8.3.2二项式系数的性质（课件）高教版（第三版）《数学 拓展模块一下册》【上好课】

8.3.2二项式系数的性质 高教版（第三版）·拓展模块 第八单元 排列组合 学习目标 知识层面 理解二项式系数的对称性、增减性与最值、求和等核心性质，掌握赋值法推导二项式系数和的方法 能力层面 能运用二项式系数的性质解决系数求和、求系数最大项等问题；能完成二项式系数的计算与判断 核心素养层面 通过探究二项式系数性质，培养逻辑推理与数学运算素养，提升观察归纳、严谨论证的数学思维 教学流程 教学导入 知识讲授 学以致用 课堂练习 课堂小结 1 教学导入 教学导入 知识回顾 二项式定理 组合数的性质 组合数的性质 组合数的性质 教学导入 一个有趣的问题 它像一座数字金字塔，结构严谨且充满规律 杨辉三角 二项式系数的“家谱” 教学导入 的展开式的二项式系数 教学导入 的展开式的二项式系数 教学导入 观察：数字间的秘密 1 左右对称 每一行的数字左右对称 2 首尾特征 每一行的数字均以开头，且以结束 教学导入 观察：数字间的秘密 3 叠加规律 中间的每一个数都等于它"肩上"两个数的和 教学导入 观察：数字间的秘密 4 求和规律 第行所有数字的和等于 探究：每一行的系数求和，你能发现什么规律？ 教学导入 观察：数字间的秘密 5 最值特征 如果二项式的幂指数是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大； 如果是奇数，那么二项展开式中间两项的二项式系数最大并且相等． 2 知识讲授 知识讲授 二项式系数的性质 1 每一行的两端都是， 其余的每一个数都等于它“肩上”两个数的和， 假设表中任一不为的数为，那么它“肩上”的两个数分别为和， 由组合数的性质， 可知. 叠加规律 知识讲授 二项式系数的性质 2 每一行中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等， 这一性质可以直接由组合数的性质， 可得. 对称规律 知识讲授 二项式系数的性质 3 如果二项式的幂指数是偶数， 那么它的展开式正中间一项的二项式系 如果二项式的幂指数是奇数， 那么它的展开式中间两项的二项式系数最大并且相等. 最值规律 知识讲授 二项式系数的性质 3 的展开式的各个二项式系数之和为， 根据二项式定理，取， 可得. 求和规律 知识讲授 赋值法 求和规律的推导方法——赋值法 给代数式（或方程或函数表达式）中的某些字母赋予一定的特殊值 从而达到便于解决问题的目的 特别是在二项式定理中的应用尤为明显 知识讲授 新知速记 二项式系数的性质 1.二项式系数表中，每一行的两端都是______，其余每一个数都等于它肩上两个数的______，即______. 2.每一行中与首末两端__________的两个二项式系数相等，依据公式是__________. 3.若的幂指数为偶数，则展开式__________一项的二项式系数最大；若为奇数，则展开式__________两项的二项式系数最大且______. 4.展开式的所有二项式系数之和为______；在二项式定理中令，可得等式：. 和 等距离 正中间 中间 相等 知识讲授 绘制知识框架 二项式系数 的性质 系数和： 先增，中间最大，后减 知识讲授 案例分析 例1 解： 求的展开式中二项式系数最大的项，并指出这一项的系数． 由于的展开式共有项，故第项的二项式系数最大， 此时 此项的系数为． 知识讲授 案例分析 例2 解： 求的展开式中各二项式系数之和、奇数项的二项式系数之和以及偶数项的二项式系数之和. 展开式的系数为 ， ， ， ， ，. 则二项式系数之和为 奇数项的二项式系数之和是 . 偶数项的二项式系数之和是 知识讲授 案例分析 例3 解： 求的展开式中二次式系数最大的项． 已知二项式的幂指数是，展开式共有项， 依二项式系数性质，中间一项的二项式系数最大，所以要求的项为 3 学以致用 学以致用 练习 解： 常数项为，求的值. 由条件知 ， 即 ， 令 ，得. 所以常数项为 ，即，解得 . 学以致用 练习 解： 由题意，知 ，解得 . 学以致用 练习 解： 其中中间项第项的二项式系数最大, 所以二项式系数最大的项是 学以致用 练习 解： 4. 的展开式的通项为 ， 令 ，则 . 由 ，取 ， 得 . 4 课堂练习 课堂练习 练习 解： 其中中间项第项的二项式系数最大, 所以二项式系数最大的项是 课堂练习 练习 解： 2.求 的展开式中系数最大的项. 二项式的幂指数是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大并且相等 系数最大值为 T4 T5 因此，展开式中系数最大的项是：. 课堂练习 练习 解： 3.已知的展开式中第项与第项的二项式系数相等，求这两项. 第项的二项式系数是因此，第项的二项式系数是，第项的二项式系数是我们已知这些系数相等 由知 当时, 当时, 课堂练习 练习 解： 4. 求的展开式中各二项式系数之和、奇数项的二项式系数之和以及偶数项的二项式系数之和. 展开式的系数为 ， ， ， ， . 奇数项的二项式系数之和是. 偶数项的二项式系数之和是. 则二项式系数之和为 . 课堂练习 练习 解： 式中的常数项. 展开式的通项是 课堂练习 练习 解： 的值. 二项式展开式前三项的二项式系数为：， 由题意得：， 得. 解得 舍去). 5 课堂小结 课堂小结 二项式系数的性质 1.二项式系数表中，每一行的两端都是______，其余每一个数都等于它肩上两个数的______，即______. 2.每一行中与首末两端__________的两个二项式系数相等，依据公式是__________. 3.若的幂指数为偶数，则展开式__________一项的二项式系数最大；若为奇数，则展开式__________两项的二项式系数最大且______. 4.展开式的所有二项式系数之和为______；在二项式定理中令，可得等式：. 和 等距离 正中间 中间 相等 课后作业 书面作业 完成《学习指导与练习》相关习题. 查漏补缺 根据个人情况对课堂学习进行复习与回顾. 拓展作业 预习下一节内容，阅读教材扩展延伸内容. $