20.2 第1课时 勾股定理的逆定理 课件 2025-2026学年人教版八年级数学下册

第二十章 勾股定理 20.2 勾股定理的逆定理及其应用 第1课时 勾股定理的逆定理 目 录 1. 学习目标 4. 知识点1 勾股定理的逆定理 6. 课堂小结 3. 新课导入 7. 当堂小练 CONTENTS 8. 对接中考 9. 拓展与延伸 2. 知识回顾 5. 知识点2 勾股数 1. 能从勾股定理出发，构建直角三角形，探究勾股定理的逆定理，感悟构建图形证明定理的新方法，增强几何直观，提升推理能力. 2. 掌握勾股定理的逆定理，会用其判断一个三角形是不是直角三角形. 3. 了解勾股数，会判断三个数是不是勾股数，并能用勾股数进行简单的计算和证明，发展运算能力. 学习目标 知识回顾 如果直角三角形的两条直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么.即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. A C B a b c 条件： 直角三角形的两直角边长为a，b，斜边长为c. 结论： 勾股定理： 新课导入 思考 同学们你们知道古埃及人用什么方法得到直角的吗? 据说，古埃及人用下图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的 13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中一个角便是直角. 新课讲解 知识点1 勾股定理的逆定理 上述方法意味着： 如果围成三角形的三边长分别为3，4，5， 它们满足关系“ 32 + 42 = 52 ”， 那么围成的三角形是直角三角形. 一般地，满足两条边长的平方和等于第三条边长的平方的三角形是不是直角三角形呢？ 新课讲解 观察 画一画，如果三角形的三边长分别为 2.5 cm，6 cm，6.5 cm，它们满足关系“2.5² + 6² = 6.5²”，画出的三角形是直角三角形吗？换成三边长分别为 4 cm，7.5 cm，8.5 cm，再试一试. 新课讲解 由上面的尝试，我们猜想： 如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形. 这个猜想就是勾股定理的逆命题. 怎么证明这个猜想呢？ 如图1，已知 △ABC 的三边长分别为 a，b，c，满足 a² + b² = c². 求证 △ABC 是直角三角形. 分析：直接证明△ABC是直角三角形比较困难.回顾已经学过的知识，可以作一个两条直角边长分别为a，b的直角三角形，如果能证明△ABC与所作的直角三角形全等，那么就能证明△ABC是直角三角形. A B C c a b 图1 新课讲解 如图1，已知 △ABC 的三边长分别为 a，b，c，满足 a² + b² = c². 求证 △ABC 是直角三角形. 证明：如图2，作一个Rt△A'B'C'，使 B'C ' = a，A'C ' = b，∠C ' = 90°. 根据勾股定理，A'B'² = B'C '² + A'C '² = a² + b². 因为 a² + b² = c²，所以 A'B' = c. 在 △ABC 和 △A'B'C' 中， BC = a = B'C '， AC = b = A'C '， AB = c = A'B'， ∴ △ABC ≌△A'B'C ' (SSS). ∴ ∠C = ∠C' = 90°， 即 △ABC 是直角三角形. A B C c a b 图1 C′ B′ A′ a b c 图2 新课讲解 勾股定理逆定理： 这样，我们证明了勾股定理的逆命题是正确的，它也是一个定理.这个定理叫作勾股定理的逆定理.它是判定直角三角形的一个依据. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形. 1.勾股定理的逆定理是判定直角三角形的一个依据，在判定时不能说“在直角三角形中”“直角边”“斜边”，因为还没有确定是直角三角形. 2. 只是一种表达形式，只要有两边的平方和等于第三边的平方的三角形都是直角三角形，其中最长边即为斜边. 3. 这种判定方法不是判定直角三角形的唯一方法，也可以用定义或其他方法来证明. 注意 新课讲解 例 1. 判断由线段a，b，c组成的三角形是不是直角三角形： (1) a = 8，b = 15，c = 17； (2) a = 14，b = 13，c = 15. 分析：根据勾股定理及其逆定理，判断一个三角形是不是直角三角形，只要判断两条较小边长的平方和是否等于最大边长的平方. 解：(1) 因为 8² + 15² = 64 + 225 = 289，17² = 289， 所以 8² + 15² = 17². 根据勾股定理的逆定理，由线段 a，b，c 组成的三角形是直角三角形. (2) 因为 14² + 13² = 196 + 169 = 365，15² = 225， 所以 14² + 13² ≠ 15². 根据勾股定理，由线段 a，b，c 组成的三角形不是直角三角形. 新课讲解 利用边的关系判定直角三角形的步骤 1. 找：找出三角形三边中的最长边； 2. 算：计算其他两边的平方和与最长边的平方； 2. 判：若两者相等，则这个三角形是直角三角形，否则不是. 新课讲解 例 2. 判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形： (1)在△ABC中，∠A＝25°，∠C＝65°； (2)在△ABC中，AC＝12，AB＝20，BC＝16； (3)一个三角形的三边长a，b，c 满足a∶b∶c＝1∶1∶ . 解：(1)∠B＝180°－25°－65°＝90°. 因此△ABC 是直角三角形. (2)在△ABC 中，∵ AC2＋BC2＝122＋162＝202＝AB2， 因此△ABC是直角三角形，且∠C为直角. (3)设a＝x，则b＝x，c＝x. 由x2＋x2＝(x)2，知a2＋b2＝c2. 因此该三角形是直角三角形. 已知比例式，设参数，表示边长 已知三角形三边的比例关系判断三角形形状：先设出参数，表示出三条边的长，再用勾股定理的逆定理判断其是否是直角三角形.如果此直角三角形的三边中有两个相同的数，那么该三角形还是等腰三角形. 归纳 新课讲解 拓展 直角三角形的判定方法 1. 用角判定： ①(定义法)有一个角为90°的三角形是直角三角形； ②(判定定理)有两个角互余的三角形是直角三角形； 2. 用边判定：勾股定理的逆定理. 归纳 设三角形的三边长分别为a，b，c(c为最长边的长). 1. 如果a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形； 2. 如果a2＋b2＜c2，那么这个三角形是钝角三角形； 3. 如果a2＋b2＞c2，那么这个三角形是锐角三角形. 新课讲解 练一练 1. 判断满足下列条件的三角形是不是直角三角形.如果是，请指出哪个角是直角. (1) 在 △ABC 中，AB = 15，BC = 20，AC = 25； (2) 在 △ABC 中，AB = 14，BC = 2，AC = 15； (3) 在 △ABC 中，a = m²-n²，b = 2mn，c = m² + n² (m > n > 0). 解：(1) ∵ AB² + BC² = 15² + 20² = 625，AC² = 25² = 625，∴ AB² + BC² = AC²， ∴ 这个三角形是直角三角形，∠B 是直角. (2) ∵ AB² + BC² = 14² + 2² = 200，AC² = 15² = 225，∴ AB² + BC² ≠ AC²， ∴ 这个三角形不是直角三角形. (3) 在△ABC 中，∵ a²+b² = (m²-n²)² + (2mn)² = m4+2m²n²+n4， c² = (m² + n²)² = m4 + 2m²n² + n4，∴ a² + b² = c²， ∴ 这个三角形是直角三角形，∠C 是直角. 新课讲解 练一练 2. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，那么下面不能判定△ABC是直角三角形的是 ( ) A. ∠B＝∠C－ ∠A B. a2＝(b＋c)(b－c) C. ∠A∶∠B∶∠C ＝5∶4∶3 D. a∶b∶c＝ 5∶4∶3 C 新课讲解 练一练 解：设直角三角形三边满足a2+b2=c2 ，三边同时扩大3倍后，也满足，所以得到的新三角形还是直角三角形. 3. 将直角三角形的三条边同时扩大3倍，得到的三角形是（ ）. A. 锐角三角形 B. 等腰三角形 C. 直角三角形 D. 钝角三角形 C 将直角三角形的三边长扩大同样的倍数，则得到的三角形仍然是直角三角形. 归纳 新课讲解 勾股定理与其逆定理的关系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在Rt△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边长分别为a，b，c，∠C＝90. 在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边长分别为a，b，c，且a2＋b2＝c2 结论 区别 勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”到“数”. 勾股定理的逆定理以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形” ，即由“数”到“形”. 联系 新课讲解 知识点2 勾股数 勾股数的概念： 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即在 a² + b² = c²中，当a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数. 是一组勾股数 9，40，41 92+402=1 681 412=1 681 92+402= 412 两个较小数的平方和等于最大数的平方. 新课讲解 例 3. 给出下列数组： ① 5，13，12； ② 2，3，4； ③ 2.5，6，6.5； ④ 3²，4²，5². 其中勾股数的组数是 ( ) A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 解： ① ∵ 5² + 12² = 13²，且 5，12，13 均是正整数， ∴ 5，12，13 是一组勾股数. ② ∵ 2² + 3² ≠ 4²， ∴ 2，3，4 不是一组勾股数. ③ ∵ 2.5，6，6.5 不都是正整数， ∴ 2.5，6，6.5 不是一组勾股数. ④ ∵ 3² = 9，4² = 16，5² = 25，9² + 16² ≠ 25²， ∴ 3²，4²，5² 不是一组勾股数. D 判断一组数是否为勾股数的步骤 1. 看：看是不是三个正整数； 2. 找：找最大数； 3. 算：计算最大数的平方与两个较小的数的平方和； 4. 判：若两者相等，则这三个数是一组勾股数，否则，不是一组勾股数. 总结 新课讲解 归纳 勾股数的特征 1. 常见的勾股数有： ①3，4，5； ②5，12，13； ③6，8，10； ④7，24，25； ⑥8，15，17；⑦9，12，15； ⑧9，40，41； ⑨10，24，26. 2. 勾股数有无数组. 3. 一般地，如果a，b，c是一组勾股数，那么ak，bk，ck (k为正整数)也是一组勾股数，如3，4，5是勾股数，则6，8，10和9，12，15也是勾股数. 1. 毕达哥拉斯发现的勾股数组：2n＋1，2n2＋2n，2n2＋2n＋1(n为正整数). 当n＝2时，可以得到一组勾股数5，12，13. 2. 柏拉图发现的勾股数组：2m，m2－1，m2＋1(m>1且m是正整数). 当m＝4时，可以得到一组勾股数8，15，17. 拓展 新课讲解 练一练 判断下列各组数是不是勾股数. (1) 8，12，16； (2) 12，16，20； (3) 0.9，1.2，1.5 解：(1) 因为. 所以不是一组勾股数. (2) 因为. 所以 (3) 不是正整数，所以不是一组勾股数. 课堂小结 勾股定理 的逆定理 作用 从三边数量关系判定一个三角形是否是直角三角形 内容 如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形 勾股数 能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即在 a² + b² = c²中，当a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数 当堂小练 解：由，得是直角三角形，且边a的对角是直角，即是直角 . 1. 在△中， ，，的对边分别为a， b ， c ，且，则下列说法一定正确的是（ ）. A. 是直角 B. 是直角 C. 是直角 D. 是锐角 C 当堂小练 解：∵， ∴. ∴这个三角形是直角三角形，且15，20为直角边， 则这个三角形的面积为 2. 已知一个三角形的三边长分别为15，20，25，则这个三角形的面积是多少？ 确定直角边！ 当堂小练 3. 下列各组数是勾股数的是 ( ) A. 3，4，7 B. 5，12，13 C. 1.5，2，2.5 D. 1， B 当堂小练 4. 已知，，，(为大于1的正整数).试问是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由. 解：∵ ∴直角三角形，边所对的角是直角. 对接中考 1. 已知M，N是线段AB上的两点，AM＝MN＝ 2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B 为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC 一定是(　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 B 对接中考 2．如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝10，BC边上的中线AD＝4，则△ABC的面积为(　　) A．30 B．24 C．20 D．48 B E 拓展与延伸 1. 若的三边长a，b ，c 满足，则△ 是（ ）. A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 易错警示：本题容易从，得到 ，即的错误结论，从而错选D项. 解：因为，所以， 即 所以，即或. 因此是等腰三角形或直角三角形. 两个数的积为0，则这两个数中至少有一个数等于0. C 拓展与延伸 2. 如图，在中，内角A，B，C所对的边分别为a， b ，c .若 ，求证：是直角三角形. 证明：∵， ∴= ∴ ∴△ 解：延长AD到E，使DE＝AD，连接CE. ∵AD为BC边上的中线，∴DC＝BD. 又∵∠ADB＝∠EDC，∴△ADB≌△EDC. ∴CE＝AB＝6，S△ADB＝S△EDC.∴S△ABC＝S△ACE. 又∵AE＝2AD＝8，AC＝10， ∴AC2＝AE2＋CE2. ∴△ACE为直角三角形，且∠E＝90°. ∴S△ABC＝S△ACE＝CE·AE＝×6×8＝24. $