专题02 方程与不等式（4大题型，大题专练）（山东专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题02 方程与不等式 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 一、具体考查形式 近三年山东中考对该热点的考查形式多样，主要分为以下三类： 1. 基础解方程（组）与不等式（组）：通常作为解答题的一部分或填空题出现。主要考查一元一次方程、分式方程、二元一次方程组、一元二次方程、一元一次不等式（组）的解法。 2. 实际应用题：这是高频考点，通常以中档解答题形式出现。背景涉及工程、行程、经济（利润）、采购、古代数学问题（如《九章算术》）等。 3. 方程与函数综合题：常出现在压轴题中，如利用二次函数图象与性质解决一元二次方程根的问题、利用一次函数与不等式解决方案优化问题。 二、命题特点 1. 基础性：考查的方程类型和解法均为课程标准要求的基本内容，不涉及偏、难、怪题。 2. 应用性：高度重视将方程（组）与不等式（组）作为解决实际问题的工具。题目往往背景新颖，需要学生从文字、表格或图象中提取关键信息，建立数学模型。 3. 综合性：常与函数、几何（如勾股定理、面积公式）结合，形成综合题，考查学生知识迁移和综合应用能力。 4. 情境化：越来越注重创设真实的生活情境（如商品打折、施工方案、古代数学）和科技情境（如机器人采购）。 三、核心考查内容与能力要求 1. 核心内容： (1) 方程：一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程、一元二次方程（配方法、公式法、因式分解法）。 (2) 不等式：一元一次不等式（组）的解法及数轴表示。 (3) 判别式与韦达定理：一元二次方程根的判别式（Δ）及根与系数的关系（选学/高频）。 2. 能力要求： (1) 运算能力：能准确、迅速解出各类方程和不等式组。 (2) 模型观念：能将实际问题中的等量关系或不等关系抽象为方程或不等式模型。 (3) 推理能力：能对解的实际意义进行检验（如分式方程增根、一元二次方程根的合理性）。 四、趋势展望 1. 情境化设计更深入：预计2026年中考，实际应用题的背景会更贴近生活热点（如“体重管理年”的健身器材采购）或跨学科知识（如物理、化学中的公式），对学生的阅读理解能力要求更高。 2. 与函数结合更紧密：在压轴题中，方程与不等式的工具性作用会更加凸显，特别是在求最值、存在性问题、参数范围问题时。 3. 注重过程：对解题过程的完整性、逻辑性要求不会降低。 五、备考策略建议 1. 夯实基础，强化解法训练： (1) “五法”过关：确保学生对五种基本方程（一元一次、分式、二元一次、一元二次）和不等式（组）的解法步骤烂熟于心，并能快速、准确完成。 (2) “三关”必破：攻克“分式方程增根关”、“一元二次方程配方关”、“不等式组取解集（数轴表示）关”。 2. 重点攻关实际应用题： (1) “四步法”建模：审题（圈画关键词，找等量/不等关系）→ 设元（合理设未知数）→ 列式→ 求解并检验。进行专项训练，让学生熟悉各类模型（行程、工程、利润、方案选择）。 (2) 积累模型：整理常见应用题的类型，如“增长率问题”、“方案优化问题”、“商品利润问题”等，并总结对应的等量关系式。 3. 提升综合应用能力： (1) 方程与函数：练习用二次函数求最值解决“利润最大”、“用料最省”等问题，理解方程的解与函数图象交点的关系。 (2) 方程与几何：在几何综合题中，利用勾股定理、三角形相似等建立方程求解线段长。 (3) 不等式与方案：训练在方案设计题中，先用不等式确定范围，再结合函数性质或枚举法确定最优方案。 题型01 解方程（组）与不等式（组） 析典例·建模型 1．（2026·山东青岛·一模）解不等式组：． 【答案】 【分析】分别求出每个不等式的解集，即可得出结果． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， ∴不等式组的解集为． 研考点·通技法 考查知识点结合： 一元一次方程、分式方程、二元一次方程组、一元二次方程、一元一次不等式（组） 分式方程： 1. 去分母：找最简公分母，方程两边同乘。 2. 解整式方程：按一元一次方程步骤解。 3. 检验：将解代入最简公分母，若为0，则是增根，应舍去。 一元二次方程： 1. 优先因式分解：→。 2. 其次用公式法： （先算判别式）。 3. 最后用配方法：将方程化为的形式求解。 不等式组： 1. 分别求解：解每个不等式。 2. 画数轴：在数轴上表示解集，注意空心圆圈（不包含）和实心圆点（包含）的区分。 3. 取公共部分：取各解集的交集，即为不等式组的解集。 4. 口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了。 破类题·提能力 2．（2026·山东德州·一模）解不等式组 【答案】 【分析】（1）先对括号内的式子进行化简，再将分式的除法转化为乘法进行化简即可解答本题； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：， ①： 解得， ② 解得， ∴不等式组的解集为． 3．（2026·山东青岛·一模）解不等式组： 【答案】 【详解】解：， 解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为． 4．（2026·山东济南·一模）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】；，， 【分析】先求出每个不等式的解集，再求不等式组的解集，最后写出所有整数解即可． 【详解】解：， 解不等式①， ， 解不等式②， ， 不等式组的解集为． 所有整数解为，，． 题型02 含参方程与不等式 析典例·建模型 1．（2025·山东菏泽·二模）已知关于的一元二次方程．如果此方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的的值，并求此时方程的根． 【答案】， 【分析】本题考查了含特殊角度的三角函数值的混合运算，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 由一元二次方程根的判别式得，化简得，所以，不妨令，则一元二次方程为，解一元二次方程即可． 【详解】解：一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 即， ， ， 不妨令，则一元二次方程为， ， ， 故一元二次方程为的解为． 研考点·通技法 考查知识点结合： 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系；根据解集情况求参数范围 通用思路：“根据条件建立关于参数的不等式或方程”。 关键步骤： 1. 一元二次方程有实根：。 2. 一元二次方程有两个相等实根：。 3. 一元二次方程有两个不等实根：。 4. 不等式组有解：取两个解集的交集不为空集。通常需要数形结合（数轴）分析。 破类题·提能力 2．（2023·山东青岛·一模）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了分式的混合运算，一元二次方程根的判别式，掌握分式的运算法则和一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．根据根的判别式即可求解． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ∴的值为． 3．（2024·山东菏泽·三模）关于的方程有两个相等的实数根，求代数式的值． 【答案】 【分析】根据一元二次方程有两个相等的实数根，得出，进而将分式化简，即可求解． 【详解】解：关于的方程有两个相等的实数根， . 原式. 4．（2024·山东青岛·二模）关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】且． 【分析】根据根的情况列出关于m的不等式，解不等式即可得到答案． 【详解】解：由题意得： ， ， 且． 题型03 方程（组）与不等式（组）的实际应用 析典例·建模型 1．（2025·山东青岛·模拟预测）某产品成本元/千克，据市场调查，若按元/千克销售时，每天可销售千克，且销售单价每降低元，每天就可多销售千克；由于不耐磕碰，所以运输过程中会折损总重量的． (1)当售价为元/千克时，需要拉多少千克该产品才能刚好够卖？ (2)写出销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数关系式 (3)当销售单价（元/千克）定为多少时，每天的利润（元）最大？最大利润多少元？ 【答案】(1)千克 (2) (3)当销售单价为元/千克时，每天的利润最大，最大利润为元 【分析】（1）设需要拉千克该产品才能刚好够卖，则折损后的重量为，根据“售价为元/千克时，每天可销售千克”列出一元一次方程，求解即可； （2）设销售单价为元/千克，则降低了，根据“销售单价每降低元，每天就可多销售千克”可得出与的函数关系式； （3）根据“利润为收入减去成本”，收入为元，成本为运输量的成本（运输量为千克，成本价为元/千克，据此得，然后利用二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：设需要拉千克该产品才能刚好够卖，则折损后的重量为， 依题意，得：， 解得：， 答：当售价为元/千克时，需要拉千克该产品才能刚好够卖 （2）设销售单价为元/千克），则降低了元， 依题意，得：， ∴销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数关系式为； （3）依题意，得：， 整理，得：， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为：（元）， ∴当销售单价为元/千克时，每天的利润最大，最大利润为元． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，列函数关系式，二次函数的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键． 研考点·通技法 考查知识点结合： 1. 行程、工程、利润、采购、分配、古代数学 2. 方案选择、费用或利润最优化 核心公式： 1. 行程问题：路程＝速度×时间。 2. 工程问题：工作量＝工作效率×工作时间。 3. 利润问题：利润＝售价－进价，利润率＝利润÷进价×100%。 4. 增长（下降）率问题：基数×（1±增长率）n＝目标值（n为周期数）。 5. 方案问题：总费用＝甲单价×甲数量＋乙单价×乙数量。 方法技巧： 1. 列表法：梳理题目中复杂的数量关系。 2. 图象法：对于行程、工程问题，可画示意图辅助理解。 3. 设间接未知数：有时设直接未知数解不出，可设与所求问题有关的中间变量。 破类题·提能力 2．（2026·山东济宁·一模）我市为了打造蓼河公园，今年计划改造一片绿化地种植A、B两种景观树．种植3棵A种、4棵B种景观树需要1800元，种植4棵A种、3棵B种景观树需要1700元． (1)种植每棵A种景观树和每棵B种景观树各需要多少元？ (2)今年计划种植A、B两种景观树共400棵，且A种景观树的数量不超过B种景观树数量的3倍，要使总费用最低，这两种景观树各种植多少棵？最低费用为多少元？ 【答案】(1)种植每棵种景观树需要元，每棵种景观树需要元； (2)种植种景观树棵，种景观树棵时总费用最低，最低费用为元． 【分析】（1）设种植每棵A种景观树需要a元，每棵B种景观树需要b元根据题意列方程即可解答； （2）设种植A种景观树x棵，则种植B种景观树棵，根据题意得到y关于x的一次函数，再根据一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：设种植每棵A种景观树需要a元，每棵B种景观树需要b元， 根据题意，得， 解得：， 答：种植每棵A种景观树需要200元，每棵B种景观树需要300元； （2）解：设种植A种景观树x棵，则种植B种景观树棵，总费用为y元 根据题意得：， ∵A种景观树的数量不超过B种景观树数量的3倍， ∴， ∴， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，（元）， ∴种植种景观树棵，种景观树棵时总费用最低，最低费用为元． 3．（2026·山东潍坊·一模）随着电动汽车走进千家万户，电动车充电站成为了日常出行的重要配套设施．某电动车充电站设有快充和慢充两种充电桩，电动车充电时的充电单价由电价和服务费组成，其中电价为元/度． (1)甲公司调查发现，快充桩日使用次数与快充充电单价（元/度）满足：；慢充桩日使用次数与慢充充电单价（元/度）满足；快充桩和慢充桩的平均充电量分别为度/次、度/次．某天，快充充电单价比慢充充电单价多元/度，且一个快充桩与一个慢充桩的充电总量相等，求当日的快充充电单价； (2)乙公司调查发现，在另一独立运营模式下，每个快充桩的日充电量与快充充电单价（元/度）满足：快充充电单价为元/度时，日充电量为度；快充充电单价每降价元/度，日充电量增加度．其中，快充充电单价满足．每个快充桩的日收益日充电量（充电单价电价）．快充充电单价是多少时，每个快充桩的日收益为元？ 【答案】(1) 当日的快充充电单价为元/度 (2) 快充充电单价为元/度或元/度时，每个快充桩的日收益为元 【分析】（1）根据快充和慢充单价的关系得到与的表达式，再结合快充和慢充充电总量相等列分式方程，求解检验后得到结果； （2）先根据题目条件表示出日充电量，再结合日收益的计算公式列一元二次方程，求解后根据的取值范围筛选得到结果． 【详解】（1）解：快充充电单价为元/度，慢充充电单价元/度，快充充电单价比慢充充电单价多元/度， 慢充充电单价为元/度， 根据题意得， 化简得， 方程两边同乘得：， 解得， 检验：当时，， 是原方程的解，且符合题意． 答：当日的快充充电单价为元/度； （2）解：当时，日充电量为度；单价每降价元/度，日充电量增加度， 日充电量为， 根据题意得， 整理得 ， 因式分解得， 解得，， 两个解都满足，均符合题意； 答：快充充电单价为元/度或元/度时，每个快充桩的日收益为元． 4．（2026·山东济宁·一模）随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍． (1)每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？ (2)若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【答案】(1)每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米 (2)购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元 【分析】（1）设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米，根据题意列出，即可得到答案； （2）设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得，解得，设总成本为w元，则，当时，总成本w最低，即可得到答案． 【详解】（1）解：设每台A型机平均每小时清扫x平方米，则每台B型机平均每小时清扫平方米．由题意，得， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， ， 答：每台A型机平均每小时清扫30平方米，每台B型机平均每小时清扫33平方米． （2）解：设购进n台A型机，则购进台B型机．由题意，得， 解得， 设总成本为w元，则， ，， 当时，总成本w最低， 最低成本为:，此时， 答：购买10台A型机，10台B型机，能使总成本最低，总成本最低为50000元． 题型04 方程与函数综合 析典例·建模型 1．（2024·山东济南·模拟预测）【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图像的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为4，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第 　_　象限内的公共点坐标． （2）画出函数图像 ①画函数的图像； ②在同一直角坐标系中直接画出的图像，则的图像可以看成是由的图像向右平移_____________个单位长度得到． （3）研究函数图像：平移直线，观察两函数的图像； ①当直线平移到与函数的图像有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为_________，周长m的值为___________； ②在直线平移的过程中，两函数图像公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长m的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为10的矩形的周长m的取值范围为________． 【答案】（1）一；（2）①见解析过程；②见解析过程，；（3），8；（4）． 【分析】本题是反比例函数的综合题，考查正比例函数的图象和性质、反比例函数的图象和性质，将点的坐标转化为线段的长，利用方程求出所设的参数，进而求出结果是解决此类问题常用的方法． （1）由，，可得在第一象限； （2）①直接画出图象即可；②直接画出图象即可，求出与轴的交点坐标，即可求解； （3）①联立方程组，可求解；②在直线平移过程中，交点个数有：0个、1个、2个三种情况，结合图象可求解； （4）联立方程组，可得，由根的判别式可求解． 【详解】解：（1），都是边长，周长为， ，，， 满足要求的应该是函数与的图象在第一象限内的公共点坐标． 故答案为：一； （2）①的图象如图所示： ②的图象如图所示， 与轴的交点为，， 的图象可以看成是由的图象向右平移个单位长度得到， 故答案为：； （3）①联立方程组可得：， 整理得：， 两图象有唯一交点， △， ， ， 解得：， 交点坐标为， 故答案为：，8； ②由①知：0个交点时，；2个交点时，；1个交点时，； （4）设相邻的两边长为、，则，，即，， 联立方程组可得， 整理得：， 两函数有交点， ， ， 故答案为：． 研考点·通技法 考查知识点结合： 二次函数、一次函数、反比例函数与方程/不等式 通用思路：图象信息→方程/不等式→函数性质 关键步骤： 1. 找交点：函数图象的交点，对应方程组的解。 2. 看高低：图象在上方的函数值大→解不等式。 3. 用性质：利用二次函数的顶点求最值，对应实际问题中的利润最大、成本最小等。 4. 建立函数模型：先根据题意建立一次函数或二次函数关系式，再列方程求解特定值。 破类题·提能力 2．（2026·山东泰安·一模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如…都是“平衡点”． (1)直接写出函数图象上的“平衡点”坐标_______． (2)若二次函数的图象上有且只有一个“平衡点”，且当时，函数的最小值为，最大值为1，求m的取值范围． (3)设关于x的函数的图象上有且只有一个“平衡点”为点A，关于x的函数（n为常数且）的图象上有两个“平衡点”分别为点B，点C，点B在点C的左侧，且，求m，n的值． 【答案】(1)或 (2) (3) 【分析】（1）由新定义即可求解； （2）联立和得：，则①，将代入得：②，得到，再分类求解即可． （3）求出点B、C的坐标分别为：、，由，即可求解． 【详解】（1）解：令得：或1， 故“平衡点”坐标为或； （2）解：联立和得：，即， 则①， 将代入得：②， 联立①②并解得：，， 则， 该函数的对称轴为直线， 当时，，当时，，当时，， 当时，则函数在时取得最小值，在时，取得最大值1， 即， 则； 当时， 抛物线在时取得最大值1，在或m处取得最小值， 即，即， 当时，和关于对称，故也成立， 综上所述：； （3）解：令，则，则， 即，则，即点； 令， 解得：或， 即点B、C的坐标分别为：、， ∵，则， 解得：（不合题意的值已舍去）， 故． 3．（2024·山东青岛·一模）小明、小红和小亮三位同学对问题“关于的方程有实数根，求实数的取值范围”提出了自己的解题思路： ［辨析与解答] 小明说：“只需分类讨论，将方程中的绝对值去掉，讨论关于的一元二次方程根的情况．” 小红说：“用函数思想，设，只须在的取值范围内．” 小亮说：“可以数形结合，把方程两边分别看成关于的函数，利用函数图像解决．” 结合上述解题思路综合考量，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即实数的取值范围是______．请写出你的解题过程． ［应用与拓展] （1）如果关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______． （2）如果关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______． 【答案】［辨析与解答]，过程见解析；［应用与拓展]（1）；（2） 【分析】［辨析与解答] 小明的方法：先将方程中的绝对值去掉，然后根据一元二次方程跟的判别式求解即可； 小红的方法：设，则，即可求解； 小亮的方法：令，，，画出函数图像，利用数形结合的思想即可求解； ［应用与拓展] （1）观察小亮方法中的图像即可求解； （2）令，，画出函数图像，利用数形结合的思想即可求解． 【详解】解∶［辨析与解答] 小明的方法：当时，原方程为，即， ∵方程有实数根， ∴， 解得； 当时，原方程为，即， ∵方程有实数根， ∴， 解得， 综上，； 小红的方法：设， 则， ∴； 小亮的方法：令，， 当与的图像有交点时，方程有实数根， 画出函数图像，如下： 观察图像知，当时，与的图像有交点， ∴当时，方程有实数根； 故答案为：； ［应用与拓展] （1）观察小亮的方法中函数图像知，当时，与的图像有四个不同的交点， ∴当时，方程有四个不同的实数根， 故答案为：； （2）令，， 画出函数图像，如下： 当时，， ∴图中点D坐标为， 观察图像，知当时，，的图像有四个不同的交点， ∴当时，方程有四个不同的实数根， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程跟的判别式，二次函数的图像与性质，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4．（2025·山东泰安·一模）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“平衡”点．例如：点，，，…都是“平衡”点． (1)判断函数的图象上是否存在“平衡”点，若存在，求出其“平衡”点的坐标； (2)若二次函数的图象上有且只有一个“平衡”点． ①求a，c的值； ②若时，函数的最小值为，最大值为，求实数n的取值范围． 【答案】(1)存在， (2)①；② 【分析】本题是二次函数的新定义综合题，考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的性质以及韦达定理等知识，准确理解“平衡”点的含义以及熟练应用二次函数的性质结合图像解题是关键． （1）根据“平衡”点的横坐标与纵坐标互为相反数，可得方程，解方程可得答案； （2）①根据“平衡”点的定义得，由该方程有唯一解，根据韦达定理可求得a，c的值；②当时，，可求当时，函数有最大值为，由关于对称轴对称点为，即时，，即可求解取值范围． 【详解】（1）解：函数的图象上存在“平衡”点， 根据题意， 解得， 故其“平衡”点的坐标为； （2）解：①∵的图像上有且只有一个“平衡”点 即有两个相等实根 由根与系数的关系可得： 解得：； ②∵， ∴二次函数为， 当时，， ∵ ∴对称轴为直线， 当时，函数有最大值为，              由关于对称轴对称点为，即时，， ∴若时，函数的最小值为，最大值为， 则实数n的取值范围是． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 方程与不等式 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 一、具体考查形式 近三年山东中考对该热点的考查形式多样，主要分为以下三类： 1. 基础解方程（组）与不等式（组）：通常作为解答题的一部分或填空题出现。主要考查一元一次方程、分式方程、二元一次方程组、一元二次方程、一元一次不等式（组）的解法。 2. 实际应用题：这是高频考点，通常以中档解答题形式出现。背景涉及工程、行程、经济（利润）、采购、古代数学问题（如《九章算术》）等。 3. 方程与函数综合题：常出现在压轴题中，如利用二次函数图象与性质解决一元二次方程根的问题、利用一次函数与不等式解决方案优化问题。 二、命题特点 1. 基础性：考查的方程类型和解法均为课程标准要求的基本内容，不涉及偏、难、怪题。 2. 应用性：高度重视将方程（组）与不等式（组）作为解决实际问题的工具。题目往往背景新颖，需要学生从文字、表格或图象中提取关键信息，建立数学模型。 3. 综合性：常与函数、几何（如勾股定理、面积公式）结合，形成综合题，考查学生知识迁移和综合应用能力。 4. 情境化：越来越注重创设真实的生活情境（如商品打折、施工方案、古代数学）和科技情境（如机器人采购）。 三、核心考查内容与能力要求 1. 核心内容： (1) 方程：一元一次方程、二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程、一元二次方程（配方法、公式法、因式分解法）。 (2) 不等式：一元一次不等式（组）的解法及数轴表示。 (3) 判别式与韦达定理：一元二次方程根的判别式（Δ）及根与系数的关系（选学/高频）。 2. 能力要求： (1) 运算能力：能准确、迅速解出各类方程和不等式组。 (2) 模型观念：能将实际问题中的等量关系或不等关系抽象为方程或不等式模型。 (3) 推理能力：能对解的实际意义进行检验（如分式方程增根、一元二次方程根的合理性）。 四、趋势展望 1. 情境化设计更深入：预计2026年中考，实际应用题的背景会更贴近生活热点（如“体重管理年”的健身器材采购）或跨学科知识（如物理、化学中的公式），对学生的阅读理解能力要求更高。 2. 与函数结合更紧密：在压轴题中，方程与不等式的工具性作用会更加凸显，特别是在求最值、存在性问题、参数范围问题时。 3. 注重过程：对解题过程的完整性、逻辑性要求不会降低。 五、备考策略建议 1. 夯实基础，强化解法训练： (1) “五法”过关：确保学生对五种基本方程（一元一次、分式、二元一次、一元二次）和不等式（组）的解法步骤烂熟于心，并能快速、准确完成。 (2) “三关”必破：攻克“分式方程增根关”、“一元二次方程配方关”、“不等式组取解集（数轴表示）关”。 2. 重点攻关实际应用题： (1) “四步法”建模：审题（圈画关键词，找等量/不等关系）→ 设元（合理设未知数）→ 列式→ 求解并检验。进行专项训练，让学生熟悉各类模型（行程、工程、利润、方案选择）。 (2) 积累模型：整理常见应用题的类型，如“增长率问题”、“方案优化问题”、“商品利润问题”等，并总结对应的等量关系式。 3. 提升综合应用能力： (1) 方程与函数：练习用二次函数求最值解决“利润最大”、“用料最省”等问题，理解方程的解与函数图象交点的关系。 (2) 方程与几何：在几何综合题中，利用勾股定理、三角形相似等建立方程求解线段长。 (3) 不等式与方案：训练在方案设计题中，先用不等式确定范围，再结合函数性质或枚举法确定最优方案。 题型01 解方程（组）与不等式（组） 析典例·建模型 1．（2026·山东青岛·一模）解不等式组：． 研考点·通技法 考查知识点结合： 一元一次方程、分式方程、二元一次方程组、一元二次方程、一元一次不等式（组） 分式方程： 1. 去分母：找最简公分母，方程两边同乘。 2. 解整式方程：按一元一次方程步骤解。 3. 检验：将解代入最简公分母，若为0，则是增根，应舍去。 一元二次方程： 1. 优先因式分解：→。 2. 其次用公式法： （先算判别式）。 3. 最后用配方法：将方程化为的形式求解。 不等式组： 1. 分别求解：解每个不等式。 2. 画数轴：在数轴上表示解集，注意空心圆圈（不包含）和实心圆点（包含）的区分。 3. 取公共部分：取各解集的交集，即为不等式组的解集。 4. 口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了。 破类题·提能力 2．（2026·山东德州·一模）解不等式组 3．（2026·山东青岛·一模）解不等式组： 4．（2026·山东济南·一模）解不等式组：，并写出它的所有整数解． 题型02 含参方程与不等式 析典例·建模型 1．（2025·山东菏泽·二模）已知关于的一元二次方程．如果此方程有两个不相等的实数根，写出一个满足条件的的值，并求此时方程的根． 研考点·通技法 考查知识点结合： 一元二次方程根的判别式、根与系数的关系；根据解集情况求参数范围 通用思路：“根据条件建立关于参数的不等式或方程”。 关键步骤： 1. 一元二次方程有实根：。 2. 一元二次方程有两个相等实根：。 3. 一元二次方程有两个不等实根：。 4. 不等式组有解：取两个解集的交集不为空集。通常需要数形结合（数轴）分析。 破类题·提能力 2．（2023·山东青岛·一模）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，求的值． 3．（2024·山东菏泽·三模）关于的方程有两个相等的实数根，求代数式的值． 4．（2024·山东青岛·二模）关于的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 题型03 方程（组）与不等式（组）的实际应用 析典例·建模型 1．（2025·山东青岛·模拟预测）某产品成本元/千克，据市场调查，若按元/千克销售时，每天可销售千克，且销售单价每降低元，每天就可多销售千克；由于不耐磕碰，所以运输过程中会折损总重量的． (1)当售价为元/千克时，需要拉多少千克该产品才能刚好够卖？ (2)写出销售量（千克）与销售单价（元/千克）之间的函数关系式 (3)当销售单价（元/千克）定为多少时，每天的利润（元）最大？最大利润多少元？ 研考点·通技法 考查知识点结合： 1. 行程、工程、利润、采购、分配、古代数学 2. 方案选择、费用或利润最优化 核心公式： 1. 行程问题：路程＝速度×时间。 2. 工程问题：工作量＝工作效率×工作时间。 3. 利润问题：利润＝售价－进价，利润率＝利润÷进价×100%。 4. 增长（下降）率问题：基数×（1±增长率）n＝目标值（n为周期数）。 5. 方案问题：总费用＝甲单价×甲数量＋乙单价×乙数量。 方法技巧： 1. 列表法：梳理题目中复杂的数量关系。 2. 图象法：对于行程、工程问题，可画示意图辅助理解。 3. 设间接未知数：有时设直接未知数解不出，可设与所求问题有关的中间变量。 破类题·提能力 2．（2026·山东济宁·一模）我市为了打造蓼河公园，今年计划改造一片绿化地种植A、B两种景观树．种植3棵A种、4棵B种景观树需要1800元，种植4棵A种、3棵B种景观树需要1700元． (1)种植每棵A种景观树和每棵B种景观树各需要多少元？ (2)今年计划种植A、B两种景观树共400棵，且A种景观树的数量不超过B种景观树数量的3倍，要使总费用最低，这两种景观树各种植多少棵？最低费用为多少元？ 3．（2026·山东潍坊·一模）随着电动汽车走进千家万户，电动车充电站成为了日常出行的重要配套设施．某电动车充电站设有快充和慢充两种充电桩，电动车充电时的充电单价由电价和服务费组成，其中电价为元/度． (1)甲公司调查发现，快充桩日使用次数与快充充电单价（元/度）满足：；慢充桩日使用次数与慢充充电单价（元/度）满足；快充桩和慢充桩的平均充电量分别为度/次、度/次．某天，快充充电单价比慢充充电单价多元/度，且一个快充桩与一个慢充桩的充电总量相等，求当日的快充充电单价； (2)乙公司调查发现，在另一独立运营模式下，每个快充桩的日充电量与快充充电单价（元/度）满足：快充充电单价为元/度时，日充电量为度；快充充电单价每降价元/度，日充电量增加度．其中，快充充电单价满足．每个快充桩的日收益日充电量（充电单价电价）．快充充电单价是多少时，每个快充桩的日收益为元？ 4．（2026·山东济宁·一模）随着智能家居的发展，清洁机器人越来越多地进入家庭，某物业公司欲购进A，B两种型号的清洁机器人，每台A型机比每台B型机平均每小时少清扫3平方米，一台A型机清扫60平方米所用时间是一台B型机清扫33平方米所用时间的2倍． (1)每台A型机和每台B型机平均每小时分别清扫多少平方米？ (2)若物业公司共购进20台机器人，A型机器人2000元/台，B型机器人3000元/台．公司要求这批机器人每小时至少清扫630平方米楼道，那么该公司如何购买A型和B型机器人，才能使总成本最低？并求出最低成本． 题型04 方程与函数综合 析典例·建模型 1．（2024·山东济南·模拟预测）【发现问题】 小明在学习过程中发现：周长为定值的矩形中面积最大的是正方形．那么，面积为定值的矩形中，其周长的取值范围如何呢？ 【解决问题】 小明尝试从函数图像的角度进行探究： （1）建立函数模型 设一矩形的面积为4，周长为，相邻的两边长为、，则，，即，，那么满足要求的应该是函数与的图象在第 　_　象限内的公共点坐标． （2）画出函数图像 ①画函数的图像； ②在同一直角坐标系中直接画出的图像，则的图像可以看成是由的图像向右平移_____________个单位长度得到． （3）研究函数图像：平移直线，观察两函数的图像； ①当直线平移到与函数的图像有唯一公共点的位置时，公共点的坐标为_________，周长m的值为___________； ②在直线平移的过程中，两函数图像公共点的个数还有什么情况？请直接写出公共点的个数及对应周长m的取值范围． 【结论运用】 （4）面积为10的矩形的周长m的取值范围为________． 研考点·通技法 考查知识点结合： 二次函数、一次函数、反比例函数与方程/不等式 通用思路：图象信息→方程/不等式→函数性质 关键步骤： 1. 找交点：函数图象的交点，对应方程组的解。 2. 看高低：图象在上方的函数值大→解不等式。 3. 用性质：利用二次函数的顶点求最值，对应实际问题中的利润最大、成本最小等。 4. 建立函数模型：先根据题意建立一次函数或二次函数关系式，再列方程求解特定值。 破类题·提能力 2．（2026·山东泰安·一模）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标相等，则称该点为“平衡点”．例如…都是“平衡点”． (1)直接写出函数图象上的“平衡点”坐标_______． (2)若二次函数的图象上有且只有一个“平衡点”，且当时，函数的最小值为，最大值为1，求m的取值范围． (3)设关于x的函数的图象上有且只有一个“平衡点”为点A，关于x的函数（n为常数且）的图象上有两个“平衡点”分别为点B，点C，点B在点C的左侧，且，求m，n的值． 3．（2024·山东青岛·一模）小明、小红和小亮三位同学对问题“关于的方程有实数根，求实数的取值范围”提出了自己的解题思路： ［辨析与解答] 小明说：“只需分类讨论，将方程中的绝对值去掉，讨论关于的一元二次方程根的情况．” 小红说：“用函数思想，设，只须在的取值范围内．” 小亮说：“可以数形结合，把方程两边分别看成关于的函数，利用函数图像解决．” 结合上述解题思路综合考量，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即实数的取值范围是______．请写出你的解题过程． ［应用与拓展] （1）如果关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______． （2）如果关于的方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是______． 4．（2025·山东泰安·一模）在平面直角坐标系中，如果点P的横坐标和纵坐标互为相反数，则称点P为“平衡”点．例如：点，，，…都是“平衡”点． (1)判断函数的图象上是否存在“平衡”点，若存在，求出其“平衡”点的坐标； (2)若二次函数的图象上有且只有一个“平衡”点． ①求a，c的值； ②若时，函数的最小值为，最大值为，求实数n的取值范围． / 学科网（北京）股份有限公司 $