第18章 勾股定理及其逆定理（含13种题型）（知识清单）数学新教材沪科版八年级下册

第18章 勾股定理及其逆定理 一、勾股定理 （一）勾股定理的定义 定义：一般地，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么a2+b2=c2. 核心特征： 1.仅适用于直角三角形，是直角三角形特有的三边数量关系; 2.明确直角边与斜边的对应关系，c必须是斜边（最长边）; 3.公式变形：a2=c2−b2、b2=c2−a2，可用于求未知边长. （二）勾股定理的证明 常见证明方法： 1.面积割补法：通过将四个全等的直角三角形拼成正方形，利用大正方形面积等于小正方形面积与四个三角形面积之和建立等式; 2.赵爽弦图：我国古代数学家赵爽的证明方法，用弦图直观证明勾股定理，体现了 “出入相补” 的数学思想; 3.总统证法（伽菲尔德证法）：用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼成直角梯形，通过梯形面积等于三个三角形面积之和推导得出. （三）勾股定理的应用 核心应用场景： 1.已知两边求第三边： · 已知两直角边a,b，则斜边; · 已知斜边c和一条直角边a，则另一条直角边; 2.解决实际问题： · 测量距离、高度、宽度（如梯子靠墙、河流宽度、旗杆高度）; · 折叠问题、最短路径问题（如长方体表面两点间最短路径）; · 网格中两点间距离的计算. 二、勾股定理的逆定理 （一）勾股定理逆定理的定义 定义：如果三角形的三边长 a,b,c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边c所对的角为直角; 核心特征： 1.是勾股定理的逆命题，也是判定直角三角形的重要方法。 2.判定步骤：先找出最长边c，计算a2+b2与c2，若相等则为直角三角形；若a2+b2<c2 为钝角三角形；若a2+b2>c2 为锐角三角形 （二）勾股数 定义：能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数。常见勾股数： 1.基础组：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,12,15; 2.拓展规律：若a,b,c是勾股数，则ka,kb,kc（k为正整数）也是勾股数. （三）勾股定理逆定理的应用 核心应用场景： 1.判定直角三角形：已知三角形三边长度，判断是否为直角三角形; 2.判断垂直关系：在实际问题中，通过边长关系判断两条线段是否垂直（如测量直角、判断墙角是否为直角）; 3.与勾股定理结合：先判定直角三角形，再利用勾股定理计算边长或解决实际问题. 三、勾股定理及其逆定理的联系与区别 项目 勾股定理 勾股定理逆定理 条件 直角三角形 三边满足a2+b2=c2 结论 a2+b2=c2 三角形是直角三角形 作用 已知直角三角形，求边长 已知三边，判定直角三角形 关系 互为逆命题，共同构成勾股定理的完整知识体系 四、核心思想与方法 1.数形结合思想：将几何图形的边长关系转化为代数方程，或通过代数运算验证几何图形的性质。 2.转化思想：将实际问题抽象为直角三角形模型，利用勾股定理及其逆定理解决。 3.分类讨论思想：在求边长时，需注意未明确给出直角边或斜边时的分类讨论。 序号 错误 易错题型 注意 1 已知直角三角形两边长，直接默认都是直角边，漏分类讨论 1-2 已知两边未说明是直角边还是斜边时，要分两种情况：①都为直角边 ②长边为斜边 2 运用勾股定理逆定理时，不把三边按大小排序就直接验证 3-4 先把三边从小到大排列，用较小两边平方和与最大边平方作比较，相等才是直角三角形 3 忽略勾股数定义，认为只要满足 a2+b2=c2就是勾股数 5-6 勾股数必须是正整数，且满足两小边平方和等于最大边平方；小数、分数不算勾股数 4 折叠、航海、梯子滑动等实际几何题，不会构造直角三角形，漏画辅助线 7-8 遇折线、折叠、方位角问题，必须作高构造直角三角形，再用勾股定理求解 5 含参数直角三角形边长问题，解方程后出现负边长，不舍去不合理解 9-10 边长为正数，求出负数解必须直接舍去，不符合几何实际意义 1．（25-26八年级下·陕西延安·月考）若直角三角形的两边长为3和4，则第三边长为（   ） A．5或 B．1 C．7 D．25 【答案】A 【分析】分两种情况利用勾股定理计算第三边长即可． 【详解】解：当长为的边是斜边，长为的边是直角边时， 由勾股定理可得：第三边长为； 当长为和的边都是直角边，第三边为斜边时， 由勾股定理得：第三边长为； 综上所述，第三边长为或． 2．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知直角两条边长分别是方程的两根，则的周长为__________． 【答案】或24 【分析】本题考查解一元二次方程和直角三角形的性质综合，先利用配方法解一元二次方程，得到两根，再进行分类讨论，利用勾股定理计算出另一边，即可求解． 【详解】解：解方程， 整理可得， 即，解得，， 当两个根是两条直角边时，斜边长为， ∴此时的周长为； 当两个根是直角边和斜边时，另一条直角边为， ∴此时的周长为． 3．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（    ） A．2，， B．6，8，10 C．7，24，25 D．3，4，6 【答案】D 【分析】根据勾股定理的逆定理，验证两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断能否构成直角三角形. 【详解】解：A选项，最长边为，，能构成直角三角形，不符合题意； B选项，最长边为，，能构成直角三角形，不符合题意； C选项，最长边为，，能构成直角三角形，不符合题意； D选项，最长边为，，不能构成直角三角形，符合题意. 4．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知，，为的三条边，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则为直角三角形 B．若，则为直角三角形 C．若，则为直角三角形 D．若， ，，则为直角三角形 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形． 【详解】Ａ、因为，，，所以不是直角三角形，该命题为假命题； B、移项得，符合勾股定理逆定理，所以是直角三角形，该命题为真命题； C、设，，，，是最大边长，因为，，，所以不是直角三角形，该命题为假命题； D、是最大边长，因为，，，所以不是直角三角形，该命题为假命题． 5．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列各组数是勾股数的是（    ） A．3，4，6 B．6，9，10 C．5，13，12 D．10，8，7 【答案】C 【分析】勾股数的定义为：满足的三个正整数称为勾股数，据此对各选项依次验证即可． 【详解】解：选项A：，，，则A不是勾股数； 选项B：，，，则B不是勾股数； 选项C：，，三个数均为正整数，满足，则C是勾股数； 选项D：，，，则D不是勾股数． 6．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）公元前1800年，古巴比伦《普林顿322》中记录了一组勾股数；西汉时期，中国《周髀算经》中首次记载了“勾三股四弦五”这组勾股数；东汉时期，《九章算术》中首次给出生成所有勾股数的通解公式．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，，2 D．9，40，41 【答案】D 【分析】根据勾股数的定义：满足 的三个正整数称为勾股数，需同时满足“三个数都是正整数”和“两小边的平方和等于最大边的平方”两个条件，依次验证即可． 【详解】解：∵勾股数要求三个数均为正整数，且满足两较小数的平方和等于最大数的平方， 对选项A：，，，∴A不是勾股数 对选项B：，，，∴B不是勾股数 对选项C： 不是正整数，不符合勾股数定义，∴C不是勾股数 对选项D：，， 都是正整数，且 ，，即 ，∴D是勾股数． 7．（25-26八年级下·陕西延安·月考）如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一处需要爆破．已知、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，且，为了安全起见，爆破点周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？并说明理由． 【答案】在进行爆破时，公路段有危险，理由见解析 【分析】过点C作于点D，根据勾股定理求出的长，利用等面积法求出的长，再比较的长与的大小即可得到结论． 【详解】解：如图，过点C作于点D． ，，， ∴， ∵， ∴， ， ， ∴在进行爆破时，公路段有危险． 8．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以12海里/时速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？ 【答案】海里/时． 【分析】通过两船的航线角度可知，，则为直角三角形，可以通过勾股定理计算出的长度，然后求乙船的速度． 【详解】解：通过两船的航线角度可知，，则为直角三角形，又为甲船航行的路程，则（海里）， 由，可知： （海里）， 所以乙船的航速为（海里/时）． 9．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦秦九韶公式”．请你利用公式解答问题． (1)在中，已知，，，求的边上的高； (2)一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积． 【答案】(1) (2)该草地的面积为平方米 【分析】（1）根据公式求得，然后将、、和的值代入公式求出面积，再根据三角形面积公式，且已知的长和三角形的面积，代入即可求解； （2）连接，在中用勾股定理得，再由勾股定理逆定理判定为直角三角形，分别算出两三角形面积，相加得四边形面积． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴， ∴边上的高； （2）解：如图，连接， ∵米，米，， ∴ （平方米）， ∴ （米）， ∵米，米，米， ∴ ， ∴是直角三角形， ∴， ∴ （平方米）， ∴（平方米）． 10．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，某台风中心沿直线从左向右移动，已知点为某海港，点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)当地气象部门在通知中说海港会受到台风影响，请用所学数学知识说明缘由； (3)若台风的速度为，则台风持续影响该海港的时间有多长？ 【答案】(1)见解析 (2)海港C会受到台风影响，理由见解析 (3)台风持续影响该海港 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形； （2）利用三角形面积得出的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出以及的长，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴为直角三角形， ∴； （2）解：海港C会受到台风影响，理由如下： 如图所示，过点C作于D点， ∴， ∴， ∴， ∵以台风中心为圆心周围以内为受影响区域， ∴海港C会受到台风影响； （3）解：由（2）得， 如图所示，当时，即台风经过段时，正好影响到海港C，此时为等腰三角形， ， ∴， ∵台风的速度为， ∴， ∴台风影响该海港持续的时间有． 重难点01 用勾股定理解三角形 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则这个三角形的斜边长____． 【答案】 【分析】设直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为，利用根与系数的关系得到与的值，再利用勾股定理结合完全平方公式的变形求出斜边长即可． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为，，斜边为， ∵直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根， ∴，， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在中，且于，垂直平分，与交于，与交于，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，根据三线合一和勾股定理求出的长，中垂线的性质，得到，设，在中，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：连接， ∵且于，，， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴； ∴. 3．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）在中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同角的余角相等证明即可； （2）先利用勾股定理求出的长，运用等面积法得到，在中利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：，于点， ，， ； （2）解：在中，，， ， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即的长为． 4．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）如图，在中，，，于点，为上一动点，于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于点，分别连接，，易证垂直平分，得到，则的最小值问题转化为的最小值问题，当三点共线且为垂线段的时候可取最小值，先根据勾股定理求出的长，然后根据等面积法求解的长即可． 【详解】解：如图，作于点，分别连接，， ，，于点， ，， 垂直平分， ， ， 的最小值为， 由的面积得， ， 的最小值为． 重难点02 以直角三角形三边为边长的图形面积 5．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，中，，若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由勾股定理得，， 即正方形和正方形的面积和为． 6．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，其中两个正方形的面积分别是16和41，则字母P所代表的正方形的边长为（    ） A．5 B．6 C．25 D．57 【答案】A 【分析】根据题意得，，，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：如图， 根据题意得，，， ∵ ∴ ∴字母P所代表的正方形的边长为5． 7．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，两个正方形的面积分别是，，则正方形的面积为________． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理及正方形面积与边长的关系，解题的关键是将正方形面积转化为对应直角三角形边长的平方，利用勾股定理求解． 由正方形面积得对应边长的平方，结合图形可知，、对应的边长是直角三角形的两直角边，对应的边长是斜边，根据勾股定理求斜边的平方即的面积． 【详解】解：正方形的面积为， 其边长的平方为； ∵正方形的面积为， 其边长的平方为； 由图可知，、对应的边长是直角三角形的两直角边，对应的边长是该直角三角形的斜边，根据勾股定理，斜边的平方，即正方形的面积为13． 故答案为：13． 8．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系：． (1)【初步探究】如图1，分别以的三边，，为边长在三角形外侧作正方形，其面积分别用，，表示，请写出，，之间的数量关系：_____； (2)【问题解决】如图2，在中，，，分别以，为直径作半圆，其面积分别记为，，求的值；（结果保留） (3)【迁移应用】如图3，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点的坐标为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握各知识点并综合应用． （1））根据勾股定理，得，根据正方形的面积公式，得、、，从而得到． （2）先由勾股定理可得：，再利用，然后整体代入求解即可. （3）作如解析所示图象，可根据余角的性质得到，先证得，得到，，再根据，，即可得到点的坐标． 【详解】（1）解：在中，， ∴， ∵以的三边向外作正方形，其面积分别为、、， ∴、、， ∴， 故答案为：． （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴ 即：； （3）解：过点M作轴于点，过点作于点， ， ， ， ∵， ∴， 在和中， ， ， ，， 的坐标为， ，， ， 点的坐标为． 重难点03 勾股定理与网格问题 9．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点按下列要求画． (1)使的三边长分别为，，； (2)求所画出三角形的最长边上的高的长度________（只需写出结果）． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用网格结合勾股定理得出符合题意的答案； （2）设三角形的最长边上的高的长度为h，再利用割补法求出的面积，再根据三角形面积求法即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：设三角形的最长边上的高的长度为h， 根据题意得：， ∵， ∴， 解得：， 即三角形的最长边上的高的长度为． 10．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：根据题意，得，，，， ∴， ∴． 11．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． (1)在网格图中，以格点为顶点画一个，使三边长，，； (2)求出图中的面积． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据勾股定理画图即可； （2）利用割补法求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； ，，； （2）解：的面积． 12．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）如图，在由6×12的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)在所给的网格图中作出线段，其中点D在格点上，且． (2)在射线上取点E，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用勾股定理作线段即可； （2）先求，再利用等角对等边可知，据此求解． 【详解】（1）解：如图，从A向右7格、向下1格得D（答案不唯一，合理即可）， ． （2）解：， 要使，则， 故只需如图取，从C沿方向移动5格得即可． 重难点04 勾股定理与折叠问题 13．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为______． 【答案】6 【分析】设，则，由折叠的性质得到，在中，，解得，即可求得三角形的面积． 【详解】解：长方形纸片中，， 设，则， 将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合， ， 在中，， ， 解得， ， ． 14．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）如图，折叠三角形纸片，使得点落在边上的，处，得到折痕．已知，，．则的长为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理、含有角的直角三角形的性质、轴对称图形的性质等，可求得，进而求得的长度，设，结合，即可求得答案． 【详解】解：因为，，， 所以， 所以． 设，则． 根据图形翻折的性质可知，，， 所以，． 在中， ，即 ． 解得 ． 所以． 15．（25-26八年级下·安徽池州·期中）如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得出，由折叠的性质可得，设，则，再由勾股定理计算即可得出答案． 【详解】解：点D为的中点， ， 由折叠的性质可得， 设，则， ∵， ∴由勾股定理得， ， 解得：， ． 16．（25-26八年级下·安徽六安·期中）如图，已知为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】求出，由勾股定理可得，设，由折叠得，，由勾股定理求出，在中，由勾股定理建立方程求出的值即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 设，则 由折叠得，，， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴， 解得， ∴． 重难点05 勾股定理求两条线段的平方和（差） 17．（2026·安徽六安·一模）如图，点是等腰直角斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 【答案】C 【分析】取斜边中点，得，设，则，由勾股定理得代入变形求解即可． 【详解】解：取斜边中点， ∵是等腰直角三角形， 则，且， 设，则， 在中，由勾股定理：， 则， 即：， 故． 18．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形的对角线，相交于点．若，则______． 【答案】40 【分析】本题考查了勾股定理，根据勾股定理得，进而可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ． 故答案为：40． 19．（25-26八年级下·陕西安康·月考）在中，，若，则等于（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】根据勾股定理得出，再根据，求出结果即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵， ∴． 20．（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【详解】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 重难点06 利用勾股定理证明线段平方和（差）关系 21．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点是的斜边上的点，连接． (1)求的度数； (2)求证： (3)若，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查等腰三角形的定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键； （1）证明，得出即可求解； （2）根据（1）的结论，推出，根据勾股定理结合等腰直角三角形的性质即可得出结论； （3）设，则，利用勾股定理列式进行求解即可． 【详解】（1）解：与都是等腰直角三角形， ， ， ， ． ． ； （2）证明：， ， 即． ， 在中，， ，即； （3）解：设，则， ，即， 解得． ． 22．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·月考）如图，在中，，，点在边上，连接，在的右侧作，，连接，． (1)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： (2)若，．求的长． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）利用可证，根据全等三角形的性质可证，，从而可得，利用勾股定理可得； （2）利用勾股定理可以求出，根据全等三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出的长度． 【详解】（1）解：， 理由如下，， ， ， 又，， 在和中，， ， ，， ， ， 中，， ； （2）解：中，， ， ， ， ． 23．（25-26八年级下·全国·周测）已知如图所示． (1)若，，边上的高，求边的长． (2)若，为上的任意一点，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要运用勾股定理求解三角形的边长以及通过勾股定理和线段关系证明等式，掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中，过点作，交于点，在直角三角形中利用勾股定理求出两条直角边，进而得到的长； （2）连接，过点作，交于点．根据等腰三角形三线合一可证明，根据勾股定理可证、，两式相减可得到，根据线段的和差关系结合平方差公式即可证明． 【详解】（1）解：如图①，在中，过点作，交于点． 在中，． 在中，， ． （2）证明：如图②，连接，过点作，交于点． ，， ， 在中，． 同理，， ． 又，， ， ． 24．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形．     (1)如图1，四边形为垂美四边形，若，，，，求证：． (2)如图2，在长方形中，，分别交，于点F，E，，求的长． (3)在（2）的条件下，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理即可证明； （2）连接，设，则，，由（1）的结论建立方程即可求得x的值，从而求得； （3）在中由勾股定理求得，利用面积相等即可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形为垂美四边形， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 同理：， ∴； （2）解：如图，连接， 由于四边形是长方形，则， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去负值） 即； （3）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴． 重难点07 勾股定理与无理数 25．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，O为数轴原点，数轴上点A满足，过点A作直线l垂直于，在l上取点B使得，以原点O为圆心，长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点C表示的数为（    ） A．4 B． C． D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了数轴上点的含义、勾股定理解直角三角形等知识点．根据数轴上的点及勾股定理求解即可． 【详解】解：在直角三角形中， ， ∴， ∴点C所表示的数为． 26．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，数轴上点B所表示的数为0，点C所表示的数为2，垂直于该数轴，且，若数轴上点A所表示的数为a，则a的值为________． 【答案】 【分析】先根据数轴上两点间的距离公式求出 的长，再利用勾股定理求出 的长，根据圆的半径相等得出的长，最后结合点 A 在数轴上的位置确定其表示的数． 【详解】解：数轴上点B所表示的数为0，点C所表示的数为2， ， 由勾股定理得， ， 点B所表示的数为0，点A在点B左侧， a的值为． 27．（25-26八年级下·广东汕尾·期中）如图所示，在数轴上点A表示的实数是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据勾股定理求出直角三角形斜边的长，即为圆的半径，再根据点A在数轴上的位置确定其表示的实数． 【详解】解：由图可知，图中直角三角形的两直角边长分别为和， 根据勾股定理，斜边长为， 圆弧是以原点为圆心，斜边长为半径画的， ∴点A到原点的距离， ∵点A在原点的左侧， ∴点A表示的实数是． 28．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，数轴上的点A表示的数是________． 【答案】 【分析】求出数轴上表示1的点与点之间的距离即可得． 【详解】解：由图可知，数轴上表示1的点与点之间的距离为， ∵点在表示1的点的左边， ∴数轴上的点表示的数是． 重难点08 勾股定理的实际应用 29．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，则地毯的长至少需要（   ） A．7m B． C．8m D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理得出，再计算楼梯表面铺地毯需要的长度即可． 【详解】解：根据勾股定理得，， 则铺地毯的长为， 故选：D． 30．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在一面竖直的水泥墙的B处有两名跑酷运动员（米），为争夺地面目标点A，一名运动员从B处沿墙面攀爬至地面，再奔跑至A处（米），另一名运动员从B处继续沿墙面攀爬至顶端D后，直接向A处跳跃（跳跃轨迹按直线计算）．若两名运动员所经过的路程长度相等，求水泥墙的高度． 【答案】米 【分析】本题主要考查了勾股定理，阅读题目信息可得两名跑酷运动员所经过的距离相等是指，设，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：设水泥墙的高度为x米，则米, 由题意，知， 所以, 因为两名运动员所经过的路程长度相等， 所以，即， 所以米, 在中，由勾股定理得，即， 解得，即米, 答：水泥墙的高度为米． 31．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，露在水面的鱼线长为，钓鱼者把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，若的长为，则钓鱼竿的长为（    ）m    A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】题目主要考查勾股定理的应用，理解题意列出方程是解题关键．根据题意设，利用钓鱼竿长度不变得出方程求解，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴， 故选：B． 32．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）如图，一艘小船以8海里时的速度从港口O出发，向西北方向航行，另一艘小船以15海里时的速度同时从港口O出发，向西南方向航行，离开港口2小时时，两船相距______海里． 【答案】34 【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角，然后根据路程速度时间，得两条船分别走了30海里和16海里，再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离． 【详解】解：由题意得，西北方向与西南方向的夹角为， ∴如图，两艘船的航行路线构成直角三角形，港口为直角顶点，即， 由题意得，第一艘船（西北方向）：速度海里时，航行小时， ∴； 第二艘船（西南方向）：速度15海里时，航行2小时， ∴海里， ∴． 33．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    【答案】超速了，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握相关知识是解决问题的关键．由勾股定理得，再求出小汽车的速度为，然后由，即可得出结论． 【详解】解：这辆小汽车超速了，理由如下： 如图，在中，，， 根据勾股定理得：， 小汽车的速度为， ， 这辆小汽车超速行驶． 答：这辆小汽车超速了． 34．（25-26八年级下·安徽池州·期中）为测量学校旗杆的高度，某学习小组设计了多种方案，请结合下面表格的信息，完成任务问题： 测量工具 含角的直角三角板、足够长的皮尺 方案一 方案二 方案三 测量方案示意图 设计方案及测量数据 在地面确定点C，并测得 小明站在距离旗杆的点D处，眼睛距离地面，视线沿着三角板的一直角边落在旗杆顶部A处，小亮沿着直线垂直移动一高为的竹竿，直到小明视线沿着三角板的另一直角边恰好落在竹竿顶部E处，此时测得竹竿距离旗杆． 如图，旗杆顶端的绳子垂落地面后还多出，将绳子斜拉直后，使得绳子底端C刚好接触地面，此时测得． (1)在方案一中，由于是________三角形，所以要确定旗杆的高度，只需测量线段________的长度． (2)请根据方案二的测量数据，并利用八年级上册的知识，求旗杆的高度． (3)请根据方案三提供的数据，计算旗杆的高度． 【答案】(1)等腰直角， (2)旗杆的高度为12米 (3)旗杆的高度为12米 【分析】（1）根据题意及等腰直角三角形的性质解答； （2）作，根据直角三角形的性质得，再证明，然后根据全等三角形的对应边相等得出答案； （3）设米，则米，根据勾股定理列出方程，求出解即可. 【详解】（1）解：要确定旗杆的高度应测量的长度； ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴. ∴要确定旗杆的高度，只需测量线段的长度； （2）解：过点C作分别交于点M，交于点N， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 由题可知，米，米，米，米， ∴米，米 ∵，， ∴， ∴米， ∴米． 故旗杆的高度为12米． （3）解：由题可知，，，， 设米，则米， 在中，， 即， 解得：， 故旗杆的高度为12米． 重难点09 勾股定理求最短路径 35．（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，为底面圆的直径，一只蚂蚁在圆柱的表面上从点A爬到点C的最短距离为________． 【答案】 【分析】把圆柱的侧面展开，找出最短路径，利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：将圆柱侧面展开如图所示，此时是底面周长的一半， ∴，， ， ∴蚂蚁在圆柱的表面上从点A爬到点C的最短距离为． 36．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图是放在水平地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，则它需要爬行的最短路程为（   ） A．10 B． C． D．9 【答案】A 【分析】利用平面展开图有两种情况，画出图形利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：如图1， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴它需要爬行的最短路程为10． 37．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）如图，一圆柱形油罐的底面圆的周长为，高为，要以点为底端环绕油罐做一梯子，正好顶端在点的正上方点处，那么梯子最短需___________． 【答案】13 【分析】先把圆柱的侧面展开得到一个长方形，再利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，将圆柱形油罐的侧面展开，在中，， 则， 即梯子最短需． 38．（25-26八年级下·重庆渝北·期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在点正对面的容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为_______． 【答案】17 【分析】将圆柱侧面展开，作出点关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，利用勾股定理求出即可求解，利用轴对称找到蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径是解题的关键． 【详解】解：将圆柱侧面展开，作出点关于的对称点，如图， ∵高为，底面周长为， 此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与蜂蜜相对的点处， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵， ∴蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径是． 重难点10 判断能否构成直角三角形 39．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若一个三角形的三边长分别为，，，且满足等式，则该三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 【答案】B 【分析】利用完全平方公式展开等式，整理得到三边的平方关系，再根据勾股定理的逆定理即可判断三角形形状 【详解】解：∵ ， ∴ ， 整理得：， ∴该三角形是直角三角形． 40．（25-26八年级下·安徽池州·期中）下列每组数据中的三个数值分别是三角形的三边长，则能构成直角三角形的有（   ） ①1，2，3；②，，2；③3，4，5；④0.5，1.2，1.3． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】C 【分析】根据勾股定理逆定理，若三角形三边满足两个较短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形，依次验证每组数据即可． 【详解】解：①最长边为3，验证 ，而，故不能构成直角三角形，不符合题意； ②最长边为2，验证，与相等，满足条件，能构成直角三角形，符合题意； ③最长边为5，验证，与相等，满足条件，能构成直角三角形，符合题意； ④最长边为，验证，与相等，满足条件，能构成直角三角形，符合题意； 综上，符合条件的有②③④，共3组． 41．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）的三边分别为，，，下列条件能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查直角三角形的判定，可结合三角形三边关系，三角形内角和定理与勾股定理的逆定理，逐一判断选项即可. 【详解】选项A：设，，，，， 不满足三角形三边关系，不能构成三角形，A不符合题意； 选项B：，，， 得，，无法确定有直角，B不符合题意； 选项C：，移项得，符合勾股定理的逆定理， 是直角三角形，C符合题意； 选项D：，， 最大角，是锐角三角形，D不符合题意. 42．（25-26八年级下·北京·期中）的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 【答案】D 【分析】利用勾股定理逆定理和三角形内角和定理，对各选项逐一判断即可． 【详解】解：选项A， 展开等式得，整理得，根据勾股定理逆定理，是直角三角形，故选项A不符合题意． 选项B，∵三角形内角和为，， ，代入内角和得，即，是直角三角形，故选项B不符合题意． 选项C ，设，，， ， ，解得， ，是直角三角形，故选项C不符合题意． 选项D ， ， ， ， 不是直角三角形，故选项D符合题意． 重难点11 勾股数问题 43．（25-26八年级下·广东广州·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（    ） A．0.6，0.8，1 B．3，4，5 C． D．4，5，6 【答案】B 【分析】本题考查勾股数的定义，勾股数是满足两个较小数的平方和等于最大数平方的三个正整数，根据定义逐一判断即可，熟练掌握定义是解题关键． 【详解】解：选项A中，，不是正整数，不是勾股数，不符合题意． 选项B，，且三个数均为正整数，是勾股数，符合题意． 选项C中，不是正整数，不是勾股数，不符合题意． 选项D，，，，不是勾股数，不符合题意． 44．（25-26八年级下·重庆·期中）下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．，， C．6，8，15 D．5，10，13 【答案】A 【分析】先明确勾股数的定义，勾股数需要同时满足两个条件，一是三个数都为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A．，且都是正整数，A是勾股数． B．，，都不是正整数，不符合勾股数定义，排除． C．，，，C不是勾股数，排除． D．，，，D不是勾股数，排除． 45．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，根据定义判断各选项即可． 【详解】解：A、三个数都不是正整数，故不是勾股数； B、，不是正整数，故不是勾股数； C、，，都是正整数，且，满足条件，故是勾股数； D、，，，不满足条件，故不是勾股数． 46．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）若7，24，x是一组勾股数，则x的值为________． 【答案】25 【分析】分两种情况讨论，为最长边和为最长边，结合勾股定理计算后筛选符合条件的的值． 【详解】解：勾股数是满足勾股定理的三个正整数，分两种情况讨论： 当为最长边时，根据勾股定理得： 由，得 ，是正整数，符合要求； 当为最长边时，根据勾股定理得： 因为不是完全平方数，不是正整数，不符合勾股数定义，舍去． 重难点12 在网格中判断直角三角形 47．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在的网格中，每个小正方形边长为．请按要求作图，使得顶点均在格点上． (1)在图①中画，使得，； (2)在图②中画线段，使得，此时_________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析； 【分析】（）由勾股定理可得，由勾股定理逆定理可得，故三角形为以为直角顶点的等腰直角三角形； （）根据网格特征即可作出线段，由勾股定理逆定理可得． 【详解】（1）解：如图①，三角形即为所求： （2）解：如图，线段即为所求： ∵， ∴ ∴． 48．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（小正方形的顶点）上，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助网格判断图形中直线、角、三角形之间的关系．过点作，可知与不平行；根据在中，，由网格可知，不成立；借助网格可知，因为不是直角三角形，所以不成立；借助网格可知，所以可知，利用勾股定理的逆定理可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知． 【详解】解：A选项：如下图所示，， 与不平行， 故A选项错误； B选项：在中，， ， 不成立， 故B选项错误； C选项：如下图所示，， 不是直角三角形， 不成立， 不成立， 故C选项错误； D选项：如下图所示，， ， 由网格可知，，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故D选项正确； 故选：D． 49．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点均为格点（网格线的交点），已知点的坐标为． (1)画出线段关于所在直线对称的线段，（其中与对应）； (2)在平面直角坐标系的第四象限中找出一个格点，使得点在的垂直平分线上，写出点的坐标； (3)连接，__________． 【答案】(1)见解析 (2)的坐标为或 (3)或 【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可； （2）根据网格的特征进行作图即可； （3）利用勾股定理和勾股定理的逆定理进行解答即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，的坐标为或（写出一个即可） （3）解：由图可知，， ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， 由图可知，， ∴ ∴ ∴是直角三角形， ∴， 重难点13 勾股定理及其逆定理的综合应用 50．（25-26八年级上·江西九江·期中）如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米． (1)求、之间的距离； (2)求这块四边形空地的面积． 【答案】(1)米 (2)种植草皮的面积为96平方米 【分析】本题考查勾股定理实际应用，勾股定理逆定理，三角形面积公式，有理数乘法等． （1）根据题意连接，继而利用勾股定理列式计算即可得到本题答案； （2）先利用勾股定理逆定理证明是直角三角形，继而利用三角形面积公式即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，连接， ， ∵， ∴， ∴米； （2）解：在中，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴种植草皮的面积为：（平方米）， ∴种植草皮的面积为96平方米． 51．（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图，某小区准备在一块直角三角形土地上，规划出图中阴影部分作为草坪，已知，，．根据规划要求，．，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】利用勾股定理计算出，再根据逆定理判断出，利用作差法求出阴影面积即可． 【详解】解：在直角中，， ∴， ∵， ∴是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， ∴． 52．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图一块试验田，已知，，，，，求这块试验田的面积． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，由勾股定理可得，进而由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，再根据这块试验田的面积解答即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵，，， ∴， 在中，∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴这块试验田的面积． 53．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，某地为创建宜居城市，准备在临街的拐角建造一处面积不低于平方米的口袋公园（阴影部分）．经测量知，，，，，．请通过计算说明此处拐角的面积是否符合规划要求． 【答案】不符合规划要求，计算见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题的关键．连接，利用勾股定理求出的长，再利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再计算面积即可． 【详解】解：如图，连接． 因为，，， 所以． 因为，，且， 所以， 所以为直角三角形，， 所以此处拐角的面积为：． 因为，所以此处拐角的面积不符合规划要求． 54．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． (1)请计算这个四边形对角线的长度； (2)请用学过的知识求出这块空地的面积； (3)已知绿植每平方米造价80元，则在这块空地上绿植美化需花费多少元？ 【答案】(1) (2) (3)元 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，有理数乘法的实际应用，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求解即可； （2）根据（1）所求可证明，则，再根据列式求解即可； （3）用绿植每平方米的造价乘以空地的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 答：这个四边形对角线的长度为； （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴ ， 答：这块空地的面积为； （3）解：元， 答：在这块空地上绿植美化需花费元． 55．（24-25八年级下·湖南湘西·月考）在中，，则（    ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形边角关系，由已知条件入手，把进行变形，变形为，再利用三角形边角关系得,把其代入可得关系式，再利用完全平方公式得，可得，可得一定是锐角． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是三角形的三边， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴一定是锐角． 故选：A． 56．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)60 (3)正确，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，科学记数法，整式的混合运算，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据题意可得，把代入计算，并应用科学记数法表示方法表示即可； （2）先由勾股定理的逆定理证明这个三角形是直角三角形，且是斜边，再利用三角形的面积公式计算即可； （3）先计算，再由勾股定理的逆定理即可得出结论． 【详解】（1）解：， 当时， ； 故答案为：； （2）解：，，， 当时，，，， ， 这个三角形是直角三角形，且是斜边， 这个三角形的面积是， 故答案为：； （3）解：小明的发现正确，理由如下： ， ， 当取大于1的整数时，、、为一组勾股数． 57．（24-25八年级上·全国·课后作业）若正整数a，b，c满足方程，则称这一组正整数为“商高数”．下面列举5组“商高数”：，，，，，注意这5组“商高数”的结构有如下规律： 根据以上规律，回答以下问题： (1)写出各数都大于30的两组“商高数”； (2)用两个正整数表示一组“商高数”，并证明你的结论． 【答案】(1)两组数为：   (2)“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，证明见解析 【分析】（1）根据“商高数”的规律，设正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，取适当的值代入即可； （2）由（1）总结的“商高数”规律，直接证明即可. 【详解】（1）解：根据“商高数”的规律，设正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组，通过选择合适的使用均大于； 第一组：取，即. 第二组：取，即. （2）解：用两个正整数，则“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组， 设， 证明：， ， ， . . 即：“商高数”可表示为由, , 三个数构成的数组”． 【点睛】本题考查了新定义问题中的规律问题，实质上是勾股数的规律问题，找出数列规律是解题的关键. 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第18章 勾股定理及其逆定理 一、勾股定理 （一）勾股定理的定义 定义：一般地，直角三角形______________________等于______________。如果直角三角形的两直角边长分别为a、b，斜边长为c，那么______________. 核心特征： 1.仅适用于______________，是直角三角形特有的三边数量关系; 2.明确直角边与斜边的对应关系，c必须是斜边（最长边）; 3.公式变形：______________、______________，可用于求未知边长. （二）勾股定理的证明 常见证明方法： 1.面积割补法：通过将四个全等的直角三角形拼成正方形，利用大正方形面积等于小正方形面积与四个三角形面积之和建立等式; 2.赵爽弦图：我国古代数学家赵爽的证明方法，用弦图直观证明勾股定理，体现了 “出入相补” 的数学思想; 3.总统证法（伽菲尔德证法）：用两个全等的直角三角形和一个等腰直角三角形拼成直角梯形，通过梯形面积等于三个三角形面积之和推导得出. （三）勾股定理的应用 核心应用场景： 1.已知两边求第三边： · 已知两直角边a,b，则斜边______________; · 已知斜边c和一条直角边a，则另一条直角边______________; 2.解决实际问题： · 测量距离、高度、宽度（如梯子靠墙、河流宽度、旗杆高度）; · 折叠问题、最短路径问题（如长方体表面两点间最短路径）; · 网格中两点间距离的计算. 二、勾股定理的逆定理 （一）勾股定理逆定理的定义 定义：如果三角形的三边长 a,b,c满足______________，那么这个三角形是______________，且边c所对的角为直角; 核心特征： 1.是勾股定理的逆命题，也是判定直角三角形的重要方法。 2.判定步骤：先找出______________，计算a2+b2与c2，若相等则为______________；若a2+b2<c2 为______________；若a2+b2>c2 为______________ （二）勾股数 定义：能够成为直角三角形三条边长的______________，称为勾股数。常见勾股数： 1.基础组：3,4,5；5,12,13；6,8,10；7,24,25；8,15,17；9,12,15; 2.拓展规律：若a,b,c是勾股数，则______________（k为正整数）也是勾股数. （三）勾股定理逆定理的应用 核心应用场景： 1.判定直角三角形：已知______________，判断是否为______________; 2.判断垂直关系：在实际问题中，通过边长关系判断_____________________（如测量直角、判断墙角是否为直角）; 3.与勾股定理结合：先判定______________，再利用______________计算边长或解决实际问题. 三、勾股定理及其逆定理的联系与区别 项目 勾股定理 勾股定理逆定理 条件 直角三角形 三边满足___________ 结论 ______________ 三角形是直角三角形 作用 已知______________，求_______ 已知______，判定______________ 关系 互为__________，共同构成勾股定理的完整知识体系 四、核心思想与方法 1.数形结合思想：将几何图形的边长关系转化为代数方程，或通过代数运算验证几何图形的性质。 2.转化思想：将实际问题抽象为直角三角形模型，利用勾股定理及其逆定理解决。 3.分类讨论思想：在求边长时，需注意未明确给出直角边或斜边时的分类讨论。 序号 错误 易错题型 注意 1 已知直角三角形两边长，直接默认都是直角边，漏分类讨论 1-2 已知两边未说明是直角边还是斜边时，要分两种情况：①都为直角边 ②长边为斜边 2 运用勾股定理逆定理时，不把三边按大小排序就直接验证 3-4 先把三边从小到大排列，用较小两边平方和与最大边平方作比较，相等才是直角三角形 3 忽略勾股数定义，认为只要满足 a2+b2=c2就是勾股数 5-6 勾股数必须是正整数，且满足两小边平方和等于最大边平方；小数、分数不算勾股数 4 折叠、航海、梯子滑动等实际几何题，不会构造直角三角形，漏画辅助线 7-8 遇折线、折叠、方位角问题，必须作高构造直角三角形，再用勾股定理求解 5 含参数直角三角形边长问题，解方程后出现负边长，不舍去不合理解 9-10 边长为正数，求出负数解必须直接舍去，不符合几何实际意义 1．（25-26八年级下·陕西延安·月考）若直角三角形的两边长为3和4，则第三边长为（   ） A．5或 B．1 C．7 D．25 2．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知直角△ABC两条边长分别是方程的两根，则△ABC的周长为__________． 3．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）下列各组数中，以它们为边长的线段不能构成直角三角形的是（    ） A．2，， B．6，8，10 C．7，24，25 D．3，4，6 4．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）已知，，为△ABC的三条边，则下列命题为真命题的是（    ） A．若，，，则△ABC为直角三角形 B．若，则△ABC为直角三角形 C．若，则△ABC为直角三角形 D．若， ，，则△ABC为直角三角形 5．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）下列各组数是勾股数的是（    ） A．3，4，6 B．6，9，10 C．5，13，12 D．10，8，7 6．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）公元前1800年，古巴比伦《普林顿322》中记录了一组勾股数；西汉时期，中国《周髀算经》中首次记载了“勾三股四弦五”这组勾股数；东汉时期，《九章算术》中首次给出生成所有勾股数的通解公式．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，4 B．4，5，6 C．1，，2 D．9，40，41 7．（25-26八年级下·陕西延安·月考）如图，在甲村到乙村的公路旁有一块山地正在被开发，现有一处需要爆破．已知、两点之间的距离为，、两点之间的距离为，且，为了安全起见，爆破点周围半径范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路段是否有危险？并说明理由． 8．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以12海里/时速度向北偏东航行，乙船向南偏东航行，3小时后，甲船到达C岛，乙船到达B岛．若C、B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？ 9．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？ 海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，，，分别表示三边之长，表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦秦九韶公式”．请你利用公式解答问题． (1)在△ABC中，已知，，，求的边上的高； (2)一块四边形的草地如图所示，现测得米，米，米，米，，求该草地的面积． 10．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）台风是一种自然灾害，它以台风中心为圆心在周围上千米的范围内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，某台风中心沿直线从左向右移动，已知点为某海港，点与直线上，两点的距离分别为和，且，以台风中心为圆心，周围以内为受影响区域． (1)求证：； (2)当地气象部门在通知中说海港会受到台风影响，请用所学数学知识说明缘由； (3)若台风的速度为，则台风持续影响该海港的时间有多长？ 重难点01 用勾股定理解三角形 1．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两根，则这个三角形的斜边长____． 2．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在△ABC中，且于，垂直平分，与交于，与交于，若，，则的长为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）在△ABC中，，于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 4．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）如图，在△ABC中，，，于点，为上一动点，于点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 重难点02 以直角三角形三边为边长的图形面积 5．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图，中，，若，则正方形和正方形的面积和为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）如图，分别以直角三角形的三边为边长向外作正方形，其中两个正方形的面积分别是16和41，则字母P所代表的正方形的边长为（    ） A．5 B．6 C．25 D．57 7．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，两个正方形的面积分别是，，则正方形的面积为________． 8．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）勾股定理反映了直角三角形三条边之间的关系：． (1)【初步探究】如图1，分别以的三边，，为边长在三角形外侧作正方形，其面积分别用，，表示，请写出，，之间的数量关系：_____； (2)【问题解决】如图2，在中，，，分别以，为直径作半圆，其面积分别记为，，求的值；（结果保留） (3)【迁移应用】如图3，将一块等腰直角三角板放在平面直角坐标系内，三角板的一个锐角的顶点与坐标原点重合，另两个顶点均落在第一象限内，已知点的坐标为，求点的坐标． 重难点03 勾股定理与网格问题 9．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）正方形网格中的每个小正方形边长都为1，每个小格的顶点叫做格点．以格点为顶点按下列要求画． (1)使的三边长分别为，，； (2)求所画出三角形的最长边上的高的长度________（只需写出结果）． 10．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点都在格点上，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． (1)在网格图中，以格点为顶点画一个△ABC，使三边长，，； (2)求出图中△ABC的面积． 12．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）如图，在由6×12的小正方形组成的网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的三个顶点都在格点（网格线的交点）上． (1)在所给的网格图中作出线段，其中点D在格点上，且． (2)在射线上取点E，使． 重难点04 勾股定理与折叠问题 13．（25-26八年级下·安徽蚌埠·期中）如图，长方形纸片中，，，将此长方形纸片折叠，使点D与点B重合，点C落在点H的位置，折痕为，则的面积为______． 14．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）如图，折叠三角形纸片，使得点落在边上的，处，得到折痕．已知，，．则的长为（    ） A．1 B． C． D． 15．（25-26八年级下·安徽池州·期中）如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 16．（25-26八年级下·安徽六安·期中）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，，点E为上一点，且，点D为边上一点，连接，将沿折叠得到，若的延长线恰好经过点B，则的长为（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 重难点05 勾股定理求两条线段的平方和（差） 17．（2026·安徽六安·一模）如图，点是等腰直角△ABC斜边上一点（不与点、重合），，则等于（） A．1 B．2 C．4 D．不能确定 18．（23-24八年级下·安徽阜阳·期中）如图，四边形的对角线，相交于点．若，则______． 19．（25-26八年级下·陕西安康·月考）在中，，若，则等于（   ） A．9 B．12 C．18 D．24 20．（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在△ABC中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 重难点06 利用勾股定理证明线段平方和（差）关系 21．（24-25八年级下·安徽合肥·期中）如图，△ABC和都是等腰直角三角形，，的顶点是的斜边上的点，连接． (1)求的度数； (2)求证： (3)若，请直接写出的值． 22．（25-26八年级下·辽宁葫芦岛·月考）如图，在中，，，点在边上，连接，在的右侧作，，连接，． (1)猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由： (2)若，．求的长． 23．（25-26八年级下·全国·周测）已知如图所示． (1)若，，边上的高，求边的长． (2)若，为上的任意一点，求证：． 24．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形．     (1)如图1，四边形为垂美四边形，若，，，，求证：． (2)如图2，在长方形中，，分别交，于点F，E，，求的长． (3)在（2）的条件下，求的长． 重难点07 勾股定理与无理数 25．（25-26八年级下·重庆·期中）如图，O为数轴原点，数轴上点A满足，过点A作直线l垂直于，在l上取点B使得，以原点O为圆心，长为半径作弧，弧与数轴正半轴的交点C表示的数为（    ） A．4 B． C． D．5 26．（25-26八年级下·福建福州·期中）如图，数轴上点B所表示的数为0，点C所表示的数为2，垂直于该数轴，且，若数轴上点A所表示的数为a，则a的值为________． 27．（25-26八年级下·广东汕尾·期中）如图所示，在数轴上点A表示的实数是（    ） A．2 B． C． D． 28．（25-26八年级下·广东广州·期中）如图，数轴上的点A表示的数是________． 重难点08 勾股定理的实际应用 29．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，则地毯的长至少需要（   ） A．7m B． C．8m D． 30．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，在一面竖直的水泥墙的B处有两名跑酷运动员（米），为争夺地面目标点A，一名运动员从B处沿墙面攀爬至地面，再奔跑至A处（米），另一名运动员从B处继续沿墙面攀爬至顶端D后，直接向A处跳跃（跳跃轨迹按直线计算）．若两名运动员所经过的路程长度相等，求水泥墙的高度． 31．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，露在水面的鱼线长为，钓鱼者把鱼竿提起到的位置，此时露在水面上的鱼线长为，若的长为，则钓鱼竿的长为（    ）m    A．4 B．5 C．6 D．7 32．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）如图，一艘小船以8海里时的速度从港口O出发，向西北方向航行，另一艘小船以15海里时的速度同时从港口O出发，向西南方向航行，离开港口2小时时，两船相距______海里． 33．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）交通法规规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过．如图，一辆小汽车在一条城市街路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路面车速检测仪正前方处，过了后，测得小汽车与车速检测仪间距离为，这辆小汽车超速了吗？    34．（25-26八年级下·安徽池州·期中）为测量学校旗杆的高度，某学习小组设计了多种方案，请结合下面表格的信息，完成任务问题： 测量工具 含角的直角三角板、足够长的皮尺 方案一 方案二 方案三 测量方案示意图 设计方案及测量数据 在地面确定点C，并测得 小明站在距离旗杆的点D处，眼睛距离地面，视线沿着三角板的一直角边落在旗杆顶部A处，小亮沿着直线垂直移动一高为的竹竿，直到小明视线沿着三角板的另一直角边恰好落在竹竿顶部E处，此时测得竹竿距离旗杆． 如图，旗杆顶端的绳子垂落地面后还多出，将绳子斜拉直后，使得绳子底端C刚好接触地面，此时测得． (1)在方案一中，由于是________三角形，所以要确定旗杆的高度，只需测量线段________的长度． (2)请根据方案二的测量数据，并利用八年级上册的知识，求旗杆的高度． (3)请根据方案三提供的数据，计算旗杆的高度． 重难点09 勾股定理求最短路径 35．（25-26八年级下·河南开封·期中）如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，为底面圆的直径，一只蚂蚁在圆柱的表面上从点A爬到点C的最短距离为________． 36．（25-26八年级下·安徽芜湖·期中）如图是放在水平地面上的一个长方体盒子，其中，，，点M在棱上，且，点N是的中点，一只蚂蚁沿着长方体盒子的表面从点M爬行到点N，则它需要爬行的最短路程为（   ） A．10 B． C． D．9 37．（25-26八年级下·天津滨海新区·期中）如图，一圆柱形油罐的底面圆的周长为，高为，要以点为底端环绕油罐做一梯子，正好顶端在点的正上方点处，那么梯子最短需___________． 38．（25-26八年级下·重庆渝北·期中）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在点正对面的容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到蜂蜜需爬行的最短路径为_______． 重难点10 判断能否构成直角三角形 39．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）若一个三角形的三边长分别为，，，且满足等式，则该三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 40．（25-26八年级下·安徽池州·期中）下列每组数据中的三个数值分别是三角形的三边长，则能构成直角三角形的有（   ） ①1，2，3；②，，2；③3，4，5；④0.5，1.2，1.3． A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 41．（25-26八年级下·湖北武汉·期中）△ABC的三边分别为，，，下列条件能判定△ABC为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 42．（25-26八年级下·北京·期中）△ABC的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 重难点11 勾股数问题 43．（25-26八年级下·广东广州·期中）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（    ） A．0.6，0.8，1 B．3，4，5 C． D．4，5，6 44．（25-26八年级下·重庆·期中）下列四组数中，是勾股数的是（    ） A．3，4，5 B．，， C．6，8，15 D．5，10，13 45．（25-26八年级下·新疆乌鲁木齐·期中）下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 46．（25-26八年级下·甘肃临夏·期中）若7，24，x是一组勾股数，则x的值为________． 重难点12 在网格中判断直角三角形 47．（25-26八年级下·安徽合肥·期中）如图，在的网格中，每个小正方形边长为．请按要求作图，使得顶点均在格点上． (1)在图①中画△ABC，使得，； (2)在图②中画线段，使得，此时_________． 48．（25-26八年级下·安徽阜阳·月考）如图，在的正方形网格中，点，，，，均在格点（小正方形的顶点）上，下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 49．（25-26八年级下·安徽淮北·期中）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，△AOB的顶点均为格点（网格线的交点），已知点的坐标为． (1)画出线段关于所在直线对称的线段，（其中与对应）； (2)在平面直角坐标系的第四象限中找出一个格点，使得点在的垂直平分线上，写出点的坐标； (3)连接，__________． 重难点13 勾股定理及其逆定理的综合应用 50．（25-26八年级上·江西九江·期中）如图，学校有一块四边形的空地，计划在内部区域种植草皮，经测量，，米，米，米，米． (1)求、之间的距离； (2)求这块四边形空地的面积． 51．（25-26八年级下·吉林长春·开学考试）如图，某小区准备在一块直角三角形土地上，规划出图中阴影部分作为草坪，已知，，．根据规划要求，．，求阴影部分的面积． 52．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图一块试验田，已知，，，，，求这块试验田的面积． 53．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图，某地为创建宜居城市，准备在临街的拐角建造一处面积不低于平方米的口袋公园（阴影部分）．经测量知，，，，，．请通过计算说明此处拐角的面积是否符合规划要求． 54．（25-26八年级上·安徽宿州·月考）如图所示，某小区在施工过程中留下了一块四边形空地，小区管理人员为美化环境，计划在空地上种上绿植，经测量，，，，，． (1)请计算这个四边形对角线的长度； (2)请用学过的知识求出这块空地的面积； (3)已知绿植每平方米造价80元，则在这块空地上绿植美化需花费多少元？ 55．（24-25八年级下·湖南湘西·月考）在中，，则（    ） A．一定是锐角 B．一定是直角 C．一定是钝角 D．都有可能 56．（25-26八年级上·江苏泰州·期中）已知：，，． (1)当时，的值等于______．（结果用科学记数法表示） (2)当时，以a，b，c的值为三边长的三角形面积是______．（直接写出答案） (3)若两个正整数的平方和等于另一个正整数的平方，则称这三个数为勾股数．小明发现：当n取大于1的整数时，a，b，c为勾股数．你认为小明的发现正确吗？请通过计算说明理由． 57．（24-25八年级上·全国·课后作业）若正整数a，b，c满足方程，则称这一组正整数为“商高数”．下面列举5组“商高数”：，，，，，注意这5组“商高数”的结构有如下规律： 根据以上规律，回答以下问题： (1)写出各数都大于30的两组“商高数”； (2)用两个正整数表示一组“商高数”，并证明你的结论． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $