专题04 利用函数解决实际问题4大题型（大题专练）（北京专用）2026年中考数学终极冲刺讲练测

专题04 利用函数解决实际问题 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 2024年 “用数学和AI软件设计水杯”的科技活动 从文字中抽象出变量关系，构建合理的函数模型解决实际问题。 2025年 制造业中“工艺品制作培训”的实际问题（体现“磨刀不误砍柴工”） 分析变量关系，构建函数模型，解释和优化生产管理中的现象。 命题趋势：1. 强化“翻译”能力（最核心） 2. 掌握“存在性/任意性”解题模板3. 扩展函数模型储备 确保熟练掌握以下三类函数的实际应用：· 一次函数：方案选择、行程问题、费用优化 · 二次函数：利润最大化、抛物线形建筑（拱桥、隧道）。分段函数：阶梯电价、出租车计费、邮费计算 4. 专项训练“综合题分层作答”。 2026年预测：· “存在性”问题：是否存在某方案使目标达到要求，转化为方程有解、交点存在 。“任意性”问题：无论变量如何变化，条件恒成立 ， 转化为最值不等式 ·。决策类问题：在限定条件下选择最优方案 ，比较函数值或最值。 题型01一次函数相关实际问题 析典例·建模型 1．（2026·北京朝阳·一模）小明帮助家长进行理财分析，他发现在一定时期内，有三种投资方案可供选择，从投资当日起，第天时，选择方案一、方案二、方案三当天所得回报分别为，，（单位：元），部分数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 … 10 10 10 10 10 10 10 10 … 1 11 16 21 26 31 36 … 0.5 1.1 2.4 5.1 10.6 21.7 44 88.7 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与，与之间的关系．在平面直角坐标系中，分别描出每个方案中各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑的曲线连接，方案一、方案二对应的曲线，如图所示： (1)表中的值为________； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出方案三对应的曲线； (3)根据以上信息，解决下列问题： ①要使前4天的投资总回报最高，应选择方案________；（填写“一”“二”或“三”） ②可以推断，从第________天开始，选择方案三的投资总回报超过同时选择方案一与方案二的投资总回报之和． 【答案】(1)6 (2)见解析 (3)①一；②9 【来源】2026年北京市朝阳区中考一模考试数学试题 【详解】（1）解：由图象可得，是关于x的一次函数， ∴设解析式为 当， ∴ 解得 ∴， ∴当时，； （2）解：如图，曲线即为所求； （3）解：①前4天方案一的投资总回报：（元）； 前4天方案二的投资总回报：（元）； 前4天方案三的投资总回报：（元）， 因为， 故选方案一； ②第八天，方案一的投资总回报为：（元）； 方案二的投资总回报为（元）， 则方案一、方案二的投资总回报为（元）； 方案三的投资总回报为（元）， 此时； 第九天方案一的投资总回报为：（元）； 方案二的投资总回报为（元）， 则第九天方案一、方案二的投资总回报为（元）； 对于方案三的数据，可发现后一天的数据大概是前一天数据的两倍，则第九天投资回报约为元， 那么第九天方案三的投资总回报约为（元）， 因为 故第九天开始选择方案三的投资总回报超过同时选择方案一与方案二的投资总回报之和． 研考点·通技法 1分段函数是重点：收费、邮费问题常需分段。关键是找准分段点，每段内分别写出一次函数，并注意自变量范围。2 不要丢“定义域”：实际问题中，x往往有隐含限制（如人数为整数、时间非负）。答案必须根据定义域来写。 3 利用“不等关系”：看到“不超过”、“至少”等字眼，立刻想到用 ≤ 或 ≥ 列出不等式。 4先列式再代入：复杂的题不要急于求数值，先列出含参数的代数式，往往能简化运算。 破类题·提能力 2．（2026·北京通州·一模）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在、两种不同的场景下做对比实验，分别收集了试剂挥发过程中剩余质量（克）和（克）与时间（分钟）（）的部分数据： （分钟） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 （克） 21.0 20.5 19.5 18.0 16.0 13.5 10.5 7.0 3.0 （克） 21.0 18.5 16.0 13.5 11.0 8.5 3.5 1.0 经研究发现，可以分别用函数刻画，与之间的关系．场景下试剂挥发过程中的剩余质量与时间近似满足函数关系：，与近似满足一次函数关系，图象如图所示． (1)写出表中的值：______，并在给定的平面直角坐标系中画出场景下试剂挥发过程中的剩余质量（克）与时间（分钟）的函数图象； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在场景下，剩余质量随时间减少的变化趋势是（    ）； A．匀速变化            B．先快后慢            C．先慢后快 ②查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为克．在上述实验中，该化学试剂在场景______（填“”或“”）下发挥作用的时间更长． (3)当时，两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第______分钟． 【答案】(1)，图见解析 (2)C； (3) 【来源】北京市通州区2026年初中学业水平模拟考试（一模）数学 【详解】（1）解：与近似满足一次函数关系，观察表格数据可知，时间每增加分钟时，剩余质量减少克， ； （克）与时间（分钟）的函数图象如图所示； （2）解：观察图象可知，在场景下，剩余质量随时间减少的变化趋势是先慢后快； 由表格可知，当时，（克）；（克）； 而该化学试剂发挥作用的最低质量为克，故该化学试剂在场景下发挥作用的时间更长． （3）解：将点和代入中得， ，解得， ； 设与的函数关系式为， 将点和代入得， ，解得， ， ， ， 抛物线开口向下， 当分钟时，取最大值，最大值为克， 即两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第分钟． 3．（2025·北京海淀·二模）某科技社团正在研发一款智能巡检机器人，用于校园内自动巡检与数据采集．该机器人机械手臂的手腕部分为合金材质．第一实验小组承担了研制这种合金材料的任务，他们利用金属和制作出了合金，利用金属和制作出了合金．在制作过程中，质量损失忽略不计，两种合金的硬度均与其所含金属的质量百分比有关．当合金中所含金属的质量百分比为时，同学们分别记录了在一定实验条件下合金的硬度（单位：）和合金的硬度（单位：），部分数据如下表： 10 20 30 40 50 60 70 80 90 合金M的硬度 55 60 65 75 80 85 90 95 合金的硬度 62 68 72 74 75 73 71 66 59 根据数据可以发现，与之间近似满足一次函数的关系，也可以用函数刻画与之间的关系． (1)补全表格； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)第一实验小组准备了金属，全部用于制作合金和合金，根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①两种合金中金属的质量均为，则合金与合金的硬度差约为___________（结果保留整数）； ②经研究发现，在此实验条件下，温度每升高，合金的硬度会下降．若将制作好的合金的温度提高，可使得两种合金的硬度相同，则合金中的金属的质量约为___________（结果保留整数）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①6；②30 【来源】2025年北京市海淀区中考二模数学试卷 - 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）利用待定系数法求出与的函数关系式，再求出时，的值即可； （2）先描点，再连线，画出函数图象即可； （3）①根据函数图象求解即可；②温度不发生变化时，合金N的硬度比合金M的硬度高，由表格中的数据可知，当时，合金N的硬度为，当时，合金M的硬度为，据此可得答案． 【详解】（1）解：设， 把代入到中得：， ∴， ∴， 在中，当时，， 补全表格如下： 10 20 30 40 50 60 70 80 90 合金M的硬度 55 60 65 70 75 80 85 90 95 合金的硬度/HRC 62 68 72 74 75 73 71 66 59 （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：①由函数图象可知，两种合金中金属的质量均为，则合金与合金的硬度差约为； ②∵温度每升高，合金的硬度会下降．若将制作好的合金的温度提高，可使得两种合金的硬度相同， ∴温度不发生变化时，合金N的硬度比合金M的硬度高， 由表格中的数据可知，当时，合金N的硬度为，当时，合金M的硬度为， ∴合金N中的金属C的质量约为时，刚好满足题意． 4．（2025·北京门头沟·一模）某科研团队正在研究一种新型材料，他们首先在实验室内记录了该种材料的导电性（单位：西门子/米，）与温度x（单位：）之间的数据．但考虑到不同环境会影响材料的导电性，他们又在室外进行了一次实验，记录了室外的导电性（单位：西门子/米，）与温度x（单位：）之间的数据，部分数据如下： x 0 10 20 30 40 50 y1 0.6 a 2.2 3.0 3.8 4.6 y2 0.8 1.7 2.3 2.8 3.1 3.3 (1)补全表格中 ．（结果保留小数点后一位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ① 该种材料在温度为 时（结果保留整数），室内外的导电性相同，此时的导电性为 （结果保留小数点后一位）； ② 当温度达到 时（结果保留整数），室内外的导电性相差． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①23，2.4；②10或28 【来源】2025年北京市门头中考数学一模试卷 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，数形结合是解答本题的关键． （1）根据温度每增加，导电性能增加求解即可； （2）用描点法画出图象即可； （3）①先求出与x，与x之间的函数解析式，由可求解； ②分两种情况进行计算即可． 【详解】（1）解：由题意得：温度每增加，导电性能增加， ∴， 故答案为：； （2）如图， （3）由函数图象得：与x成一次函数关系，与x成二次函数关系， 设， 由题意，得， 解得， ∴． 设， 由题意，得， 解得， ∴， ①由题意，得， 整理，得， 解得（舍去） 把代入，得． ∴该种材料在温度为时，室内外的导电性相同，此时的导电性为， 故答案为：23，2.4； ②当室内导电性比室外导电性高时， 由题意，得， 整理，得， 解得（舍去）， 当室外导电性比室内导电性高时，由表格知，此时温度为， 故答案为：10或28． 5．（2025·北京三帆中学·三模）有圆柱形1号瓶和圆台型2号瓶，两瓶不同形状的蜂蜜，每次舀出相同体积用来做蜂蜜水，记录水面的高度；当1号瓶和2号瓶舀出相同蜂蜜时，小云分别记录了1号瓶中剩余蜂蜜液面高度（单位：）和2号瓶中剩余蜂蜜液面高度单位：），部分数据如下： 0 100 200 300 350 400 500 12.5 10.0 7.5 5.0 2.5 0 11.8 10.7 9.2 7.0 5.6 4.1 0 (1)补全表格：______（结果保留一位小数）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号瓶和2号瓶中都有蜂蜜时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为_____（结果保留一位小数）； ②当高度下降到时，_____瓶剩余的蜂蜜多． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②1号 【来源】 北京理工大学附属中学2024—2025学年下学期九年级中考数学模拟练习 【分析】（1）判断出和是一次函数关系，设，待定系数法求出，然后将代入求解即可； （2）描点，连线即可； （3）①首先求出舀出的体积为，然后带入，然后估算出，进而求解即可； ②根据题意求出，，然后结合图象求解即可． 【详解】（1）解：由表格可得，和是一次函数关系 ∴设 ∴将，代入得， 解得 ∴ ∴将代入得，； 故答案为：3.8 （2）如图所示， （3）①当1号瓶和2号瓶中都有蜂蜜时， ∴舀出的体积为 ∴将代入 由图象得，当时， ∴ ∴2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为； 故答案为：2.3 ②当高度下降到时， ∴， ∴由图象可得，1号瓶舀出的蜂蜜比2号瓶舀出的蜂蜜少 ∴1号瓶剩余的蜂蜜比2号瓶剩余的蜂蜜多． 故答案为：1号 题型02 反比例函数相关实际问题 析典例·建模型 6．（2026·北京交大附中·零模）不同香料香气的强烈程度（简称香气强度）随时间呈现不同的变化规律，调香师利用这些规律调制出各具特色的香水．某小组计划利用函数研究甲、乙、丙三种香料的香气强度变化情况，将等质量的三种香料分别放置在相同条件的外部环境中，设实验过程中，香料放置时间为时，甲、乙、丙香料的香气强度分别为，记录部分实验数据如下： 0 20 40 60 80 100 120 … 5 2.03 1.14 0.53 0.27 0.09 0.06 … 3 2.03 1.44 1.05 0.76 0.54 0.38 … 1 0.94 0.88 0.82 0.76 0.70 0.64 … (1)在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，已描出表中所对应的部分点，请画出函数的图象： (2)根据函数图象，当放置时，甲香料的香气强度约为___________，丙香料的香气强度约为___________；（结果均保留一位小数） (3)查阅文献可知，用多种香料调制成的香水，多数人可以识别出当前时刻香气强度最大的香料，而对其他香料的香气感受不明显，称可以识别出的香料在当前时刻起主要作用．用等质量的甲、乙、丙三种香料共同调制为一款香水放置，忽略香料互相之间的影响，结合函数图象，解决问题： ①当放置时，该时刻起主要作用的香料为___________；（填“甲”“乙”或“丙”） ②若总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料为___________（填“甲”“乙”或“丙”），该香料起主要作用的时长为___________． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)①丙；②乙，60 【来源】北京市海淀区北京交通大学附属中学2025-2026学年九年级下学期中考零模数学试题 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）解：由图可知： 当放置时，甲香料的香气强度约为；丙香料的香气强度约为； （3）解：①由图象可知，当放置时，该时刻起主要作用的香料为丙； ②由图象可知，总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料是乙，该香料起主要作用的时长为． 研考点·通技法 1. 找定积：寻找题中哪两个量的 乘积是固定不变的。 · 常见模型：工作效率 × 时间 = 工作总量、速度 × 时间 = 路程、底 × 高 = 面积、单价 × 数量 = 总价 2. 设函数：设解析式为 y = k/x 或 xy = k，再用一组对应值求k。 3. 定范围：根据实际意义确定自变量取值范围（如时间、长度必须为正）。 4. 解问题：代入求值、比较大小或分析增减趋势。 破类题·提能力 7．（2025·北京通州·一模）在某项目式学习中，甲、乙两小组分别研究在不同条件下某物质的质量随时间的变化情况．设实验时间为分钟，甲、乙两小组研究的该物质的质量分别为克、克，其中，与的几组对应值如下表： 0 5 10 15 20 24 25 23.5 20 14.5 7 0 25 20 15 10 5 1 (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系，且与之间满足某种特殊的变化规律： ①在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； ②直接写出与之间的函数表达式是_____； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当实验时间为7.5分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量的差约为_____克（结果保留小数点后一位）； ②随着实验的进行，当时，实验时间约为_____分钟（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1)①见解析；② (2)①5.0；②22.5 【来源】2025年北京市通州区中考数学一模试题 【分析】本题考查一次函数的应用． （1）①描点并连线即可；②利用待定系数法解答即可； （2）①根据图象，计算当时对应两函数值之差即可；②根据图象，当时对应x的值即为所求． 【详解】（1）解：①描点并连线如图所示： ②∵与x之间的函数图象是一条直线， ∴与x之间是一次函数的关系， 设与x之间的函数表达式是（k、b为常数，且）， 将坐标和分别代入， 得， 解得， ∴与x之间的函数表达式是； （2）解：①当实验时间为7.5分钟时，结合（1）函数图象，甲、乙两小组所研究的该物质的质量的差约为克， 故答案为：5.0； ②随着实验的进行，当时，结合（1）函数图象，实验时间约为22.5分钟． 故答案为：22.5． 8．（25-26九下·北京四中·学情自测）某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度20℃下加热水箱中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热水箱中的水至80℃时，加热停止；当水箱中的水温下降到20℃时，再次自动加热，…，按照以上方式不断循环． 小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温y是时间x的函数，其中y（单位：℃）表示水箱中水的温度．x（单位：min）表示接通电源后的时间． 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）下表记录了32min内14个时间点的温控水箱中水的温度y随时间x的变化情况 接通电源后的时间x（单位：min） 0 1 2 3 4 5 8 10 16 18 20 21 24 32 … 水箱中水的温度y（单位：℃） 20 35 50 65 80 64 40 32 20 m 80 64 40 20 … m的值为 ； （2）①当0≤x≤4时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ； 当4＜x≤16时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ； ②如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当0≤x≤32时，温度y随时间x变化的函数图象： （3）如果水温y随时间x的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源 min． 【答案】（1）50；（2）①y=15x+20，y=；②图象见解析；（3）56. 【详解】（1）由题意可知2分钟温度上升30℃，所以m=50， 故答案为50． （2）①当0≤x≤4时，函数解析式是一次函数，y=15x+20． ②当4＜x≤16时，函数解析式是反比例函数y=． 故答案为y=15x+20，y=． （3）函数图象如图所示， （4）观察图象可知预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源56min． 故答案为56． 9．（2024·北京海淀·一模）阅读下列材料： 实验数据显示，一般成人喝250毫升低度白酒后，其血液中酒精含量(毫克/百毫升)随时间的增加逐步增高达到峰值，之后血液中酒精含量随时间的增加逐渐降低． 小明根据相关数据和学习函数的经验，对血液中酒精含量随时间变化的规律进行了探究，发现血液中酒精含量y是时间x的函数，其中y表示血液中酒精含量(毫克/百毫升)，x表示饮酒后的时间(小时)． 下表记录了6小时内11个时间点血液中酒精含量y(毫克/百毫升)随饮酒后的时间x(小时)(x＞0)的变化情况． 饮酒后的时间x(小时) … 1 2 3 4 5 6 … 血液中酒精含量y (毫克/百毫升) … 150 200 150 45 … 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)如图，在平面直角坐标系xOy中，以上表中各对数值为坐标描点，图中已给出部分点，请你描出剩余的点，画出血液中酒精含量y随时间x变化的函数图象； (2)观察表中数据及图象可发现此函数图象在直线x＝两侧可以用不同的函数表达式表示，请你任选其中一部分写出表达式； (3)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完250毫升低度白酒，第二天早上6：30能否驾车去上班？请说明理由． 【答案】(1) 见解析；(2)y＝－200x2＋400x或y＝；(3)不能． 【详解】试题分析：（1）利用描点法画出函数图象即可； （2）利用待定系数法即可解决问题； （3）把y=20代入反比例函数y＝得x=11.25．喝完酒经过11.25小时为早上7：15，即早上7：15以后血液中的酒精含量小于或等于20毫克/百毫升．由此即可判断. 试题解析：（1）图象如图所示． （2）y=-200x2+400x（0＜x≤）或y＝（x＞）． （3）把y=20代入反比例函数y＝得x=11.25． ∴喝完酒经过11.25小时为早上7：15． ∴第二天早上7：15以后才可以驾驶，6：30不能驾车去上班． 10．（2025·北京西城·二模）【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体． (1)若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为_______N． (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的重力变化时，的长度随之变化．设重物的重力为 ，的长度为．则： ①关于的函数解析式是____________． ②完成下表： … 10 20 30 40 50 … … 8 a      2 b … _______；______． ③在图的直角坐标系中画出该函数的图象． 【答案】(1) (2) ①； ②，； ③见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴重物所受拉力为， 故答案为：． （2）解：①∵， ∴，即， 故答案：， ②由①得：当时，； 当时，， 答案：，． ③函数图象如图所示： 题型03 二次函数相关实际问题 析典例·建模型 11．（2026·北京海淀·一模）竹编是我国历史悠久的经典传统手工艺，并成功入选国家级非物质文化遗产名录．竹编以竹篾为原料，采用平编、绞编等传统技法，编织成各类实用器具与工艺精品． 为提升生产效率，某竹编工厂引入机器人作业，将平编与绞编两项技法编写为计算机程序．已知一件产品只采用一种编织技法，机器人每完成一件产品后，便会从头开始执行程序编织下一件产品，直至完成全部生产任务．记平编或绞编的编织时间为，平编的编织面积为（单位：），绞编的编织面积为（单位：），部分数据如下： 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 … 0 1.2 2.4 m 4.8 6.0 7.2 … 0 0.8 2.0 3.8 6.2 9.0 12.0 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与t，与t之间的关系，其中与t的关系可以近似用正比例函数刻画． (1)表中m的值为______（结果保留小数点后一位）； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出与t，与t的函数图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决以下问题： ①两台机器人分别用平编和绞编各编织一个面积为的产品，若它们同时开始编织，则它们完成产品所用的时间相差______； ②该工厂接到一批补购订单，需要平编产品200件，绞编产品100件，且每件产品的面积都为．开始时机器人A编织平编产品，机器人B编织绞编产品，工作一段时间后，机器人B出现故障无法工作．机器人A完成所有平编产品后，调整为绞编程序，接着机器人B的进度完成剩余的绞编产品．当编织完所有产品时，机器人A编织的总面积为．若生产两件产品之间的时间间隔忽略不计，则机器人B出现故障前大约工作了______（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；② 【来源】2026年北京市海淀区九年级一模数学试卷 【详解】（1）解：∵与t的关系可以近似用正比例函数刻画， ∴设， 将代入解析式可得， 解得：， ∴与t的关系式为， 当时，， ∴； （2）解：画出与t，与t的函数图象如图所示： （3）解：①观察图象可得与满足二次函数关系，设， 将，，代入解析式可得， 解得：， ∴与的关系式为， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：（负值不符合题意，舍去）或， ∴它们完成产品所用的时间相差； ②由题意可得：平编产品总面积为， 绞编产品总面积为， ∵当编织完所有产品时，机器人A编织的总面积为， ∴机器人B编织的总面积为， ， 即机器人B编织了45件，又编制了， 根据图象可得：机器人B编织需要的时间约为，编制需要，即机器人B编织1件产品需要， 故机器人B出现故障前大约工作了． 研考点·通技法 1. 利润模型：销量随价格线性变化（难点在于读题找关系） 2. 抛物线模型：拱桥、隧道、喷泉（建立适当坐标系） 3. 面积模型：靠墙、靠墙角、中间隔板 4. 含参问题：参数在解析式或范围里，分类讨论对称轴位置 破类题·提能力 12．（2025·北京丰台·二模）某小组设计了一款自动浇花装置，小组同学调节浇花装置出水管，使其沿水平方向．水滴从出水点水平喷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．从水滴离开出水点到落地点的过程中，水滴距离地面的竖直高度为（单位：），水平距离为（单位：），建立如图1所示的平面直角坐标系． a．通过仪器测量，小组同学记录了水滴离开出水点后的运动时间为（单位：）时的多组数据，其中几组数据如下： 时间 0 0.10 0.20 0.30 水平距离 0 0.10 0.20 0.30 竖直高度 h 0.75 0.60 0.35 b．小组同学通过学习知道，水滴运动时，水平距离与时间的关系为（为水滴离开出水点时的速度，单位） 根据以上信息，解决下列问题： (1)的值是______； (2)的值是______，水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过______； (3)将如图2所示的一个高为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心在图1所示的轴上，且．若该装置可以调节出水点的高度（出水管保持水平），要使水滴运动时恰好经过花盆顶端中心（不考虑其他因素），则需要将出水点向______（填“上”或“下”）平移______． 【答案】(1)1； (2)0.8，0.4； (3)上，0.2 【来源】2025年北京市丰台区九年级中考二模数学试卷 【详解】（1）解：由题意得，； （2）解：设抛物线解析式为， 把代入到中得 ， 解得， ∴抛物线解析式为， 在中，当时，， ∴； 在中，当时，解得或（舍去）， ∴水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过； （3）解：设平移后的抛物线解析式为， 由题意得，抛物线经过点， ∴， 解得， ∴要使水滴运动时恰好经过花盆顶端中心（不考虑其他因素），则需要将出水点向上平移． 13．（2025·北京首都师大附中育鸿学校·零模）某机器工作至电量剩余时开始充电．充电系统提供两种不同的充电模式，机器剩余电量（单位：）与充电时间（单位：min）的关系如下表所示： 充电时间（） 0 5 10 15 20 25 30 模式一剩余电量（） 10 25 55 70 85 100 模式二剩余电量（） 10 31 57 78 90 97 100 (1)① ； ②通过数据分析，发现可以用函数来刻画与，与之间的关系，在给定的平面直角坐标系（图）中画出这两个函数图象； (2)充电系统通过调节充电电流（单位：安培）来控制电量，已知充电模式一的初始电流为安培，剩余电量每增加，充电电流将减小安培，则分钟时充电模式一的充电电流 安培；充电模式二的充电电流与充电时间的函数关系如图所示．根据以上数据并结合函数图象判断：当两种充电模式的电流相同时，剩余电量相差约 ． 【答案】(1)①；②画图见解析 (2)， 【来源】2025年北京市首都师范大学附属中学育鸿学校中考数学零模数学试卷（3月） 【分析】（）由表格可知，的值每增加，的值增加，进而即可求解； （）①根据表格数值描点连线画出图象即可；②根据题意可求出的值及与的函数关系式，进而画出图象即可求解； 本题考查了函数的综合应用，理解题意是解题的关键 【详解】（1）解：①由表格可知，的值每增加，的值增加， ∴， 故答案为：； ②根据表格数据描点连线画出函数图象如下： （2）解：∵时，， ∴安培； 由题意得，充电模式一的电流：， 当时，；当时，， ∴充电模式一的充电电流与充电时间的函数关系图象如下： 由函数图象可知，当时，两种充电模式的电流相同， ∴剩余电量相差约， 故答案为：，． 14．（22-23九下·北京西城三帆中学·月考）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 10 10 6.25 根据上述数据，直接写出的值为________，直接写出满足的函数关系式：________； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为，比赛当天入水点的水平距离为，请通过计算比较与的大小； (3)在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 【答案】(1)11.25， (2) (3)她当天的比赛不能成功完成此动作 【来源】北京市西城区三帆中学2022~2023学年九年级下学期4月月考数学试题 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是正确的求出函数解析式． （1）通过表格数据结合待定系数法求出解析式，即可求解； （2）分别求出两个解析式当时，x的值，进行比较即可； （3）先求出c的值，再求出时的y值，进行判断即可． 【详解】（1）解：根据表格得：函数图象过点， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴； 故答案为：； （2）解：对于 当时， 解得：，（不合题意，舍去） ∴米   对于， 当时， 解得：，（不合题意，舍去） ∴    ∵ ∴； （3）解： ∴点坐标为     ∴ ∴    当时，     ∵ 即她在水面上无法完成此动作 ∴她当天的比赛不能成功完成此动作 15．（2024·北京通州·一模）某部门研究本公司生产某种产品的利润变化y（万元）与生产总量x（吨）之间的关系情况，产品的生产总量为x（吨）时，所获得的利润记为p（万元），公司生产x吨产品所获得的利润与生产吨产品获得的利润之差记为y（万元）． 例如：当时，，当时，．所以，当时，；当时，，当时，．所以，当时，． 记录的部分数据如下： x 0           1           2      3      4      5      6 p                                                                  y           m                     n           根据以上数据，解决下列问题： (1)________，_______． (2)结合表中的数据，当时可以用函数刻画利润的变化量y（万元）和生产总量x（吨）之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象． (3)结合数据，利用所画的函数图象可以推断： ①当生产总量约为________吨（精确到），利润变化值y最大． ②当生产总量约为________吨（精确到），利润开始降低．    【答案】(1) (2)见详解 (3)①（答案不唯一，介于）；②（答案不唯一，介于） 【来源】2024年北京市通州区九年级中考一模数学试题 【分析】本题考查二次函数的应用，理解题意并掌握描点作图的方法是解题的关键． （1）根据题意和举例的计算方法求出和的值即可； （2）将表格中数据对描点并连线即可； （3）①根据图象作答即可； ②时对应的值即为答案． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， ∴当时，； 当时，， 当时，， ∴当时，． 故答案为：． （2）描点并作图如图所示：    （3）①由图象可知，当生产总量约为吨时，利润变化值最大； ②由图象可知，当生产总量约为吨时，利润变化值，之后利润开始降低． 故答案为：，． 题型04 描点法画函数图像 析典例·建模型 16．（2026·北京丰台·一模）某校兴趣小组在研究防水剂用量对某种材质的一次性餐具降解的影响时，查阅资料后选择降解失重率W（单位：）作为降解评价指标，，其中（单位：）为餐具未降解时的质量，（单位：）为餐具降解天数为时的质量．在实验过程中除防水剂用量外其余实验条件均相同．在降解温度为的条件下，记餐具降解天数为t时，未添加防水剂的餐具降解失重率为，防水剂用量的餐具降解失重率为，防水剂用量的餐具降解失重率为．该小组记录的前16天的部分数据如下： /天 0 1 2 6 8 10 12 16 / 0 7.6 8.8 11.5 12.9 13.6 14.0 14.5 / 0 5.9 6.5 8.8 9.9 10.7 11.2 11.4 / 0 5.5 7.0 7.9 8.3 8.9 9.9 (1)实验测得防水剂用量的餐具在未降解时质量为，降解天数为1时质量为，直接写出表格中a的值； (2)在平面直角坐标系中，描出了各数对，所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接得到曲线，．请补全数对所对应的点，并画出对应曲线； (3)根据以上实验数据和结果，回答下列问题： ①防水剂用量和的餐具同时开始降解，在前16天内降解失重率的差持续超过的天数为_______（结果保留整数）； ②小组成员在老师帮助下，进一步实验获得了当降解天数为4时，添加防水剂用量一定的该餐具在不同温度下的降解失重率： 判断上面实验所用餐具的防水剂用量为________（填“”或“”）．当降解天数为4时，该餐具降解失重率要达到条件下未添加防水剂的降解失重率，温度至少是_________． 【答案】(1)5.0 (2)见解析 (3)①6；②，140 【来源】北京市丰台区2026年中考一模考试数学试题 【详解】（1）解：∵实验测得防水剂用量的餐具在未降解时质量为，降解天数为1时质量为， ∴， ∴； （2）解：下图为所求； （3）解：①结合表格与图象，可知，从第8天开始，到第13天，降解失重率的差持续超过，故在前16天内降解失重率的差持续超过的天数为（天）； ②从图象可知，降解天数为4时，不添加防水剂时，该餐具降解失重率在，所用餐具的防水剂用量为时，该餐具降解失重率在之间，而所用餐具的防水剂用量为时，该餐具降解失重率在之间， ∵从实验数据，时，该餐的降解失重率为， ∴判断上面实验所用餐具的防水剂用量为， ∵降解天数为4时，不添加防水剂时，该餐具降解失重率在， ∴当降解天数为4时，该餐具降解失重率要达到条件下未添加防水剂的降解失重率，温度至少是； 故答案为：，140． 研考点·通技法 列表描点看趋势，直线一次曲线二。 差值恒定是一次，差值再恒是二次。 积恒定为反比例，待定系数求解析。 自变量范围要看准，预测外推要谨慎。 破类题·提能力 17．（2026·北京昌平·一模）某物流中心对三种新购入的智能分拣机，，进行调试，开机后三种机型均需要空转预热后才能开始进行上件分拣，的空转预热时间分别为3分钟，3分钟，3.5分钟．上件分拣后，若每半分钟记为一个周期，单个周期分拣件数记为（件），得到数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 的的值（件） 0 8 16 24 40 46 54 56 56 进入上件分拣后前5个周期的单个周期分拣件数为匀速增长，5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少，三种机型经过一定时间后单个周期分拣件数基本恒定．在平面直角坐标系中，描出三种机型下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到和的曲线，如图所示． (1)观察曲线上件分拣后，当第_____个周期时，首次超过35. (2)表中_____，_____，在给出的平面直角坐标系中画出的曲线； (3)①若选用，开机后至少_____分钟后，值基本恒定； ②若，，同时开机，开机后的前5分钟内（包含5分钟）的累计分拣件数分别记为，结合题目所给信息，将进行排序_____（用“＜”连接）． 【答案】(1)5 (2)32，51，见解析 (3)①7；② 【来源】北京市昌平区2026年九年级第一次统一练习 数学试卷 【分析】（1）观察图象即可求解； （2）由图可知每个周期增长件即可得到；由5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少，可得第5个周期到第9个周期增加量依次为件，件，件，件，据此可得；再描点作图即可； （3）①观察图象即可；②根据的位置即可判断． 【详解】（1）解：由图可知，当第5个周期时，首次超过35； （2）解：进入上件分拣后前5个周期，每个周期增长件， （件）； 5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少， 第5个到第6个周期增加6件，第8个周期到第9个周期增加2件， 第5个周期到第9个周期增加量依次为件，件，件，件才符合题意， ； 作图如下： （3）解：①由图可知开机后至少7分钟后，值基本恒定； ②由图可知开机前5分钟， 曲线在最下方，在最上方，在中间， ． 18．（2026·北京汇文中学·中考模拟）某科创小组测试了无人机“最大飞行高度与飞行速度的关系”，得到了如下实验数据，请你参与探究． 速度 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 最大高度 80 220 350 440 500 480 420 360 300 250 (1)根据函数的定义，设______为y，______为x，y是x的函数； (2)在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，回答下列问题： 下列说法正确的有______（填序号） ①y随x的增大而减小； ②当飞行速度在左右时，最大飞行高度最高； ③速度过快或过慢时，无人机的最大飞行高度都会降低． (4)若想要无人机的最大飞行高度保持在400米以上，结合图象，飞行速度大约控制在______至______范围内（结果取整数）． 【答案】(1)最大飞行高度，飞行速度 (2)见解析 (3)②③ (4)， 【来源】北京市汇文中学2025-2026学年九年级下学期4月中考模拟数学试卷 【分析】（1）根据最大飞行高度是随飞行速度的变化而变化的解答即可； （2）先描点，再用平滑曲线连接即可； （3）结合函数图象解答即可； （4）根据表格的数据画大致图形解答即可． 【详解】（1）解：根据函数的定义，设最大飞行高度为，飞行速度为，是的函数． （2）解：在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象如下： （3）解：由函数图象可知，随的增大先增大，再减小，则说法①错误； 当飞行速度在左右时，最大飞行高度最高，则说法②正确； 当速度过快，即时，速度越大高度越低；当速度过慢，即时，速度越小高度越低；综上，速度过快或过慢时，无人机的最大飞行高度都会降低，则说法③正确． （4）解：由表格的数据画大致图形如下： 若想要无人机的最大飞行高度保持在400米以上，结合图象，飞行速度大约控制在至范围内． 19．（2026·北京平谷·一模）为落实“健康教育第一”理念，倡导科学锻炼、健康成长，学校组织男子体能达标测试，以检验学生的体育锻炼效果．测试评分标准如表1 表1 时间 分值 8 7 6 时间 分值 5 4 3 时间 分值 2 1 0 表2 时间（s） 0 20 40 60 80 120 160 180 200 220 240 260 路程（m） 0 35 85 155 245 445 645 745 845 925 1000 路程（m） 0 20 50 100 170 450 570 630 690 a 810 870 在男子的考试现场，甲、乙两名同学被分到同一个小组．他们同时出发，当跑步的时间为（单位：s）时，甲同学跑步的路程为（单位：m），乙同学跑步的路程为（单位：m）．为了取得更好的成绩，每名同学都会根据自身情况制订跑步策略．甲同学的策略：先加速跑再匀速跑最后平缓冲刺；乙同学的策略：先加速跑再匀速跑．甲、乙两名同学现场考试的部分数据如表2所示： (1)a的值为_____． (2)请根据表2中的数据，在平面直角坐标系中补全的图象 (3)结合健康体能测试的要求，给出以下三个结论： ①当时，甲同学一直在乙同学的前面； ②乙同学完成1000米的测试时间超过； ③两名同学在匀速跑步阶段速度相同． 上述结论中，所有正确结论的序号是_______． (4)假如乙同学的匀速跑步速度不变，且在时恰好跑了，则乙同学可以得到___分． 【答案】(1)750 (2)见解析 (3)② (4)8 【来源】北京平谷区2026年初中学业水平考试综合练习（一）数学试卷 【分析】（1）观察乙同学路程数据，在时间段内的速度，再求出的值即可； （2）用平滑曲线将平面直角坐标系中乙同学的跑步数据连接起来即可； （3）根据表2中甲、乙两名同学的跑步数据逐一判断即可； （4）根据乙同学匀速速度不变，且已知时的路程，所以先求出乙的匀速速度，再计算跑完全程的总时间，最后对照评分标准确定分值． 【详解】（1）解：观察乙同学路程数据，在时间段内，路程增加，时间间隔为， 则该阶段速度为， 当时，从起经过的时间为， 则； （2）解：的图象如下； （3）解：当时，由表2可知，在时，甲路程，乙路程，此时乙同学在甲同学前面， 故①错误； 由（1）可知，乙同学最后阶段速度为，乙跑了，剩余路程为，还需要的时间为， 则乙同学完成1000米的测试时间为：， 故②正确； 由表2观察甲同学路程数据，在时间段内，路程增加，时间间隔为，则甲同学匀速跑步阶段速度为， 而乙同学匀速跑步阶段速度为， 则两名同学在匀速跑步阶段速度不同， 故③错误； 综上所述，正确结论的序号是②； （4）解：乙同学跑了，跑了， 则匀速速度， 因此，乙同学跑完全程的总时间为：， 对应评分标准：， 因此，乙同学得分为8分． 20．（2026·北京三帆中学·零模）某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响．添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度c之间近似满足稳定的线性增长关系：．在固定工艺下，改变添加剂A的添加浓度c（单位：），测得面包的保质期（单位：天）数据如下： 添加剂浓度 0 20 40 60 80 100 120 保质期（天） 3 4 7 10 9 7 4 (1)以添加剂浓度c为横坐标，保质期d为纵坐标，在下面给定的平面直角坐标系中，分别画出，的图象； (2)①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂________（A或B）． ②当添加剂浓度相同时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多2天，则浓度c的取值范围是________． (3)工厂分析发现，面包，每增加添加剂，成本增加元；若面包从生产到售出的时间为7天，当保质期不足7天时，每减少1天会造成1元的损失．当添加剂A浓度为时，面包的额外成本（添加剂成本与损失之和）为________元． 【答案】(1)见详解 (2)①A；② (3)4 【来源】北京市三帆中学2026年中考零模试题 数学 【分析】（1）根据表格数据和函数解析式画图即可． （2）根据题意，当时，，当时，，根据图象可得，当时，，即可求解． （3）根据“额外成本添加剂成本损失”求解即可． 【详解】（1）解：，的图象如图． 令，则，令，则，则过，画图如下： （2）解：①对添加剂A：根据图象可得​在时，，即可达到； 对添加剂B：令，解得， 因此A满足要求的浓度更低，选添加剂A． ②根据题意， 当时，， 当时，， 根据图象可得，当时，， 因此的范围是． （3）解：根据题意可得：额外成本添加剂成本损失， 添加剂成本：浓度，每增加元， 因此成本为元； 损失：当添加剂A浓度为时，保质期天， 比要求的7天少天，损失元； 总额外成本：元． （建议用时：40分钟） 刷模拟 1．（2026·北京大兴·一模）旋转木马是每个孩子珍藏在童年里的梦幻乐园．某游乐场旋转木马的所有座位均匀分布在同一个圆上，绕圆心做匀速逆时针运动（如图1）．小瑞将旋转木马的其中两个相邻座位抽象为A，B两点，在旋转木马外设置固定观测点C，当起始位置点A与点C、圆心O在同一条直线上时（如图2）开始计时． 小瑞记录了不同时刻（单位：秒）时，观测点C到A，B的距离分别为，（单位：米），部分数据如下： 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 … 2.00 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 … 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 4.36 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在平面直角坐标系中，画出与之间关系的函数图象． (1)在平面直角坐标系中，画出与t之间关系的函数图象； (2)至少经过m秒，A点就会回到初始位置，则_____； (3)该旋转木马座位总数为________个； (4)从开始，至少经过____秒，点C到A，B的距离相等； (5)当秒时，的值为_____． 【答案】(1)见解析 (2)30 (3)6 (4)12.5 (5) 【来源】2026年北京市大兴区中考一模考试数学试题 【分析】（1）根据图象中的点画出与t之间关系的函数图象即可； （2）根据表格的数据可知，时与时点C到A的距离的值相同，由此可得m的值； （3）根据30秒就可以转完一圈，可得1秒转，再根据表格的数据可得点A转动到点B的时间，由此可求解； （4）根据点C到A，B的距离相等，可结合对称性求解度数，由此求解时间； （5）先求解出圆的半径，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：与t之间关系的函数图象如图： （2）解：根据表格的数据可知，时与时点C到A的距离的值相同， ∴至少经过30秒，A点就会回到初始位置； （3）解：∵30秒转完一圈，即1秒转， 由表格数据可知，A点5秒后即可到达B点， ∴A点转动过的角度为， 即每相邻的两个座位之间的角度为， ∴旋转木马座位总数为个； （4）解：当点C到A，B的距离相等，则有与关于对称，如图， ∵， ∴， 即当点C到A，B的距离相等时，点A转过， ∴秒， ∴从开始，至少经过12.5秒，点C到A，B的距离相等； （5）解：当秒时，点A转过的角度为，如图， 根据表格可知，当时，有最大值为， 此时点A位于点D的位置，则有， 记圆的半径为r，则有，解得， 在中，，， ∴， ∴当秒时，的值为． 2．（2026·北京西城·统一测试）研究表明：记完某种资料后，大脑的记忆保持率（单位：）会随时间（单位：小时）的变化而变化．设小明记完资料一后的记忆保持率为，记完资料二后的记忆保持率为，且和互不影响．通过分析发现，可以用函数刻画与，与之间的关系，部分数据如下： 在给出的平面直角坐标系中，函数的图象如图所示． (1)观察函数的图象，当整数的值为 时，的值首次低于； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (3)假设小明首次记完资料一或资料二均需要小时． ①小明先记完资料二，小时后开始记忆资料一，若他记完资料二小时后，资料一和资料二的记忆保持率相同，则的值是 ； ②小明记完一个资料后，休息分钟，再记忆另一个资料．若从开始记忆计时，小时后资料一和资料二的记忆保持率的和最大，则小明应该先记忆资料 （填“一”或“二”），此时记忆保持率和的最大值是 （结果是整数）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②二； 【来源】2026年北京市西城区九年级统一测试试卷 数学 【分析】（1）观察表格信息即可得出结论； （2）用描点法画图象即可； （3）①由表格可知：时 ；当时 ，列方程 即可得出结论； ②结合图象及表格信息即可得出结论. 【详解】（1）解：由图象可知：当时， ； 当时， ； ∴当整数的值为时，的值首次低于； （2）解：根据表格绘图，如下图所示： （3）解：①由表格可知：时 ； 当时 ， ∴ 即：； ②若先记忆资料一时， 当时，，当 时，， ∴； 若先记忆资料二时， 当时， ，当 时， ， ∴， ∵， ∴从开始记忆计时，小时后资料一和资料二的记忆保持率的和最大，则小明应该先记忆资料二，此时记忆保持率和的最大值是. 3．某小组研究了不同温度对葡萄酒发酵速率的影响．当发酵时间为（单位：，）时，小组成员分别记录了下的发酵速率（单位：），下的发酵速率（单位：），部分数据如下： 1 5 9 10 11 14 17 19 23 26 29 32 36 (1)当时，下的发酵速率每小时增加（a为常数）的值为___________； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出了函数的图象，描出了与各对对应值为坐标的点，补全函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当发酵时间为___________h时，下的发酵速率等于下的发酵速率； ②若发酵速率不低于，葡萄酒的发酵效果较好，下的发酵速率不低于的持续时间为（单位：h），下的发酵速率不低于的持续时间为（单位：h），则的值为___________，的值约为___________（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①；②； 【来源】专题13 函数的基本性质（北京专用）-【好题汇编】5年（2021-2025）中考1年模拟数学真题分类汇编 【分析】（1）根据表格中的数据求出a的值即可； （2）根据描出的点，连线即可； （3）①根据图象得出时，下的发酵速率等于下的发酵速率； ②根据表格中的数据求出的值，根据函数图象求出函数解析式，然后分别求出时，的值，然后求出的值，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：当时，下的发酵速率每小时增加： ． 故答案为：． （2）解：如图所示： （3）解：①根据图象得出时，下的发酵速率等于下的发酵速率； ②下的发酵速率不低于的持续时间为， 根据函数图象可知：当时或时，下的发酵速率是时间的一次函数， 设当时，下的发酵速率的函数解析式为：，把，代入得： ，解得：， ， 把代入得：， 解得：， 设当时，下的发酵速率的函数解析式为：，把，代入得： ，解得：， ， 把代入得：， 解得：， 下的发酵速率不低于的持续时间为： ， ∴． 【点睛】本题主要考查了从函数图象中获得信息，画函数图象，求一次函数解析式，解题的关键是熟练掌握待定系数法． 4．（2025·北京东城·二模）某团队设计了一款智能灯，它可以根据自然光照度自动开启或关闭，当自然光照度小于或等于勒克斯（勒克斯为光照度单位）时，自动开启；大于勒克斯时，自动关闭．该团队通过模拟自然光照度进行了一次实验，记录了实验中模拟自然光照度（单位：勒克斯）与时间（单位：分钟）的关系数据，如下表所示： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y 32.9 30.0 27.5 25.6 24.2 23.3 22.9 23.0 23.7 24.8 26.5 28.7 31.4 (1)团队成员发现可以用函数刻画模拟自然光照度与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： (2)若． ①智能灯首次开启时，_____； ②智能灯的工作时长约为_____分钟；（结果保留小数点后一位） (3)设当为30，27，24时，智能灯工作时长分别为，，，则_____．（填“>”“=”或“<”） 【答案】(1)见详解 (2)①1；②10.5（答案不唯一，此为估算值，原则上上下浮动0.2以内均正确）； (3)<． 【来源】2025年北京市东城区九年级中考二模数学试卷 【分析】本题主要考查描点连线、图像中获取信息和有理数的加减运算，解题的关键是熟悉图中获取信息， （1）根据描点连线作图即可； （2）①由图可知，智能灯首次开启时，， ②根据题意知智能灯首次开启时，；智能灯开启后关闭时，，即可智能灯的工作时长； （3）由（2）知当为30时，智能灯工作时长为分钟，同理可得当为27时，智能灯工作时长为分钟，当为24时，智能灯工作时长分钟，即可求得分钟，分钟即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：①由图可知，智能灯首次开启时，， ②∵时，自动开启； ∴智能灯首次开启时，；智能灯开启后关闭时， 则智能灯的工作时长约为分钟； （3）解：由（2）知当为30时，智能灯工作时长为分钟， 同理可得当为27时，智能灯工作时长为分钟， 当为24时，智能灯工作时长分钟， 则分钟，分钟， 那么，． 5．（2025·北京朝阳·二模）科创小组分别用两台装置提取实验物质，当两台装置各自工作时，记录员分别记录了装置提取的实验物质的体积（单位：）和装置提取的实验物质的体积（单位：），部分数据如下： (1)补全表格（结果保留小数点后一位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上信息，解决问题： 若装置比装置早启动了，则装置启动___________时，两台装置提取的实验物质体积相同，约为___________（结果保留小数点后一位）； 在的条件下，在同一时刻，装置最多可以比装置多提取___________实验物质（结果保留小数点后一位）． 【答案】(1) (2)见解析； (3)或，或； 【来源】2025年北京市朝阳区九年级中考二模数学试卷 【分析】题考查了函数的图象与性质，描点法画函数图象，求一次函数解析式，已知函数值求自变量，正确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． （）根据当时，，当时，，与是正比例函数，求出解析式即可； （）根据画函数图象方法步骤即可； （）根据题意将图象向上平移个单位，然后观察图象即可； 观察图象即可． 【详解】（1）解：∵当时，，当时，， ∴与是正比例函数， 设， ∴，解得：， ∴， 当时，， 故答案为：； （2）解：如图， （3）解：∵装置比装置早启动了，如图， 根据图象可知，装置启动或时，两台装置提取的实验物质体积相同，约为或， 故答案为：或，或； 在的条件下，根据图象可知，在同一时刻，装置最多可以比装置多提取实验物质， 故答案为：． 6．（2025·北京西城·二模）小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．已知小明家到幼儿园的路程为，幼儿园到小明妈妈单位的路程为，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载重行驶，下表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）与小明妈妈独自行驶和载重行驶状态下可行驶的路程（单位：）和（单位：）的部分数据： 0% 10% 20% 40% 60% 80% 100% 0 3 7 15 23 31 39 0 2 4 9 15 22 30 (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，补全这两个函数的图象； (2)根据上述数据和函数图象，解决下列问题： ①当该电动车剩余电量占比为50%时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶______km（结果精确到0.1）； ②假设一天早晨该电动车剩余电量占比为30%，在电量耗尽前，判断小明妈妈骑电动车______（填“能”“不能”）将小明送到幼儿园； ③若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为______（精确到1%）． 【答案】(1)见解析 (2)①7.1（答案不唯一）；②不能；③ 【来源】2025年北京市西城区九年级中考二模数学试卷 【详解】（1）解：如图， （2）解：①从表格数据或图象估算，当时，，， ∴ ． ②从表格数据或图象估算，当时，的值约为 ， ∵， ∴不能将小明送到幼儿园． ③观察的数据，当时，， 观察的数据，当时， ∴当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 利用函数解决实际问题 内容导航 【命题解码·定方向】命题趋势+2026年预测 【解题建模·通技法】析典例，建模型，技法贯通破类题/变式 【实战刷题·冲高分】精选中考大题+名校模拟题，强化实战能力，得高分 2024年 “用数学和AI软件设计水杯”的科技活动 从文字中抽象出变量关系，构建合理的函数模型解决实际问题。 2025年 制造业中“工艺品制作培训”的实际问题（体现“磨刀不误砍柴工”） 分析变量关系，构建函数模型，解释和优化生产管理中的现象。 命题趋势：1. 强化“翻译”能力（最核心） 2. 掌握“存在性/任意性”解题模板3. 扩展函数模型储备 确保熟练掌握以下三类函数的实际应用：· 一次函数：方案选择、行程问题、费用优化 · 二次函数：利润最大化、抛物线形建筑（拱桥、隧道）。分段函数：阶梯电价、出租车计费、邮费计算 4. 专项训练“综合题分层作答”。 2026年预测：· “存在性”问题：是否存在某方案使目标达到要求，转化为方程有解、交点存在 。“任意性”问题：无论变量如何变化，条件恒成立 ， 转化为最值不等式 ·。决策类问题：在限定条件下选择最优方案 ，比较函数值或最值。 题型01一次函数相关实际问题 析典例·建模型 1．（2026·北京朝阳·一模）小明帮助家长进行理财分析，他发现在一定时期内，有三种投资方案可供选择，从投资当日起，第天时，选择方案一、方案二、方案三当天所得回报分别为，，（单位：元），部分数据如下： 1 2 3 4 5 6 7 8 … 10 10 10 10 10 10 10 10 … 1 11 16 21 26 31 36 … 0.5 1.1 2.4 5.1 10.6 21.7 44 88.7 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与，与之间的关系．在平面直角坐标系中，分别描出每个方案中各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑的曲线连接，方案一、方案二对应的曲线，如图所示： (1)表中的值为________； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出方案三对应的曲线； (3)根据以上信息，解决下列问题： ①要使前4天的投资总回报最高，应选择方案________；（填写“一”“二”或“三”） ②可以推断，从第________天开始，选择方案三的投资总回报超过同时选择方案一与方案二的投资总回报之和． 研考点·通技法 1分段函数是重点：收费、邮费问题常需分段。关键是找准分段点，每段内分别写出一次函数，并注意自变量范围。2 不要丢“定义域”：实际问题中，x往往有隐含限制（如人数为整数、时间非负）。答案必须根据定义域来写。 3 利用“不等关系”：看到“不超过”、“至少”等字眼，立刻想到用 ≤ 或 ≥ 列出不等式。 4先列式再代入：复杂的题不要急于求数值，先列出含参数的代数式，往往能简化运算。 破类题·提能力 2．（2026·北京通州·一模）为研究某种化学试剂的挥发情况，某研究团队在、两种不同的场景下做对比实验，分别收集了试剂挥发过程中剩余质量（克）和（克）与时间（分钟）（）的部分数据： （分钟） 0 2.5 5 7.5 10 12.5 15 17.5 20 （克） 21.0 20.5 19.5 18.0 16.0 13.5 10.5 7.0 3.0 （克） 21.0 18.5 16.0 13.5 11.0 8.5 3.5 1.0 经研究发现，可以分别用函数刻画，与之间的关系．场景下试剂挥发过程中的剩余质量与时间近似满足函数关系：，与近似满足一次函数关系，图象如图所示． (1)写出表中的值：______，并在给定的平面直角坐标系中画出场景下试剂挥发过程中的剩余质量（克）与时间（分钟）的函数图象； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①在场景下，剩余质量随时间减少的变化趋势是（    ）； A．匀速变化            B．先快后慢            C．先慢后快 ②查阅文献可知，该化学试剂发挥作用的最低质量为克．在上述实验中，该化学试剂在场景______（填“”或“”）下发挥作用的时间更长． (3)当时，两种场景下试剂挥发过程中剩余质量的差值达到最大时，此时对应的时间是第______分钟． 3．（2025·北京海淀·二模）某科技社团正在研发一款智能巡检机器人，用于校园内自动巡检与数据采集．该机器人机械手臂的手腕部分为合金材质．第一实验小组承担了研制这种合金材料的任务，他们利用金属和制作出了合金，利用金属和制作出了合金．在制作过程中，质量损失忽略不计，两种合金的硬度均与其所含金属的质量百分比有关．当合金中所含金属的质量百分比为时，同学们分别记录了在一定实验条件下合金的硬度（单位：）和合金的硬度（单位：），部分数据如下表： 10 20 30 40 50 60 70 80 90 合金M的硬度 55 60 65 75 80 85 90 95 合金的硬度 62 68 72 74 75 73 71 66 59 根据数据可以发现，与之间近似满足一次函数的关系，也可以用函数刻画与之间的关系． (1)补全表格； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)第一实验小组准备了金属，全部用于制作合金和合金，根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①两种合金中金属的质量均为，则合金与合金的硬度差约为___________（结果保留整数）； ②经研究发现，在此实验条件下，温度每升高，合金的硬度会下降．若将制作好的合金的温度提高，可使得两种合金的硬度相同，则合金中的金属的质量约为___________（结果保留整数）． 10 20 30 40 50 60 70 80 90 合金M的硬度 55 60 65 70 75 80 85 90 95 合金的硬度/HRC 62 68 72 74 75 73 71 66 59 4．（2025·北京门头沟·一模）某科研团队正在研究一种新型材料，他们首先在实验室内记录了该种材料的导电性（单位：西门子/米，）与温度x（单位：）之间的数据．但考虑到不同环境会影响材料的导电性，他们又在室外进行了一次实验，记录了室外的导电性（单位：西门子/米，）与温度x（单位：）之间的数据，部分数据如下： x 0 10 20 30 40 50 y1 0.6 a 2.2 3.0 3.8 4.6 y2 0.8 1.7 2.3 2.8 3.1 3.3 (1)补全表格中 ．（结果保留小数点后一位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与x，与x之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ① 该种材料在温度为 时（结果保留整数），室内外的导电性相同，此时的导电性为 （结果保留小数点后一位）； ② 当温度达到 时（结果保留整数），室内外的导电性相差． 5．（2025·北京三帆中学·三模）有圆柱形1号瓶和圆台型2号瓶，两瓶不同形状的蜂蜜，每次舀出相同体积用来做蜂蜜水，记录水面的高度；当1号瓶和2号瓶舀出相同蜂蜜时，小云分别记录了1号瓶中剩余蜂蜜液面高度（单位：）和2号瓶中剩余蜂蜜液面高度单位：），部分数据如下： 0 100 200 300 350 400 500 12.5 10.0 7.5 5.0 2.5 0 11.8 10.7 9.2 7.0 5.6 4.1 0 (1)补全表格：______（结果保留一位小数）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当1号瓶和2号瓶中都有蜂蜜时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为_____（结果保留一位小数）； ②当高度下降到时，_____瓶剩余的蜂蜜多． 题型02 反比例函数相关实际问题 析典例·建模型 6．（2026·北京交大附中·零模）不同香料香气的强烈程度（简称香气强度）随时间呈现不同的变化规律，调香师利用这些规律调制出各具特色的香水．某小组计划利用函数研究甲、乙、丙三种香料的香气强度变化情况，将等质量的三种香料分别放置在相同条件的外部环境中，设实验过程中，香料放置时间为时，甲、乙、丙香料的香气强度分别为，记录部分实验数据如下： 0 20 40 60 80 100 120 … 5 2.03 1.14 0.53 0.27 0.09 0.06 … 3 2.03 1.44 1.05 0.76 0.54 0.38 … 1 0.94 0.88 0.82 0.76 0.70 0.64 … (1)在平面直角坐标系中，函数的图象如图所示，已描出表中所对应的部分点，请画出函数的图象： (2)根据函数图象，当放置时，甲香料的香气强度约为___________，丙香料的香气强度约为___________；（结果均保留一位小数） (3)查阅文献可知，用多种香料调制成的香水，多数人可以识别出当前时刻香气强度最大的香料，而对其他香料的香气感受不明显，称可以识别出的香料在当前时刻起主要作用．用等质量的甲、乙、丙三种香料共同调制为一款香水放置，忽略香料互相之间的影响，结合函数图象，解决问题： ①当放置时，该时刻起主要作用的香料为___________；（填“甲”“乙”或“丙”） ②若总共放置时间为，则起主要作用时间最长的香料为___________（填“甲”“乙”或“丙”），该香料起主要作用的时长为___________． 研考点·通技法 1. 找定积：寻找题中哪两个量的 乘积是固定不变的。 · 常见模型：工作效率 × 时间 = 工作总量、速度 × 时间 = 路程、底 × 高 = 面积、单价 × 数量 = 总价 2. 设函数：设解析式为 y = k/x 或 xy = k，再用一组对应值求k。 3. 定范围：根据实际意义确定自变量取值范围（如时间、长度必须为正）。 4. 解问题：代入求值、比较大小或分析增减趋势。 破类题·提能力 7．（2025·北京通州·一模）在某项目式学习中，甲、乙两小组分别研究在不同条件下某物质的质量随时间的变化情况．设实验时间为分钟，甲、乙两小组研究的该物质的质量分别为克、克，其中，与的几组对应值如下表： 0 5 10 15 20 24 25 23.5 20 14.5 7 0 25 20 15 10 5 1 (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与与之间的关系，且与之间满足某种特殊的变化规律： ①在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； ②直接写出与之间的函数表达式是_____； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当实验时间为7.5分钟时，甲、乙两小组所研究的该物质的质量的差约为_____克（结果保留小数点后一位）； ②随着实验的进行，当时，实验时间约为_____分钟（结果保留小数点后一位）． 8．（25-26九下·北京四中·学情自测）某种型号的温控水箱的工作过程是：接通电源后，在初始温度20℃下加热水箱中的水；当水温达到设定温度80℃时，加热停止；此后水箱中的水温开始逐渐下降，当下降到20℃时，再次自动加热水箱中的水至80℃时，加热停止；当水箱中的水温下降到20℃时，再次自动加热，…，按照以上方式不断循环． 小明根据学习函数的经验，对该型号温控水箱中的水温随时间变化的规律进行了探究．发现水温y是时间x的函数，其中y（单位：℃）表示水箱中水的温度．x（单位：min）表示接通电源后的时间． 下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）下表记录了32min内14个时间点的温控水箱中水的温度y随时间x的变化情况 接通电源后的时间x（单位：min） 0 1 2 3 4 5 8 10 16 18 20 21 24 32 … 水箱中水的温度y（单位：℃） 20 35 50 65 80 64 40 32 20 m 80 64 40 20 … m的值为 ； （2）①当0≤x≤4时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ； 当4＜x≤16时，写出一个符合表中数据的函数解析式 ； ②如图，在平面直角坐标系xOy中，描出了上表中部分数据对应的点，根据描出的点，画出当0≤x≤32时，温度y随时间x变化的函数图象： （3）如果水温y随时间x的变化规律不变，预测水温第8次达到40℃时，距离接通电源 min． 9．（2024·北京海淀·一模）阅读下列材料： 实验数据显示，一般成人喝250毫升低度白酒后，其血液中酒精含量(毫克/百毫升)随时间的增加逐步增高达到峰值，之后血液中酒精含量随时间的增加逐渐降低． 小明根据相关数据和学习函数的经验，对血液中酒精含量随时间变化的规律进行了探究，发现血液中酒精含量y是时间x的函数，其中y表示血液中酒精含量(毫克/百毫升)，x表示饮酒后的时间(小时)． 下表记录了6小时内11个时间点血液中酒精含量y(毫克/百毫升)随饮酒后的时间x(小时)(x＞0)的变化情况． 饮酒后的时间x(小时) … 1 2 3 4 5 6 … 血液中酒精含量y (毫克/百毫升) … 150 200 150 45 … 下面是小明的探究过程，请补充完整： (1)如图，在平面直角坐标系xOy中，以上表中各对数值为坐标描点，图中已给出部分点，请你描出剩余的点，画出血液中酒精含量y随时间x变化的函数图象； (2)观察表中数据及图象可发现此函数图象在直线x＝两侧可以用不同的函数表达式表示，请你任选其中一部分写出表达式； (3)按国家规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20毫克/百毫升时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路．参照上述数学模型，假设某驾驶员晚上20：00在家喝完250毫升低度白酒，第二天早上6：30能否驾车去上班？请说明理由． 10．（2025·北京西城·二模）【综合实践】 如图所示，是《天工开物》中记载的三千多年前中国古人利用桔槔在井上汲水的情境（杠杆原理：阻力×阻力臂=动力×动力臂，如图，即），受桔槔的启发，小杰组装了如图所示的装置．其中，杠杆可绕支点在竖直平面内转动，支点距左端，距右端，在杠杆左端悬挂重力为的物体． (1)若在杠杆右端挂重物，杠杆在水平位置平衡时，重物B所受拉力为_______N． (2)为了让装置有更多的使用空间，小杰准备调整装置，当重物的重力变化时，的长度随之变化．设重物的重力为 ，的长度为．则： ①关于的函数解析式是____________． ②完成下表： … 10 20 30 40 50 … … 8 a      2 b … _______；______． ③在图的直角坐标系中画出该函数的图象． 题型03 二次函数相关实际问题 析典例·建模型 11．（2026·北京海淀·一模）竹编是我国历史悠久的经典传统手工艺，并成功入选国家级非物质文化遗产名录．竹编以竹篾为原料，采用平编、绞编等传统技法，编织成各类实用器具与工艺精品． 为提升生产效率，某竹编工厂引入机器人作业，将平编与绞编两项技法编写为计算机程序．已知一件产品只采用一种编织技法，机器人每完成一件产品后，便会从头开始执行程序编织下一件产品，直至完成全部生产任务．记平编或绞编的编织时间为，平编的编织面积为（单位：），绞编的编织面积为（单位：），部分数据如下： 0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 … 0 1.2 2.4 m 4.8 6.0 7.2 … 0 0.8 2.0 3.8 6.2 9.0 12.0 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与t，与t之间的关系，其中与t的关系可以近似用正比例函数刻画． (1)表中m的值为______（结果保留小数点后一位）； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出与t，与t的函数图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决以下问题： ①两台机器人分别用平编和绞编各编织一个面积为的产品，若它们同时开始编织，则它们完成产品所用的时间相差______； ②该工厂接到一批补购订单，需要平编产品200件，绞编产品100件，且每件产品的面积都为．开始时机器人A编织平编产品，机器人B编织绞编产品，工作一段时间后，机器人B出现故障无法工作．机器人A完成所有平编产品后，调整为绞编程序，接着机器人B的进度完成剩余的绞编产品．当编织完所有产品时，机器人A编织的总面积为．若生产两件产品之间的时间间隔忽略不计，则机器人B出现故障前大约工作了______（结果保留小数点后一位）． 研考点·通技法 1. 利润模型：销量随价格线性变化（难点在于读题找关系） 2. 抛物线模型：拱桥、隧道、喷泉（建立适当坐标系） 3. 面积模型：靠墙、靠墙角、中间隔板 4. 含参问题：参数在解析式或范围里，分类讨论对称轴位置 破类题·提能力 12．（2025·北京丰台·二模）某小组设计了一款自动浇花装置，小组同学调节浇花装置出水管，使其沿水平方向．水滴从出水点水平喷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．从水滴离开出水点到落地点的过程中，水滴距离地面的竖直高度为（单位：），水平距离为（单位：），建立如图1所示的平面直角坐标系． a．通过仪器测量，小组同学记录了水滴离开出水点后的运动时间为（单位：）时的多组数据，其中几组数据如下： 时间 0 0.10 0.20 0.30 水平距离 0 0.10 0.20 0.30 竖直高度 h 0.75 0.60 0.35 b．小组同学通过学习知道，水滴运动时，水平距离与时间的关系为（为水滴离开出水点时的速度，单位） 根据以上信息，解决下列问题： (1)的值是______； (2)的值是______，水滴从离开出水点到落在落地点，需要经过______； (3)将如图2所示的一个高为的花盆放置在地面上，使花盆底面中心在图1所示的轴上，且．若该装置可以调节出水点的高度（出水管保持水平），要使水滴运动时恰好经过花盆顶端中心（不考虑其他因素），则需要将出水点向______（填“上”或“下”）平移______． 13．（2025·北京首都师大附中育鸿学校·零模）某机器工作至电量剩余时开始充电．充电系统提供两种不同的充电模式，机器剩余电量（单位：）与充电时间（单位：min）的关系如下表所示： 充电时间（） 0 5 10 15 20 25 30 模式一剩余电量（） 10 25 55 70 85 100 模式二剩余电量（） 10 31 57 78 90 97 100 (1)① ； ②通过数据分析，发现可以用函数来刻画与，与之间的关系，在给定的平面直角坐标系（图）中画出这两个函数图象； (2)充电系统通过调节充电电流（单位：安培）来控制电量，已知充电模式一的初始电流为安培，剩余电量每增加，充电电流将减小安培，则分钟时充电模式一的充电电流 安培；充电模式二的充电电流与充电时间的函数关系如图所示．根据以上数据并结合函数图象判断：当两种充电模式的电流相同时，剩余电量相差约 ． 14．（22-23九下·北京西城三帆中学·月考）中新社上海3月21日电（记者缪璐）21日在上海举行的2023年全国跳水冠军赛女子单人10米跳台决赛中，陈芋汐以416.25分的总分夺得冠军，全红婵位列第二，掌敏洁获得铜牌．在精彩的比赛过程中，全红婵选择了一个极具难度的270C（向后翻腾三周半抱膝）．如图2所示，建立平面直角坐标系．如果她从点起跳后的运动路线可以看作抛物线的一部分，从起跳到入水的过程中，她的竖直高度（单位：米）与水平距离（单位：米）近似满足函数关系式． (1)在平时训练完成一次跳水动作时，全红婵的水平距离与竖直高度的几组数据如下： 水平距离 0 3 3.5 4 4.5 竖直高度 10 10 10 6.25 根据上述数据，直接写出的值为________，直接写出满足的函数关系式：________； (2)比赛当天的某一次跳水中，全红婵的竖直高度与水平距离近似满足函数关系，记她训练的入水点的水平距离为，比赛当天入水点的水平距离为，请通过计算比较与的大小； (3)在（2）的情况下，全红婵起跳后到达最高点开始计时，若点到水平面的距离为，则她到水面的距离与时间之间近似满足，如果全红婵在达到最高点后需要1.6秒的时间才能完成极具难度的270C动作，请通过计算说明，她当天的比赛能否成功完成此动作？ 15．（2024·北京通州·一模）某部门研究本公司生产某种产品的利润变化y（万元）与生产总量x（吨）之间的关系情况，产品的生产总量为x（吨）时，所获得的利润记为p（万元），公司生产x吨产品所获得的利润与生产吨产品获得的利润之差记为y（万元）． 例如：当时，，当时，．所以，当时，；当时，，当时，．所以，当时，． 记录的部分数据如下： x 0           1           2      3      4      5      6 p                                                                  y           m                     n           根据以上数据，解决下列问题： (1)________，_______． (2)结合表中的数据，当时可以用函数刻画利润的变化量y（万元）和生产总量x（吨）之间的关系，在平面直角坐标系中画出此函数的图象． (3)结合数据，利用所画的函数图象可以推断： ①当生产总量约为________吨（精确到），利润变化值y最大． ②当生产总量约为________吨（精确到），利润开始降低．    题型04 描点法画函数图像 析典例·建模型 16．（2026·北京丰台·一模）某校兴趣小组在研究防水剂用量对某种材质的一次性餐具降解的影响时，查阅资料后选择降解失重率W（单位：）作为降解评价指标，，其中（单位：）为餐具未降解时的质量，（单位：）为餐具降解天数为时的质量．在实验过程中除防水剂用量外其余实验条件均相同．在降解温度为的条件下，记餐具降解天数为t时，未添加防水剂的餐具降解失重率为，防水剂用量的餐具降解失重率为，防水剂用量的餐具降解失重率为．该小组记录的前16天的部分数据如下： /天 0 1 2 6 8 10 12 16 / 0 7.6 8.8 11.5 12.9 13.6 14.0 14.5 / 0 5.9 6.5 8.8 9.9 10.7 11.2 11.4 / 0 5.5 7.0 7.9 8.3 8.9 9.9 (1)实验测得防水剂用量的餐具在未降解时质量为，降解天数为1时质量为，直接写出表格中a的值； (2)在平面直角坐标系中，描出了各数对，所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接得到曲线，．请补全数对所对应的点，并画出对应曲线； (3)根据以上实验数据和结果，回答下列问题： ①防水剂用量和的餐具同时开始降解，在前16天内降解失重率的差持续超过的天数为_______（结果保留整数）； ②小组成员在老师帮助下，进一步实验获得了当降解天数为4时，添加防水剂用量一定的该餐具在不同温度下的降解失重率： 判断上面实验所用餐具的防水剂用量为________（填“”或“”）．当降解天数为4时，该餐具降解失重率要达到条件下未添加防水剂的降解失重率，温度至少是_________． 研考点·通技法 列表描点看趋势，直线一次曲线二。 差值恒定是一次，差值再恒是二次。 积恒定为反比例，待定系数求解析。 自变量范围要看准，预测外推要谨慎。 破类题·提能力 17．（2026·北京昌平·一模）某物流中心对三种新购入的智能分拣机，，进行调试，开机后三种机型均需要空转预热后才能开始进行上件分拣，的空转预热时间分别为3分钟，3分钟，3.5分钟．上件分拣后，若每半分钟记为一个周期，单个周期分拣件数记为（件），得到数据如下： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 的的值（件） 0 8 16 24 40 46 54 56 56 进入上件分拣后前5个周期的单个周期分拣件数为匀速增长，5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少，三种机型经过一定时间后单个周期分拣件数基本恒定．在平面直角坐标系中，描出三种机型下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到和的曲线，如图所示． (1)观察曲线上件分拣后，当第_____个周期时，首次超过35. (2)表中_____，_____，在给出的平面直角坐标系中画出的曲线； (3)①若选用，开机后至少_____分钟后，值基本恒定； ②若，，同时开机，开机后的前5分钟内（包含5分钟）的累计分拣件数分别记为，结合题目所给信息，将进行排序_____（用“＜”连接）． 18．（2026·北京汇文中学·中考模拟）某科创小组测试了无人机“最大飞行高度与飞行速度的关系”，得到了如下实验数据，请你参与探究． 速度 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 最大高度 80 220 350 440 500 480 420 360 300 250 (1)根据函数的定义，设______为y，______为x，y是x的函数； (2)在平面直角坐标系中，描出表中各组对应值为坐标的点，并画出该函数的图象； (3)结合画出的函数图象，回答下列问题： 下列说法正确的有______（填序号） ①y随x的增大而减小； ②当飞行速度在左右时，最大飞行高度最高； ③速度过快或过慢时，无人机的最大飞行高度都会降低． (4)若想要无人机的最大飞行高度保持在400米以上，结合图象，飞行速度大约控制在______至______范围内（结果取整数）． 19．（2026·北京平谷·一模）为落实“健康教育第一”理念，倡导科学锻炼、健康成长，学校组织男子体能达标测试，以检验学生的体育锻炼效果．测试评分标准如表1 表1 时间 分值 8 7 6 时间 分值 5 4 3 时间 分值 2 1 0 表2 时间（s） 0 20 40 60 80 120 160 180 200 220 240 260 路程（m） 0 35 85 155 245 445 645 745 845 925 1000 路程（m） 0 20 50 100 170 450 570 630 690 a 810 870 在男子的考试现场，甲、乙两名同学被分到同一个小组．他们同时出发，当跑步的时间为（单位：s）时，甲同学跑步的路程为（单位：m），乙同学跑步的路程为（单位：m）．为了取得更好的成绩，每名同学都会根据自身情况制订跑步策略．甲同学的策略：先加速跑再匀速跑最后平缓冲刺；乙同学的策略：先加速跑再匀速跑．甲、乙两名同学现场考试的部分数据如表2所示： (1)a的值为_____． (2)请根据表2中的数据，在平面直角坐标系中补全的图象 (3)结合健康体能测试的要求，给出以下三个结论： ①当时，甲同学一直在乙同学的前面； ②乙同学完成1000米的测试时间超过； ③两名同学在匀速跑步阶段速度相同． 上述结论中，所有正确结论的序号是_______． (4)假如乙同学的匀速跑步速度不变，且在时恰好跑了，则乙同学可以得到___分． 20．（2026·北京三帆中学·零模）某食品厂研究两种天然防腐剂（添加剂A和添加剂B）对面包保质期的影响．添加剂A的效果在一定浓度范围内随浓度增加而提高，但超过最佳浓度后，由于副作用等原因，保质期反而下降．添加剂B的作用机理不同，通过实验发现，在测试浓度范围内，其保质期与浓度c之间近似满足稳定的线性增长关系：．在固定工艺下，改变添加剂A的添加浓度c（单位：），测得面包的保质期（单位：天）数据如下： 添加剂浓度 0 20 40 60 80 100 120 保质期（天） 3 4 7 10 9 7 4 (1)以添加剂浓度c为横坐标，保质期d为纵坐标，在下面给定的平面直角坐标系中，分别画出，的图象； (2)①若要求面包保质期至少为8天，且希望使用添加剂的浓度尽可能低，则选择添加剂________（A或B）． ②当添加剂浓度相同时，添加剂A的保质期至少比添加剂B的保质期多2天，则浓度c的取值范围是________． (3)工厂分析发现，面包，每增加添加剂，成本增加元；若面包从生产到售出的时间为7天，当保质期不足7天时，每减少1天会造成1元的损失．当添加剂A浓度为时，面包的额外成本（添加剂成本与损失之和）为________元． （建议用时：40分钟） 刷模拟 1．（2026·北京大兴·一模）旋转木马是每个孩子珍藏在童年里的梦幻乐园．某游乐场旋转木马的所有座位均匀分布在同一个圆上，绕圆心做匀速逆时针运动（如图1）．小瑞将旋转木马的其中两个相邻座位抽象为A，B两点，在旋转木马外设置固定观测点C，当起始位置点A与点C、圆心O在同一条直线上时（如图2）开始计时． 小瑞记录了不同时刻（单位：秒）时，观测点C到A，B的距离分别为，（单位：米），部分数据如下： 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 … 2.00 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 … 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 4.36 7.00 8.00 7.00 4.36 2.00 4.36 … 通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系，在平面直角坐标系中，画出与之间关系的函数图象． (1)在平面直角坐标系中，画出与t之间关系的函数图象； (2)至少经过m秒，A点就会回到初始位置，则_____； (3)该旋转木马座位总数为________个； (4)从开始，至少经过____秒，点C到A，B的距离相等； (5)当秒时，的值为_____． 2．（2026·北京西城·统一测试）研究表明：记完某种资料后，大脑的记忆保持率（单位：）会随时间（单位：小时）的变化而变化．设小明记完资料一后的记忆保持率为，记完资料二后的记忆保持率为，且和互不影响．通过分析发现，可以用函数刻画与，与之间的关系，部分数据如下： 在给出的平面直角坐标系中，函数的图象如图所示． (1)观察函数的图象，当整数的值为 时，的值首次低于； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出函数的图象； (3)假设小明首次记完资料一或资料二均需要小时． ①小明先记完资料二，小时后开始记忆资料一，若他记完资料二小时后，资料一和资料二的记忆保持率相同，则的值是 ； ②小明记完一个资料后，休息分钟，再记忆另一个资料．若从开始记忆计时，小时后资料一和资料二的记忆保持率的和最大，则小明应该先记忆资料 （填“一”或“二”），此时记忆保持率和的最大值是 （结果是整数）． 3．某小组研究了不同温度对葡萄酒发酵速率的影响．当发酵时间为（单位：，）时，小组成员分别记录了下的发酵速率（单位：），下的发酵速率（单位：），部分数据如下： 1 5 9 10 11 14 17 19 23 26 29 32 36 (1)当时，下的发酵速率每小时增加（a为常数）的值为___________； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出了函数的图象，描出了与各对对应值为坐标的点，补全函数的图象； (3)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①当发酵时间为___________h时，下的发酵速率等于下的发酵速率； ②若发酵速率不低于，葡萄酒的发酵效果较好，下的发酵速率不低于的持续时间为（单位：h），下的发酵速率不低于的持续时间为（单位：h），则的值为___________，的值约为___________（结果保留小数点后一位）． 4．（2025·北京东城·二模）某团队设计了一款智能灯，它可以根据自然光照度自动开启或关闭，当自然光照度小于或等于勒克斯（勒克斯为光照度单位）时，自动开启；大于勒克斯时，自动关闭．该团队通过模拟自然光照度进行了一次实验，记录了实验中模拟自然光照度（单位：勒克斯）与时间（单位：分钟）的关系数据，如下表所示： 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 y 32.9 30.0 27.5 25.6 24.2 23.3 22.9 23.0 23.7 24.8 26.5 28.7 31.4 (1)团队成员发现可以用函数刻画模拟自然光照度与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出的点画出该函数的图象； 根据以上数据与函数图象，解决下列问题： (2)若． ①智能灯首次开启时，_____； ②智能灯的工作时长约为_____分钟；（结果保留小数点后一位） (3)设当为30，27，24时，智能灯工作时长分别为，，，则_____．（填“>”“=”或“<”） 5．（2025·北京朝阳·二模）科创小组分别用两台装置提取实验物质，当两台装置各自工作时，记录员分别记录了装置提取的实验物质的体积（单位：）和装置提取的实验物质的体积（单位：），部分数据如下： (1)补全表格（结果保留小数点后一位）； (2)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)根据以上信息，解决问题： 若装置比装置早启动了，则装置启动___________时，两台装置提取的实验物质体积相同，约为___________（结果保留小数点后一位）； 在的条件下，在同一时刻，装置最多可以比装置多提取___________实验物质（结果保留小数点后一位）． 6．（2025·北京西城·二模）小明妈妈早晨骑电动车将小明送到幼儿园后再去单位上班．已知小明家到幼儿园的路程为，幼儿园到小明妈妈单位的路程为，小明妈妈骑电动车带小明行驶是载重行驶，下表记录了电池中剩余电量占电池容量的百分比（简称剩余电量占比）与小明妈妈独自行驶和载重行驶状态下可行驶的路程（单位：）和（单位：）的部分数据： 0% 10% 20% 40% 60% 80% 100% 0 3 7 15 23 31 39 0 2 4 9 15 22 30 (1)通过分析数据，发现可以用函数刻画与，与之间的关系．在给出的平面直角坐标系中，补全这两个函数的图象； (2)根据上述数据和函数图象，解决下列问题： ①当该电动车剩余电量占比为50%时，小明妈妈独自行驶比载重行驶多行驶______km（结果精确到0.1）； ②假设一天早晨该电动车剩余电量占比为30%，在电量耗尽前，判断小明妈妈骑电动车______（填“能”“不能”）将小明送到幼儿园； ③若在电量耗尽前小明妈妈能到达单位，则当天早晨出门时该电动车剩余电量占比至少为______（精确到1%）． 2 / 5 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $