8.3.2二项式系数的性质（教案）高教版（第三版）《数学 拓展模块一下册》【上好课】

高等教育出版社《数学 拓展模块一下册》（第三版） 第八单元 排列组合 8.3.2二项式系数的性质 一、教材 高等教育出版社《数学 拓展模块一下册》（第三版） 二、教学时长 1课时 三、授课类型 新授课 4、 教材分析 本节选自第八单元排列组合核心延伸板块，是二项式定理的接续重难点课时。前面学生已经夯实二项式定理通项公式、基础组合数两类核心性质，本节课聚焦杨辉三角具象载体，深挖二项式系数四大核心专属性质，同时重点落地赋值法专项解题方法。 本节内容承接组合数运算、二项式展开基础，后续直接赋能概率统计、数列综合计算等题型解题，是排列组合模块衔接计算类大题、选填压轴题的关键过渡知识点。 五、学情分析 学生已熟练掌握二项式完整展开式、通项基础用法，能独立完成基础组合数化简、简单二项式常规计算，具备初步的观察归纳、简单代数推理能力，适配本节课探究式学习节奏。 六、教学目标 知识层面 理解二项式系数的对称性、增减性与最值、求和等核心性质，掌握赋值法推导二项式系数和的方法 能力层面 能运用二项式系数的性质解决系数求和、求系数最大项等问题；能完成二项式系数的计算与判断 核心素养层面 通过探究二项式系数性质，培养逻辑推理与数学运算素养，提升观察归纳、严谨论证的数学思维 七、教学重点 1.扎实掌握二项式系数对称性、最值规律、求和公式三大高频核心性质，熟记配套常用公式。 2.熟练运用赋值法求解二项式系数总和、奇数项与偶数项分组系数和基础题型。 八、教学难点 1.会结合n的奇偶性，快速判定二项式系数最大项并规范写出对应展开项。 2.灵活选取合适特殊数值完成赋值法构造运算，适配不同求和变式题型。 九、教学方法 1.直观演示法：板书完整绘制杨辉三角数字金字塔，可视化呈现行列数字规律，降低抽象知识点理解难度。 2.启发探究法：分层设问引导学生自主观察、同桌互助讨论，自主归纳二项式系数各类规律，替代单向灌输教学。 3.讲练结合法：精讲核心例题、同步拆解答题步骤，当堂梯度随堂刷题，即时纠错、即时巩固，适配中职课堂实操节奏。 4.纠错对比法：专门对比易混概念、高频错题，针对性拆解易错点，强化学生避坑答题意识。 十、教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学引入 知识回顾 二项式定理 组合数的性质 组合数的性质 1: 组合数的性质 2: 一个有趣的问题 杨辉三角 二项式系数的 “家谱” 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 1 8 28 56 70 56 28 8 1 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1 它像一座数字金字塔，结构严谨且充满规律 的展开式的二项式系数 ：1 1 ：1 2 1 ：1 3 3 1 ：1 4 6 4 1 ：1 5 10 10 5 1 ：1 6 15 20 15 6 1 观察：数字间的秘密 1.左右对称 每一行的数字左右对称 2.首尾特征 每一行的数字均以 1 开头，且以 1 结束 3.叠加规律 中间的每一个数都等于它 "肩上" 两个数的和 4.求和规律 探究：每一行的系数求和，你能发现什么规律？ 第 n 行所有数字的和等于 5.最值特征 如果二项式的幂指数 n 是偶数，那么它的展开式中间一项的二项式系数最大； 如果 n 是奇数，那么二项展开式中间两项的二项式系数最大并且相等。 快速唤醒旧知，衔接前后知识点；用可视化杨辉三角降低入门难度，贴合中职学生认知习惯；用递进设问激发课堂探究兴趣，自然切入新课，快速收拢课堂注意力，适配课前预热节奏。 新知讲授 二项式系数的性质 叠加规律 每一行的两端都是 1，其余的每一个数都等于它 “肩上” 两个数的和，假设表中任一不为 1 的数为，那么它 “肩上” 的两个数分别为和，由组合数的性质 2，可知。 对称规律 每一行中与首末两端 “等距离” 的两个二项式系数相等，这一性质可以直接由组合数的性质 1，可得 最值规律 如果二项式的幂指数 n 是偶数，那么它的展开式正中间一项的二项式系数最大，即最大； 如果二项式的幂指数 n 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大并且相等，即最大。 求和规律 的展开式的各个二项式系数之和为， 根据二项式定理，取， 可得。 赋值法 求和规律的推导方法——赋值法 给代数式 (或方程或函数表达式) 中的某些字母赋予一定的特殊值，从而达到便于解决问题的目的，特别是在二项式定理中的应用尤为明显 新知速记 二项式系数的性质 1.二项式系数表中，每一行的两端都是1，其余每一个数都等于它肩上两个数的和，即 2.每一行中与首末两端等距离的两个二项式系数相等，依据公式是 3.若的幂指数 n 为偶数，则展开式正中间一项的二项式系数最大；若 n 为奇数，则展开式中间两项的二项式系数最大且相等。 4.展开式的所有二项式系数之和为；在二项式定理中令1，可得等式: 绘制知识框架 二项式系数的性质 系数和: 递推关系： 对称性: 单调性：先增，中间最大，后减 最大值：n 为奇数，最大值为；n 为偶数，最大值为 由具象数字到抽象公式，循序渐进降低理解难度；逐条对标教学重点，精准突破难点；专门规范赋值法答题步骤，提前规避后续解题漏洞；框架汇总助力学生当堂记牢核心考点，适配短时高效课堂节奏。 案例分析 例 1求的展开式中二项式系数最大的项，并指出这一项的系数。 解: 由于的展开式共有 11 项，故第 6 项的二项式系数最大，此时 此项的系数为−8064。 例 2求的展开式中各二项式系数之和、奇数项的二项式系数之和以及偶数项的二项式系数之和。 解: 展开式的系数为，，，，，，， 则二项式系数之和为 奇数项的二项式系数之和是 偶数项的二项式系数之和是 例 3求的展开式中二项式系数最大的项。 解: 已知二项式的幂指数是 8，展开式共有 9 项， 依二项式系数性质，中间一项的二项式系数最大，所以要求的项为 三道例题梯度分层，全覆盖本节课核心考点；标准化示范答题格式，适配考试踩分要求；针对性破解易混概念，提前扫清解题障碍，为后续自主刷题筑牢基础。 学以致用 1.已知关于 x 的二项式的展开式的二项式系数之和为 32，常数项为 80，求 a 的值。 解: 由条件知，即， 令在通项中 令，得。 所以常数项为，即，解得。 2.若二项式的展开式中的系数是 84，求实数 a 解: 由题意，知，，解得 3.在的二项展开式中，求二项式系数最大的项。 解：因为的二项展开式共有项。其中中间项第 4 项的二项式系数最大， 所以二项式系数最大的项是 4.已知， (1) 求； (2) 求。 解：(1) 的展开式的通项为 令，则 (2) 由，取 本环节精选 4 道典型二项式定理高频考题，涵盖二项式系数之和求参数、指定项系数求解、二项式系数最大项判断、赋值法求系数和四大核心考点。由易到难梯度编排，紧扣本节课二项式系数性质重难点；通过规范解题步骤示范，让学生熟练掌握通项公式用法、指数列方程、组合数计算、特殊值赋值等核心解题方法。 课堂练习 1.求的展开式中二项式系数最大的项。 解：因为的二项展开式共有项，其中中间项第 3 项的二项式系数最大， 所以二项式系数最大的项是 2.求的展开式中系数最大的项。 解: 二项式的幂指数 7 是奇数，那么它的展开式中间两项的二项式系数最大并且相等 系数最大值为即 因此，展开式中系数最大的项是: 3.已知的展开式中第 3 项与第 5 项的二项式系数相等，求这两项。 解: 第项的二项式系数是因此，第 3 项的二项式系数是，第 5 项的二项式系数是，我们已知这些系数相等 由知 当时， 当时， 4.求的展开式中各二项式系数之和、奇数项的二项式系数之和以及偶数项的二项式系数之和。 解: 展开式的系数为，，，，，、。 则二项式系数之和为 奇数项的二项式系数之和是。 偶数项的二项式系数之和是。 5.在的二项展开式中，若二项式系数之和为 32，求展开式中的常数项。 解: 展开式的通项是 解解得。 所以二项展开式中常数项为。 6.已知二项式的展开式前三项的二项式系数和为 22，求 n 的值。 解: 二项式展开式前三项的二项式系数为:、、， 由题意得: 根据组合数公式: 得 解得舍去) 对标学以致用题型进行变式延伸，包含分式型二项式最大二项式系数项、系数最大项与二项式系数最大项辨析、利用二项式系数相等求参数、二项式系数奇偶项求和、已知系数和求常数项、前三项二项式系数和求 n。题型覆盖全面、易错点集中，采用自主练习 + 巩固拔高的形式，让学生独立运用所学性质解题。旨在检测学生课堂知识掌握程度，辨析易混淆概念（系数与二项式系数），强化通项公式和二项式系数性质的灵活运用，及时发现知识漏洞，教师可根据练习情况针对性讲评，实现当堂知识当堂消化。 课堂小结 二项式系数的性质 1.二项式系数表中，每一行的两端都是1，其余每一个数都等于它肩上两个数的和，即 2.每一行中与首末两端等距离的两个二项式系数相等，依据公式是 3.若的幂指数为偶数，则展开式正中间一项的二项式系数最大；若为奇数，则展开式中间两项的二项式系数最大且相等。 4.展开式的所有二项式系数之和为；在二项式定理中令，可得等式： 以条理化形式梳理二项式系数四大核心性质，凝练杨辉三角规律、对称性、单调性最值、系数和公式四大知识点，构建完整知识框架。 作业布置 1. 书面作业：完成《学习指导与练习》中本节相关习题； 2. 查漏补缺：根据课堂练习和课堂小结，结合个人情况，对本节课知识进行复习与回顾，弥补知识漏洞； 3. 拓展作业：预习下一节内容，阅读教材扩展延伸部分。 通过分层作业，既巩固本节课所学知识，又培养学生自主学习和查漏补缺的能力，为后续学习做好铺垫。 板书设计 二项式系数的性质 系数和: 递推关系： 对称性: 单调性：先增，中间最大，后减 最大值：n 为奇数，最大值为；n 为偶数，最大值为 采用公式化板书，突出数学学科严谨性；按递推→对称→单调性→系数和逻辑顺序排布，贴合课堂授课思路。 11、 教学反思 本节课围绕二项式系数的性质展开教学，整体遵循 “知识点讲解 — 典例示范 — 当堂练习 — 归纳小结 — 分层作业” 的教学流程，重难点突出，梯度设计合理。课堂以二项式定理通项公式为抓手，聚焦对称性、最值规律、系数和公式核心内容，通过学以致用与课堂练习分层刷题，帮助学生掌握基础题型解法，多数学生能熟练运用性质求解常规题目，达成了基础教学目标。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $