精品解析：2026年山东省春季高考第三次模拟考试数学试题（滕州科圣中等职业学校等）

2026年山东省春季高考第三次模拟考试 数学试题 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟，考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题 共60分） 一、选择题：本大题20小题，每题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并涂在答题卡上. 1. 已知集合，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据元素与集合、集合与集合的关系逐一分析选项. 【详解】选项A：因为，所以，A选项错误； 选项B：因为满足，所以，B选项错误； 选项C：集合中的元素，故集合不是的子集，C选项错误； 选项D：集合中的元素，所以，D选项正确， 故选：D. 2. 下列复平面内的向量，可以表示复数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合复数的几何意义即可得解. 【详解】复数，在复平面对应点的坐标为， 所以，故只能D选项图象可以表示复数. 故选：. 3. 已知直线的斜率是2且过点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线的斜截式方程求解即可. 【详解】由题意可知该直线在轴上的截距是4，且直线的斜率是2， 由斜截式方程可得，即. 故选：A. 4. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式的性质和充要条件的定义可得结果. 【详解】因为， 又，， 所以， 即“”是“”的充要条件. 故选：C 5. 已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次函数的图象结合一元二次方程的根即可求解. 【详解】由二次函数的图像知， 方程的两根为，且， 不等式的解集是. 故选：A. 6. 已知奇函数的定义域为，当时，，则下列坐标表示的点在函数图像上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意求出，结合奇函数的性质求出即可得解. 【详解】奇函数的定义域为，当时，， 当时，，函数过点，故错误； 因为该函数是奇函数，所以，则函数过点，故正确，错误， 故选：C. 7. 若函数的图像如图所示，则的图像大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一次函数的图像确定的范围，再由对数函数的图像形状即可解答. 【详解】由函数的图像可知，直线与 轴的交点在 上方， 说明当 时，， 所以函数是增函数，且过定点， 选项D符合题意，选项ABC均不正确. 故选：D. 8. 在中，，是线段上的动点，设点到的距离为的面积为，则关于的函数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形面积公式即可列出函数关系式. 【详解】解：如图 由三角形面积公式得：. . 故选：B. 9. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得弦长等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据点斜式方程以及点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由题意可知圆心为，半径为， 倾斜角为，则斜率， 直线为，即， 则圆心到直线的距离为， 则弦长为. 故选：B. 10. 已知向量，，若，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】向量，则，则. 故选：C. 11. 某中职学校有名学生，为考查学生的审美水平和人文素养，从全校中随机抽取部分学生进行检测并评分，现把每位同学的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在内的频率为 C. 估计全校学生在内的人数是 D. 估计评分超过分的学生人数为 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率分布直方图中频率，概率的计算，代入求解即可. 【详解】由图可知， 解得，故选项A错误， 在内的频率为，故选项B错误， 估计全校学生在内的人数是，故选项C正确， 估计评分超过80分的学生人数为，故选项D错误. 故选：C. 12. 在的二项展开式中，二项式系数最大的项的项数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 5或7 【答案】B 【解析】 【分析】利用二项展开式中，二项式系数的增减性与最值即可得解. 【详解】因为在的二项展开式中， 当n为偶数时，中间一项的二项式系数取最大值； 当n为奇数时，中间的两项的二项式系数值相等，且同时取得最大值； 而的展开式有11项，所以其二项式系数最大的项的项数是6. 故选：B. 13. 已知角的终边经过点，则与角终边相同的角的集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意求出，得出在内，，利用终边相同的角的定义即可得解. 【详解】因为角的终边经过点，, 则在内，， 则与角终边相同的角的集合， 故选：. 14. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分类讨论和的情况，结合真数大于零及一元二次不等式恒成立的问题即可得解. 【详解】由题意知，的解集为， 当时，，恒成立，满足题意； 当时，，即，解得， 综上所述，实数的取值范围是， 故选：. 15. 已知，那么用a表示是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据对数的定义，结合对数的运算性质即可得解. 【详解】因为，则， 所以， 故选：. 16. 函数的最大值和最小正周期分别是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角公式及辅助角公式化简函数解析式，结合正弦型函数的性质即可得解. 【详解】， 所以该函数的最大值是，最小正周期是， 故选：. 17. 要安排3名学生到2个乡村做志愿者，若每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法种数是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】将3名学生分成两个组，再将2组学生安排到2个村即可得解. 【详解】第一步，将3名学生分成两个组，有种分法， 第二步，将2组学生安排到2个村，有种安排方法， 所以，不同的安排方法共有种. 故选：. 18. 已知随机变量服从正态分布，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义可求解. 【详解】因为随机变量服从正态分布，且， 所以. 故选：A 19. 若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意结合椭圆的几何性质得出，利用得出，代入离心率公式即可得解. 【详解】 由题意可知椭圆的一个焦点、短轴的一个顶点和原点构成了等腰直角三角形，则， 所以，， 则该椭圆的离心率， 故选：A. 20. 如图所示，在正四面体中，点，分别是，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与平面所成的角为 C. 直线 D. 平面平面 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合线面垂直的判定定理及性质，面面垂直的判定定理逐项判断即可得解. 【详解】 在正四面体中，取点为中点，连接， 可知，，，平面， 则平面，平面，所以，则与所成的角为，故选项A错误； 如图所示，令交于点，连接，在正四面体中，平面， 则与平面所成的角为， 设正四面体的棱长为， 则，， 所以直线与平面所成的角不是，故选项错误； 因为，直线不垂直于，直线不垂直于，则选项C错误； 因为平面，平面，所以平面平面，故选项正确， 故选：. 卷二（非选择题 共60分） 二、填空题：本大题5小题，每题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上. 21. 已知，为单位向量，其夹角为，则__________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意结合平面向量的运算律即可得解. 【详解】已知，为单位向量，其夹角为， 则， 故答案为：. 22. 已知圆锥状铁块，底面半径为1，高为4，将其熔化铸成铁球（不计损耗），则铁球的半径是__________. 【答案】1 【解析】 【分析】根据圆锥和球的体积公式求解. 【详解】设铁球的半径为， 由题意，，， 所以，解得. 故答案为：1. 23. 已知函数，则该函数取得最大值时自变量的取值集合是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦函数的最值求解即可. 【详解】当，即时，函数取得最大值3. 故答案为：. 24. 今有北乡有8100人，西乡有7500人，南乡有6900人，现需要从这三乡中抽300人服劳役，若按分层抽样的方法，则北乡被抽到的人数是__________. 【答案】108 【解析】 【分析】根据题意求出抽取的比例，结合分层抽样的定义即可得解. 【详解】抽取的比例是， 所以北乡需要抽的人数是， 故答案为：. 25. 已知椭圆和双曲线，若椭圆与双曲线的离心率之积为，则该双曲线的渐近线方程是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合椭圆及双曲线性质得出离心率分别为，，代入得出即可得解. 【详解】设椭圆和双曲线的离心率分别为，， 则，， 所以， 即， 所以双曲线的渐近线方程为， 故答案为：. 三、解答题：本大题5小题，共40分.请写出文字说明、证明过程或演算步骤. 26. 已知奇函数的定义域是，当时，函数的图像如图所示. （1）求函数的解析式； （2）判断并证明：当时，函数的单调性. 【答案】（1） （2）当时，函数是增函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）设当时，，再将图像过点代入求出的值，再由奇函数的定义即可得出时的函数解析式. （2）根据函数的单调性的定义证明即可. 【小问1详解】 设当时，，过点， 则，解得，则， 当，，则， 因为函数是奇函数，所以， 所以， 所以函数的解析式是. 【小问2详解】 当时，函数是增函数，证明如下： 在上任取两个不相等的实数，， ，， 则， 所以当时，函数是增函数. 27. 在各项为正数的等比数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前20项和. 【答案】（1） （2）690 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合等比数列的概念，先求得等比数列的首项和公比，即可求得数列的通项公式； （2）根据题意，结合数列的通项公式，先表示出数列的通项公式，继而判断数列是等差数列，结合等差数列的前n项和公式，即可求解. 【小问1详解】 由题意，设等比数列的公比为， 因为，， 所以，解得，， 所以数列的通项公式. 【小问2详解】 由得， 所以，， 所以数列是首项为6，公差为3的等差数列， 所以该数列的前20项和为， 所以数列的前20项和为690. 28. 在中，已知，，.求： （1）的值； （2）的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可求解； （2）根据同角三角函数基本关系及二倍角公式，求出和，再利用两角和的正弦公式可得结果. 【小问1详解】 在中，由正弦定理可得 ，则； 【小问2详解】 因为，则，即角为锐角， 所以， ， ， 所以 . 29. 如图所示，在直三棱柱中，已知是等腰直角三角形，，，点是的中点， （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）设与的交点为，连接，再由线面平行的判定定理证明即可. （2）首先由异面成角的概念得出直线与所成角就是直线与所成角，即，再由线面垂直的判定定理得出平面，得出，证出是等边三角形即可解答. 【小问1详解】 设与的交点为，连接， 因为是的中点，是的中点， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为， 则直线与所成角就是直线与所成角，即， 因为是等腰直角三角形，是的中点， 所以，且， 因为，所以， 在中，，则， 在直三棱柱中，平面，平面， 则，因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 是的中点，所以，所以， 则是等边三角形，所以， 所以异面直线与所成角是.余弦值为. 30. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点是圆的圆心，且点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆相交于，两点，若，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合圆的标准方程求得圆心坐标，继而求得椭圆的右顶点坐标，即可求得的值，结合点的坐标，即可求得b的值，继而求得椭圆的标准方程； （2）将直线方程与椭圆的标准方程联立方程组，结合韦达定理，向量垂直的坐标表示，及一元二次方程根的判别式，即可求解. 【小问1详解】 因为圆的圆心是， 即椭圆的右顶点为，所以， 又点在椭圆上，所以， 因此椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意，设，， 联立方程组，化简整理得，（*） 由根与系数的关系得，， 所以 ， 因为，，， 则，即， 解得， 方程（*）的判别式是 ， 当时， ，符合题意， 综上所述，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山东省春季高考第三次模拟考试 数学试题 本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分，满分120分，考试时间120分钟，考生请在答题卡上答题，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 卷一（选择题 共60分） 一、选择题：本大题20小题，每题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并涂在答题卡上. 1. 已知集合，则下列关系式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列复平面内的向量，可以表示复数的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线的斜率是2且过点，则直线的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 设，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知二次函数的图象如图所示，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 6. 已知奇函数的定义域为，当时，，则下列坐标表示的点在函数图像上的是（ ） A. B. C. D. 7. 若函数的图像如图所示，则的图像大致是（ ） A. B. C. D. 8. 在中，，是线段上的动点，设点到的距离为的面积为，则关于的函数是（ ） A. B. C. D. 9. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得弦长等于（ ） A. B. C. D. 2 10. 已知向量，，若，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 某中职学校有名学生，为考查学生的审美水平和人文素养，从全校中随机抽取部分学生进行检测并评分，现把每位同学的分数进行统计，得到如图所示的频率分布直方图，则下列结论正确的是（ ） A. B. 在内的频率为 C. 估计全校学生在内的人数是 D. 估计评分超过分的学生人数为 12. 在的二项展开式中，二项式系数最大的项的项数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 5或7 13. 已知角的终边经过点，则与角终边相同的角的集合是（ ） A. B. C. D. 14. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 15. 已知，那么用a表示是（ ） A. B. C. D. 16. 函数的最大值和最小正周期分别是（ ） A. B. C. D. 17. 要安排3名学生到2个乡村做志愿者，若每名学生只能选择去一个村，每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法种数是（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 18. 已知随机变量服从正态分布，，则等于（ ） A. B. C. D. 19. 若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点，则椭圆的离心率是（ ） A. B. C. D. 20. 如图所示，在正四面体中，点，分别是，的中点，则下列结论正确的是（ ） A. 直线与所成的角为 B. 直线与平面所成的角为 C. 直线 D. 平面平面 卷二（非选择题 共60分） 二、填空题：本大题5小题，每题4分，共20分.请将答案填在答题卡相应题号的横线上. 21. 已知，为单位向量，其夹角为，则__________. 22. 已知圆锥状铁块，底面半径为1，高为4，将其熔化铸成铁球（不计损耗），则铁球的半径是__________. 23. 已知函数，则该函数取得最大值时自变量的取值集合是__________. 24. 今有北乡有8100人，西乡有7500人，南乡有6900人，现需要从这三乡中抽300人服劳役，若按分层抽样的方法，则北乡被抽到的人数是__________. 25. 已知椭圆和双曲线，若椭圆与双曲线的离心率之积为，则该双曲线的渐近线方程是__________. 三、解答题：本大题5小题，共40分.请写出文字说明、证明过程或演算步骤. 26. 已知奇函数的定义域是，当时，函数的图像如图所示. （1）求函数的解析式； （2）判断并证明：当时，函数的单调性. 27. 在各项为正数的等比数列中，，. （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前20项和. 28. 在中，已知，，.求： （1）的值； （2）的值. 29. 如图所示，在直三棱柱中，已知是等腰直角三角形，，，点是的中点， （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值. 30. 在平面直角坐标系中，已知椭圆的右顶点是圆的圆心，且点在椭圆上. （1）求椭圆的标准方程； （2）直线与椭圆相交于，两点，若，求实数的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $