专题07 函数综合探究类问题4大题型（大题专练）（北京专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题07 函数综合探究类问题 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 2024年：一次函数图象的平行与位置关系。 利用数形结合思想。若 y = x + n 的图象在 y = kx + b 上方，需分析两直线的位置关系来锁定 n 的范围。2025年：函数基础（一次函数） · 题目背景：情境与一次函数的实际应用相关。 核心考点：聚焦一次函数的性质与应用。具体可能包括：利用待定系数法求解析式、判断函数图象上的点、分析系数特征等。 命题趋势： 1、真实情境深度融合。 2、模型观念与应用意识成核心素养 试题着重考查“用数学的语言表达现实世界”的能力。 3、函数综合题固定“中档”定位. 2026年预测：1. 强化建模能力：多训练从科技、文化、生活情境中抽象函数模型 2. 巩固一次函数基础：待定系数法、图象性质必须100%熟练 3. 注重实际意义理解：如函数值比较可以转化为图象位置关系分析 4. 关注跨学科融合趋势：2026年可能出现与物理、经济等领域结合的函数应用题。 题型01 一次函数平移相关 析典例·建模型 1．（2025·北京密云·一模）在平面直角坐标系中，函数的图像由函数的图像平移得到，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【来源】2025年北京市密云区中考一模数学试卷 【详解】（1）解：∵函数的图像由函数的图像平移得到 ∴， 又∵平移后的直线经过点， ∴将点代入直线， 可得，解得； （2）由题意，结合（1）可得为，在同一坐标系中画出，的图像，如下图所示， 对于直线，令，可得，即， 对于直线，令，可得，即， 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值． 若，取（），则，，如时，，不满足条件，故；同时需满足． 当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值． 若，取（），则，，如时，，不满足条件，故． ∴结合图像可知，的取值范围为． 研考点·通技法 1. 回归点平移法：如果记不清公式，就取原直线上的任意一点（比如与 y 轴交点 (0, b)），按题目要求平移这个点，再用新点和新斜率（平移不改变斜率 k）求出解析式。这个方法最稳妥。 2. 注意“平移直线”与“平移坐标轴”的区别：北京中考极少考坐标轴平移。如果遇到“坐标轴向上平移”，实际等于直线向下平移，要把“上加下减”反过来用。 3. 见“沿 x 轴翻折”：这是对称变换，不是平移。沿 x 轴翻折后，y 变为 -y，新解析式为 y = -kx - b。 破类题·提能力 2．（2025·北京首都师大附中育鸿学校·零模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到． (1)求该一次函数的解析式； (2)对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值且小于的值，直接写出m和n的取值范围． 【答案】(1) (2)， 【来源】2025年北京市首都师范大学附属中学育鸿学校中考数学零模数学试卷（3月） 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到， ∴． （2）解：∵对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值且小于的值， ∴函数的图象在的图象和的图象之间， ∵的图象和的图象平行，且与y轴交点分别为和0， ∴，． 3．（2022·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象由函数的图象向下平移4个单位长度得到． (1)求这个一次函数的解析式； (2)一次函数的图象与x轴的交点为A，函数的图象与一次函数的图象的交点为B，记线段OA，AB，BO围成的区域（不含边界）为W，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若区域W内恰有2个整点，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【来源】2022年北京市丰台区九年级数学二模试题 【分析】（1）根据平移的规律写出解析式即可； （2）先求出A点的坐标，再根据题意，找出符合题意的整数点，进行求解即可． 【详解】（1）一次函数的图象由函数的图象向下平移4个单位长度得到， 这个一次函数的解析式； （2）区域W内恰有2个整点，这两个整点为K（2，-1）和T（1，-1），如图： 当函数的图象过T（1，-1）时，， 当函数的图象过W（1，-2）时，， ∵区域W内不含边界， ∴由图可得区域W内恰有2个整点，m的取值范围是． 【点睛】本题考查了一次函数图象平移的规律（左加右减，上加下减），一次函数的图象和性质，熟练掌握知识点并正确理解题意是解题的关键． 4．（2023·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图像由函数的图像平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【来源】2023年北京市石景山区中考一模数学试题 【分析】（1）根据平移得到，再将，代入解析式即可得解； （2）根据题意，可得时直线在直线的下方，利用图像法求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图像由函数的图像平移得到， ∴． ∵一次函数的图像经过点， ∴． ∴． ∴这个一次函数的解析式为． （2）解：由题意，得：时直线在直线的下方， 如图：当直线在之间时，满足题意： 当与平行时，， 当过点时：， ∴当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值． 