3.1 导数的概念及运算 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“导数及其应用”核心模块，覆盖导数的概念及运算、单调性、极值最值、不等式、零点五大高考核心考点。依据高考评价体系，通过6年考频分析明确导数运算（7考）、极值最值（7考）等高频考点，归纳切线方程、含参单调性讨论等常考题型，构建系统备考框架。 课件亮点在于“真题溯源+方法建模+素养提升”的三维设计，如以2025全国一卷公切线问题为载体，提炼“双切点坐标法”，培养数学运算与逻辑推理素养。针对含参单调性讨论，总结“定义域优先-导数分解-分类标准”三步法，配套提能训练练案，帮助学生掌握得分技巧。教师可借助考情清单与互动探究模块，实现精准复习，助力学生高效冲刺。

第三章 导数及其应用 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 导数的概念及运算 2025全国一卷，12 求某点处的切线方程 7考 数学运算 直观想象 2024新课标Ⅱ，16(1) 2021新高考Ⅱ，16 2022新高考Ⅱ，14 过某点的切线方程 2022新高考Ⅰ，15 2021新高考Ⅰ，7 2024新课标Ⅰ，13 公切线问题 考 情 清 单 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 导数与函数的单调性 2022新高考Ⅱ，22(1) 不含参函数的单调性 6考 数学抽象 数学运算 逻辑推理 2021新高考Ⅱ，22(1) 2021新高考Ⅰ，22(1) 2022新高考Ⅰ，7 利用单调性比较大小 2023新课标Ⅰ，19(1) 讨论含参函数的单调性 2023新课标Ⅱ，6 已知单调性求参 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 利用导数研究函数的性质 2024新课标Ⅰ，10 三次函数 的性质 3考 数学运算 2024新课标Ⅱ，11 2022新高考Ⅰ，10 导数与函数的极(最)值 2025全国二卷，13 已知极值求参 7考 数学运算 逻辑推理 2024新课标Ⅱ，16(2) 2023新课标Ⅱ，11 2023新课标Ⅱ，22(2) 2025全国一卷，19 已知最值求参 2022新高考Ⅰ，22(1) 2021新高考Ⅰ，15 求函数最值 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 导数与函数不等式 2022新高考Ⅱ，22(2) 恒成立问题求参 6考 数学运算 逻辑推理 2024新课标Ⅰ，18(1)(3) 2023新课标Ⅰ，19(2) 利用最值证明不等式 2023新课标Ⅱ，22(1) 2022新高考Ⅱ，22(3) 利用放缩法证明不等式 2021新高考Ⅰ，22(2) 构造函数证明不等式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 考点 真题示例 考向 6年考频 核心素养 导数与函数零点 2025全国二卷，18 函数的零点个数问题 3考 数学运算 逻辑推理 2022新高考Ⅰ，22(2) 2021新高考Ⅱ，22(2) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 【命题形式】 本章知识内容丰富，题目难度跨度较大，出题形式常常是一大一小．重点考查内容有：①利用导数的几何意义求曲线的切线方程；②利用导数研究函数的单调性、极值、最值问题；③利用导数解决不等式恒成立问题、不等式证明问题；④利用导数研究函数零点问题．在复习备考中要注重练习含参问题的讨论、恒成立问题的转化以及有关不等式证明问题的处理方法．重视数形结合、分类讨论、转化与化归、函数与方程思想的应用． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 第一讲　导数的概念及运算 知识梳理·双基自测 名师讲坛·素养提升 考点突破·互动探究 提能训练　练案[15] 知识梳理 · 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 知识点一　导数的概念与导数的运算 1．函数的平均变化率 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 2．导数的概念 (2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导 数，即y′＝f′(x)＝__________________. 瞬时变化率 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 3．基本初等函数的导数公式 (1)C′＝______(C为常数)； (2)(xn)′＝_________(n∈Q*)； (3)(sin x)′＝_________； (4)(cos x)′＝___________； (5)(ax)′＝_________； (6)(ex)′＝______； (7)(logax)′＝______； (8)(ln x)′＝______. 0 nxn－1 cos x －sin x axln a ex 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 4．导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝_________________. (2)[f(x)·g(x)]′＝__________________________. 特别地：[C·f(x)]′＝___________(C为常数)． f′(x)±g′(x) f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) Cf′(x) 5．复合函数的导数 复合函数y＝f[g(x)]的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为________________.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． yx′＝yu′·ux′ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 知识点二　导数的几何意义 函数f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为_____________________________. y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 归 纳 拓 展 1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 2．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　) (2)f′(x0)＝[f(x0)]′.(　　) (4)(2x)′＝x·2x－1.(　　) (5)[ln(－x)]′＝(ln x)′.(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 [解析]　(1)如图所示，直线与曲线只有一个公共点，但不是切线． (2)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0处的导函数值，而[f(x0)]′是函数值f(x0)的导数，即[f(x0)]′＝0. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 题组二　走进教材 2．(选择性必修2P75T1改编)下列函数的求导正确的是(　　) [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 3．(选择性必修2P81习题T6改编)已知f′(x)是f(x)的导函数，且f(x)＝x3＋[f′(1)＋f′(2)]x，则f(x)＝(　　) A．x3－15x B．x3＋15x C．x3＋9x D．x3－9x [答案]　A [解析]　因为f(x)＝x3＋[f′(1)＋f′(2)]x，所以f′(x)＝3x2＋f′(1)＋f′(2)，故f′(1)＝3＋f′(1)＋f′(2)，f′(2)＝12＋f′(1)＋f′(2)，则f′(2)＝－3，f′(1)＝－12，故f(x)＝x3－15x.故选A. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 题组三　走向考场 4．(2025·全国一卷)若直线y＝2x＋5是曲线y＝ex＋x＋a的一条切线，则a＝________. [答案]　4 [解析]　解法一：对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1，因为直线y＝2x＋5是曲线的切线，直线的斜率为2，令y′＝ex＋1＝2，即ex＝1，解得x＝0，将x＝0代入切线方程y＝2x＋5，可得y＝2×0＋5＝5，所以切点坐标为(0,5)，因为切点(0,5)在曲线y＝ex＋x＋a上，所以5＝e0＋0＋a，即5＝1＋a，解得a＝4. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 5．(多选题)(2026·陕西商洛模拟)过点(1,0)向曲线y＝x3－x作切线，则切线方程可能是(　　) A．2x－y－2＝0 B．3x－y－3＝0 C．x＋4y－1＝0 D．2x＋y－2＝0 [答案]　AC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 考点突破 · 互动探究 返回导航 导数的基本运算——自主练透 1．(多选题)下列求导正确的是(　　) A．[(3x＋5)3]′＝9(3x＋5)2 B．(x3ln x)′＝3x2ln x＋x2 D．sin 2x＝cos 2x [答案]　AB 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 2．求下列函数的导数． (1)y＝x2sin x； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 [解析]　(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′ ＝2xsin x＋x2cos x. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 3．(2026·常州质检)函数f(x)的导函数为f′(x)，若f(x)＝x2＋2xf′(2)－ln x，则f′(2)的值为________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 名师点拨：导数的运算方法 1．求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导． 2．抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后活用方程思想求解． 3．复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 导数的几何意义——多维探究 角度1　求切线的斜率或切线方程 A．2x－2y＋1＝0 B．x＋y－1＝0 C．x－y＋1＝0 D．2x－y＋1＝0 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 [答案]　x－ey＝0 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 名师点拨：求曲线的切线方程的两种类型 1．在求曲线的切线方程时，注意两个“说法”：求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程和求曲线过点P(x0，y0)的切线方程，在点P处的切线，一定是以点P为切点，过点P的切线，不论点P在不在曲线上，点P不一定是切点． 2．在点P处的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 3．求过点P的曲线的切线方程的步骤为： 第一步：设出切点坐标P′(x1，f(x1))； 第二步：写出过P′(x1，f(x1))的切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)； 第三步：将点P的坐标(x0，y0)代入切线方程，求出x1； 第四步：将x1的值代入方程y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)可得过点P(x0，y0)的切线方程． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 角度2　导数的几何意义 如图，y＝f(x)是可导函数，直线l：y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)－3f′(3)＝(　　) A．1 B．0 C．2 D．4 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 角度3　求参数的值(或范围) A．1 B．0 C．－1 D．－2 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 【变式训练】 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 2．(角度2)曲线y＝f(x)在点P(－1，f(－1))处的切线l如图所示，则f′(－1)＋f(－1)＝(　　) A．2 B．1 C．－2 D．－1 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 3．(角度3)(2026·开封市第一次模拟考试)函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，2) C．(2，＋∞) D．(0，＋∞) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 名师讲坛 · 素养提升 返回导航 公切线问题的模型求解 曲线的公切线问题是高考的热点题型之一．其中单一曲线的切线问题相对简单，但对于两条曲线的公切线问题的求解，就比单一曲线的切线问题要复杂．方法更灵活，具体的求解方法如下： 方法一：利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 (2025·黑龙江齐齐哈尔期末联考)若直线y＝kx＋b是曲线y＝ln x＋2的切线，也是曲线y＝ln(x＋1)的切线，则b＝(　　) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 [引申]本例中两曲线公切线方程为________________． [答案]　y＝2x＋1－ln 2 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 名师点拨： 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 【变式训练】 (2026·河北邯郸期中)已知函数f(x)＝mx＋ln x，g(x)＝x2－mx，若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)存在公切线，则实数m的最大值为________. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 提能训练　练案[15] 返回导航 A组基础巩固 一、单选题 A．0 B．2 C．－2 D．－4 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 2．(2026·甘肃白银三模)如果质点按规律s(t)＝2t2－t(距离单位：m，时间单位：s)运动，则质点在2 s末的瞬时速度为(　　) A．8 m/s B．7 m/s C．6 m/s D．5 m/s [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 A．x＋πy＋π＝0 B．x＋πy－π＝0 C．2x＋πy－π＝0 D．x＋π2y－π＝0 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 5．函数y＝f(x)的图象如图所示，f′(x)是函数f(x)的导函数，则下列数值排序正确的是(　　) A．2f′(2)<f(4)－f(2)<2f′(4) B．2f′(4)<2f′(2)<f(4)－f(2) C．2f′(2)<2f′(4)<f(4)－f(2) D．f(4)－f(2)<2f′(4)<2f′(2) [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 6．(2026·河南模拟)已知曲线f(x)＝(x＋k)ln(x＋k)的一条切线的方程为y＝x，则实数k＝(　　) A．0 B．1 C．－1 D．e [答案]　B [解析]　y＝x与f(x)的图象相切，设切点为(x0，x0)，则f′(x0)＝1＋ln(x0＋k)＝1，故x0＋k＝1，由f(x0)＝x0，即(x0＋k)ln(x0＋k)＝x0，将x0＋k＝1代入上式，得x0＝0，故k＝1.故选B. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 二、多选题 9．(2025·珠海调考改编)下列求导运算不正确的是(　　) [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 [答案]　BCD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 11．已知函数f(x)＝xln(1＋x)，则(　　) A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增 B．f(x)有两个零点 D．f(x)是偶函数 [答案]　AC 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 三、填空题 [答案]　y＝2ex＋e 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 13．(2026·吉林长春模拟预测)若函数f(x)＝(x2＋ax＋1)ex在x＝0处的切线与直线2x－y＋2＝0平行，则实数a＝________. [答案]　1 [解析]　因为f(x)＝(x2＋ax＋1)ex，所以f′(x)＝[x2＋(2＋a)x＋1＋a]ex，依题意可得f′(0)＝2，即f′(0)＝[02＋(2＋a)×0＋1＋a]e0＝2，解得a＝1. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 B组能力提升 A．当a＝1时，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x B．当a＝1时，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1 C．当a＝0时，曲线y＝f(x)上不存在斜率为0的切线 D．当a＝0时，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0 [答案]　BD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 2．(2025·广西开学考试)曲线f(x)＝ln x＋2x＋3在A点处的切线与直线x＋3y－2＝0垂直，则切线方程为(　　) A．x＋3y＋2＝0 B．3x－y－1＝0 C．x－3y＋2＝0 D．3x－y＋2＝0 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 A．4 B．3 C．2 D．1 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 4．(2026·山东枣庄期中)若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－4的最小距离为(　　) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 C组拓展应用(选作) (2026·山东潍坊模拟)阅读材料： 求函数y＝ex的导函数． A．y＝4x－3 B．y＝4x＋3 C．y＝2x－3 D．y＝2x＋3 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第三章　导数及其应用 谢谢观看 一般地，已知函数y＝f(x)，把式子称为函数y＝f(x)从x1到x2的平均变化率，还可以表示为＝. (1)f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的______________，记作：或f′(x0)，即f′(x0)＝ . (3)′＝_____________________________. (g(x)≠0) (3)′＝cos .(　　) (3)′＝′＝0. (4)(2x)′＝2xln 2. (5)[ln(－x)]′＝－×(－1)＝，(ln x)′＝，但它们定义域不同. A．′＝ B．(sin x)′＝－cos x C．[ln(2x)]′＝ D．(xex)′＝(1＋x)ex [解析]　根据求导公式，结合选项判断即可．对于A，∵′＝－，故A错误；对于B，∵(sin x)′＝cos x，故B错误；对于C，∵[ln(2x)]′＝×2＝，故C错误；对于D，∵(xex)′＝ex＋xex＝(1＋x)ex，故D正确．故选D. 解法二：对于y＝ex＋x＋a，其导数为y′＝ex＋1，假设y＝2x＋5与y＝ex＋x＋a的切点为(x0，y0)，则解得a＝4. [解析]　令f(x)＝x3－x，则f′(x)＝3x2－1.设切点坐标为(x0，x－x0)，则切线方程为y－(x－x0)＝(3x－1)(x－x0)，将(1,0)代入，整理得2x－3x＋1＝2x－2x－x＋1＝0，即(x0－1)2(2x0＋1)＝0，解得x0＝1或x0＝－.当x0＝1时，切线方程为2x－y－2＝0；当x0＝－时，切线方程为x＋4y－1＝0.故选AC. C．′＝ [解析]　[(3x＋5)3]′＝3(3x＋5)2(3x＋5)′＝9(3x＋5)2，故A正确；(x3ln x)′＝(x3)′ln x＋x3(ln x)′＝3x2ln x＋x2，故B正确；′＝＝，故C错误；(sin 2x)′＝cos 2x·(2x)′＝2cos 2x，故D错误． (2)y＝ln； (3)y＝； (4)y＝xsincos. (2)y′＝·()′＝. (3)y′＝′＝ ＝－. (4)∵y＝xsincos ＝xsin(4x＋π)＝－xsin 4x， ∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x ＝－sin 4x－2xcos 4x. [答案]　－ [解析]　由f(x)＝x2＋2xf′(2)－ln x求导得f′(x)＝2x＋2f′(2)－，当x＝2时，可得f′(2)＝4＋2f′(2)－，解得f′(2)＝－. 1．(2026·福州联考)已知函数f(x)＝＋2x，则曲线y＝f(x)在x＝0处的切线方程为(　　) [解析]　因为f(x)＝＋2x，所以f′(x)＝－＋2，又f′(0)＝1且f(0)＝1，所以函数f(x)＝＋2x，在x＝0处的切线方程为x－y＋1＝0.故选C. 2．(2025·深圳模拟)已知函数f(x)＝过原点O(0,0)作曲线y＝f(x)的切线，其切线方程为________________. [解析]　当x≤0时，设切点为A(x1，)切线k＝＝，解得 x1＝1，不符合题意．当x>0时，设切点为B(x2，ln x2)，切线k＝＝，解得x2＝e，切点为(e,1)，切线方程为y＝x即x－ey＝0. 注：也可利用f′(x1)＝＝k切求切点坐标(x1，y1)，有几组解就有几条切线． [解析]　将点(3,1)代入直线y＝kx＋2的方程得3k＋2＝1，得k＝－，所以f′(3)＝k＝－，由于点(3,1)在函数y＝f(x)的图象上，则f(3)＝1，对函数g(x)＝xf(x)求导得g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)－3f′(3)＝f(3)＝1，故选A. (2026·河北石家庄质检、湖北部分学校期中)已知曲线y＝ln x＋在点(1，a)处切线在y轴上的截距为－3，则a的值为(　　) [解析]　易知y′＝－，x＝1时y′＝1－a，所以曲线y＝ln x＋在点(1，a)处的切线方程为：y－a＝(1－a)(x－1)⇒y＝(1－a)x＋2a－1，显然有2a－1＝－3，即a＝－1.故选C. 1．(角度1)(2026·天津五区县重点校期中联考)已知函数f(x)＝x2＋cos x，则曲线y＝f(x)在点处切线的斜率为(　　) A．＋1 B．－1 C． D．＋1 [解析]　由f′(x)＝x－sin x知f′＝×－sin ＝－1，所以曲线y＝f(x)在点处切线的斜率为－1.故选B. [解析]　因为切线l过点(－2,0)和(0，－2)，所以f′(－1)＝＝－1，所以切线l的方程为y＝－x－2，令x＝－1，则y＝－1，即f(－1)＝－1，所以f′(－1)＋f(－1)＝－1－1＝－2，故选C. [解析]　函数f(x)＝ln x＋ax的图象存在与直线2x－y＝0平行的切线，即f′(x)＝2在(0，＋∞)上有解． 所以f′(x)＝＋a＝2在(0，＋∞)上有解，则a＝2－. 因为x>0，所以2－<2，所以a的取值范围是(－∞，2)． 方法二：设公切线l在曲线y＝f(x)上的切点为P1(x1，f(x1))，在曲线y＝g(x)上的切点为P2(x2，g(x2))则f′(x1)＝g′(x2)＝，再解决相关问题． A．1 B． C．1－ln 2 D．1－2ln 2 [解析]　设y＝kx＋b与y＝ln x＋2和y＝ln(x＋1)的切点分别为(x1， ln x1＋2)和(x2，ln(x2＋1))．则切线分别为y－ln x1－2＝(x－x1)，y－ln(x2＋1)＝(x－x2)．化简得y＝x＋ln x1＋1，y＝x－＋ln(x2＋1)，依题意，解得x1＝，从而b＝ln x1＋1＝1－ln 2.故选C. [解析]　k＝＝2，∴公切线方程为y＝2x＋1－ln 2. 同时和曲线y＝f(x)、y＝g(x)都相切的直线称为两曲线的公共切线．设直线与曲线y＝f(x)切于(x1，f(x1))与曲线y＝g(x)切于(x2，g(x2))，则切线方程为y－f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，即y＝f′(x1)x＋f(x1)－f′(x1)x1.同理y＝g′(x2)x＋g(x2)－g′(x2)x2.∴解出x1、x2，从而可得切线方程．由此可知两曲线公切线的条数即为上述方程组解的个数． [答案]　 [解析]　f′(x)＝m＋，g′(x)＝2x－m，假设两曲线在同一点(x0，y0)处相切，则可得1－ln x0＝x，即x＋ln x0－1＝0，因为函数y＝x2＋ln x－1单调递增，且x＝1时y＝0，所以x0＝1，则m＝，此时两曲线在处相切，根据曲线的变化趋势，若m>，则两曲线相交于两点，不存在公切线，如图，所以m的最大值为. 1．(2026·江苏盐城三模)若f(x)＝ln ，则 ＝(　　) [解析]　因为f(x)＝ln ，所以f′(x)＝′×＝×＝，所以f′(1)＝＝－2，则 ＝f′(1)＝－2.故选C. [解析]　 ＝ ＝ (7＋2Δt)＝7，则质点在2 s末的瞬时速度为7 m/s.故选B. 3．(2026·山东枣庄)已知函数f(x)满足f(x)＝f′sin x－cos x，求f(x)在x＝的导数(　　) A．＋1 B．－1 C．－2 D． [解析]　因为f′(x)＝f′cos x＋sin x，所以f′＝f′×cos ＋sin ＝f′＋，解得f′＝，∴f′＝f′×cos ＋sin ＝×＋＝.故选D. 4．(2026·全国模拟)曲线y＝在点M处的切线方程是(　　) [解析]　由函数的解析式可得y′＝，所求切线的斜率为k＝y′|x＝＝＝－.由于切点坐标为，故切线方程为y＝－，即为2x＋πy－π＝0.故选C. [解析]　先由f(x)的图象，确定f(x)的单调性，再根据图象斜率的变化情况，判断f′(x)的单调性，最后由函数的凹凸性进行判断，即可得到答案．由函数f(x)的图象可知，当x≥0时，f(x)单调递增，所以f′(2)>0，f′(4)>0，f(4)－f(2)>0，由此可知，f′(x)在(0，＋∞)上恒大于0，因为直线的斜率逐渐增大，所以f′(x)单调递增，所以f′(2)<f′(4)，则2f′(2)<2f′(4)，因为f′(2)<<f′(4)，所以2f′(2)<f(4)－f(2)<2f′(4)．故选A. 7．(2025·宣城模拟)若曲线y＝aln x＋x2(a>0)的切线的倾斜角的取值范围是，则a＝(　　) A． B． C． D． [解析]　因为y＝aln x＋x2(a>0)，所以y′＝＋2x≥2，因为曲线的切线的倾斜角的取值范围是，所以斜率k≥，因为＝2，所以a＝. 8．(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在(0,1)处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为(　　) A． B． C． D． [解析]　f′(x)＝，则f′(0)＝＝3，即该切线方程为y－1＝3x，即y＝3x＋1，令x＝0，则y＝1，令y＝0，则x＝－，故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积S＝×1×|－|＝.故选A. A．′＝1＋ B．(log2x)′＝ C．(3x)′＝3x·log3e D．(x2cos x)′＝－2xsin x [解析]　因为′＝1－，所以选项A不正确；因为(log2x)′＝，所以选项B正确；因为(3x)′＝3xln 3，所以选项C不正确；因为(x2cos x)′＝2xcos x－x2sin x，所以选项D不正确．故选ACD. 10．若直线y＝x＋b是函数f(x)图象的一条切线，则函数f(x)可以是(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝x4 C．f(x)＝sin x D．f(x)＝ex [解析]　直线y＝x＋b的斜率k＝，f(x)＝的导数为f′(x)＝－，即切线的斜率小于0，故A不正确；f(x)＝x4的导数为f′(x)＝4x3，令4x3＝，解得x＝，故B正确；f(x)＝sin x的导数为f′(x)＝cos x，而cos x＝有解，故C正确；f(x)＝ex的导数为f′(x)＝ex，令ex＝，解得x＝ －ln 2，故D正确．故选BCD. C．曲线y＝f(x)在点处的切线的斜率为－1－ln 2 [解析]　f(x)＝xln(x＋1)，所以当x>0时，f′(x)＝ln(x＋1)＋>0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以A正确；令xln(x＋1)＝0，所以x＝0或ln(x＋1)＝0，所以x＝0，故f(x)只有1个零点0，所以B不正确；f′(x)＝ln(x＋1)＋，所以f′＝ln－1＝－1－ln 2，所以C正确；定义域不关于原点对称，所以f(x)不是偶函数，所以D不正确．故选AC. 12．(2026·广西模拟)曲线y＝在x＝－1处的切线方程为________. [解析]　对y＝求导得y′＝＝，k＝2e，切点为(－1， －e)，故切线方程为y＋e＝2e(x＋1)，即y＝2ex＋e. 14．(2026·山东泰安模拟预测)曲线y＝在点(1,0)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为________. [答案]　 [解析]　对函数y＝求导得y′＝，故所求切线斜率为k＝，切点坐标为(1,0)，所以，曲线y＝在x＝1处的切线方程为y＝(x－1)＝x－，该切线交x轴于点(1,0)，交y轴于点，因此，曲线y＝在x＝1处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝. 15．(2025·湖南高三阶段练习)已知a，b，c成等差数列，若直线l：ax＋by＋c＝0与曲线y＝ex－1＋ln x－3相切，则＝________. [答案]　－ [解析]　由题意得a＋c＝2b，直线l：ax＋by＋(2b－a)＝a(x－1)＋b(y＋2)＝0，故直线l过定点(1，－2)，且曲线y＝ex－1＋ln x－3过点(1， －2)，故直线l与曲线y＝ex－1＋ln x－3(无拐点)相切于点(1，－2)．∵y′＝ex－1＋，∴直线l的斜率k＝e1－1＋＝2，∴直线l的方程为2x－y－4＝0，∴a∶b∶c＝2∶(－1)∶(－4)，∴＝－. 1．(多选题)(2025·甘肃庆阳三模)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) [解析]　当a＝1时，f(x)＝，f′(x)＝，有f′(0)＝0，又f(0)＝1，故曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1，故选项B正确，A错误；当a＝0时，f(x)＝，则f′(x)＝，显然f′(1)＝0，即曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0，故选项C错误，D正确．BD. [解析]　由f(x)＝ln x＋2x＋3，得f′(x)＝＋2，x>0，设A(t，ln t＋2t＋3)，t>0，则f′(t)＝＋2，由题意可得，直线x＋3y－2＝0的斜率为－，所以曲线f(x)在过点A处的切线的斜率为3，所以f′(t)＝＋2＝3，解得t＝1，则可得切点A(1,5)，所以切线方程为y－5＝3(x－1)，即3x－y＋2＝0.故选D. 3．(2025·湖南长沙二模)已知m>0，n>0，直线y＝x＋m与曲线y＝2ln x－n＋4相切，则＋的最小值是(　　) [解析]　由于直线y＝x＋m与曲线y＝2ln x－n＋4相切，设切点为(x0，y0)，且y′＝，所以＝，则切点的横坐标x0＝e，则2＋m＝2－n＋4，即m＋n＝4.又m>0，n>0，所以(m＋n)＝2＋＋≥2＋2＝4，即＋≥1，当且仅当m＝n＝2时取等号，所以＋的最小值为1.故选D. A．1 B． C．2 D．4 [解析]　直线y＝x－4的斜率k＝1，函数y＝x2－ln x定义域为(0， ＋∞)，点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，设P(x，y)(x>0)，由y′＝2x－(x>0)，令y′＝2x－＝1，解得x＝1或x＝－(舍去)，x＝1，此时y＝1，∴曲线上与直线y＝x－4平行的切线的切点为P(1,1)，所以曲线y＝x2－ln x上点P到直线y＝x－4的最小距离，为点P(1,1)到直线y＝x－4的距离d＝＝2.故选C. 5．(2026·辽宁沈阳模拟)若曲线y＝ln 2x在点P(x1，y1)处的切线与曲线y＝e2x相切于点Q(x2，y2)，则＋x2＝__________. [答案]　－ [解析]　曲线y＝ln 2x在点P(x1，y1)处的切线与曲线y＝e2x相切于点Q(x2，y2)，∵(ln 2x)′＝，(e2x)′＝2e2x，∴曲线y＝ln(2x)在点P(x1，y1)处的切线斜率k1＝，曲线y＝e2x在点Q(x2，y2)处的切线斜率k2＝2， ∴曲线y＝ln(2x)在点P(x1，y1)处的切线方程为y＝(x－x1)＋y1＝x＋ln(2x1) －1，或y＝2(x－x2)＋y2＝2x＋(1－2x2) ，∴即∴2x1(2x2＋1)＝2x2－1，易知2x2＋1≠0，∴2x1＝ ，∴＋x2＝＋x2＝＋x2＝－. 解：因为y＝ex，所以x＝ln y，所以x′＝(ln y)′，所以1＝·y′，所以y′＝y＝ex. 借助上述思路，曲线y＝(2x－1)x＋1，x∈在点(1,1)处的切线方程为(　　) [解析]　解法一：因为y＝(2x－1)x＋1，所以ln y＝(x＋1)ln(2x－1)，所以·y′＝ln(2x－1)＋，所以y′＝(2x－1)x＋1，当x＝1时，y′＝4，所以曲线y＝(2x－1)x＋1，x∈在点(1,1)处的切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3. 解法二：观察过点(1,1)的切线只有A选项，所以选A. $