专题06 函数含参与性质综合8大题型（选择、填空，解答压轴题专练）（全国通用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题06 函数含参与性质综合（选择、填空，解答压轴题） 命题预测 函数含参与性质综合是中考数学必考高分压轴模块，涵盖一次函数、反比例函数、二次函数三大主干内容，常年占据选择题压轴、填空题压轴、解答题几何与代数压轴核心位置，总分占比可达10–16 分，是区分中等生与尖子生的关键板块。含参问题抽象性强、设问角度灵活，常结合函数图象性质、方程不等式、区间最值、定点定值、几何存在性综合考查，题型规律固定、答题套路清晰，熟练掌握模型与解题模板，对中考拔高提分至关重要。预计 2026 年全国中考命题仍将围绕函数含参核心题型、性质综合核心考法展开，坚持 “基础考性质、中档考含参、压轴考综合” 的命题逻辑，侧重考查数形结合、分类讨论、建模运算三大核心素养。 高频考法 题型01 一次函数含参综合 题型02 反比例函数含参与几何性质综合 题型03 二次函数含参图象性质判断 题型04函数含参最值分类讨论 题型05 函数含参恒过定点、定值问题 题型06 函数整点问题 题型07 函数含参与方程、不等式综合 题型08 函数含参与几何存在性综合 典例·靶向·突破 题型01 一次函数含参综合 1．（2026·甘肃白银·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点关于y轴的对称点Q落在内（不包括边），则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知、两点的坐标分别为和．将直线向上平移个单位长度得到直线，若直线与线段相交于点，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川绵阳·二模）如图，，与轴，轴均相切，将一次函数的图象平移，当图象与有公共点时，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁盘锦·一模）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为______． 5．（2026·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，对于线段和直线（点，均不在直线上且直线不与直线平行），给出如下定义：过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长． (1)如图，已知点，点，线段关于直线的纵影长为______； (2)已知点，点，线段关于直线的纵影长为4，则的值为______； (3)已知，的半径为．若上存在点，使线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为，直接写出的取值范围． 题型02 反比例函数含参与几何性质综合 6．（2026·安徽池州·二模）如图，点A在y轴正半轴上，点C在反比例函数的图象上，线段交反比例函数图象于点D，连接并延长至点B，使得轴，如果，则k的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 7．（2026·北京丰台·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数的图象上的动点，过点A作x轴、y轴的平行线与反比例函数的图象分别交于点B，C，与交于点D．给出下面四个结论：①与可能相等；②与一定不相等；③与的面积一定相等； ④与的面积可能相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 8．（2026·山东青岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，将菱形向右平移个单位，使点刚好落在反比例函数的图象上，则的值为__________． 9．（2026·广东东莞·一模）如图1，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为． (1)反比例函数 的图象与边，分别交于点，，当 时，求的值和点的坐标； (2)如图2，点，分别在边，上，且反比例函数的图象经过点、，连接、，求证：； (3)如图3，反比例函数 的图象与边，分别交于点，，若以为直径的圆与矩形的边有个公共点，求的取值范围． 10．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： (1)建立函数模型：设矩形相邻两边的长分别为x，y．由矩形的面积为4，得，即； 由周长为m，得，即，满足要求的应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标； (2)画出函数图象：请先描出反比例函数的图象上的三个格点，再画出此反比例函数的图象；我们知道的图象可由直线平移得到，请在同一直角坐标系中直接画出直线． (3)平移直线，观察函数图象 ①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长m的值为 ； ②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围； (4)得出结论：若能生产出面积为4的矩形模具，即两个函数的图象有交点，则周长m的取值范围是 ． 题型03 二次函数含参图象性质判断 11．（2026·黑龙江绥化·三模）如图，二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线，则下列说法中正确的有（    ） ①；②；③；④； ⑤方程其中一个解的取值范围为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 12．（2026·安徽阜阳·二模）在同一平面直角坐标系中，抛物线（是常数，且）与双曲线的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 13．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数，总有． 其中所有正确结论的序号是______． 14．（2025·四川南充·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②若点，点是函数图象上两点，则；③当时，将抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线；④；⑤． 其中正确的有________（填序号） 15．（2026·贵州黔南·一模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为，有下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型04函数含参最值分类讨论 16．（2025·河北邯郸·二模）若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 17．（2026·陕西西安·二模）已知二次函数（a为常数），当时，y有最大值，最小值，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 18．（2026·河南南阳·一模）已知二次函数的图象经过点，，且满足，当时，该函数的最大值与最小值之间满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 19．（24-25九年级下·江苏南京·期中）若二次函数有最大值为6，则的最小值为__________． 20．（2023·江苏南京·一模）已知函数（m为常数），当时，y的最小值记为a．a的值随m的值变化而变化，当______时，a取得最大值． 题型05 函数含参恒过定点、定值问题 21．（24-25九年级下·福建泉州·期中）如图，直线与抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），若在抛物线L上存在定点P使，则点P到直线的最大距离为______． 22．（2026·云南临沧·一模）如果一个点的横、纵坐标均为常数，那么我们把这样的点称为确定的点，简称定点．比如点就是一个定点．对于一次函数（是常数，），当时，无论为何值，一定等于3，我们就说直线一定经过定点．已知函数（是常数，）． (1)求证：无论为何值，函数的图象都经过轴上的一个定点． (2)若函数的图象与轴只有一个公共点，试比较与的大小． 23．（2026·河北张家口·一模）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为和，直线：恒过定点． (1)求定点的坐标； (2)当直线和线段有交点时，求的取值范围； (3)若直线和线段所在直线交于点，点的横坐标为，请用含的代数式表示，并求出当是正整数时，整数k的所有值． 24．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，已知抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，点为抛物线上一动点，以点为圆心，长为半径的圆交轴于两点（点在点的左侧）． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)当点在抛物线上运动时，弦的长度是不是定值？若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出弦的长． (3)如图2，若直线过点，求证：是等边三角形． 25．（2026·安徽合肥·一模）已知直线：与轴交于点，与抛物线交于轴上一点，为直线上方的抛物线上一点，设其横坐标为． (1)求的值； (2)当的面积最大时，求的值； (3)点关于轴的对称点为，设点到轴的距离为，到点的距离为，已知在某个范围时，是一个与无关的定值，请确定这个范围，并求出这个定值． 题型06 函数整点问题 26．（2026·河北衡水·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知点A的坐标为，点B的坐标为，点为y轴上一点，且．现连接，，，，若四边形所围成的封闭区域内（不含边界）有6个整点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 27．（2026·安徽滁州·一模）在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，记双曲线与两坐标轴之间的部分为（不含双曲线与坐标轴）． （1）内整点的个数为________个； （2）设点在直线上，过点分别作平行于轴，轴的直线交双曲线于点，，记线段，，双曲线所围成的区域为，若内部（不包括边界）有不超过8个整点，则的取值范围是________． 28．（2026·河北沧州·一模）在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，记双曲线与两坐标轴之间的部分为（不含双曲线与坐标轴）． (1)求的值； (2)求内整点的个数； (3)设点在直线上，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为，若内部（不包括边界）不超过个整点，直接写出的取值范围． 29．（2025·广东深圳·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G，抛物线G与抛物线的图象关于x轴对称． (1)抛物线G与y轴的交点坐标为______，抛物线G的对称轴为直线______； (2)当时，求抛物线的表达式； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G与抛物线围成的中间封闭区域不包括边界为． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 30．（2025·河南周口·三模）如图所示，双曲线 （）经过点 和点 ，经过双曲线上的点且平行于的直线与轴交于点，点在点左上方，设为轴、直线、双曲线 （）及线段之间的部分 （阴影部分），解决下列关于（不包括边界）内的整点（横、纵坐标都为整数）问题： (1)G内整点最多有 个； (2)若G内整点的个数为4，求点B的纵坐标m的取值范围． 题型07 函数含参与方程、不等式综合 31．（山东省德州市天衢新区2026年九年级第一次模拟检测数学�试题）在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交点是． (1)求和的值： (2)已知对于函数，当时，都有，请直接写出的取值范围． 32．（北京市西城区德胜中学2025--2026学年第二学期九年级数学3月中考模拟试题）在平面直角坐标系中，一次函数的图像由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，又大于函数的值且差不小于2，直接写出n的取值范围． 33．（2026·河南许昌·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若该抛物线经过点，求该抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若点，，抛物线与线段有两个交点，求b的取值范围； (3)在（1）的条件下，，是抛物线上两点，若，直接写出m的取值范围． 34．（2026·青海西宁·一模）综合与实践根据我们学习函数的经验，在探究一个函数的性质时，我们会用描点法画出函数图象，再通过观察图象的形状与变化趋势获得对函数的直观认识．进而归纳总结出函数的相关性质． 【画出函数图象】绘制函数的图象：列表： 4 6    0 5 (1)根据列表，在图中将函数的图象补充完整； (2)当时，函数图象是抛物线的一部分，这个抛物线的函数解析式为 ； (3)【探究函数性质】结合函数图象解决下列问题：直接写出方程的解； (4)根据函数的图象，下列结论中：①函数图象关于轴对称；②时，随的增大而减小；③当时，有最小值为；④不等式的解集是或，所有正确结论的序号是_____； (5)【解决问题】若一次函数的图象与的图象只有个交点，则的值是______． 35．（2026·辽宁抚顺·一模）定义：对于平面直角坐标系中的函数叫做“对美函数”，其中f(x)是用自变量x表示的函数，“对美函数”的本质是分段函数． 例如：“对美函数”， (1)将“对美函数”写成分段函数的形式； (2)直线与（1）中的“对美函数”的图象交于A，B两点（点A在点B的左侧），点C在直线下方的“对美函数”上，且，求点C的坐标； (3)直线与（1）中的“对美函数”有2个交点时，请直接写出k的取值范围． 题型08 函数含参与几何存在性综合 36．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为抛物线的顶点，求的面积； (3)抛物线上是否存在点P，使是以为底的等腰三角形，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由： (4)在第一象限的抛物线上是否存在点N，使点N到的距离最大，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 37．（2026·安徽滁州·一模）已知二次函数与轴交于两点，且，与轴交于点，抛物线顶点为． (1)将二次函数解析式化为顶点式，写出抛物线对称轴； (2)若，求的取值范围； (3)令，是否存在定值，无论，为何值，都存在为等边三角形，如果存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 38．（2026·陕西西安·三模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求两点的坐标； (2)已知直线与抛物线交于点，在抛物线上是否存在一点，在直线上是否存在一点，使得以为边，且四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 39．（2026·甘肃白银·二模）如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点M，过M作轴于点H，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 40．（2026·湖南怀化·一模）已知，二次函数图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接． (1)如图1，请判断的形状，并说明理由； (2)如图2，点D为线段上一动点，作交抛物线于点P，过点P作轴，垂足为点E，交于点F，过点F作，交于点G，连接，，求阴影部分面积S的最大值和点D的坐标； (3)如图3，将抛物线沿射线的方向移动个单位得到新的抛物线：，是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C， B， M， N为顶点的四边形是以为边的正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 41．（2026·山东济南·一模）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点．一次函数的图象过点与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式 (2)求的面积； (3)连接，在直线上是否存在点，使以为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 42．（2026·宁夏银川·一模）已知：如图所示，在平面直角坐标系中，，，，若点M是边上的一个动点（与点O、B不重合），过点M作交于点N． (1)求点B的坐标； (2)当的周长与四边形的周长相等时，求BM的长； (3)在上是否存在点Q，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出此时的长；若不存在，请说明理由． 43．（25-26九年级下·江苏常州·月考）如图，已知二次函数（为常数）的图象交轴于两点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点的横坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 44．（25-26九年级下·四川绵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，两点． (1)求反比例函数的表达式及点A的坐标； (2)点是反比例函数第三象限图象上的一点，连接交轴与点，连接、，当与的面积比为时，求的面积； (3)探究在反比例函数图象上是否存在一点，点N是平面内一点，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 45．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ． (2)点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线交线段于点． ①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长． 1．（2025·四川雅安·中考真题）我们规定，例如，，如果，那么的最大值是（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 2．（2025·江苏无锡·中考真题）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 3．（2025·山东济南·中考真题）已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 4．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·四川广元·中考真题）已知抛物线（，，是常数且）的自变量与函数的部分对应值如下表： 其中．以下结论：；若抛物线经过点，则；关于的方程有两个不相等的实数根；；当时，的最小值是，则或．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，若，则实数k的值为______． 7．（2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 9．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化． ①若，当时，求的取值范围． ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 11．（2025·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围． (3)把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 12．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 13．（2025·安徽·中考真题）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 14．（2025·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于，B两点，N是抛物线顶点． (1)求抛物线的解析式及点B的坐标． (2)如图1，抛物线上两点，，若，求m的值． (3)如图2，点，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足．探究直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 函数含参与性质综合（选择、填空，解答压轴题） 命题预测 函数含参与性质综合是中考数学必考高分压轴模块，涵盖一次函数、反比例函数、二次函数三大主干内容，常年占据选择题压轴、填空题压轴、解答题几何与代数压轴核心位置，总分占比可达10–16 分，是区分中等生与尖子生的关键板块。含参问题抽象性强、设问角度灵活，常结合函数图象性质、方程不等式、区间最值、定点定值、几何存在性综合考查，题型规律固定、答题套路清晰，熟练掌握模型与解题模板，对中考拔高提分至关重要。预计 2026 年全国中考命题仍将围绕函数含参核心题型、性质综合核心考法展开，坚持 “基础考性质、中档考含参、压轴考综合” 的命题逻辑，侧重考查数形结合、分类讨论、建模运算三大核心素养。 高频考法 题型01 一次函数含参综合 题型02 反比例函数含参与几何性质综合 题型03 二次函数含参图象性质判断 题型04函数含参最值分类讨论 题型05 函数含参恒过定点、定值问题 题型06 函数整点问题 题型07 函数含参与方程、不等式综合 题型08 函数含参与几何存在性综合 典例·靶向·突破 题型01 一次函数含参综合 1．（2026·甘肃白银·二模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，点关于y轴的对称点Q落在内（不包括边），则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出直线、直线的解析式，求出点Q的运动范围，再根据轴对称的性质即可求出a的取值范围． 【详解】解：设直线的解析式为， 将，代入得： 解得： ∴直线的解析式为， 当时，； 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，； 即点Q在范围内运动， ∵点关于y轴的对称点Q， ∴． 2．（2026·湖南衡阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，已知、两点的坐标分别为和．将直线向上平移个单位长度得到直线，若直线与线段相交于点，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据、两点的坐标确定轴，再根据求出交点P的坐标，最后根据平移规律得到直线的解析式，代入P坐标即可求出． 【详解】解：∵，， ∴线段轴， ∴的长度为． ∵， ∴． 设，则， 解得，即． 直线向上平移个单位，得直线． 将代入，得， 解得． 3．（2026·四川绵阳·二模）如图，，与轴，轴均相切，将一次函数的图象平移，当图象与有公共点时，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心坐标及圆与坐标轴相切得出圆的半径，设圆上任意一点坐标为，由半径得，，那么圆上任意一点的横纵坐标满足方程 ，再联立与得到一元二次方程，根据直线与圆有公共点，利用一元二次方程根的判别式 建立关于 b 的不等式，最后利用二次函数的图象与性质解不等式即可． 【详解】解：圆心 ， ∴圆心到轴，轴的距离为 ∵与轴，轴均相切， 的半径， 设圆上任意一点坐标为， 由半径得， ∴圆上任意一点的横纵坐标满足方程， 当图象与有公共点时， 联立与， 得： ， 整理得：， 关于 的一元二次方程有实数根， ， 整理得，. 令， 解得， 令， ∴不等式的解集，即为抛物线在轴下方时，对应于轴交点横坐标的取值范围， ∵，抛物线开口方向向上， 不等式的解集为． 4．（2026·辽宁盘锦·一模）如图，正方形的顶点，分别在轴，轴上，点在直线：上，直线分别交轴，轴于点，．将正方形沿轴向下平移个单位长度后，点恰好落在直线上．则的值为______． 【答案】2 【分析】先根据待定系数法求得的解析式，过点作于点，过点作于点，证明，即可得到的长，再证明，即可得到点坐标，再根据平移可得平移后的坐标，代入直线，即可解答． 【详解】解：点在直线上， ， ， 直线解析式为， 如图，过点作于点，过点作于点， 则，， ， 在正方形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ， ， ， 将正方形沿y轴向下平移个单位长度后，点C恰好落在直线l上， 则平移后点， ， 解得． 5．（2026·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，对于线段和直线（点，均不在直线上且直线不与直线平行），给出如下定义：过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长． (1)如图，已知点，点，线段关于直线的纵影长为______； (2)已知点，点，线段关于直线的纵影长为4，则的值为______； (3)已知，的半径为．若上存在点，使线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，一次函数的图像与性质等知识点，能够掌握数形结合和极限思维是解题的关键． （1）根据题意可设为，为，根据待定系数法即可求得为，为，将分别代入上式，可得和，进而求出答案； （2）直线一条过点旋转的直线，可以先确定一条直线，根据定义画出图像，结合平行的性质，可以将进行平移，且，所以可以得到点坐标，从而利用待定系数法求解； （3）根据线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为，确定点的运动轨迹，然后可以确定与该轨迹有交点的圆的位置，从而可以求出半径的范围． 【详解】（1）解：∵过线段的两个端点分别作直线的平行线，交轴于点和，称线段的长为线段关于直线的纵影长， ∴，， 设为，为， 将点，点分别代入上面两个式子，即，， ∴，， ∴为，为， 将分别代入上面两个式子，即，， ∴点和 ∴， ∴线段关于直线的纵影长为． （2）解： 是一条过点旋转的直线，如图，根据定义可知，当线段关于直线的纵影长为4时，，则或， 将，代入得， ，解得， 根据纵影长的定义可知， ， 将，代入得， ，解得， 根据纵影长的定义可知， ， 综上所述，或． （3）过点分别作直线和直线的平行线，分别交轴于点，， 当线段关于直线的纵影长与线段关于直线的纵影长的和为时，， 如图，当，位于点两侧时，，过点作，与轴交于，与轴交于， 设， 与平行； ， ， 与平行， ， ， ， 则， ，即点的横坐标为， 当点的横坐标为2时，令与重合，的纵坐标为2，令与重合，的纵坐标为4， 当点的横坐标为2时，令与重合，的纵坐标为2，令与重合，的纵坐标为4， 此时点的运动轨迹如图所示， 如图，当，位于点同侧时，设， 当在第一象限， 设过点分别与直线和直线平行的直线为，， 代入得，则， 故，， 令得，，， ，即在直线上运动， ， ， 同理可以找到在第二象限，第三象限和第四象限的运动轨迹，如下图， 整理可得完整的运动轨迹，以为圆心，为半径的圆需与此轨迹有交点， 当刚好与轨迹相切时，， 当过点时，， 综上，． 题型02 反比例函数含参与几何性质综合 6．（2026·安徽池州·二模）如图，点A在y轴正半轴上，点C在反比例函数的图象上，线段交反比例函数图象于点D，连接并延长至点B，使得轴，如果，则k的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】连接，过点C作轴于点M，先由已知可证明四边形是菱形，则，点D是的中点，设，，则可得点D的坐标，代入反比例函数解析式，可得和的关系，进而得到的值，即的值，再由勾股定理求出，即可得解． 【详解】解：如图，连接，过点C作轴于点M， ∵轴，即，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形， ∴，点D是的中点， 设， ∵，点D是的中点， ∴， ∵点D在反比例函数图象上， ∴， 解得， ∴， ∴， 在中，， ∴． 7．（2026·北京丰台·一模）如图，在平面直角坐标系中，点A是反比例函数的图象上的动点，过点A作x轴、y轴的平行线与反比例函数的图象分别交于点B，C，与交于点D．给出下面四个结论： ①与可能相等； ②与一定不相等； ③与的面积一定相等； ④与的面积可能相等．上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】A 【分析】设，则，，表示出、可判断①；利用待定系数法分别求得直线和的表达式，从而得到点D的坐标，然后求得，即可判断②；根据反比例函数k的几何意义，结合面积的和差即可判断③和④． 【详解】解：根据题意，设，则点B的纵坐标为，点C的横坐标为， ∵点B、C在反比例函数上， ∴，， ∴，， ∴当时，即，解得，符合题意， ∴与可能相等，故①正确； 设直线的表达式为，直线的表达式为， 代入，，，得 ；， 解得；， ∴直线的表达式为，直线的表达式为， 联立， 解得，即， ∴， ∴当时，即，整理得，符合题意， ∴与可能相等，故②错误； 如图，延长交y轴于点M，延长交x轴于点N， 则轴，轴， ∴， ∴，， ∴与的面积一定相等，故③正确； 根据题意可知，由①可知，， ∴， ∴， ∴与的面积一定不相等，故④错误； 综上，正确的说法是①③． 8．（2026·山东青岛·一模）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，将菱形向右平移个单位，使点刚好落在反比例函数的图象上，则的值为__________． 【答案】 【分析】根据题意，求出点A的坐标，据此得出反比例函数的解析式，再结合平移后点D落在反比例函数的图象上求出m的值即可． 【详解】解：∵点D坐标为， ∴， ∵四边形是菱形且点B在y轴上， ∴且轴， ∴点A的坐标为， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， 则反比例函数的解析式为， ∵平移后点D刚好落在反比例函数的图象上， 则将代入得， ， ∴． 9．（2026·广东东莞·一模）如图1，矩形的顶点、分别在轴和轴上，点的坐标为． (1)反比例函数 的图象与边，分别交于点，，当 时，求的值和点的坐标； (2)如图2，点，分别在边，上，且反比例函数的图象经过点、，连接、，求证：； (3)如图3，反比例函数 的图象与边，分别交于点，，若以为直径的圆与矩形的边有个公共点，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由可得点的坐标为，代入反比例函数的表达式可得，再将代入，可求得点的坐标； （2）根据题意可得，点的坐标为，点的坐标为，则，，进而可得，利用夹角相等两边对应成比例可证明，则，从而证明； （3）设的中点为，由（2）可得，点的坐标为，圆的半径为．分情况研究，当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，由解出，此时圆与矩形的边仅有个公共点，因此；当圆与相切时，如图，设切点为点，连接，同理可得，此时圆与矩形的边有个公共点，因此，公共部分即为的取值范围． 【详解】（1）解：在矩形中，轴，轴， ∵点的坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∴点的坐标为， 将点代入，得， ， 解得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为； （2）证明：由（1）可知，，， ∵点，分别在边，上， 又∵反比例函数的图象经过点、， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：设的中点为， ∵， ∴点在圆上， ∵圆与矩形的边有个公共点， ∴圆与边、共有个公共点， 由（2）可知，点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为， ①当圆与相切时，如图，设切点为点，连接， 由（2）可知，，， 在中，， ∴， ∵圆与相切， ∴， ∴， ∴，解得， 此时圆与矩形的边仅有个公共点， ∴需向下平移，即， ②当圆与相切时，如图，设切点为点，连接， 同理①可得，， ∴，解得， 此时圆与矩形的边有个公共点，若继续向下平移，则公共点数量会超过个， ∴， 综上所述，的取值范围为． 10．（25-26九年级下·四川绵阳·开学考试）模具厂计划生产面积为4，周长为m的矩形模具．对于m的取值范围，小亮已经能用“代数”的方法解决，现在他又尝试从“图形”的角度进行探究，过程如下： (1)建立函数模型：设矩形相邻两边的长分别为x，y．由矩形的面积为4，得，即； 由周长为m，得，即，满足要求的应是两个函数图象在第 象限内交点的坐标； (2)画出函数图象：请先描出反比例函数的图象上的三个格点，再画出此反比例函数的图象；我们知道的图象可由直线平移得到，请在同一直角坐标系中直接画出直线． (3)平移直线，观察函数图象 ①当直线平移到与函数的图象有唯一交点时，周长m的值为 ； ②在直线平移过程中，交点个数还有哪些情况？请写出交点个数及对应的周长m的取值范围； (4)得出结论：若能生产出面积为4的矩形模具，即两个函数的图象有交点，则周长m的取值范围是 ． 【答案】(1)一 (2)图见解析 (3)8；交点个数情况还有：0个和2个两种情况；当交点个数为0个时，；当交点个数为2个时，； (4) 【分析】（1）x，y都是边长，因此，都是正数，即可求解； （2）直接画出图象即可； （3）①把点代入即可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，联立和并整理得：，即可求解； （4）运用（3）的相关结论即可． 【详解】（1）解：x，y都是边长，因此，都是正数， 故点在第一象限； （2）解：图象如下所示： （3）解：①把点代入得： ，解得：； ②在直线平移过程中，交点个数情况还有：0个、2个两种情况， 联立和并整理得：， 当交点个数为0个时，，解得， 当交点个数为2个时，时，解得或（舍去）， 综上，当交点个数为0个时，；当交点个数为2个时，； （4）解：若能生产出面积为4的矩形模具，即两个函数的图象有交点，此时． 题型03 二次函数含参图象性质判断 11．（2026·黑龙江绥化·三模）如图，二次函数与x轴交于A，B两点，与y轴正半轴交于点C，它的对称轴为直线，则下列说法中正确的有（    ） ①；②；③；④； ⑤方程其中一个解的取值范围为． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、与y轴的交点位置判断①；根据顶点的纵坐标判断②；根据对称轴及点C的坐标判断③；根据抛物线与x轴的交点情况判断④⑤． 【详解】解：该抛物线的开口向下，与y轴的交点在y轴的正半轴上， ，， 它的对称轴为直线， ，， ， ，故①正确； 该抛物线的顶点在x轴的上方， 它的顶点的纵坐标，故②正确； 它的对称轴为直线，与点C关于直线对称的点的横坐标为4， 当时，，故③正确； 由③知点B的横坐标在4与5之间， 它的对称轴为直线， 点A的横坐标在0与之间， 方程其中一个解的取值范围为，故⑤错误； 故当时，， ， ， 即，故④错误， 故正确的有①②③，共3个． 12．（2026·安徽阜阳·二模）在同一平面直角坐标系中，抛物线（是常数，且）与双曲线的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据二次函数对称轴公式计算抛物线的对称轴为，确定其在轴左侧，据此排除对称轴位置不符的选项A、D；再分和两种情况讨论：当时，反比例函数图象应在一、三象限，且抛物线开口向上、与轴交于负半轴；当时，反比例函数图象在二、四象限，抛物线开口向下且与轴交于正半轴，由此确定答案． 【详解】解：对于抛物线，对称轴为直线， ∴抛物线对称轴一定在轴左侧，故选项A，D错误； 当时，，则双曲线在第一、三象限，抛物线交轴负半轴，故选项B错误； 当时，，则双曲线在第二、四象限，抛物线交轴正半轴，故选项C符合题意． 13．（2026·新疆乌鲁木齐·一模）已知二次函数（，，为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于的一元二次方程（）有两个不相等的实数根； ②当时，的值随值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数，总有． 其中所有正确结论的序号是______． 【答案】①②③④⑤ 【分析】先根据顶点坐标得到对称轴，结合已知交点利用对称性得到抛物线与轴的另一个交点，判断开口方向，再逐一验证各结论即可． 【详解】解：二次函数的顶点坐标为， 抛物线对称轴为直线， 抛物线经过点，根据二次函数的对称性，可得抛物线与轴的另一个交点为， 又抛物线经过，且，即点在轴上方，可得抛物线开口向下，即， ① 关于的方程可变形为， 抛物线开口向下，最大值为顶点纵坐标， ，直线与抛物线有两个不同的交点， 方程有两个不相等的实数根，故①正确； ②抛物线开口向下，对称轴为， 当时，的值随值的增大而减小，故②正确； ③ 设抛物线的交点式为，展开得， 当时，，即， ， ， 不等式三边同除以，不等号方向改变，得，故③正确； ④ 是时的函数值， ，抛物线开口向下，且和处函数值为， 当时，， 时，，故④正确； ⑤ 由对称轴公式，可得， 将代入式子左边： ，， ，即对任意实数，总有，故⑤正确； 综上，正确结论的序号是①②③④⑤， 故答案为：①②③④⑤． 14．（2025·四川南充·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论：①；②若点，点是函数图象上两点，则；③当时，将抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位，得到抛物线；④；⑤． 其中正确的有________（填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】根据二次函数图象的开口方向，对称轴的位置，与y轴交点的位置判断①符合题意；根据点N坐标和二次函数的对称轴确定二次函数图象过点，再根据二次函数的增减性即可判断②不符合题意；使用待定系数法求出抛物线解析式，再根据二次函数图象平移规律即可判断③不符合题意；把点A坐标和点A关于对称轴对称的点的坐标代入二次函数解析式，然后用a表示c，再根据点C的位置和不等式的性质即可判断④符合题意；根据二次函数的最值得到不等式，再根据不等式的性质和等价代换思想即可判断⑤符合题意． 【详解】解：∵二次函数图象开口方向向下，对称轴在y轴右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴， ∴，，． ∴． ∴．故①符合题意． ∵点是函数图象上一点，对称轴是直线， ∴二次函数图象经过点． ∵二次函数图象开口方向向下， ∴当时，y随x的增大而增大． ∵函数图象上一点， ∴．故②不符合题意． ∵，二次函数图象对称轴是直线， ∴设二次函数解析式为． 把点坐标代入二次函数解析式得． 解得． ∴二次函数解析式为． ∴抛物线先向上平移4个单位，再向右平移1个单位得到抛物线为．故③不符合题意． ∵二次函数图象过点，二次函数对称轴是直线， ∴二次函数图象过点． 把点和代入二次函数解析式中得 用a来表示b和c得 ∵二次函数图象与y轴的交点B在与之间（不包括这两点）， ∴． ∴． ∴．故④符合题意． ∵二次函数图象开口方向向下，对称轴为直线， ∴二次函数在时取得最大值． ∴当时，，即． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴．故⑤符合题意． 故①④⑤符合题意． 故答案为：①④⑤． 【点睛】本题考查二次函数的图象与系数关系，二次函数的对称性，二次函数的增减性，二次函数图象平移规律，待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值，不等式的性质，综合应用这些知识点是解题关键． 15．（2026·贵州黔南·一模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为，有下列四个结论：①；②；③；④若，则，其中正确结论的个数为（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由图象可知：开口向上，即，对称轴为直线，即，根据二次函数的对称性可知：二次函数与x轴的另一个交点坐标为，，然后根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 【详解】解：由图象可知：开口向上，即，对称轴为直线，即， ∴当时，y有最小值，即为， ∴当x为任何值，都有，即，故③正确； ∵二次函数的图象与轴交于点，与轴交负半轴于点，对称轴为， ∴根据二次函数的对称性可知：二次函数与x轴的另一个交点坐标为，， 则由图象可知：当时，，故①正确， 当时，则有， 由可得：，即， ∴，故②错误； ∵，， ∴，即， ∵，， ∴， ∵， ∴，即，故④正确； 综上所述：①③④正确，共有3个． 题型04函数含参最值分类讨论 16．（2025·河北邯郸·二模）若时，反比例函数中有最大值，则对于时，反比例函数中有（    ） A．最大值为 B．最大值为 C．最小值为 D．最大值为 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的增减性问题，求反比例函数值，根据解析式可得反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小，则当时，，则可求出，再分别求出和时的函数值即可得到答案． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴反比例函数图象经过第一，三象限，且在每个象限内y随x增大而减小， ∵当时，反比例函数中有最大值， ∴， ∴， 当时，则y的最大值为，最小值为 故选： D． 17．（2026·陕西西安·二模）已知二次函数（a为常数），当时，y有最大值，最小值，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将二次函数解析式化为顶点式，确定其开口方向、对称轴和顶点坐标；再结合给定的最大值和最小值，分析函数在时的增减性与最值取得的位置，进而确定的取值范围． 【详解】解：二次函数解析式为，将其化为顶点式： ． ∵二次项系数， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，当时，函数取得最大值． ∵的最大值为， ∴必须在取值范围内，即． 抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，到对称轴的距离为． 函数的最小值为， 将代入解析式得， ∴函数在处取得最小值， 要保证在时的最小值，则需满足，即到对称轴的距离不大于到对称轴的距离， ∴， 解得， 综上，的取值范围为． 18．（2026·河南南阳·一模）已知二次函数的图象经过点，，且满足，当时，该函数的最大值与最小值之间满足的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先确定抛物线的对称轴为直线，继而确定，根据抛物线的增减性，确定函数在处取得最小值．函数在处取得最大值，求解即可． 【详解】解：由题意，得抛物线的对称轴为直线． 点，关于对称轴对称， ． ， ． ， 抛物线开口向上， 点与对称轴的距离越大，函数值越大， 当时，在这个给定的范围内， 故函数在处取得最小值． ， 函数在处取得最大值． ， ． ． ． 19．（24-25九年级下·江苏南京·期中）若二次函数有最大值为6，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，关于坐标轴对称的点的坐标特征；利用顶点坐标变换是解题的关键． 根据题意设二次函数的顶点坐标为，且开口向下，根据平移可知的顶点坐标为，根据关于轴对称可知的顶点坐标为，且开口向上，有最小值． 【详解】解：∵二次函数有最大值6， ∴设二次函数的顶点坐标为， ∵向左平移1个单位得到， ∴的顶点坐标为， ∵与关于轴对称， ∴的顶点坐标为，且开口向上， 此时顶点坐标为，则最小值为； 故答案为：． 20．（2023·江苏南京·一模）已知函数（m为常数），当时，y的最小值记为a．a的值随m的值变化而变化，当______时，a取得最大值． 【答案】2 【分析】先求出顶点坐标，再根据，，，进行分类讨论求出a的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：∵函数的顶点坐标为：， ①当，即时，y在处取最小值， 即， ∴， ②当，即时，y在处取最小值， 即， ∵当时，， ∴，即， ③当，即时，y在处取最小值， 即， ∴， 综上所述，a的最大值为0，此时， 故答案为：2． 【点睛】本题考查二次函数顶点式的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 题型05 函数含参恒过定点、定值问题 21．（24-25九年级下·福建泉州·期中）如图，直线与抛物线交于A、B两点（点A在点B的左侧），若在抛物线L上存在定点P使，则点P到直线的最大距离为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． 依据题意，设点的横坐标分别为，从条件出发，可构造k型相似，从而得到的等量关系，然后利用根与系数的关系就可以求出t，从而求出点P的坐标．由于直线上有一个定点C，容易得到长就是点P到的最大距离，只需构建直角三角形，利用勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图1，过点P作x轴的平行线，作，垂足为E，作，垂足为F， ∵，， ，． ． ，， ． ． 设点的横坐标分别为， 则点的纵坐标分别为、、， ，，，． ， ． ． ，， ， 去分母并整理得：． 点是直线：与抛物线交点， 、是方程，即两根． ，． ，即． ． ，（舍）． 定点的坐标为． 直线， 当时，， 直线有定点； 如图 2，过点作轴的平行线，过点作，垂足为， 点，点， ，． ， ． 过点作，垂足为，如图2所示， ． ． 当与重合即时，点到直线的距离最大，最大值为． 点到直线的最大距离为． 故答案为：． 22．（2026·云南临沧·一模）如果一个点的横、纵坐标均为常数，那么我们把这样的点称为确定的点，简称定点．比如点就是一个定点．对于一次函数（是常数，），当时，无论为何值，一定等于3，我们就说直线一定经过定点．已知函数（是常数，）． (1)求证：无论为何值，函数的图象都经过轴上的一个定点． (2)若函数的图象与轴只有一个公共点，试比较与的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据当时，即可证明结论； （2）由函数的图象与轴只有一个公共点可得可求得，代入即可求得，，即可判断与的大小． 【详解】（1）证明：当时，， ∴无论为何值，函数的图象都经过轴上的一个定点． （2）解：∵， ∴当函数的图象与轴只有一个公共点时，关于的方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴函数解析式为． ∵函数的图象与轴只有一个公共点， ∴， ∴，， ∴，， ∴． 23．（2026·河北张家口·一模）如图，在平面直角坐标系中，线段的端点为和，直线：恒过定点． (1)求定点的坐标； (2)当直线和线段有交点时，求的取值范围； (3)若直线和线段所在直线交于点，点的横坐标为，请用含的代数式表示，并求出当是正整数时，整数k的所有值． 【答案】(1) (2)的取值范围是且 (3)，整数k的值为， 【分析】（1）将函数解析式变形为，可得当时，，不管取任何不为0的值，均成立，即可得到定点的坐标； （2）将，分别代入直线，解得，，即可得到的取值范围是且； （3）先利用待定系数法求出线段所在直线的函数解析式为，再由点是直线和直线的交点，得到，整理得到，进而推出当是正整数时，的值可以是1，5，即可求解整数k的所有值． 【详解】（1）解：∵， 当时，，不管取任何不为0的值，均成立， ∴定点的坐标为； （2）解：当直线经过点时，将代入，得，解得， 当直线经过点时，将代入，得，解得， ∴的取值范围是且； （3）解：设所在直线的函数解析式为， 将，代入，得，解得， ∴线段所在直线的函数解析式为， ∵点是直线和直线的交点， ∴， ∴， 当是正整数时，的值可以是1，5， ∴整数k的值为，． 24．（25-26九年级上·湖南长沙·期末）如图，已知抛物线的顶点坐标为，点的坐标为，点为抛物线上一动点，以点为圆心，长为半径的圆交轴于两点（点在点的左侧）． (1)求此抛物线的函数表达式； (2)当点在抛物线上运动时，弦的长度是不是定值？若不是定值，请说明理由；若是定值，请求出弦的长． (3)如图2，若直线过点，求证：是等边三角形． 【答案】(1)抛物线的函数表达式为 (2)弦的长度是定值， (3)见解析 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，圆的性质，等边三角形的判定及性质是解题的关键． （1）利用顶点式求函数的解析式即可； （2）连接，，过点作轴交于，设，则，根据，求出，即可得到； （3）求出直线的解析式为，设，再由，求出，根据的值分两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：根据抛物线的顶点坐标为， 设， 当时，， 解得， ； （2）解：弦的长度是定值，理由如下： 连接，，过点作轴交于， ， 设，则， ， ， ， ； （3）证明：设直线的解析式为， ， 解得， ， 设， ， 解得， 当时，点在对称轴的左侧， ， ， ，， ，， 是等边三角形； 当时，点在对称轴的右侧， ， ，， ，， 是等边三角形． 25．（2026·安徽合肥·一模）已知直线：与轴交于点，与抛物线交于轴上一点，为直线上方的抛物线上一点，设其横坐标为． (1)求的值； (2)当的面积最大时，求的值； (3)点关于轴的对称点为，设点到轴的距离为，到点的距离为，已知在某个范围时，是一个与无关的定值，请确定这个范围，并求出这个定值． 【答案】(1) (2) (3)当时，是一个与无关的定值，这个定值为 【分析】（1）将代入求出，然后代入即可求出； （2）如图，设过点且与直线平行的直线的解析式为，根据题意得到当点P到的距离最大时，即当直线与抛物线只有一个交点时，的面积最大，然后联立求解即可； （3）首先求出，得到，然后分两种情况讨论，分别根据求解即可． 【详解】（1）解：∵直线： ∴当时，， 解得，即， 把代入得，， 解得； （2）解：如图，设过点且与直线平行的直线的解析式为， ∵ ∴抛物线 ∵的长度是定值， 当点P到的距离最大时，即当直线与抛物线只有一个交点时，的面积最大， 联立和得， 整理得， ∵，且． ，即； （3）解：∵直线： ∴当时， ∴ ∴点关于轴的对称点， ∵， ∴当点在轴上方时，， ， ∴ 此时 解得； 当点在轴下方时，， ， ，不是定值，不符合题意； 当时，是一个与无关的定值，这个定值为． 题型06 函数整点问题 26．（2026·河北衡水·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，横、纵坐标都是整数的点称为整点．已知点A的坐标为，点B的坐标为，点为y轴上一点，且．现连接，，，，若四边形所围成的封闭区域内（不含边界）有6个整点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据临界点求出直线解析式即可解答． 【详解】解：如图所示，此时，， 设直线的解析式为，由条件可得： ， 解得， ， 当时，， ， ； 如图3所示，此时，， 设直线的解析式为，由条件可得： ， 解得， ， 当时，， ， ； 综上，． 27．（2026·安徽滁州·一模）在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，记双曲线与两坐标轴之间的部分为（不含双曲线与坐标轴）． （1）内整点的个数为________个； （2）设点在直线上，过点分别作平行于轴，轴的直线交双曲线于点，，记线段，，双曲线所围成的区域为，若内部（不包括边界）有不超过8个整点，则的取值范围是________． 【答案】 5 【详解】解：（1）∵经过点， ∴， ∴， 则双曲线 ， 当时，， 在直线上，当时，有整点、、， 当时，， 在直线上，当时，有整点， 当时，， 在直线上，当时，有整点， 当时，， 在直线上，当时，没有整点． ∴G内整点的个数为5个． （2）如图， 当时，点， 点此时在区域W内(不包含边界)有、、共3个整点，线段上有4个整点，线段上有4个整点， ∵点重合，点在边界上， ∴当时，区域W内至少有个整点， 当时， ，， 线段上有4个整点，此时区域W内整点个数为8个， 当时，区域W内部整点个数增加， 若W内部(不包括边界)不超过8个整点， ． 28．（2026·河北沧州·一模）在平面直角坐标系中，我们定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，记双曲线与两坐标轴之间的部分为（不含双曲线与坐标轴）． (1)求的值； (2)求内整点的个数； (3)设点在直线上，过点分别作平行于轴，轴的直线，交双曲线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为，若内部（不包括边界）不超过个整点，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了反比例函数综合应用，一次函数的性质； （1）利用待定系数法即可求解； （2）将内，，，分别代入双曲线，即可求出整点； （3）根据的情况进行分类讨论，根据函数图像可得，当时，刚好个整点，进而求得临界值即可求解． 【详解】（1）解：∵经过点， ∴， ∴， （2）解：对于双曲线 ， 当时，， 在直线上，当时，有整点个， 当时，， 在直线上，当时，有整点个， 当时，， 在直线上，当时，有整点2个， 当时，， 在直线上，当时，有整点2个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，有整点1个， 当时，， 在直线上，当时，没有整点， ∴内整点的个数为个． （3）解：如图，当时，区域内至少有个整点， 当时，， 解得： 内部（不包括边界）不超过个整点，． 29．（2025·广东深圳·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G，抛物线G与抛物线的图象关于x轴对称． (1)抛物线G与y轴的交点坐标为______，抛物线G的对称轴为直线______； (2)当时，求抛物线的表达式； (3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G与抛物线围成的中间封闭区域不包括边界为． ①当时，直接写出区域W内的整点个数； ②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)，1； (2)； (3)①，，共3个；②或． 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． （1）利用对称轴公式以及y轴上点的坐标特征求得即可； （2）根据关于x轴对称的点的坐标特征即可得出答案； （3）①根据图象即可求得； ②时，抛物线经过点时，区域W内恰有5个整点，结合①即可得出；当时，如图2，抛物线经过点和时，区域W内恰有5个整点，结合图象即可求得，从而求得如果区域W内恰有5个整点，则或 【详解】（1）解：二次函数， 对称轴为直线， 令，则， 图象与y轴的交点坐标为； 故答案为：，1； （2）解：抛物线G：， 抛物线：， 即， 当时，； （3）解：①当时，则抛物线G：， 顶点为， 令，解得：，， 图象与y轴的交点坐标为， 区域W内的整点有，，共3个； ②当时，如图2， 抛物线经过点时，区域W内恰有5个整点， ， 解得：， 结合①可得：； 当时，如图2，抛物线经过点和时，区域W内恰有5个整点． 经过点时，， 解得：， 经过点时，， 解得：， ， 故如果区域W内恰有5个整点，则或 30．（2025·河南周口·三模）如图所示，双曲线 （）经过点 和点 ，经过双曲线上的点且平行于的直线与轴交于点，点在点左上方，设为轴、直线、双曲线 （）及线段之间的部分 （阴影部分），解决下列关于（不包括边界）内的整点（横、纵坐标都为整数）问题： (1)G内整点最多有 个； (2)若G内整点的个数为4，求点B的纵坐标m的取值范围． 【答案】(1)5个； (2)． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，结合图形求解是解题关键． （1）取点，观察函数图象，数出整点个数，即可求解； （2）根据题意求得的解析式，根据平行于，设的解析式为，根据内整点的个数为，找到特殊点，，待定系数法的求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，取点， ∵双曲线 （）经过点 点 ， ∴，反比例函数解析式为， ∴， 当点在的左侧时， 内整点的个数最多有共5个点 故答案为：． （2）∵，设直线的解析式为，则 ∴， ∵平行于 设的解析式为 若内整点的个数为，则点在点的右侧，或与点重合，即 当经过点时，，解得： 当经过点时，，解得： ∵整点有4个，则不经过 ∴ 故答案为：． 题型07 函数含参与方程、不等式综合 31．（山东省德州市天衢新区2026年九年级第一次模拟检测数学�试题）在平面直角坐标系中，直线与双曲线的交点是． (1)求和的值： (2)已知对于函数，当时，都有，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】（1）将代入和，即可得和的值： （2）结合函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵直线与双曲线的交点是， ∴， 解得． （2）解：在中， 当时，， ∴过点， 在中， 当时，， 把代入，得， 当时，直线与直线平行， ∵当时，， ∴． 32．（北京市西城区德胜中学2025--2026学年第二学期九年级数学3月中考模拟试题）在平面直角坐标系中，一次函数的图像由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，又大于函数的值且差不小于2，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【分析】（1）根据直线的平移和直线上的点求直线解析式； （2）由题意可得，然后利用不等式的性质解不等式求得n的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点， ∴，解得， ∴． （2）解：由（1）得：，， 由题意可得：当时， 由题意可得：， 由①得：，由可得，要使不等式恒成立，需，即； 由②得，由可得，要使不等式恒成立，需，即； 由③得，即，由可得，要使不等式恒成立，需，即． 综上，且． 33．（2026·河南许昌·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)若该抛物线经过点，求该抛物线的对称轴及顶点坐标； (2)若点，，抛物线与线段有两个交点，求b的取值范围； (3)在（1）的条件下，，是抛物线上两点，若，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，顶点坐标为 (2)且 (3) 【分析】（1）根据题意将点代入抛物线解析式即可求得b的值，从而得到抛物线的解析式，利用抛物线对称轴公式和顶点坐标公式即可得出； （2）令，即，解得，，又抛物线与线段有两个交点，从而可得一元一次不等式组，通过计算可以得解； （3）根据（1）先得出抛物线的解析式，再分别将点M，N代入得到，关于m的表达式，由得出关于m的不等式，通过计算可以得解． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为． （2）解：令，则， 解得，， ∵，，抛物线与线段有两个交点， ∴， 解得且． （3）解：由（1）可知，， ∴抛物线的解析式为， ∵，在抛物线上， ∴，， ∵， ∴， 解得． 34．（2026·青海西宁·一模）综合与实践 根据我们学习函数的经验，在探究一个函数的性质时，我们会用描点法画出函数图象，再通过观察图象的形状与变化趋势获得对函数的直观认识．进而归纳总结出函数的相关性质． 【画出函数图象】 绘制函数的图象： 列表： 4 6    0 5 (1)根据列表，在图中将函数的图象补充完整； (2)当时，函数图象是抛物线的一部分，这个抛物线的函数解析式为 ； (3)【探究函数性质】结合函数图象解决下列问题：直接写出方程的解； (4)根据函数的图象，下列结论中：①函数图象关于轴对称；②时，随的增大而减小；③当时，有最小值为；④不等式的解集是或，所有正确结论的序号是_____； (5)【解决问题】若一次函数的图象与的图象只有个交点，则的值是______． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)或 (4)①③④ (5)或 【分析】（1）根据表格的数据，使用描点法画函数图象即可； （2）根据的取值范围，判断的符号，再化简绝对值即可； （3）利用图象，判断时，的值即可； （4）结合图象可直接判断①②③，对于④，设函数图象与直线交于、、三点，且点和点在或的部分，将代入，解得，再结合图象判断解集即可； （5）取点，结合图象可知，当直线过点或者与部分的抛物线只有一个公共点时，满足3个交点．当直线过点时，直接代入即可求出；当直线与部分的抛物线只有一个公共点时，联立方程，根据，求解出． 【详解】（1）解：函数图象如图所示： （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：由图象与表格可知，当时，或， ∴的解为或； （4）解：对于①：由图象可知，函数的对称轴为轴，故①正确； 对于②：由图象可知，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，故②错误； 对于③：由图象可知，当时，有最小值为0，故③正确； 对于④：如图， 函数图象与直线交于、、三点，且点和点在或的部分， 当或时，， 将代入，得， ， 解得， ∴点的坐标为，点的坐标为， 由图象可知，只有在点的左侧和点的右侧才满足， ∴不等式的解集是或，故④正确； 综上，正确的结论为①③④； （5）解：取点，由图可知，当直线过点或与部分的抛物线只有一个公共点时，满足一次函数的图象与的图象只有3个交点， ①当直线过点时，如图， 将点代入，得， ，即； ②当直线与部分的抛物线只有一个公共点时，如图， 由（2）可知，此时， 联立直线与抛物线，并消去，得， ， 整理，得， 根据题意，， 解得； 综上所述，或． 35．（2026·辽宁抚顺·一模）定义：对于平面直角坐标系中的函数叫做“对美函数”，其中f(x)是用自变量x表示的函数，“对美函数”的本质是分段函数． 例如：“对美函数”， (1)将“对美函数”写成分段函数的形式； (2)直线与（1）中的“对美函数”的图象交于A，B两点（点A在点B的左侧），点C在直线下方的“对美函数”上，且，求点C的坐标； (3)直线与（1）中的“对美函数”有2个交点时，请直接写出k的取值范围． 【答案】(1)； (2)点C的坐标为或； (3)或． 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到新定义问题，直线与二次函数的结合，难度比较大，解题的关键是理解题意和“对美函数”的概念，掌握好二次函数的有关基础知识． （1）分情况化简，即可求解； （2）先联立直线与“对美函数”，求出点A，B两点坐标，设点C的坐标为，则，分两种情况和，根据求解即可； （3）由直线可以确定过定点，分和两种情况，分别画出图象，根据交点个数，求解即可． 【详解】（1）解：令解得， 当，即时，， 当，即或时，， ∴； （2）解：当时，联立和， 可得， 解得（不合题意，舍去）， 点， 当或时，联立和， 得， 解得（不合题意，舍去）． 点， 设点C的坐标为，则， 如图1，过点C作轴，交直线于点D， 则点D的坐标为， ， ①当时，， ， ， ∴， 解得（舍去），， 点； ②当时，， ， ， ， 解得（舍去），， ∴点， 综上所述，点C的坐标为或； （3）解：直线过定点， ①当时，直线过点时，与（1）中的“对美函数”有1个交点，如图2，此时， 直线过点时，与（1）中的“对美函数”有3个交点，如图3，此时， 当时，直线与（1）中的“对美函数”有2个交点； ②当时，直线与函数有1个交点时（即相切时），如图4，直线与（1）中的“对美函数”有3个交点， 联立和，化简，得， 由题意，得， 解得， 当时，联立， 解得， 当时，联立， 解得， ∵， ∴， ∴当时，直线与（1）中的“对美函数”有2个交点， 综上所述，或． 题型08 函数含参与几何存在性综合 36．（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知二次函数的图象经过点，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D为抛物线的顶点，求的面积； (3)抛物线上是否存在点P，使是以为底的等腰三角形，若存在求出P点坐标，若不存在说明理由： (4)在第一象限的抛物线上是否存在点N，使点N到的距离最大，若存在，求出点N的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)3 (3)或 (4) 【分析】（1）运用待定系数法将，代入，即可求解； （2）先求出点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，运用配方法将抛物线解析式化为顶点式即可求得顶点坐标，过点作轴交直线于点，求得，利用，即可求得答案； （3）由（2）得，当以为底的等腰三角形，得出，则点在上，联立抛物线解析式解方程组即可求解． （4）将直线向上平移个单位，使其与抛物线只有一个交点，则平移后解析式为，联立和得：，令，求出，再解方程求出，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，， ，解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：在中，令，则：， ， 设直线的解析式为， ， ， 解得：， 直线的解析式为， ， ， 过点D 作轴交直线于点E ， ， ， ． （3）解：， ， 则是等腰直角三角形， ∴当是以为底的等腰三角形，则， ∴在的角平分线上，即上， 联立得， 解得： 或， 或． （4）解：∵直线的解析式为， 将直线向上平移个单位，使其与抛物线只有一个交点， 则平移后解析式为， 联立和得：， 整理得：， ∴， 解得：， 则平移后解析式为，， ∴， ∴． 37．（2026·安徽滁州·一模）已知二次函数与轴交于两点，且，与轴交于点，抛物线顶点为． (1)将二次函数解析式化为顶点式，写出抛物线对称轴； (2)若，求的取值范围； (3)令，是否存在定值，无论，为何值，都存在为等边三角形，如果存在，求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；直线 (2) (3) 【分析】（1）将一般式化为顶点式即可，同时得到抛物线对称轴为直线． （2）根据题意知，得，则抛物线解析式为．进一步结合题意可知， 时，，以及时，，求解即可； （3）由对称轴对称得，连接和，对称轴与x轴交于点E，结合等边三角形，则，则有，解得，结合有，化简得，则有，即可． 【详解】（1）解：，抛物线对称轴为直线； （2）解：由题意可知，， ∴， 故抛物线解析式为． 由题意可知，当时，，即，解得； 当时，，即，解得， ； （3）解：当时，为等边三角形，证明如下： 关于对称轴对称， ． 如图，连接和，对称轴与x轴交于点E， 若为等边三角形，则， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ， 抛物线与轴交于两点，故顶点不可能在轴上， 故， ∴， ∵， ∴， 当时，无论为何值，都存在为等边三角形． 【点睛】本题主要考查二次函数与几何的结合，涉及二次函数的顶点式、二次函数的性质、解不等式、等边三角形的性质和解直角三角形，解题的关键是掌握二次函数的性质． 38．（2026·陕西西安·三模）如图，抛物线与轴交于两点（点在点的左侧），与轴交于点． (1)求两点的坐标； (2)已知直线与抛物线交于点，在抛物线上是否存在一点，在直线上是否存在一点，使得以为边，且四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)或或 【分析】（1）令，解方程即可； （2）首先求出直线，求出，然后由平行四边形的性质得到，，设，然后分两种情况讨论，分别表示出点D的坐标，代入求解即可． 【详解】（1）解：在中，令，得， 解得，， ∴，； （2）解：∵直线与抛物线交于点， ∴ ∴ ∴直线 ∵， ∴ ∵以为边，且四点为顶点的四边形是平行四边形 ∴， ∴设 当点D在点E左边时， 将代入得， 解得或 ∴，或， ∴点的坐标为或； 当点D在点E右边时， 将代入得， 解得或 ∴，（舍去）或， ∴点的坐标为 综上所述，点的坐标为或或． 39．（2026·甘肃白银·二模）如图，直线与y轴交于A点，与反比例函数的图象交于点M，过M作轴于点H，且． (1)求反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上的点，在y轴上是否存在点P，使得最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出点A的坐标得到，的长，解直角三角形求出的长，则可求出点M的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）求出点N的坐标，连接，根据，得到，则当P、M、N三点共线时，有最小值，最小值为，利用两点间的距离公式求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∵轴， ∴点M的横坐标为2， 在中，当时，， ∴， 把点M的坐标代入得，解得， ∴反比例函数的表达式； （2）解：在中，当时，， ∴； 如图所示，连接， ∵， ∴， ∴当P、M、N三点共线时，有最小值，最小值为， ∵，， ∴， ∴的最小值为． 40．（2026·湖南怀化·一模）已知，二次函数图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，连接． (1)如图1，请判断的形状，并说明理由； (2)如图2，点D为线段上一动点，作交抛物线于点P，过点P作轴，垂足为点E，交于点F，过点F作，交于点G，连接，，求阴影部分面积S的最大值和点D的坐标； (3)如图3，将抛物线沿射线的方向移动个单位得到新的抛物线：，是否在新抛物线对称轴上存在点M，在坐标平面内存在点N，使得以C， B， M， N为顶点的四边形是以为边的正方形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)为直角三角形；见解析 (2)最大值为1， (3)存在，为或 【分析】（1）根据抛物线解析式，可以令和，分别求出C、A、B点坐标，继而求得、、长度，利用勾股定理逆定理，来判定三角形为直角三角形； （2）根据轴，判定轴，根据，判定轴，阴影部分面积可以看作与的面积之和，当底边为时，阴影部分面积转化为，由于长已知，所以当取最大值时，阴影部分面积最大，根据，可以得到，从而得到，设，则，得到的长度，继而得到长度，从而求得表达式，根据m的取值范围，确定函数在顶点处取得最大值； （3）根据三边关系，将斜向平移分解成两次平移，即水平移动和竖直移动，从而得到新抛物线解析式，由于为边，M在对称轴上，所以可以得到或者，根据分类，画出图形，利用直角，构造相似三角形，即可求得M点坐标． 【详解】（1）解：令，则， ∴ 令，则，解得：， ， 在中，， 同理，， 又 ， 即为直角三角形； （2）解：设直线的解析式为， 代入点得，， 直线为， 同理，直线为， 轴， 轴， 设，则 ， 轴， 轴，， ， ， 又， ， ， ， ， ， 当最大时，取得最大值， ， 又， 当时，最大值为最大值为1， ， ， 可设直线为， 代入点，得， 直线为：， 令，解得， ， 此时最大值为1； （3）解：存在，或 存在这样的点，使以为顶点的四边形为正方形， ， 当抛物线沿射线方向平移个单位，可以分解为水平向右平移个单位，竖直向上平移1个单位， ， 平移后得抛物线为：， 对称轴为直线， ①当，为对角线，构成正方形时，如图1， 过作轴于点， ， 又， ， ， ， 又 ， ， 由坐标与平移关系可得，， ②当，为对角线，构成正方形时，如图2， ， ， ， ， ， ， ， ， 由坐标与平移关系可得，， 综上所述，为或． 41．（2026·山东济南·一模）如图，过原点的直线与反比例函数的图象交于两点．一次函数的图象过点与反比例函数交于另一点，与轴交于点，其中，． (1)求反比例函数和一次函数的表达式 (2)求的面积； (3)连接，在直线上是否存在点，使以为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，或． 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的性质，两点距离计算公式，勾股定理的逆定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （）把点坐标代入反比例函数解析式，求出反比例函数解析式，则可求出点坐标，再把点和点坐标代入一次函数的解析式中求出一次函数的解析式； （）求出点的坐标，再利用三角形面积计算公式求解即可； （）利用对称性可得点坐标，利用两点距离计算公式和勾股定理的逆定理可证明，则只存在和这两种情况，当时，则，此时点D为的中点，利用中点坐标公式可得答案；当时，则，可求出，；设，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入到中得：，解得， ∴反比例函数解析式为， 在中，当时，， ∴； 把，代入到中得：，解得， ∴一次函数的表达式为， （2）解：在中，当时，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵直线经过原点， ∴由反比例函数的对称性可得点的坐标为，， ∵，， ∴，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴与不垂直， ∵与相似， ∴只存在和这两种情况， 当时，则，， ∴，， ∴此时点D为的中点， ∴点D的坐标为； 当时，则，， ∴，， 设， ∴， 解得， ∴， ∴点D的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 42．（2026·宁夏银川·一模）已知：如图所示，在平面直角坐标系中，，，，若点M是边上的一个动点（与点O、B不重合），过点M作交于点N． (1)求点B的坐标； (2)当的周长与四边形的周长相等时，求BM的长； (3)在上是否存在点Q，使得为等腰直角三角形？若存在，请求出此时的长；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）过点作于点，根据勾股定理求出，由三角形的面积公式得到，得到，再根据勾股定理求出，即可得到答案； （2）根据平行证明，得到，设，则，根据的周长与四边形的周长相等列出等式，求出，即可得到答案； （3）分当时，当时，当时三种情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：过点作于点， ，，， ， ， ， ， ； （2）解：， 设，则， 的周长与四边形的周长相等， ， 即， 解得， ； （3）解：由（2）可得：当，则，， ①当时， ， ， ； ②当时， 此时四边形是正方形， ， ； ③当时，过点作于点， ， ， ， ， ， ． 43．（25-26九年级下·江苏常州·月考）如图，已知二次函数（为常数）的图象交轴于两点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点的横坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)8或 (3)或或或 【分析】（1）将点代入计算即可； （2）分两种情况：①当点为直线下方的抛物线上的一个动点时，先求出点的纵坐标，再代入计算即可；②当点为直线上方的抛物线上的一个动点时，设与轴交于点，先求出点的坐标，再求出直线的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可； （3）设点的坐标为，分三种情况：①，②和③，利用勾股定理建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：①如图，当点为直线下方的抛物线上的一个动点时， ∵， ∴轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，即为， 将代入得：， 解得或（点的横坐标）， ∴此时点的横坐标为8； ②如图，当点为直线上方的抛物线上的一个动点时， 设与轴交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴此时点的横坐标为； 综上，点的横坐标为8或． （3）解：抛物线的对称轴为直线， 由题意，设点的坐标为， ∵， ∴，，， ①当时，为直角三角形， 则，即，解得， ∴此时点的坐标为； ②当时，为直角三角形， 则，即，解得， ∴此时点的坐标为； ③当时，为直角三角形， 则，即，解得， ∴此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 44．（25-26九年级下·四川绵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于A，两点． (1)求反比例函数的表达式及点A的坐标； (2)点是反比例函数第三象限图象上的一点，连接交轴与点，连接、，当与的面积比为时，求的面积； (3)探究在反比例函数图象上是否存在一点，点N是平面内一点，使得以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数为， (2) (3)点坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数综合题，掌握反比例函数性质，以及矩形性质是解题关键． （1）将点代入一次函数，求得，可得，进而可得反比例函数为，联立解析式即可求出交点坐标 （2）由面积比，结合共底三角形面积比等于高之比，得点，进而求出点C横坐标，由此求出直线解析式，可得点坐标，再根据计算面积即可； （3）根据以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，分三种情况讨论直角的位置，根据勾股定理列方程求解出点坐标，再根据平移确定点N坐标即可． 【详解】（1）解：将点代入一次函数，解得， 故． 将代入反比例函数，得， 因此反比例函数为：， 联立一次函数与反比例函数，得 解方程组得，， 故点坐标为. （2）解：如图，直线与y轴交于点H． ∵，，， ∴， ∵，点在第三象限， ∴， 故 ∴直线解析式为：， ∴点坐标为， ∴ （3）解：设点坐标为， ∵，， ∴， ， ， 以A、B、M、N为顶点的四边形为矩形，分三种情况 ①当时，， ， 解得：（不合题意舍去）；，， ∴点坐标为， 将点向左平移1单位，上平移2单位得到点， ∴点坐标为， ②当时，， ， 解得：（不合题意舍去）；， ∴点坐标为， 将点向右平移1单位，下平移2单位得到点， ∴点坐标为， ③当时，， ， 整理得： 解得：（不合题意舍去），（不合题意舍去）， 此时不存在满足条件的M， 综上所述：使得以A、B、M、N为顶点的四边形是矩形，点坐标为或． 【点睛】解（3）的关键是根据矩形的性质，利用勾股定理列方程求解． 45．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，两点（点在点的左侧），与轴交于点，连接，． (1)点的坐标是 ，点的坐标是 ． (2)点是直线下方抛物线上的一个动点，过点作的平行线交线段于点． ①试探究：在直线上是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由； ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长． 【答案】(1)； (2)①存在，点的坐标为或；② 【分析】（1）解方程可求得、的坐标，令，可求得点的坐标，即可得解； （2）①设点的坐标为，其中，可得，，，分两种情况画出图形，并根据菱形的性质求解即可； ②设点的坐标为，其中，由直线可设直线的解析式为，由点的坐标可得，则，根据的函数表达式可得，求出，根据可求得，求出点，点的坐标，即可得的长． 【详解】（1）解：当时，，解得：，， ∵点在点的左侧 ∴，， 当时，，即． 故答案为：，． （2）解：①存在，理由如下： ∵，， ∴直线的函数表达式为， 设点的坐标为，其中， ∵，， ∴，，， ∵， ∴当时，以点，，，为顶点的四边形为平行四边形， 分两种情况： 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴，解得：，（舍去）， ∴点的坐标为， ∵点向左移动2个单位长度，向下移动6个单位长度得到点， ∴点的坐标为； 如图，当时，四边形为菱形， ∴， ∴，解得：，（舍去）， ∴点的坐标为， ∵点向右移动2个单位长度，向上移动6个单位长度得到点， ∴点的坐标为； 综上，存在点，使得以点，，，为顶点的四边形为菱形，点的坐标为或； ②设点的坐标为，其中， ②设抛物线的对称轴与直线交于点，与直线交于点．当时，请求出的长． ∵，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，， ∴直线的函数表达式为； ∵直线， ∴设直线的解析式为， ∵点的坐标， ∴， ∴ ∴， ∵抛物线的对称轴与直线交于点， ∴， ∴， ∵， ∴，整理得：，解得：，（不符合题意，舍去）， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和菱形的性质、坐标与图形、勾股定理、二次函数与面积的综合等知识点，灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 1．（2025·四川雅安·中考真题）我们规定，例如，，如果，那么的最大值是（    ） A．0 B．1 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了新定义，一次函数和二次函数的增减性问题，读懂题意，并按照题意分类讨论求出最值是解题的关键． 通过比较函数和的大小关系，确定的取值，并求其最大值． 【详解】解：设，． 令，得，即，解得或． 当或时，， ∴； 时，随着的增大而增大，当时，， ∴； ，随着的增大而减小，当时，， ∴． ∴当或时，的最大值为． 当时，， ∴； 上，随着的增大而增大， ∴当时，， ∴， 综上所述，的最大值为． 故选：C． 2．（2025·江苏无锡·中考真题）若函数的图象上存在点，函数的图象上存在点，且关于轴对称，则称函数和具有“对偶关系”，此时点或点的纵坐标称为“对偶值”．下列结论： ①函数与函数不具有“对偶关系”； ②函数与函数的“对偶值”为； ③若1是函数与函数的“对偶值”，则： ④若函数与函数具有“对偶关系”，则． 其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查新定义展开，围绕“对偶关系”和“对偶值”的定义逐一求解即可； 根据关于轴对称，称函数和具有“对偶关系”，则横坐标是相反数关系，纵坐标相等，逐一分析即可. 【详解】解：①设函数上点坐标轴为 ， ∵关于轴对称 ∴点坐标为 若点或点的纵坐标称相等， ∴解得：， 则存在这样的点，使得他们关于轴对称， ∴函数与函数具有“对偶关系” 所以①错误；故不符合题意； ②当时，则，解得；，解得；横坐标是相反数，所以②正确，故符合题意； ③当时，则，解得； 因为是函数与函数的“对偶值”， 所以函数的，代入得： ，解得，所以③正确，故符合题意； ④设点坐标为，则点坐标为  ， ∵横坐标是相反数关系，纵坐标相等 ∴，整理得， ∵，对于函数，y随m的增大而增大， 当时，； 当时，； ∴，而不是，所以④错误，故不符合题意； 故选：B. 3．（2025·山东济南·中考真题）已知二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小；③； ④；⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（　　） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，结合题意画出函数图像，结合函数图像一一判断即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数(a，b，c为常数，)图像的顶点坐标是， 且经过，两点， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴，抛物线与x轴的交点为：和， 图象如下所示： 令，即把向下平移一个单位， 再结合函数图像可知有两个不相等的实数根， 故关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根；故①正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y的值随x值的增大而减小，故②正确； ∵抛物线与x轴的交点为：和 ∴二次函数为， ∴， ∵ ∴， 解得，故③正确， 结合函数图像可知，当时，，故④正确， ∵ ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 即对于任意实数t，，故⑤正确， 综上：①②③④⑤正确， 故选：A． 4．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，五个点的坐标分别为．若抛物线经过上述五个点中的三个点，则满足题意的的值不可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，涉及抛物线的对称轴、点的对称关系及函数解析式的求解．解题关键在于利用抛物线对称轴，分析点的对称特征．分情况讨论抛物线上的点组合，再通过代入点坐标，借助待定系数法求解a的值，以此判断即可． 【详解】解：抛物线)的对称轴为直线， 当三点在抛物线 上， ， 关于对称轴对称， 将代入得， 解得， 当时，得，， 点E在抛物线上， 故抛物线同时经过三点； 当三点在抛物线上 把代入得， 解得， 当时，， 在抛物线上， 故抛物线同时过 三点； 当三点在抛物线上， 把代入得， 解得， 把点代入， 在抛物线上， 抛物线同时过三点； 综上所述，抛物线能同时经过三个点有；；且a的值分别是． 的值不可能为Ｃ． 故选：C ． 5．（2025·四川广元·中考真题）已知抛物线（，，是常数且）的自变量与函数的部分对应值如下表： 其中．以下结论：；若抛物线经过点，则；关于的方程有两个不相等的实数根；；当时，的最小值是，则或．其中正确的结论有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据抛物线的对称性可知抛物线的对称轴为，可得：，又因为，可知抛物线开口向上，所以，则有，由表格可知，当时，，所以可知；因为开口向上的抛物线离对称轴越远的点对应的值越大，可得：；整理方程，可得：，因为抛物线有最小值且，所以当时，，又因为，所以当时，，所以方程有个不相等的实数根；当时，方程可化为，此时方程有个不相等的实数根；当时，，此时方程无实数根；因为当时，，当时，，解得：，，所以可得：，又因为，所以可得：，根据和，可得不等式，从而可得：，根据不等式的性质可得：；根据抛物线的对称性可知，若要的最小值是，则有或，从而可得：当的最小值是，时或. 【详解】解：当和时，均有， 点和点关于对称轴对称， 抛物线的对称轴为， 抛物线的对称轴为， ， 抛物线的解析式为， 又当时，， 由表格可知当时，， ， ， ， 抛物线的开口向上， ，，， ， 故正确； 由可知抛物线开口向上，对称轴为， ，， ， 开口向上的抛物线离对称轴越远的点对应的值越大， ，故正确； 抛物线开口向上，对称轴为， 与关于对称轴对称， ， 由可知， ， ， 当时，， 把方程，整理得：， 有个根； 当时，方程为， 方程有个根； 当时，， 则有， 方程无实根，故错误； 时，， 当时，， 当时，， 可得，， ，， ， ， ， 解得：， ，故正确； 当时，， 此时抛物线过点，， 抛物线与交于点，， 时最小值为， 或，与结论不符合，故错误． 综上所述，正确结论为，共个． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、二次方程根的个数判断、不等式的应用，解题的关键是通过表格信息确定抛物线的对称轴、开口方向及系数关系，再结合函数性质逐一分析结论． 6．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限内交于点A，与x轴交于点B，点C坐标为，连接，若，则实数k的值为______． 【答案】 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，勾股定理，解一元二次方程等知识，根据和勾股定理列方程是解题的关键．求出点B的坐标为，设点A坐标为，根据得到，解方程并进一步即可得到点A坐标为，利用待定系数法即可求出实数k的值． 【详解】解：当时，，解得， ∴点B的坐标为， ∵点C坐标为， ∴， 设点A坐标为， ∴ ∵， ∴， ∴， 解得（不合题意，舍去） ∴， ∴点A坐标为， ∴， 解得， 故答案为： 7．（2025·四川雅安·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求二次函数的表达式； (2)点Q是抛物线在第三象限上的一点，满足，请求出点Q的坐标； (3)点E在抛物线的对称轴上，在抛物线上是否存在点F，使得以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)二次函数解析式为 (2) (3)存在，以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或 【分析】（1）把代入，运用待定系数法求解即可； （2）根据题意得到，由正切值的计算得到，结合题意，，设，过点作轴于点，代入计算即可求解； （3）根据题意得到二次函数对称轴直线为，设，，且，根据平行四边形的性质得到，对角线的交点的横坐标相等，由此即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， 解得，， ∴二次函数解析式为； （2）解：二次函数解析式为， ∴当时，， 因式分解得，， 解得，， ∴， ∴， 如图所示，连接， ∵， ∴， ∵点Q是抛物线在第三象限上的一点， ∴设，过点作轴于点， ∴，， ∵满足， ∴， ∴， ∴， 整理得，， 因式分解得，， 解得，，（舍去）， ∴，则， ∴； （3）解：二次函数解析式为， ∴对称轴直线为， 设，，且， 当四边形是平行四边形时， ∴对角线交点的横坐标相等，即， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 当四边形是平行四边形时， ∴， 解得，， ∴， ∴； 综上所述，存在以A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形，点的坐标为或或． 8．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为． (1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标； (2)点在直线AC上运动，当的周长最小时，求点的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时矩形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1)，．； (2)． (3)能，边上的顶点的坐标为，或． 【分析】（1）求得点A，C坐标，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；利用抛物线的解析式令，解方程即可求得点B在横坐标；利用配方法即可求得点D的坐标； （2）利用勾股定理及其逆定理得到，延长至点，使，连接，交直线于点P，利用轴对称的性质可得，B关于直线对称，此时的周长最小，过点作轴于点E，利用三角形的中位线定理得到点坐标，利用待定系数法求得直线的解析式为，再与直线联立即可求得点P坐标； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①设与交于点K，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得其面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可；②顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合，设，利用矩形的性质，相似三角形的判定与性质求得据的面积，利用二次函数的性质得到当时，矩形的面积取得最大值为，再利用三角形的中位线定理解答即可． 【详解】（1）解：中， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∵抛物线经过A，B，C三点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为． 令，则， ∴，或， ∴． ∵ ∴顶点； （2）∵，，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 延长至点，使，连接，交直线于点P，如图， 则，B关于直线对称，此时的周长最小， 过点作轴于点E， ∵轴，轴， ∴ ， ∵， ∴为的中位线， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴． （3）在内部能截出面积最大的矩形（顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． ①如图，顶点E，F，G，H在各边上，设与交于点K， 设， ∵四边形为矩形，， ∴四边形，为矩形，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形EFGH的面积取得最大值为． ∴， ∵， ∴H为的中点， ∴． 同理，点G为的中点， ∴． ②如图，顶点E，F，G，H在各边上，H与点C重合， 设， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积 ∵， ∴当时，矩形的面积取得最大值为． ∴， ∴点G为的中点， ∵， ∴为的中位线， ∴ ∴， ∴． 综上，在内部能截出面积最大的矩形(顶点E，F，G，H在各边上），此时矩形在边上的顶点的坐标为，或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法，配方法，抛物线上点的坐标的特征，一次函数的图象与性质，一次函数图象上点的坐标的特征，轴对称的性质，分类讨论的思想方法，矩形的性质，直角三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 9．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于两点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5． (1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式； (2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，反比例函数解析式为 (2)点坐标为或或或 【分析】本题主要考查了反比例函数的表达式、反比例函数与一次函数交点问题、菱形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）先求出点值，可得点坐标，进而可得反比例函数解析式，进而可得坐标； （2）先求出点坐标，进而分类讨论很容易求出点坐标． 【详解】（1）解：将代入得，， 解得：， ∴正比例函数表达式为， ， ∴反比例函数解析式为， ∵点关于原点对称， ， 综上，，反比例函数解析式为； （2）解：过作轴，交于点， 设，则， ， ， 解得：或（舍去）， ， 则， 当为菱形的边时，有如下三种情况： ①如图，点在点左侧， 此时轴，且， ； ②如图，此点在点右侧， 此时轴，且， ； ③如图，为对角线， 此时点与点关于轴对称，则； 当为菱形的对角线时，如下有一种情况： 过作轴于点， 设，则， 在中，， 解得， ， ， 综上，点坐标为或或或． 10．（2025·江苏南京·中考真题）（1）将函数的图象向右平移2个单位长度，平移后的函数图象与轴交点的纵坐标是___________； （2）平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上．设平移后的函数图象的顶点的横坐标为，与轴交点的纵坐标为，随的变化而变化． ①若，当时，求的取值范围． ②设函数的图象与轴、轴的交点分别为，，点在线段上．当取不同值时，下列关于的变化趋势的描述：（a）随的增大而增大；（b）随的增大而减小；（c）随的增大先增大后减小；（d）随的增大先减小后增大．其中，所有可能出现的序号是__________．（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分） 【答案】 （1） （2）①           ② 【分析】（1）根据“左加右减”的原则写出新函数解析式，由解析式求得平移后的图象与轴交点的坐标． （2）由题意平移后的函数解析式为，则， ①若，则，利用二次函数的增减性即可求解； ②求得线段的两个端点，分两种情况讨论，利用二次函数的性质判断即可． 【详解】（1）解：由“左加右减”的原则可知，将函数的图象向右平移2个单位长度，所得函数的解析式为， 令，则，即平移后的图象与轴交点的坐标为． （2）解：平移函数的图象，在这个过程中，它的顶点都在一次函数的图象上，设平移后的函数图象的顶点的横坐标为， 则平移后得到的顶点为， 平移后的函数解析式为， 当时，与轴交点的纵坐标， ①若，则， 是关于的二次函数，二次函数的开口向下，对称轴为直线， 时，，时，， 当时，的取值范围是； ②函数的图象与轴、轴的交点分别为，， ，， ∵点在线段上， 当时，， ， 对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， ， 随的增大而减小， ∵点在线段上， 当时，， ， 对称轴为直线， ， 随的增大而增大， 故可能的序号是． 11．（2025·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围． (3)把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查二次函数图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）把点代入函数解析式，进行求解即可； （2）根据点N到y轴的距离小于4，得到，根据二次函数的增减性，进行求解即可； （3）由题意，得到平移后的直线的解析式为，联立两个解析式，得到，根据直线与抛物线有2个交点，得到，再根据时，直线和抛物线的两个交点恰好在对称轴上，即可得出结果． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得 解得． ∴． ∴抛物线的顶点坐标为． （2）∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线上，点N到y轴的距离小于4， ∴， ∴当时，最小为，当时，最大为， ∴； （3）∵直线向下平移个单位长度， ∴平移后直线解析式为． 由得，即． ∵直线与抛物线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴． 解得． 又当时，， 解得， ∴直线与抛物线的两个交点为，恰好在坐标轴上， ∴的取值范围为． 12．（2025·四川乐山·中考真题）在一堂函数专题复习课上，刘老师给出了新定义：若两个函数的图象关于某一点成中心对称，则称这两个函数关于点互为“对称函数”．请同学们解决以下问题： (1)求函数关于点的“对称函数”．小乐同学给出了如下的解题步骤： 第一步：在函数的图象上取两点和； 第二步：分别求出这两个点关于点的对称点_____和______； 第三步：函数关于点的“对称函数”为______． (2)是否存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)函数关于点的“对称函数”为，函数与函数所围成的区域（包括边界）记作，横坐标、纵坐标都为整数的点叫做“整点”， ①若，求内的“整点”个数； ②若内至少有个“整点”，至多有个“整点”，求的取值范围． 【答案】(1)，， (2) (3)①5；② 【分析】（1）根据“关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数”，从而求出点和关于点的对称点，再用待定系数法求出函数关于点的“对称函数”； （2）分析函数解析式可知，函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的，从而得出函数的图象关于点中心对称； （3）①当时，：，：，联立，得交点横坐标，结合图形计算可得内的“整点”个数有5个； ②先得出的解析式为，在区域内找出关于点对称的点，得出过点和过时的值即可得答案． 【详解】（1）解：关于原点中心对称的两个点，其横纵坐标均互为相反数， 点和关于点的对称点分别是，； 设函数关于点的“对称函数”为， 将，代入得， ，解得， 函数关于点的“对称函数”为． （2）解：函数是由反比例函数向上平移一个单位长度得到的， 而反比例函数关于原点中心对称， 函数的图象关于点中心对称， 存在点，使得函数关于点的“对称函数”就是它本身． （3）解：将化成顶点式，其顶点为， 、关于点对称， 的顶点为， 的解析式为 ①如图，当时，：，： 联立，解得， 当时，，，有整点， 当时，，，有整点，，， 当时，，，有整点， 故当时，求内的“整点”个数有5个； ②∵的顶点为， ∴的解析式为， ∵函数与的图象关于点成中心对称， ∴点必为区域内的“整点”， 当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，即和，和，和，和， 此时，当过时，满足题意，即， 解得：， 当过时，即， 解得：， 此时区域内有个整点，如图， 当区域内恰有个“整点”时，其它个“整点”是对关于点对称的点，在前面个“整点”的基础上增加了、、及个“整点”， 此时， 如图， 的取值范围是． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到待定系数法求解析式，新定义函数，二次函数的顶点坐标，成中心对称的点的特征，理解“对称函数”的定义及运用数形结合思想是解题的关键． 13．（2025·安徽·中考真题）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)点和分别在抛物线和上（与原点都不重合）． ①若，且，比较与的大小； ②当时，若是一个与无关的定值，求与的值． 【答案】(1)对称轴是直线 (2)；， 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，求抛物线的对称轴，判断函数值的大小，利用函数值的数量关系求系数，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． （1）将已知点的坐标代入解析式中，得出系数之间的关系，利用对称轴公式即可求解； （2）①根据题意得出函数的解析式，将代入解析式中，利用作差法即可得出函数值的大小； ②将函数值用各自自变量表示，整理得出两自变量的数量关系，即，再利用特殊值法即可求出系数的值． 【详解】（1）解：由题意得，将点代入得， ，即， 所以， 故所求抛物线的对称轴是直线． （2）解：①由（1）可知，当时，， 抛物线的解析式为． ∵， ∴ ， ∵抛物线过原点，且点A与原点不重合， ∴， ， 故． ②由题意知，，． ∵， ∴． 因为两条抛物线均过原点，且A，B与原点都不重合，所以，． 故，即． 于是． 依题意知，是与无关的定值． 则，解得． 经检验，当时，是一个与无关的定值，符合题意． 所以，． 14．（2025·四川南充·中考真题）抛物线与x轴交于，B两点，N是抛物线顶点． (1)求抛物线的解析式及点B的坐标． (2)如图1，抛物线上两点，，若，求m的值． (3)如图2，点，如果不垂直于y轴的直线l与抛物线交于点G，H，满足．探究直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在定点 【分析】（1）把代入，求出抛物线的解析式，令，即可求解； （2）设直线为，设点，，可得且，即可求解； （3）设直线解析式，直线与抛物线相交于点，，与抛物线解析式联立可得，，．作，，，，，．根据，可得，从而得到，进而得到，继而得到，再由直线不垂直于轴，可得，从而得到直线解析式，即可求解． 【详解】（1）解：把代入， ． 抛物线的解析式为， 令，则， 解得，， ； （2）解：∵，N是抛物线顶点， ∴， 设直线的解析式为， ，， ∴，解得：， 直线的解析式为， ， 可设直线为， 设点，， 且． 解得：． （3）解：存在定点满足条件． 设直线解析式，直线与抛物线相交于点，， ， ． ，，． 作，，，，，． ， ． 即， ， ， ． ． ． ， 直线不垂直于轴， ， ， ， 直线解析式， 无论为何值，，， ∴过定点，故存在定点． 【点睛】此题考查了二次函数的图象和性质、一次函数和二次函数交点问题等知识．利用数形结合思想解答是解题的关键． 2 / 2 北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $