精品解析：山东省普通高等学校招生考试(春季)数学专业知识模拟试题（六）

山东省普通高等学校招生考试（春季） 数学专业知识模拟试题（六） 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分.满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题，共60分） 注意事项： 1.答卷一前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上. 3.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01. 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上） 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的定义可推知. 【详解】因为，，，故. 故选：C 2. 已知复数 是方程的一个根，则（     ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】，是方程的两个根，由韦达定理可得，由模长运算可得结果. 【详解】因为是方程的一个根，所以是方程的另一个根， 所以， 则. 故选：B. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由根式及对数函数的性质可求得函数的定义域. 【详解】中， 由，解得， 故选：D． 4. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将题干翻译成子集与全集的关系，即可求解. 【详解】因为“”是“”的充分不必要条件， 所以是的真子集， 结合数轴即可求得： 故选：C． 5. 已知1，，，，3构成等比数列，则实数的值是（ ） A. 2 B. C. 或2 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合等比数列的性质即可得解. 【详解】1，，，，3构成等比数列， 则，解得或， 又，， 即， 故选：B. 6. 如图所示，已知在中，，分别是，的中点，设，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据是的中位线，再利用向量运算的三角形法则即可求解. 【详解】因为，分别是，的中点， 所以． 故选：C 7. 已知函数，若，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由二次函数的图像和性质可知，讨论参数的范围可知对任意都有. 【详解】解：由题可知，根据二次函数图像和性质， 当时，，满足要求； 当时，则函数图像应开口向上，即， 且方程的判别式，解得; 综上所述，． 故选：A. 8. 夜晚来临，校园某道路亮起一排盏路灯，为节约用电且不影响照明，现需要熄灭其中的盏．若两端路灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2盏，那么所有不同熄灯方法的种数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知插空法可知其所有不同的熄灯方法. 【详解】解：除了两端路灯不能熄灭，还有盏，要熄灭盏，则还剩盏灯亮． 这盏灯左右产生个空，任取个空，插入要熄灭的盏灯，即可实现， 所以方法数为. 故选：A． 9. 已知斜率为1且在轴上的截距是2的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的斜截式方程列出直线方程，再化为一般式方程即可. 【详解】由斜截式方程可得，即. 故选：A. 10. 已知，且是第三象限角，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据诱导公式以及二倍角的余弦公式求解即可. 【详解】因为，即， 所以. 故选：D. 11. 如图所示的直观图表示的空心圆柱体，其三视图中的左视图大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由此几何体是一个空心圆柱体，对所给定四个左视图逐个判定即可选定选项. 【详解】对于选项A，因直观图表示的空心圆柱体，里面空心圆柱的轮廓线没有画，故A选项不正确； 对于选项B，里面空心圆柱的轮廓线是不可见的，应画成虚线，故选项B不正确； 对于选项C，里面空心圆柱的轮廓线是不可见的，画成虚线是正确的，故C选项正确； 对于选项D，左视图的高要平齐，故D选项不正确. 故选：C. 12. 若，则关于的方程解的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】由方程可求得的值，再根据的值和角的范围可求角的个数. 【详解】因为，所以或， 因为，所以的值共有三种情况. 故选：C 13. 已知函数是奇函数，当时，，则该函数在上的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干意思画出对应区间的图像，在选项中找到与其关于原点对称的图形即可. 【详解】 画出当时，的图像， 得到关于原点对称的图像（函数是奇函数）， 故选：D． 14. 已知直线过圆的圆心，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知直线过圆心，即圆心到直线的距离为即可得参数值. 【详解】解：由题可知圆的圆心为， 由，得. 故选：B． 15. 若二项展开式，则等于（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用赋值法求解. 【详解】令，则， 令，则， . 故选：B. 16. 已知随机变量的分布列： 0 1 2 3 则变量的数学期望等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据数学期望的计算公式求值即可. 【详解】因为，所以， 则. 故选：B. 17. 有5名同学站成一排，其中甲不在两端且和乙相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出5名同学站成一排的情况总数，再求出满足条件的情况总数，结合概率公式求解即可. 【详解】5名同学站成一排，方法数为种， 甲不在两端，则甲只能站在中间三个位置，方法数为种， 又与乙相邻，则乙只能站在甲的左侧或右侧，方法数为种， 剩余3名同学进行排列，方法数为种， 则甲不在两端且和乙相邻的概率是. 故选：C. 18. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由离心率公式及双曲线中的数量关系及渐近线方程公式即可得解. 【详解】由离心率的定义可知. 整理得，所以. 所以渐近线方程为. 故选：. 19. 已知在中，，，，则实数的值是（ ） A. 1或3 B. 1或 C. 或3 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】利用向量的加法求，再由得，列式可求得. 【详解】由于，因为， 所以，解得或. 故选：B 20. 函数（其中）的部分图像如图所示，则该函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据图像确定最值可得出的值，再由周期得出的值，最后将点代入解析式求出的值即可. 【详解】由题意可知最大值是3，则， ，解得， 因为，解得， 则， 经过点，代入得， 即，则， 解得， 因为，所以，即， 故选：C. 卷二（非选择题，共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 已知函数对于任意实数，都有，若当时，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知求出，进而得，据此由内到外计算可求解. 【详解】因为当时，， 所以. 又，所以， 所以. 故答案为：. 22. 现有一圆锥状铁块，其底面半径为，高为，将其熔化铸成铁球（不计损耗），则铁球的表面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可以确定圆锥和球的体积相等，再利用圆锥的体积公式和球的表面积公式求出球的半径，即可求解. 【详解】设球的半径为， ， 则，解得， 所以． 故答案为： 23. 函数的值域是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先利用辅助角公式将函数化简，再根据三角函数的性质求出值域. 【详解】由题意可知， 因为，所以， 所以，则， 所以该函数的值域是. 故答案为：. 24. 今有北乡有8100人，西乡有7500人，南乡有6900人，现需要从这三乡中抽300人服劳役，若按分层抽样的方法，则北乡被抽到的人数是__________. 【答案】108 【解析】 【分析】根据题意求出抽取的比例，结合分层抽样的定义即可得解. 【详解】抽取的比例是， 所以北乡需要抽的人数是， 故答案为：. 25. 已知点，设抛物线的焦点为，若点在抛物线上，则的最小值是________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作抛物线准线的垂线，垂足为，交抛物线于点，过点M作抛物线准线的垂线，垂足为,利用求解即可. 【详解】抛物线，即， 抛物线准线， 过点作抛物线准线的垂线，垂足为，交抛物线于点， 过点M作抛物线准线的垂线，垂足为,则, ， 所以点在点时，取得最小值， 即为． 故答案为：. 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. 已知. （1）求函数的定义域； （2）判断并证明函数的奇偶性. 【答案】（1） （2）奇函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据对数型函数的真数大于零求解即可； （2）根据函数奇偶性的定义判断即可. 【小问1详解】 因为，即， 而， 所以，即恒成立， 所以该函数的定义域是. 【小问2详解】 为奇函数.证明如下： 由（1）可知该函数定义域关于原点对称， 则 ， 所以函数是奇函数. 27. 在等差数列中，已知公差，．求： （1）数列的通项公式； （2）数列的前项和的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先通过题干求出首项，又已知公差，即可求出通项公式. （2）求数列的前n项和的最小值，即是求的负数项的和，求出时，n的取值范围，确定n的值，再根据等差数列求和公式求解即可. 【小问1详解】 设等差数列的首项为， 因为，所以，即， 解得， 所以数列的通项公式． 【小问2详解】 设，即， 解得， 所以该数列的前10项的和最小， 最小值为． 28. 在中，三个内角，，所对的边分别为，，，且，，. （1）求角的大小； （2）若函数，求该函数的最小正周期和单调递增区间. 【答案】（1） （2）最小正周期为， 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边角互化，结合角的范围和特殊角的三角函数值求解即可； （2）根据（1）的结论和两角和差的正弦公式对函数进行化简，再结合周期公式和正弦型函数的单调性求解即可. 【小问1详解】 在中，由正弦定理可得， 所以， 又因为，，所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）知， 所以 ， 所以的最小正周期； 当函数为增函数时，有， 即， 所以函数的单调递增区间为. 29. 如图所示，四边形为圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一点，，分别为，的中点.求证： （1）平面； （2）平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理证明； （2）根据线面垂直的判定定理及性质定理证明. 【小问1详解】 因为，分别为，的中点，所以. 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为四边形为圆柱的轴截面，所以平面， 因为平面，所以， 因为是底面圆上一点，是底面圆的直径，所以， 因为，平面，所以平面. 30. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距为，直线过椭圆的右焦点，其倾斜角为，直线与椭圆交于，两点，且与向量共线．求： （1）直线的方程； （2）该椭圆的标准方程． 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）由题焦点在轴上，焦距为，可知右焦点的坐标为，且直线的倾斜角为可知，由直线的点斜式可知直线的方程. （2）设直线与椭圆相交的两点为，且联立直线与椭圆的方程可知的值，且由向量与向量共线即可求得椭圆标准方程. 【详解】解：（1）因为焦点在轴上，焦距为，所以右焦点坐标为， 直线的斜率， 所以直线的方程为，即． （2）设，，椭圆方程为． 由（1）可知直线方程，故联立方程组， 可得， 则，， ， 又与向量共线， 所以，即①， 又因为，所以②， 由①②解得． 所以该椭圆的标准方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山东省普通高等学校招生考试（春季） 数学专业知识模拟试题（六） 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分.满分120分，考试时间120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题，共60分） 注意事项： 1.答卷一前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试题卷上. 3.本次考试允许使用函数型计算器，凡使用计算器的题目，最后结果精确到0.01. 一、选择题（本大题20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，填涂在答题卡上） 1. 已知集合，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数 是方程的一个根，则（     ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 已知1，，，，3构成等比数列，则实数的值是（ ） A. 2 B. C. 或2 D. 或 6. 如图所示，已知在中，，分别是，的中点，设，，则等于（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 夜晚来临，校园某道路亮起一排盏路灯，为节约用电且不影响照明，现需要熄灭其中的盏．若两端路灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2盏，那么所有不同熄灯方法的种数是（ ） A. B. C. D. 9. 已知斜率为1且在轴上的截距是2的直线方程是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，且是第三象限角，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 11. 如图所示的直观图表示的空心圆柱体，其三视图中的左视图大致是（ ） A. B. C. D. 12. 若，则关于的方程解的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 13. 已知函数是奇函数，当时，，则该函数在上的图像可能是（ ） A. B. C. D. 14. 已知直线过圆的圆心，则实数的值是（ ） A. B. C. D. 15. 若二项展开式，则等于（ ） A. 1 B. C. 2 D. 16. 已知随机变量的分布列： 0 1 2 3 则变量的数学期望等于（ ） A. B. C. D. 17. 有5名同学站成一排，其中甲不在两端且和乙相邻的概率是（ ） A. B. C. D. 18. 已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 19. 已知在中，，，，则实数的值是（ ） A. 1或3 B. 1或 C. 或3 D. 或 20. 函数（其中）的部分图像如图所示，则该函数的解析式是（ ） A. B. C. D. 卷二（非选择题，共60分） 二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上） 21. 已知函数对于任意实数，都有，若当时，，则__________. 22. 现有一圆锥状铁块，其底面半径为，高为，将其熔化铸成铁球（不计损耗），则铁球的表面积是________． 23. 函数的值域是__________. 24. 今有北乡有8100人，西乡有7500人，南乡有6900人，现需要从这三乡中抽300人服劳役，若按分层抽样的方法，则北乡被抽到的人数是__________. 25. 已知点，设抛物线的焦点为，若点在抛物线上，则的最小值是________． 三、解答题（本大题5个小题，共40分） 26. 已知. （1）求函数的定义域； （2）判断并证明函数的奇偶性. 27. 在等差数列中，已知公差，．求： （1）数列的通项公式； （2）数列的前项和的最小值． 28. 在中，三个内角，，所对的边分别为，，，且，，. （1）求角的大小； （2）若函数，求该函数的最小正周期和单调递增区间. 29. 如图所示，四边形为圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上一点，，分别为，的中点.求证： （1）平面； （2）平面. 30. 已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，焦距为，直线过椭圆的右焦点，其倾斜角为，直线与椭圆交于，两点，且与向量共线．求： （1）直线的方程； （2）该椭圆的标准方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $