第45卷 平面与平面的位置关系-考点训练卷 2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》（原卷版+解析版）

编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第45卷 复数的运算 考点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知经过圆柱旋转轴的给定平面，A，B是圆柱侧面上且不在平面上的两点，则下列判断不正确的是（    ） A．一定存在直线l，且l与异面 B．一定存在直线l，且 C．一定存在平面，且 D．一定存在平面，且 2．如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C．平面 D．平面 3．如图所示，在棱长为1的正方体中，二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 4．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题 ①若，，则    ②若，，则 ③，，则    ④若，，，则 其中正确的命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．若平面平面，直线，直线，那么的位置关系是（    ） A．无公共点 B．平行 C．既不平行也不相交 D．相交 6．如果平面α经过平面β的一条垂线，那么平面α与平面β的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．无法确定 7．已知二面角，，点与的距离为，到的距离为，则二面角的度数为（ ） A．90º B．60º C．45º D．30º 8．已知是不同的直线,是不同的平面,下列命题中真命题为（    ） A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则 9．已知平面，，和直线，，，下列命题正确的是（ ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 10．已知两条不重合的直线和，两个不重合的平面和，下列四个说法： ①若，，，则    ②若，，，则 ③若，，，则    ④若，，，则 其中所有正确的序号为（    ） A．②④ B．③④ C．④ D．①③ 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．已知正方形所在平面与正方形所在平面成直二面角，则_________. 12．如图，平面四边形中，，是，中点，，，，将沿对角线对折起至，使平面平面，则四面体中，异面直线与所成的角为______． 13．正六棱柱相邻的两个侧面所成的二面角的大小为__________． 14．如图所示，已知是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆周上不同于，的任意一点，且，则二面角的大小为__________.    15．若正四棱锥的底面边长为4，侧面与底面所成二面角的大小为，则它的全面积为______，体积为______. 三、解答题（本大题共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．如图，在直三棱柱中，. (1)求证：； (2)求二面角的大小. 17．如图，，，两两垂直，且. (1)求C到的距离； (2)求平面和平面所成二面角的正切值. 18．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，M为PB的中点． (1)求证：平面PDC； (2)求证：平面平面PBD． 19．如图所示，已知是圆O的直径，点C是圆上异于A，B的点，直线平面．    (1)证明：平面平面； (2)设，，求二面角的余弦值． 试卷第1页，共3页 第 15 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》，严格依据《中等职业学校数学课程标准》，在职教高考数学真题分析的基础上进行编写。本专辑试卷采用三阶递进式训练体系：基础层拆解考点为微目标，紧扣考纲中考查内容及考查要求编写考点训练卷；巩固层强化知识综合，按考纲专题编写专题训练卷；应用层聚焦真题突破，结合考纲与真题编写综合模拟卷。 浙江省单独招生考试《数学考纲百套卷》 第45卷 复数的运算 考点训练卷 考试时间：60分钟 满分：100分 班级 姓名 学号 成绩 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1．已知经过圆柱旋转轴的给定平面，A，B是圆柱侧面上且不在平面上的两点，则下列判断不正确的是（    ） A．一定存在直线l，且l与异面 B．一定存在直线l，且 C．一定存在平面，且 D．一定存在平面，且 【答案】D 【分析】利用两点在平面的同侧还是异侧分类讨论，根据直线与直线的位置关系、直线与平面的位置关系、平面与平面垂直的判定定理即可求解. 【详解】 对于A，当同侧时，平面和圆柱在底面上的交线与异面，当异侧时，平面和圆柱在侧面上的交线与异面，故A正确； 对于B，当同侧时，平面和圆柱在底面上的交线与垂直，当异侧时，，故B正确； 对于C，无论同侧还是异侧，若平面为过的圆柱的轴截面，则，故C正确； 对于D，当异侧时，直线与平面相交，不可能存在，故 D错误； 故选：D 2．如图，在正方体中，，，分别是，，的中点，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C．平面 D．平面 【答案】C 【分析】利用面面平行证明线面平行即可. 【详解】由题意，取的中点，连接，如图．    因为分别是的中点， 所以，平面，平面， 所以平面， 同理，平面， 又，平面， 所以平面平面， 因为平面，所以平面； 异面，与平面，平面都相交. 故选：C． 3．如图所示，在棱长为1的正方体中，二面角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，连接，设，连接，易得是二面角的平面角，结合解直角三角形，即可求解. 【详解】 连接，设，连接，则， 因为在正方体中，, 所以, 又平面平面，平面，平面， 所以是二面角的平面角． 在中，，， 所以． 故选：A. 4．设、是两条不同的直线，、是两个不同的平面，则下列四个命题 ①若，，则    ②若，，则 ③，，则    ④若，，，则 其中正确的命题的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】根据线面平行，线面垂直，面面垂直的判定定理求解. 【详解】①若，，则可得或，所以错误； ②若，，可能，所以错误； ③若，，则或，所以错误； ④若，，，根据线面垂直的性质可得，故正确. 故选：B. 5．若平面平面，直线，直线，那么的位置关系是（    ） A．无公共点 B．平行 C．既不平行也不相交 D．相交 【答案】A 【分析】由两线的位置关系的定义判断即可 【详解】由题，直线a，b分别含于两个平行的平面，可能平行，可能异面，但不可能相交. 故选：A 6．如果平面α经过平面β的一条垂线，那么平面α与平面β的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．垂直 D．无法确定 【答案】C 【分析】根据平面与平面垂直的判定定理求解即可. 【详解】平面与平面垂直的判定定理为“如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直”，直接符合定理条件， 故选： C 7．已知二面角，，点与的距离为，到的距离为，则二面角的度数为（ ） A．90º B．60º C．45º D．30º 【答案】D 【分析】作出二面角的平面角，直接求解. 【详解】如图示： 过作垂足为，则. 作，垂足为，则，连接， 因为，所以. 又，所以二面角的平面角为，， 在直角中，， 所以. 故选：D. 8．已知是不同的直线,是不同的平面,下列命题中真命题为（    ） A．若,则 B．若,则 C．若,则 D．若,则 【答案】C 【分析】可放在长方体中排除错误选项,选出正确选项. 【详解】解:由题知,不妨将, 放在长方体中可知, 关于选项A,如图所示可知A错误, 关于选项B,如图所示可知B错误, 关于选项D,如图所示可知D错误, 根据面面平行的性质定理可知,选项C正确. 故选:C 9．已知平面，，和直线，，，下列命题正确的是（ ） A．若，，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系逐项判断即可得解. 【详解】若，，，，则可能平行或相交，故错误； 若，，则可能平行，相交或异面，故错误； 若，，则，故正确； 若，，则或，故错误， 故选：. 10．已知两条不重合的直线和，两个不重合的平面和，下列四个说法： ①若，，，则    ②若，，，则 ③若，，，则    ④若，，，则 其中所有正确的序号为（    ） A．②④ B．③④ C．④ D．①③ 【答案】B 【分析】①②错误，举出反例即可，③④正确，给出证明. 【详解】对于①：如果，，也能满足条件，①错误； 对于②：与相交或异面也能满足条件，②错误； 对于③：因为，，则，又因为，所以，③正确； 对于④：因为，所以平面内必有直线，又因为，所以， 因为，，所以，而，所以，④正确. 故选：B 二、填空题（本大题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 11．已知正方形所在平面与正方形所在平面成直二面角，则_________. 【答案】 【分析】根据题意，结合二面角的概念，易得，继而得到是等边三角形，即可求解. 【详解】 因为四边形与是正方形，设边长为1， 所以， 又平面，平面， 所以是平面与平面所成二面角的平面角，即， 所以， 所以是等边三角形， 所以. 故答案为：. 12．如图，平面四边形中，，是，中点，，，，将沿对角线对折起至，使平面平面，则四面体中，异面直线与所成的角为______． 【答案】 【分析】由三角形中位线，异面直线所形成的角，两平面垂直的性质，线面垂直的性质及勾股定理即可得解. 【详解】 如图所示，取中点并连接，则. 所以异面直线与所成的角与与形成的角相同，即. 因为，是，中点，所以. 因为，，所以，. 又因为，，所以. 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以，则. . 因为. 所以. 所以在中，. 所以为直角三角形且. 异面直线与所成的角为. 故答案为：. 13．正六棱柱相邻的两个侧面所成的二面角的大小为__________． 【答案】 【分析】由正六棱柱，找出相邻两个侧面所成二面角的平面角，再求解即可. 【详解】如图，由正六棱柱的几何特征可知，， ∴为正六棱柱相邻两个侧面所成二面角的平面角， ∴， 即正六棱柱相邻的两个侧面所成的二面角的大小为．    故答案为：. 14．如图所示，已知是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆周上不同于，的任意一点，且，则二面角的大小为__________.    【答案】/ 【分析】由已知可证明平面，可得，所以为二面角的平面角.在可求解. 【详解】垂直于圆所在的平面，在圆所在的平面内， 是圆的直径，是圆周上一点， ，且，平面 平面. ,又平面， 所以为二面角的平面角. 由知为等腰直角三角形， 故. 故答案为： 15．若正四棱锥的底面边长为4，侧面与底面所成二面角的大小为，则它的全面积为______，体积为______. 【答案】 【分析】先求出正四棱锥的斜高和高，再分别计算其全面积和体积. 【详解】设正四棱锥为， 为底面中心，取中点，连接，，，    因为是正方形的中心，是中点，所以，， 则就是侧面与底面所成二面角的平面角，即， 又因为底面边长为，所以， 在中，，， 可得，，即正四棱锥的高为，斜高为， 所以正四棱锥的全面积. 正四棱锥的体积. 故答案为：，. 三、解答题（本大题共 4 小题，每小题 10 分，共 40 分.要写出必要的文字说明，证明过程和演算步骤） 16．如图，在直三棱柱中，. (1)求证：； (2)求二面角的大小. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明线面垂直，进而证明线线垂直； （2）通过作辅助线找到二面角的平面角，然后求值. 【详解】（1）由直三棱柱性状可知，底面 又∵底面， ∴， ∵， ∴， 而， 平面，平面， ∴平面， 又∵平面， ∴； （2）如图，过点作垂直，垂足为，连接， 由题，底面，而底面， ∴， 又∵，， 平面，平面， ∴平面， ∵平面∴， ∴为二面角的平面角， 在中，， 在中，. 17．如图，，，两两垂直，且. (1)求C到的距离； (2)求平面和平面所成二面角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，两两垂直且相等，求得，从而得到的高即为C到的距离，由此得解； （2）先判断得为平面和平面所成二面角的平面角，再利用线面垂直的判定与性质定理，结合直角三角形的正切公式即可求解. 【详解】（1）因为，，两两垂直，且， 所以， 则为等边三角形， 所以C到的距离为等边三角形的高，即. （2）取的中点D，连接，，如图， 则，都垂直于， 所以为平面和平面所成二面角的平面角. 因为，平面， 所以平面，又平面，所以， 在中，，， 所以. 18．如图，在四棱锥中，四边形ABCD为正方形，平面ABCD，M为PB的中点． (1)求证：平面PDC； (2)求证：平面平面PBD． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）如图：是的中位线，则，再利用线面平行的判定定理即可证得答案； （2）利用线面垂直的判定定理可得平面PAC，再由面面垂直的判定定理即可证明. 【详解】（1）证明：在中，O、M分别为BD、PB的中点， ， 又平面PDC，平面PDC， 平面PDC. （2）在正方形ABCD中，， 又平面ABCD，平面ABCD， ， 又平面PAC，平面PAC，， 平面PAC， 又平面PBD， 平面平面PBD． 19．如图所示，已知是圆O的直径，点C是圆上异于A，B的点，直线平面．    (1)证明：平面平面； (2)设，，求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题可得直径所对的圆周角为直角，再由面面垂直的判定定理即可证明. （2）作一条垂直，再证明一条垂直，找到二面角后放到三角形中求解即可. 【详解】（1）是圆的直径， ， 又平面，平面， ， ，且平面， 平面， 又平面， 平面平面． （2）过作于，连结． 平面，平面， ， ，且平面， 平面， 又平面， ， 为二面角的平面角， 在中，，， ， 则， 二面角的余弦值为. 试卷第1页，共3页 第 15 页 共 15 页 学科网（北京）股份有限公司 $