第七章 随机变量及其分布（复习课件）数学人教A版选择性必修第三册

单元复习课件 第七章 随机变量及其分布 人教A版选择性必修第三册·高二 学习内容导览 单元知识图谱 2 单元复习目标 1 3 考点串讲 针对训练 5 题型剖析 4 6 课堂总结 1.通过复习，加深对条件概率的理解与掌握；理解条件概率与独立性的关系；能够熟练使用乘法公式、全概率公式计算概率；加深对离散型随机变量分布列及其数字特征（均值、方差）的理解与掌握；掌握二项分布及其数字特征，了解超几何分布及其均值，能解决简单的实际问题；了解正态分布的特征、均值与方差及其含义； 3.条件概率意义的理解，全概率公式的应用;在实际问题中抽象模型的特征，识别二项分布与超几何分布，描述服从正态分布的随机变量的概率分布。 2. 条件概率，事件的独立性与条件概率的关系,概率的乘法公式与全概率公式；离散型随机变量分布列及其数字特征,二项分布,超几何分布，正态分布； 单元学习目标 条件概率与全概率公式 条件概率 全概率公式 随机变量 离散型随机变量 分布列 均值和方差 二项分布 超几何分布 连续型随机变量 正态分布 单元知识图谱 一、条件概率与全概率公式 （一）条件概率 1. 条件概率： 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称 为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. 考点串讲 一、条件概率与全概率公式 （一）条件概率 2.求条件概率有两种方法： 方法一：公式法 是基于样本空间Ω，先计算P(A)和P(AB)，再利用条件概率公式求P(B|A)； 方法二：缩小样本空间法 是根据条件概率的直观意义, 增加了“A发生”的条件后, 样本空间缩小为A, 求P(B|A)就是以A为样本空间计算AB的概率. 注意：利用缩小样本空间求条件概率问题，应搞清楚是求哪个事件的样本点数. 在古典概型下，n(AB)指事件A与事件B同时发生的样本点个数；n(A)是指事件A发生的样本点个数． 考点串讲 一、条件概率与全概率公式 （一）条件概率 4.概率的乘法公式 3.条件概率与事件独立性的关系 当P(A)>0时，当且仅当事件A与B相互独立时，有P(B|A)=P(B). 由条件概率的定义，对于任意两个事件A与B，若P(A)>0，则 考点串讲 一、条件概率与全概率公式 （一）条件概率 5.条件概率的性质： 条件概率只是缩小了样本空间, 因此条件概率同样具有概率的性质. 设P(A)>0，则： 考点串讲 一、条件概率与全概率公式 （二）全概率公式 1.全概率公式 　　一般地，设A1, A2, …, An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai)>0，i=1, 2, …, n，则对任意的事件 ，有 2.全概率公式的使用条件 ②A1∪A2∪…∪An=Ω； ③P(Ai)>0, 且 . ①A1, A2, …, An是一组两两互斥的事件； 考点串讲 一、条件概率与全概率公式 （二）全概率公式 ① 某一事件B的发生可能有各种的原因，如果B是由原因Ai(i=1,2，,…,n)(Ai 互斥，构成一个完备事件)所引起，则B发生的概率是BAi(i=1,2，,…,n)发生概率的总和。 ③可以形象地把全概率公式看成为“由原因求结果”，每个原因对结果的发生有一定的“作用”. ②每一原因都可能导致B发生，故B发生的概率是各原因Ai引起BAi(i=1,2,…,n)发生概率的总和，即全概率公式. 3.对公式的理解： 考点串讲 一、条件概率与全概率公式 （二）全概率公式 (1)设事件：把事件B(结果事件)看作某一过程的结果, 把A1, A2, …, An 看作导致结果的若干个原因； (2)求概率：由已知，写出每一原因发生的概率(即P(Ai)),且每一原因对结果的影响程度(即P(B|Ai ))； (3)代公式：用全概率公式计算结果发生的概率(即P(B) ). 4.利用全概率公式求复杂事件概率的步骤： 考点串讲 一、条件概率与全概率公式 （二）全概率公式 5.*贝叶斯公式： 设A1, A2, …, An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An=Ω，且P(Ai )>0，i=1, 2, …, n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有 考点串讲 二、离散型随机变量及其分布列 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量，通常用字母X，Y，Z等表示． 1.随机变量 2.离散型随机变量 所有取值为有限个或可以一一列举的随机变量称为离散型随机变量. 考点串讲 二、离散型随机变量及其分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi为X的概率分布列，简称分布列，也可以表格的形式表示如下： 3.离散型随机变量的分布列 X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 4.离散型随机变量分布列的性质: 考点串讲 二、离散型随机变量及其分布列 5.两点分布 对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”， 表示“失败”,定义 如果P(A)＝p，则P( )＝1－p，那么X的分布列如下表所示. X 0 1 P 1－p p 我们称X服从两点分布或0 ￚ 1分布. 考点串讲 （一）离散型随机变量的均值 三、离散型随机变量的数字特征 1.离散随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列如下表所示， X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 为随机变量X的均值或数学期望， 数学期望简称期望. 则称 均值是随机变量可能取值关于取值概率的加权平均数，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的平均水平. 考点串讲 （一）离散型随机变量的均值 三、离散型随机变量的数字特征 则称 为随机变量X的方差， 有时也记为Var(X)，并称 为随机变量X的标准差，记为σ(X). 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中；方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 考点串讲 （一）离散型随机变量的均值 三、离散型随机变量的数字特征 2.离散随机变量的均值与方差的性质 3.两点分布的均值与方差 若随机变量X服从两点分布，且E(X=1)=p，E(X=0)=1ￚp.则 考点串讲 （一）二项分布 四、二项分布与超几何分布 1.伯努利试验 2.n重伯努利试验 只包含两个可能结果的试验. 将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验. n重伯努利试验具有如下共同特征: (1) 同一个伯努利试验重复做n次； (2) 各次试验的结果相互独立. (3)每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不发生； (4)每次试验是在同样条件下进行的； 考点串讲 （一）二项分布 四、二项分布与超几何分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p (0<p<1)，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为 3.二项分布 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布， 记作X ~ B(n, p). 若X~B(n, p)，则有 4.二项分布的均值与方差 考点串讲 （二）超几何分布 四、二项分布与超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品. 从N件产品中随机抽取n件(不放回)，用X表示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为 1. 超几何分布 其中n, N, M∈N*，M≤N，n≤N，m＝max{0, n-(N-M)}, r＝min{n, M}. 如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布. 2. 超几何分布的均值 考点串讲 五、正态分布 1.正态分布 显然，对任意的x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方，可以证明x轴和曲线之间的区域的面积为1. 我们称f(x)为正态密度函数，称它的图象为正态密度曲线，简称正态曲线，若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X~N(μ, σ2). 其中μ∈R，σ>0为参数. 特别地，当μ=0, σ=1时，称随机变量X服从标准正态分布. 考点串讲 五、正态分布 2.正态曲线的特点 (3) 当|x| 无限增大时，曲线无限接近 x 轴. (1) 曲线是单峰的，它关于直线 x=μ 对称； (4) x轴和曲线之间的区域的面积为1. (2) 曲线在x=μ处达到峰值 3.正态分布的均值与方差 考点串讲 五、正态分布 4.3σ原则 假设X~N(μ, σ2)，可以证明: 对给定的k∈N*，P(μ-kσ≤X≤μ+kσ)是一个只与k有关的定值. 在实际应用中, 通常认为服从于正态分布N(μ, σ2)的随机变量X只取[μ-3σ, μ+3σ]中的值, 这在统计学中称为3σ原则. 考点串讲 【题型一】条件概率与全概率公式 【例1】 某地举办了一次地区性的中国象棋比赛，小明作为选手参加.除小明外的 其他参赛选手中，一、二、三类棋手的人数之比为 ，小明与一、二、三类棋 手比赛获胜的概率分别是，， . (1)从参赛选手中随机抽取一位棋手与小明比赛，求小明获胜的概率； [解析] 记事件“小明获胜”，事件“小明与第 类棋手比赛”， 由题可得，，， ， ，， . 由全概率公式可知 . 题型剖析 【题型一】条件概率与全概率公式 （2）如果小明获胜，求与小明比赛的棋手为一类棋手的概率. [解析] 由条件概率公式可得 ， 即在小明获胜的条件下，对手为一类棋手的概率为 . 题型剖析 【训练1】(1)某校高二年级要从5名男生和2名女生中任选3人参加数学竞赛（每人被 选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少有一人被选 中的概率是__. [解析] “男生甲被选中”记作事件 ，“男生乙和女生丙至少有一人被选中”记作事件 ， 则， ， 所以 . 针对训练 【训练1】(2)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继 续投篮，若未命中则换对方投篮.无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均 为 ，乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人 是甲、乙的概率各为 ，则第2次投篮的人是乙的概率为____. 0.6 [解析] 记“第次投篮的人是甲”为事件，“第 次投篮的人是乙”为事件， ,2, 则 . 针对训练 【题型二】离散型随机变量的分布列、均值和方差 【例2】某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成.比赛具体规则如下： 第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩 为0分；若至少投中1次，则该队进入第二阶段.第二阶段由该队的另一名队员投篮3次， 每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和. 某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为 ,乙每次投中的概率为 ,各 次投中与否相互独立. (1)若, ,甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的 概率. [解析] 由题意知甲参加第一阶段比赛与乙参加第二阶段比赛是相互独立事件. 因此甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率为 . 题型剖析 【题型二】离散型随机变量的分布列、均值和方差 （2）假设 . （i）为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ [解析] 设由甲参加第一阶段比赛，该队比赛成绩为15分的概率为 ， 乙参加第一阶段比赛，该队比赛成绩为15分的概率为 ， 则， . 则， 又，所以 ,， ，则应由甲参加第一阶段， 这样才能使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大. 题型剖析 【题型二】离散型随机变量的分布列、均值和方差 （ii）为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？ [解析] 设甲参加第一阶段比赛，该队比赛成绩为，则 的可能取值为0,5,10,15.则 ， ， ， ， 所以由甲参加第一阶段比赛，该队比赛成绩的数学期望为 . 题型剖析 【题型二】离散型随机变量的分布列、均值和方差 设乙参加第一阶段比赛，该队比赛成绩为 ，同理可得乙参加第一阶段比赛， 该队比赛成绩的数学期望 . ， 因为，所以,，所以 . 则由甲参加第一阶段比赛时，该队比赛成绩的数学期望最大. 题型剖析 【训练2】甲、乙两人进行定点投篮游戏，投篮者若投中，则继续投篮，否则由对方 投篮，第一次由甲投，已知每次投篮甲、乙命中的概率分别为， .记在前3次投篮中， 乙投篮的次数为 ，求随机变量 的分布列、数学期望和方差. [解析] 依题意知， 的所有可能取值为0,1,2， ； ； ， 所以 的分布列为 0 1 2 所以数学期望 ， 方差 . 针对训练 【题型三】二项分布与超几何分布 【例3】 某研究机构为了解某地中学生的阅读情况，随 机抽样调查了 名中学生，对这些中学生每周的平均阅 读时间（单位： 进行统计，并将样本数据分成 ， ，，， 九组，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知 这名中学生中每周平均阅读时间不少于 的人数是2. （1）求和 的值； [解析] 由题意得 . . 题型剖析 【题型三】二项分布与超几何分布 （2）为进一步了解这 名中学生关于数字媒体阅读时间和纸质图书阅读时间的分配 情况，从周平均阅读时间在， 内的学生中，采用分层随机抽样 的方法抽取了6人，现从这6人中随机抽取3人，记周平均阅读时间在内的中 学生人数为，求 的分布列和数学期望. [解析] 依题意，周平均阅读时间在， 内的人数之比为， 则6人中周平均阅读时间在 内的人数为2，故 的所有可能取值为0，1，2， 则 ， ， . 所以 的分布列为 0 1 2 所以 . 题型剖析 【训练3】 在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品. (1)若从这10件产品中任意抽取1件，设抽取到的一等品的件数为 ，求 的分布列； [解析] 由题意知 的可能取值为0,1， 所以 服从两点分布， ， 则， 因此 的分布列为 0 1 针对训练 (2)若从这10件产品中有放回地随机抽取3次，每次抽取1件，设抽取到的一等品的 件数为 ，求 的分布列； 【训练3】 在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品. [解析] 若有放回地随机抽取3次，每次1件，则每次抽到一等品的概率均为 ，3次 抽取可以看成3次独立重复试验， 因此，它的分布列为， , 1,2,3，如表： 0 1 2 3 针对训练 【训练3】 在10件产品中，有3件一等品、4件二等品、3件三等品. (3)若从这10件产品中无放回地随机抽取3次，每次抽取1件，设抽取到的一等品的件 数为 ，求： （i） 的分布列； [解析] 若无放回地随机抽取3次，每次1件，则随机抽取3次可看成随机抽取1次，且1 次抽取了3件，因此一等品的件数 服从超几何分布，所以从10件产品中任意抽取3件， 其中恰有 件一等品的概率为， ,1,2,3， 所以 的分布列为 0 1 2 3 针对训练 （ii）抽取到的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率. [解析] 设事件 “抽取到的3件产品中一等品件数多于二等品件数”， “抽取到的3件产品中恰好有1件一等品和2件三等品”， “抽取到的3件产品中恰好有2件一等品”， “抽取到的3件产品均为一等品”， 则事件，，彼此互斥，且 . 因为，， ， 所以 ， 即抽取到的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为 . 针对训练 【题型四】正态分布 【例4】 某市在实施垃圾分类之前，从本市人口数量在两万左右的320个社区中随机 抽取50个社区，对这50个社区某天产生的垃圾量（单位：吨）进行了调查，得到频数 分布表，并将人口数量在两万左右，且一天内产生的垃圾量超过28吨的社区确定为 “超标”社区. 垃圾量/吨 ，15.5） ，18.5） ，21.5） ，24.5） 频数 5 6 9 12 垃圾量/吨 ，27.5） ，30.5） ， 频数 8 6 4 题型剖析 【题型四】正态分布 (1)在频数分布表中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，求这50个社区在这一 天产生的垃圾量的平均数精确到 ； [解析] 由题中频数分布表得， . (2)若该市人口数量在两万左右的社区一天产生的垃圾量 （单位：吨）服从正态分布 ，其中 ， 分别近似为样本平均数，样本方差，经计算约为 ，请利 用正态分布的知识估计这320个社区在这一天是“超标”社区的个数（结果保留整数）； [解析] 由（1）知 . 因为约为，所以取 ， 所以 ， 又 ， 所以估计这320个社区在这一天中是“超标”社区的个数为51. 题型剖析 【题型四】正态分布 (3)通过研究样本原始数据发现，抽取的50个社区中这一天共有8个“超标”社区，市政 府决定对这8个“超标”社区的垃圾来源进行跟踪调查，现计划在这8个“超标”社区中随 机抽取5个进行跟踪调查，设 为抽到的社区中这一天产生的垃圾量不少于30.5吨的个 数，求 的分布列与数学期望.附：若，则 ， ， . [解析] 由频数分布表知，8个“超标”社区中这一天产生的垃圾量不少于30.5吨的有4个， 所以 的可能取值为1，2，3，4， ， 所以 的分布列为 1 2 3 4 所以 . 题型剖析 【训练4】某食品厂生产一种零食,该种零食每袋的质量单位: 服从正态分布 . (1)当质检员随机抽检该种零食时,测得1袋零食的质量为 ，他立即要求停止生产， 检查设备,请你根据所学知识,判断该质检员的决定是否有道理，并说明判断的依据； [解析] 因为，所以, ， 所以, , 则 ， 因为 很小，所以此事件为小概率事件，而质检员随机抽检该种 零食时，测得1袋零食的质量为，易知 ,说明小概率 事件发生了，因此他立即要求停止生产，检查设备的决定有道理. 针对训练 (2)规定：一袋的质量在 的这种零食为合格品，求这种零食的合格率 （精确到 ）. [解析] 因为,，所以, , 由题意可知，当 时，该袋零食为合格品， 所以这种零食的合格率约为 . 【训练4】某食品厂生产一种零食,该种零食每袋的质量单位: 服从正态分布 . 针对训练 一、利用条件概率的性质进行解题的策略 方法归纳 (1)分析条件，选择公式：首先看事件B，C是否互斥，若互斥，则选择公式P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A). (2)分解计算，代入求值：为了求比较复杂事件的概率，一般先把它分解成两个(或若干个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用加法公式即得所求的复杂事件的概率． 课堂总结 二、求离散型随机变量的分布列的步骤 方法归纳 (1)找出随机变量的所有可能取值； (2)求出每一个取值所对应的概率； (3)列表格． 课堂总结 三、二项分布 方法归纳 1. 解决二项分布及其应用问题的一般步骤 （1）根据题意设出随机变量; （2）分析随机变量是否服从二项分布; （3）若服从二项分布,则求出n和p的值 （4）根据已知条件列出相关式子，并解决问题. 2. 二项分布的均值与方差的求解步骤 （1）判定随机变量 服从二项分布； （2）正确写出中的和 的值； （3）利用公式求均值和方差. 课堂总结 四、超几何分布的求解步骤 方法归纳 (1)辨模型：结合实际情景分析所求概率分布问题是否由具有明显的两部分组成，如“男生、女生”“正品、次品”“优劣”等，或可转化为明显的两部分．具有该特征的概率模型为超几何分布模型． (2)算概率：可以直接借助公式P(X＝k)＝ 求解，也可以利用排列、组合及概率的知识求解． (3)列分布表：把求得的概率值通过表格表示出来． 课堂总结 五、正态分布 利用正态分布求概率的两个方法 (1)对称法：由于正态曲线是关于直线x＝μ对称的，且概率的和为1，故关于直线x＝μ对称的区间上概率相等． 如：①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－a)＝P(X＞μ＋a)． (2)“3σ”法：利用X落在区间[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]内的概率分别是0.682 7，0.954 5,0.997 3求解． 课堂总结 感谢聆听! $