第41卷 实系数一元二次方程的解法-考点训练卷 2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第41卷 实系数一元二次方程的解法 考点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．复数是方程的一个根，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 2．若是关于的方程的一个根，则等于（   ） A．26 B．5 C．13 D．6 3．对关于x的方程，下列说法正确的是（） A．若方程有实数根，则为非负实数 B．若虚数为方程的一个根，则为方程的另一个根 C．若方程有两个实数根，则p、q都不是虚数 D．若p，q为虚数，则方程两根均不是虚数 4．在复数范围内方程的解为（ ） A． B． C． D． 5．已知实系数一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A． B． C． D． 6．已知实系数一元二次方程的一个根为，则它的另一个根是（   ） A． B． C． D． 7．i为虚数单位，为实系数一元二次方程的一个根，则b的值为（    ）. A． B．2 C．0 D．4 8．实系数一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个虚根 C．有两个相等的实数根 D．有一个实根和一个虚根 9．方程的根为（    ） A． B． C．或 D．或 10．已知复数 是方程的一个根，则（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．【上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模）】已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，则实数的取值范围是__________． 12．方程的解是__________. 13．若是方程的一个根，则_____，____. 14．若，为方程的两个根，则________. 15．已知方程在复数集范围内的一个虚根为，则实数______． 三、解答题（本大题共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．在复数范围内解下列方程： (1)； (2)． 17．若是实系数一元二次方程的一个根，求 18．已知复数. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若是方程的一个根，求的虚部. 19．已知复数，其中是正实数，是虚数单位． (1)如果为纯虚数，求实数的值； (2)如果，是关于的方程的一个复根，求的值． 试卷第1页，共3页 第 8 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第41卷 实系数一元二次方程的解法 考点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．复数是方程的一个根，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】D 【分析】根据复数是方程的根代入方程，由复数运算与相等复数求解即可. 【详解】因为复数是方程的一个根， 所以，即， 即， 所以，解得. 故选：D. 2．若是关于的方程的一个根，则等于（   ） A．26 B．5 C．13 D．6 【答案】A 【分析】由题意，另一根为，利用韦达定理求即可. 【详解】由于实系数一元二次方程的虚根成对出现，且互为共轭复数， ∵是关于的方程的一个根， ∴另一根为， ∴，解得. 故选：A. 3．对关于x的方程，下列说法正确的是（） A．若方程有实数根，则为非负实数 B．若虚数为方程的一个根，则为方程的另一个根 C．若方程有两个实数根，则p、q都不是虚数 D．若p，q为虚数，则方程两根均不是虚数 【答案】C 【分析】根据复数根与系数的关系分析即可. 【详解】A：当时，方程为， 则，解得或，显然方程有一实根1， 但此时不是非负实数，A错误， B：由A可知，方程有虚数根， 但不是方程的另一个根，B错误， C：假设方程的两个实数根为， 则由韦达定理得，C正确， D：由A可知，当时，方程显然有一虚根，D错误. 故选：C. 4．在复数范围内方程的解为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实系数一元二次方程的解法即可求解. 【详解】由题意得，方程，即，解得. 故选：C． 5．已知实系数一元二次方程的一个根是，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由实系数一元二次方程两根的特点和韦达定理可求解. 【详解】因为实系数一元二次方程的一个根是， 故另一根是. 由韦达定理可得 解得. 故选：B 6．已知实系数一元二次方程的一个根为，则它的另一个根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据实系数一元二次方程两根互为共轭复数求解即可. 【详解】实系数一元二次方程的一个根为， 则它的另一个根是的共轭复数，即. 故选：B. 7．i为虚数单位，为实系数一元二次方程的一个根，则b的值为（    ）. A． B．2 C．0 D．4 【答案】A 【分析】根据实系数一元二次方程的虚根互为共轭复数及根与系数的关系可求解． 【详解】因为为实系数一元二次方程的一个根， 所以是实系数一元二次方程的另一个根. 由韦达定理，可得 ，解得. 故选：A 8．实系数一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个虚根 C．有两个相等的实数根 D．有一个实根和一个虚根 【答案】B 【分析】根据一元二次方程的判别式判断根的情况即可. 【详解】解：∵， ∴方程有两个虚根. 故选：. 9．方程的根为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】先因式分解再算根，注：. 【详解】， 解得或， 则或． 故选：C 10．已知复数 是方程的一个根，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】，是方程的两个根，由韦达定理可得，由模长运算可得结果. 【详解】因为是方程的一个根，所以是方程的另一个根， 所以， 则. 故选：B. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．【上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模）】已知是实系数一元二次方程的一个虚数根，且，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【详解】设 ， ． 则 也是一元二次方程的一个虚数根， ∵实系数一元二次方程有虚数根， ∴ ，解得 ． ∴的取值范围是． 故答案为． 【点睛】本题考查了实系数一元二次方程有虚数根的充要条件及其根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档础题． 12．方程的解是__________. 【答案】 【分析】根据实系数一元二次方程的解法求解即可. 【详解】已知方程， 因为， 所以方程有两个虚根， 由求根公式得，， 即，， 所以方程的解是. 故答案为：. 13．若是方程的一个根，则_____，____. 【答案】 【分析】利用二次方程复数根的性质求得的另一个根，再利用韦达定理即可得解. 【详解】因为复数是方程的一个根， 所以复数也是方程的一个根， 则，解得， ，解得. 故答案为：；. 14．若，为方程的两个根，则________. 【答案】27 【分析】根据实系数一元二次方程的根的解法求解即可. 【详解】对于，因为， 所以方程有两个虚根，即 ，， 所以. 故答案为：. 15．已知方程在复数集范围内的一个虚根为，则实数______． 【答案】5 【分析】根据题意求得方程的另一虚根，结合韦达定理即可求解. 【详解】由题意得，方程的另外一个虚根为. 所以，解得. 故答案为：5. 三、解答题（本大题共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．在复数范围内解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）（2）根据配方法结合虚数单位的性质可求方程的复数解. 【详解】（1）即为，故. （2）即为， 故，所以. 17．若是实系数一元二次方程的一个根，求 【答案】 【分析】首先将根代入方程，再根据复数的概念求解即可. 【详解】因为是实系数一元二次方程的一个根， 所以，即， 整理得，所以， 解得，则. 18．已知复数. (1)若是纯虚数，求的值； (2)若是方程的一个根，求的虚部. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件可得出关于实数的等式与不等式，即可解得实数的值； （2）求出方程的虚根，根据复数相等可求得实数的值，可得出复数，即可求得复数的虚部. 【详解】（1）解：由已知可得，解得. （2）解：由可得，解得， 若，可得，无解； 若，可得，解得. 综上所述，，则，所以，复数的虚部为. 19．已知复数，其中是正实数，是虚数单位． (1)如果为纯虚数，求实数的值； (2)如果，是关于的方程的一个复根，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由题意可得，再根据纯虚数的定义求解即可； （2）由题意可得，将代入方程求解即可. 【详解】（1）解：因为， 由为纯虚数，可得，解得； （2）解：因为， 所以，， 将代入方程， 得， 即有， 所以， . 试卷第1页，共3页 第 8 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $