8.3.2二项式系数的性质（练习）高教版（第三版）《数学 拓展模块一下册》【上好课】（原卷版+解析版）

高教版（第三版）《数学 拓展模块一下册》 第八单元 排列组合 8.3.2二项式系数的性质 一、单选题 1．根据数组中的数构成的规律，其中的a所表示的数是（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】观察规律即可求得结果. 【详解】从第三行起头尾两个数均为1，中间数等于上一行肩上两数之和， 所以a=3+3=6. 故选：C. 2．的展开式中，所有奇数项的二项式系数之和为（    ） A．128 B．256 C．512 D．1024 【答案】C 【分析】利用二项展开式中奇偶数项的二项式系数之和的性质即可得解. 【详解】的展开式中所有奇数项的二项式系数之和为. 故选：C. 3．若，则的值为（   ） A．1 B．15 C．16 D．32 【答案】C 【分析】利用特殊值法令，即可求解的值. 【详解】由题意知， 令，则. 故选：C. 4．若的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则此展开式共有（    ）项 A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】先写出的展开式的通项公式，再根据第3项与第8项的二项式系数相等，求出，进而可知此展开式的项数. 【详解】的展开式的通项公式为， 第3项与第8项的二项式系数相等，即， 所以， 所以此展开式共有项， 故选：B. 5．二项式的展开式中，二项式系数最大的项是（   ）． A．第4项与第5项 B．第5项 C．第3项与第4项 D．第4项 【答案】B 【分析】根据二项展开式的项数判断即可. 【详解】的展开式中一共有项， 二项式系数最大的项是最中间的项，即第项. 故选：B. 6．若的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，则n的值为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】根据二项式展开式的系数的性质，即可求解. 【详解】根据题意，的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大， 则n为偶数，且第7项为中间项， 所以. 故选：D. 7．若展开式中的二项式系数的和为，则n等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】根据二项式系数的和为，列方程求解即可. 【详解】展开式中的二项式系数的和为， 则，故. 故选：D. 8．在二项展开式中，若所有项的二项式系数之和是32，则展开式的项数是（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据二项式系数和的性质即可求解. 【详解】由题意得，，解得，所以展开式中有项. 故选：D． 9．二项式的展开式中，所有项的二项式系数和为（   ） A． B．1 C．32 D．64 【答案】D 【分析】根据题意，结合二项式系数的性质即可求解. 【详解】由题意，二项式的展开式中，所有项的二项式系数和为. 故选：D. 10．二项式的展开式中，各项二项式系数的和是（   ） A．2 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【分析】根据题意，结合二项式系数的性质，即可求解. 【详解】根据二项式系数的性质，可得二项式的展开式中，各项二项式系数的和是. 故选：D. 二、填空题 11．的展开式中，二项式系数之和为________. 【答案】32 【分析】根据二项式系数和为计算即可求解. 【详解】因为中， 所以二项式系数之和为. 故答案为：32. 12．在的展开式中，所有项的系数和等于__________.（用数字作答） 【答案】 【分析】根据二项式，令即可得出所有项的系数和. 【详解】由题意， 在中，当时所求值即为所有项的系数和，为：， 故答案为：. 13．的展开式中二项式系数最大的项是第_________项． 【答案】4或5 【详解】由题可知：二项式系数最大的项为第4或5项 故答案为：4或5 14．展开式中二项式系数最大的项是第_______项. 【答案】5 【分析】根据二项式系数的性质即可求解. 【详解】因为为偶数，展开式中共有项， 所以展开式中二项式系数最大的项为正中间的一项， 即第项. 故答案为：5. 15．在二项式的展开式中，常数项是__________，二项式系数最大的项的系数是__________． 【答案】 16 24 【分析】直接由二项展开式计算常数项即可；由二项式系数的性质即可求出二项式系数最大的项，进而求得系数. 【详解】由题意知：常数项是；二项式系数最大的项为，故二项式系数最大的项的系数是24. 故答案为：16；24. 三、解答题 16．已知的展开式中二项式系数最大的项是第5项，问展开式中是否含有常数项. 【答案】没有常数项 【分析】根据题意可确定n的值，继而求得二项展开式的通项公式，令x的指数等于0，即可得出答案. 【详解】因展开式中二项式系数最大的项是第5项， 所以二项式系数中应当为最大值， 所以，即， 设为常数项，， 所以，即， 所以展开式中没有常数项. 17．已知展开式中，只有第5项的二项式系数最大，求展开式的常数项． 【答案】112 【分析】首先需要确定n的值，再利用二项展开式的通项公式求常数项． 【详解】∵二项展开式中只有第5项的二项式系数最大， ∴， 设第项为常数项，则由通项公式得： 令，得： ∴第3项为常数项，则得：． 18．已知的展开式的二项式系数和为64. (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）利用二项式系数的性质求解即可； （2）由（1）求出，根据展开式中间项的二项式系数最大，即可知道二项式系数最大的项为，即可求解. 【详解】（1）由题意的展开式的二项式系数和为64， 即，解得； （2）因为，根据展开式中间项的二项式系数最大，所以二项式系数最大的项为， 即. 一、单选题 1．在的二项展开式中，若所有项的系数之和为64，则第3项是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二项式的系数和求得，再根据二项式的通项公式求得第3项. 【详解】根据二项式定理，的二项展开式中，所有项的系数之和为， 即，得到. 的通项为. 当时，. 故选：C. 2．在的展开式中，若各项系数之和与各项的二项式系数之和的比为，则n的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】根据二项展开式各项二项式系数与各项系数的性质，列出等式即可求解. 【详解】由题意知，令，则各项系数之和为， 因为二项展开式各项的二项式系数之和为， 所以各项系数之和与各项的二项式系数之和的比为， 所以， 故选：B． 3．二项式的展开式的常数项是（    ） A． B．112 C． D．122 【答案】B 【分析】根据二项式的展开式，令，求出常数项即可. 【详解】二项式的展开式为 ， 令，解得， 所以. 故选：B. 4．若的展开式中常数项为180，则a的值为（ ） A．4 B．2 C． D．1 【答案】B 【分析】利用二项展开式的通项公式，令的指数为0，求出，再由常数项为解得. 的展开式的通项为， 令，解得，所以，即，， 又，故． 5．在的展开式的二项式系数之和为，则含的项的系数为（ ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由二项式定理的性质求得，再求得二项式展开式的通项公式，令的次数等于，求得的值，即可求得含的项的系数. 【详解】由题可得，则， 所以的展开式的通项公式为， 令，则，所以含的项的系数为. 故选：D. 6．在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据二项式系数的性质即可分析求解. 【详解】在的展开式中，只有第4项的二项式系数最大， 即中间项项的二项式系数最大， 即，解得：， 故选：C． 7．的展开式中第8项是常数项，则展开式中二项式系数最大的项是（    ） A．第8项 B．第9项 C．第8项或第9项 D．第11项或第12项 【答案】D 【分析】先用第8项是常数项求解n，再求解展开式中二项式系数最大的项即可. 【详解】因为第8项是常数项， 所以通项， 因为第8项为常数项，所以，解得， 所以展开式中二项式系数最大的项为第项或第项，即第11项或第12项. 故选:D. 8．二项式的展开式中，系数最大的项为（    ） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 【答案】C 【分析】显然二项式在第或第项处取得系数最大，再结合对应符号，即可得解. 【详解】由二项式的特点可知， 系数最大的项在中间项处取得， 第项的系数为， 第项的系数为， 故第项的系数最大. 故选：C 9．在的二项展开式中，二项式系数最大的项的项数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．5或7 【答案】B 【分析】利用二项展开式中，二项式系数的增减性与最值即可得解. 【详解】因为在的二项展开式中， 当n为偶数时，中间一项的二项式系数取最大值； 当n为奇数时，中间的两项的二项式系数值相等，且同时取得最大值； 而的展开式有11项，所以其二项式系数最大的项的项数是6. 故选：B. 10．的展开式中的第项的二项式系数最大，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由二项式系数的性质即可得解. 【详解】因为的展开式中的第项的二项式系数最大. 所以. 所以. 故选：A. 二、解答题 11．在的二项展开式中，只有第6项的系数最大，求： (1)的值； (2)二项展开式中所有项的系数之和； (3)含项的系数． 【答案】(1) (2)1024 (3)120 【分析】（1）根据展开式中第六项系数最大求解即可； （2）利用赋值法求解所有项的系数之和即可； （3）利用通项公式求解指定项系数即可； 【详解】（1）因为二线展开式中第6项的系数最大，所以二项式展开式共有11项； 所以 （2）由（1）可知二项式为， 所以令，则， 即二项展开式中所有项的系数之和为1024； （3）由通项公式：, 令，解得； 所以， 所以含的系数为120． 12．已知二项式，求： (1)二项展开式中所有二项式系数之和； (2)各项系数之和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二项展开式中所有二项式系数之和为求值即可. （2）运用赋值法，使代入即可得出各项系数之和. 【详解】（1）二项展开式中所有二项式系数之和为， . （2）设①， 故各项系数之和为， 令①式中的，则， 故各项系数之和等于. 13．已知的展开式中各系数之和为64，求展开式中不含的项． 【答案】1215 【分析】通过赋值法找出各系数之和，列出等式，从而求出，再根据二项式的通项求出常数项即可. 【详解】令可得的展开式中各系数之和为， 所以，所以即中，通项为， 当即时，有常数项. 所以不含的项为1215. 14．已知二项式的展开式中，各项的二项式系数之和是256，求展开式中的常数项． 【答案】1120 【分析】根据二项式系数之和即可求解n的值，再求出二项展开式的通项公式，令，求解即可. 【详解】因为二项式各项的二项式系数之和是256， 则有，解得， 则二项式的通项为： ， 令，得， 故常数项是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 高教版（第三版）《数学 拓展模块一下册》 第八单元 排列组合 8.3.2二项式系数的性质 一、单选题 1．根据数组中的数构成的规律，其中的a所表示的数是（    ）    A．2 B．4 C．6 D．8 2．的展开式中，所有奇数项的二项式系数之和为（    ） A．128 B．256 C．512 D．1024 3．若，则的值为（   ） A．1 B．15 C．16 D．32 4．若的展开式中第3项与第8项的二项式系数相等，则此展开式共有（    ）项 A．9 B．10 C．11 D．12 5．二项式的展开式中，二项式系数最大的项是（   ）． A．第4项与第5项 B．第5项 C．第3项与第4项 D．第4项 6．若的二项展开式中只有第7项的二项式系数最大，则n的值为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 7．若展开式中的二项式系数的和为，则n等于（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 8．在二项展开式中，若所有项的二项式系数之和是32，则展开式的项数是（   ）． A．3 B．4 C．5 D．6 9．二项式的展开式中，所有项的二项式系数和为（   ） A． B．1 C．32 D．64 10．二项式的展开式中，各项二项式系数的和是（   ） A．2 B．8 C．16 D．32 二、填空题 11．的展开式中，二项式系数之和为________. 12．在的展开式中，所有项的系数和等于__________.（用数字作答） 13．的展开式中二项式系数最大的项是第_________项． 14．展开式中二项式系数最大的项是第_______项. 15．在二项式的展开式中，常数项是__________，二项式系数最大的项的系数是__________． 三、解答题 16．已知的展开式中二项式系数最大的项是第5项，问展开式中是否含有常数项. 17．已知展开式中，只有第5项的二项式系数最大，求展开式的常数项． 18．已知的展开式的二项式系数和为64. (1)求n的值； (2)求展开式中二项式系数最大的项. 一、单选题 1．在的二项展开式中，若所有项的系数之和为64，则第3项是（    ） A． B． C． D． 2．在的展开式中，若各项系数之和与各项的二项式系数之和的比为，则n的值为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 3．二项式的展开式的常数项是（    ） A． B．112 C． D．122 4．若的展开式中常数项为180，则a的值为（ ） A．4 B．2 C． D．1 5．在的展开式的二项式系数之和为，则含的项的系数为（ ）. A． B． C． D． 6．在的展开式中，只有第项的二项式系数最大，则（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 7．的展开式中第8项是常数项，则展开式中二项式系数最大的项是（    ） A．第8项 B．第9项 C．第8项或第9项 D．第11项或第12项 8．二项式的展开式中，系数最大的项为（    ） A．第5项 B．第6项 C．第7项 D．第8项 9．在的二项展开式中，二项式系数最大的项的项数是（    ） A．5 B．6 C．7 D．5或7 10．的展开式中的第项的二项式系数最大，则（    ） A． B． C． D． 二、解答题 11．在的二项展开式中，只有第6项的系数最大，求： (1)的值； (2)二项展开式中所有项的系数之和； (3)含项的系数． 12．已知二项式，求： (1)二项展开式中所有二项式系数之和； (2)各项系数之和． 13．已知的展开式中各系数之和为64，求展开式中不含的项． 14．已知二项式的展开式中，各项的二项式系数之和是256，求展开式中的常数项． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！7 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $