第42卷 平面的基本性质、直线与直线的位置关系-考点训练卷 2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第42卷 平面的基本性质、直线与直线的位置关系 考点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．三个平面最多可将空间分成（    ）部分． A．6 B．7 C．8 D．9 2．若直线，与直线所成的角相等，则，的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．相交 D．相交、平行、异面均有可能 3．关于两条异面直线的说法，正确的是（     ） A．它们是不在同一个平面的两条直线． B．它们是在空间内不相交的两条直线． C．它们是分别位于两个平面内的两条直线． D．某一平面内的一条直线与平面外的另一条直线． 4．在下列的正方体中，M，N分别是棱和的中点，则异面直线和所成的角为（    ）    A． B． C． D． 5．“点在平面上，直线与相交于点”可以用符号表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 6．在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（    ） A．直线与平行 B．直线，，相交于一点 C．直线与异面 D．直线，，相交于一点 7．若异面直线的方向向量与的方向向量的夹角为，则与所成的角为（ ） A． B． C． D． 8．下列说法错误的是（    ） A．平行于同一直线的两直线平行 B．垂直于同一直线的两直线平行 C．两直线没有公共点，则两直线平行或异面 D．不共线的三点确定一个平面 9．下列命题正确个数为（    ） ①三点确定一个平面；②若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则该直线与平面垂直； ③同时垂直于一条直线的两条直线平行；④底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的表面积为． A．0 B．1 C．2 D．3 10．在空间中，命题p：两条直线平行，命题q：两条直线没有公共点，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．如图所示，在长方体中，已知，则异面直线与之间的距离为__________.      12．空间四边形四边的中点分别是，若四边形是矩形，则异面直线与所成的角的大小是_________________． 13．对于命题：①若、与成等角，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则、不可能平行．其中正确命题的序号是______． 14．在正六棱柱的所有棱中任取两条，则它们所在的直线是互相垂直的异面直线共有________对．（用数字作答） 15．若是异面直线，直线，则c与b的位置关系是______. 三、解答题（本大题共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．已知正方体，如图所示， (1)求出与所成角的大小 (2)求出与所成角的大小 17．如图所示，在长方体 中，.求：    (1)直线与直线所成的角的大小； (2)直线与直线间的距离. 18．如图所示，在与同侧，过M作直线a与b，直线a分别与平面相交于，直线b分别与平面相交于． (1)判断直线与直线是否平行； (2)如果，求的长． 19．如图，在长方体中，点分别在棱上，且，.证明：点在平面内. 试卷第1页，共3页 第 13 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第42卷 平面的基本性质、直线与直线的位置关系 考点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．三个平面最多可将空间分成（    ）部分． A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】对三个平面的位置进行分类讨论，作出相应的图形，即可得出结论. 【详解】三个平面两两平行时，这三个平面将空间分为部分； 两平面平行，第三个平面与这两个平面都相交，则这三个平面将空间分为部分； 三个平面两两相交，且交于同一条直线，则这三个平面将空间分为部分； 三个平面两两相交，且交线两两平行时，如三棱柱的三个侧面所在的平面， 这三个平面将空间分为部分； 三个平面两两相交，且交线交于一点，则这三个平面将空间分为部分. 因此空间三个平面最多将空间分成个部分. 故选：C. 2．若直线，与直线所成的角相等，则，的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．相交 D．相交、平行、异面均有可能 【答案】D 【分析】借助正方体中两条直线的位置关系即可得解. 【详解】如图所示，以正方体为例. 选定直线为，当直线，分别为时， 直线，与直线所成的角都是直角，此时，平行； 当直线，分别为时， 直线，与直线所成的角都是直角，此时，异面； 当直线，分别为时， 直线，与直线所成的角都是直角，此时，相交； 所以，的位置关系平行，相交，异面均有可能. 故选：D. 3．关于两条异面直线的说法，正确的是（     ） A．它们是不在同一个平面的两条直线． B．它们是在空间内不相交的两条直线． C．它们是分别位于两个平面内的两条直线． D．某一平面内的一条直线与平面外的另一条直线． 【答案】A 【分析】利用空间中两直线的位置关系与异面直线的概念可判断. 【详解】不同在任一个平面内的两条直线，为异面直线概念，A正确； 空间两条不相交的直线，可能平行，故B错误； 分别位于两个不同平面内的两条直线可能平行可能异面，故C错误； 一个平面内的一条直线与这个平面外的一条直线，可能相交可能平行可能异面，故D错误. 故选：A. 4．在下列的正方体中，M，N分别是棱和的中点，则异面直线和所成的角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，将异面直线和平移，即可求解. 【详解】利用中位线，得，将平移至， 利用，将平移至，如下图所示，   是异面直线和所成的角， . 故选：B. 5．“点在平面上，直线与相交于点”可以用符号表示为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】利用集合中对应的符号正确表示即可. 【详解】点在平面上，可表示为：. 直线与相交于点，可表示为：. 所以“点在平面上，直线与相交于点”可以用符号表示为：，. 故选：    A 6．在空间四边形中，若，分别为，的中点，，，且，，则（    ） A．直线与平行 B．直线，，相交于一点 C．直线与异面 D．直线，，相交于一点 【答案】B 【分析】首先利用相似三角形证明且，再利用中位线定理证明且，从而得到四边形为梯形，且，是梯形的两腰，设，交于一点，利用平面的性质证明是直线，，的公共点即可． 【详解】因为，，且， 所以，所以且， 因为，分别为，的中点，所以且， 所以且，故四边形为梯形，且，是梯形的两腰， 所以，交于一点，设交点为，则，， 又因为平面，且平面， 所以平面，且平面， 又平面平面， 所以， 所以点是直线，，的公共点， 故直线、、相交于一点．    故选：B 7．若异面直线的方向向量与的方向向量的夹角为，则与所成的角为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由异面直线所成角的定义即可得解. 【详解】由异面直线所成角的定义可知， 异面直线所成角的范围是， 因为异面直线的方向向量与的方向向量的夹角为， 所以与所成的角为，即. 故选：B. 8．下列说法错误的是（    ） A．平行于同一直线的两直线平行 B．垂直于同一直线的两直线平行 C．两直线没有公共点，则两直线平行或异面 D．不共线的三点确定一个平面 【答案】B 【分析】根据直线与直线的位置关系及平面的性质即可得解. 【详解】选项，平行于同一直线的两直线平行，正确； 选项，由空间两直线位置关系可知垂直于同一直线的两直线可以是相交直线，可以是平行直线，也可以是异面直线，故错误； 选项，两直线没有公共点，则两直线平行或异面，正确； 选项，不共线的三点确定一个平面，正确. 故选：B. 9．下列命题正确个数为（    ） ①三点确定一个平面；②若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则该直线与平面垂直； ③同时垂直于一条直线的两条直线平行；④底面边长为2，侧棱长为的正四棱锥的表面积为． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】根据平面、线面垂直、线线垂直与平行、正四棱锥的表面积等知识确定正确答案. 【详解】①，在一条直线上的三个点，不能确定一个平面，所以①错误. ②，若一条直线垂直于平面内的无数条直线，则该直线可能在这个平面内，所以②错误. ③，同时垂直于一条直线的两条直线可能异面，所以③错误. ④，正四棱锥的一个侧面对应的等腰三角形的高为， 所以正四棱锥的表面积为，所以④正确. 故正确的命题个数为个. 故选：B 10．在空间中，命题p：两条直线平行，命题q：两条直线没有公共点，则p是q的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义来判断命题和之间的关系. 【详解】若命题成立，即两条直线平行，则这两条直线没有公共点，即，充分性成立； 若命题成立，即两条直线没有公共点，则在空间中，这两条直线可能平行，还可能是异面直线， 所以，必要性不成立， 综上，是的充分不必要条件. 故选：A. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．如图所示，在长方体中，已知，则异面直线与之间的距离为__________.      【答案】2 【分析】找到异面直线的公垂线段，即可求解. 【详解】由长方体的性质可得，， 所以是异面直线与的公垂线， 所以异面直线与之间的距离为. 故答案为：2 12．空间四边形四边的中点分别是，若四边形是矩形，则异面直线与所成的角的大小是_________________． 【答案】 【分析】先根据三角形中位线定理得到四边形边与、的平行关系，再结合矩形的性质求出异面直线与所成角的大小. 【详解】因为、、、分别是、、、各边的中点， 所以在中，是中位线，则， 在中，是中位线，则， 所以（或其补角）是异面直线与所成的角， 因为四边形是矩形，所以， 所以异面直线与所成的角为. 故答案为：. 13．对于命题：①若、与成等角，则；②若，，则；③若，，则；④若，，，则、不可能平行．其中正确命题的序号是______． 【答案】③ 【分析】利用特例判断①②④，根据平行公理判断③. 【详解】解：对于①，直线和与直线所成角都是，但与不平行，故①不正确； 对于②，直线和与直线所成角都是，但与不平行，故②不正确； 对于③，若，，则，故③正确； 对于④，若，，，则、可能平行， 如图令，平面为平面，，平面为平面， 则，显然，故④错误； 故答案为：③ 14．在正六棱柱的所有棱中任取两条，则它们所在的直线是互相垂直的异面直线共有________对．（用数字作答） 【答案】48 【分析】根据正六棱柱的侧棱与底面的直线都垂直结合异面直线的概念即可得结果. 【详解】考虑侧棱与底面垂直，与底面的直线都垂直，6条侧棱， 每一条侧棱与一个底面中的4条直线是互相垂直的异面直线， 有上下两个底面，则其中是互相垂直的异面直线共有2×6×4＝48（种）. 故答案为：48. 15．若是异面直线，直线，则c与b的位置关系是______. 【答案】相交或异面 【分析】利用异面直线的定义与平面相关定理即可得解. 【详解】因为是两条异面直线，直线， 所以过b任一点可作与a平行的直线c，此时c与b相交； 另外，c与b不可能平行，理由如下： 若，则由可得到，这与a，b是两条异面直线矛盾，故c与b异面； 综上，c与b的位置关系是相交或异面. 故答案为：相交或异面． 三、解答题（本大题共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．已知正方体，如图所示， (1)求出与所成角的大小 (2)求出与所成角的大小 【答案】(1) (2) 【分析】根据题意，结合正方体的性质，及空间中两直线所成角的概念，即可求解. 【详解】（1）因为正方体中，， 所以直线与所成角为. （2） 如图，连接，则是与所成角， 又正方体中，四边是正方形， 所以， 所以与所成角是. 17．如图所示，在长方体 中，.求：    (1)直线与直线所成的角的大小； (2)直线与直线间的距离. 【答案】(1). (2)2. 【分析】（）根据题意连接，求出即可得解. （）根据长方体的性质得出线段是的公垂线段即可得解. 【详解】（1）    如图所示，连接，在中，， 所以， 所以，直线与直线所成的角的大小为. （2）∵， ∴线段是的公垂线段， ∵，直线与直线间的距离为. 18．如图所示，在与同侧，过M作直线a与b，直线a分别与平面相交于，直线b分别与平面相交于． (1)判断直线与直线是否平行； (2)如果，求的长． 【答案】(1)平行 (2) 【分析】（1）判断直线与直线是否平行，可以利用两个平面平行的性质判断即可． （2）在平面中，利用初中学习的平行线的性质，可以求出线段的长． 【详解】（1）解：因为， 又平面与平面相交于直线，平面与平面相交于直线． 由两个平面平行的性质，知． （2）在平面中，因为， 则， 所以， 故． 19．如图，在长方体中，点分别在棱上，且，.证明：点在平面内. 【答案】证明见解析 【分析】先证明四边形为平行四边形，四边形为平行四边形，再证明四边形为平行四边形，即证点在平面内. 【详解】在棱上取点，使得，连接、、、， 在长方体中，且，且， ，，且， 所以，四边形为平行四边形， 则且， 同理可证四边形为平行四边形， 且， 且， 则四边形为平行四边形， 因此，点在平面内. 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是证明四边形为平行四边形. 试卷第1页，共3页 第 13 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $