精品解析：江苏省南京市中职学校2025-2026学年第二学期校际联考期中调研测试卷高二数学试题

江苏省南京市中职学校2025-2026学年第二学期校际联考期中调研测试卷高二数学试题 本试卷分第I卷（客观题）和第II卷（主观题）两部分.第I卷1页至2页，第II卷2页至4页.两卷满分150分.考试时间120分钟. 第I卷（共40分） 注意事项： 1.答第I卷前，考生务必按规定要求填涂答题卡上的姓名、准考证号等项目. 2.用铅笔把答题卡上相应题号中正确答案的标号涂黑.答案不涂写在答题卡上，成绩无效. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题列出的4个选项中只有一项符合要求，请在答题卡上将正确答案对应项的方框涂满、涂黑.） 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由并集的定义计算即可. 【详解】集合，， 则. 故选：D. 2. 不等式的整数解有（ ） A. 11个 B. 10个 C. 9个 D. 7个 【答案】A 【解析】 【分析】先求不等式的解集，然后写出解集中的整数即可 【详解】，即，解得， 所以不等式的整数解为，共个； 故选：. 3. 函数的定义域为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用根式函数的定义域限制，列出式子，结合指数函数单调性得到答案. 【详解】要使函数有意义， 需满足， ， 由于在上单调递减， 所以原式解得， 因此所求定义域为， 故选：B. 4. 在等比数列中，若，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】由等比数列的性质即可得解. 【详解】因为等比数列中，， 所以. 故选：C. 5. 已知抛物线上一点P到焦点的距离为5，则点P的横坐标为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线的定义即可得解. 【详解】设点， 因为抛物线上一点P到焦点的距离为5， 所以，且，故， 故点P的横坐标为3. 故选：B. 6. 已知是定义在上的偶函数，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用偶函数定义域关于原点对称求出的值，再根据偶函数的定义求出的值. 【详解】已知函数是偶函数且定义域为， 所以，解得， 函数为偶函数， 则有，即， 所以， 即，对于定义域内的任意都成立， 所以，解得， 故， 故选：D. 7. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据扇形的面积公式，结合圆锥侧面展开图的特征，结合题意，即可求解． 【详解】由题意，展开图半圆的弧长， 又半圆的圆心角， 所以展开图半圆的半径 所以， 故选：B． 8. 二项式展开式中，不含的项是（ ） A. 第3项 B. 第4项 C. 第5项 D. 第6项 【答案】C 【解析】 【分析】利用二项式展开式的通项公式，令的幂指数为0即可解得. 【详解】二项式展开式通项公式：， 令，解得，所以不含的项是第5项. 故选：C 9. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 【答案】B 【解析】 【分析】由正态分布的性质即可得解. 【详解】因为，且， 所以， 由正态分布的对称性可知，， 故. 故选：B. 10. 已知，，且是与的等比中项，则的最大值是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等比中项的概念及指数幂的运算，可得，代入并利用对数的运算法则，转化为求， 其中的最大值，最后根据二次函数及对数函数的性质可求解. 【详解】由题可得， ，即，所以. 又，，则，从而， 所以， 令，，则时，， 所以的最大值为. 故选：A 第II卷（共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 一组数据2，6，4，12，8，10的中位数是__________. 【答案】7 【解析】 【分析】根据中位数的概念可求解. 【详解】将原数据从小到大排列为：2，4，6，8，10，12. 所以中位数是. 故答案为：7 12. 若数列的前项的和，则__________. 【答案】9 【解析】 【分析】根据与的关系可求结果. 【详解】由题可知， . 故答案为：9 13. 双曲线焦点到渐近线的距离是________. 【答案】 【解析】 【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线距离公式即可得出结论. 【详解】根据题意，双曲线的方程为：，其中， 则，， 所以其焦点坐标为，渐近线方程为：，即， 则焦点到渐近线的距离. 故答案为：. 14. 如图，在正方体中，为的中点，则与平面所成角的正切值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】找出直线在平面内的射影，从而确定直线与平面所成的角，再结合正方体的性质进行计算. 【详解】连接， 因为正方体中，平面， 则直线在平面内的射影为， 所以是与平面所成的角， 设正方体的棱长为， 因为，为的中点，则， 所以， 在中，，， 可得：， 故答案为：. 15. 已知函数，若存在互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出函数图象，找到满足条件的，，，相加求解即可. 【详解】函数如图所示， 根据题意可知，若存在互不相等的实数，，， 则直线只能在x轴（不包含x轴）与（包含）之间运动， 记从左往右，依次为，，， 根据二次函数可知，与关于对称， 则，可得， 由对数函数可知，， ∴，即， 则的取值范围是. 故答案为：. 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 已知关于的不等式对于恒成立. （1）求实数的值； （2）解关于的不等式. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式恒成立的解法求解； （2）根据对数函数的单调性求解. 【小问1详解】 由题意得，， 即，则， 所以. 【小问2详解】 不等式可化为：， 所以：， 所以不等式的解集为. 17. 已知二次函数满足，且. （1）求函数的解析式； （2）若在区间上是单调函数，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据题意求出二次函数的对称轴，代入对称轴公式求出，再利用求出值即可得解. （）根据题意结合二次函数的单调性即可得解. 【小问1详解】 ，则对称轴为， ，解得， ，， 解得， 所以. 【小问2详解】 由题知，对称轴为， 在上是单调函数， 或， 解得或， 所以的取值范围是. 18. 已知4名学生和2名教师站成一排照相，求： （1）2名教师站在正中间两个位置，有多少种不同的排法？ （2）2名教师不能相邻，有多少种不同的排法？ （3）2名教师必须相邻，且不站在两端，有多少种不同的排法？ 【答案】（1）48 （2）480 （3）144 【解析】 【分析】（1）先排教师，再排学生，根据排列及分步计数原理可求解； （2）先排学生，再利用插空法排教师，根据排列及分步计数原理可求解； （3）先排学生，再将教师“捆绑”在一起，看作一个元素插入学生队伍的空隙中（不含两端），最后将教师的内部排序，根据排列及分步计数原理可求解. 【小问1详解】 先排教师，共有种排法，再排学生，共有种排法， 根据分步计数原理，不同的排法有：（种）， 所以教师站在正中间，有48种不同的排法； 【小问2详解】 先排学生，共有种排法，再将教师插入学生队伍的空隙中，共有种排法， 根据分步计数原理，不同的排法有：（种）， 所以教师不能相邻，有480种不同的排法； 【小问3详解】 先排学生，共有种排法，再将2名教师“捆绑”在一起，看作一个元素插入学生队伍的空隙中（不含两端），共有3种排法， 最后将2名教师内部按顺序排列，有种排法，根据分步计数原理，不同的排法有： （种）， 所以教师相邻，且不站在两端有144种不同的排法. 19. 袋中装有大小相同、质地均匀的3个白球和5个黑球，现从中任取2个球，设取到白球的个数为. （1）求随机变量的分布列； （2）求随机变量的数学期望和方差. 【答案】（1）分布列见解析； （2）期望为，方差为 【解析】 【分析】（1）由古典概型和组合求出随机变量的分布列即可； （2）由离散型随机变量的期望和方差公式求解即可. 【小问1详解】 由题意得，的可能取值为0，1，2 ；； ； 所以的分布列为： 0 1 2 P 【小问2详解】数学期望， 方差. 20. 某旅游景区推出了一个热门游乐项目，每天最多可接待游客人，当门票价格为元时，该游乐项目当天均为满员状态.经市场调查发现，当门票价格每提高5元，每天的游客人数就会减少人. （1）当门票价格为元时，当天该游乐项目的游客数为多少人？ （2）当门票价格为多少元时，当天该游乐项目的收益最大？并求最大收益. 【答案】（1）人 （2）门票价格为元时，当天的收益最大，最大收益为元 【解析】 【分析】（1）根据题意列式求值即可. （2）首先根据题意建立二次函数的模型，再由二次函数的最值公式确定最值即可. 【小问1详解】 由题意得，， 所以当天的游客数为人. 【小问2详解】 设门票价格为元，当天的收益为元， 由题意得，， 则当时，， 所以当门票价格为元时，当天的收益最大，最大收益为元. 21. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，且. （1）求证：； （2）求四棱锥的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定与性质证明； （2）根据棱锥的体积公式求解. 【小问1详解】 连结交于， 底面，底面，， 底面是正方形，. 、平面，，平面. 平面，. 【小问2详解】 底面是正方形，， 在中，，， 所以. 22. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设，数列的前项和为，求证：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式列方程求解即可. （2）根据裂项相消法求和即可. （3）根据等比数列的前项和公式和指数函数的值域证明即可. 【小问1详解】 已知为等差数列，设公差为， 由，，得， 解得，， 所以. 【小问2详解】 所以 . 【小问3详解】 ， ，是首项为，公比为的等比数列， ， ，，所以. 23. 已知椭圆的离心率为，焦距为. （1）求椭圆的方程； （2）设斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为2，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）根据题意结合椭圆的性质及离心率公式求出的值即可得解. （）根据题意设出直线方程，联立方程组结合韦达定理，弦长公式，点到直线距离公式表示出三角形面积即可得解. 【小问1详解】 焦距为，， ，，，， ， 所以椭圆的方程是. 【小问2详解】 设直线的方程为，点，， 联立方程组，消去得：， ，所以，， 所以， 原点到直线的距离， 所以，化简得：， 解得：， 经检验，满足，所以直线的方程为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南京市中职学校2025-2026学年第二学期校际联考期中调研测试卷高二数学试题 本试卷分第I卷（客观题）和第II卷（主观题）两部分.第I卷1页至2页，第II卷2页至4页.两卷满分150分.考试时间120分钟. 第I卷（共40分） 注意事项： 1.答第I卷前，考生务必按规定要求填涂答题卡上的姓名、准考证号等项目. 2.用铅笔把答题卡上相应题号中正确答案的标号涂黑.答案不涂写在答题卡上，成绩无效. 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.每小题列出的4个选项中只有一项符合要求，请在答题卡上将正确答案对应项的方框涂满、涂黑.） 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的整数解有（ ） A. 11个 B. 10个 C. 9个 D. 7个 3. 函数的定义域为（　　） A. B. C. D. 4. 在等比数列中，若，则（ ） A. 3 B. 6 C. 9 D. 27 5. 已知抛物线上一点P到焦点的距离为5，则点P的横坐标为（ ） A. 2 B. 3 C. 5 D. 7 6. 已知是定义在上的偶函数，则（ ） A. 1 B. C. 3 D. 2 7. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的侧面积为（ ）． A. B. C. D. 8. 二项式展开式中，不含的项是（ ） A. 第3项 B. 第4项 C. 第5项 D. 第6项 9. 已知随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.5 10. 已知，，且是与的等比中项，则的最大值是（ ） A. B. 2 C. D. 第II卷（共110分） 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 一组数据2，6，4，12，8，10的中位数是__________. 12. 若数列的前项的和，则__________. 13. 双曲线焦点到渐近线的距离是________. 14. 如图，在正方体中，为的中点，则与平面所成角的正切值为__________. 15. 已知函数，若存在互不相等的实数，，，满足，则的取值范围是__________. 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 已知关于的不等式对于恒成立. （1）求实数的值； （2）解关于的不等式. 17. 已知二次函数满足，且. （1）求函数的解析式； （2）若在区间上是单调函数，求实数的取值范围. 18. 已知4名学生和2名教师站成一排照相，求： （1）2名教师站在正中间两个位置，有多少种不同的排法？ （2）2名教师不能相邻，有多少种不同的排法？ （3）2名教师必须相邻，且不站在两端，有多少种不同的排法？ 19. 袋中装有大小相同、质地均匀的3个白球和5个黑球，现从中任取2个球，设取到白球的个数为. （1）求随机变量的分布列； （2）求随机变量的数学期望和方差. 20. 某旅游景区推出了一个热门游乐项目，每天最多可接待游客人，当门票价格为元时，该游乐项目当天均为满员状态.经市场调查发现，当门票价格每提高5元，每天的游客人数就会减少人. （1）当门票价格为元时，当天该游乐项目的游客数为多少人？ （2）当门票价格为多少元时，当天该游乐项目的收益最大？并求最大收益. 21. 如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，且. （1）求证：； （2）求四棱锥的体积. 22. 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和； （3）设，数列的前项和为，求证：. 23. 已知椭圆的离心率为，焦距为. （1）求椭圆的方程； （2）设斜率为的直线与椭圆交于，两点，为坐标原点，若的面积为2，求直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $