压轴09 电磁感应中的双棒模型（压轴题专练）（黑吉辽蒙专用）2026年高考物理终极冲刺讲练测

**基本信息** 以电磁感应双棒模型为核心，系统整合动力学、动量、能量方法，构建等宽/不等宽轨道问题解题体系，强化模型建构与科学推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |等宽轨道运动|2题型+5典例|动力学分析运动状态，动量守恒/定理应用，运动图像辅助理解|电磁感应规律→安培力→力学综合→动量能量转化| |不等宽轨道运动|2题型+4典例|速度比推导，单杆动量定理应用，电流恒定状态分析|轨道宽度差异→感应电动势变化→动量不守恒→运动状态调控|

压轴09 电磁感应中的双棒模型 命题预测 在2025年高考中，主要以法拉第电磁感应定律为核心，综合欧姆定律、牛顿运动定律、动量、能量等知识点。题目注重综合性，侧重力与电的综合应用。在命题方式上，这类题目通常以学习探索问题情景为载体，也可能出现与该部分内容相关的生活实践问题情景，如磁悬浮列车，电磁导轨炮、电磁驱动、电磁弹射、电磁制动等。 复习备考时，要重视对物理概念、物理规律的理解在应用中深化理解，夯实双基，其次要重视与电路、牛顿运动定律、动量、能量相结合的综合性题型训练，如与电路综合、与力学综合、与能量，动量综合问题。最后还必须强化答题规范，培养良好的答题习惯。 高频考法 1.双棒在等宽轨道上运动问题 2.双棒在不等宽轨道上运动问题 知识·技法·思维 考向01 双棒在等宽轨道上运动问题 1．初速度不为零，不受其他水平外力的作用 光滑的平行导轨 光滑的平行导轨 不光滑的平行导轨 示意图 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝La 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝La 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝La 摩擦力Ffb＝Ffa 动力学观点 杆b受安培力做变减速运动，杆a受安培力做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，以相等的速度匀速运动 开始时，两杆受安培力做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动 开始时，若Ff<F≤2Ff，则a杆先变加速后匀速运动；b杆静止。若F>2Ff，a杆先变加速后匀加速运动，b杆先静止后变加速最后和a杆同时做匀加速运动，且加速度相同 运动图像 动量观点 两杆组成的系统动量守恒 两杆组成的系统动量不守恒对单杆可以用动量定理 两杆组成的系统动量不守恒对单杆可以用动量定理 考向02 双棒在不等宽轨道上运动问题 1．初速度不为零，不受其他水平外力的作用 光滑不等距导轨 示意图 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝2La 动力学观点 杆b受安培力做变减速运动，杆a受安培力做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，两杆的速度之比为vb∶va＝1∶2 运动图像 动量观点 两杆组成的系统动量不守恒 对单杆可以用动量定理 典例·靶向·突破 题型01 双棒在等宽轨道上运动问题 1．自动化机械臂系统常采用电磁驱动方案，其为生产建设提供巨大便利。其模型简化如图所示，ab、cd、ef、gh为四条足够长的光滑平行金属轨道，abcd轨道平面与efgh轨道平面均与水平面平行，abcd轨道位于efgh轨道正上方，两轨道宽度都为，高度差为，通过导线ae、cg相连，轨道和导线电阻忽略不计。两轨道置于磁感应强度大小为，方向垂直轨道平面向下的匀强磁场中（未画出），相同的两个金属机械臂1和2分别位于abcd轨道和efgh轨道上，质量均为，电阻均为。机械臂1与机械臂2的距离d不能超过5m（两机械臂中点连线距离），否则机械臂2无法接收机械臂1发送的信号而断连。上方轨道左侧接有电容为的电容器。初始时，开关K断开，机械臂1以初速度向右运动，机械臂2静止，机械臂2位于机械臂1正下方，忽略电磁辐射效应。 (1)求初始时刻机械臂2的加速度大小； (2)保持开关K断开，通过计算判断机械臂1、2是否会断连； (3)保持开关K闭合，其他初始条件不变，求机械臂系统达到稳定状态时电容C的电压。 【答案】(1) (2)不会断连 (3) 【详解】（1）设机械臂1感应电动势为，机械臂2所受安培力为，加速度为，则，，， 联立解得 （2）因为两个机械臂的最大距离为5m，且，所以机械臂1与2之间相对位移的最大值为 当机械臂1与2共速时，系统稳定，此时达到最大值，根据系统动量守恒有 解得 对机械臂2应用动量定理 解得 又知 解得，故不会断连。 （3）保持开关K闭合，系统达到稳态时电路电流为0，两个机械臂共速，设共同速度为，故 对机械臂1应用动量定理 对机械臂2应用动量定理 设电容器最终的电荷量为，故 联立解得 题型解码 对于不在同一平面上运动的双杆的问题，动量守恒定律不适用，可以用牛顿运动定律、能量观点、动量定理进行解决。 2． 如图所示，间距为的光滑平行固定金属导轨、与水平面间夹角，、两金属杆居分界线两侧紧靠放置，上侧导轨光滑，下侧导轨与金属杆之间动摩擦因数。已知两金属杆质量，，电阻值，，整个区域有垂直于导轨平面向下的匀强磁场。初始时杆处于锁定状态，给杆沿导轨向上的初速度，杆向上运动的最大距离为，当杆再次回到初始位置前已做匀速运动。金属杆始终垂直于导轨且接触良好，忽略两金属杆之间的磁场力，导轨电阻不计，重力加速度取，设滑动摩擦力等于最大静摩擦力，求 (1)杆向上运动过程中通过杆的电荷量； (2)杆从开始运动到回到初始位置的时间； (3)若杆回到初始位置时，立即解除杆的锁定，同时给杆沿导轨向上的速度，、两杆在处发生完全弹性碰撞后，杆沿导轨向上运动的最大距离为，求两杆碰后到杆第一次速度为0的过程中杆产生的焦耳热。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律，平均电动势 总电阻 平均电流 电荷量 代入，得 （2）a杆回到初始位置前，安培力 匀速向下运动，合力为0，有 代入，，解得匀速速度 对a杆从出发到回到全程，取沿斜面向下为正方向，重力冲量 向上运动时安培力冲量为 向下运动时安培力冲量为 由（1）分析可知 由动量定理，得 整理得 解得 （3）取向上为正方向，碰撞前、两杆速度分别为， 完全弹性碰撞满足动量守恒，且没有动能损失，有， 解得碰撞后， 总动能 碰撞后对两杆组成的系统受力分析，合外力 合外力为0，系统动量守恒，满足 等式恒成立，则、两杆的速度关系始终满足 因此当时， 杆的位移为 则杆向下位移大小为 杆受到的摩擦力 摩擦生热 a重力势能增加 b重力势能减少 总势能变化为0，因此总焦耳热 串联电路焦耳热与电阻成正比，因此 题型02 双棒在不等宽轨道上运动问题 3．（多选）两根足够长的光滑金属导轨ABEF、CDGH按如图方式固定，平行且相距为的AB、CD与水平面夹角为倾斜放置，平行且相距为的EF、GH水平放置，在两导轨平面内各自存在磁感应强度大小为、方向垂直于导轨平面向下的匀强磁场。质量分别为和、长度分别为和、电阻不可忽略的金属杆MN和PQ垂直放置在导轨上，两杆在运动过程中始终垂直于导轨并与导轨保持接触良好。导轨的电阻不计，重力加速度大小为。现将杆MN从静止释放，MN始终未到达倾斜导轨底端，则关于回路中电流恒定后，下列说法正确的是（　　） A．金属杆MN中的电流方向为 B．金属杆PQ中的电流大小为 C．金属杆MN与PQ的速度大小之比为 D．金属杆MN与PQ的加速度大小之比为 【答案】ABD 【详解】A．右手定则可知，金属杆MN中的电流方向为M→N，故A正确； BD．设MN、PQ速度分别为，加速度大小分别为，当回路中电流恒定时，回路总电动势恒定为一常数，则有 两边对时间求导有 解得 对MN有 对PQ有 联立解得，故BD正确； C．由于电流稳定前瞬间两杆的初速度不为0，且稳定后两杆的加速度大小不等，故两个速度比值不能确定，故C错误。 故选ABD。 题型解码 对于双棒问题中无论有无摩擦阻力，若无外力情形，两棒最终运动状态为回路中的电流为零，若有外力且为恒力，两棒最终运动状态为回路中的电流恒定，可利用此结论结合闭合电路欧姆定律、牛顿第二定律、动量定理等进行求解。 4. （多选）如图所示，足够长的金属导轨和固定放置，其中与、与相互平行。左右两侧导轨间距分别为L和，所在平面与水平面夹角分别为和，导轨两侧空间均有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。质量均为m的均匀金属杆PQ和MN（杆长可视为分别与左右两导轨间距相等），垂直放置在导轨上。运动过程中，两金属杆与导轨保持光滑接触，始终垂直于导轨，电阻均为R，导轨足够长，电阻不计，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．若固定MN杆不动，释放PQ杆，PQ杆达到最大速度时两端的电势差为 B．若同时静止释放两杆，两杆的速度之比始终为定值 C．若同时静止释放两杆，当PQ杆的高度下降h时，此过程中通过PQ杆的电量为 D．若先释放PQ杆，当PQ杆速度达到时，再释放MN杆，PQ杆的最大速度为 【答案】BD 【详解】A．PQ杆达到最大速度时，加速度为0，处于平衡状态，对PQ进行分析，如图所示 此时感应电动势为 感应电流从Q流向P，大小为 安培力方向水平向右，大小为 沿导轨方向受力平衡则有 解得 此时PQ两端的电势差为，故A错误； B．设任意时刻的感应电流大小为I（以回路QPMN为正方向），对两杆分别进行受力分析，如图所示 其中， 对两杆进行分析，根据牛顿运动定律有， 可知，两杆的加速度始终满足 由于两杆初速度均为0，故两杆任意时刻的速度大小之比与位移大小之比均等于，故B正确； C．结合上述可知，PQ杆的高度下降h时，MN杆下降的高度满足 解得 回路的磁通量变化量为 感应电动势的平均值 感应电流的平均值 解得，故C错误； D．结合上述可知，在两杆均释放后的任意时刻，两杆加速度关系大小关系仍然有 可知，经历相等的时间后，两杆速度的变化量满足 设PQ最终能达到的最大速度为，MN最终能达到的最大速度为，则有 当两杆达到稳定速度时，两杆应均处于平衡状态，对PQ进行受力分析有 解得，故D正确。 故选BD。 1．（2026·吉林白山·一模）如图所示的装置水平地放在竖直向下、磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，电源电动势为E、内阻为R，两对平行且光滑的导轨的间距分别为d与2d。材质均匀的导体棒b、c的长度均为2d，电阻均为R，质量分别为m、 m，垂直置于导轨上。导轨足够长且不计电阻，从闭合开关到两导体棒达到稳定状态的全过程中，下列说法正确的是（　　） A．稳定前b、c棒加速度之比为1：2 B．稳定时导体棒b的速度为 C．稳定时导体棒b两端的电压为 D．导体棒c中产生的焦耳热为 【答案】D 【详解】A．稳定前通过b、c棒电流大小相等，根据牛顿第二定律可知，稳定前b、c棒加速度之比为，故A错误； B．稳定时b、c两导体棒产生的总电动势与E等大，因为稳定前b、c棒加速度之比为1∶4，故稳定时二者速度之比也为1∶4，设导体棒b的速度为v，则导体棒c的速度为4v，则稳定时两棒产生的反电动势与电源电动势关系为 解得，故B错误； C．稳定时导体棒b两端的电压为，故C错误； D．根据动量定理，对b棒有 联立解得 由能量守恒定律，电源提供的电能转化为动能和焦耳热 因为导体棒c中产生的焦耳热 联立解得，故D正确。 故选D。 2．（多选）（2026·辽宁沈阳·二模）如图，水平放置的光滑导轨，左右两部分间距之比为1:2，分别处于大小相等、方向相反且与导轨平面垂直的匀强磁场中。两根同种材质、不同粗细的导体棒，质量均为2kg，长度之比为1:2，垂直静置在轨道上。现用125N的水平拉力F作用在棒CD上，使其向右运动1m时撤去拉力，此时，此过程棒CD产生的热量为36J，两棒继续运动达到稳定状态。设导轨足够长且两棒始终在不同的磁场中运动，不计导轨电阻，下列说法正确的是（　　） A．在拉力F作用过程中，棒AB产生热量为9J B．撤去外力时，棒AB的速度为4m/s C．两棒稳定时，棒AB的速度为3.2m/s D．撤去外力到两棒稳定，回路中产生的热量为28.8J 【答案】ABD 【详解】A．由于导体棒材质相同、粗细不同，质量相等，长度之比为1:2，根据，可得 所以 所以，故A正确； B．撤去外力时，根据能量守恒定律可得， 联立可得，，故B正确； C．达到稳定时电路中电流为0，则有 对AB棒，根据动量定理可得 对CD棒，根据动量定理可得 联立解得，，故C错误； D．整个过程中，根据能量守恒定律可得 解得 所以撤去外力到两导体棒达到稳定的过程中，回路中产生的焦耳热为，故D正确。 故选ABD。 3．（多选）（2026·内蒙古赤峰·一模）如图两平行金属导轨的水平和竖直部分均足够长，间距为L，水平部分光滑，竖直部分粗糙。整个装置处于方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。导体棒M放在水平导轨上，导体棒N靠在竖直导轨的右侧固定。两导体棒的质量均为m，电阻均为R。导体棒N与导轨的动摩擦因数为。现用大小为F的水平向左的恒力作用在导体棒M上，同时释放导体棒N。经时间t导体棒N的速度恰好为0。两导体棒始终与导轨垂直且接触良好，其余电阻不计。下列说法正确的是（   ） A．经时间t导体棒M的速度为 B．经时间t导体棒M的位移为 C．经时间t通过导体棒M的电荷量为 D．当导体棒N的速度最大时导体棒M的速度为 【答案】ABD 【详解】A．对N竖直方向用动量定理：N初末速度均为0，动量变化为0， 即 得总电荷量 对M水平方向用动量定理，水平光滑，只有恒力和安培力冲量 代入 得 即 故A正确； B．电荷量公式 代入 得 解得 故B正确； C．由上述推导得 故C错误； D．N速度最大时竖直方向合力为0， 代入 得 即 故D正确。 故选ABD。 4．（2026·黑龙江吉林·二模）如图所示，相距的平行轨道由两部分组成，其中圆弧轨道光滑，水平轨道粗糙。水平轨道区域存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度。光滑导体棒的质量，接入电路的电阻，另一导体棒的质量，接入电路的电阻，放置在足够长的水平轨道上，导体棒与水平轨道间的动摩擦因数，光滑足够长斜面的倾角，斜面顶端固定一轻质光滑小定滑轮，滑轮与水平轨道等高。一绝缘轻绳绕过滑轮一端与导体棒相连，另一端与处于斜面上的物块相连，且与物块恰好均保持静止（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。现让棒从距水平轨道高为处由静止释放，已知重力加速度，求 (1)物块的质量； (2)棒刚进入磁场时，棒受到的安培力和棒的加速度。 【答案】(1) (2)； 【详解】（1）初始时与物块恰好静止，受力平衡，绳子拉力等于受到的最大静摩擦力，即 代入数据，， 约去得 （2）下滑过程机械能守恒 代入数据得 感应电动势 总电阻 感应电流 受到的安培力大小，方向水平向左。 将和物块视为整体，初始平衡时 因此整体合力等于安培力，由牛顿第二定律 代入数据得，方向水平向右。 5．（2026·辽宁营口·二模）间距为L、电阻不计且足够长的光滑平行导轨如图所示，水平和倾斜部分平滑连接。质量分别为2m和3m、电阻均为R的两金属棒b、c静置在水平导轨上，两金属棒平行且与导轨垂直。图中虚线de的右侧存在着范围足够大、方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量为m的绝缘棒a垂直放在倾斜导轨上，从高为h处由静止释放，运动到水平导轨上与金属棒b发生弹性正碰，碰后拿走棒a，金属棒b进入磁场始终未与金属棒c碰撞。重力加速度大小为g，求： (1)碰后瞬间金属棒b的速度大小v； (2)整个过程金属棒c产生的焦耳热Q； (3)整个过程通过金属棒c的电荷量q； (4)金属棒c的初始位置距磁场边界de的最小距离x。 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）a下滑过程中，由机械能守恒定律有 解得 a与b发生弹性碰撞，有， 解得 （2）b进入磁场后，b、c组成的系统动量守恒（安培力为内力），设它们最终共速的速度为，有 解得 总焦耳热 b、c的电阻相等，故 （3）由动量定理，对c有 即 解得 （4）设b恰好未与c相碰，电磁感应中， 平均感应电动势 平均电流 电荷量 解得 6．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图所示，间距的平行导轨、固定在水平面上，左侧连接一电容的电容器（耐压值足够大）。垂直于导轨的虚线与之间的导轨均为不导电的陶瓷材料（图中导轨上的虚线部分），其余导轨为金属材料。垂直于导轨的虚线左侧处于方向竖直向上、磁感应强度大小的匀强磁场中。质量、电阻不计的金属棒甲静止在左侧。金属棒乙和丙的质量均为、连入电路中的电阻均为，其中乙静止在与之间，丙静止在与之间。现给甲棒施加一与导轨平行、大小为6N的水平向右的恒力F，当其运动到时撤去F；之后甲与乙发生弹性碰撞，碰撞后瞬间乙棒的速度；当丙棒运动到时速度。不计一切摩擦及空气阻力，不计导轨电阻，金属棒始终垂直于导轨，且与导轨接触良好，进入或离开陶瓷段导轨的瞬间不损失机械能，重力加速度。 (1)求电容器上的最大电荷量； (2)求金属棒甲在恒力F的作用下向右运动的距离x； (3)若乙、丙在与之间没有相碰，求初始时丙与的最小距离。 【答案】(1)6C (2)6m (3)2m 【详解】（1）设金属棒甲与乙碰撞前甲的速度为，碰撞后甲的速度为，根据动量守恒定律有 发生弹性碰撞时机械能也守恒，所以有 解得， 在虚线处甲切割磁感线产生的感应电动势最大，即 根据电容器的定义式 电容器上的最大电荷量为 解得 （2）金属棒甲在拉力F作用下从静止开始做加速运动，设某一时刻的加速度为a，根据牛顿第二定律，有 其中 代入后可解得 即金属棒甲做匀加速运动，有 所以 （3）当丙的速度时，设乙的速度为，乙与丙在磁场中运动时切割磁感线产生感应电流，二者受到等大反向的安培力作用，所以乙与丙组成的系统动量是守恒的，有 可解得 对金属棒丙应用动量定理，有 即 根据运动学关系，有 即 解得初始时丙与的最小距离 7．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示，间距为的光滑平行金属导轨MN和PQ水平放置，其所在区域存在磁感应强度为的竖直向上匀强磁场。间距也为L的足够长导轨QED与NFC沿竖直方向平行放置，由半径的光滑圆弧轨道与倾角为的倾斜轨道在E、F点平滑连接组成，圆弧轨道最高点、圆心与水平轨道右端点处于同一竖直线上。EP下方倾斜轨道间有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，GH为磁场下边界。金属棒ab质量，金属棒ef质量，与倾斜导轨的动摩擦因数均为0.75，两棒粗细相同且阻值均为；若不计所有导轨的电阻，水平轨道与圆弧轨道交界处竖直距离恰好等于两金属棒直径（较小），忽略感应电流产生的磁场及两个磁场间的相互影响，取重力加速度，，，求： (1)初始时刻，两棒均被固定且距离为，已知随时间变化如图所示，求0.1s时ab棒所受安培力的大小； (2)若0.2s后某时刻解除两棒锁定的同时ab棒以的初速度向右运动，之后两棒（未发生碰撞）先后进入圆弧轨道，ab棒通过圆弧轨道最高点时，此处两个压力传感器（每轨一个图中未画出）的示数均比ef棒通过此处时增大5.1N，求ef棒从解除锁定后到通过圆弧轨道最高点过程中该棒上产生的焦耳热； (3)接（2），若ab棒在圆弧轨道上运动过程中，ef棒进入匀强磁场后在外力作用下迅速被锁定在与E、F距离d处（仍在磁场中），之后当ab棒经过E、F时ef棒锁定被同时解除，若ef棒离开磁场边界GH时的速度与ab棒速度相等（ab棒仍在磁场中且与ef棒未发生碰撞），为确保之后ab棒也能离开磁场，求d应该满足的条件范围。 【答案】(1)0.24N (2)0.35J (3) 【详解】（1）由法拉第电磁感应定律： 时， 安培力大小： （2）由动量守恒定理有： 由牛顿第二定律：， 由题意：     联立解得：， 由动能定理： 故ef上产生的焦耳热 （3）对ab棒由动能定理： 解得： 系统动量守恒： 解得 由于 ，故金属棒在不受安培力的情况下受力平衡，即在计算金属棒的运动情况时只需考虑安培力的影响 在磁场中不发生碰撞，由动量定理： 即： 两导体棒初始距离的最小值 ab棒恰好离开磁场，由动量定理： 求得， 故 8．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图所示，平面左侧区域有间距为的两平行光滑倾斜金属导轨，上端分别为和，和两点到平面的距离为。导轨与水平面夹角为，导轨电阻不计。平面左侧区域充满垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为；平面右侧区域充满方向竖直向上的匀强电场，电场强度大小为，还有平行于直线、由指向的水平向右逐渐增强的递变磁场，磁感应强度大小满足为常数，为到平面的距离大小。现在金属导轨上端处放置质量为、长度为的绝缘塑料棒，其上均匀分布着单位长度电荷量为的正电荷；在棒的下面分别放置质量为、长度为的导体棒，以及质量为、长度为的导体棒。两导体棒的电阻均为。初始时三个棒均被锁定，棒与棒的距离为时解除锁定，并用大小为、方向沿斜轨道向上的恒力拉动棒，经过一段时间，两棒刚好达到最大速度，此时，棒与棒恰好相遇并发生弹性碰撞，同时撤去恒力。已知三个棒运动过程中始终与导轨垂直，且棒上的电荷量在碰撞前后保持不变。不计空气阻力，重力加速度大小取。 (1)求两金属棒各自的最大速度； (2)求从时刻到、两棒相遇所用的时间； (3)若棒与棒碰撞后的瞬间在平面左侧区域内施加大小为、方向平行于导轨向下的匀强电场，且电场仅存在，测得棒进入右侧区域后第一次与平面距离最大时的最大距离为，求常数的大小。 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设两棒的最大速度分别为和，根据， 且安培力 因为 所以两棒组成的系统在沿导轨方向动量守恒 有 解得， （2）设两棒达到最大速度时的位移分别为和，运动时间为，对于棒，用动量定理得 即 其中 将代入得 又有， 由平均动量守恒得 联立得 （3）根据 以斜面向上为正方向，由动量守恒定律得 由机械能守恒定律得 解得 根据 得 时间 棒离开后电场即消失， ， 又因为，所以棒在平面右侧区域运动时动能不变 在竖直方向上 在竖直方向上，由动量定理得 即 解得 9．（2026·内蒙古乌兰察布·二模）如图所示，两足够长的光滑平行导轨沿水平方向固定，该导轨有两部分组成，左侧宽导轨的间距为，右侧窄导轨的间距为，整个空间存在竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场，质量为，长为，阻值为的导体棒a垂直放在左侧宽导轨上，质量为，长为，阻值为的导体棒b垂直放在右侧窄导轨上，时刻同时给导体棒a、b大小相等、方向相反的初速度，整个过程导体棒a、b始终没有离开宽导轨和窄导轨，两导体棒始终保持与导轨有良好的接触，不计导轨的电阻。求： (1)当导体棒b的速度为0时，导体棒b的加速度大小； (2)当回路中电流为0时，导体棒a、b的速度大小； (3)整个过程，流过导体棒b的电荷量以及导体棒b上产生的焦耳热。 【答案】(1) (2)， (3)， 【详解】（1）设导体棒的速度为0时，导体棒的速度为，规定向右为正方向，对导体棒，根据动量定理有 对导体棒，根据动量定理有 解得 由法拉第电磁感应定律可知，导体棒a产生的感应电动势 回路中的电流为 导体棒所受的安培力为 根据牛顿第二定律有 解得导体棒b的加速度大小 （2）根据牛顿第二定律，可知导体棒a、b的加速度分别为， 可得 所以导体棒b的速度先减为零，当回路中电流为0时，导体棒a、b的速度均向右，导体棒a、b的速度大小分别为、，两导体棒产生的感应电动势相互抵消，则有 可得 对导体棒，根据动量定理有 对导体棒，根据动量定理有 联立解得， （3）对导体棒，根据动量定理有 又 联立可得 代入数据解得 根据能量守恒，可得产生总的焦耳热为 上产生的焦耳热 联立解得 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴09 电磁感应中的双棒模型 命题预测 在2025年高考中，主要以法拉第电磁感应定律为核心，综合欧姆定律、牛顿运动定律、动量、能量等知识点。题目注重综合性，侧重力与电的综合应用。在命题方式上，这类题目通常以学习探索问题情景为载体，也可能出现与该部分内容相关的生活实践问题情景，如磁悬浮列车，电磁导轨炮、电磁驱动、电磁弹射、电磁制动等。 复习备考时，要重视对物理概念、物理规律的理解在应用中深化理解，夯实双基，其次要重视与电路、牛顿运动定律、动量、能量相结合的综合性题型训练，如与电路综合、与力学综合、与能量，动量综合问题。最后还必须强化答题规范，培养良好的答题习惯。 高频考法 1.双棒在等宽轨道上运动问题 2.双棒在不等宽轨道上运动问题 知识·技法·思维 考向01 双棒在等宽轨道上运动问题 1．初速度不为零，不受其他水平外力的作用 光滑的平行导轨 光滑的平行导轨 不光滑的平行导轨 示意图 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝La 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝La 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝La 摩擦力Ffb＝Ffa 动力学观点 杆b受安培力做变减速运动，杆a受安培力做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，以相等的速度匀速运动 开始时，两杆受安培力做变加速运动；稳定时，两杆以相同的加速度做匀加速运动 开始时，若Ff<F≤2Ff，则a杆先变加速后匀速运动；b杆静止。若F>2Ff，a杆先变加速后匀加速运动，b杆先静止后变加速最后和a杆同时做匀加速运动，且加速度相同 运动图像 动量观点 两杆组成的系统动量守恒 两杆组成的系统动量不守恒对单杆可以用动量定理 两杆组成的系统动量不守恒对单杆可以用动量定理 考向02 双棒在不等宽轨道上运动问题 1．初速度不为零，不受其他水平外力的作用 光滑不等距导轨 示意图 质量mb＝ma 电阻rb＝ra 长度Lb＝2La 动力学观点 杆b受安培力做变减速运动，杆a受安培力做变加速运动，稳定时，两杆的加速度均为零，两杆的速度之比为vb∶va＝1∶2 运动图像 动量观点 两杆组成的系统动量不守恒 对单杆可以用动量定理 典例·靶向·突破 题型01 双棒在等宽轨道上运动问题 1．自动化机械臂系统常采用电磁驱动方案，其为生产建设提供巨大便利。其模型简化如图所示，ab、cd、ef、gh为四条足够长的光滑平行金属轨道，abcd轨道平面与efgh轨道平面均与水平面平行，abcd轨道位于efgh轨道正上方，两轨道宽度都为，高度差为，通过导线ae、cg相连，轨道和导线电阻忽略不计。两轨道置于磁感应强度大小为，方向垂直轨道平面向下的匀强磁场中（未画出），相同的两个金属机械臂1和2分别位于abcd轨道和efgh轨道上，质量均为，电阻均为。机械臂1与机械臂2的距离d不能超过5m（两机械臂中点连线距离），否则机械臂2无法接收机械臂1发送的信号而断连。上方轨道左侧接有电容为的电容器。初始时，开关K断开，机械臂1以初速度向右运动，机械臂2静止，机械臂2位于机械臂1正下方，忽略电磁辐射效应。 (1)求初始时刻机械臂2的加速度大小； (2)保持开关K断开，通过计算判断机械臂1、2是否会断连； (3)保持开关K闭合，其他初始条件不变，求机械臂系统达到稳定状态时电容C的电压。 题型解码 对于不在同一平面上运动的双杆的问题，动量守恒定律不适用，可以用牛顿运动定律、能量观点、动量定理进行解决。 2． 如图所示，间距为的光滑平行固定金属导轨、与水平面间夹角，、两金属杆居分界线两侧紧靠放置，上侧导轨光滑，下侧导轨与金属杆之间动摩擦因数。已知两金属杆质量，，电阻值，，整个区域有垂直于导轨平面向下的匀强磁场。初始时杆处于锁定状态，给杆沿导轨向上的初速度，杆向上运动的最大距离为，当杆再次回到初始位置前已做匀速运动。金属杆始终垂直于导轨且接触良好，忽略两金属杆之间的磁场力，导轨电阻不计，重力加速度取，设滑动摩擦力等于最大静摩擦力，求 (1)杆向上运动过程中通过杆的电荷量； (2)杆从开始运动到回到初始位置的时间； (3)若杆回到初始位置时，立即解除杆的锁定，同时给杆沿导轨向上的速度，、两杆在处发生完全弹性碰撞后，杆沿导轨向上运动的最大距离为，求两杆碰后到杆第一次速度为0的过程中杆产生的焦耳热。 题型02 双棒在不等宽轨道上运动问题 3．（多选）两根足够长的光滑金属导轨ABEF、CDGH按如图方式固定，平行且相距为的AB、CD与水平面夹角为倾斜放置，平行且相距为的EF、GH水平放置，在两导轨平面内各自存在磁感应强度大小为、方向垂直于导轨平面向下的匀强磁场。质量分别为和、长度分别为和、电阻不可忽略的金属杆MN和PQ垂直放置在导轨上，两杆在运动过程中始终垂直于导轨并与导轨保持接触良好。导轨的电阻不计，重力加速度大小为。现将杆MN从静止释放，MN始终未到达倾斜导轨底端，则关于回路中电流恒定后，下列说法正确的是（　　） A．金属杆MN中的电流方向为 B．金属杆PQ中的电流大小为 C．金属杆MN与PQ的速度大小之比为 D．金属杆MN与PQ的加速度大小之比为 题型解码 对于双棒问题中无论有无摩擦阻力，若无外力情形，两棒最终运动状态为回路中的电流为零，若有外力且为恒力，两棒最终运动状态为回路中的电流恒定，可利用此结论结合闭合电路欧姆定律、牛顿第二定律、动量定理等进行求解。 4. （多选）如图所示，足够长的金属导轨和固定放置，其中与、与相互平行。左右两侧导轨间距分别为L和，所在平面与水平面夹角分别为和，导轨两侧空间均有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小均为B。质量均为m的均匀金属杆PQ和MN（杆长可视为分别与左右两导轨间距相等），垂直放置在导轨上。运动过程中，两金属杆与导轨保持光滑接触，始终垂直于导轨，电阻均为R，导轨足够长，电阻不计，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．若固定MN杆不动，释放PQ杆，PQ杆达到最大速度时两端的电势差为 B．若同时静止释放两杆，两杆的速度之比始终为定值 C．若同时静止释放两杆，当PQ杆的高度下降h时，此过程中通过PQ杆的电量为 D．若先释放PQ杆，当PQ杆速度达到时，再释放MN杆，PQ杆的最大速度为 1．（2026·吉林白山·一模）如图所示的装置水平地放在竖直向下、磁感应强度大小为B 的匀强磁场中，电源电动势为E、内阻为R，两对平行且光滑的导轨的间距分别为d与2d。材质均匀的导体棒b、c的长度均为2d，电阻均为R，质量分别为m、 m，垂直置于导轨上。导轨足够长且不计电阻，从闭合开关到两导体棒达到稳定状态的全过程中，下列说法正确的是（　　） A．稳定前b、c棒加速度之比为1：2 B．稳定时导体棒b的速度为 C．稳定时导体棒b两端的电压为 D．导体棒c中产生的焦耳热为 2．（多选）（2026·辽宁沈阳·二模）如图，水平放置的光滑导轨，左右两部分间距之比为1:2，分别处于大小相等、方向相反且与导轨平面垂直的匀强磁场中。两根同种材质、不同粗细的导体棒，质量均为2kg，长度之比为1:2，垂直静置在轨道上。现用125N的水平拉力F作用在棒CD上，使其向右运动1m时撤去拉力，此时，此过程棒CD产生的热量为36J，两棒继续运动达到稳定状态。设导轨足够长且两棒始终在不同的磁场中运动，不计导轨电阻，下列说法正确的是（　　） A．在拉力F作用过程中，棒AB产生热量为9J B．撤去外力时，棒AB的速度为4m/s C．两棒稳定时，棒AB的速度为3.2m/s D．撤去外力到两棒稳定，回路中产生的热量为28.8J 3．（多选）（2026·内蒙古赤峰·一模）如图两平行金属导轨的水平和竖直部分均足够长，间距为L，水平部分光滑，竖直部分粗糙。整个装置处于方向竖直向下的匀强磁场中，磁感应强度大小为B。导体棒M放在水平导轨上，导体棒N靠在竖直导轨的右侧固定。两导体棒的质量均为m，电阻均为R。导体棒N与导轨的动摩擦因数为。现用大小为F的水平向左的恒力作用在导体棒M上，同时释放导体棒N。经时间t导体棒N的速度恰好为0。两导体棒始终与导轨垂直且接触良好，其余电阻不计。下列说法正确的是（   ） A．经时间t导体棒M的速度为 B．经时间t导体棒M的位移为 C．经时间t通过导体棒M的电荷量为 D．当导体棒N的速度最大时导体棒M的速度为 4．（2026·黑龙江吉林·二模）如图所示，相距的平行轨道由两部分组成，其中圆弧轨道光滑，水平轨道粗糙。水平轨道区域存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度。光滑导体棒的质量，接入电路的电阻，另一导体棒的质量，接入电路的电阻，放置在足够长的水平轨道上，导体棒与水平轨道间的动摩擦因数，光滑足够长斜面的倾角，斜面顶端固定一轻质光滑小定滑轮，滑轮与水平轨道等高。一绝缘轻绳绕过滑轮一端与导体棒相连，另一端与处于斜面上的物块相连，且与物块恰好均保持静止（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。现让棒从距水平轨道高为处由静止释放，已知重力加速度，求 (1)物块的质量； (2)棒刚进入磁场时，棒受到的安培力和棒的加速度。 5．（2026·辽宁营口·二模）间距为L、电阻不计且足够长的光滑平行导轨如图所示，水平和倾斜部分平滑连接。质量分别为2m和3m、电阻均为R的两金属棒b、c静置在水平导轨上，两金属棒平行且与导轨垂直。图中虚线de的右侧存在着范围足够大、方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。质量为m的绝缘棒a垂直放在倾斜导轨上，从高为h处由静止释放，运动到水平导轨上与金属棒b发生弹性正碰，碰后拿走棒a，金属棒b进入磁场始终未与金属棒c碰撞。重力加速度大小为g，求： (1)碰后瞬间金属棒b的速度大小v； (2)整个过程金属棒c产生的焦耳热Q； (3)整个过程通过金属棒c的电荷量q； (4)金属棒c的初始位置距磁场边界de的最小距离x。 6．（2026·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图所示，间距的平行导轨、固定在水平面上，左侧连接一电容的电容器（耐压值足够大）。垂直于导轨的虚线与之间的导轨均为不导电的陶瓷材料（图中导轨上的虚线部分），其余导轨为金属材料。垂直于导轨的虚线左侧处于方向竖直向上、磁感应强度大小的匀强磁场中。质量、电阻不计的金属棒甲静止在左侧。金属棒乙和丙的质量均为、连入电路中的电阻均为，其中乙静止在与之间，丙静止在与之间。现给甲棒施加一与导轨平行、大小为6N的水平向右的恒力F，当其运动到时撤去F；之后甲与乙发生弹性碰撞，碰撞后瞬间乙棒的速度；当丙棒运动到时速度。不计一切摩擦及空气阻力，不计导轨电阻，金属棒始终垂直于导轨，且与导轨接触良好，进入或离开陶瓷段导轨的瞬间不损失机械能，重力加速度。 (1)求电容器上的最大电荷量； (2)求金属棒甲在恒力F的作用下向右运动的距离x； (3)若乙、丙在与之间没有相碰，求初始时丙与的最小距离。 7．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图所示，间距为的光滑平行金属导轨MN和PQ水平放置，其所在区域存在磁感应强度为的竖直向上匀强磁场。间距也为L的足够长导轨QED与NFC沿竖直方向平行放置，由半径的光滑圆弧轨道与倾角为的倾斜轨道在E、F点平滑连接组成，圆弧轨道最高点、圆心与水平轨道右端点处于同一竖直线上。EP下方倾斜轨道间有垂直于导轨平面向下的匀强磁场，GH为磁场下边界。金属棒ab质量，金属棒ef质量，与倾斜导轨的动摩擦因数均为0.75，两棒粗细相同且阻值均为；若不计所有导轨的电阻，水平轨道与圆弧轨道交界处竖直距离恰好等于两金属棒直径（较小），忽略感应电流产生的磁场及两个磁场间的相互影响，取重力加速度，，，求： (1)初始时刻，两棒均被固定且距离为，已知随时间变化如图所示，求0.1s时ab棒所受安培力的大小； (2)若0.2s后某时刻解除两棒锁定的同时ab棒以的初速度向右运动，之后两棒（未发生碰撞）先后进入圆弧轨道，ab棒通过圆弧轨道最高点时，此处两个压力传感器（每轨一个图中未画出）的示数均比ef棒通过此处时增大5.1N，求ef棒从解除锁定后到通过圆弧轨道最高点过程中该棒上产生的焦耳热； (3)接（2），若ab棒在圆弧轨道上运动过程中，ef棒进入匀强磁场后在外力作用下迅速被锁定在与E、F距离d处（仍在磁场中），之后当ab棒经过E、F时ef棒锁定被同时解除，若ef棒离开磁场边界GH时的速度与ab棒速度相等（ab棒仍在磁场中且与ef棒未发生碰撞），为确保之后ab棒也能离开磁场，求d应该满足的条件范围。 8．（2026·辽宁抚顺·模拟预测）如图所示，平面左侧区域有间距为的两平行光滑倾斜金属导轨，上端分别为和，和两点到平面的距离为。导轨与水平面夹角为，导轨电阻不计。平面左侧区域充满垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为；平面右侧区域充满方向竖直向上的匀强电场，电场强度大小为，还有平行于直线、由指向的水平向右逐渐增强的递变磁场，磁感应强度大小满足为常数，为到平面的距离大小。现在金属导轨上端处放置质量为、长度为的绝缘塑料棒，其上均匀分布着单位长度电荷量为的正电荷；在棒的下面分别放置质量为、长度为的导体棒，以及质量为、长度为的导体棒。两导体棒的电阻均为。初始时三个棒均被锁定，棒与棒的距离为时解除锁定，并用大小为、方向沿斜轨道向上的恒力拉动棒，经过一段时间，两棒刚好达到最大速度，此时，棒与棒恰好相遇并发生弹性碰撞，同时撤去恒力。已知三个棒运动过程中始终与导轨垂直，且棒上的电荷量在碰撞前后保持不变。不计空气阻力，重力加速度大小取。 (1)求两金属棒各自的最大速度； (2)求从时刻到、两棒相遇所用的时间； (3)若棒与棒碰撞后的瞬间在平面左侧区域内施加大小为、方向平行于导轨向下的匀强电场，且电场仅存在，测得棒进入右侧区域后第一次与平面距离最大时的最大距离为，求常数的大小。 9．（2026·内蒙古乌兰察布·二模）如图所示，两足够长的光滑平行导轨沿水平方向固定，该导轨有两部分组成，左侧宽导轨的间距为，右侧窄导轨的间距为，整个空间存在竖直向下、磁感应强度大小为的匀强磁场，质量为，长为，阻值为的导体棒a垂直放在左侧宽导轨上，质量为，长为，阻值为的导体棒b垂直放在右侧窄导轨上，时刻同时给导体棒a、b大小相等、方向相反的初速度，整个过程导体棒a、b始终没有离开宽导轨和窄导轨，两导体棒始终保持与导轨有良好的接触，不计导轨的电阻。求： (1)当导体棒b的速度为0时，导体棒b的加速度大小； (2)当回路中电流为0时，导体棒a、b的速度大小； (3)整个过程，流过导体棒b的电荷量以及导体棒b上产生的焦耳热。 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 压轴09 电磁感应中的双棒模型 典例·靶向·突破 题型01 双棒在等宽轨道上运动问题 1． 【答案】(1) (2)不会断连 (3) 【详解】（1）设机械臂1感应电动势为，机械臂2所受安培力为，加速度为，则，，， 联立解得 （2）因为两个机械臂的最大距离为5m，且，所以机械臂1与2之间相对位移的最大值为 当机械臂1与2共速时，系统稳定，此时达到最大值，根据系统动量守恒有 解得 对机械臂2应用动量定理 解得 又知 解得，故不会断连。 （3）保持开关K闭合，系统达到稳态时电路电流为0，两个机械臂共速，设共同速度为，故 对机械臂1应用动量定理 对机械臂2应用动量定理 设电容器最终的电荷量为，故 联立解得 2． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据法拉第电磁感应定律，平均电动势 总电阻 平均电流 电荷量 代入，得 （2）a杆回到初始位置前，安培力 匀速向下运动，合力为0，有 代入，，解得匀速速度 对a杆从出发到回到全程，取沿斜面向下为正方向，重力冲量 向上运动时安培力冲量为 向下运动时安培力冲量为 由（1）分析可知 由动量定理，得 整理得 解得 （3）取向上为正方向，碰撞前、两杆速度分别为， 完全弹性碰撞满足动量守恒，且没有动能损失，有， 解得碰撞后， 总动能 碰撞后对两杆组成的系统受力分析，合外力 合外力为0，系统动量守恒，满足 等式恒成立，则、两杆的速度关系始终满足 因此当时， 杆的位移为 则杆向下位移大小为 杆受到的摩擦力 摩擦生热 a重力势能增加 b重力势能减少 总势能变化为0，因此总焦耳热 串联电路焦耳热与电阻成正比，因此 题型02 双棒在不等宽轨道上运动问题 3． 【答案】ABD 【详解】A．右手定则可知，金属杆MN中的电流方向为M→N，故A正确； BD．设MN、PQ速度分别为，加速度大小分别为，当回路中电流恒定时，回路总电动势恒定为一常数，则有 两边对时间求导有 解得 对MN有 对PQ有 联立解得，故BD正确； C．由于电流稳定前瞬间两杆的初速度不为0，且稳定后两杆的加速度大小不等，故两个速度比值不能确定，故C错误。 故选ABD。 4. 【答案】BD 【详解】A．PQ杆达到最大速度时，加速度为0，处于平衡状态，对PQ进行分析，如图所示 此时感应电动势为 感应电流从Q流向P，大小为 安培力方向水平向右，大小为 沿导轨方向受力平衡则有 解得 此时PQ两端的电势差为，故A错误； B．设任意时刻的感应电流大小为I（以回路QPMN为正方向），对两杆分别进行受力分析，如图所示 其中， 对两杆进行分析，根据牛顿运动定律有， 可知，两杆的加速度始终满足 由于两杆初速度均为0，故两杆任意时刻的速度大小之比与位移大小之比均等于，故B正确； C．结合上述可知，PQ杆的高度下降h时，MN杆下降的高度满足 解得 回路的磁通量变化量为 感应电动势的平均值 感应电流的平均值 解得，故C错误； D．结合上述可知，在两杆均释放后的任意时刻，两杆加速度关系大小关系仍然有 可知，经历相等的时间后，两杆速度的变化量满足 设PQ最终能达到的最大速度为，MN最终能达到的最大速度为，则有 当两杆达到稳定速度时，两杆应均处于平衡状态，对PQ进行受力分析有 解得，故D正确。 故选BD。 1． 【答案】D 【详解】A．稳定前通过b、c棒电流大小相等，根据牛顿第二定律可知，稳定前b、c棒加速度之比为，故A错误； B．稳定时b、c两导体棒产生的总电动势与E等大，因为稳定前b、c棒加速度之比为1∶4，故稳定时二者速度之比也为1∶4，设导体棒b的速度为v，则导体棒c的速度为4v，则稳定时两棒产生的反电动势与电源电动势关系为 解得，故B错误； C．稳定时导体棒b两端的电压为，故C错误； D．根据动量定理，对b棒有 联立解得 由能量守恒定律，电源提供的电能转化为动能和焦耳热 因为导体棒c中产生的焦耳热 联立解得，故D正确。 故选D。 2． 【答案】ABD 【详解】A．由于导体棒材质相同、粗细不同，质量相等，长度之比为1:2，根据，可得 所以 所以，故A正确； B．撤去外力时，根据能量守恒定律可得， 联立可得，，故B正确； C．达到稳定时电路中电流为0，则有 对AB棒，根据动量定理可得 对CD棒，根据动量定理可得 联立解得，，故C错误； D．整个过程中，根据能量守恒定律可得 解得 所以撤去外力到两导体棒达到稳定的过程中，回路中产生的焦耳热为，故D正确。 故选ABD。 3． 【答案】ABD 【详解】A．对N竖直方向用动量定理：N初末速度均为0，动量变化为0， 即 得总电荷量 对M水平方向用动量定理，水平光滑，只有恒力和安培力冲量 代入 得 即 故A正确； B．电荷量公式 代入 得 解得 故B正确； C．由上述推导得 故C错误； D．N速度最大时竖直方向合力为0， 代入 得 即 故D正确。 故选ABD。 4． 【答案】(1) (2)； 【详解】（1）初始时与物块恰好静止，受力平衡，绳子拉力等于受到的最大静摩擦力，即 代入数据，， 约去得 （2）下滑过程机械能守恒 代入数据得 感应电动势 总电阻 感应电流 受到的安培力大小，方向水平向左。 将和物块视为整体，初始平衡时 因此整体合力等于安培力，由牛顿第二定律 代入数据得，方向水平向右。 5． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）a下滑过程中，由机械能守恒定律有 解得 a与b发生弹性碰撞，有， 解得 （2）b进入磁场后，b、c组成的系统动量守恒（安培力为内力），设它们最终共速的速度为，有 解得 总焦耳热 b、c的电阻相等，故 （3）由动量定理，对c有 即 解得 （4）设b恰好未与c相碰，电磁感应中， 平均感应电动势 平均电流 电荷量 解得 6． 【答案】(1)6C (2)6m (3)2m 【详解】（1）设金属棒甲与乙碰撞前甲的速度为，碰撞后甲的速度为，根据动量守恒定律有 发生弹性碰撞时机械能也守恒，所以有 解得， 在虚线处甲切割磁感线产生的感应电动势最大，即 根据电容器的定义式 电容器上的最大电荷量为 解得 （2）金属棒甲在拉力F作用下从静止开始做加速运动，设某一时刻的加速度为a，根据牛顿第二定律，有 其中 代入后可解得 即金属棒甲做匀加速运动，有 所以 （3）当丙的速度时，设乙的速度为，乙与丙在磁场中运动时切割磁感线产生感应电流，二者受到等大反向的安培力作用，所以乙与丙组成的系统动量是守恒的，有 可解得 对金属棒丙应用动量定理，有 即 根据运动学关系，有 即 解得初始时丙与的最小距离 7． 【答案】(1)0.24N (2)0.35J (3) 【详解】（1）由法拉第电磁感应定律： 时， 安培力大小： （2）由动量守恒定理有： 由牛顿第二定律：， 由题意：     联立解得：， 由动能定理： 故ef上产生的焦耳热 （3）对ab棒由动能定理： 解得： 系统动量守恒： 解得 由于 ，故金属棒在不受安培力的情况下受力平衡，即在计算金属棒的运动情况时只需考虑安培力的影响 在磁场中不发生碰撞，由动量定理： 即： 两导体棒初始距离的最小值 ab棒恰好离开磁场，由动量定理： 求得， 故 8． 【答案】(1)， (2) (3) 【详解】（1）设两棒的最大速度分别为和，根据， 且安培力 因为 所以两棒组成的系统在沿导轨方向动量守恒 有 解得， （2）设两棒达到最大速度时的位移分别为和，运动时间为，对于棒，用动量定理得 即 其中 将代入得 又有， 由平均动量守恒得 联立得 （3）根据 以斜面向上为正方向，由动量守恒定律得 由机械能守恒定律得 解得 根据 得 时间 棒离开后电场即消失， ， 又因为，所以棒在平面右侧区域运动时动能不变 在竖直方向上 在竖直方向上，由动量定理得 即 解得 9． 【答案】(1) (2)， (3)， 【详解】（1）设导体棒的速度为0时，导体棒的速度为，规定向右为正方向，对导体棒，根据动量定理有 对导体棒，根据动量定理有 解得 由法拉第电磁感应定律可知，导体棒a产生的感应电动势 回路中的电流为 导体棒所受的安培力为 根据牛顿第二定律有 解得导体棒b的加速度大小 （2）根据牛顿第二定律，可知导体棒a、b的加速度分别为， 可得 所以导体棒b的速度先减为零，当回路中电流为0时，导体棒a、b的速度均向右，导体棒a、b的速度大小分别为、，两导体棒产生的感应电动势相互抵消，则有 可得 对导体棒，根据动量定理有 对导体棒，根据动量定理有 联立解得， （3）对导体棒，根据动量定理有 又 联立可得 代入数据解得 根据能量守恒，可得产生总的焦耳热为 上产生的焦耳热 联立解得 / 学科网（北京）股份有限公司 $