不等式的解集为 【答案】C 【解析】 【分析】根据子集的概念、二项式展开通项公式、指数函数与对数函数的单调性以及一元二次不等式的解法，求解即可. 【详解】选项A，集合M是N的子集，不代表N中的所有元素都属于M，故A错误， 选项B，根据二项式通项公式，故B错误， 选项C，由且在上单调递增，得， 由在上单调递增，且，所以，故C正确， 选项D，因为，所以不等式解集为，故D错误. 故选：C 8. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算以及共线定理求解即可. 【详解】因为向量，， 所以. 因为，所以，解得. 故选：D. 9. 设为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充要条件的定义及特殊角的三角函数值可判断结果. 【详解】取，满足，此时， 即； 取，满足，此时， 即. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 10. 正方体中，为线段中点，为线段上动点，有以下几个结论：则正确的是（ ） ①对任意，平面 ②为中点时 ③与平面所成角最小为. ④三棱锥体积为定值 A. ②④错误 B. ①③④错误 C. ①④正确 D. ①③④正确 【答案】C 【解析】 【分析】需逐一分析四个结论，利用线面平行、异面直线所成角、线面角、三棱锥体积等相关性质判断正误. 【详解】判断①，因为平面平面，且，， 所以平面成立，故①正确. 判断②，因为是正方形的对角线，当为线段中点、 为线段的中点时，与所成角为45°， 因为，所以与AC所成角也为45°，所以不垂直，故②错误. 判断③，过E作于G，因为平面平面， 所以平面，则就是与平面所成角. 当F移动到端点时，最长，此时与平面所成角最小， 设正方体棱长为2，则，， ，所以最小角大于，故③错误. 判断④，三棱锥体积 ， 其中：以BC为底，高是点F到 BC的距离，等于正方体的棱长，所以是定值. 三棱锥的高是点E到平面的距离，等于正方体的棱长，也是定值. 因此三棱锥体积为定值，故④正确. 故选：C 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 从编号为的学生中用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，若抽到的第一个学生的编号为6，则编号落在之间的被抽取学生的编号为______. 【答案】42 【解析】 【分析】根据系统抽样的概念求解即可. 【详解】根据题意得，系统抽样的间隔为. 则编号落在之间的被抽取学生的编号满足，解得， 则，进而编号为. 故答案为：42. 12. 从数字，，，，中任取3个不同的数字排成一个三位数，则该三位数为偶数的概率为______. 【答案】 【解析】 【分析】先算出总的三位数的个数，再分类讨论算出个位数字为零时和个位数字不为零时的偶数三位数的个数，代入古典概型公式即可得解. 【详解】因为在三位数中，百位数字不能为零，所以百位有种选法，十位和个位的选法有， 则三位数的个数有； 若该三位数为偶数， 则当个位数字为零时，偶数的三位数有， 当个位数字不为零时，百位数字也不能为零，则个位数字有种选法，百位数字有种选法，十位数字有种选法， 则此时偶数的三位数有个， 则偶数的三位数共有个， 所以概率为， 故答案为：. 13. 若，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式将已知转化为，再根据正弦函数的最值列不等式可求解. 【详解】由已知可得， 可化为：， 所以. 因为，所以， 即，解得， 所以的取值范围为. 故答案为： 14. 过点与点的中点且与直线垂直的直线方程为：______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出中点坐标，利用两点间斜率公式及两条直线垂直的性质求出所求直线的斜率，代入直线的点斜式方程即可得解. 【详解】点与点的中点为， 直线的斜率为， 则与直线垂直的直线斜率为， 所以所求直线方程为，化为一般式方程为， 故答案为：. 15. 已知函数是奇函数，是偶函数，且，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性即可求解. 【详解】因为函数是奇函数，是偶函数， 令得，，即， ． 故答案为：. 三、解答题（共7小题，第21、22为选做题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知数列的前项和满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据的关系求解；求数列的通项公式； （2）利用分组求和法，结合等比数列的求和公式求解. 【小问1详解】 当时，； 当时，， 经检验：时也满足上式， 综上所述：. 【小问2详解】 由（1）可知， 所以由分组求和法可得： ． 17. 如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，点C在圆柱下底面圆周上，是线段的中点．已知，． （1）求圆柱的侧面积； （2）求与所成的角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意在中，利用勾股定理可求，求得底面半径即可得解圆柱的侧面积． （2）由题意利用线面垂直的性质可知，利用线面垂直的判定可证平面，进而根据线面垂直的性质即可证明，从而得解． 【小问1详解】 由题意可得，，， 所以在中，， 所以底面半径， 所以圆柱的侧面积． 【小问2详解】 由题意可得， 又因为是圆柱的一条母线，可得底面， 因为底面， 所以， 因为，且，平面， 所以平面， 又平面， 所以，所以与所成的角为． 18. 学校开展禁毒安全教育测试，准备了4道禁毒专项选择题，其中3道基础禁毒题，1道拔高禁毒题.每位同学随机抽取2道题进行测试. （1）求该同学抽到的两道都是基础禁毒题的概率； （2）若同学每道题答对的概率都是，各题答题互不影响.设随机变量为答对的题数，求的概率分布列与的方差. 【答案】（1） （2）分布列见解析； 【解析】 【分析】（1）先计算从4道题中抽取2道的总情况数，再计算两道都是基础题的情况数，利用古典概型公式求解概率； （2）根据二项分布的概率公式计算分布列，并利用方差公式计算方差. 【小问1详解】 总共有4道题，随机抽取2道题的所有可能结果数为， 抽到两道都是基础禁毒题的结果数为 ， 所以抽到的两道都是基础禁毒题的概率. 【小问2详解】 随机变量为答对的题数，所以可能取值为0，1，2，且服从二项分布，所以有：， ， ，所以概率分布列为： X 0 1 2 的方差：. 19. 双曲线：的离心率是，点在双曲线上. （1）求双曲线的方程； （2）设斜率为的直线与交于，两点，若与圆相切，求证：. 【答案】（1） （2）详见解析 【解析】 【分析】(1)根据点在双曲线上可得，由可求，进而求得，代入双曲线的方程可得结果. （2）设直线的方程为，根据直线与圆相切，得出，联立直线与双曲线的方程，得出，，将以上各式代入，即可得出，从而得证. 【小问1详解】 由题知，得， . 故双曲线方程是. 【小问2详解】 设直线的方程为， 与圆相切，，即 ———① 由，得， 设，，则 ，，又， 故 ， 由①式可知， 故 【点睛】关键点点睛：本题采用设而不求的解题方法，将直线方程代入双曲线方程整理后，应用韦达定理求出，，并结合直线与圆相切，得出的代入计算出的值为0，从而得证． 20. 给出定义：对于函数，如果对于定义域内任意，都有，且满足，则称该函数为互补函数. （1）判断函数是否为互补函数，并说明理由； （2）若函数是定义在上的互补函数，且当时，，求：当时，函数的解析式. 【答案】（1）函数是互补函数，理由见详解. （2）当时，. 【解析】 【分析】（1）分两步验证：先判断函数定义域是否关于原点对称，再通过代数运算验证，以此确认函数是否为互补函数； （2）用 “互补函数”的关系式，通过设，得到，将代入已知的时的解析式求出，再代入定义式反推时的解析式. 【小问1详解】 定义域：函数的定义域为R，关于原点对称，满足定义的前提条件. 即，符合互补函数的定义，故函数是互补函数. 【小问2详解】 设，则，由题意，时， 因此：.因为是定义在R上的互补函数，满足， 所以：， 因此，当时，. 选做题：请考生在第21，22题中选择一题作答.如果两题都做，则按所做的第21题计分.作答时，请写清题号. 21. 在锐角三角形中，内角的对边分别是且. （1）求角的大小； （2）已知复数，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用正弦定理化简计算可得，由此能求出角； （2）由（1）求得复数，根据复数的运算法则计算即可求得的值. 【小问1详解】 已知，根据正弦定理可得， 由于是锐角三角形，， 化简可得，即， 又因为是锐角三角形，即，所以. 【小问2详解】 由（1）知，则， 因此复数， 所以， 即. 22. 某农产品加工合作社每天计划加工、、三种农产品共100份，加工1份产品、1份产品、1份产品分别需要5分钟、7分钟、4分钟.已知总加工时间不超过10小时，若加工1份产品、1份产品、1份产品分别可获利润5元、6元、3元.问怎样分配加工任务才能使每天的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】每天计划加工、、三种农产品分别为50份、50份、0份，总获利最大为元 【解析】 【分析】由题意，列出x，y所满足的不等式组，化简后即可画出二元一次不等式所表示的平面区域；由于目标函数为，化目标函数为直线方程的斜截式， 数形结合可得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，据此可求解. 【详解】设每天计划加工、种农产品分别为x份、y份，总获利为z元,则加工农产品份，由题意得， . x，y满足的关系式为 ，即， 该二元一次不等式组所表示的平面区域如图： 考虑，变形为，是斜率为，随z变化的一组平行直线，为直线在y轴上的截距，当取得最大值时，z的值最大， 又因为x，y满足约束条件，由图可知，当直线经过可行域上的点B时，截距最大，即z最大. 解方程组，解得. 此时（元）. 因此，每天计划加工、、三种农产品分别为50份、50份、0份，总获利最大为元. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年常德市中等职业学校对口升学联考 数学试卷 本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共4页，时量120分钟，满分120分. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.） 1. 点到直线的距离为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，在定义域内为奇函数且单调递增的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知角的终边过点，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 5. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 等差数列中，，，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 二项式展开式的第3项为 C. 若，则 D. 不等式的解集为 8. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 9. 设为实数，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 10. 正方体中，为线段中点，为线段上动点，有以下几个结论：则正确的是（ ） ①对任意，平面 ②为中点时 ③与平面所成角最小为. ④三棱锥体积为定值 A. ②④错误 B. ①③④错误 C. ①④正确 D. ①③④正确 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 从编号为的学生中用系统抽样的方法抽取一个容量为10的样本，若抽到的第一个学生的编号为6，则编号落在之间的被抽取学生的编号为______. 12. 从数字，，，，中任取3个不同的数字排成一个三位数，则该三位数为偶数的概率为______. 13. 若，则的取值范围为______. 14. 过点与点的中点且与直线垂直的直线方程为：______. 15. 已知函数是奇函数，是偶函数，且，则_______． 三、解答题（共7小题，第21、22为选做题，满分60分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 已知数列的前项和满足，． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 如图，是圆柱的一条母线，是圆柱的底面直径，点C在圆柱下底面圆周上，是线段的中点．已知，． （1）求圆柱的侧面积； （2）求与所成的角． 18. 学校开展禁毒安全教育测试，准备了4道禁毒专项选择题，其中3道基础禁毒题，1道拔高禁毒题.每位同学随机抽取2道题进行测试. （1）求该同学抽到的两道都是基础禁毒题的概率； （2）若同学每道题答对的概率都是，各题答题互不影响.设随机变量为答对的题数，求的概率分布列与的方差. 19. 双曲线：的离心率是，点在双曲线上. （1）求双曲线的方程； （2）设斜率为的直线与交于，两点，若与圆相切，求证：. 20. 给出定义：对于函数，如果对于定义域内任意，都有，且满足，则称该函数为互补函数. （1）判断函数是否为互补函数，并说明理由； （2）若函数是定义在上的互补函数，且当时，，求：当时，函数的解析式. 选做题：请考生在第21，22题中选择一题作答.如果两题都做，则按所做的第21题计分.作答时，请写清题号. 21. 在锐角三角形中，内角的对边分别是且. （1）求角的大小； （2）已知复数，求的值. 22. 某农产品加工合作社每天计划加工、、三种农产品共100份，加工1份产品、1份产品、1份产品分别需要5分钟、7分钟、4分钟.已知总加工时间不超过10小时，若加工1份产品、1份产品、1份产品分别可获利润5元、6元、3元.问怎样分配加工任务才能使每天的利润最大？最大利润是多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $