第44卷 直线与平面的位置关系2-考点训练卷 2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第44卷 直线与平面的位置关系2 考点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．平面的一条斜线和这个平面所成的角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．在长方体中，，，，直线与平面所成的角（ ） A．等于 B．等于 C．正切值为2 D．正切值为 3．在长方体中，与平面所成的角是，则长方体体积（   ） A．8 B． C． D． 4．平面外一条直线和这个平面所成角为，则的范围是（   ） A． B． C． D． 5．已知是所有棱长均相等的直三棱柱，是的中点，则下列命题正确的是（ ） A．在棱上存在点，使与平面ABC所成的角为 B．在棱上存在点，使与平面所成的角为 C．在棱上存在点，使与平行 D．在棱上存在点，使与垂直 6．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 7．正方体中，与平面所成的角是（   ） A． B． C． D． 8．已知在长方体中，，，那么直线与平面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 9．如图，在正三棱柱中，，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（       ）    A． B． C． D． 10．正方体中，直线与平面所成的角为（ ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．已知斜线段长是它在平面上的射影长的倍，则斜线和平面所成的角是__________. 12．如图，在正方体中，直线与平面所成角的正切值为______. 13．若斜三棱柱的高为，侧棱与底面所成角为，相邻两侧棱之间距离为5，则该三棱柱的侧面积等于______. 14．设斜线和平面所成角为，那么此斜线和平面上所有直线的所成角的范围是______． 15．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥为阳马，侧棱底面，，，E为棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为_____________．    三、解答题（本大题共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．如图，在正方体中， (1)求与平面所成的角； (2)求与平面所成的角． 17．如图所示，在正方体中，，，求：    (1)异面直线与所成的角； (2)直线与平面所成角的正切值； (3)三棱锥的体积． 18．在四棱锥中，底面为矩形，侧棱平面，，，.求： (1)直线与平面所成角； (2)直线与平面所成角的正切值. 19．已知矩形所在的平面，分别是的中点，且.求： (1)直线与平面的所成角； (2)直线与平面的所成角. 试卷第1页，共3页 第 16 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第44卷 直线与平面的位置关系2 考点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．平面的一条斜线和这个平面所成的角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由斜线和平面所成的角的定义即可求解. 【详解】由斜线和平面所成的角的定义得：， 故选：C. 2．在长方体中，，，，直线与平面所成的角（ ） A．等于 B．等于 C．正切值为2 D．正切值为 【答案】A 【分析】根据长方体的性质，结合线面角的定义找出直线与平面所成的角即可得解. 【详解】    长方体中，直线平面， 所以就是直线与平面所成的角， 在中，，，则， 所以， 故选：. 3．在长方体中，与平面所成的角是，则长方体体积（   ） A．8 B． C． D． 【答案】C 【分析】这道题主要运用长方体的性质、线面角的定义及相关几何知识求解. 【详解】如图所示，连接平面， 为直角三角形， 又， 又， .    故选：C. 4．平面外一条直线和这个平面所成角为，则的范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据直线与平面所成角的概念及位置关系，即可求解. 【详解】直线与平面平行时，此时直线与平面所成角为0， 直线与平面垂直时，直线与平面所成角为， 直线与平面斜交时， 直线与平面， 综上，平面外一条直线和这个平面所成角的范围是， 故选：A. 5．已知是所有棱长均相等的直三棱柱，是的中点，则下列命题正确的是（ ） A．在棱上存在点，使与平面ABC所成的角为 B．在棱上存在点，使与平面所成的角为 C．在棱上存在点，使与平行 D．在棱上存在点，使与垂直 【答案】B 【分析】结合线面角，线面关系及线线关系逐项判断即可. 【详解】    设该直三棱柱的棱长均为a，取BC的中点P，连接MP， 则MP⊥平面ABC， 点N在棱AB上，若MN与平面ABC所成角为，即∠MNP＝， 则PN＝PM＝a，而＝a＜a，A错误； 若点N在棱上，则点N在平面上的射影为点Q， 且，此时MN与平面所成角即为∠NMQ， 当NQ＝＝a时，∠NMQ＝，B正确； 因为AC与是异面直线，所以点N在AC上时， MN与是异面直线或相交直线，不可能平行，C错误； 取BC的中点P，则AP⊥平面，AP⊥MN， 若MN⊥，则MN⊥平面，此时MN⊥， 当N在棱BC上时，MN⊥BP 不可能成立，D错误 故选：B. 6．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为，则该圆锥的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知条件求出圆锥的母线长，利用直线与平面所成角求解底面半径，然后求解圆锥的侧面积． 【详解】圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为， 可得，又的面积为， 可得，即，可得， SA与圆锥底面所成角为，可得圆锥的底面半径为：， 则该圆锥的侧面积：， 故选：C 7．正方体中，与平面所成的角是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意找出与平面所成的角即可得解. 【详解】因为平面， 则在平面内的射影为， 即为直线与平面所成的角． 在正方体中，， 故选：. 8．已知在长方体中，，，那么直线与平面所成角的正弦值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由长方体性质易知为与面所成的角，进而求其正弦值即可. 【详解】    根据长方体性质知：面， 故为与面所成的角， ， 所以. 故选：. 9．如图，在正三棱柱中，，，点D是侧棱的中点，则直线与平面所成角的正弦值为（       ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正三棱柱的性质，结合线面所成角的求法，即可求解. 【详解】在正三棱柱中， 平面， 与平面所成的角为， 又，， 可得， 平面平面， 与平面所成角的正弦值为， 故选：B. 10．正方体中，直线与平面所成的角为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，则有，由平面得，因此平面，则是直线与平面所成的角，根据条件求解即可. 【详解】正方体中，连接，连接，如图，    则有， 而平面，平面，即有， 又平面，因此平面， 则是直线与平面所成的角， 在中，，，则有， 所以直线与平面所成的角为. 故选：A. 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．已知斜线段长是它在平面上的射影长的倍，则斜线和平面所成的角是__________. 【答案】/ 【分析】由线面角的定义即可得解. 【详解】 由题意画出图像. 由题意可知. 则. 所以. 所以斜线和平面所成的角是. 故答案为：. 12．如图，在正方体中，直线与平面所成角的正切值为______. 【答案】 【分析】根据正方体性质及线面角定义求解. 【详解】设正方体的棱长为1， 在正方体中，平面， 故在平面上的射影为， 所以为直线与平面所成角， 故. 故答案为： 13．若斜三棱柱的高为，侧棱与底面所成角为，相邻两侧棱之间距离为5，则该三棱柱的侧面积等于______. 【答案】120 【分析】根据线面角的定义，结合锐角三角函数定义进行求解即可. 【详解】设是斜三棱柱的高，因此侧棱与底面所成角为， 所以有， 因为相邻两侧棱之间距离为5， 所以该三棱柱的侧面积等于， 故答案为：120 14．设斜线和平面所成角为，那么此斜线和平面上所有直线的所成角的范围是______． 【答案】 【分析】由于两条直线所成的角最大为直角，直线和平面所成的角是直线和该平面内所有直线成的角中最小的一个，可得结论. 【详解】有两条直线所成的角的定义知， 斜线和平面内过斜足的所有直线的夹角中，最大的角为， 再根据直线和平面所成的角是直线和该平面内所有直线成的角中最小的一个， 故斜线和平面上所有直线的所成角的范围是， 故答案为：. 15．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．如图，四棱锥为阳马，侧棱底面，，，E为棱的中点，则直线与平面所成角的余弦值为_____________．    【答案】 【分析】根据题意，连接，结合线面垂直的性质定理和判定定理，及线面角的概念，即可判断是直线与平面所成角，结合解直角三角形，即可求解. 【详解】    由题意，连接， 因为侧棱底面，底面， 所以， 又底面为矩形，所以， 因为平面，平面，， 所以平面， 所以是直线与平面所成角， 因为，，E为棱的中点， 所以， 所以， 所以, 所以， 即直线与平面所成角的余弦值为. 故答案为：. 三、解答题（本大题共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．如图，在正方体中， (1)求与平面所成的角； (2)求与平面所成的角． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线面角的定义可知，是与平面所成的角，由正方体边的性质 可求解； （2）根据线面角的定义可知，连接交于点，连接，则是与平 面所成的角，再根据直角三角形的边长求解即可． 【详解】（1）在正方体中， 平面，则为在平面的射影， 就是与平面所成的角， 在中，， ， 与平面所成的角是． （2）连接交于点，连接． 在正方体中， 平面，平面， ， ， 平面， 平面， 就是与平面所成的角． 设正方体的棱长为1，则． 又， ， 又， ， 与平面所成的角是． 17．如图所示，在正方体中，，，求：    (1)异面直线与所成的角； (2)直线与平面所成角的正切值； (3)三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，可知（或其补角）是异面直线与所成的角； （2）先找出直线在平面内的射影，从而确定直线与平面所成的角，再根据直角三角形的性质求解正切值； （3）根据三棱锥体积公式进行计算. 【详解】（1）在正方体中，， 所以（或其补角）是异面直线与所成的角. 因为正方体的各棱长都相等，且，是等腰直角三角形， 所以，即异面直线与所成的角为. （2）因为平面，所以是在平面内的射影， 则就是直线与平面所成的角. 在正方形中，，则， 所以，又因为， 在中，. （3）在正方形中，，则，， 则， 又平面，， 所以三棱锥的体积. 18．在四棱锥中，底面为矩形，侧棱平面，，，.求： (1)直线与平面所成角； (2)直线与平面所成角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合线面角的定义，及解直角三角形，即可求解； （2）根据题意，结合线面垂直的性质定理和判定定理，及解直角三角形，即可求解. 【详解】（1）因为侧棱平面， 所以是直线与平面所成角， 因为，， 所以，所以， 即直线与平面所成角为； （2）因为侧棱平面，平面， 所以, 又底面为矩形，所以， 因为平面，平面，， 所以平面， 所以是直线与平面所成角， 因为,,， 所以， 所以， 即直线与平面所成角的正切值是. 19．已知矩形所在的平面，分别是的中点，且.求： (1)直线与平面的所成角； (2)直线与平面的所成角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用构造平行四边形证得，从而将问题转化为与平面的所成角，再证明平面，得到为所求角，从而得解； （2）利用（1）结论，结合线面垂直的性质与判定定理得到为所求角，从而得解. 【详解】（1）取的中点，连接，，取的中点，连接， 因为，分别为，的中点，所以且， 又是的中点，，所以， 则四边形为平行四边形，故， 所以与平面的所成角为与平面的所成角， 因为，分别为，的中点，所以， 又平面，所以平面， 所以为与平面的所成角（或补角），即为所求角， 因为平面，平面，所以， 又，则， 而，为的中点，所以， 且，故， 即直线与平面的所成角为. （2）取的中点，连接， 由（1）知与平面的所成角为与平面的所成角， 因为在矩形中，， 又，平面， 所以平面， 因为，分别为，的中点，所以，则平面， 所以为与平面的所成角（或补角），即为所求角， 由（1）知， 所以直线与平面的所成角为. 试卷第1页，共3页 第 16 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $