2.3 函数的奇偶性与周期性 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“函数的奇偶性与周期性”专题，依据高考评价体系梳理了定义理解、性质应用、综合解题三大考查维度，通过近五年高考真题分析明确了奇偶性判断占30%、周期性应用占40%的高频考点分布，构建了知识网络与题型体系。 课件亮点在于“双基自测+考点突破+素养提升”的备考策略，如以2025年全国一卷周期偶函数题为例，用定义法和性质法剖析解题思路，培养学生的逻辑推理和数学运算素养。特设易错点警示和提能训练，帮助学生掌握答题技巧，教师可据此精准指导复习，实现高效备考。

第二章 函数 第三讲　函数的奇偶性与周期性 知识梳理·双基自测 名师讲坛·素养提升 考点突破·互动探究 提能训练　练案[8] 知识梳理 · 双基自测 返回导航 知 识 梳 理 知识点一　函数的奇偶性   偶函数 奇函数 定义 如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x 都有________________，那么函数f(x)是偶函数 都有__________________，那么函数f(x)是奇函数 图象特征 关于________对称 关于________对称 f(－x)＝f(x) f(－x)＝－f(x) y轴 原点 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 知识点二　函数的周期性 1．周期函数 对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有_________________，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． 2．最小正周期 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个______________，那么这个____________就叫做f(x)的最小正周期． f(x＋T)＝f(x) 最小的正数 最小正数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 归 纳 拓 展 1．奇(偶)函数定义的等价形式 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为奇函数，在公共定义域内 (1)y＝f(x)±g(x)为奇函数； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 3．对f(x)的定义域内任一自变量的值x，最小正周期为T (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2|a|； (3)若f(x＋a)＝f(x＋b)，则T＝|a－b|. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 5．一些重要类型的奇偶函数(a>0，a≠1) (1)函数f(x)＝ax＋a－x为偶函数，函数f(x)＝ax－a－x为奇函数(a>0，a≠1)； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 双 基 自 测 题组一　走出误区 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于函数y＝f(x)，若f(－2)＝－f(2)，则函数y＝f(x)是奇函数.(　　) (2)函数y＝x2，x∈(－2，2]是偶函数．(　　) (3)若函数f(x)是奇函数，则必有f(0)＝0.(　　) (4)若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈N*)也是函数f(x)的周期. (　　) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 (6)2π是函数f(x)＝sin x，x∈(－∞，0)的一个周期．(　　) [答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√　(6)× (6)当x＝－π时，f(x＋2π)＝f(π)，π∉(－∞，0)无意义，故错误． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 题组二　走进教材 2．(多选题)(必修1习题3.2 T5改编)下列函数中为奇函数的是(　　) A．f(x)＝x4 B．f(x)＝x5 [答案]　BC [解析]　根据奇函数的定义知奇函数满足f(－x)＝－f(x)，且定义域关于原点对称，A选项为偶函数；B选项为奇函数；C选项为奇函数；D选项是偶函数．故选BC． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 3．(必修1习题3.2 T12改编)已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，那么a＋b的值是(　　) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 4．(必修1习题3.2 T1改编)若函数y＝f(x)(x∈R)是奇函数，则下列坐标表示的点一定在函数y＝f(x)图象上的是(　　) A．(a，－f(a)) B．(－a，－f(a)) C．(－a，－f(－a)) D．(a，f(－a)) [答案]　B [解析]　∵函数y＝f(x)为奇函数，∴f(－a)＝－f(a).即点(－a，－f(a))一定在函数y＝f(x)的图象上． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 5．(必修1习题3.2 T11改编)定义在R上的奇函数f(x)以2为周期，则f(1)＋f(2)＋f(3)的值是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 [答案]　A [解析]　根据函数的周期性和奇偶性得到f(3)＝f(－1)＝－f(1)、f(2)＝f(0)＝0，从而可求f(1)＋f(2)＋f(3).因为函数以2为周期，所以f(3)＝f(－1)，f(2)＝f(0)，因为函数是定义在R上的奇函数，所以f(－1)＝－f(1)，f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(1)＋f(0)－f(1)＝0，故选A． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 7．(2024·上海卷)设a∈R，且f(x)＝x3＋a是奇函数，则a＝________. [答案]　0 [解析]　∵f(x)是奇函数，∴f(0)＝0，即03＋a＝0，解得a＝0. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 考点突破 · 互动探究 返回导航 函数的奇偶性 考向1　判断函数的奇偶性——自主练透 判断下列函数的奇偶性． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [分析]　先求出定义域，看定义域是否关于原点对称，在定义域内，解析式带绝对值号的先化简，计算f(－x)，再判断f(－x)与f(x)之间的关系．抽象函数常用赋值法判断． [解析]　(1)f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称． 又f(－1)＝f(1)＝0，f(－1)＝－f(1)＝0， 所以f(x)既是奇函数又是偶函数． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 ∴f(x)为奇函数． (4)如图，作出函数f(x)的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数f(x)为奇函数． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨：判断函数的奇偶性的方法 1．定义法 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．图象法 3．性质法：设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇±奇＝奇，奇×奇＝偶，偶±偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 考向2　函数奇偶性的综合应用——多维探究 角度1　利用性质求解析式(值) 1．(2026·海南模拟)设函数g(x)＝f(x)＋x2是定义在R上的奇函数，且F(x)＝f(x)＋3x，若f(1)＝1，则F(－1)＝(　　) [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．(2025·吕梁统考)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝e－x＋2x－1，则当x≥0时，f(x)＝________. [答案]　－ex＋2x＋1 [解析]　因为f(x)是定义在R上的奇函数，则当x＝0时，f(0)＝0.当x>0时，－x<0，f(x)＝－f(－x)＝－(ex－2x－1)＝－ex＋2x＋1，又f(0)＝－e0＋2×0＋1＝0，则当x≥0时，f(x)＝－ex＋2x＋1. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 角度2　利用奇偶性求参数的值或取值范围 [答案]　－1　1 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨： 1．求函数解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式． 2．求解析式中的参数值：在定义域关于原点对称的前提下，利用f(x)为奇函数⇔f(－x)＝－f(x)，f(x)为偶函数⇔f(x)＝f(－x)，列式求解，也可利用特殊值法求解．对于在x＝0处有定义的奇函数f(x)，可考虑列等式f(0)＝0求解． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 函数的周期性——师生共研 设f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f(x＋2)＝－f(x).当x∈[0，2)时，f(x)＝2x－x2. (1)求证：f(x)是周期函数； (2)求f(2)的值； (3)当x∈(2，4]时，求f(x)的解析式； (4)计算f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 026)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　(1)证明：∵f(x＋2)＝－f(x)， ∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)． ∴f(x)是周期为4的周期函数． (2)f(2)＝f(0＋2)＝－f(0)＝0. (3)当x∈(－2，0]时，－x∈[0，2)，由已知得 f(－x)＝2(－x)－(－x)2＝－2x－x2. 又f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)＝－2x－x2. ∴f(x)＝x2＋2x. 又当x∈(2，4]时，x－4∈(－2，0]， ∴f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 又f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(x)＝f(x－4)＝(x－4)2＋2(x－4)＝x2－6x＋8. 即当x∈(2，4]时，f(x)＝x2－6x＋8. (4)∵f(0)＝0，f(1)＝1，f(2)＝0，f(3)＝－1， 且f(x)是周期为4的周期函数， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋f(3)＝f(4)＋f(5)＋f(6)＋f(7)＝…＝f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＝0. f(2 024)＝f(0)＝0，f(2 025)＝f(1)＝1，f(2 026)＝f(2)＝0， ∴f(0)＋f(1)＋f(2)＋…＋f(2 021)＋f(2 022)＋f(2 023)＋f(2 024)＋f(2 025)＋f(2 026)＝1. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨： 函数周期性的三个常用结论： 1．若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师讲坛 · 素养提升 返回导航 函数三大性质的综合应用 [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　解法一：(定义法)∵f(x＋2)是偶函数，则f(－x＋2)＝f(x＋2)．又∵f(2x＋1)是奇函数，则f(－2x＋1)＝－f(2x＋1)．∴f(1)＝－f(1)可得f(1)＝0.∴f(－1)＝－f(3)＝－f(1)＝0.故选B． 解法二：(平移法)y＝f(x＋2)右移两个单位得到y＝f(x)，因此y＝f(x)关于x＝2对称，即f(x)＝f(4－x)，又y＝f(2x＋1)为定义在R上的奇函数，所以f(2×0＋1)＝0，∴f(1)＝0，∴f(－1)＝f[2×(－1)＋1]＝－f(2×1＋1)＝－f(3)＝－f(4－3)＝－f(1)＝0，故选B． 解法三：(特例法) 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　①③ 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 是R上的偶函数，所以函数y＝f(x)在[－3，0]上为减函数，而f(x)的周期为6，所以函数y＝f(x)在[－9，－6]上为减函数，故②错误，③f(3)＝0，f(x)的周期为6，所以f(－9)＝f(－3)＝f(3)＝f(9)＝0，函数y＝f(x)在[－9，9]上有四个零点，故③正确． 解法二：图象法 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 名师点拨： 函数的奇偶性、周期性及单调性，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 A．－21 B．－22 C．－23 D．－24 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　由y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，可得g(2＋x)＝g(2－x)．在f(x)＋g(2－x)＝5中，用－x替换x，可得f(－x)＋g(2＋x)＝5，可得f(－x)＝f(x)①，y＝f(x)为偶函数．在g(x)－f(x－4)＝7中，用2－x替换x，得g(2－x)＝f(－x－2)＋7，代入f(x)＋g(2－x)＝5中，得f(x)＋f(－x－2)＝－2②，所以y＝f(x)的图象关于点(－1，－1)中心对称，所以f(1)＝f(－1)＝－1.由①②可得f(x)＋f(x＋2)＝－2，所以f(x＋2)＋f(x＋4)＝－2，所以f(x＋4)＝f(x)，所以函数f(x)是以4为周期的周期函数．由f(x)＋g(2－x)＝5可得f(0)＋g(2)＝5,又g(2)＝4，所以可得f(0)＝1，又f(x)＋f(x＋2)＝－2， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．(多选题)已知f(x)的定义域为R，其函数图象关于直线x＝－3对称，且f(x＋3)＝f(x－3)，若当x∈[0，3]时，f(x)＝2x＋1，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)为偶函数 B．f(x)在[－6，－3]上单调递减 C．f(x)关于直线x＝3对称 D．f(100)＝5 [答案]　ACD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　f(x)的图象关于直线x＝－3对称， 则f(－x)＝f(x－6)， 又f(x＋3)＝f(x－3)，则f(x)的周期T＝6， ∴f(－x)＝f(x－6)＝f(x)， ∴f(x)为偶函数，故A正确； 当x∈[0，3]时，f(x)＝2x＋1单调递增， ∵T＝6，故f(x)在[－6，－3]上也单调递增，故B不正确； f(x)关于直线x＝－3对称且T＝6， ∴f(x)关于直线x＝3对称，故C正确； f(100)＝f(16×6＋4)＝f(4)＝f(－2)＝f(2)＝5，故D正确． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 提能训练　练案[8] 返回导航 A组基础巩固 一、单选题 1．(2026·山西质检)下列函数是偶函数的是(　　) A．y＝sin x B．y＝cos x C．y＝x3 D．y＝3x [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．(2026·东北三省三校第一次联合模拟)已知函数f(x)为R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝ex＋x＋m，则f(－1)等于(　　) A．e B．－e C．e＋1 D．－e－1 [答案]　B [解析]　因为函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝e0＋0＋m＝0，解得m＝－1，f(－1)＝－f(1)＝－(e＋1－1)＝－e.故选B． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 3．已知f(x)＝ax2＋bx＋c是定义在[b－1，2b]上的奇函数，则a＋b＋c＝(　　) [答案]　B 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 4．已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝f(x)，则f(2 026)等于(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 [答案]　B [解析]　由已知得，T＝2，f(2 026)＝f(0)＝0.故选B． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　C 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 6．(2025·广东广州三模)已知奇函数f(x)和偶函数g(x)的定义域均为R，且满足g(x)＝f(x)＋e－x，则[f(x)]2＋[g(x)]2＝(　　) A．1 B．－1 C．f(2x) D．g(2x) [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 7．(2025·山东济南二模)设f(x)为偶函数，当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1，则使f(x)>0的x的取值范围是(　　) A．{x|x>1} B．{x|－1<x<0} C．{x|x<－1或x>1} D．{x|－1<x<0或x>1} [答案]　C [解析]　因为x∈(0，＋∞)时，f(x)＝x－1单调递增，又因为f(x)为偶函数，故可以作出f(x)的图象如图所示，由图象可知，若f(x)>0，则x<－1或x>1.故选C. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 二、多选题 9．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(　　) A．y＝f(|x|) B．y＝f(－x) C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x [答案]　BD [解析]　由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；B项，f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，为奇函数；C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．可知B、D正确． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 10．(2025·青海海东三模)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝－f(x)，f(1)＝π，则(　　) A．f(11)＝π B．f(8)＝π C．f(99)＋f(88)＝0 D．2为f(x)的一个周期 [答案]　ACD [解析]　由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，则2为f(x)的一个周期，D正确；f(11)＝f(1)＝π，A正确；f(8)＝f(0)＝－f(1)＝－π，B错误；f(99)＋f(88)＝f(1)＋f(0)＝0，C正确．故选ACD． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 11．设函数f(x)＝2x－1＋21－x，则下列说法错误的是(　　) A．f(x)在(0，＋∞)上单调递增 B．f(x)为奇函数 C．f(x)的图象关于直线x＝1对称 D．f(x)的图象关于点(1，0)对称 [答案]　ABD [解析]　∵f(x)＝2x－1＋21－x，∴f(2－x)＝2(2－x)－1＋21－(2－x)＝21－x＋2x－1＝f(x)，即f(x)＝f(2－x)，即f(x)的图象关于直线x＝1对称，故C正确，A、D错误；∵f(－1)≠－f(1)，∴f(x)不是奇函数，故B错误． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 三、填空题 12．(2025·广东茂名二模)已知函数f(x)在R上单调递增，函数g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)＋g(x)＝x，则g(x)可以是________.(写出一个满足条件的函数即可) [答案]　x－x3(答案不唯一) [解析]　根据题意只要函数f(x)是R上单调递增的奇函数即可符合题意，所以f(x)＝x3，即g(x)可以是x－x3，故答案为x－x3(答案不唯一)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 13．(2026·重庆沙坪坝模拟)已知函数f(x)＝sin x·(2x＋a·2－x)为偶函数，则实数a的值为________. [答案]　－1 [解析]　∵y＝sin x为奇函数，当函数f(x)＝sin x·(2x＋a·2－x)为偶函数时，函数g(x)＝2x＋a·2－x为奇函数，所以g(0)＝1＋a＝0，解得a＝－1.经验证符合题意． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 14．(2026·福建三明期中)已知奇函数f(x)在x≥0的图象如图所示，则不等式x·f(x)<0的解集是________. [答案]　(－2，－1)∪(1，2) [解析]　∵x·f(x)<0，则当x>0时，f(x)<0，结合函数的图象可得1<x<2，当x<0时，f(x)>0，根据奇函数的图象关于原点对称可得－2<x<－1，∴不等式x·f(x)<0的解集为(－2，－1)∪(1，2)． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 15．已知函数f(x)，对∀x∈R满足f(1－x)＝f(1＋x)，f(x＋2)＝－f(x)，且f(0)＝0，则f(26)＝________. [答案]　0 [解析]　∵f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(26)＝f(2)．∵对∀x∈R有f(1－x)＝f(1＋x)，∴f(x)的图象关于x＝1对称，∴f(2)＝f(0)＝0，即f(26)＝0. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 B组能力提升 1．(2025·上海三模)下列函数中是奇函数的为(　　) A．y＝sin x·ex B．y＝x3－x2 [答案]　D 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 2．设f(x)是R上的偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数，若x1<0且x1＋x2>0，则(　　) A．f(－x1)>f(－x2) B．f(－x1)＝f(－x2) C．f(－x1)<f(－x2) D．f(－x1)与f(－x2)的大小不能确定 [答案]　A [解析]　因为x1<0且x1＋x2>0，所以x2>－x1>0，又因为f(x)在(0,＋∞)上是减函数，且f(x)是R上的偶函数，所以f(－x2)＝f(x2)<f(－x1)．故选A. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 3．(2026·江苏连云港模拟)设f(x)是定义在R上的函数，若f(x)＋x2是奇函数，f(x)＋2x是偶函数，则f(－1)的值为(　　) [答案]　A 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 4．(多选题)函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，f(x＋1)是偶函数，则(　　) A．f(0)＝1 B．f(x)是周期函数 C．f(x＋3)为奇函数 D．f(x＋5)为偶函数 [答案]　BD [解析]　因为f(x＋1)是偶函数，所以函数f(x)的图象关于x＝1对称，即f(－x)＝f(2＋x),又函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，f(0)＝0，于是f(2＋x)＝－f(x)，即有f(4＋x)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)的一个周期为4，故A错误，B正确；设g(x)＝f(x＋3)，则g(－x)＝f(－x＋3)＝f(－1＋x)＝f(x＋3)，即g(x)＝g(－x)，所以f(x＋3)为偶函数，C错误；设h(x)＝f(x＋5)，则h(－x)＝f(－x＋5)＝f(x－3)＝f(x＋5)，即h(x)＝h(－x)，所以f(x＋5)为偶函数，D正确．故选BD． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 5．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且它的图象关于直线x＝1对称． (1)求证：f(x)是周期为4的周期函数； 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　(1)证明：由函数f(x)的图象关于直线x＝1对称， 有f(x＋1)＝f(1－x)，即有f(－x)＝f(x＋2)． 又函数f(x)是定义在R上的奇函数， 故有f(－x)＝－f(x)．故f(x＋2)＝－f(x)． 从而f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)， 所以f(x)是周期为4的周期函数． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 (2)由函数f(x)是定义在R上的奇函数，有f(0)＝0. 当x∈[－1，0)时， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 (1)求函数f(x)的解析式； (2)判断函数f(x)在[－1，1]上的单调性，并用定义证明； (3)解不等式f(2t)＋f(t－1)>0. 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 ∵－1≤x1<x2≤1，∴x1－x2<0，1－x1x2>0， ∴f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)， ∴函数f(x)在[－1，1]上为减函数． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 (3)由题意，不等式f(2t)＋f(t－1)>0可化为f(2t)>f(1－t)， 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 C组拓展应用(选作) (多选题)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－f(x)，且f(x)在[－1，0]上是增函数．则下列命题正确的是(　　) A．f(x)是周期函数 B．f(x)的图象关于直线x＝1对称 C．f(x)在[1，2]上是增函数 D．f(2)＝f(0) [答案]　ABD 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 [解析]　因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，即f(x)是周期函数，故A正确；因为f(x＋2)＝－f(x)，所以f(－x＋2)＝－f(－x)．又因为f(x)为奇函数，所以f(2－x)＝f(x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，故B正确；因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0.因为f(x)在[－1，0]上为增函数，且f(x)为奇函数，所以f(x)在[0，1]上为增函数．因为f(x)关于直线x＝1对称，所以f(x)在[1，2]上为减函数，故C错误；因为f(x＋2)＝－f(x)，令x＝0得f(2)＝－f(0)＝f(0)，故D正确． 返回导航 高考一轮总复习 • 数学 第二章　函数 谢谢观看 (1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1(f(x)≠0)⇔f(x)为偶函数； (2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1(f(x)≠0)⇔f(x)为奇函数． (2)y＝f(x)g(x)与y＝(g(x)≠0)均为偶函数； (3)y＝f[g(x)]与y＝g[f(x)]均为奇函数． 同理若y＝f(x)与y＝g(x)在公共定义域内均为偶函数，则y＝f(x)±g(x)，y＝f(x)g(x)，y＝(g(x)≠0)，y＝f[g(x)]，y＝g[f(x)]均为偶函数． 若y＝f(x)为奇函数，y＝g(x)为偶函数，则在公共定义域内y＝f(x)g(x)与y＝(g(x)≠0)均为奇函数，y＝f[g(x)]与y＝g[f(x)]均为偶函数． (2)若f(x＋a)＝，则T＝2|a|； 4．函数图象的对称关系 (1)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝f(b－x)，则f(x)的图象关于直线x＝对称； (2)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则f(x)的图象关于点对称． (2)函数f(x)＝＝为奇函数(a>0，a≠1)； (3)函数f(x)＝loga 为奇函数(a>0，a≠1，b≠0)； (4)函数f(x)＝loga(x＋)为奇函数(a>0，a≠1)． (5)定义在R上周期为T(T≠0)的奇函数y＝f(x)一定有f＝0.(　　) [解析]　(5)f＝f＝f，又f＝－f，∴f＝0. C．f(x)＝x＋ D．f(x)＝ A．－ B． C． D．－ [解析]　因为f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1，2a]上的偶函数，所以a－1＋2a＝0，所以a＝.又f(－x)＝f(x)，所以b＝0，所以a＋b＝. 题组三　走向考场 6．(2025·全国一卷)已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f＝(　　) A．－ B．－ C． D． [解析]　由f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数得，f＝f　　＝f＝f，又当2≤x≤3时，f(x)＝5－2x，则f＝f＝5－2×＝－.故选A． (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝ln(x＋)； (4)f(x)＝ (2)f(－x)＝＝＝＝－f(x)，∴f(x)为奇函数． (3)f(－x)＝ln(－x＋)， f(－x)＋f(x)＝ln[(－x＋)(x＋)]＝ln(x2＋1－x2)＝0， A．－　　 B．－　　 C．－　　 D． [解析]　因为g(x)是奇函数，所以g(－x)＝－g(x)，即f(－x)＋x2＝　　－f(x)－x2，即f(－x)＋f(x)＝－2x2.因为f(1)＝1，所以f(－1)＝－3．所以F(－1)＝f(－1)＋3－1＝－3＋＝－. (2025·邯郸二模)已知b>0，函数f(x)＝是奇函数，则a＝_______，b＝________. [解析]　根据题意，函数f(x)＝是奇函数，其定义域为R，则有f(0)＝0，f(1)＝－f(－1)，即解得当a＝－1，b＝1时，f(x)＝＝2x－2－x，其定义域为R，且f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，即f(x)为奇函数，故a＝－1，b＝1. 【变式训练】 1．(角度1)(2026·哈尔滨模拟)已知函数f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)－g(x)＝ex，则＝(　　) A． B． C． D． [解析]　根据题意,f(x)－g(x)＝ex，则f(1)－g(1)＝e①，f(－1)－g(－1)＝－f(1)－g(1)＝e－1＝，变形可得f(1)＋g(1)＝－②，联立①②可得，f(1)＝，g(1)＝－，则有＝＝. 2．(角度2)(2026·龙岩模拟)若函数f(x)＝(x＋a)ln为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C． D．1 [解析]　解法一：由>0，得x>或x<－，因为f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)，得(－x＋a)ln＝(x＋a)ln，即(－x＋a)ln＝(x＋a)ln，即(－x＋a)ln－1＝(x＋a)ln，则(x－a)ln＝(x＋a)ln，所以x－a＝x＋a，得－a＝a，得a＝0. 解法二：f(x)为偶函数，则有f(－1)＝f(1)，即(－1＋a)ln 3＝(1＋a)ln ，解得a＝0. 解法三：g(x)＝ln ，g(－x)＝－g(x)，则g(x)为奇函数，若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则h(x)＝x＋a为奇函数，得a＝0. 2．若f(x＋a)＝，则T＝2a； 3．若f(x＋a)＝－，则T＝2a.(a>0) 【变式训练】 (2025·安康统考)设f(x)是定义域为R的偶函数，且f(2＋x)＝f(－x)，f＝，则f等于(　　) A．－ B．－ C． D． [解析]　因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以f(－x)＝f(x)，故f(2＋x)＝f(－x)＝f(x)，所以f(x)的一个周期为2，故f＝f＝f＝f＝. 可构造f(x)＝cos符合题意，故选B． [解析]　解法一：①对于任意x∈R，都有f(x＋6)＝f(x)＋f(3)成立，令x＝－3，则f(－3＋6)＝f(－3)＋f(3)，又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(3)＝0.所以f(x＋6)＝f(x)，所以f(x)的周期为6，又因为f(x)是R上的偶函数，所以f(x＋6)＝f(－x)，而f(x)的周期为6，所以f(x＋6)＝f(－6＋x)，f(－x)＝f(－x－6)，所以f(－6－x)＝f(－6＋x)，所以直线x＝－6是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴，故①正确．②当x1，x2∈[0，3]，且x1≠x2时，都有>0，所以函数y＝f(x)在[0，3]上为增函数，因为f(x) 【变式训练】 1．(2022·全国乙卷)已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)＋g(2－x)＝5，g(x)－f(x－4)＝7.若y＝g(x)的图象关于直线x＝2对称，g(2)＝4，则(k)＝(　　) 所以f(0)＋f(2)＝－2，得f(2)＝－3，又f(3)＝f(－1)＝－1，f(4)＝f(0)＝1，所以(k)＝6f(1)＋6f(2)＋5f(3)＋5f(4)＝6×(－1)＋6×(－3)＋5×(－1)＋5×1＝－24.故选D． [解析]　对于A，因为sin(－x)＝－sin x，所以函数y＝sin x为奇函数，故A不正确；对于B，因为cos(－x)＝cos x，所以函数y＝cos x为偶函数，故B正确；对于C，因为(－x)3＝－x3，所以函数y＝x3为奇函数，故C不正确；对于D，因为3－x＝，所以函数y＝3x为非奇非偶函数，故D不正确．综上所述，选B． A．－ B． C． D．－ [解析]　依题意a＝c＝0，且2b＋(b－1)＝0，∴b＝，则a＋b＋c＝.故选B． 5．(2026·江西模拟)已知函数f(x)＝cos x为奇函数，则m＝(　　) A．5 B．4 C． D．1 [解析]　函数f(x)的定义域为R，且f(x)是奇函数，则f(－x)＋f(x)＝cos(－x)＋cos x＝0，而cos x不恒为0，因此2m－－＝0，所以m＝.故选C． [解析]　∵g(x)＝f(x)＋e－x，∴g(－x)＝f(－x)＋ex.∵f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)是定义在R上的偶函数，∴g(－x)＝g(x)，f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＋e－x＝f(－x)＋ex＝－f(x)＋ex，∴f(x)＝，g(x)＝f(x)＋e－x＝＋e－x＝.∴[f(x)]2＋[g(x)]2＝2＋2＝＋＝＝g(2x)．故选D． 8．(2026·全国模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且满足f(1＋x)＝　　－f(1－x)，f(x＋2)为偶函数，当x∈[1，2]时，f(x)＝ax2＋bx，若f(0)＋f(3)＝5，则f＝(　　) A． B．－ C． D．－ [解析]　因为f(1＋x)＝－f(1－x)，所以f(x)＝－f(2－x)　①，则函数f(x)的图象关于点(1，0)对称．因为f(x＋2)为偶函数，所以f(－x＋2)＝f(x＋2)　②，则函数f(x)的图象关于直线x＝2对称．由①②得f(x＋2)＝－f(x)，则f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，故f(x)的周期为4，所以f＝f＝f.由f(－x＋1)＝－f(x＋1)，令x＝0，得f(1)＝0，即a＋b＝0　③.已知f(0)＋f(3)＝5，由函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，得f(3)＝f(1)＝0.又函数f(x)的图象关于点(1，0)对称，得f(0)＝－f(2)，所以f(0)＋f(3)＝－f(2)＝5， 即f(2)＝－5，所以4a＋2b＝－5　④.联立③④解得a＝－，b＝，故当x∈[1，2]时，f(x)＝－x2＋x.由f(x)的图象关于点(1，0)对称，可得f＝f＝－f＝－＝.故选A． C．y＝cos 2x D．y＝log2 [解析]　对于A，sin(－1)·e－1＝－≠－(sin 1·e1)，即x取－1，1时的函数值不互为相反数，A不是；对于B，(－1)3－(－1)2＝－2≠0＝－(13－12)，即x取－1，1时的函数值不互为相反数，B不是；对于C，y＝cos 2x是偶函数，且cos(2×0)＝1≠0，即cos 2x不恒为0，C不是；对于D，函数y＝log2的定义域为(－1，1)，而log2＝log2＝－log2，函数y＝log2是奇函数，D是．故选D． A．－ B．－ C． D． [解析]　由于函数y＝f(x)＋x2是奇函数，函数y＝f(x)＋2x为偶函数，所以即，解得f(－1)＝－.故选A． (2)若f(x)＝(0≤x≤1)，求当x∈[－5，－4]时，函数f(x)的解析式． 即－x∈(0，1]，f(x)＝－f(－x)＝－. 故x∈[－1，0]时，f(x)＝－. 当x∈[－5，－4]时，x＋4∈[－1，0]， f(x)＝f(x＋4)＝－. 从而，x∈[－5，－4]时，函数f(x)＝－. 6．(2026·四川绵阳高三模拟)已知函数f(x)＝是定义在[－1，1]上的奇函数，且f(1)＝－1. [解析]　(1)函数f(x)＝是定义在[－1，1]上的奇函数， f(－x)＝＝－＝－f(x)， 解得b＝0， ∴f(x)＝，而f(1)＝－1，解得a＝－2， ∴f(x)＝－，x∈[－1，1]． (2)函数f(x)＝－在[－1，1]上为减函数；证明如下： 任意x1，x2∈[－1，1]且x1<x2， 则f(x1)－f(x2)＝－＋＝－， ∴解得0≤t<， 所以该不等式的解集为. $