【点睛】本题考查一次函数的综合应用．熟练掌握一次函数图像的平移，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键． 5．（2025·北京怀柔·一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象由正比例函数的图象向上平移2个单位长度得到． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，正比例函数的值小于一次函数的值，直接写出a的取值范围． 【答案】(1)y＝x＋2 (2)-1≤a＜0或0＜a≤1． 【详解】（1）解：∵一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象向上平移2个单位长度得到． ∴k＝1，b＝2， ∴这个一次函数的解析式为y＝x＋2； （2）把x＝−1代入y＝x＋2，得y＝1， 把点（−1，1）代入y＝ax，得a＝−1． ∵当x＞−1时，对于x的每一个值，正比例函数y＝ax（a≠0）的值小于一次函数y＝kx＋b（k≠0）的值， ∴a的取值范围是-1≤a＜0或0＜a≤1． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，熟知一次函数的性质是解题的关键． 题型02 一次函数求解析式 析典例·建模型 6．（2026·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【来源】北京平谷区2026年初中学业水平考试综合练习（一）数学试卷 【详解】（1）解：∵函数与的图象交于点， ∴，解得； （2）解：∵， ∴两个一次函数的解析式分别为，， ∵要使得当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， ∴即当时，直线的图象在直线和直线的上方，则画出图象为： 由图象得，当时，的图象永远在的上方，那么只要当时，在的上方即可， 结合图象，可知当直线与直线平行时符合题意，此时或者时也符合题意， ∴m的取值范围为． 研考点·通技法 1. 已知两点坐标（最基础） 2. 已知图像 3. 已知平行或垂直关系 4. 已知与坐标轴围成的面积。两点坐标代公式，平行 k 同垂直积，面积记得加绝对，交点令 x 与 y 零。 破类题·提能力 7．（2026·北京第二十中学·模拟）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． (1)求该函数的表达式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于，直接写出的取值范围． 【答案】(1)函数的表达式为，点的坐标为 (2)的取值范围为 【来源】北京市第二十中学2026年4月中考数学模拟试题 【分析】（1）利用待定系数法求解函数表达式即可，由时，得出点的坐标； （2）由题干条件，分别求出满足情况下的的取值范围，取公共部分，即可得出结果． 【详解】（1）解：将点、代入， 得，解得， ∴该函数的表达式为， 过点且平行于轴的直线为直线， 当时，得， ∴点， 故函数的表达式为，点的坐标为． （2）解：由题意得， 所以：， 当时，， 又∵， ∴，不等式组无解， 当时，， 又∵， ∴，解得， 又∵，结合，解得， ∴结合，得，解得， 综上所述，的取值范围为． 8．（2025·北京·中考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，与直线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)该函数的解析式为，点； (2)的取值范围为． 【来源】2025年北京市初中学业水平考试数学试卷（白卷） 【详解】（1）解：将，两点代入得， ， 解得， ∴该函数的解析式为， 当时，， ∴点； （2）解：把代入，得， ∴把点代入，得， 解得， ∴， 如图， 当时，函数的值大于的值， ∴的取值范围为． 9．（2025·北京石景山京源学校·零模）在平面直角坐标系中，函数的图象过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【来源】2025年北京市石景山区京源学校九年级中考数学零模试卷 【详解】（1）解：∵函数的图象过点和， ， 解得：， ∴直线解析式为：， ∵函数的图象与过点且平行于x轴的直线交于点C，且当时，， ． （2）解：如图， 当时，， 当直线过点时，， 当直线与直线平行时，， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于的值， ． 10．（2026·北京第八中学·零模）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【详解】（1）解：∵函数与的图象交于点， ∴， 解得：； （2）由（1）得：，， 如图，记， 当时，，即在的图象上， 当过时，， 要满足当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，即函数与的交点在点及点左侧， 即， 如图，当函数的图象平行函数的图象时，， 此时满足：当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值， 综上：当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，的取值范围为：且． 题型03 求参数取值范围 析典例·建模型 11．（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求该一次函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于且小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：把点，代入中， 得， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：由题意，在同一坐标系中画出直线，如下． 由题意，当时，， 则，故． 又∵当时，， ∴令，则，故． ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于且小于一次函数的值， ∴． 研考点·通技法 1. 把含参直线化为 y = k(x - a) + b 形式，找出它恒过的定点。 2. 画出线段，将动直线绕定点旋转（想象一根固定点的棍子转动）。 3. 计算直线经过线段两个端点时的临界参数值。 4. 根据旋转方向（从左到右，或从下到上）确定范围，留意取等号（端点算交点）。 破类题·提能力 12．（2025·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象过点和点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值且大于，求n的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：把和代入到中得， 解得； （2）解：由（1）得函数的解析式为 ∵在中，， ∴在中，y随x增大而减小， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值都大于， ∴当时，， ∴； 当时，解得， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值， ∴， ∴， 综上所述，． 13．（2025·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：由题意得，将代入， 则， 解得：， 再将代入， 则， 解得：； （2）解：由（1）得， 可得，当， ∴， 当直线经过时，， 解得：； 当直线经过时，， 解得：， ∴当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4， 由图象可得：． 14．（2025·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，函数和函数的图象相交于点． (1)当时，求点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：当时，函数，． 联立方程组， 解得， ∴点的坐标为． （2）解：联立， ∴， 解得（ ）． 当时，的值都大于的值，且当时，若两函数值相等，则 ， 解得． 又∵当时，在的下方，且两个图象相交于点． ∴要大于， ∴． 15．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由的图象平移得到，且经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)已知一次函数，当时，对于的每一个值都有，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【详解】（1）解：一次函数的图象是由的图象平移得到， ， 把点代入可得， 解得， 所以一次函数的表达式为 （2）解：设， 当时，， 把代入，可得，解得， 当时，对于的每一个值都有， 即当时，对于的每一个值都有， 结合图象可得且． 题型04 一次函数与反比例函数综合 析典例·建模型 16．（2024·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，正比例函数的图象和反比例函数 的图象都经过点． (1)求该正比例函数和反比例函数的解析式； (2)当时， 对于x的每一个值， 函数的值都大于反比例函数 的值，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：正比例函数的图象和反比例函数的图象都经过点， ，， 正比例函数解析式为：；反比例函数解析式为：； （2）当时，，， 当时，对于的每一个值，函数的值都大于反比例函数的值， ， 解得． 研考点·通技法 1. 找交点：联立解 x 2. 画数轴：标出交点、原点，分三段 3. 看上下：代一个简单数（如 x=1 或 x=-1）判断每段谁大。 破类题·提能力 17．（2025·北京燕山·二模）在平面直角坐标系中，一次函数(k＞0)与反比例函数(m≠0)的图象交于点A(1，6)和点B． (1)若点B(－6，－1)，求该一次函数和反比例函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数(m≠0)的值大于一次函数(k＞0)的值，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)． (2) 【详解】（1）解：将点A(1，6)，B(－6，－1)的坐标分别代入中， 得 解得 ∴一次函数的解析式． 将点A(1，6)的坐标代入中， 得m＝6， ∴反比例函数的解析式． （2）解：由点A(1，6)在一次函数和反比例函数的图像上， ∴，， 令， ∴； ∴，， ∵当时，对于的每一个值，不等式都成立， ∴， ∴； 18．（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数（m≠0）的图象的一个交点的横坐标为1． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)当x＜﹣3时，对于x的每一个值，反比例函数y=的值大于一次函数的值，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：把x=1代入一次函数解析式中得． ∴一次函数图象和反比例函数图象的交点是． 把代入反比例函数解析式中得． ∴m=6． ∴反比例函数的解析式为． （2）解：∵当x＜﹣3时，对于x的每一个值，反比例函数y=的值大于一次函数的值， ∴当x＜﹣3时，反比例函数y=的最小值大于一次函数的最大值． ∴把x=-3代入反比例函数解析式中得，把x=-3代入一次函数中得． ∴当x＜﹣3时，反比例函数的取值范围是大于-2，且小于0，一次函数的取值范围是大于． ∴． ∴． 19．（2026·北京交大附中·一模）一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数的图象相交于A(2，3)，B(6，n)两点 （1）求一次函数的解析式 （2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求的值 【答案】（1）一次函数y=，（2）． 【详解】解：（1）∵反比例函数的图象过A(2，3)， ∴m=6, ∴6n=6， ∴n=1， ∴B（6,1） 一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数的图象相交于A(2，3)，B(6，1)两点， ∴， 解得， 一次函数y=， （2）直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，得y=， 当y=0时，，，当x=0时，y=-4， ∴M（-8，0），N（0，-4）， ， 消去y得， 解得， 解得，， ∴P(-6,-1),Q(-2,-3), 在Rt△MON中， ∴MN=, ∴PQ=， ∴． 20．（2026·北京三帆中学·零模）已知点，在直线上，反比例函数的图象经过点． (1)求m和k的值； (2)平行于x轴的直线交线段AC于点E，与反比例函数的图象交于点F，若，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【来源】北京市三帆中学2026年中考零模试题 数学 【分析】（1）根据待定系数法即可解答； （2）求得点的坐标，求得时，的值，再根据图象即可解答． 【详解】（1）解：把点，代入， 可得， 解得， 把代入， 可得， 解得； （2）解：由（1）可得直线解析式为，反比例函数解析式为， 如图，根据题意可得 ， 根据，可得， ， 根据，可得， ， ， 当时，解得，，，（舍）， 根据图象可得若时，或． 破类题·提能力 （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求抛物线的对称轴和c的值（用含m的式子表示）； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N（M，N不重合）． ①若，，求的长； ②已知在点P从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小，求m的取值范围． 【答案】(1)抛物线的对称轴为直线， (2)①；②或 【来源】2026年北京市大兴区中考一模考试数学试题 【详解】（1）解：抛物线经过点， ，且抛物线的对称轴为直线， ； （2）解：①若，， 则点，抛物线为，直线为， 过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N， 又， 点M的坐标为，点N的坐标为， ； ②抛物线为，直线为， M，N不重合， 当M在N的上方时， ， ， 的长在直线左侧随的增大而减小， 又点从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小， ，即， 且当时，有， 解得， 故无解； 当M在N的下方时， ， ， 的长在直线右侧随的增大而减小， 又点从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小， ，即， 且当时，有， 解得或， 综上或． 2．（2026·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象交y轴于点A，函数的图象经过点A与点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【来源】北京市丰台区2026年中考一模考试数学试题 【分析】（1）先求出点，然后再用待定系数法求出k，b的值； （2）由题意可知，当时，的图象在上方，在下方，设与分别交于两点，当与平行时，满足题意，此时，交于点；当与的交点在之间（包括端点时），满足题意，结合，即可得出答案． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴， ∵函数的图象经过点与点， ∴， ∴； （2）解：当时，函数的表达式为， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值， ∴当时，的图象在上方，在下方， 当时，； 当时，； 不妨设， 当与平行时，画出图形如下： 从图象可知，此时满足“的图象在上方，在下方，”，此时，的表达式为， 当时，，设点， 如图，当与的交点在之间（包括端点时），满足题意， 当时，， ∴， 又， ∴或． 3．（2026·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，函数的图像经过点，反比例函数的图像经过点． (1)求m，n的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出k的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【来源】2026年北京市顺义区九年级一模数学试卷 【分析】（1）把点代入可求得m的值，将点代入可求n的值；利用待定系数法即可求解； （2）求得直线经过点时的解析式，求得此直线必过，以及反比例函数为过，再利用数形结合思想即可求解． 【详解】（1）解：∵函数的图像经过点， ∴ ； ∵反比例函数的图像经过点 ∴，即； （2）解：当时， ， 即 必过 由（1）可知：，即反比例函数为：， 当时，， 即， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值， ∴，即． 当，函数与函数在上，有交点，不符合题意， ∴． 4．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点 (1)求和的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【来源】2026年北京市大兴区中考一模考试数学试题 【分析】（1）把点的坐标分别代入两个解析式求出和的值； （2）由（1）可知函数的解析式为，函数的解析式为，函数的解析式为，当时，若要函数的值大于函数的值，则有，若要函数的值小于函数的值，则要，从而可得的取值范围． 【详解】（1）解：把代入， 可得：， 解得：； 把代入， 可得：， 解得：； （2）解：由（1）可知，， 函数的解析式为，函数的解析式为，函数的解析式为， ， ， 当时，若， 可得：， 解得：， ． 5．（2026·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【来源】北京市石景山区2026年九年级统一练习（一模）数学 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由（1）可得，结合题意可得，再分情况讨论即可得出结果． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点和点， ∴， 解得：； （2）解：由（1）可得， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴， ∴， 当，即时，，不满足当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，故不符合题意； 当，即时，此时函数的图象与函数的图象平行，且在函数图象的下方，故满足当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，符合题意； 当，即时，， ∵当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，的取值范围为． 6．（2026·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，函数（）的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数（）的值既小于函数的值，也大于0，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【来源】2026年北京市朝阳区中考一模考试数学试题 【分析】（1）将和代入函数解析式，得到关于、的方程组，解方程组即可求出、的值． （2）先求出第（1）问中的具体解析式，然后根据当时，，分类讨论即可． 【详解】（1）将交点和代入，得， 解得． ∴，． （2）由(1)得原函数为， 根据题意，当时，不等式组 ，对所有恒成立； ∵， ∴， 当时，， 要对所有成立，得​； ∵， ∴， 若，左边随增大而增大，当足够大时，，不满足恒成立； 若，恒成立，满足要求． 综上，的取值范围是． 7．（2026·北京西城德胜中学·中考模拟）在平面直角坐标系中，一次函数的图像由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，又大于函数的值且差不小于2，直接写出n的取值范围． 【答案】(1) (2)且 【来源】北京市西城区德胜中学2025--2026学年第二学期九年级数学3月中考模拟试题 【分析】（1）根据直线的平移和直线上的点求直线解析式； （2）由题意可得，然后利用不等式的性质解不等式求得n的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点， ∴，解得， ∴． （2）解：由（1）得：，， 由题意可得：当时， 由题意可得：， 由①得：，由可得，要使不等式恒成立，需，即； 由②得，由可得，要使不等式恒成立，需，即； 由③得，即，由可得，要使不等式恒成立，需，即． 综上，且． 8．（2026·北京通州·一模）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点，． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【来源】北京市通州区2026年初中学业水平模拟考试（一模）数学 【分析】（1）运用待定系数法即可求解； （2）根据（1）得到函数解析式，结合图形即可得到取值范围． 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，， 当时，， 将代入得， 当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于的值，如图所示， ． 9．（2026·北京昌平·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【来源】北京市昌平区2026年九年级第一次统一练习 数学试卷 【分析】（1）将已知点和代入函数中，得到一个关于和的方程组，然后解这个方程组即可． （2）根据（1）求出和的表达式，然后列出不等式组，再结合求解的取值范围． 【详解】（1）解：将点和代入， 得方程组：． 解得，． （2）解：由（1）可知，， 所以，， 因为当时，且， 所以可得不等式组，即， 解不等式： 因为，要使其恒成立，则必有时，， 所以，解得； 解不等式： 因为，要使其恒成立，则必有时，， 所以，解得， 综上可得． 10．（2026·北京西城·统一测试）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)的值为，的值为 (2)且 【来源】2026年北京市西城区九年级统一测试试卷 数学 【分析】（1）利用待定系数法即可求得的值； （2）分成当，两种情况进行分析即可． 【详解】（1）解：∵函数的图象过点和， ， 解得，即， ∴的值为，的值为． （2）解：由上可得函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， ∵，， ∴和的函数是从左到右为下降的直线， 当时，不等式需对所有成立， 整理得， 要使该不等式对任意大的正数都成立，则的系数必须非负，即， 解得， 结合，得． 当时，将代入和中， 即，， ∵函数的值既大于函数的值，也大于函数的值， ∴将代入时，， 即， 解得：， 综上可得：且． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 函数综合探究类问题 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 2024年：一次函数图象的平行与位置关系。 利用数形结合思想。若 y = x + n 的图象在 y = kx + b 上方，需分析两直线的位置关系来锁定 n 的范围。2025年：函数基础（一次函数） · 题目背景：情境与一次函数的实际应用相关。 核心考点：聚焦一次函数的性质与应用。具体可能包括：利用待定系数法求解析式、判断函数图象上的点、分析系数特征等。 命题趋势： 1、真实情境深度融合。 2、模型观念与应用意识成核心素养 试题着重考查“用数学的语言表达现实世界”的能力。 3、函数综合题固定“中档”定位. 2026年预测：1. 强化建模能力：多训练从科技、文化、生活情境中抽象函数模型 2. 巩固一次函数基础：待定系数法、图象性质必须100%熟练 3. 注重实际意义理解：如函数值比较可以转化为图象位置关系分析 4. 关注跨学科融合趋势：2026年可能出现与物理、经济等领域结合的函数应用题。 题型01 一次函数平移相关 析典例·建模型 1．（2025·北京密云·一模）在平面直角坐标系中，函数的图像由函数的图像平移得到，且经过点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 研考点·通技法 1. 回归点平移法：如果记不清公式，就取原直线上的任意一点（比如与 y 轴交点 (0, b)），按题目要求平移这个点，再用新点和新斜率（平移不改变斜率 k）求出解析式。这个方法最稳妥。 2. 注意“平移直线”与“平移坐标轴”的区别：北京中考极少考坐标轴平移。如果遇到“坐标轴向上平移”，实际等于直线向下平移，要把“上加下减”反过来用。 3. 见“沿 x 轴翻折”：这是对称变换，不是平移。沿 x 轴翻折后，y 变为 -y，新解析式为 y = -kx - b。 破类题·提能力 2．（2025·北京首都师大附中育鸿学校·零模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象向下平移1个单位得到． (1)求该一次函数的解析式； (2)对于x的每一个值，函数的值都大于一次函数的值且小于的值，直接写出m和n的取值范围． 3．（2022·北京丰台·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象由函数的图象向下平移4个单位长度得到． (1)求这个一次函数的解析式； (2)一次函数的图象与x轴的交点为A，函数的图象与一次函数的图象的交点为B，记线段OA，AB，BO围成的区域（不含边界）为W，横、纵坐标都是整数的点叫做整点，若区域W内恰有2个整点，直接写出m的取值范围． 4．（2023·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，一次函数的图像由函数的图像平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 5．（2025·北京怀柔·一模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象由正比例函数的图象向上平移2个单位长度得到． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，正比例函数的值小于一次函数的值，直接写出a的取值范围． 题型02 一次函数求解析式 析典例·建模型 6．（2026·北京平谷·一模）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 研考点·通技法 1. 已知两点坐标（最基础） 2. 已知图像 3. 已知平行或垂直关系 4. 已知与坐标轴围成的面积。两点坐标代公式，平行 k 同垂直积，面积记得加绝对，交点令 x 与 y 零。 破类题·提能力 7．（2026·北京第二十中学·模拟）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和，与过点且平行于轴的直线交于点． (1)求该函数的表达式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值且大于，直接写出的取值范围． 8．（2025·北京·中考）在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴，轴交于，两点，与直线交于点． (1)求该函数的解析式及点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于的值，直接写出的取值范围． 9．（2025·北京石景山京源学校·零模）在平面直角坐标系中，函数的图象过点和，与过点且平行于x轴的直线交于点C． (1)求该函数的解析式及点C的坐标； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值小于的值，直接写出m的取值范围． 10．（2026·北京第八中学·零模）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 题型03 求参数取值范围 析典例·建模型 11．（2025·北京大兴·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，． (1)求该一次函数的表达式； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于且小于一次函数的值，直接写出的取值范围． 研考点·通技法 1. 把含参直线化为 y = k(x - a) + b 形式，找出它恒过的定点。 2. 画出线段，将动直线绕定点旋转（想象一根固定点的棍子转动）。 3. 计算直线经过线段两个端点时的临界参数值。 4. 根据旋转方向（从左到右，或从下到上）确定范围，留意取等号（端点算交点）。 破类题·提能力 12．（2025·北京石景山·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象过点和点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值都小于的值且大于，求n的取值范围． 13．（2025·北京顺义·二模）在平面直角坐标系中，函数的图象与函数的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于4，直接写出的取值范围． 14．（2025·北京西城·二模）在平面直角坐标系中，函数和函数的图象相交于点． (1)当时，求点的坐标； (2)当时，对于的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出的取值范围． 15．（2025·北京昌平·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是由的图象平移得到，且经过点． (1)求一次函数的表达式； (2)已知一次函数，当时，对于的每一个值都有，直接写出的取值范围． 题型04 一次函数与反比例函数综合 析典例·建模型 16．（2024·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，正比例函数的图象和反比例函数 的图象都经过点． (1)求该正比例函数和反比例函数的解析式； (2)当时， 对于x的每一个值， 函数的值都大于反比例函数 的值，直接写出n的取值范围． 研考点·通技法 1. 找交点：联立解 x 2. 画数轴：标出交点、原点，分三段 3. 看上下：代一个简单数（如 x=1 或 x=-1）判断每段谁大。 破类题·提能力 17．（2025·北京燕山·二模）在平面直角坐标系中，一次函数(k＞0)与反比例函数(m≠0)的图象交于点A(1，6)和点B． (1)若点B(－6，－1)，求该一次函数和反比例函数的解析式； (2)当时，对于的每一个值，函数(m≠0)的值大于一次函数(k＞0)的值，直接写出k的取值范围． 18．（2025·北京海淀·二模）在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数（m≠0）的图象的一个交点的横坐标为1． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)当x＜﹣3时，对于x的每一个值，反比例函数y=的值大于一次函数的值，直接写出k的取值范围． 19．（2026·北京交大附中·一模）一次函数y=kx+b（k≠0）的图像与反比例函数的图象相交于A(2，3)，B(6，n)两点 （1）求一次函数的解析式 （2）将直线AB沿y轴向下平移8个单位后得到直线l，l与两坐标轴分别相交于M，N，与反比例函数的图象相交于点P，Q，求的值 20．（2026·北京三帆中学·零模）已知点，在直线上，反比例函数的图象经过点． (1)求m和k的值； (2)平行于x轴的直线交线段AC于点E，与反比例函数的图象交于点F，若，直接写出n的取值范围． 破类题·提能力 （建议用时：45分钟） 刷模拟 1．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求抛物线的对称轴和c的值（用含m的式子表示）； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N（M，N不重合）． ①若，，求的长； ②已知在点P从点运动到点的过程中，的长随t的增大而减小，求m的取值范围． 2．（2026·北京丰台·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象交y轴于点A，函数的图象经过点A与点． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出m的取值范围． 3．（2026·北京顺义·一模）在平面直角坐标系中，函数的图像经过点，反比例函数的图像经过点． (1)求m，n的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值都大于函数的值，直接写出k的取值范围． 4．（2026·北京大兴·一模）在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点 (1)求和的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值且小于函数的值，直接写出的取值范围． 5．（2026·北京石景山·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，直接写出的取值范围． 6．（2026·北京朝阳·一模）在平面直角坐标系中，函数（）的图象与轴交于点，与轴交于点． (1)求，的值； (2)当时，对于的每一个值，函数（）的值既小于函数的值，也大于0，直接写出的取值范围． 7．（2026·北京西城德胜中学·中考模拟）在平面直角坐标系中，一次函数的图像由函数的图象平移得到，且经过点． (1)求这个一次函数的解析式； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，又大于函数的值且差不小于2，直接写出n的取值范围． 8．（2026·北京通州·一模）在平面直角坐标系xOy中，函数的图象经过点，． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于的值，直接写出m的取值范围． 9．（2026·北京昌平·一模）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值小于函数的值，且大于函数的值，直接写出的取值范围． 10．（2026·北京西城·统一测试）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值既大于函数的值，也大于函数的值，直接写出的取值范围． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $